UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Ida Femc

p-adicne norme in p-adicna stevila

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Studijski program: Dvopredmetni ucitelj

Kandidatka: Ida Femc

Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar

p-adicne norme in p-adicna stevila

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2014

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju, dr. Marku Slaparju, za nasvete in strokovno pomoc prinastajanju diplomskega dela ter za vse spodbude in izkazano skrb.

Najlepsa hvala Geli in starsem, ki so mi omogocili studij, me podpirali in spodbujalina studijski poti ter si vzeli cas, ko sem jih najbolj potrebovala.

Zahvaljujem se tudi Andreju, se posebej pa Karin, ki mi je vlivala pogum in moc,da sem vztrajala.

Hvala vsem prijateljem za spodbudne besede, pomoc in oporo.

Povzetek

Racionalna stevila Q vpeljemo tako, da definiramo kvocientno mnozico parov celihstevil (a, b) oz. definiramo ulomke a

b, kjer je b 6= 0. Dva ulomka a

bin c

dpredsta-

vljata isto stevilo, ce velja ad = bc. V diplomskem delu predstavimo absolutnevrednosti, ki jih lahko srecamo na racionalnih stevilih Q. To so obicajna, trivialnater p-adicna absolutna vrednost. Nato dokazemo izrek Ostrowskega, ki pravi, daje netrivialna absolutna vrednost na Q ekvivalentna bodisi obicajni bodisi p-adicniabsolutni vrednosti za neko prastevilo p. Metricni prostor racionalnih stevil Q strivialno absolutno vrednostjo (Q, | |0) je ze poln metricni prostor. Vemo pa, daracionalna stevila Q z obicajno absolutno vrednostjo niso poln metricni prostor. Priupostevanju obicajne absolutne vrednosti | |∞ lahko racionalna stevila Q razsirimodo realnih stevil R, ki so poln metricni prostor. Ce namesto obicajne absolutnevrednosti na racionalnih stevilih Q upostevamo p-adicno absolutno vrednost, do-bimo metricni prostor (Q, | |p), ki tudi ni poln metricni prostor. Metricno napolnitevmetricnega prostora racionalnih stevil Q pri p-adicni absolutni vrednosti imenujemop-adicna stevila in jih oznacimo s Qp. Na koncu navedemo se nekaj lastnosti, kiveljajo za p-adicna cela stevila Zp in dokazemo p-adicno razsiritev p-adicnih stevil.

Kljucne besede: racionalna stevila, absolutna vrednost, p-adicna absolutna vre-dnost, realna stevila, p-adicna stevila, p-adicna cela stevila

Abstract

We can construct rational numbers Q as a quotient set of pairs (a, b) where a andb are integers or we can define fractions a

b, where b 6= 0. Two fractions a

band c

drepresent the same number if and only if ad = bc. In this thesis, we firstly describeabsolute values on rational numbers Q: usual absolute value, trivial absolute valueand p-adic absolute value. Then we prove the Ostrowski theorem, which says thatevery non-trivial absolute value on Q is equivalent to either usual absolute value | |∞or the p-adic absolute value for some prime number p. The metric space of rationalnumbers Q is complete with respect to the trivial absolute value. We know, however,that rational numbers Q are not complete with respect to the usual absolute value| |∞. We can extend the space of rational numbers Q with respect to the usualabsolute value to get the space of real numbers R, which is a complete metric space.If we take any p-adic absolute value on rational numbers Q instead of the usualabsolute value | |∞, we get the metric space (Q, | |p) which is also not complete.The metric completion of this metric space is called p-adic numbers Qp. We end thethesis with some characteristics of p-adic integers Zp and prove the p-adic expansionof p-adic numbers.

Keywords: rational numbers, absolute value, p-adic absolute value, real numbers,p-adic numbers, p-adic integers

Kazalo

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Absolutne vrednosti na Q 32.1. Definicija absolutne vrednosti 32.2. p-adicna absolutna vrednost 42.3. Izrek Ostrowskega 5

Poglavje 3. p-adicna stevila 103.1. Vpeljava realnih stevil R 103.2. Napolnitev metricnega prostora 103.3. Napolnitev normiranih polj 133.4. Vpeljava p-adicnih stevil Qp 153.5. Zapis p-adicnih stevil 16

Literatura 20

POGLAVJE 1

Uvod

p-adicna stevila Qp je prvi uvedel nemski matematik Kurt Hensel konec 19. sto-letja. Predvidevajo, da je bila Henslova glavna motivacija analogija med kolobarjemcelih stevil Z skupaj z racionalnimi stevili Q in kolobarjem polinomov s kompleks-nimi koeficienti C[X] skupaj s poljem racionalnih funkcij C(X). Bolj natancno,element f(X) ∈ C(X) je kvocient dveh polinomov

f(X) =P (X)

Q(X),

kjer sta P (X), Q(X) ∈ C[X] in Q(X) 6= 0. Podobno lahko vsako racionalno stevilox ∈ Q zapisemo kot kvocient dveh celih stevil

x =a

b,

kjer a, b ∈ Z in b 6= 0. Za oba kolobarja Z in C[X] velja enolicna faktorizacija. Celostevilo lahko zapisemo enolicno kot produkt prastevil s pozitivnim ali negativnimpredznakom, vsak polinom pa lahko po osnovnem izreku algebre enolicno zapisemokot produkt linearnih polinomov

P (X) = a(X − α1)(X − α2) · · · (X − αn),

kjer so a, α1, α2, . . . αn ∈ C. To pa je tudi bistvo Henslove analogije, ki pravi, da soprastevila p ∈ Z analogna linearnim polinomom (X − α) ∈ C[X].

Hensel je ugotovil, da gre ta analogija se nekoliko globlje. Predpostavimo, daimamo polinom P (X) in α ∈ C. Potem lahko polinom zapisemo v obliki

P (X) = a0 + a1(X − α) + a2(X − α)2 + · · ·+ an(X − α)n

=n∑i=0

ai(X − α)i,

kjer ai ∈ C. Predpostavimo sedaj, da je α ∈ C in f(X) ∈ C(X) poljubna racionalnafunkcija. Funkcijo f lahko razvijemo v Laurantovo vrsto

f(X) =P (X)

Q(X)= an0(X − α)n0 + an0+1(X − α)n0+1 + · · ·

=∑i≥n0

ai(X − α)i,

kjer je n0 stopnja nicle (pola) v tocki α.Podobno lahko obravnavamo cela stevila in ulomke. Pozitivno celo stevilo m

lahko zapisemo ’v bazi p’, kjer je p prastevilo, na naslednji nacin:

m = a0 + a1p+ a2p2 + · · ·+ anp

n =n∑i=0

aipi,

1

kjer je ai ∈ Z in 0 ≤ ai ≤ p−1. Pri zapisu pozitivnega racionalnega stevila zapisemonajprej (pozitivna) stevec in imenovalec v bazi prastevila p in potem formalno de-limo. Pozorni moramo biti le na ’prenose’. Poglejmo si primer, ko je p = 3, zapisimopa stevilo 24

17. Potem je

a = 24 = 0 + 2 · 3 + 2 · 32 = 2p+ 2p2

b = 17 = 2 + 2 · 3 + 1 · 32 = 2 + 2p+ p2

Dobimo

a

b=

24

17=

2p+ 2p2

2 + 2p+ p2= p+ p3 + 2p5 + p7 + p8 + 2p9 + · · ·

Izkaze se, da to vedno deluje, ce je p prastevilo. Tako stevec kot imenovalec stanamrec polinoma iz kolobarja Zp[X] in ker je Zp polje, bo njun kvocient element poljaformalnih Laurentovih vrst Zp((X)). Torej lahko za vsako prastevilo p zapisemopozitivno racionalno stevilo a

bv obliki

x =a

b=∑n≥n0

anpn.

Velja, da je n0 ≥ 0, ce in samo ce p 6 | b in n0 > 0, ce in samo ce p 6 | b in p|a. Stevilon0 odraza potenco prastevila p v a

b. To predstavimo z enacbo

x =a

b= pn0

a1b1,

kjer p 6 | a1b1.Pogledati moramo se, kako dobimo negativna racionalna stevila. Ker formalno

velja−1

p− 1= 1 + p+ p2 + · · · ,

imamo formalen zapis

−1 = (p− 1) + (p− 1)p+ (p− 1)p2 + (p− 1)p3 + · · ·Sklenemo lahko, da je vsako racionalno stevilo x formalno zapisano kot

x = an0pn0 + an0+1p

n0+1 + · · · ,torej kot element formalnih Laurentovih vrst nad poljem Zp. Tak zapis imenujemop-adicna razsiritev stevila x.

Cleni formalnih Laurentovih vrst nad poljem Zp v obicajni normi narascajo,saj so oblike anp

n, kjer za naravna stevila an velja 0 ≤ an ≤ p − 1. V obicajninormi torej take vrste niso konvergentne, razen v primeru, ce je le koncno clenovnenicelnih. Za konvergenco potrebujemo nestandardno merjenje razdalje na polju Q,in zato vpeljemo p-adicno normo | |p, za katero velja |anpn|p = p−n. V tej normi cleniformalnih vrst konvergirajo proti 0, kar je, za razliko od vrst v standardni normi,potreben in tudi zadosten pogoj, da velja Cauchyjev pogoj za vrste v p-adicni normi.Tako p-adicna razsiritev racionalnega stevila x v p-adicni normi dejansko konvergiraproti x.

Izkaze se, da ni vsaka formalna Laurentova vrsta nad Zp p-adicna razsiritevracionalnega stevila, in da p-adicne razsiritve ulomkov niso metricno poln obseg.Zato obseg Q metricno napolnimo. Ta napolnitev, Qp, je ravno obseg vseh formalnihLaurentovih vrst nad obsegom Zp.

2

POGLAVJE 2

Absolutne vrednosti na Q

Polje racionalnih stevil definiramo kot kvocientno mnozico parov celih stevil (a, b)oz. kot ulomke a

b, kjer je b 6= 0. Dva ulomka a

bin c

dpredstavljata isto stevilo, ce velja

ad = bc. Operaciji sestevanje in mnozenje sta na racionalnih stevilih Q definiranipreko ulomkov kot

a

b+c

d=ad+ bc

bdin

a

b· cd

=ac

bd.

2.1. Definicija absolutne vrednosti

Na polju racionalnih stevil definiramo obicajno absolutno vrednost | | z

|x| ={x ; x ≥ 0−x ; x < 0

.

Pravila, ki veljajo za obicajno absolutno vrednost na Q, lahko zdruzimo v definicijoabsolutne vrednosti na poljubnem polju F.

Definicija 2.1. Realno funkcijo | | : F −→ R imenujemo absolutna vrednost, ceima naslednje lastnosti

(a) nenegativnost: |a| ≥ 0 za ∀ a ∈ F,(b) neizrojenost: |a| = 0 ⇐⇒ a = 0,(c) trikotniska neenakost: |a+ b| ≤ |a|+ |b| za ∀ a, b ∈ F,(d) multiplikativnost: |a · b| = |a||b| za ∀ a, b ∈ F.

V nadaljevanju diplomskega dela se bomo ukvarjali predvsem z ultrametricnimiabsolutnimi vrednostmi.

Definicija 2.2. Naj bo F polje z absolutno vrednostjo | |. Absolutna vrednostje ultrametricna, ce lahko pogoj (c) iz definicije 2.1. nadomestimo z naslednjimpogojem:

|a+ b| ≤ max{|a|, |b|} za ∀ a, b ∈ F. (1)

Definicija 2.3. Absolutna vrednost | | na polju F je arhimedska, ce zanjo veljaarhimedska lastnost: za dana x, y ∈ F, x 6= 0, obstaja pozitivno celo stevilo n,da velja |nx| > |y|. Za absolutno vrednost, ki ne izpolnjuje arhimedske lastnosti,pravimo, da je nearhimedska.

Arhimedskost absolutne vrednosti je ekvivalentna trditvi, da obstajajo v F po-ljubno velika cela stevila oziroma

sup{|n1| : n ∈ Z} = +∞.Povedano drugace, naravna stevila N ⊂ F so poljubno velika. ([5])

3

Vzemimo obicajno absolutno vrednost na polju Q. Ce vzamemo x = y = 1,ugotovimo, da pogoj (1) ne velja. To pa pomeni, da obicajna absolutna vrednostni ultrametricna. Tako definirana absolutna vrednost zadosca arhimedski lastno-sti, torej je arhimedska. Obicajno absolutno vrednost imenujemo tudi neskoncnaabsolutna vrednost na Q in jo oznacimo z | |∞.

Zelo znana je tudi trivialna absolutna vrednost. Definiramo jo lahko na kateremkoli polju F s predpisom

|x| ={

1 ; x 6= 00 ; x = 0

.

Ugotovimo lahko, da tako definirana absolutna vrednost ne izpolnjuje arhimedskelastnosti, kar pomeni, da je trivialna absolutna vrednost nearhimedska.([5]).

V nadaljevanju bomo na polju racionalnih stevil Q spoznali primer ultrametricneabsolutne vrednosti.

2.2. p-adicna absolutna vrednost

Definicije in trditve v tem razdelku so v vecini povzete po [3] in [5].

Definicija 2.4. Naj bo n ∈ Z celo stevilo in p ∈ Z prastevilo. Z redpn oznacimonajvisjo potenco stevila p, ki deli n. Velja torej

redpn = k ⇐⇒ (pk|n in pk+1 6 | n).

Opazimo tudi, da velja k ≥ 0. Stevilo n lahko sedaj zapisemo kot

n = predpnn′ kjer p 6 | n′.Racionalno stevilo x ∈ Q zapisemo kot ulomek a

bin definiramo

redpx = redp

(ab

)= redpa− redpb.

Opazimo, da za vsak x ∈ Q, vrednost redpx ni odvisna od tega, kako x predstavimoz ulomkom. Z drugimi besedami, ce velja a

b= c

d, potem velja

redp(a)− redp(b) = redp(c)− redp(d).

Posebej definiramo se redp0 = +∞. Razlog za to je, da lahko zagotovo 0 delimo sp, rezultat je 0. To lahko spet delimo s p in spet dobimo rezultat 0 itd.Za redp veljajo naslednje lastnosti:

Definicija 2.5. Za ∀ x, y ∈ Q velja:

i) redp(xy) = redpx+ redpyii) redp(x+ y) ≥ min{redp(x), redp(y)}, pri cemer enakost velja, ce

redp(x) 6= redp(y),

upostevati pa moramo tudi dogovor, da redp(0) = +∞.

Preslikavo | |p : Q −→ R definiramo s predpisom

|x|p =

{p−redpx ; x 6= 0p−∞ = 0 ; x = 0

.

Absolutno vrednost | |p imenujemo p-adicna absolutna vrednost ali p-adicna norma.

Trditev 2.6. Naj bo p prastevilo. Potem je | |p ultrametricna absolutna vrednostna polju Q.

4

Dokaz. Lastnosti (a), (b) in (d) iz definicije o absolutni vrednosti, sledijo ne-posredno iz definicije. Dokazati moramo se (1). Izberimo poljubna x, y ∈ Q. Ce jekaterokoli od stevil |x|p, |y|p ali |x + y|p enako 0, neenakost velja, zato bomo pred-postavili, da so stevila |x|p, |y|p ali |x+ y|p oz. x, y in x+ y razlicna od 0. Stevilo xzapisimo kot okrajsan ulomek a

b, stevilo y pa kot okrajsan ulomek c

d. Potem je

redp(x+ y) = redp(a

b+c

d) = redp

ad+ bc

bd= redp(ad+ bc)− redp(bd) =

= redp(ad+ bc)− (redpb+ redpd) = redp(ad+ bc)− redpb− redpd.

Najvisja potenca, ki deli vsoto, ni manjsa od najvisje potence, ki deli oba clena vvsoti. Zato

redp(x+ y) ≥ min{redp(ad), redp(bc)} − redpb− redpd =

= min{redpa+ redpd, redpb+ redpc} − redpb− redpd =

= min{redpredpa− redpb, redpc− redpd} =

= min{

redpa

b, redp

c

d

}=

= min{redpx, redpy}.

Zato je predp(x+y) ≥ min{predpx, predpy}. Ce sedaj upostevamo definicijo absolutnevrednosti, dobimo

|x+ y|p = p−redp(x+y) ≤ min{p−redpx, p−redpy} = min{|x|p, |y|p}.

S tem smo dokazali se (1). �

Za boljse razumevanje p-adicne norme si poglejmo, kaj nam p-adicna absolutnavrednost pravzaprav pove. Ko je stevilo x ∈ Q deljivo z veliko potenco prastevilap ∈ Z, je vrednost redpx velika. Posledicno je (zaradi negativnega predznaka veksponentu) vrednost p-adicne absolutne vrednosti |x|p majhna. p-adicna absolutnavrednost nam torej na nek nacin pove stopnjo deljivosti stevila n s prastevilom p.([5])Poglejmo nekaj primerov.

(1) |12|2 = |22 · 3| = 2−2 = 14

(2) | 821|3 = | 8

3·7 |3 = |8 · 3−1 · 7−1|3 = 3−(−1) = 31 = 3

(3) | 11000|5 = |2−35−3|5 = 5−(−3) = 53 = 125

2.3. Izrek Ostrowskega

Naslednji izrek in dokaz izreka sta povzeta po [3] in [5].

Izrek 2.7. Absolutna vrednost | | na Q je ultrametricna, ce in samo ce |n| ≤ 1za vsak n ∈ Z.

Dokaz. Pri katerikoli absolutni vrednosti velja |1| = 1. Denimo, da je |n| ≤ 1.Z indukcijo bomo dokazali, da je |n| ≤ 1 za ∀ n ∈ N. Ce je | | ultrametricna, velja

|n+ 1| ≤ max{|n|, 1} = 1.

Po nacelu popolne indukcije velja zgornja ocena za vsak n ∈ N.

5

Pokazati moramo se obrat. Denimo, da velja |n| ≤ 1 za ∀ n ∈ N. Dokazati zelimo,da za vsaka dva elementa x, y ∈ Q velja |x + y| ≤ max{|x|, |y|}. Ce je y = 0,neenakost velja. Ce je y 6= 0, lahko delimo z y in dobimo

|xy

+ 1| ≤ max{|xy|, 1}.

To pomeni, da je dovolj, da neenakost dokazemo za primer, ko je drugi sumand enak1, torej da za ∀ x ∈ Q velja

|x+ 1| ≤ max{|x|, 1}.Naj bo x ∈ Q in m ∈ N. Ker je Q polje, velja binomska formula, zato lahkozapisemo

|x+ 1|m = |(x+ 1)m|

=

∣∣∣∣∣m∑k=0

(m

k

)xk

∣∣∣∣∣≤

m∑k=0

∣∣∣∣(mk)∣∣∣∣ |xk|.

Ker je po predpostavki |(mk

)| ≤ 1, dobimo

|x+ 1|m ≤m∑k=0

|xk|

=m∑k=0

|x|k

≤ (m+ 1)max{1, |x|m}.Ce neenacbo |x+ 1|m ≤ (m+ 1)max{1, |x|m} korenimo z m- tim korenom, dobimo

|x+ 1| ≤ m√

(m+ 1) max{1, |x|}za vse m ∈ N in x ∈ Q. Vemo, da limm→∞

m√m+ 1 = 1 in zato, ko posljemo m v

neskoncno, dobimo ravno to, kar smo zeleli dokazati:

|x+ 1| ≤ max{|x|, 1} za ∀ x ∈ Q.�

Posledica pravkar dokazanega izreka je, da je absolutna vrednost na Q ultrame-tricna natanko tedaj, ko ne zadosca arhimedski lastnosti.

Trditev 2.8. Absolutna vrednost | | na Q je ultrametricna natanko tedaj, ko jenearhimedska.

Dokaz. Ce bi bila absolutna vrednost arhimedska, bi obstajalo pozitivno celostevilo n, za katero bi veljalo

|n| = |n · 1| > |1| = 1.

Po izreku 2.7 sledi, da absolutna vrednost | | ni ultrametricna. Ce absolutna vrednost| | ni ultrametricna, po izreku 2.7. obstajalo tako stevilo n ∈ Z, za katero bi veljalo|n| > 1. Pokazati moramo, da je tedaj absolutna vrednost | | arhimedska. Izberimopoljubna a, b ∈ Q, a 6= 0. Ker velja |n| > 1, so stevila |nl · a| = |nl||a| = |n|l|a|

6

poljubno velika, ce je stevilo l ∈ N dovolj veliko. Zato za dovolj veliko stevilo l velja|nl · a| > |b|. To pa pomeni, da je | | arhimedska absolutna vrednost. �

Opomba 2.9. Vse kar smo do sedaj zapisali v tem razdelku in velja za racionalnastevila Q, velja tudi za poljubno polje F. Pri tem upostevamo, da za poljubno poljeF lahko definiramo homomorfizem f : Z→ F s predpisom n 7→ n1F, kjer je 1F enotav F. Homomorfizem je injektiven, ce je F polje s karakteristiko 0.

Definicija 2.10. Dve normi | | in | |∗ na polju F sta ekvivalentni, ce obstajatako realno stevilo α > 0, da velja

|x|∗ = |x|α

za vsak x ∈ F.

Dve ekvivalentni normi definirata na F isto topologijo. Izrek Ostrowskega karak-terizira absolutne vrednosti na polju racionalnih stevil Q do ekvivalence natancno.Izrek in njegov dokaz sta povzeta po ([5]).

Izrek 2.11 (Ostrowski). Netrivialna absolutna vrednost na Q je ekvivalentnabodisi obicajni bodisi p-adicni absolutni vrednosti za neko prastevilo p.

Dokaz. Dokaz bomo razdelili na dva dela. V prvem bomo predpostavili, da jeabsolutna vrednost | | arhimedska, v drugem delu pa da je nearhimedska. Naj bo | |netrivialna absolutna vrednost na Q.

Najprej predpostavimo, da je | | arhimedska. V tem primeru zelimo dokazati,da je absolutna vrednost ekvivalentna obicajni (neskoncni) absolutni vrednosti. Najbo n0 najmanjse pozitivno celo stevilo, za katerega velja |n0| > 1. Tako stevilo n0

gotovo obstaja, saj bi bila v nasprotnem primeru | | nearhimedska. Sedaj lahkopoiscemo tako pozitivno realno stevilo α, da velja |n0| = nα0 . Dokazati torej zelimo,da za ∀ x ∈ Q velja |x| = |x|α∞. Ce dokazemo, da |n| = nα za vsako pozitivno celostevilo, prejsnje sledi. Vemo, da enakost velja, ce n = n0. Za splosen dokaz izberemopoljubno celo stevilo n in ga zapisemo ’v bazi n0’, na primer v obliki

n = a0 + a1n0 + a2n20 + · · ·+ akn

k0,

kjer 0 ≤ ai ≤ n0 − 1 in ak 6= 0. k je dolocen z neenakostjo nk0 ≤ n < nk+10 , ki pove,

da je

k =

⌊log n

log n0

⌋.

Ce zapisemo absolutno vrednost stevila n, dobimo

|n| = |a0 + a1n0 + a2n20 + · · ·+ akn

k0|

≤ |a0|+ |a1n0|+ |a2n20|+ · · ·+ |aknk0|

= |a0|+ |a1||n0|+ |a2||n20|+ · · ·+ |ak||nk0|

= |a0|+ |a1||n0|+ |a2||n0|2 + · · ·+ |ak||n0|k

= |a0|+ |a1|nα0 + |a2|n2α0 + · · ·+ |ak|nkα0 .

Torej je

|n| ≤ |a0|+ |a1|nα0 + |a2|n2α0 + · · ·+ |ak|nkα0 .

7

Ker smo za n0 izbrali tako najmanjse pozitivno celo stevilo, za katerega velja |n0| >1, vemo, da je |ai| ≤ 1 in dobimo

|n| ≤ 1 + nα0 + n2α0 + · · ·+ nkα0

= nkα0 (1 + n−α0 + n−2α0 + · · ·+ n−kα0 )

≤ nkα0

∞∑i=0

n−iα0

= nkα0nα0

nα0 − 1.

Ce dolocimo C =nα0nα0−1

, ki je pozitivno stevilo, lahko zapisemo

|n| ≤ Cnkα0 ≤ Cnα

(saj je nk0 ≤ n ≤ nk+10 ). To formulo uporabimo za cela stevila oblike nN in dobimo

|nN | ≤ CnNα,

po korenjenju z N - tim korenom pa

|n| ≤ N√Cnα.

Dopustimo lahko, da gre N → ∞, kar pomeni, da gre N√C → 1 in tako dobimo

neenakost |n| ≤ nα.Dokazati moramo se neenakost v drugo smer. Za to spet potrebujemo zapis v bazin0

n = a0 + a1n0 + a2n20 + · · ·+ akn

k0.

Ker velja nk+10 > n ≥ nk0 in ker je |n0| = nα0 , je

n(k+1)α0 = |nk+1

0 | = |n+ nk+10 − n| ≤ |n|+ |nk+1

0 − n|.Ce uporabimo neenakost |n| ≤ nα, ki smo jo zgoraj dokazali, lahko zapisemo

|n| ≥ n(k+1)α0 − |nk+1

0 − n| ≥ n(k+1)α0 − (nk+1

0 − n)α.

Ker je n ≥ nk0, sledi

|n| ≥ n(k+1)α0 − (nk+1

0 − nk0)α

= n(k+1)α0 (1− (1− 1

n0

)α)

= C ′n(k+1)α0

> C ′nα,

kjer je C ′ = 1− (1− 1n0

)α pozitiven.

Na podoben nacin kot zgoraj pridemo sedaj se do neenakosti |n| ≥ nα. Ker jenk+10 > n ≥ nk0, lahko zapisemo

|n| ≥ C ′nkα0 ≥ C ′nα.

Ce to uporabimo za cela stevila oblike nN , dobimo:

|nN | ≥ C ′nNα,

po korenjenju z N - tim korenom pa

|n| ≥ N√C ′nα.

8

Dopustimo, da gre N → ∞, kar pomeni, da gre N√C ′ → 1. S tem smo prisli ravno

do neenakosti |n| ≥ nα. Ker velja, da je |n| ≤ nα in |n| ≥ nα, je |n| = nα. Todokazuje, da je | | ekvivalentna obicajni absolutni vrednosti | |∞, kot smo trdili.

Sedaj predpostavimo, da je | | nearhimedska. Potem za ∀ n ∈ Z po izreku 2.7velja |n| ≤ 1. Ker je | | netrivialna, mora obstajati najmanjse celo stevilo n0 ∈ Z, davelja |n0| < 1. Najprej opazimo, da mora biti n0 prastevilo. Predpostavimo, da jen0 = a · b, pri cemer sta a, b < n0. Glede na izbiro n0 bi moralo veljati |a| = |b| = 1in |n0| < 1, a to se ne more zgoditi. Torej je n0 prastevilo, zato bomo dolocili p = n0.Dokazati zelimo, da je | | ekvivalentna p-adicni absolutni vrednosti.Pokazati moramo tudi naslednje: ce n ∈ Z ni deljivo s p, potem je |n| = 1. Ce bistevilo n delili s p, bi dobili nek ostanek. Torej lahko n zapisemo v obliki

n = rp+ s,

pri cemer 0 < s < p. Zaradi minimalnosti stevila p velja |s| = 1. Vemo, da je |p| < 1in ker je | | nearhimedska, je |r| ≤ 1. Zato velja |rp| < 1. Ker je | | nearhimedska inzato velja |n| ≤ 1, sledi, da je |n| = 1.Vsak n ∈ Z lahko zapisemo kot n = predpnn′, kjer p 6 | n′. Potem je

|n| = |predpnn′| = |p|redpn|n′| = |p|redpn = c−redpn,

kjer je c = |p|−1 > 1. Torej je | | ekvivalentna p-adicni absolutni vrednosti. �

Pravkar dokazan izrek Ostrowskega je glavni razlag, da o obicajni absolutnivrednosti | |∞ razmisljamo kot o neki vrsti prastevila na Q. Bistvo tega je, da lahkopotem vsako absolutno vrednost na Q razumemo kot p-adicno absolutno vrednost| |p, kjer je p koncno ali neskoncno prastevilo, torej p ≤ ∞.

9

POGLAVJE 3

p-adicna stevila

3.1. Vpeljava realnih stevil R

Na stevilski premici znamo oznaciti cela stevila Z, upodobiti pa znamo tudiracionalna stevila Q. Tezava nastane na primer, ko na stevilski premici oznacimostevilo, ki predstavlja dolzino diagonale kvadrata s stranico 1. Dokazemo lahko,da to stevilo ni niti celo niti racionalno stevilo. Ugotovimo torej, da z mnozicoracionalnih stevil Q ne zajamemo vseh stevil, ki se pojavijo na stevilski premici.Zato se pojavi potreba po vpeljavi realnih stevil R, s katerimo zapolnimo ’luknje’v racionalnih stevilih Q. Realna stevila R lahko vpeljemo preko tako imenovanihDedekindovih rezov. Podrobnosti o Dedekindovih rezih si lahko preberemo npr. v[8].

Poglejmo si sedaj primer, povzet po [6]. Stevilo π, ki predstavlja razmerje medobsegom kroga in njegovim premerom, je vecini znano s priblizkom π ≈ 3.14. Cezelimo bolj natancen priblizek, lahko izracunamo π na tri decimalna mesta natancnoin dobimo π ≈ 3.142. Za se bolj natancen priblizek izracunamo se vec decimalnihmest. Ce bi nadaljevali, bi razvili zaporedje decimalnih priblizkov stevila π. Enotako zaporedje je

3, 3.1, 3.14, 3.142, 3.1416, 3.14159, . . .

To zaporedje pa ni edino mozno. Drug primer zaporedja, ki se tudi priblizuje steviluπ je

3,22

7,333

106,355

113,104348

33215, . . .

Cleni zaporedja se lahko priblizujejo nekemu racionalnemu stevilu, kot lahko vidimoiz primera, pa se lahko priblizujejo tudi stevilu, ki ga v racionalnih stevilih Q nenajdemo. Za stevilo π, tako kot za

√2, ki predstavlja dolzino diagonale kvadrata s

stranico 1, namrec velja, da ni racionalno stevilo.

3.2. Napolnitev metricnega prostora

V tem razdelku smo se naslonili predvsem na [9].

Definicija 3.1. Naj bo M poljubna neprazna mnozica. Funkcija d : M ×M →R je metrika na M , ce zadosca naslednjim pogojem:

(a) nenegativnost: d(x, y) ≥ 0 za vsak par x, y ∈M(b) neizrojenost: d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y(c) trikotniska neenakost: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) za ∀ x, y, z ∈M(d) simetricnost: d(x, y) = d(y, x) za ∀ x, y ∈M

Definicija 3.2. (Neprazno) mnozico M skupaj z (izbrano) metriko d na M(torej par (M,d)) imenujemo metricni prostor.

10

Na poljubnem polju F z normo | | lahko definiramo metriko d : F × F → R spredpisom d(a, b) = |a − b|. Racionalna stevila Q tako postanejo metricni prostor,ce za normo vzamemo eno od norm, definiranih v prejsnjem poglavju. V standardninormi nam metrika poda obicajno razdaljo med racionalnima steviloma a, b ∈ Q.

Definicija 3.3. Zaporedje v metricnem prostoru (M,d) je preslikava iz mnozicenaravnih stevil N v metricni prostor (M,d).

Zaporedje podamo z zapisom {an}∞n=1 ali poenostavljeno (an), lahko pa nastejemoclene zaporedja a1, a2, a3, . . ..

Preden si pogledamo definicijo napolnitve metricnega prostora, navedimo se defi-niciji Cauchyjevega in konvergentnega zaporedja, povzeti po [2] ter definicijo limite.

Definicija 3.4. Zaporedje {an}∞n=1 v metricnem prostoru (M,d) je Cauchyjevo,ce za vsak ε > 0 obstaja N ∈ N, da velja

n,m > N ⇒ d(an, am) < ε.

Definicija 3.5. Stevilo a je limita zaporedja {an}∞n=1 v metricnem prostoru(M,d), ce za vsak ε > 0 obstaja n0 ∈ N, da velja d(an, a) < ε za vsak n ≥ n0.Pisemo a = limn→∞an. ([8])

Ce ima zaporedje limito, recemo, da je konvergentno, ce limite nima, pa je za-poredje divergentno.

Naslednji izrek nam pove, da je pojem konvergence ’mocnejsi’ od pojma Cau-chyjevega zaporedja ([6]).

Izrek 3.6. Ce je {an}∞n=1 konvergentno zaporedje v (M,d), potem je {an}∞n=1

tudi Cauchyjevo zaporedje.

Dokaz. Vemo, da se cleni zaporedja priblizujejo nekemu q, torej an → q. Izbe-rimo poljubno majhen ε > 0, nato pa se n0, da velja d(an, q) <

ε2

, ko n > n0. Cem,n > n0, velja

d(an, am) ≤ d(an, q) + d(am, q)

<ε

2+ε

2= ε.

Torej je (an) res Cauchyjevo zaporedje. �

Definicija 3.7. Metricni prostor je poln, ce je v njem vsako Cauchyjevo zapo-redje konvergentno.

Definicija 3.8. Napolnitev metricnega prostora M je poln metricni prostor M,ki vsebuje M kot gost podprostor.

Na racionalnih stevilih Q smo spoznali tri razlicne absolutne vrednosti, in sicerobicajno ali neskoncno absolutna vrednost, trivialno absolutno vrednost in p-adicnoabsolutno vrednost. Metricni prostor (Q, | |0) s trivialno metriko | |0 je poln metricniprostor, saj je zaporedje v njem Cauchyjevo natanko tedaj, ko je od nekega clenadalje konstantno. Metricna prostora (Q, | |∞) in (Q, | |p) z obicajno metriko | |∞oziroma s p-adicno metriko | |p pa nista polna metricna prostora [8, 9]. Izkazese, da je napolnitev metricnega prostora racionalnih stevil Q pri obicajni metrikimetricni prostor realnih stevil R z obicajno metriko, napolnitev metricnega prostora

11

racionalnih stevil Q, pri p-adicni metriki pa je tako imenovan metricni prostor p-adicnih stevil, ki ga oznacimo s Qp. p−adicna stevila bomo spoznali v nadaljevanjutega poglavja.

Definicija 3.9. Naj bo S mnozica. Relacijo med pari elementov mnozice Simenujemo ekvivalencna, ce zadosca naslednjim pogojem:

(1) za vsak s ∈ S, je s v relaciji s s (refleksivnost)(2) za vsak s, t ∈ S velja, ce je s v relaciji s t, je tudi t v relaciji s s (simetricnost)(3) za vsak s, t, r ∈ S velja, ce je s v relaciji s t in t v relaciji z r, je s v relaciji

z r (tranzitivnost)

Definicija 3.10. Naj bo S mnozica z ekvivalencno relacijo na parih elementov.Za s ∈ S oznacimo s [s] mnozico vseh elementov iz S, ki so v relaciji s s. Takomnozico [s] imenujemo ekvivalencni razred elementa s.

Trditev 3.11. Naj bo S mnozica z ekvivalencno relacijo na parih elementov.Za vsak s, t ∈ S velja ali [s] = [t] ali pa sta [s] in [t] disjunktna.

Dokaz. Naj bosta s, t ∈ S poljubna dva elementa. Recimo, da je nek elementr v relaciji s s in tudi v relaciji s t, torej se r nahaja v obeh ekvivalencnih razredih[s] in [t]. Naj bo sedaj a ∈ [s] nek element. Ker je a v relaciji s s in s v relaciji zr, je torej a v relaciji z r (tranzitivnost). Ker pa je r v relaciji s t, je torej a tudi vrelaciji s t (tranzitivnost). To pomeni, da a ∈ [t] in zato [s] ⊆ [t].Naj bo sedaj b nek element iz [t], torej je b v relaciji s t. Ker je t v relaciji z r(simetricnost), je tudi b v relaciji z r (tranzitivnost). r pa je tudi v relaciji s s, zatoje tudi b v relaciji s s (tranzitivnost), kar pomeni, da b ∈ [s] in zato [t] ⊆ [s].S tem smo dokazali, da [t] = [s] oziroma da sta ekvivalencna razreda enaka, cimimata en skupen element. ([6]) �

Kot smo videli v primeru iz uvodnega dela tega poglavja, se lahko zgodi, da vecrazlicnih Cauchyjevih zaporedij konvergira k istemu stevilu, z drugimi besedami,vec razlicnih Cauchyjevih zaporedij ima enako limito. To pa bi pomenilo, da jeisto stevilo predstavljeno z razlicnimi Cauchyjevimi zaporedji. Naslednja definicija,povzeta po [2], ta problem resi.

Definicija 3.12. Dve Cauchyjevi zaporedji (sn) in (tn) v metricnem prostoru(M,d) sta ekvivalentni natanko tedaj, ko velja, da d(sn, tn) konvergira k 0. Zapisemo(sn) ∼ (tn).

Povedano drugace, dve Cauchyjevi zaporedji sta ekvivalentni, ce imata potenci-alno enako limito.

Preveriti moramo samo se, ali je relacija res ekvivalencna oziroma ali je re-fleksivna, simetricna in tranzitivna:

• refleksivnost: d(sn, sn) = 0, torej zaporedje z vsemi cleni enakimi 0 reskonvergira k 0. To pomeni, da je (sn) v relaciji z (sn).• simetricnost: recimo, da je (sn) v relaciji s (tn), torej d(sn, tn) → 0. Ker

je d(sn, tn) = d(tn, sn), tudi d(tn, sn) → 0, kar pomeni, da je tudi (tn) vrelaciji s (sn).• tranzitivnost: naj bo (sn) v relaciji s (tn) in (tn) v relaciji z (un), torejd(sn, tn) → 0 in d(tn, un) → 0. Izberimo poljubno majhen ε > 0. Potemobstajata N in N ′, tako da za ∀ n > N velja d(sn, tn) < ε

2in za ∀ n > N ′

12

velja d(tn, un) < ε2. Dokler je n vecji od obeh, N in N ′, velja

d(sn, un) ≤ d(sn, tn) + d(tn, un)

<ε

2+ε

2= ε.

Naj bo L = max{N,M}. Tako lahko pri izbranem ε > 0 vedno izberemoL, da za n > L velja d(sn, un) < ε. To pa pomeni, da d(sn, un)→ 0 oz. daje (sn) v relaciji z (un).

Torej je relacija res ekvivalencna. ([6])

Sedaj lahko mnozico M predstavimo s Cauchyjevimi zaporedji.

Definicija 3.13. Naj bo (M,d) metricni prostor. Naj C oznacuje mnozico vseh

Cauchyjevih zaporedij v (M,d). Mnozica M je definirana kot mnozica ekvivalencnihrazredov Cauchyjevih zaporedij, povedano drugace

M = {S ⊂ C : ∃ (sn) ∈ C, tako da S = {(tn) ∈ C : (tn) ∼ (sn)}}.Za (sn) ∈ C definiramo ekvivalencni razred [sn] = {(tn) ∈ C : (tn) ∼ (sn)}. ([2])

V mnozico M uvedemo metriko tako, da razdaljo ekvivalencnega razreda za-poredja (sn) in ekvivalencnega razreda zaporedja (tn) definiramo kot lim d(sn, tn),torej

d([sn], [tn]) = limn→∞

d(sn, tn).

Seveda bi bilo potrebno dokazati, da ta predpis resnicno definira metriko na M ,torej preveriti aksiome metrike. Dokaz lahko najdemo v [9].

Izrek 3.14. (M, d) je napolnitev metricnega prostora (M,d).

Izreka tu ne bomo dokazali. Preveriti bi bilo potrebno, da je metricni prostor

(M, d) poln in je (M,d) v njem gost podprostor. Zahtevnejsi bralec si lahko dokazprebere v [9].

Opomba 3.15. Na enak nacin kot smo definirali mnozico M , bi lahko uvedli re-alna stevila R. Tako bi realna stevila R vpeljali se na podlagi ekvivalencnih razredovCauchyjevih zaporedij. Seveda bi morali definicijo Cauhyjevih zaporedij nekolikomodificirati, saj definicija, ki smo jo podali tu, ze predpostavlja, da imamo realnastevila. Bolj natancno, ε iz definicije je po predpostavki poljubno pozitivno realnostevilo. Ce bi predpostavili, da je ε > 0 poljubno racionalno stevilo, je ves postopekenak. V tem primeru govorimo o tako imenovanih Q-Cauchyjevih zaporedjih.

3.3. Napolnitev normiranih polj

Naj bo sedaj F poljubno polje z normo | |, torej metriko definiramo kot d(x, y) =|x − y| za ∀ x, y ∈ F. Napolnitev metricnega prostora F je po prejsnjem poglavju

metricni prostor F. Ker je F polje, se tudi na napolnitev F prenesejo racunskeoperacije.

V nadaljevanju si bomo pogledali, kaj pomeni sestevanje in mnozenje na prostoruekvivalencnih razredov Cauchyjevih zaporedij.

Operacije definiramo na naslednji nacin:

13

• SESTEVANJE:

Definicija 3.16. Vsota dveh ekvivalencnih razredov [sn] in [tn] je definiranakot ekvivalencni razred [sn + tn], ki je Cauchyjevo zaporedje.

Naj bo s′n ∈ [sn] in t′n ∈ [tn]. Potem velja

|(sn + tn)− (s′n + t′n)| = |(sn − s′n) + (tn − t′n)| → 0.

To pomeni, da (sn + tn) ∼ (s′n + t′n) in da je vsota ekvivalencnih razredov dobrodefinirana.

• MNOZENJE:

Definicija 3.17. Produkt dveh ekvivalencnih razredov [sn] in [tn] je definirankot [sn] · [tn] = [sn · tn].

Naj bo [sn] = [s′n] in [tn] = [t′n]. Pokazati zelimo, da (sn · tn) ∼ (s′n · t′n) oz.|(sn · tn) − (s′n · t′n)| → 0. Pri tem bomo uporabili dejstvo, da so Cauchyjevazaporedja omejena.

|(sn · tn)− (s′n · t′n)| = |(sn · tn) + (tn · s′n − tn · s′n)− (s′n · t′n)|= |(sn · tn − tn · s′n) + (tn · s′n − s′n · t′n)|≤ |(sn · tn − tn · s′n)|+ |(tn · s′n − s′n · t′n)|= |tn · (sn − s′n)|+ |s′n · (tn − t′n)|= |tn| · |sn − s′n|+ |s′n| · |tn − t′n|

Ker so Cauchyjeva zaporedja omejena, obstajata taka M in L, da velja |tn| ≤ Min |s′n| ≤ L za ∀ n. Naj bo R vecji od obeh, M in L, npr. R = M + L. Dobimo

|(sn · tn)− (s′n · t′n)| ≤ |tn| · |sn − s′n|+ |s′n| · |tn − t′n|≤ R(|sn − s′n|+ |tn − t′n|)

Ker |sn − s′n| → 0 in |tn − t′n| → 0, tudi |(sn · tn) − (s′n · t′n)| → 0, torej(sn · tn) ∼ (s′n · t′n).

Pogledali si bomo se, kako sta v zaporedjih definirani 0 in 1 ter kaj je nasprotniin inverzni element. Ekvivalencni razred Cauchyjevega zaporedja (1) = 1, 1, 1, 1, . . .

nam v F predstavlja element 1. Podobno nam ekvivalencni razred zaporedja (0) =0, 0, 0, 0, . . . predstavlja 0.Nasprotni element ekvivalencnega razreda Cauchyjevega zaporedja (an) predstavljaekvivalencni razred zaporedja (−an). Pri inverznem elementu pa moramo biti malobolj pazljivi. Naj bo (an) Cauchyjevo zaporedje, ki predstavlja nenicelni element

v F. Torej obstaja n0, da za n ≥ n0 velja an 6= 0 in lahko zapisemo zaporedje1/an0 , 1/an0+1, 1/an0+2, . . . To zaporedje je Cauchyjevo, in njegov ekvivalencni razredpredstavlja inverzni element ekvivalencnega razreda zaporedja (an). Seveda moramopovsod preveriti, da gre za dobro definiranost na nivoju ekvivalencnih razredov.Bralec si lahko to prebere v [9].

Opomba 3.18. Za racionalna stevila Q veljajo aksiomi za sestevanje, mnozenjeter aksiomi urejenosti, ki se prenesejo tudi na realna stevila R. Za realna stevila Rtako velja vseh 15 lastnosti oziroma aksiomov, ki veljajo za polje (linearno urejen

14

komutativni obseg)[8]. Ker pa ti aksiomi veljajo tako za racionalna stevila Q, ki solinearno urejen komutativni obseg, kot za realna stevila R, slednjih na podlagi tehlastnosti ne moremo lociti od racionalnih stevil Q. Torej morajo imeti realna stevilaR se kaksno lastnost, ki je racionalna stevila Q nimajo. Aksiom, ki velja samo zarealna stevila R, za racionalna stevila Q pa ne, je Dedekindov aksiom, ki pravi, daima vsaka neprazna navzgor omejena mnozica natancno zgornjo mejo. Izkaze se,da je ta aksiom dovolj za vpeljavo realnih stevil R in je pravzaprav v tem primeruekvivalenten polnosti.Lahko bi dokazali, da ekvivalencni razredi Q-Cauchyjevih zaporedij v (Q, | |∞) iz-polnjujejo vse zgoraj omenjene aksiome, ki veljajo za komutativni obseg, aksiomeurejenosti in tudi Dedekindov aksiom, a bomo dokaze izpustili. Urejenost na Q-Cauchyjevih zaporedjih definiramo s predpisom: [sn] � [tn] natanko tedaj, ko ob-staja tak n0, da velja sn ≥ tn za vsak n ≥ n0. Ker za realna stevila R velja vsepravkar nasteto, pomeni, da je definicija realnih stevil R s pomocjo Q−Cauchyjevihzaporedij oziroma preko metricne napolnitve racionalnih stevil Q dobra.

3.4. Vpeljava p-adicnih stevil Qp

Kot smo ze omenili, metricna prostora (Q, | |∞) in (Q, | |p) nista polna metricnaprostora. Napolnitev metricnega prostora (Q, | |∞) so realna stevila R, napolnitevmetricnega prostora racionalnih stevil Q s p-adicno metriko pa so tako imenovanap-adicna stevila Qp, ki jih bomo spoznali v nadaljevanju.

Realna stevila R lahko vpeljemo z metricno napolnitvijo racionalnih stevil Q,pri cemer polje Q opremimo z obicajno absolutno vrednostjo | |∞. Podobno bomovpeljali tudi p-adicna stevila Qp, pri cemer se bomo naslonili na [7]. V tem primerubomo polje Q opremili s p-adicno normo | |p.

Definicija 3.19. Naj bo p prastevilo. p-adicna stevila Qp so polno normiranopolje, ki ga dobimo z metricno napolnitvijo normiranega polja (Q, | |p).

Napolnitev metricnega prostora racionalnih stevil Q pri p-adicni metriki je torejmetricni prostor p-adicnih stevil, ki ga dobimo kot mnozico ekvivalencnih razredovCauchyjevih zaporedij:

Qp = {S ⊂ Cp : ∃ (sn) ∈ Cp, tako da S = {(tn) ∈ Cp : (tn) ∼ (sn)}}.

Tako kot v realnih stevilih R, je tudi v metricnem prostoru p-adicnih stevil Qp

sestevanje definirano kot

[sn] + [tn] = [sn + tn],

mnozenje pa kot

[sn] · [tn] = [sn · tn].

Kot smo ze zapisali v prejsnjem razdelku, se vsi aksiomi polja, ki veljajo zaracionalna stevila Q, prenesejo na p-adicna stevila. Aksiomi urejenosti, ki se iz raci-onalnih stevil Q prenesejo na realna stevila R, pa za p-adicna stevila Qp ne veljajo.Znano je, da p-adicna stevila niso linearno urejeno polje. Posledicno v metricnemprostoru p-adicnih stevil Qp ne moremo govoriti o Dedekindovem aksiomu, ki veljaza realna stevila R, namesto tega pa imamo seveda polnost.

Racionalna stevila Q se, enako kot pri realnih stevilih R, vlozijo v mnozico Qp.Vsako stevilo x ∈ Q lahko namrec zapisemo kot (x) ∈ Cp (konstantno Cauchyjevo

15

zaporedje) in dobimo ustrezno vlozitev Q ↪→ Qp. Preostane nam le se to, da p-adicno absolutno vrednost | · |p razsirimo v mnozico p-adicnih stevil Qp. Kako tostorimo, smo ze videli.

Zaporedje {an}∞n=1 racionalnih stevilih Q, opremljenih s p-adicno absolutno vred-nostjo | |p, je Cauchyjevo, ce za vsak ε > 0 obstaja tak n0 ∈ N, da je |an − am|p < εza vsaka m,n ≥ n0. V primeru p-adicne norme, oziroma vsake nearhimedske norme,je Cauchyjev pogoj se bolj preprost.

Lema 3.20. Zaporedje (an) racionalnih stevil je Cauchyjevo z upostevanjem ne-arhimedske absolutne vrednosti | · |, ce in samo ce velja

limn→∞|xn+1 − xn| = 0.

Dokaz. Ce m = n+ r > n, dobimo

|xm − xn| = |xn+r − xn+r−1 + xn+r−1 − xn+r−2 + · · ·+ xn+1 − xn|≤ max{|xn+r − xn+r−1|, |xn+r−1 − xn+r−2|, . . . , |xn+1 − xn|},

saj je absolutna vrednost nearhimedska. Rezultat takoj sledi. ([5]) �

3.5. Zapis p-adicnih stevil

V tem razdelku si bomo pogledali, kako lahko na podoben nacin kot zapisujemorealna stevila R, zapisemo tudi p-adicna stevila Qp. Povzemali smo po [1] in [4].

Poglejmo si najprej, kako je definirana podmnozica p-adicnih celih stevil mnozicep-adicnih stevil Qp ter se nekaj lastnosti, ki veljajo za p-adicna (cela) stevila.

Definicija 3.21. Mnozico celih p-adicnih stevil oznacimo z Zp, definiramo pajo kot

Zp = {x ∈ Qp : |x|p ≤ 1}.

Navedli bomo najprej naslednjo lemo.

Lema 3.22. Naj bo F polje z nearhimedsko normo | |. Predpostavimo, da je (an)Cauchyjevo zaporedje in da za b ∈ R velja

b 6= limn→∞

an.

Potem obstaja tak M , da za ∀ m,n > M velja

|am − b| = |an − b|,

torej postane zaporedje realnih stevil (|an − b|) scasoma konstantno. Ce zaporedje(an) ni nicelno, potem zaporedje (|an|) postane scasoma konstantno.

Dokaz. Zapomniti si moramo, da ||am − b| − |an − b||∞ ≤ |am − an|, torej je(|an − b|) Cauchyjevo v R. Naj bo l = limn→∞|an − b|, kjer je l > 0. Torej obstajaM1, tako da n > M1 implicira

|an − b| >l

2.

Obstaja tudi M2 tako da m,n > M2 implicira

|am − an| <l

2,

16

ker je (an) Cauchyjevo. Sedaj dolocimo M = max{M1,M2} in upostevamo m,n >M . Potem

|am − b| = |(an − b) + (am − an)|= max{|an − b|, |am − an|}= |an − b|,

ker |an − b| > l2

in |am − an| < l2. �

Trditev 3.23. Vsak x ∈ Zp je limita zaporedja nenegativnih celih stevil inobratno, vsako Cauchyjevo zaporedje iz Q, katerega cleni so cela stevila, ima limitov Zp.

Dokaz. Naj bosta α, β ∈ Zp. Potem velja

|α + β|p ≤ max{|α|p, |β|p} ≤ 1

in zato α + β ∈ Zp. Podobno je αβ ∈ Zp po tocki (d) iz definicije o absolutnivrednosti.

Iz definicije o p-adicnih stevilih Qp vemo, da ce je α ∈ Zp, lahko zapisemoα = {an}, kjer je an ∈ Q in je (an) Cauchyjevo zaporedje. Po Lemi 3.22. vemo,da ce je n > M za nek M , potem je |an|p = c za neko konstanto c ∈ Q. Potem je|α|p = c in torej c ≤ 1. Brez skode za splosnost lahko privzamemo, da je |an|p ≤ 1za ∀ n. Zapisimo sedaj an = rn

sn, kjer rn, sn ∈ Z in rn, sn 6= 0. Predpostavimo lahko

sn 6≡p 0, saj je redprn − redpsn ≥ 0. To pa pomeni, da lahko za vsak m resimoenacbo snx ≡pm 1 v Z. Naj torej unm ∈ Z zadosca snunm ≡pm 1. Predpostavimolahko tudi, da 1 ≤ unm ≤ pm − 1. Torej za vsak m velja

|snunm − 1|p ≤1

pm

in ∣∣∣∣rnsn − rnunm∣∣∣∣p

=

∣∣∣∣rn(1− snunm)

sn

∣∣∣∣p

≤ 1

pm.

Za vsak m obstaja km, da velja

|α− akm|p <1

pm,

zato

|α− rkmukm(m+1)|p = |(α− akm) + (akm − rkmukm(m+1))|p≤ max{|α− akm|p, |akm − rkmukm(m+1)|p}

<1

pm.

Ker je

lim(p)n→∞(α− rknukn(n+1)) = 0,

je α limita nenegativnih celih stevil, kot smo zahtevali. �

Trditev 3.24. Za dan x ∈ Zp obstaja celo stevilo y ∈ [0, pn − 1], tako da velja|x− y|p ≤ p−n za ∀ n ∈ Z.

17

Dokaz. Naj bo x ∈ Zp. V prejsnji lemi smo pokazali, da za vsak n obstaja takocelo stevilo αn, da velja

|x− αn|p ≤1

pn.

Pokazati moramo le se, da lahko izberemo 0 ≤ αn ≤ pn−1. Naj bo 0 ≤ α′n ≤ pn−1tak, da je α′n ≡ αn po modulu pn. Potem je

|x− α′n|p = |x− αn + αn − α′n + |p ≤1

pn.

�

Izrek 3.25. Naj bo x ∈ Zp. Poiscemo lahko enolicno predstavitev x s Cauchy-jevim zaporedjem celih stevil (xn), ki zadosca naslednjima pogojema:

(1) 0 ≤ xn ≤ pn − 1, za n = 1, 2, . . .(2) xn+1 ≡ xn(mod pn) za n = 1, 2, . . . .

Dokaz. Najprej pokazimo, da mora biti vsako tako zaporedje enolicno doloceno.Predpostavimo nasprotno. Potem obstajata dve razlicni Cauchyjevi zaporedji {ai}in {bi}, ki zadoscata zgornjim pogojem. Torej obstaja tak j, da je aj 6= bj in tudiaj 6≡ bj(mod pj), ker sta oba aj in bj manjsa od pj. Za dan k ≥ j po drugi lastnostivelja

ak ≡ aj 6≡ bj ≡ bk(mod pj).

Potem je

limn→∞

an 6= limn→∞

bn

in

|an − bn|p > pj, ∀ n ∈ N.Zato zaporedje {an} ne more biti ekvivalentno zaporedju {bn}.

Pokazimo se obstoj zaporedja. Iz Trditve 3.24 obstaja zaporedje celih stevil{xn}, za katerega velja lastnost (1), in

|xn − x|p ≤1

pn.

Ker je

|xn+1 − xn|p = |xn+1 − x+ x− xn|p ≤ max{|xn+1 − x|p, |x− xn|p} ≤1

pn,

je

xn+1 ≡ xn(mod pn).

�

Kot posledico dobimo naslednjo predstavitev p-adicnih stevil

Izrek 3.26. Vsako p-adicno stevilo α ∈ Qp ima enolicno p-adicno razsiritev

α = α−rp−r + α1−rp

1−r + α2−rp2−r + · · ·+ α−1p

−1 + α0 + α1p+ α2p2 + · · ·

kjer je αn ∈ Z in 0 ≤ αn ≤ (p− 1). Poleg tega velja α ∈ Zp, ce in samo ce α−r = 0,ko je r > 0.

18

Dokaz. Naj bo najprej |α|p ≤ 1. Naj bo {xn} zaporedje, ki smo ga skonstruiraliv prejsnjem izreku. Iz lastnosti (1) in (2) iz prejsnjega izreka ter enolicnosti sledi,da obstaja enolicno zaporedje stevil a0, a1, a2, . . ., 0 ≤ ai ≤ p− 1, da velja

xn = a0 + a1p+ a2p2 + · · ·+ anp

n.

Konvergentno zaporedje {xn} je ravno zaporedje delnih vsot vrste

a0 + a1p+ a2p2 + · · ·+ anp

n + · · · .Naj bo sedaj |αp|p = pk, kjer je p > 0. Potem je pkα ∈ Zp. Torej je

pkα = b0 + b1p+ b2p2 + · · ·

in zato

α =b0pk

+b1pk−1

+b2pk−2

+ · · · .

�

Torej lahko ∀ α ∈ Qp enolicno zapisemo v p-adicni razsiritvi kot

α = α−rp−r + α1−rp

1−r + α2−rp2−r + · · ·+ α−1p

−1 + α0 + α1p+ α2p2 + · · · .

kjer velja 0 ≤ ai ≤ (p−1). Rezultat je analogen decimalnemu zapisu realnih stevil R,le da pri njih zapis ni nujno enolicen. Enostaven primer, ki to ponazori je naslednji

0.99999 . . . = 1.00000 . . . = 1.

Sedaj pa si poglejmo se primer uporabe p-adicnih stevil. Izracunajmo naslednjovsoto:

(3−1 + 2 + 2 · 3 + 0 · 32 + 2 · 33 + · · · ) + (2 · 3−2 + 0 · 3−1 + 1 + 2 · 3 + 1 · 32 + 1 · 33 + · · · ).Opazimo, da je p = 3. Zacnemo na levi strani in se pomikamo proti desni. Najprejzapisemo odgovor v obliki

α = a−23−2 + a−13

−1 + a0 + a13 + a232 + ...

Dolociti moramo se vrednosti koeficientov ai. To storimo tako, da v zgornji vsotisestejemo vrednosti koeficientov pred ustreznimi 3i v bazi p = 3, razultatu pristejemozmnozek, kjer je prvi faktor enak kolicniku vsote vseh koeficientov v zacetni vsotipred ustreznim 3i in prastevila p, drugi faktor pa je prastevilo p. Tako dobimo:

• a−2 : 0 + 2 = 2, 2 + 0 · 3 ≡3 2, torej je a−2 = 2• a−1 : 1 + 0 = 1, 1 + 0 · 3 ≡3 1, torej je a−1 = 1• a0 : 2 + 1 = 0, 0 + 1 · 3 ≡3 0, torej je a0 = 0• a1 : 2 + 2 + 1 = 2, 2 + 1 · 3 ≡3 2, torej je a1 = 2 (tu se 1 prenese iz clena, ki

vsebuje 30)• a2 : 0 + 1 + 1 = 2, 2 + 0 · 3 ≡3 2, torej je a2 = 2 (1 se prenese iz clena, ki

vsebuje 31)• a3 : 2 + 1 = 0, 0 + 1 · 3 ≡3 0, torej je a3 = 0• . . .

Torej dobimo vsoto v okviru 3-adicne norme enako

α = 2 · 3−2 + 1 · 3−1 + 0 + 2 · 3 + 2 · 32 + 0 · 33 + · · ·

19

Literatura

[1] Baker, A. An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis.Dostopno prek: www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf (20.8.2014).

[2] Dahl, J. 104 - Construction of R via Q-Cauchy sequences.Dostopno prek: math.berkeley.edu/~jdahl/104/104QCauchy (20.8.2014).

[3] Drinovec Drnovsek, B. (2009). Uvod v svet p-adicnih stevil, V: Strle (ur.), Obzornik za mate-matiko in fiziko, Ljubljana: DMFA-zaloznistvo, str. 161-171

[4] Dunne, E. The p-adic Numbers.Dostopno prek: http://www.maths.tcd.ie/~eishkimo/Notes/ANT2.pdf (20.8.2014)

[5] Gouvea, Fernando Q. (1993). p-adic numbers: an introduction.[6] Kemp, T. Cauchy’s construction of R.

Dostopno prek: www.math.ucsd.edu/~tkemp/140A/Construction.of.R.pdf (20.8.2014)[7] Preszler, J. Introduction to p-adic Numbers.

Dostopno prek: http://www.math.utah.edu/~preszler/research/Qp.pdf (20.8.2014)[8] Slapar, M. (2012). Zapiski predavanj iz osnov matematicne analize. Ljubljana: Narodna uni-

verzitetna knjiznica.Dostopno prek: http://hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/OMA.pdf (20.8.2014).

[9] Vrabec, J. (1990). Metricni prostori. Ljubljana: Drustvo matematikov, fizikov in astronomovSlovenije.

20