Univerza v Ljubljani – FS & FKKTlab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_OTV/VvS_10... ·...
Transcript of Univerza v Ljubljani – FS & FKKTlab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_OTV/VvS_10... ·...
Univerza v Ljubljani – FS & FKKT
Varnost v strojništvu
doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.
Govorilne ure:
• pisarna: FS - 414
• telefon: 01/4771-414
• [email protected], (Tema/Subject: VDPN - ...)
Prosojnice izdelane po viru: ###
Uvod
Trdnost se ukvarja z odpornostjo nosilnih elementov proti
zunanjim obremenitvam.
Zunanje obremenitve v nosilnih elementih povzročajo
notranje obremenitve (notranje sile in momente), te pa
napetosti v nosilnih elementih in deformacije nosilnih
elementov.
Govorimo o napetostno deformacijskih stanjih nosilcev.
Pri trdnosti predpostavka, da je posamezni nosilni element
togo telo, ni več primerna.
Hookov zakonOzna-
ka
To-
čka
Opis
σprp
σel
σpl
σm
σptg
σ – ε diagram za jekla
Modul elastičnosti je definiran za začetni – elastični oz.
proporcionalni del σ-ε diagrama.
Predstavlja nagib premice v σ - ε diagramu.
.... elastični modul (enota: N/mm2 = MPa)
Vidimo, da ima E res vlogo smernega koeficienta premice k.
Za vsa ogljikova konstrukcijska jekla je elastični modul zelo blizu
vrednosti, podani v standardu: E = 206000 N/mm2.
(V nekaterih standardih je navedena vrednost E = 210000 N/mm2.)
Hookov zakon
Gornja definicija pravzaprav določa tudi Hookov zakon, ki ga
zapišemo v obliki enačbe premice: (y = k ⋅ x)
• Telo, ki ga obremenjujejo zunanje sile, je v stanju napetosti.
• Pod vplivom zunanjih sil se deformira (oblika in prostornina).
• Molekule v telesu se premikajo - zavzeti hočejo tak položaj, da
obdrže ravnotežje med zunanjimi in notranjim odporom -
napetostjo.
• Vrsta deformacij (sprememba oblike ali volumna ali oboje) je
odvisno od vrste napetosti, ta pa od vrste zunanje obremenitve in
oblike nosilnega elementa.
• S pomočjo statike se določi notranje sile in momente v telesu –
nosilcu, ki jih povzročajo zunanje obremenitve – sile in
momenti.
Napetosti in deformacija
Sile so lahko:
• aksialne - osne (delujejo v osi telesa),
• transverzalne - prečne (so pravokotne na os) in
• poševne.
Momenti so lahko točkovni ali pa jih povzročajo dvojice sil.
Delovanju notranjih sil in momentov se gradivo upira preko
napetosti. Glede na vrsto in smer notranje obremenitve se pojavijo
različne napetosti. Ločimo pet osnovnih vrst napetosti:
1. aksialna napetost,
2. strižna napetost,
3. upogibna napetost,
4. vzvojna ali torzijska napetost,
5. uklonsko napetostno stanje.
Napetosti in deformacija
a) natezna - sila telo razteguje. Upor, ki ga nudi
telo, se imenuje natezna napetost;
b) tlačna - sila telo tlači in povzroča tlačno
napetost. (Če je dolžina telesa v primerjavi s
prečno dimenzijo prereza prevelika, se zaradi
tlačne sile pojavi uklon.)
Aksialna (normalna) napetost
Sila F, ki deluje v smeri osi palice povzroči nastanek notranje
osne sile v nosilcu, ta pa reakcijo gradiva nosilca – aksialno
napetost. Ta napetost je lahko:
Zaradi deformacije telesa pri aksialni obremenitvi nastane
sprememba oblike in volumna telesa. Dolžina palice se poveča ali
zmanjša, sprememba prečnih dimenzij pa nastane zaradi zožitve
oziroma razširitve.
Aksialna (normalna) napetost
• Strižno napetost povzroči sila, ki deluje transverzalno –
prečno - pravokotno na os telesa. Ta sila skuša telo po preseku
A prerezati. Take obremenitve povzročajo notranje prečne
sile.
• Odpor telesa proti zunanji obremenitvi imenujemo strižna
(tangencialna) napetost.
Strižna (tangencialna) napetost
• Deformacija nastopi v
spremembi oblike,
volumen pa ostane
nespremenjen, ker se
dolžina ni spremenila.
• Upogib povzroči sila, ki ima komponento, pravokotno na os
nosilca, različno od nič. Na skici sta to obe sili (F1 in F2).
• Sila skuša telo upogniti. Iz statike vemo, da take obremenitve
povzročajo notranji upogibni moment. Pravimo, da je telo
obremenjeno na upogib.
• Odpor telesa proti takim obremenitvam imenujemo upogibna
napetost.
Upogibna napetost
Deformacija telesa nastopi v obliki skrčka oziroma raztezka
posameznih vlaken nosilca in v spremembi oblike - vlakna se
ukrivijo.
Razpored napetosti in deformacij si bomo pogledali kasneje.
Upogibna napetost
Torzija ali vzvoj nastane, kadar je nosilec obremenjen z
notranjim momentom, ki je usmerjen vzdolž njegove osi.
Torzija je običajna obremenitev za gredi, pojavlja pa se tudi pri
drugih nosilnih elementih.
Torzijska (vzvojna) napetost
• Primer: gred je na prostem koncu obremenjena z dvojico sil, ki
deluje v ravnini, pravokotni na vzdolžno os gredi.
• Pojavi se torzijski moment Mt=F⋅a, ki suka prosti konec gredi
za določen kot.
• Odpor, ki v telesu nastopi, imenujemo torzijska napetost.
Torzijska (vzvojna) napetost
• Uklon nastopa pri telesih, ki so obremenjena s
tlačno osno silo in je njihova prosta dolžina
proti prečni dimenziji zelo velika. To lastnost
imenujemo vitkost palice
• Osnovno napetostno stanje pri uklonu je torej
tlak, vendar se telo pod vplivom sile ne zruši
zaradi tlačne odpovedi gradiva, ker se prej
pojavi nestabilnost – telo se ukloni.
• Odpor telesa proti uklonu je torej v osnovi
tlačna napetost v prerezu. Mejna tlačna napetost,
pri kateri ravno še ne pride do uklona, se
imenuje kritična uklonska napetost.
Uklon (uklonsko napetostno stanje)
Poleg osnovnih vrst napetosti imamo še kombinirana
napetostna stanja, ki nastopajo pri takih obremenitvah
telesa, ki povzročajo več notranjih sil in momentov hkrati.
Značilne kombinacije so:
• nateg (tlak) in upogib,
• strig in vzvoj (torzija),
• nateg (tlak) in strig,
• upogib in torzija.
Možne so tudi druge kombinacije, tudi z večimi
kombiniranimi napetostmi.
Kombinirana napetostna stanja
Uporabimo enako metodo kot v statiki: Vzamemo namišljeni
prerez K-K. Desni del telesa (II) odstranimo. Pod vplivom
zunanjih sil je bilo telo v ravnotežju, zato je v ravnotežju tudi po
odstranitvi dela II. Vpliv dela II nadomestimo z notranjimi silami.
Napetost – notranja sila po prerezu
Razdelitve notranje sile po preseku K-
K, ne poznamo, vendar mora biti pri
pogojih ravnotežja:
FRn = FRz
Za jasno ponazoritev notranjih sil in
njihove jakosti, vpeljemo novo
količino, ki jo imenujemo napetost.
Osnovna enota za napetost je N/m2, kar je Pa. V gradbeništvu se
najpogosteje uporablja N/cm2, v strojništvu pa N/mm2 = MPa.
Napetost – notranja sila po prerezu
Po smeri delimo napetosti na:
1. normalne - označujemo jih s σ (sigma) in
2. tangencialne - označujemo jih s τ (tau).
Rezultanta notranjih sil, ki deluje
pravokotno na presek, povzroči v
materialu normalno napetost:
Napetost – notranja sila po prerezu
� ��������
Rezultanta notranjih sil, ki leži
v preseku samem, povzroča
tangencialno napetost:
� ������
Pri poševnem preseku se sila F, ki deluje na prerez A', lahko
razstavi v dve komponenti, v normalno in tangencialno. Zato
dobimo v preseku A'‚ normalne in tangencialne napetosti.
Napetosti v poševnem prerezu
� ����′
� ����′
�� ��
�
Dejansko napetost v preseku dobimo, če sestavimo napetosti σin τ na ustrezen način.
Iz trikotnika napetosti sledi analitično po Pitagoru :
Napetost – notranja sila po prerezu
Kasneje bomo videli, da ima strižna napetost na jeklo večje
negativne učinke od normalnih napetosti, zaradi česar se
zgornja enačba ustrezno modificira!
� � �� + ��
Poševni presek oklepa s horizontalo kot ϕ zato:
Napetost – notranja sila po prerezu
�� ��
�
Z zadnjima dvema enačbama se določi komponenti napetosti v
poševnem preseku, ko je znan kot ϕ in napetost σn.
Če se podrobneje opazuje ti dve enačbi:
Napetost – notranja sila po prerezu
se vidi:
• da je maksimalna normalna napetost v preseku, ki je
pravokoten na os (pri ϕ = 0, ker je cos 0 = 1),
• da je maksimalna tangencialna napetost v preseku, ki je pod
kotom ϕ = 450 (ker je sin 2ϕ = sin 900 = 1).
Spremembo komponent napetosti σ in τ se lahko ponazori
grafično z Mohrovim krogom napetosti:
Napetost – notranja sila po prerezu
�� ��
�
2ϕ
Služi za grafično (merilo sil)
določevanje napetosti v poljubnem
poševnem preseku, ki nastopita
zaradi aksialne obremenitve F.
Poleg tega služi za boljšo predstavo
odnosov med posameznimi
napetostmi in s tem za boljše
razumevanje tudi analitičnih
postopkov.
Normalna napetost v preseku, ki je pravokoten na os palice, je
60 MPa. Za določen poševni presek je τ = 26 MPa.
Določi lego poševnega preseka in normalno napetost v tem
preseku!
Rcšitev:
Analitično dobimo iz enačbe:
sledi, da je:
Primer
Poševni presek je proti normalnemu nagnjen za kot ϕ=30°. Normalno napetost v poševnem preseku dobimo po enačbi:
Primer
Aksialne napetosti –
natezna in tlačna trdnost
Aksialne napetosti so lahko natezne ali tlačne, v odvisnosti od
tega, ali zunanje obremenitve nosilec raztegujejo ali tlačijo.
V vsakem primeru govorimo o normalnih napetostih.
Poleg natega in tlaka, se normalne napetosti pojavijo tudi pri
nekaterih drugih načinih obremenjevanja, kot so npr.:
upogib, površinski pritisk, uklon.
DEFORMACIJE PRI AKSIALNI OBREMENITVI
Aksialne obremenitve
Palico natezno obremenjuje
aksialna sila F.
Zaradi te sile se palica deformira,
tako da se njena prvotna dolžina 1
poveča raztezek za ∆1.
Če palico t1ačimo, se njena dolžina
zmanjša za ∆1, ki je sedaj skrček.
Specifična deformacija je:ε �
∆�
� ; ��. 1
HOOKOV ZAKON
Aksialne obremenitve
Iz σ−ε diagrama vidimo, da do
meje proporcionalnosti krivulja leži
na premici - obstaja
proporcionalnost med napetostjo in
podaljškom. Ta odnos popisuje
Hook-ov zakon, ki pravi, da je
podaljšek premosorazmeren z
napetostjo. Matematično je to
enačba premice skozi izhodišče
koordinatnega sistema:
σ � � ∙ � ��
HOOKOV ZAKON - Kaj predstavlja modul elastičnosti?
Aksialne obremenitve
ε �∆��� 1�∆�= �
→ σ � �
Glede na to je modul elastičnosti namišljena napetost, ki
nastopi v materialu v trenutku, ko je raztezek 100 % in to pod
pogojem, da meja elastičnosti ni prekoračena.
Pri jeklu je E = 2,1⋅105 N/mm2, kar pomeni,
da bi potrebovali silo F = 2,1.105 MPa.
σ � � ∙ �
Kaj predstavlja modul elastičnosti lahko vidimo, če
predpostavimo, da je specifični raztezek enak 1:
Tedaj iz Hookovega zakona (pri ε = 1) sledi:
HOOKOV ZAKON – Izpeljava enačbe raztezka pri aksial. obr.
Aksialne obremenitve
ε �∆�� → ∆� �
�⋅�
�⋅�
Iz enačbe za raztezek vidimo, da je raztezek premosorazmeren
z F in 1 ter obratno sorazmeren z E in A. Torej je odvisen od
obremenitve, geometrične oblike palice in materiala (ker je E
za različne materiale različen).
Hookov zakon velja le za malo materialov. Med njimi je tudi
jeklo, ki je v strojništvu osnovni material. Za mnoge druge
materiale se ga lahko uporablja kot dovolj dober približek (siva
litina, bron, med beton)
� ��
�
→ �
�� �⋅
∆�
�
σ � � ∙ �