INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK

Impulsowe portfele inwestycyjne: modelowanie rynku,zabezpieczanie, optymalizacja

Jan Palczewski

Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiemprof. dr hab. Łukasza Stettnera

Warszawa, 12 kwietnia 2005

Prace nad rozprawą wspomagane były przez granty PBZ-KBN-016-P03-1999 i KBN-1-P03A-012-28.

Spis trésci

Wstęp 5

1 Modelowanie rynku za pomocą przepływów pieniężnych 9Rynek doskonały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ograniczenia na skład portfela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Proporcjonalne koszty transakcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Proporcjonalne koszty z ograniczeniami na zawartość portfela . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Arbitraż . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Lipschitzowskie deflatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Konstrukcja przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Dowód własnósci C i L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Warunkowa własnósć Lipschitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Ciągłe deflatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Dobry zbiór deflatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Wycena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Wycena arbitrażowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Cena zabezpieczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Modelowanie i wycena opcji amerykánskich 332.1 Model rynku amerykánskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Przeliczalny model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Rynek europejski vs. rynek amerykański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Wycena opcji amerykańskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Rynek rozszerzony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Brak kosztów transakcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Sterowanie impulsowe 513.1 Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Sterowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Równanie Bellmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Granica rozwiązán cząstkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Twierdzenie o punkcie stałym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

4 SPIS TREŚCI

4 Problem portfelowy z kosztami za transakcje 594.1 Wyniki wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Problem optymalizacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Ograniczona funkcjaF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Nieograniczona funkcjaF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Dyfuzja z ograniczonymi współczynnikami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Multiplikatywny proces cen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Wstęp

Począwszy od słynnego modelu Blacka-Scholesa w matematyce finansowej są powszechnie stosowa-ne strategie ciągłe, tzn. strategie inwestycyjne, które powodują zmianę portfela aktywów w każdymmomencie. Jest to dalekie uproszczenie, co pokazała praca Cvitanić’a, Shreve’a i Sonera [5], w którejudowodniono, że optymalną ceną zabezpieczenia opcji kupna na aktywo przy proporcjonalnych kosz-tach transakcji w modelu Blacka-Scholesa jest zakup tego aktywa w momencie wystawienia opcji,czyli zastosowanie strategii trywialnej. Remedium na to można szukać w modelach z czasem dyskret-nym. Kolejne transakcje są oddzielone od siebie o ustalony okres i znacznie lepiej oddają zachowanierzeczywistego rynku. Jednak liczba transakcji w ograniczonym okresie jest ograniczona z góry. Tejwady pozbawione jest podejście impulsowe, które tworzy niejako pomost pomiędzy modelami ciągły-mi i dyskretnymi. Tutaj rynek funkcjonuje w sposób ciągły, pozwalając na dokonanie transakcji w do-wolnym momencie. Inwestor działa impulsowo, jego decyzje transakcyjne tworzą zbiór izolowanychpunktów na osi czasu. W każdym ograniczonym okresie dochodzi do skończonej liczby działán narynku. Impulsowe strategie inwestycyjne są uogólnieniem strategii dyskretnych, pozbawionych wadtych ostatnich. Co więcej, wydaja się one bardzo dobrze pasować do tego, co obserwujemy w rzeczy-wistości. Niniejsza rozprawa poświęcona jest różnym aspektom strategii impulsowych, począwszy odbudowy modeli, przez wycenę instrumentów pochodnych, znajdowanie strategii zabezpieczających,aż do tzw. optymalizacji portfelowej.

W rozdziale 1 prezentuję nowatorski sposób modelowania rynku, zaproponowany w pracy Jouini,Napp [12]. O ile powszechnie dzieli się model na dwie części: model cen akcji i sposoby inwestowa-nia, czyli dostępne strategie inwestycyjne, to tutaj połączone jest to w jedno. Z każdą strategią inwe-stycyjną możemy związać strumienie pieniężne, skierowane od lub do inwestora. Te strumienie, zwa-ne przepływami, są tym, co w ostatecznym rozrachunku inwestora interesuje. Dlatego zapominamyo strategii i rynku, na którym inwestujemy, i pozostawiamy reprezentację pod postacią zbiorów prze-pływów. Przepływy te mają przypisane losowe momenty, w których następują. Ten zbiór przepływówi momentów ich wystąpienia dla ustalonej strategii inwestycyjnej nazywany jest możliwością inwe-stycyjną. Rzeczywistósć finansową opisujemy przez podanie wszystkich możliwości inwestycyjnychdostępnych dla inwestora. To podejście pozwala na ujęcie ogromnego bogactwa rynku, jednoczesnerozważanie wielu "niedoskonałości", jak koszty transakcji, ograniczenia na skład portfela, brak ra-chunku bankowego itp. Ponadto zbiór aktywów może zawierać obligacje z możliwóscią bankructwa,akcje płacące dywidendy i wiele innych.

Powyższe intuicje wymagają jeszcześcisłego, matematycznego sformalizowania: skonstruowaniaprzestrzeni, której elementami są możliwości inwestycyjne. Ponadto, w celu dalszych badań należyjeszcze wprowadzić pojęcie uczciwósci rynku, które w dużym stopniu zależy od wyboru przestrzeni.W pracy [12] Jouini i Napp konstruują model, w którym przepływy mogą zachodzić w momentachstopu o przeliczalnej liczbie wartości. Dowodzą następnie, że uczciwość rynku jest równoważna ist-nieniu deflatora dla rynku, analogu gęstości miary martyngałowej. Uogólnienie tych wyników naogólne momenty stopu, czyli dowolną strategię impulsową, miało miejsce w opublikowanej już pracy

5

6 WSTĘP

autora [21], (patrz podrozdział 1.3). Twierdzenie o równoważności uczciwósci rynku i istnieniu de-flatora zostało dowiedzione przy technicznym "warunku ruletki", analogicznym do tego w pracy [12].Bazując na pracy Jouini, Napp, Schachermayer [13] udaje się pozbyć tego warunku.

W istniejącej literaturze brakowało rozważań nad "poprawną" definicją uczciwości rynku, czylidefinicją, która jest spójna matematycznie i odpowiada intuicjom. W podrozdziale 1.2 podejmuję tentemat. Okazuje się, że modele prezentowane w pracach Jouini, Napp [12], Napp [20], Jouini, Napp,Schachermayer [13] mają poważne wady. Wynikiem tych rozważań jest powstanie dodatkowych mo-deli, zaprezentowanych w podrozdziałach 1.4 i 1.5.

Rozdział 1 kónczy się rozważaniami na temat wyceny instrumentów pochodnych i związku de-flatorów z tym zagadnieniem. Przedstawione rezultaty są podobne do tych z pracy Napp [20], leczdowody są krótsze i bardziej elementarne.

Rozdział 2 prezentuje tematykę całkowicie nową, nigdzie dotychczas w literaturze nie poruszaną.Zawiera materiały przeznaczone do publikacji w najbliższej przyszłości. Póswiecony jest zagadnieniuwyceny opcji amerykánskich w modelach podobnych do opisywanych powyżej. W powszechnympodej́sciu dana strategia zabezpiecza wypłatę amerykańską, jésli w każdym momencie stopu wartośćportfela jest nie mniejsza niż żądana wypłata. Modele z przepływami nie dają informacji o tym, jakajest wartósć portfela w danym momencie. Sprawdzenie wartości portfela jest równoważne z jegosprzedażą, likwidacją. Stąd konieczność skonstruowania modelu, który posiadając wszystkie zaletymodeli z przepływami, umożliwiałby rozważanie opcji amerykańskich.

Niech(A(t)

)t∈[0,T ], T > 0, opisuje wypłatę amerykańską. Na rynku Blacka-Scholesa cena zabez-

pieczenia takiej opcji jest równa

supτ∈S

{cena zabezpieczenia wypłaty europejskiejA(τ) o dacie zapadalności τ

},

gdzieS jest zbiorem momentów stopu o wartościach w[0,T ]. A zatem zabezpieczanie wypłaty ame-rykańskiej redukuje się do zabezpieczenia odpowiedniej wypłaty europejskiej, czyli dowolność mo-mentu wykonania nie powoduje wzrostu ceny. Podrozdział 2.3 poświęcony jest udowodnieniu, że po-dobna własnósć jest prawdziwa w skonstruowanym modelu, jeśli na rynku nie ma kosztów transakcji.A zatem ograniczenia na zawartość portfela, dywidendy i inne niedoskonałości rynku nie wpływa-ją na tą własnósć. Wskazuje to na szczególne znaczenie kosztów transakcji w modelowaniu rynkówfinansowych.

Dalsza czę́sć pracy póswięcona jest optymalizacji portfela papierów wartościowych przy wykorzy-staniu techniki sterowania impulsowego. W tą tematykę wprowadził mnie prof. Jerzy Zabczyk, które-mu należą się wyrazy najgłębszej wdzięczności. Owocem współpracy z prof. Zabczykiem jest praca[23]. Zainspirowała ona rozważania rozdziału 4, które składają się na pracę [22], napisaną wspólniez prof. Łukaszem Stettnerem.

Zagadnienia optymalizacji w finansach interesowały naukowców i praktyków od wielu lat. W 1952roku Harry Markowitz [18] rozwinął teorię statycznej optymalizacji, tzw. analizy portfelowej. Pojęciestatyczny odnosiło się do tego, że portfel inwestycji nie ulegał zmianie od początku inwestycji aż do jejkońca, ustalonego momentuT > 0. Celem było znalezienie w momencie zerowym takiego portfela,który spełniałby zadane kryterium optymalizacyjne bazujące na stopie zwrotu i ryzyku ponoszonymw okresie trwania inwestycji. W latach 1969-71 zagadnienie optymalizacji portfelowej doczekało sięwersji dynamicznej, tzn. takiej, gdy portfel może się zmieniać w każdym momencie w czasie inwe-stycji (patrz np. Merton [19]). Otworzyło to drogę do wielu interesujących zagadnień portfelowych.Uogólnieniem zadania Markowitza jest maksymalizacja oczekiwanej użyteczności wartósci portfelana kóncu okresu inwestycji. Użyteczność to inaczej miara zadowolenia z posiadanych dóbr. Innym

7

problemem, inspirowanym długoterminowymi działaniami inwestorów, jest szukanie strategii inwe-stowania i konsumowania, najlepszej w sensie uzyskanej użyteczności. Ogromną rolę odegrało tupodej́scie martyngałowe i tzw. metody dualne. Metody te przestają się sprawdzać, gdy dopúscimyistnienie kosztów transakcji. Szczególnych trudności przysparza struktura kosztów ze składnikiemstałym. Eliminuje ona strategie polegające na ciągłej poprawie portfela, gdyż koszty takiego postę-powania byłyby nieskónczone. Stąd odwołanie się do strategii o charakterze impulsowym. Easthami Hastings [10] prezentują zastosowanie metodologii impulsowego sterowania stochastycznego (patrzBensoussan, Lions [1]) do rozwiązania problemu optymalnego inwestowania i konsumpcji przy sta-łych i proporcjonalnych kosztach transakcji. Specyfiką optymalizacji w finansach jest to, że zwyklekoszty impulsów nie wchodzą bezpośrednio jako składnik w optymalizowanej wielkości, lecz są nie-jako schowane w strukturze dostępnych strategii inwestycyjnych. Przyczynia się to do znacznegoutrudnienia rozważanych zagadnień i często do niemożliwósci bezpósredniego zastosowania istnieją-cych twierdzén (patrz np. twierdzenie 4.10).

W rozdziale 4 przedstawiony jest problem optymalnego inwestowania w celu maksymalizacjiśred-niej użytecznósci portfela, a dokładniej

E∫ ∞

0e−αtF

(N(t),S(t)

)dt,

gdzieS(t) jest wielowymiarowym procesem cen,N(t) jest liczbą akcji każdego z papierów warto-ściowych w portfelu, czyli jego składem,α jest stopą dyskonta, zaś F jest funkcją mierzącą uży-tecznósć lub zadowolenie z portfela. Transakcje są obarczone kosztami o dość ogólnej formie, np.sumą kosztów proporcjonalnych i stałych. Ponadto zakładamy, że istnieje dodatkowy procesX(t),który jest obserwowany przez inwestora i reprezentuje zewnętrzne czynniki ekonomiczne. Czynnikite wpływają na dynamikę cen akcji, lecz same nie opisują kwotowań instrumentów, w które moż-na inwestowác. Mogą to býc wskaźniki inflacji, długu publicznego, bezrobocia, konsumpcji różnychdóbr, kwotowán niedostępnych instrumentów finansowych (np. obligacji stałokuponowych na ryn-ku międzybankowym) itp. Czynnikiem koniecznym, by stosować teorię sterowania impulsowego jestmarkowski charakter modelu.Żądamy więc, by proces

(S(t),X(t)

)był procesem Markowa. Widać

zatem, że procesX(t) odgrywa rolę znaczną, zwiększając możliwości modelowania cen akcji. Ponad-to, pozwala lepiej specyfikować w szczegółach i później kalibrować model do rynku. Dokładniejszerozważania na ten temat znajdują się w pracy Bieleckiego i Pliski [4].

Oryginalnósć rozdziału 4 polega na zastosowaniu technik punktu stałego i przestrzeni Banachado wykazania istnienia i formy strategii optymalnej wspomnianego problemu optymalizacyjnego dlaszerokiej klasy funkcji użytecznościF i struktury kosztów transakcji. Publikowane prace z dziedzinyoptymalizacji w finansach, takie jak Eastham, Hastings [10], Korn [16], Pliska [24], Bielecki, Pliska[4], stosowały techniki różniczkowe, które nie pozwalały na uzyskanie wyników w takiej ogólności.

Na podkréslenie zasługuje fakt, że uzyskane wyniki pokrywają przypadek nieograniczonej funkcjiF przy dósć słabych założeniach dotyczących modelu. Dowodem na to są podane w podrozdziale 4.5przykłady obejmujące większość pojawiających się w literaturze modeli.

Podziękowania.Chciałbym gorąco podziękować wszystkim, którzy przyczynili się do powstaniatej pracy. W szczególności składam podziękowania promotorowi prof. Łukaszowi Stettnerowi orazprof. Jerzemu Zabczykowi, którzy poświęcili mi wiele swojego czasu. Wiele zawdzięczam też prof.Tomaszowi Bojdeckiemu, którego wykłady rozbudziły we mnie zainteresowania probabilistyką. Niemoże tutaj także zabraknąć wyrazów wdzięcznósci do prof. E. Jouiniego i prof. W. Schacherma-yera za uwagi dotyczące pracy [21], które były impulsem do dużej części rozważán przedstawionychw rozdziale 1.

Rozdział 1

Modelowanie rynku za pomocąprzepływów pieniężnych

W modelowaniu rynków finansowych szeroko stosowane jest podejście, polegające na wzorowaniusię na funkcjonowaniu lub też postrzeganiu tego rynku przez inwestorów. Skupia się ono z jednejstrony na jak najlepszym oddaniu dynamiki cen akcji, zaś z drugiej – na okrésleniu dostępnych moż-liwości inwestycyjnych. Podział ten jest podyktowany spojrzeniem inwestora: widzi on rynek, przezktóry rozumie ewolucję cen akcji, i swoje możliwości inwestowania. Ta dwudzielność spojrzenia, taknaturalna, stwarza znaczne problemy, gdy chcemy rozważać koszty transakcji, ograniczenia na składportfela i inne tzw. niedoskonałości rynku. Co więcej, łączne rozważanie kilku niedoskonałości jestpraktycznie niemożliwe. Aby posunąć się do przodu, trzeba dokonać rewizji podstaw modelowania.Zamiast podziału na strategie i ceny akcji, dokonujemy ich połączenia. Wynik strategii inwestycyjnejopisywany jest przy pomocy przepływów pieniężnych. Jeśli kupimy jedną akcję za 5 PLN w mo-mencie 1, zás sprzedamy ją za 6 PLN w momencie 3, to z naszego punktu widzenia odbyły się dwaprzepływy pieniężne: jeden, ujemny, gdy płaciliśmy za akcję, drugi, dodatni, gdy ją sprzedaliśmy.Zanotujemy to w następujący sposób:

−5δ1 + 6δ3.

Podobnie, jésli(S(t)

)t∈R+ opisuje losową ewolucję cen akcji, to

−S(τ)δτ + S(σ)δσ,

gdzieτ ≤ σ są momentami stopu, reprezentuje przepływy pieniężne związane z zakupem jednej akcjiw momencieτ i jej sprzedażą w momencieσ. Dalsze przykłady to

−2S(1)δ1 + S(2)δ2 + 1AS(3)δ3 + 1AcS(4)δ4,

gdzieA jest zdarzeniem losowym, lub

θ(− S(τ)δτ + S(σ)δσ

),

gdzieθ jest zmienną losową. Każdy sposób inwestowania opisany jest za pomocą przepływów, któregeneruje. Nie ma informacji o użytej strategii, czy procesie cen. Aby dodatkowo umotywować totwierdzenie, rozważmy następujące możliwości inwestowania:

−S1(0)δ0 + S1(1)δ1,S1(1)S2(1)

(− S2(1)δ1 + S2(2)δ2

).

9

10 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Jésli zdecydujemy się na wykorzystanie obu możliwości, to przepływy finansowe związane z naszympostępowaniem zredukują się do

−S1(0)δ0 +S1(1)S2(2)S2(1)

δ2.

Zatracilísmy zatem informację o tym, jak inwestowaliśmy.Rynek finansowy opiszemy tylko za pomocą możliwości inwestycyjnych, wyrażonych przez prze-

pływy finansowe. Niech(Ω,F , (Ft),P

)będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją, która spełnia

normalne warunki prawostronnej ciągłości i zupełnósci. PrzezL0(Ω,Ft) oznaczmy przestrzeń zmien-nych losowych rzeczywistychFt-mierzalnych. NiechD(I), I ∈ B(R+), będzie zbiorem wyrażeńpostaci

γ1δτ1 + γ2δτ2 + · · ·+ γnδτn ,

gdzien ∈ N, γi ∈ L0(Ω,Fτi), zás τi jest momentem stopu o wartościach wI, i = 1, . . . ,n. ZbiórczasówI może býc odcinkiem[0,T ], całą półprostąR+ lub dowolnym innym zbiorem, np.I = Q.Jésli nie będzie to powodować niejasnósci, zamiastD(I) będziemy pisácD.

DEFINICJA 1.1. Rynkiem nazywamy podzbiórJ ⊆ D, który jest dodatnim, wypukłym stożkiem,tzn.

i) x1 + x2 ∈ J , jeśli x1,x2 ∈ J ,ii) αx ∈ J , jeśli x ∈ J , α ≥ 0.

ElementyJ nazywane sąmożliwościami inwestycyjnymi, ponieważ wyrażają przepływy pieniężnezwiązane z dostępnymi strategiami inwestowania. Warunek wypukłościJ oddaje możliwósć skorzy-stania na raz z wielu możliwości inwestycyjnych dostępnych na rynku, jak zilustrowaliśmy powyżej.Zakładamy nieskónczoną podzielnósć inwestycji, czyli warunek, żeJ jest dodatnim stożkiem. Jest tozałożenie techniczne, powszechnie stosowane w matematyce finansowej.

Zwróćmy uwagę, że rozważane możliwości inwestycyjne, czy też strategie inwestycyjne, które zanimi stoją, mającharakter impulsowy. Jest to cecha rzeczywistych rynków, na których nie możnadokonywác transakcji w sposób ciągły, lecz poszczególne transakcje są od siebie odległe w czasie.

Przedstawimy szereg przykładów zbiorów możliwości inwestycyjnych reprezentujących rynek.

Rynek doskonały

Niech(S(t)

)t≥0 będzied-wymiarowym adaptowanym procesem stochastycznym oścísle dodatnich

trajektoriach. Opisuje on ewolucję cend aktywów. Rozważmy możliwósci inwestycyjne postaci

θ(− Si(τ)δτ + Si(σ)δσ

), i = 1, . . . ,d,

gdzieθ ∈ L∞(Ω,Fτ∧σ), zásτ ,σ są momentami stopu. RynekJ(S) jest generowany przez powyższemożliwósci inwestycyjne, czyli składa się ze wszystkich ich kombinacji liniowych o nieujemnychwspółczynnikach. Nie zakładamy, żeτ ≤ σ, jednak przyjęcie takiego warunku nie zmieniłoby zbioruJ(S).

11

Ograniczenia na skład portfela

Rozważmy proces cen(S(t)

)t≥0 jak powyżej. Dodatni wypukły stożekC ⊆ R

d ujmuje ograniczenia

na skład portfela. W przypadku rynku bez ograniczeń C = Rd, natomiastC = [0,∞)d odpowiadabrakowi krótkiej sprzedaży. RynekJCon(S,C) jest generowany przez możliwości inwestycyjne

d∑i=1

θi(− Si(τ)δτ + Si(σ)δσ

),

gdzieθ ∈ L∞(Ω,Fτ∧σ;C), zás τ ,σ są momentami stopu.

Proporcjonalne koszty transakcji

Zaproponowane podejście do modelowania rynków finansowych pozwala na uwzględnienie uogól-nionych kosztów proporcjonalnych. Ze względu na konieczność zapisania zbioru przepływów pie-niężnych związanych z możliwościami inwestycyjnymi jako stożka, nie możemy rozważać kosztówstałych. Koszty proporcjonalne zakodowane są w dwóchd-wymiarowych adaptowanych procesachcen

(S(t)

)t≥0 i

(S′(t)

)t≥0, które spełniają warunek

P(0 ≤ Si(t) ≤ S′i(t) ∀t ≥ 0

)= 1, i = 1, . . . d.

Wartósć S′ rozumiemy jako cenę, po której możemy dokonać zakupu waloru, zás S - jako cenę, poktórej możemy sprzedać walor. Zatem rynekJcost(S,S′) jest generowany przez

θ(− S′i(τ)δτ + Si(σ)δσ

), i = 1, . . . ,d,

θ(Si(τ)δτ − S′i(σ)δσ

), i = 1, . . . ,d,

gdzieθ ∈ L∞(Ω,Fτ ; [0,∞)), zás τ ,σ są momentami stopu spełniającymi nierówność τ ≤ σ p.n.Pierwsza z zaprezentowanych inwestycji polega na zakupie i późniejszej sprzedaży waloru, zaś drugana krótkiej sprzedaży i późniejszym odkupieniu waloru.

Proporcjonalne koszty z ograniczeniami na zawartósć portfela

Zaprezentujemy, jak w prosty sposób opisać rynek, który będzie zawierał obie przedstawione wyżejniedoskonałósci. Niech zatemC,S,S′ będą dane jak wyżej. Wtedy rynekJcon,cost(S,S′,C) dany jestjako najmniejszy dodatni wypukły stożek generowany przez możliwości inwestycyjne

d∑i=1

(θi1θi≥0

(− S′i(τ)δτ + Si(σ)δσ

)− θi1θi

12 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

1.1. Arbitraż

Podstawowy rezultat w matematyce finansowej, czasami nazywany podstawowym twierdzeniem wy-ceny, mówi, że uczciwósć rynku doskonałego związanego z wielowymiarowym procesem cen(S(t)

)t≥0 jest tożsama istnieniu równoważnej miary martyngałowej. Wciąż jednak pozostaje okre-

ślenie, czym jest uczciwość rynku. Zależy to od warunków narzuconych na proces cen i dopuszczalnestrategie inwestycyjne. Załóżmy, że proces cen jest cádlág i jest całkowalny zp-tą potęgą,p ≥ 1.Okréslmy horyzont czasowyT i połóżmy

K = {∫ T

0h(t)dS(t) : h(t) - ograniczony, prognozowalny proces prosty}.

Prognozowalnym procesem prostym nazwiemy proces postaci

h(t) =N−1∑i=1

λi1(ti,ti+1](t),

dla N ∈ N, momentów0 ≤ t1 < t2 < · · · < tN ≤ T i wektora (λ1, . . . ,λN−1), odpowiednioFti-mierzalnych zmiennych losowych, dla których całka w definicjiK jest dobrze okréslona.

Rynek uznamy za uczciwy, jeśli K −B+ ∩ Lp(Ω,FT ) = {0}, gdzieB+ = Lp+(Ω,FT ) ∩L∞(Ω,FT ). Uczciwósć ta jest równoważna istnieniu równoważnej miary martyngałowej o gęstościcałkowalnej zq-tą potęgą, przy czymp i q są liczbami sprzężonymi (patrz praca Strickera [31]).

Natomiast Delbaen i Schachermayer [7] definiują zbiór strategii

H =

h :h(t) - ograniczony,S-całkowalny proces,lim

T→∞

∫ T0h(t)dS(t) istnieje p.n.∫ T

0h(t)dS(t) > a p.n. dlaT ≥ 0

dla pewnej stałeja ∈ R i kładą

K ={∫ ∞

0h(t)dS(t) : h(t) ∈ H

}.

Zakładają również, że proces cenS(t) jest lokalnie ograniczonym semi-martyngałem. Dowodzą wte-dy, że uczciwósć rynku, zapisana jakoC ∩ L∞0 (Ω,F) = {0}, gdzie domknięcie jest w topologiiL∞,zásC = (K −L0+(Ω,F))∩L∞(Ω,F), jest tożsama istnieniu równoważnej miary probabilistycznej,przy której proces cen jest martyngałem lokalnym.

Jeszcze inaczej prezentują się wyniki w czasie dyskretnym. Widzimy zatem, że na postać uczciwo-ści rynku mają znaczny wpływ zarówno założenia dotyczące rozważanych strategii inwestycyjnych,jak i procesu cen. Stricker ograniczał się do strategii prostych, natomiast Delbaen i Schachermayerdopúscili strategie dowolne, lecz musieli wtedy dodatkowo wprowadzić ograniczenie na minimalnąwartósć bogactwa portfela. Także ich wyniki są różne. W jednym przypadku istnieje miara martynga-łowa, zás w drugim taka, przy której proces cen jest tylko martyngałem lokalnym.

Naszym celem w bieżącym podrozdziale będzie rozszerzenie powyższych pomysłów na przypadekrynków opisanych przez przepływy pieniężne. Zajmowali się tym już Jouini, Napp [12] oraz Jouini,Napp, Schachermayer [13].

DEFINICJA 1.2. Modelem rynku jest para(Γ, τ), gdzieΓ jest podprzestrzenią liniowąD, aτ jestlokalnie wypukłą topologią naΓ.

1.1. ARBITRAŻ 13

NiechJ będzie rynkiem zanurzonym w modelu(Γ, τ). Połóżmy

Γ+ ={ N∑

i=1

γiδτi ∈ Γ : γi ≥ 0, i = 1, . . . ,N}.

Naturalne pojęcie braku arbitrażu można zapisać jako

(NA) J ∩ Γ+ = {0}.

Łatwo zauważýc, że NA jest równoważne(J − Γ+) ∩ Γ+ = {0}. Podobnie jak w powyższychprzykładach, to pojęcie jest niewystarczające. Proponujemy silniejszą własność, zwanąuogólnionymbrakiem arbitrażu (ang. no free lunch)

(NFL) J − Γ+ ∩ Γ+ = {0}, gdzie domknięcie jest dokonywane w topologiiτ .

W warunku występuje wyrażenieJ−Γ+. Zauważmy, że−Γ+ reprezentuje wszystkie możliwe strate-gie konsumpcji. Zatem przed dokonaniem domknięcia rozszerzamy możliwości inwestycyjne o kon-sumpcję.

Topologiaτ odgrywa kluczową rolę w definicji uogólnionego arbitrażu. Przy niektórych topo-logiach rynek może spełniać warunek NFL, zás przy innych nie. Poprzemy to przykładami, którepojawią się w następnych podrozdziałach. A zatem wybranie właściwej topologii wydaje się ważnymzagadnieniem. Dobrym wyznacznikiem jakości topologii jest jej zgodnósć z intuicjami, które wypły-wają z zachowania rynków finansowych. Problemem tym zajmiemy się w następnym podrozdziale.

Teraz skupimy się na sformułowaniu analogu fundamentalnego twierdzenia wyceny. Pokażemy, żebrak uogólnionego arbitrażu jest równoważny istnieniu funkcjonału liniowegoy naΓ, który oddzielarynek J od zbioru strategii arbitrażowychΓ+, tzn. y jest niedodatni naJ i ścísle dodatni dlax ∈Γ+ \ {0}. Głównym narzędziem, które będziemy wykorzystywać jest słynne twierdzenie Yana, adokładniej jego wersja z pracy [13], którą musimy nieznacznie uogólnić.

Niech (X, τX) będzie lokalnie wypukłą liniową przestrzenią topologiczną. PrzezY oznaczmyprzestrzén liniową do niej dualną. Załóżmy, żeY rozdziela punktyX, tzn. dla dowolnych różnychpunktówx1,x2 ∈ X istniejey ∈ Y , taki że〈x1,y〉〈X,Y 〉 6= 〈x2,y〉〈X,Y 〉. Jest to równoważne warun-kowi mówiącemu, że dla dowolnegox ∈ X, x 6= 0, istniejey ∈ Y spełniający〈x1,y〉〈X,Y 〉 6= 0.Załóżmy, że model(Γ, τ) ma takie zanurzenie w(X, τX), że obrazΓ jest podprzestrzenią liniowąX,zás obraz topologiiτ jest zgodny zτX naΓ. Możemy zatem traktować Γ jako podprzestrzén X. Wprzestrzeni dualnejY wyróżniamy dwa zbiory. Przestrzeń funkcjonałów nieujemnych naΓ+ ozna-czona jest przezY Γ++ , tj. y ∈ Y

Γ++ ≡ ∀x ∈ Γ+ 〈x,y〉〈X,Y 〉 ≥ 0. Natomiast przezY

Γ+++ oznaczamy

przestrzén funkcjonałów dodatnich naΓ+, tj. y ∈ Y Γ+++ ≡ ∀x ∈ Γ+ \ {0} 〈x,y〉〈X,Y 〉 > 0.Sformułujemy dwa podstawowe założenia dotyczące przestrzeniX,Y ,Γ:

Założenie C. Dla każdego ciągu(yn)∞n=1 ∈ Y istnieje ciągścísle dodatnich liczb(αn)∞n=1, taki że∑∞n=1 αnyn zbiega wY względem topologiiσ(Y ,X).

Założenie L. Dla dowolnej rodziny(yα)α∈I ⊂ Y Γ++ istnieje przeliczalny podzbiór(yαn)∞n=1, taki żejeśli x ∈ Γ+ i 〈x,yα〉 > 0 dla pewnegoα ∈ I, to istniejen, takie że〈x,yαn〉 > 0.

TWIERDZENIE 1.3. Załóżmy, że założenia C i L są spełnione. Dla dowolnego rynkuJ zawartegow modelu(Γ, τ) warunek braku uogólnionego arbitrażu jest równoważny istnieniu funkcjonałuy ∈ Y Γ+++ spełniającego

y∣∣J≤ 0.

14 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Dowód.OznaczmyC = J − Γ+, gdzie domknięcie wykonane jest w topologiiτ . Udowodnimy naj-pierw prawą implikację. Wiemy, żeC ∩ Γ+ = {0}. Łatwo widzimy, żeC ∩ Γ+ = {0}, gdy do-mknięcie bierzemy w przestrzeni(X, τX). Na mocy twierdzenia Hahna-Banacha o oddzielaniu (patrz[8] V.2.12), dla dowolnegox ∈ Γ+ \ {0} istnieje ciągły funkcjonał liniowyyx ∈ Y na (X, τ), takiże 〈x,yx〉 > 1 i yx|C ≤ 1. Co więcej,yx|C ≤ 0, ponieważC jest dodatnim stożkiem. Z faktu, żeC ⊇ −Γ+, wynika, żeyx|−Γ+ ≤ 0, czyli yx|Γ+ ≥ 0 i yx ∈ Y

Γ++ .

Rozważmy rodzinę(yx)x∈Γ+\{0}. Na mocy założenia L możemy znaleźć przeliczalną rodzinę(yxn)∞n=1, taką że dla dowolnegox ∈ Γ+ \ {0} istniejeyxn spełniające〈x,yxn〉 > 0. ZałożenieC daje nam ciąǵscísle dodatnich liczbαn o tej własnósci, że

∑∞n=1 αnyxn → y w topologiiσ(Y ,X).

Oczywísciey ∈ Y Γ+++ i y|C ≤ 0, co kónczy tą czę́sć dowodu.Implikacja przeciwna jest natychmiastowa. Najpierw zauważamy, żey

∣∣J≤ 0 i y ∈ Y Γ+++ daje nam

y∣∣C≤ 0. Weźmy dowolnex ∈ Γ+ ∩ C. Z faktu, żex ∈ C dostajemy〈x,y〉 ≤ 0. Leczx ∈ Γ+, a

więc 〈x,y〉 ≥ 0. Łącząc oba wyniki dostajemy〈x,y〉 = 0, skądx = 0.

Funkcjonał, którego istnienie pokazaliśmy w powyższym twierdzeniu, nazywamydeflatorem dlarynkuJ . Twierdzenie 1.3 dowodzi, że zbiór potencjalnych deflatorówY Γ+++ może służýc jako równo-ważne wprowadzenie topologii na przestrzeniΓ. W następnym podrozdziale skupimy się na analizietopologii z perspektywy zbioru deflatorów.

1.2. Topologie

Bieżący podrozdział póswięcimy na badanie własności różnych topologii z punktu widzenia pojęciauogólnionego arbitrażu z nimi związanego. Dla uproszczenia notacji przyjmiemy, że zbiór momen-tów transakcjiI = R+. Ograniczymy się do takich modeli rynku, dla których przestrzeń sprzężonaY , lub inaczej przestrzén deflatorów, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni procesów mierzalnychL0(R+ × Ω,B(R+)⊗F ; R) z dualnóscią zadaną wzorem

〈x,y〉 = EN∑

i=1

γiy(τi), (1.1)

gdziex =∑N

i=1 γiδτi jest pewnym elementemΓ, zás y =(y(t)

)t≥0 jest procesem mierzalnym.

Jest to najszersza możliwa przestrzeń deflatorów, które pozwalają na stosowanie teorii procesów sto-chastycznych do ich analizy. Ponadto wszystkie dotychczas rozważane modele z przepływami (patrzJouini, Napp [12], Jouini, Napp, Schachermayer [13] i Palczewski [21]) mają powyższą strukturę.

Zauważmy, że model(Γ, τ) i przestrzén Y musi býc tak dobrana, aby wyrażenie (1.1) było dobrzezdefiniowane. Jésli spełnione jest założenie

(S1) {δτ : τ jest ograniczonym momentem stopu} ⊆ Γ

to zmienney(τ), dla ograniczonych momentów stopuτ , y ∈ Y , są całkowalne. Możemy więc skon-struowác opcjonalną projekcjęoy procesuy na mocy twierdzenia 5.1 z monografii He, Wang, Yan[11]. Weźmyx =

∑Ni=1 γiδτi ∈ Γ i zauważmy

〈x,y〉 = EN∑

i=1

γiy(τi) = EN∑

i=1

E (γiy(τi) | Fτi)

= EN∑

i=1

γiE (y(τi) | Fτi) = EN∑

i=1

γioy(τi).

(1.2)

1.2. TOPOLOGIE 15

Zatem, gdy spełnione jest założenie S1, toY możemy traktowác jako podprzestrzén przestrzeni pro-cesów opcjonalnych.

Udowodnimy dalsze własności zbioru deflatorów. Oznaczmy

Γ̃ ={ N∑

i=1

γiδτi ∈ D : γi ∈ L1(Ω,Fτi), i = 1, . . . ,N}.

LEMAT 1.4. NiechΓ = Γ̃. Dla dowolnego momentu stopuτ

i) oy(τ) ∈ L∞(Ω,Fτ ,R) dlay ∈ Y ,ii) oy(τ) > 0 p.n. dlay ∈ Y Γ+++ .

Dowód.i) Oczywiście{γδτ : γ ∈ L1(Ω,Fτ ,R)} ⊆ Γ. Zatemoy(τ)γ ∈ L1(Ω,Fτ ,R) dla dowol-negoγ ∈ L1(Ω,Fτ ,R), czyli oy(τ) jest ograniczona. Załóżmy przeciwnie, żeoy(τ) nie jest ograni-czona. Bez straty ogólności możemy przyją́c, że dodatnia część oy(τ) jest nieograniczona. PołóżmyAn = {n ≤ oy(τ) < n + 1}, pn = P(An), an = 1n2pn i zdefiniujmyγ

∗ =∑∞

n=1 1Anan. Ponieważ∑∞n=1 anpn =

∑∞n=1 n

−2 < ∞, dostajemyγ∗ ∈ L1(Ω,Fτ ,R), leczE γ∗oy(τ) ≥∑∞

n=1 nanpn =∑∞n=1 n

−1 = ∞, co prowadzi do sprzeczności.ii) Weźmyx = 1Aδτ , gdzieA = {oy(τ) ≤ 0} i załóżmy, żeP(A) > 0. Ponieważx ∈ Γ+ \ {0},

dostajemyE oy(τ)1A > 0. Jednak,E oy(τ)1A ≤ 0 z wyboruA, co daje sprzeczność.

Zastanówmy się teraz, czy proste zbiory funkcjonałów, takie jak wszystkie lewostronnie ciągłe lubwszystkie prawostronnie ciągłe adaptowane procesy ograniczone, są dobrymi przykładami przestrzeniY , tzn. czy topologia, którą wyznaczają, jest zgodna z intuicjami. Dla naszych rozważań potrzebnybędzie prosty lemat, którego dowód można znaleźć w pracy Jouini, Napp [12].

LEMAT 1.5. Niech(S(t)

)t≥0 będzied-wymiarowym procesem spełniającymS(τ) ∈ L

1(Ω,Fτ )dla dowolnego ograniczonego momentu stopuτ . Na rynku doskonałymJ(S) nie ma możliwósciuogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje deflatory ∈ Y Γ+++ , taki że

(oy(t)S(t)

)t≥0

jest martyngałem.

W tym celu rozważmy rynek doskonałyJ(S) dla procesu cen(S(t)

)t≥0 spełniającegoS(τ) ∈

L1(Ω,Fτ ) dla dowolnego ograniczonego momentu stopuτ . Łatwo można dowiésć (patrz [12]), żeJ(S) spełnia założenie uogólnionego arbitraży wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje deflatory ∈ Y Γ+++taki, że

(oy(t)S(t)

)t≥0 jest martyngałem.

Lewostronna ciągłósć. Podamy przykład procesu cenS, dla którego rynekJ(S) jest intuicyj-nie pozbawiony arbitrażu, lecz dla żadnego adaptowanego, ograniczonego procesuy o lewostronnieciągłych trajektoriachy(t)S(t) nie jest martyngałem. Weźmy jakoS(t) całkowicie nieciągły procesLevyego ze skokami większymi co do wartości bezwzględnej niż� > 0 i załóżmy, że filtracja(Ft)t≥0jest przez niego generowana. Niechτ będzie momentem pierwszego skoku. Ograniczenie dolne nawielkość skoków gwarantuje nam, że momentτ będzie dobrze określony i większy od zera p.n. Fil-tracja jest trywialna aż do momentuτ−, czyli każdy adaptowany proces musi być stały na[0, τ). Zlewostronnej ciągłósci y dostajemy, żey jest stały na[0, τ ]. Z warunku martyngałowósci wynika, żeES(τ)y(τ) = S(0)y(0), co w połączeniu z własnościąy(τ) = y(0), dajeES(τ) = S(0). A zatemw tym modelu rynekJ(S) jest pozbawiony uogólnionego arbitrażu tylko wtedy, gdy procesS(t) jestmartyngałem.

Prawostronna ciągłósć. Pokażemy, że przestrzeń Y składająca się ze wszystkich adaptowanychograniczonych procesów prawostronnie ciągłych jest zbyt duża, tzn. generuje zbyt słabą topologię na

16 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Γ, by obją́c intuicyjne rozumienie uczciwości rynku. Rozważmy proces cenS(t) = 1 + 1t≥1. Wtedyy(t) = 1− 121t≥1 jest deflatorem dla rynkuJ(S). Zatem

φn = −S(1− 1

n

)δ1− 1

n+ S(1)δ1 ∈ J(S)

nie zbiega doδ1. Rozważmy teraz rynekJ(S′), gdzieS′(t) = 1 + 1t>1 (S′ jest lewostronnie ciągływ 1). Jest to symetryczny odpowiednik powyższego przykładu. Wtedy ciąg

Ψn = −S′(1)δ1 + S′(1 +

1n

)δ1+ 1

n

zbiega doδ1, możliwósci arbitrażu. Jest to przypadek niesymetrii, który jest niekorzystny i niewytłu-maczalny z finansowego punktu widzenia, a jest powodowany zbytnim bogactwem zbioruY .

Ciągłość. Połączeniem powyższych przypadków jest rozważanieY jako zbioru wszystkich cią-głych, ograniczonych, mierzalnych procesów. Projekcja procesu ciągłego jest procesem cádlág (patrzlemat VI.7.8 w książce Rogersa, Williamsa [26]), jednak rzutY nie wypełnia całej przestrzeni ogra-niczonych procesów cádlág. A zatem topologia generowana przezY jest bogatsza niż w przypadkuprocesów prawostronnie ciągłych i uboższa niż w przypadku procesów lewostronnie ciągłych. Nieprzejawia ponadto podanych powyżej wad.

Powyższe, wstępne rozważania pokazują, że znalezienie dobrej topologii, gdy patrzymy z punktuwidzenia przestrzeni funkcjonałówY , nie jest łatwe. W dwóch pierwszych, narzucających sie przykła-dach wykazalísmy ich niedoskonałósci, natomiast w trzecim trudno przekonać się o jego intuicyjnejpoprawnósci. Zastanowimy się teraz nad własnościami, których powinnísmy wymagác od topologiiτokréslonej naΓ, zapisanymi w języku zbieżności.

(CV) Dla dowolnego monotonicznego ciągu momentów stopuσn → σ p.n. i dowolnego ciągu zmien-nych losowychZn zbieżnego doZ w L1(Ω,F), takich że(Znδσn) ⊆ Γ i Zδσ ∈ Γ,

Znδσn → Zδσ

w topologii τ , co jest równoważne

EZny(σn) → EZy(σ)

dla każdegoy ∈ Y .

(R) Zbiór funkcjonałów liniowychY może býc reprezentowany jako rodzina adaptowanych proce-sów cádlág .

Założenie R jest techniczne. Znaczenie CV stanie się jasne, gdy przedstawimy przykład. Załóżmy, żeciąg możliwósci inwestycyjnych

Φn = −Znδσn + Z̃δσ

jest zawarty wΓ, Zn zmierza doZ w L1(Ω,F), σn zbiega doσ. Intuicyjnie,Φn dąży do(Z̃ − Z)δσ.Założenie CV úscísla włásnie tę intuicję.

LEMAT 1.6. Jésli spełnione są założenia CV i R,Γ = Γ̃, to dowolny procesy ∈ Y jest ograniczonyna przedziale[0,η], gdzieη jest dowolnym momentem stopu.

1.2. TOPOLOGIE 17

Dowód.Dowód przeprowadzimy przez sprzeczność. Załóżmy, że procesy jest nieograniczony napewnym przedziale[0,η]. Ponieważy jest procesem cádlág, to losowe momenty dojściaσn = inf{t ≤η : y(t) ≥ n} ∧ η, gdzieinf ∅ = ∞, są momentami stopu tworzącymi niemalejący ciąg. Ponadto,σ = limn→∞ σn jest momentem stopu. Niechan = P(yσn ≥ n). Procesy jest nieograniczony na[0,η] wtedy i tylko wtedy, gdyan > 0 dla każdegon ∈ N. Rozważmy dwa przypadki:

1) an → 0WeźmyZn = 1yσn≥n(an

√n)−1. Oczywíscie EZn = n−1/2, więc Zn ∈ L1(Ω,Fσn ,P) i

Zn → 0 w L1(Ω,Fσ,P). Jednak〈y,Znδσn〉 = EZny(σn) ≥√n→∞, co przeczy CV.

2) an > � > 0

WeźmyZn = 1 i obliczmy 〈y,Znδσn〉 = E y(σn) ≥ �n→∞ oraz〈y, δσ〉 = E y(σ)

18 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

1.3. Lipschitzowskie deflatory

Praca Jouini, Napp [12] wprowadziła pomysł modelowania rynków za pomocą przypływów pienięż-nych w sposób przedstawiony w tym rozdziale. Niestety, autorom udało się stworzyć model, którypozwalał na transakcje tylko w deterministycznych momentach. To podejście zostało rozszerzone wpracy Napp [20], gdzie transakcje mogły odbywać się w momentach stopu o przeliczalnej liczbiewartósci. Uogólnieniem tego wyniku była praca Palczewskiego [21], w której zbudowano model ze-zwalający na transakcje w dowolnych momentach stopu. Wszystkie powyższe podejścia wymagałyniestety technicznego założenia nakładanego na rynekJ , aby udowodníc twierdzenie 1.3. Nie byłynatomiast konieczne założenia C i L. Poniżej przedstawimy konstrukcję modelu z pracy autora [21]i pokażemy, jak wzorując się na artykule Jouini, Napp, Schachermayer [13] pozbyć się technicznegozałożenia. Ważną cechą tego modelu jest to, że spełnia on założenia twierdzenia 1.3 przy topologiinormowej, co nie miało miejsca w przypadku modeli zaprezentowanych we wspomnianej pracy [13].

Konstrukcja przestrzeni

Definiujemy przestrzén liniowąM

M = {N∑

i=1

αiδti : dla pewnychN ∈ N, (αi) ⊂ R, (ti) ⊂ R+}.

Wprowadzimy na niej normę. NiechA będzie zbiorem funkcji Lipschitzowskich z wykładnikiem1i ograniczonych przez1, tj.

A = {f : R+ → R : ∀ t,s ∈ R+ |f(t)| ≤ 1 , |f(t)− f(s)| ≤ |t− s|} .

Definiujemy funkcjonał naM wzorem

‖µ‖M = sup{∣∣∣ N∑

i=1

f(ti)αi∣∣∣ : f ∈ A},

dla µ =∑N

i=1 αiδti ∈ M . Jésli potraktujemyM jako przestrzén miar, gdzieδt jest miarą skupionąw {t}, to ‖ · ‖M jest normą Fortet-Mouriera, równoważną słabej zbieżności miar. A zatem

LEMAT 1.9. (M ,‖ · ‖M ) jest przestrzenią z normą.

Obliczymy teraz normy prostych elementów.

LEMAT 1.10. Niechα,β ≥ 0, t,s ∈ R+, t 6= s.

(1) ‖αδt + βδs‖M = α+ β

(2) ‖αδt − βδs‖M =

{|α− β|+ |t− s|(α ∧ β) |t− s| ≤ 2α+ β |t− s| > 2

Dowód.Czę́sć (1) jest oczywista, gdy weźmiemyf = 1 ∈ A. Dowód (2) jest bardziej złożony.Oznaczmy� = |t− s|. Jésli � > 2, to istnieje funkcjaf ∈ A, taka żef(t) = 1 i f(s) = −1. Realizujeona supremum w definicji normy i daje‖αδt − βδs‖M = α+ β.

1.3. LIPSCHITZOWSKIE DEFLATORY 19

Niech � ≤ 2. Załóżmy, żeα ≥ β. Podamy równoważną charakteryzację normy‖αδt − βδs‖M ,zauważając, że interesują nas tylko wartości funkcji zA w punktachs, t. Weźmy zbiórà = {(a, b) :|a| ≤ 1, |b| ≤ 1, |a− b| ≤ �}. Wtedy‖αδt − βδs‖M = sup(a,b)∈à |aα− bβ|. Funkcjab 7→ a0α− bβjest malejąca, więc

F (a0) := sup(a0,b)∈Ã

|a0α− bβ|

= max(∣∣a0α− ((a0 − �) ∨ −1)β∣∣, ∣∣a0α− ((a0 + �) ∧ 1)β∣∣).

Stąd‖αδt − βδs‖M = supa∈[−1,1] F (a) i dostajemy‖αδt − βδs‖M = α− β + �β.

Zauważmy, że wielopunktowa wersja (1) z powyższego lematu ma identyczny dowód. Pozwoliona wykazác, żeM nie jest przestrzenią zupełną. Weźmy ciągµn =

∑ni=1

12iδ2i. Spełnia on warunek

Cauchy’ego:‖µn − µm‖M =∑n

i=m12i

dlan > m, lecz jego granica nie leży wM .

DEFINICJA 1.11. (M,‖ · ‖M) jest uzupełnieniem przestrzeni(M ,‖ · ‖M ).

Oznaczmy przezM′ przestrzén funkcjonałów liniowych ciągłych naM. Pokażemy, że jest onatożsama z przestrzenią funkcji lipschitzowskich i ograniczonych z dualnością daną wzorem

〈f ,µ〉 =N∑

i=1

αif(ti),

gdzieµ =∑N

i=1 αiδti ∈M, zásf jest funkcją lipschitzowską, ograniczoną.

LEMAT 1.12. Niechµ∗ ∈ M′. Funkcjaf(t) = 〈µ∗, δt〉 jest ograniczona i lipschitzowska ze stałąC, tzn. istnieje stałaC, taka że|f(t)| ≤ C i |f(t)− f(s)| ≤ C|t− s|. W szczególnósci, powyższeoszacowanie zachodzi dlaC = ‖µ∗‖M′ .

Dowód.Aby dowiésć ograniczonósci, wykorzystamy ciągłósć µ∗. Dla t ∈ R+

|f(t)| = |〈µ∗, δt〉| ≤ ‖µ∗‖M′‖δt‖M = ‖µ∗‖M′ .

Ustalmyt,s ∈ R+. W podobny sposób dostajemy

|f(t)− f(s)| = |〈µ∗, δt − δs〉| ≤ ‖µ∗‖M′‖δt − δs‖M .

Na mocy lematu 1.10 otrzymujemy‖δt − δs‖M = |t − s| ∧ 2 ≤ |t − s|, co kónczy dowód zC =‖µ∗‖M′ .

LEMAT 1.13. Niech f : R+ → R będzie funkcją ograniczoną i lipschitzowską, czyli|f(t)| ≤ Ci |f(t)− f(s)| ≤ C|t− s| dla pewnej stałejC. Istnieje wtedy dokładnie jeden funkcjonał liniowyciągłyµ∗ ∈M′, taki że〈µ∗, δt〉 = f(t). Ponadto,‖µ∗‖M′ ≤ C.

Dowód.Na początek zauważmy, że możemy ograniczyć się do przypadkuC = 1. Rozważmy funkcjęf̃(t) = f(t)C , która jest ograniczona przez1 i spełnia warunek Lipschitza ze stałą1. Niechµ̃

∗ będziefunkcjonałem liniowym związanym z̃f(t). Wtedyµ∗ = Cµ̃∗ jest funkcjonałem liniowym, takim że〈µ∗, δt〉 = f(t) i ‖µ∗‖M′ ≤ C. Z jedynósci µ̃∗ dostajemy jedynósć µ∗.

20 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Załóżmy teraz, żeC = 1. Zdefiniujmyµ∗ na przestrzeni rozpiętej przez(δt)t∈R+ (tj. przestrzeniM ) jako 〈µ∗, δt〉 = f(t). Pokażemy, żeµ∗ jest liniowy i ciągły na tej przestrzeni. Liniowość jestoczywista. Aby wykazác ciągłósć zauważmy, żef jest elementemA, czyli dla dowolnegoµ ∈M

|〈µ∗,µ〉| = |∑t∈R+

µ(t)f(t)| ≤ suph∈A

|∑t∈R+

µ(t)h(t)| = ‖µ‖M .

Zatem‖µ∗‖M ′ ≤ 1. Rozszerzamyµ∗ na całą przestrzeńM jako ciągły funkcjonał liniowy z normą1. To rozszerzenie jest jednoznaczne, gdyżM jest uzupełnieniemM .

Wprowadzimy teraz przestrzeń zmiennych losowych o wartościach w przestrzeni BanachaM,całkowalnych w sensie Bochnera. Dla jasności przedstawimy zarys konstrukcji, którą znaleźć moż-na w monografiach Danforda, Schwarza [8] lub Yosidy [32]. FunkcjaX : Ω → M jest zmien-ną losową prostą, jeśli jest mierzalna i ma skónczoną liczbę wartósci, tzn. istniejeN ∈ N, ciąg(µn)n=1,...,N ⊂ M orazN rozłącznych mierzalnych zbiorów(An)n=1,...,N , takich żeAn ∈ F ,⋃N

n=1An = Ω i X =∑N

n=1 µn1An . FunkcjęX nazwiemy silnie mierzalną, jeśli istnieje ciąg zmien-nych losowych prostych zbieżnych doX w normieM dla prawie każdegoω ∈ Ω. Przestrzén zmien-nych silnie mierzalnych, dla których skończona jest wartósć oczekiwanaE ‖X‖M, oznaczamy przezL1P(Ω,M). Jest ona przestrzenią Banacha z normą

‖X‖L1P(Ω,M) = E ‖X‖M

LEMAT 1.14. Jésli τ jest nieujemną zmienną losową,Y ∈ L1(Ω,F), toY δτ ∈ L1P(Ω,M).

Dowód.Wskażemy ciąg zmiennych losowych prostychXn ∈ L1P(Ω,M) zbieżny doY δτ . NiechYn będzie ciągiem zmiennych losowych prostych zbieżnych doY p.n. Ustalmyn ∈ N i połóżmyAk =

{τ ∈ [kn

n2, (k+1)n

n2)}

dlak = 0, . . . , (n2 − 1). Niech

Xn =n2−1∑k=0

Yn1Akδ knn2.

WtedyXn zbiega doY δτ p.n. na mocy lematu 1.10.

Korzystając z pracy Schwartza ([28]) konstruujemy przestrzeń dualną doL1P(Ω,M). FunkcjaΦ : Ω → M′, gdzieM′ jest przestrzenią sprzężoną doM, nazywa się *-słabo mierzalna, jeślidla każdegox ∈M funkcjaω 7→ 〈Φ(ω),x〉 jest mierzalna jako funkcja zΩ doR. NiechL∞(Ω,M′)będzie przestrzenią wszystkich *-słabo mierzalnych funkcjiΦ, dla których

inf{K ≥ 0 : ‖Φ‖M′ ≤ K p.n.}

1.3. LIPSCHITZOWSKIE DEFLATORY 21

TWIERDZENIE 1.15. ([28]) Przestrzén (L∞∗ (Ω,M′),‖ · ‖L∞∗ (Ω,M′)) jest przestrzenią Banacha. Jestona przestrzenią sprzężoną doL1P(Ω,M) z dualnóscią zadaną wzorem:

L1P(Ω,M) 3 X 7→ 〈Ψ,X〉〈L∞∗ (Ω,M′),L1P(Ω,M)〉 = E 〈Ψ,X〉〈M′,M〉,

gdzieΨ ∈ L∞∗ (Ω,M′).

PrzestrzénL∞∗ (Ω,M′) może býc postrzegana jako przestrzeń mierzalnych procesów stochastycz-nychy : R+ × Ω → R (tzn. mierzalnych jako funkcja dwóch zmiennych), ograniczonych i lipschi-tzowsko ciągłych. Na elementach postaciX =

∑Ni=1 γiδτi dualnósć jest dana wzorem

〈y,X〉 = EN∑

i=1

γiy(τi).

TWIERDZENIE 1.16. ElementΨ ∈ L∞∗ (Ω,M′) może býc postrzegany jako mierzalny proces sto-chastycznyy(t)(ω) : R+ × Ω → R zadany przezy(t) = 〈δt,Ψ〉〈M,M′〉, jednoznaczny z dokład-nóscią do nieodróżnialności, o trajektoriach ograniczonych przez‖Ψ‖L∞∗ (Ω,M′) i lipschitzowskociągłych ze stałą‖Ψ‖L∞∗ (Ω,M′) dla prawie wszystkichω ∈ Ω.

Dowód.Najpierw pokażemy, żeΨ ∈ L∞∗ (Ω,M′) definiuje procesy o podanych własnósciach. Za-uważmy najpierw, że zmienna losoway(t) zdefiniowana w twierdzeniu jest mierzalna dla dowolnegot ∈ R+, ponieważΨ jest *-słabo mierzalne. Dla dowolnegoω ∈ Ω funkcja t → 〈δt,Ψ(ω)〉〈M,M′〉spełnia warunek Lipschitza i jest ograniczona przez stałą‖Ψ(ω)‖M. Stądy(t)t∈R+ jest procesemmierzalnym (patrz np. Uwaga 1.14 w Karatzas [14]).

WeźmyΦ, inny element z klasy abstrakcjiΨ i zdefiniujmyz(t) = 〈δt,Φ〉〈M,M′〉. Wiemy, że dladowolnegoµ ∈ M mamy〈µ,Ψ〉〈M,M′〉 = 〈µ,Φ〉〈M,M′〉 p.n., więcz(t) jest modyfikacjąy(t), leczdla procesów ciągłych jest to równoważne nieodróżnialności.

Ostatnie stwierdzenie wynika z definicji normy‖ · ‖L∞∗ (Ω,M′).Teraz wykażemy przeciwną implikację. Niechy(t,ω) będzie procesem spełniającym warunki

twierdzenia. Pokażemy, że jednoznacznie definiuje on funkcjonał liniowy naL1P(Ω,M). NiechHbędzie podprzestrzenią liniowąL1P(Ω,M) rozpiętą przez zmienne losowe postaci1Aδt, A ∈ Ft,t ∈ R+. Definiujemy funkcjonał liniowyΨ naH wzorem:〈1Aδt,Ψ〉 = E 1Ay(t). Liniowość jestoczywista, pozostaje tylko wykazać ciągłósć. WeźmyY ∈ H. Możemy zapisác Y w postaciY =∑K

k=1 αk1Akδtk dla pewnychK,Ak ∈ Ftk , tk ∈ R+, αk ∈ R, k = 1, . . . ,K. Zatem

Ψ(Y ) =K∑

k=1

αk〈1Akδtk ,Ψ〉 =K∑

k=1

αkE(1Aky(tk)

)= E

K∑k=1

αk1Aky(tk) =∫

Ω

K∑k=1

αk1Ak(ω)y(tk)(ω)dP(ω).

Dla prawie wszystkichω ∈ Ω, y(t)(ω) jako funkcjat ∈ R+ jest lipschitzowsko ciągła z pewną stałąL i ograniczona przezL. Ustalmyω ∈ Ω. Na mocy lematu 1.13y(t)(ω) definiuje funkcjonał liniowyciągły naM z normąL. Ponieważ

∑Kk=1 αk1Ak(ω)δtk ∈M dostajemy∣∣∣∣ K∑

k=1

αk1Ak(ω)y(tk)(ω)∣∣∣∣ ≤ L∥∥∥∥ K∑

k=1

αk1Ak(ω)δtk

∥∥∥∥M

= L‖Y (ω)‖M.

22 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Zatem

∣∣〈Y ,Ψ〉∣∣ = ∣∣∣∣ ∫Ω

K∑k=1

αk1Ak(ω)y(tk)(ω)dP(ω)∣∣∣∣ ≤ ∫

Ω

∣∣∣∣ K∑k=1

αk1Ak(ω)y(tk)(ω)∣∣∣∣dP(ω)

≤∫

ΩL‖Y (ω)‖MdP(ω) = L‖Y ‖L1P(Ω,M)

Rozszerzamy terazΨ na całą przestrzeń L1P(Ω,M) jako funkcjonał liniowy ciągły (Yosida [32],twierdzenie IV.5.1). Zauważmy, że〈1Aδτ ,Ψ〉 = E 1Ay(τ) dla dowolnego momentu stopuτ i zbio-ru A ∈ Fτ . Niechτn będzie ciągiem momentów stopu o skończonej liczbie wartósci zbiegającychdo τ prawie na pewno. Na mocy lematu 1.101Aδτn

M−→ 1Aδτ p.n. i z twierdzenia o zbieżnościzmajoryzowanej1Aδτn → 1Aδτ w L1P(Ω,M). Stąd〈1Aδτn ,Ψ〉 → 〈1Aδτ ,Ψ〉. Z drugiej stronyE 1Ay(τn) → E 1Ay(τ) z twierdzenia z zbieżności zmajoryzowanej (y(t) jest ograniczone przezL). Czyli 〈1Aδτ ,Ψ〉 = E 1Ay(τ). Identyczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla dowolnegoΘ ∈ L1(Ω,Fτ ,P) mamy〈Θ δτ ,Ψ〉 = E Θy(τ).

Dowód własnósci C i L

Powró́cmy do notacji z podrozdziału 1.1. PołóżmyX = L1P(Ω,M), Y = L∞∗ (Ω,M′). Rozważmymodel(Γ, τ), gdzie

Γ ={ N∑

i=1

γiδτi ∈ D : γi ∈ L1(Ω,Fτi), i = 1, . . . ,N}⊆ L1P(Ω,M),

zás τ jest indukowaną topologią zL1P(Ω,M). Na mocy twierdzenia 1.16 przestrzeń Y możemyidentyfikowác ze zbiorem procesów mierzalnych, ograniczonych i lipschitzowsko ciągłych. Dlaµ =∑N

i=1 γiδτi ∈ Γ i y ∈ L∞∗ (Ω,M′)

〈µ,y〉〈L1P(Ω,M),L∞∗ (Ω,M′)〉 = EN∑

i=1

γiy(τi) = EN∑

i=1

γioy(τi).

Wykażemy teraz, że spełnione są założenia twierdzenia 1.3. Zauważmy, że z faktu, żeX i Y sąprzestrzeniami Banacha w dualności normowej wynika, żeX jest przestrzenią lokalnie wypukłą, zaśY oddziela punktyX. Założenie C jest bezpośrednim wnioskiem z tego, że topologiaσ(Y ,X) jestrównoważna topologii zadanej przez normę‖ · ‖L∞∗ (Ω,M′): jeśli weźmiemyαn = ‖yn‖

−1L∞∗ (Ω,M′)

2−n,to ciąg ( n∑

i=1

αnyn

)n>0

jest ciągiem Cauchy’ego wL∞∗ (Ω,M′) i tym samym jest zbieżny. Wystarczy zatem udowodnić

TWIERDZENIE 1.17. Model (Γ, τ) spełnia warunek L.

Dowód. W dowodzie wykorzystamy pomysły z pracy Jouini, Napp, Schachermayer [13]. Niech(yα)α∈I ⊂ Y Γ++ będzie daną rodziną funkcjonałów. Skonstruujemy ciąg(αn) ⊂ I, o którym późniejpokażemy, że spełnia warunki założenia L. W dowodzie będziemy szeroko używać opcjonalnych pro-jekcji procesów, które będziemy oznaczać oy. Przypomnijmy, żeoy jest procesem cádlág dlay ∈ Y .

1.3. LIPSCHITZOWSKIE DEFLATORY 23

Zauważmy także, żey ∈ Y Γ++ wtedy i tylko wtedy, gdyoy(t) ≥ 0 dla każdegot ∈ R+ (patrz dowódlematu 1.4). Niech(Ui)∞n=1 będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów wR+ z wymiernymikońcami. Kładziemy

Ai,α = {ω : oyα(t)(ω) > 0 ∀t ∈ Ui} , i ∈ N, α ∈ I.

Ustalmy i ∈ N. Możemy znaleź́c ciąg (niekoniecznie jedyny)(αn(i))∞n=1 ⊂ I, taki żeAi,α ⊆ Aip.n. dla dowolnegoα ∈ I, gdzieAi =

⋃∞n=1Ai,αn(i). Jednym ze sposobów na otrzymanie tego ciągu

αn(i) jest iteracyjna konstrukcja: gdy już znajdziemy go dlan < N , kładziemy

αN (i) ∈{α : P(Ai,α \BN (i)) ≥ sup

α′∈IP(Ai,α′ \BN (i))− 2−N

},

gdzieBN (i) =⋃N−1

i=1 Ai,αn(i). Definiujemy

Sα = {(t,ω) : oyα(t)(ω) > 0}, α ∈ I,Sα(ω) = {t : oyα(t)(ω) > 0}, α ∈ I,Lα(ω) = {t : ∃� > 0 oyα(s)(ω) > 0 dlas ∈ (t, t+ �) orazoyα(t)(ω) = 0}, α ∈ I

oraz

S = {(t,ω) : ∃n, i oyαn(i)(t)(ω) > 0},S(ω) = {t : ∃n, i oyαn(i)(t)(ω) > 0},

L(ω) =⋃

n,i∈NLαn(i)(ω).

Z konstrukcji (αn(i))∞n=1 dostajemy, żeP(ω : Sα(ω) ⊇ Ui, S(ω) ) Ui) = 0 dla każdegoα ∈ I, i ∈ N. StądSα(ω) \ S(ω) ⊆ L(ω) p.n. Musimy znaleź́c przeliczalny zbiór funkcjonałów,który pokryje zbiórL. Pokażemy, żeL =

⋃ω∈Ω{ω} × L(ω) jest zbiorem opcjonalnym. Oczywiście

L =⋃

n,i∈N Lαn(i), gdzieLα =⋃

ω∈Ω{ω} × Lα(ω). Wystarczy więc wykazác, żeLα jest zbioremopcjonalnym. Momenty kolejnych skoków procesuoyα z 0 do jakiegós dodatniego poziomu są do-brze zdefiniowanymi momentami stopu (prawostronna ciągłość gwarantuje, że są dodatnie odległościpomiędzy kolejnymi skokami. Wykresy momentów stopu są zbiorami opcjonalnymi, więcLα jakosuma przeliczalnej rodziny zbiorów opcjonalnych jest zbiorem opcjonalnym. Podobnie,L jako sumaprzeliczalnej podrodziny(Lα)α∈I jest zbiorem opcjonalnym. Ponadto,L(ω) jest przeliczalnym pod-zbioremR+. Jésli L jest nieodróżnialny od zbioru pustego, to nic nie musimy robić. W przeciwnymprzypadku, na mocy twierdzenia o opcjonalnym podziale (VI.5.1 w monografii Davis, Williams [26])istnieje ciąg momentów stopuTk, taki że

L =∞⋃

k=1

{(ω,Tk(ω)) : Tk 0. Pokażemy, że〈x,yαn(i)〉 > 0 dla pewnychn, i. Zapisujemy

24 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

x w postacix =∑N

i=1 γiδτi , dla pewnychN ∈ N, γi ∈ L1(Ω,Fτi ,R+) i momentów stopuτi.Bezpósrednio z definicji

〈x,yα〉 = E 〈x,yα〉〈M,M′〉 = EN∑

i=1

γiyα(τi).

Zatem, wystarczy udowodnić, że jésli 〈γδτ ,yα〉 > 0 dla γ ∈ L1(Ω,Fτ ,R+) i pewnegoα ∈ I, to〈γδτ ,yαn(i)〉 > 0 dla pewnegon, i. PołóżmyD = {(t,ω) : γ(ω) > 0, τ(ω) = t}. Warunek〈γδτ ,yα〉 = E γyα(τ) > 0 gwarantuje nam, żeSα ∩D nie jest zbiorem nieodróżnialnym od zbiorupustego. Stąd(S ∪L)∩D jest nieodróżnialny od zbioru pustego. Istnieją więcn, i, takie że(Sαn(i) ∪Lαn(i)) ∩D jest nieodróżnialny od zbioru pustego iE γyαn(i)(τ) > 0.

Możemy zatem sformułować twierdzenie 1.3 w języku procesów stochastycznych.

TWIERDZENIE 1.18. Na rynkuJ nie ma możliwósci uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy,gdy istnieje procesy(t)(ω) i stałaM spełniające

i) y(t) jest procesem mierzalnym,ii) P(|y(t)| ≤M ∀t ∈ I) = 1,

iii) P(|y(t)− y(s)| ≤M |t− s|) = 1 (lipschitzowska ciągłósć),iv) P(oy(t) > 0 ∀t ∈ I) = 1,v) E

∑Ni=1 γiy(τi) ≤ 0 dla dowolnego

∑Ni=1 γiδτi ∈ J .

Warunkowa własnósć Lipschitza

Przestrzén Γ nie oddziela punktów wL∞∗ (Ω,M′), tzn. dwa różne elementyL∞∗ (Ω,M′) mogą działácnaΓ w ten sam sposób. Jest to spowodowane tym, że mogą istnieć dwa funkcjonały wL∞∗ (Ω,M′) otej samej opcjonalnej projekcji. A jak już pokazaliśmy, działanie funkcjonału naΓ zależne jest tylkood jego opcjonalnej projekcji. Powinniśmy zatem przyjrzéc się własnósciom opcjonalnych projekcjilipschitzowsko ciągłych i ograniczonych procesów mierzalnych. Sformułujemy warunki konieczne,by dany adaptowany proces był opcjonalną projekcją elementuL∞∗ (Ω,M′).

DEFINICJA 1.19. Adaptowany proces(Xt)t∈I o trajektoriach cádlág nazywany jestwarunkowolipschitzowskim ze stałąK, jeśli istnieje wersja cádlág procesu(E (Xs | Ft))s≥t, która spełniawarunek Lipschitza ze stałąK niezależną od wyborut ∈ I.

Wszystkie wersje cádlág procesu(E (Xs | Ft))s≥t rozważanego w powyższej definicji są nieodróż-nialne. Proces spełnia warunek Lipschitza, jeśli prawie wszystkie trajektorie są funkcjami lipschit-zowskimi.

Zakładamy, że wszystkie procesy są zdefiniowane dlat ∈ I, gdzieI = [0,T ] or I = [0,∞).

LEMAT 1.20. Jeżeli(Xt) jest procesem mierzalnym o trajektoriach spełniających warunek Lipschit-za ze stałąK orazX0 ∈ L1(Ω,F), to jego opcjonalna projekcja(oXt) jest warunkowo lipschit-zowska ze stałąK.

Dowód.Ustalmyt ∈ I i zauważmy, że∣∣E (oXs2 | Ft)− E (oXs1 | Ft)∣∣ = ∣∣E (Xs2 | Ft)− E (Xs1 | Ft)∣∣ = ∣∣E (Xs2 −Xs1 | Ft)∣∣≤ E

(|Xs2 −Xs1 |

∣∣Ft) ≤ K|s2 − s1|.

1.3. LIPSCHITZOWSKIE DEFLATORY 25

TWIERDZENIE 1.21. Niech (Zt)t∈[0,T ] będzie adaptowanym procesem cádlág, warunkowo lip-schitzowskim ze stałąK, o trajektoriach ograniczonych przezK. Istnieje wtedy mierzalny proces(Xt)t∈[0,T ], taki że

i) (Xt) jest ograniczony przezKT ,

ii) (Xt) spełnia warunek Lipschitza ze stałąK,

iii) (Zt) jest nieodróżnialny odoXt.

Dowód.Zdefiniujmy

Dn ={i

2nT : i = 0, . . . ,2n

},

D =⋃n∈N

Dn.

Dla dowolnegon ∈ N skonstruujemy ograniczony i lipschitzowski procesXnt okréslony naD i takiżeE (Xnt | Ft) = Zt p.n. dlat ∈ Dn. Znajdziemy następnie podciągXn zbiegający prawie wszędzienaD × Ω do X i taki że E (Xt | Ft) = Zt p.n. dlat ∈ D orazX ograniczony i lipschitzowski.Następnie rozszerzymyX na cały odcinek[0,T ] przez ciągłósć i pokażemy, żeZt jest nieodróżnialnyod oXt.

Rozpocznijmy zatem od konstrukcjiXn. W tym celu wykorzystamy prosty lemat

LEMAT 1.22. NiechG1 ⊆ G2 będą dwomaσ-ciałami. Dla dowolnych zmiennych losowychZ1 ∈L1(Ω,G1), Z2 ∈ L1(Ω,G2) spełniających|E (Z2 | G1) − Z1| ≤ K możemy znaleź́c zmiennąlosowąH ∈ L1(Ω,G2), taką że|H − Z2| ≤ K orazZ1 = E (H | G1).

Dowód lematu.WeźmyH = Z2 −(E (Z2 | G1)− Z1

).

Oznaczmy punkty wDn przez rosnący ciąg(ti)i=0,...,2n ⊆ Dn. KładziemyXnT = ZT . Na mocypowyższego lematu indukcyjnie obliczamyXnt2n−1 ,X

nt2n−2

, . . . ,Xn0 :

Xnti−1 = Xnti −

(E (Xnti | Fti−1)− Zti−1

), i = 2n,2n − 1, . . . ,1.

RozszerzamyXn do całegoD przez liniową interpolację. Otrzymany proces jest mierzalny, ograni-czony przezKT i spełnia warunek Lipschitza ze stałąK.

Znajdziemy teraz podciągXn zbiegający prawie wszędzie naD × Ω do procesuX spełniającegoE (Xt | Ft) = Zt p.n. dlat ∈ D. Ustalmy dowolną miarę probabilistycznąµ naD kładącą niezerowąmasę na każdym z punktówD i rozważmy przestrzén L2(D × Ω,µ ⊗ P). Wszystkie procesyXn sąelementami tej przestrzeni, ponieważ są ograniczone przezKT .

LEMAT 1.23. IstniejeX ∈ L2(D×Ω,µ⊗P) i ciągHn ∈ conv(Xn,Xn+1, . . .) zbieżny doX p.n.

Dowód lematu. Lemat ten wykorzystywany jest w wielu pracach. Pełny jego dowód znajduje się wpracy Delbaena i Schachermayera [7]. My przedstawimy tylko szkic. Na mocy twierdzenia Banacha-Alaoglu, kula o promieniuKT jest słabo zwarta wL2(D × Ω,µ ⊗ P), czyli istnieje podciągXnkzbieżny słabo do pewnegoX. Następnie z twierdzenia Hahna-Banacha o oddzielaniu dostajemy, żeX należy do domknięcia otoczki wypukłej(Xn)n∈N, a także do otoczki wypukłej(Xn)n≥N dla do-wolnegoN . Stąd istnieje ciągHn ∈ conv(Xn,Xn+1, . . .) zbiegający doX p.n. (wzięty jako podciągciągu zbieżnego wL2).

26 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Wszystkie elementyconv(Xn,Xn+1, . . .) są ograniczone przezKT i spełniają warunek Lipschit-za ze stałąK. Te własnósci zachowuje też punktowa granica. Ponadto, na mocy twierdzenia o zbież-nósci zmajoryzowanej

E (Xt | Ft) = limn→∞

E (Xnt | Ft) = Zt, t ∈ D.

RozszerzamyX do całego odcinka[0,T ] przez ciągłósć. Wtedy(oXt) = (Zt) z dokładnósciądo nieodróżnialnósci na mocy prawostronnej ciągłości (Zt) i równósci E (Xt | Ft) = Zt na gęstympodzbiorze[0,T ].

Powyższe twierdzenie, ze względu na wzrost ograniczenia na trajektorie procesu wraz zT , pozwa-la na zastosowanie dla skończonego horyzontu czasowego.

TWIERDZENIE 1.24. Załóżmy, żeI = [0,T ], T < ∞. Na rynkuJ nie ma możliwósci uogól-nionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje proces adaptowany(y(t))t∈[0,T ] o trajektoriachcádlág i stałaM , takie że

i) P(0 < y(t) ≤M ∀t ∈ R+) = 1,ii) y(t) jest warunkowo lipschitzowski,

iii) E∑N

i=1 γiy(τi) ≤ 0 dla dowolnego∑N

i=1 γiδτi ∈ J .

1.4. Ciągłe deflatory

Poniższy model, podobnie jak następny, będzie prezentował drogę konstrukcji zapowiedzianą w pod-rozdziale 1.2. Ustalmy przestrzeń

X = Γ ={ N∑

i=1

γiδτi ∈ D : γi ∈ L1(Ω,Fτi), i = 1, . . . ,N}

i okréslmy na niej topologięτ poprzez podanie zbioru funkcjonałów liniowych. NiechY będzie prze-strzenią wszystkich ograniczonych, mierzalnych procesów o ciągłych trajektoriach. Dualność zadaje-my wzorem

〈x,y〉〈X,Y 〉 = EN∑

i=1

γiy(τi).

Przyjmujemyτ = σ(X,Y ). Wykażemy, że model(Γ, τ) spełnia założenia twierdzenia 1.3.

TWIERDZENIE 1.25. Model (Γ, τ) spełnia założenia twierdzenia 1.3, tzn.

i) Y separuje punktyΓ,ii) τ jest lokalnie wypukłą topologią,

iii) spełnione są założenia C i L.

Dowód.Wykażemy najpierw i). Zauważmy, że elementyY działają nax ∈ Γ w ten sam sposób, coelementyL∞∗ (Ω,M′). Ponadto,Y zawieraL∞∗ (Ω,M′), ponieważ procesy lipschitzowskie są ciągłe.Wykazalísmy, żeL∞∗ (Ω,M′) oddziela punktyΓ, więc przestrzén Y też. Na mocy lematu V.3.3 z mo-nografii Dunforda, Schwarza [8] wynika, że topologiaσ(Γ,Y ) jest lokalnie wypukła. Założenia L

1.5. DOBRY ZBIÓR DEFLATORÓW 27

dowodzimy w podobny sposób jak w twierdzeniu 1.17 biorąc opcjonalne projekcje elementów zY .Wykazanie założenia C wymaga spojrzenia naY jako na podprzestrzeń L∞(Ω × R+,F ⊗ B(R+),P ⊗ | · |). TopologiaL∞ naY jest silniejsza niżσ(Y ,X): jeśli ‖yn − y‖L∞ → 0, to E γyn(σ) →E γy(σ) dla dowolnego momentu stopuσ i γ ∈ L1(Ω,Fσ,R) na mocy twierdzenia o zbieżności zma-joryzowanej (majorantą jestγM dla pewnej stałejM ). A zatem założenieC jest spełnione, gdyż jestono trywialnie spełnione w przestrzeni BanachaL∞(Ω× R+,F ⊗ B(R+),P⊗ | · |).

Jako wniosek z twierdzenia 1.3 dostajemy

LEMAT 1.26. Na rynkuJ nie ma możliwósci uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy ist-nieje proces mierzalnyy(t)(ω) i stałaM , takie że

i) P(|y(t)| ≤M ∀t ∈ R+) = 1,ii) prawie wszystkie trajektoriey(t) są ciągłe,

iii) P(oy(t) > 0 ∀t ∈ R+) = 1,iv) E

∑Ni=1 γiy(τi) ≤ 0 dla dowolnej inwestycji

∑Ni=1 γiδτi ∈ J .

Jésli filtracja jest quasi-lewostronnie ciągła, tzn.Fσ = Fσ− dla dowolnego prognozowalnego mo-mentu stopuσ, to możemy ograniczýc przestrzén Y do procesów adaptowanych, ciągłych.

LEMAT 1.27. Załóżmy, że filtracja jest quasi-lewostronnie ciągła. Na rynkuJ nie ma możliwósciuogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje proces adaptowanyy(t)(ω) o ciągłychtrajektoriach i stałaM , takie że

i) P(0 < y(t) ≤M ∀t ∈ R+) = 1,ii) E

∑Ni=1 γiy(τi) ≤ 0 dla dowolnej inwestycji

∑Ni=1 γiδτi ∈ J .

Dowód.Lewa implikacja jest oczywista na mocy lematu 1.26. Wykażemy teraz implikację w drugąstronę. Na mocy lematu 1.26 istnieje procesg ∈ Y . Niechy = og będzie opcjonalną projekcjąg,zás z = pg – prognozowalną projekcją. Wtedy procesy jest cádlág , zás procesz jest cáglád, czylilewostronnie ciągły z prawostronnymi granicami (patrz podrozdział VI.7 w Rogers, Williams [26]).Zauważmy, że dla dowolnego prognozowalnego momentu stopuσ

yσ1σ

28 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

założenie lub, inaczej, najmniejszy zbiór funkcjonałówY . Na mocy założenia R wiemy, żeY jest pod-przestrzenią adaptowanych procesów cádlág . Zwróćmy uwagę, że zbiórY składa się ze wszystkichadaptowanych procesów cádlág , które spełniają warunek CV tzn.

EZny(σn) → EZy(σ)

dla ciągówZn i σn jak w definicji CV. Ze względu na definicjęΓ rozważamy jedynie ograniczonemomentyσn. Z dowodu lematu 1.6 wynika, że każdy procesy ∈ Y jest ograniczony na zbiorachzwartych (w tym przypadku wystarczy, byΓ była jak powyżej).

Udowodnimy, że model(Γ, τ) spełnia założenia twierdzenia 1.3. Głównym problemem będziewykazanie założenia C.

TWIERDZENIE 1.28. Na rynkuJ nie ma możliwósci uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy,gdy istnieje proces stochastycznyy spełniający następujące warunki

i) y jest adaptowany i cádlág,

ii) y spełnia warunek CV,

iii) P(y(t) > 0 ∀t ∈ R+) = 1,iv) E

∑Ni=1 γiy(τi) ≤ 0 dla dowolnej inwestycji

∑Ni=1 γiδτi ∈ J .

Dowód.Równoważnósć zaprezentowana w twierdzeniu jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia1.3. Musimy zatem udowodnić założenia tego twierdzenia. KładziemyX = Γ. Zauważmy najpierw,że przestrzén L∞∗ (Ω,M′) jest zawarta wY (ograniczone i lipschitzowskie procesy są ciągłe, więcspełniają warunek CV na mocy lematu 1.7) orazL∞∗ (Ω,M′) oddziela punktyΓ, czyli Y równieżoddziela punktyΓ. Zatem topologiaτ = σ(X,Y ) jest lokalnie wypukła.

Założenie L dowodzimy identycznie jak w twierdzeniu 1.17 pomijając jedynie operację opcjonal-nej projekcji, gdyż opcjonalna projekcja procesu adaptowanego jest nieodróżnialna od niego samego.

Wykazanie założeniaC wymaga lokalizacji. Niech(yn)n∈N będzie rodziną procesów wY . Skon-struujemy ciąg dodatnich liczbαn o tej własnósci, że szereg

∑Ni=1 αiyi jest zbieżny w(Γ, τ). Jak

wspomnielísmy, dowolnyy ∈ Y jest jednostajnie ograniczony przez stałą na każdym przedziale[0,T ], T ≥ 0. PołóżmyyTn (t) = yn(t)1t≤T , n ∈ N. Rodzina(yTn )n∈N może býc traktowana jakopodzbiórL∞(Ω × [0,T ],F ⊗ B([0,T ]),P ⊗ | · |). Na mocy zupełnósci tej przestrzeni konstruujemyciąg liczb dodatnich(αTn )n∈N, taki że

∑Ni=1 α

Ti y

Ti zbiega do pewnegoy

T , gdyN →∞. OczywíscieyT jest procesem adaptowanym i cádlág jako jednostajna granica.

Do znalezienia globalnego ciągu(αn) użyjemy metody przekątniowej. Zauważmy najpierw, że je-śli T > S, to szereg

∑Ni=1 α

Ti y

Si jest zbieżny wL

∞(Ω×[0,S],F⊗B([0,S]),P⊗|·|). Prowadzi nas todo spostrzeżenia, że właściwym kandydatem na ciąg jestαn = αnn, n ∈ N. Oznaczmy przezzn sumyczę́sciowe:zn =

∑ni=1 αiyi. Ciągzn(t)1t≤T jest zbieżny wL

∞(Ω× [0,T ],F ⊗ B([0,T ]),P⊗ | · |).Niech zT będzie jego granicą, która z definicji przestrzeni i ciągłości procesówzn(t) jest zada-na z dokładnóscią do nieodróżnialności. Oczywíscie, (zT (t)1t≤S) jest nieodróżnialne od(zS(t))dla 0 ≤ S ≤ T . Zatem istnieje dokładnie jeden procesz, taki że (zT (t)) jest nieodróżnialny od(z(t)1t≤T ). Musimy jeszcze pokazać, żez ∈ Y . Warunki adaptowalnósci i cádlág są trywialnie speł-nione. Musimy skoncentrować się jedynie na CV. Weźmy ciągi(Zn), (σn) jak w definicji CV, przyczym, jak zaznaczyliśmy przed twierdzeniem, momentyσn,σ są ograniczone. Co więcej są one ogra-niczone przez wspólną stałą. Jeśli ciąg jest niemalejący, to stałą tą wyznaczaσ. Jésli jest nierosnący, tostałą wyznaczaσ1. Oznaczmy ją przezT . Z warunku, żezT jest jednostajnie ograniczony dostajemy

E z(σn)Zn = E zT (σn)Zn → E zT (σ)Z = E z(σ)Z,

1.6. WYCENA 29

Podobnie wykorzystujemy ograniczoność zT dlaT ≥ 0 do wykazania, żezn zbiega doz w topologiiτ . Wystarczy zauważýc, żeE zn(σ)γ = E z(σ)γ dla dowolnego ograniczonego momentu stopuσi γ ∈ L1(Ω,Fσ,P), co jest wnioskiem z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej (ograniczeniemjestγM dla pewnegoM ∈ R+). To kończy dowód warunku C.

1.6. Wycena

Dotychczas zajmowaliśmy się budowaniem modeli i analizowaniem ich z punktu widzenia finan-sowego. Głównym problemem, z którym się borykaliśmy, było wykazanie założeń twierdzenia 1.3,które dawało warunek równoważny brakowi uogólnionego arbitrażu, wyrażony w języku funkcjona-łów liniowych na przestrzeni(Γ, τ). W rozważanych przykładach funkcjonały te zadane były przezprocesy stochastyczne. Tutaj pokażemy, dlaczego procesy te są ważne i jak związane są z wycenąinstrumentów pochodnych.

Ustalmy model(Γ, τ), w którym przestrzén funkcjonałów liniowych ciągłych może być reprezen-towana przez przestrzeńY procesów stochastycznych z dualnością (1.1). Będziemy zakładać, że zbiórΓ jest dostatecznie bogaty, aby rozważać w nim instrumenty, które wprowadzimy poniżej. MożemyzaΓ wziąć przestrzén liniową generowaną przezγδη, gdzieη jest (ograniczonym) momentem stopu,zás γ ∈ L1(Ω,Fη). Ustalmy także rynekJ , na którym nie ma możliwósci uogólnionego arbitrażu.Oznaczmy przezGJ zbiór wszystkich deflatorów dla rynkuJ , czyli

y ∈ GJ ⇐⇒ y ∈ Y Γ+++ , y∣∣J≤ 0.

Zauważmy, że zbiór ten jest wypukłyḿscísle dodatnim stożkiem, tzn. jeśli y1,y2 ∈ GJ , to y1 + y2 ∈GJ orazαy1 ∈ GJ dlaα > 0.

DEFINICJA 1.29. Instrumentem pochodnym (opcją)nazywamy parę(Z,η), gdzieη jest momen-tem stopu, zásZ ∈ L1(Ω,Fη; R+) jest nieujemną zmienną losową.

Jest to nieznaczna modyfikacja powszechnie używanego pojęcia; pozwalamy mianowicie, by mo-ment wykonania był momentem stopu, a nie deterministyczną chwilą. Ponadto, dalsze rozumowaniamożemy także przeprowadzić dla instrumentów pochodnych będących sumą skończonej liczby instru-mentów zdefiniowanych powyżej. Pozwala to na rozszerzenie zakresu wycenianych opcji poza opcjeeuropejskie do np. obligacji komercyjnych i wielu innych skomplikowanych kontraktów. Zauważmytakże, że nasza definicja instrumentu pochodnego obejmuje opcje zależne od trajektorii, czyli opcjeazjatyckie i barierowe. Wyceną opcji amerykańskich zajmiemy się w następnym rozdziale, gdyż za-gadnienie to okaże się bardzo skomplikowane.

Spósród wielu metod wyceny opcji skupimy się na dwóch: wycenie arbitrażowej i cenie zabezpie-czenia. Znacznie szersze rozważania dotyczące tej tematyki można znaleźć w pracy Napp [20]. Jednakzaprezentowane tutaj dowody są bardziej elementarne i krótsze. Ponadto zajmujemy się przypadkiemdowolnego modelu(Γ, τ), a nie ustalonego, jak w pracy [20].

Będziemy zakładác, żeF0 jest uzupełnieniem trywialnegoσ-ciała, czyli cena opcji w momencie0jest liczbą.

Wycena arbitrażowa

Naturalnym podejściem do wyceny instrumentu pochodnego jest podejście wykorzystujące pojęciearbitrażu. Mówimy, że cenaC jest uczciwą ceną opcji, jeśli rozszerzenie rynku o dodatkowe możli-wości inwestycyjne związane z kupnem lub sprzedażą opcji nie prowadzi do powstania uogólnionego

30 ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

arbitrażu. Wykażemy, że zbiór uczciwych cen jest przedziałem i scharakteryzujemy go za pomocązbioru deflatorówGJ .

Z opcją(Z,η) o cenieC ∈ R zwiążemy inwestycje, polegające na zakupie lub sprzedaży tej opcji.Połóżmy

Ψ(ξ,C,η,Z) = ξ(Cδ0 − Zδη), ξ ∈ R.

InwestycjaΨ(−1,C,τ ,Z) reprezentuje zakup jednej opcji(Z,η) w momencie0 za cenęC. Sprzedaż toΨ(1,C,η,Z). Notacja ta pozwala na sformułowanie definicji uczciwej ceny.

DEFINICJA 1.30. CenęC nazywamyuczciwą, jeśli rynekJopc generowany przezJ i inwestycjeΨ(±1,C,η,Z) spełnia warunek braku uogólnionego arbitrażu.

Jésli zatemC jest uczciwą ceną, to na mocy twierdzenia 1.3 istnieje proces deflatora, czyli zbiórGJopcjest niepusty. OczywiścieGJopc ⊆ GJ . Zauważmy, że dla każdegoy ∈ GJopc

E{Cy(0)− Zy(η)

}≤ 0

E{− Cy(0) + Zy(η)

}≤ 0,

co dajeE{Cy(0)−Zy(η)

}= 0. ZatemC jest uczciwą ceną wtedy i tylko wtedy, gdy istniejey ∈ GJ ,

taki żeC = E {y(η)Z}/ E y(0).

LEMAT 1.31. Jésli C1 ≤ C2 są uczciwymi cenami opcji(Z,η), to każda cena z przedziału[C1,C2]jest uczciwa.

Dowód.Niechy1,y2 będą deflatorami dla cenC1 i C2. Ustalmy liczbęC ∈ [C1,C2]. Niecha ∈ [0,1]będzie liczbą spełniającąC = aC1 + (1 − a)C2. Połóżmyy(t) = a y

1(t)E y1(0) + (1 − a)

y2(t)E y2(0) . Wtedy

C = E {y(η)Z}E y(0) . Z wypukłósciGJ mamyy ∈ GJ .

Powyższy lemat pozwala na uzyskanie przedziału uczciwych cen. Niestety nie możemy nic po-wiedziéc o jego kóncach, tzn. czy prowadzą one do uogólnionego arbitrażu, czy nie.

WNIOSEK 1.32. Niech

Ch = supy∈GJ

E {y(η)Z}E y(0)

, C l = infy∈GJ

E {y(η)Z}E y(0)

.

Każda cena z przedziału otwartego(C l,Ch) jest uczciwa, a każda cena spoza przedziału domknię-tego[C l,Ch] jest nieuczciwa.

Dowód.Dla każdegoC ∈ (C l,Ch) możemy znaleź́c ceny uczciweC1 ≤ C ≤ C2. Lemat 1.31stwierdza, żeC jest uczciwą ceną. Druga część wniosku jest oczywista.

Cena zabezpieczenia

Wystawca opcji zainteresowany jest wiedzą, czy cena, którą zaproponował, pozwoli mu na znalezieniestrategii zabezpieczającej wypłatę. Pytać się może także o istnienie minimalnej ceny zabezpieczającej.Wykażemy, że taka minimalna cena istnieje i jest równa wartościCh z wniosku 1.32. Dla wygodyzapisu oznaczmyΨC = Ψ(−1,C,η,Z) dla ustalonej opcji(Z,η).

DEFINICJA 1.33. LiczbaC jestceną zabezpieczeniaopcji (Z,η), jeśli ΨC ∈ J − Γ+, gdzie do-mknięcie jest w topologiiτ .

1.6. WYCENA 31

Istnieje więc ciągΨn ∈ J − Γ+ zbieżny doΨC . Każdy elementΨn jest inwestycją dostępną narynku J pomniejszoną o pewną konsumpcję. Istnieje więc ciąg inwestycji z konsumpcją zbieżnydo ΨC , czyli zabezpieczający opcję. Zauważmy, że wyrażenieJ − Γ+ występuje także w definicjiuogólnionego arbitrażu.

Poruszylísmy już temat istnienia minimalnej ceny zabezpieczającej. Połóżmy

h = inf{b ≥ 0 : b jest ceną zabezpieczenia}.

Wykażemy, żeh jest ceną zabezpieczenia. Niechbn będzie ciągiem cen zabezpieczenia zbieżnym doh. Wtedy

(Ψbn

)n∈N zbiega doΨ

h w (Γ, τ). Z Ψbn ∈ J − Γ+ dostajemyΨh ∈ J − Γ+. Minimalnącenę zabezpieczenia będziemy nazywać ceną sprzedającego i oznaczać Cs. Okazuje się, że jest onarównaCh z wniosku 1.32.

TWIERDZENIE 1.34. Cs = Ch

Dowód.Udowodnimy najpierw, żeCs ≥ Ch. Z faktu, żeCs jest ceną zabezpieczenia wynika, żeΨC

s ∈ J − Γ+. Czyli dla każdego deflatoray ∈ GJ mamyE {Zy(η)} − Cs E y(0) ≤ 0. Stąd

Cs ≥ E {Zy(η)}E y(0)

dla dowolnegoy ∈ GJ ,

co dajeCs ≥ supy∈GJE {Zy(η}

E y(0) = Ch.

Jésli Ch = ∞, toCs = ∞. Możemy założýc, żeCh < ∞. Pokażemy, żeCh jest ceną zabezpie-czenia. Przeprowadzimy rozumowanie przez sprzeczność. Przypúsćmy, żeCh nie jest ceną zabezpie-czenia, czyliΨC

h/∈ J − Γ+. Z twierdzenia Hahna-Banacha o oddzielaniu istniejeh ∈ Y Γ++ (patrz

dowód twierdzenia 1.3), taki że

E {Zh(η)} − Ch Eh(0) > 1, h|J ≤ 0. (1.3)

DefinicjaCh gwarantuje istnienie deflatoray ∈ GJ , takiego żeCh − 12 ≤E {Zy(η)}

E y(0) . Niech ỹ(t) =y(t)

E y(0) + h(t). Oczywíscieỹ ∈ YΓ+++ i ỹ ∈ GJ . Ponadto,

Ch ≥ E {Zỹ(η)}E ỹ(0)

.

Z drugiej strony, z (1.3) dostajemy

ChE ỹ(0) = Ch + ChEh(0)

= (Ch − 12) +

12

+ ChEh(0)

≤ E {Zy(η)}E y(0)

+12

+ ChEh(0)

<E {Zy(η)}

E y(0)+

12

+ E {Zh(η)} − 1

= E {Zỹ(η)}+ 12− 1

< E {Zỹ(η)} − 12.

Łącząc dwie otrzymane nierówności dostajemy sprzeczność:

E {Zỹ(η)} ≤ ChE ỹ(0) < E {Zỹ(η)} − 12.

Rozdział 2

Modelowanie i wycena opcjiamerykańskich

NiechI ⊆ R+ będzie dowolnym zbiorem momentów. Rodzinę zmiennych losowych(A(t)

)t∈I na-

zywamy opcją amerykánską ze zbiorem momentów wykonaniaI. Jésli właściciel tej opcji zdecydujesię na jej wykonanie w momencie losowymτ , to jego wypłata wyniesieA(τ). Opcja amerykánskatym różni się od rozważanych w poprzednim rozdziale opcji typu europejskiego, że nie specyfikujemomentu wykonania, pozostawiając dowolność jej posiadaczowi. Powoduje to znaczne komplika-cje przy wycenie i zabezpieczaniu tego typu instrumentów. Jednak przy powszechnie stosowanympodej́sciu z procesami cen i strategiami inwestycyjnymi (patrz np. Karatzas, Schreve [15]) nie maprzynajmniej kłopotu z okrésleniem, co rozumiemy przez strategię zabezpieczającą. Portfel zbudo-wany zgodnie z taką strategią musi w każdym momencie stopuτ majoryzowác wypłatę, tzn. posiadaćbogactwo nie mniejsze niżA(τ) w przypadku modeli bez kosztów transakcji lub zawierać okréslonąliczbę każdego z instrumentów podstawowych w przypadku modeli z kosztami transakcji. Rozważmymodel bez ograniczeń i kosztów transakcji, z rachunkiem bankowym o zerowej stopie procentowej ioznaczmy przezQ zbiór miar martyngałowych dla procesów cen. Wtedy cena zabezpieczenia opcjiamerykánskiej wynosi

supτ∈S

supP∈Q

E PA(τ),

gdzieS jest zbiorem momentów stopu o wartościach wI. Zauważmy zatem, że jeśli istnieje momentτ ∈ S realizujący supremum, to cena opcji amerykańskiej jest równa cenie opcji europejskiej o wy-płacieA(τ) w momencieτ . Nic zatem nie kosztuje to, że właściciel opcji może zażądać jej wykonaniaw innym momencie.

W bieżącym rozdziale zajmiemy się zbudowaniem modelu na bazie przepływów pozwalającegona rozważanie opcji amerykańskich oraz okrésleniem warunków dostatecznych, by w modelu tymwycena opcji amerykánskich polegała na wycenie kontraktu europejskiego o optymalnym momenciewykonania. Pokażemy, że brak kosztów transakcji gwarantuje już tą własność. Nie wpływa na niąistnienie innych niedoskonałości rynku, jak wypukłe ograniczenia na zawartość portfela, możliwósćbankructwa firm i wystawców obligacji itp.

W modelach z przepływami, rozważanych w poprzednim rozdziale, nie istnieje pojęcie składuportfela w dowolnym momencie. Możliwości inwestycyjne zdradzają tylko przepływy pieniężne,które wynikają z zastosowanej strategii. Nie można zatem bezpośrednio przeniésć zaprezentowane-go powyżej pojęcia strategii zabezpieczającej. Zamiast tego, musimy stworzyć całkiem nowe podej-ście, które odpowiadałoby obserwacjom prawdziwego rynku i wpisywało się w możliwości modeli z

33

34 ROZDZIAŁ 2. MODELOWANIE I WYCENA OPCJI AMERYKAŃSKICH

przepływami. Załóżmy, że zbiór momentów wykonaniaI jest przeliczalny. Strategia zabezpieczającaopcję amerykánską

(A(t)

)t∈I musi zapewníc wypłatęA(t), jeśli posiadacz opcji wykona ją w mo-

menciet ∈ I. Aby to osiągną́c rozważmy rodzinę inwestycji(Π(t)

)t∈I . InwestycjaΠ(t) odpowiada

sposobowi postępowania, gdy inwestor zdecyduje się na wykonanie opcji w momenciet ∈ I. Stra-tegieΠ(s) i Π(t) nie mogą býc jednak dowolne. Muszą się one pokrywać na przedziale[0, t ∧ s).Algorytm inwestowania jest następujący: w każdym punkcies ∈ I sprawdzamy, czy inwestor chcewykonác opcję. Jésli nie, to postępujemy zgodnie z dowolną strategiąΠ(t) dlat > s. Jésli tak, to kon-tynuujemy inwestowanie zgodnie zΠ(s), co, między innymi, zapewni wypłacenie inwestorowiA(s).Rozumując analogicznie do wyceny opcji europejskich, strategiaΠ =

(Π(t)

)t∈I zabezpieczająca

wypłatę(A(t)

)t∈I ma postác

Π(t) = −Cδ0 +A(t)δt, t ∈ I.

LiczbęC nazwiemy ceną zabezpieczenia.

2.1. Model rynku amerykańskiego

Uścíslimy teraz sposób zapisu inwestycji na rynku amerykańskim. Ustalmy model(Γ, τ). Załóżmy,że ma on zanurzenie w przestrzeni BanachaX, czyli Γ jest podprzestrzenią liniowąX, zás τ jestobcięciem topologii normowej doΓ. Przykładem jest model z podrozdziału 1.3. NiechI będzie do-wolnym, co najwyżej przeliczalnym podzbioremR+. Ustalmy ciąg liczb dodatnich

(a(t)

)t∈I o sumie

1. NiechN = L1(I,2I ,µ;X), gdzieµ jest miarą probabilistycznąµ({t}) = a(t), t ∈ I, będzie prze-strzenią całkowalnych w sensie Bochnera funkcji o wartościach w przestrzeni BanachaX. PrzestrzénN jest zatem przestrzenią Banacha. Ze względu na wyjątkowo prostą formęI możemy definicje ifakty dotyczące przestrzeniN sformułowác prosto i bezpósrednio dowiésć. PrzestrzénN składa sięz tych funkcjiσ : I → X, dla których‖σ‖N

2.1. MODEL RYNKU AMERYKAŃSKIEGO 35

Dowód.Niechσ∗ ∈ N ∗. ZdefiniujmyΦ(t) ∈ Y przez

〈Φ(t),γ〉〈Y ,X〉 = 〈σ∗,γζ(t)〉〈N ∗,N〉 dla dowolnegoγ ∈ X.

FunkcjonałΦ(t) ∈ Y , t ∈ I, jest jednoznacznie określony przezσ∗. Oznaczmy

M = supt∈I

a(t)−1‖Φ(t)‖Y .

Wykażemy, że‖σ∗‖N ∗ = M . Zaczniemy od nierównósci M ≤ ‖σ∗‖N ∗ . Ustalmy� > 0, t ∈ I.Weźmyγ ∈ X o normie1 i taki że

〈Φ(t),γ〉〈Y ,X〉 ≥ ‖Φ(t)‖Y − a(t)�.

Niechσ = a(t)−1γζ(t). Zauważmy, że‖σ‖N = 1 oraz

‖σ∗‖N ∗ ≥∣∣〈σ∗,σ〉〈N ∗,N〉∣∣ = ∣∣∣〈Φ(t), 1a(t)γ〉〈Y ,X〉

∣∣∣ ≥ 1a(t)

‖Φ(t)‖Y − �

Z dowolnósci �, t dostajemy‖σ∗‖N ∗ ≥ a(t)−1‖Φ(t)‖Y , t ∈ I, czyli

‖σ∗‖N ∗ ≥M.

Aby uzyskác przeciwną nierównósć rozważmyσ ∈ N z normą1. Niech {q1, q2, . . .} będzie cią-giem wyczerpującym zbiórI. Niechσn =

∑ni=1 σ(qi)ζ(qi) będzie obcięciemσ do n pierwszych

współrzędnych. Wtedy

〈σ∗,σn〉〈N ∗,N〉 =n∑

i=1

〈Φ(qi),σ(qi)〉〈Y ,X〉 ≤n∑

i=1

‖Φ(qi)‖Y ‖σ(qi)‖X

≤ supi=1,...,n

1a(qi)

‖Φ(qi)‖Yn∑

i=1

a(qi)‖σ(qi)‖X

≤Mn∑

i=1

a(qi)‖σ(qi)‖X .

Ponieważσn zbiega doσ w N , gdyn→∞, mamy

〈σ∗,σ〉〈N ∗,N〉 ≤M‖σ‖N = M.

Wykażemy teraz przeciwną implikację. Weźmy(Φ(t))t∈I ⊆ Y spełniające

M = supt∈I

a(t)−1‖Φ(t)‖Y

36 ROZDZIAŁ 2. MODELOWANIE I WYCENA OPCJI AMERYKAŃSKICH

Zdefiniujemy teraz rynek amerykański i pojęcie uogólnionego arbitrażu. Niech

Σ ={σ ∈ N : σ(t) ∈ Γ, σ(s)

∣∣[0,s) = σ(t)

∣∣[0,s) ∀t,s ∈ I, s < t

}.

Czyli σ ∈ Σ, jeśli σ(s) i σ(t) reprezentują możliwósci inwestycyjne identyczne na przedziale[0,s)dla dowolnychs, t ∈ I, s < t. Zbiór Σ pełni taką samą rolę dla rynku amerykańskiego, jak zbiórΓdla europejskiego.

PRZYKŁAD 2.1 (Model ilustracyjny). WeźmyI = {0,1,2,3},

X = L1(Ω,F0)× L1(Ω,F1)× L1(Ω,F2)× L1(Ω,F3),

gdzie(Ft)t∈I jest filtracją. NaX ustalmy normęl1, tzn. norma(γ0,γ1,γ2,γ3) ∈ X wynosi‖γ0‖ +‖γ1‖+‖γ2‖+‖γ3‖. PrzyjmujemyΓ = X, czyli każda możliwósć inwestycyjna może miéc przepływytylko w momentach zI i jest postaci

γ0δ0 + γ1δ1 + γ2δ2 + γ3δ3.

PrzestrzénN jest identyczna zXI z normą

‖σ‖N = ‖σ(0)‖X + ‖σ(1)‖X + ‖σ(2)‖X + ‖σ(3)‖X .

Dla dalszych rozważán przyjmijmy następującą reprezentację elementówσ ∈ N :

σ(i) = γi0δ0 + γi1δ1 + γ

i2δ2 + γ

i3δ3, i ∈ I.

Zbiór Σ składa się wtedy z elementówσ ∈ N , które spełniają warunki

• γ10 = γ20 = γ30 ,• γ21 = γ31 ,

czyli np. strategieσ(2) i σ(3) zgadzają się na przedziale[0,2), tzn. w punktach0 i 1.Na powyższym prostym przykładzie możemy wskazać intuicje stojące za podaną