Universitas Kristen Indonesiarepository.uki.ac.id/705/1/INTEGRAL TENTU JILID 2, EDISI...1 1.1. LUAS...
Transcript of Universitas Kristen Indonesiarepository.uki.ac.id/705/1/INTEGRAL TENTU JILID 2, EDISI...1 1.1. LUAS...
-
JILID 2
EDISI 1
BUKU
INTEGRAL-TENTU
β« π(π₯)ππ₯π
π
Disusun Oleh :
Jitu Halomoan Lumbantoruan, S.Pd., M.Pd
2019
-
i
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur saya ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena dengan
pertolongan-Nya saya dapat menyelesaikan bahan ajar βINTEGAL TENTUβJilid 2,
Edisi pertama. Penulis menyadari betul banyak rintangan dan hambatan dalam proses
pembuatan buku ini, akan tetapi Puji Tuhan di dalam pembuatan buku ini saya berhasil
menyelesaikannya dengan baik.
Adapun tujuan penyusunan ini adalah untuk memenuhi kebutuhan dasar dari
setiap pembaca buku integral. Penyusunan buku ini tentu tidak terlepas dari dukungan
berbagai pihak, baik berupa dukungan materi maupun moril. Penulis menyadari bahwa
buku ini jauh dari kata sempurna dan banyak kekurangan sehingga penulis
membutuhkan kritik dan saran yang bersifat positif untuk menyempurnakan buku ini
di lain waktu. Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan pada
umumnya siswa siswi, mahasiswa dan masyarakat umum yang ingin mempelajari
Integral. Akhir kata saya ucapkan terimakasih dan salam buat kita semua.
Jakarta, 21 Februari 2019
Jitu Halomoan Lumban toruan, S.Pd., M.Pd
-
1
1.1. LUAS BIDANG RATA
Pembahasan singkat tentang luas di dalam diperlukan untuk memberikan dasar tentang
defenisi integral tentu. Setelah konsep ini benar-benar dipahami,kita berbalik arah,dan
mengunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah-daerah yang bentuknya
rumit. Seperti biasa kita mulai dengan kasus yang sederhana.
Contoh. π¦ = π(π₯) menentukan persamaan sebuah kurva pada bidang π₯π¦ dan π kontinu
dan tak-negatif pada selang (interval) π β€ π₯ β€ π. Tinjaulah daerah π yang dibatasi
oleh grafik-grafik dari π¦ = π(π₯), π₯ = π. π₯ = π dan π¦ = 0. Kita mengacu π ,
sebagai daerah di bawah π¦ = π(π₯) antara π₯ = π. Luasnya,
π΄(π ),ditentukan oleh :
Defenisinya dapat ditinjau atau dilihat dari gambar di bawah ini.
Contoh 1. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = π₯4 β 2π₯3 + 2 antara
π₯ = β1 dan π₯ = 2.
Penyelesaian : Daerah π dapat dilihat pada Gambar.
π΄(π ) = β« π(π₯)ππ₯π
π
BAB 1 LUAS DAERAH BIDANG RATA
-
2
π΄(π ) = β« π₯4 β 2π₯3 + 2 ππ₯2
β1
= βπ₯5
5β
π₯4
2+ 2π₯β
β1
2
= (32
5β
16
2+ 4) β (β
1
5β
1
2β 2)
=51
10
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik π¦ = π(π₯) terletak di
bawah sumbu β π₯, maka :
adalah bilangan yang negatif, sehingga tak dapat melukiskan suatu luas. Akan tetapi
bilangan itu adalah negatif untuk luas daerah yang dibatasi oleh π¦ = π(π₯), π₯ = π, π₯ =
π dan π¦ = 0.
Contoh 2. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh π¦ =π₯2
3β 4, sumbu π₯. π₯ = β2,
dan π₯ = 3.
Penyelesaian : Daerah π diperlihatkan pada Gambar.
A(R) = β β« (π₯2
3β 4)
3
β2
ππ₯
= β« (π₯2
3+ 4)
3
β2
ππ₯
β« π(π₯)ππ₯π
π
-
3
= [π₯3
9+ 4π₯]
β2
3
= (β27
9+ 12) β (
8
9β 8)
=145
9
Contoh 3. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh π¦ = π₯3 β 3π₯2 β π₯ + 3, ruas
sumbu π₯ antara π₯ = β1 dan π₯ = 2, dan oleh garis π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« (π₯3 β 3π₯2 β π₯ + 3)1
β1
ππ₯ β β« (π₯3 β 3π₯2 β π₯ + 3)ππ₯2
1
= [π₯4
4β π₯3 β
π₯2
2+ 3π₯]
β1
1
β [π₯4
4β π₯3 β
π₯2
2+ 3π₯]
1
2
=23
4
Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan luas daerah itu sebagai satu integral dengan
menggunakan lambang nilai mutlak, yaitu ;
Tetapi penulisan ini bukan penyederhanaan dalam perhitungan, sebab untuk
menghitung integral terakhir ini kita harus menulis integral ini sebagai dua integral
seperti telah kita lakukan. Cara Berfikir Yang Dapat Membantu. Sampai kini baik
untuk daerah-daerah sederhana sejenis yang ditinjau diatas, mudah sekali menuliskan
integral yang benar. Bilamana kita meninjau daerah yang lebih rumit (misalnya, daerah
di antara dua kurva), tugas pemilihan integral yang benar lebih sukar. Tetapi, terdapat
π΄(π ) = β« |π₯3 β 3π₯2 β π₯ + 3|2
β1
ππ₯
-
4
suatu cara berfikir yang dapat sangat membantu. Pemikiran itu kembali ke defenisi luas
dan integral tentu. Berikut cara berfikir tersebut dalam lima langkah.
Langkah 1
Gambarlah daerah yang bersangkutan dan Potonglah menjadi jalur-
jalur serta berilah nomor pada suatu jalur tertentu.
Langkah 2
Hampiri luas suatu jalur suatu tertentu tersebut dengan luas persegi
panjang yang sesuai.
Langkah 3 Jumlahkan luas aproksimasi tersebut.
Langkah 4
Ambillah kemudian limit dan jumlah itu dengan jalan menunjukkan
jalur ke nol lebar sehingga diperoleh suatu integral tertentu.
Untuk menjelaskannya, perhatikanlah contoh sederhana berikut ini.
Contoh 4. Susunlah integral untuk luas daerah dibawah kurva π¦ = 1 + βπ₯ yang
terletak antara garis dengan persamaan π₯ = 0 dan π₯ = 4.
Penyelesaian :
Gambar 1.1 Gambar 2.2.
-
5
3. Apromaksimasi luas jalur
βπ΄π β (1 + βπ₯π)βπ₯π
4. Jumlahkan : π΄ β β(1 + βπ₯π)βπ₯π
m5. Ambil limitnya :
π΄ = β« (1 + βπ₯)ππ₯4
0
Gamabar 1.3
βπ΄ = (1 + βπ₯)βπ₯
π΄ = β« (1 + βπ₯)4
0ππ₯
Setelah kita pahami benar prosedur lima langkah tersebut, kita dapat menyingkatnya
menjadi tiga langkah yaitu: Potong-potong, (slice), aprokmasikan, integralkan.
Ingatlah bahwa mengitegralkan berarti,menjumlahkan dan mengambil limit apabila
panjang jalur menjadi nol. Dalam proses ini β βπ₯ berubah menjadi
β« ππ₯, pada gambar menunjukkan proses yang telah dipersingkat itu untuk soal yang
sama. Daerah Antara Dua Kurva. Tinjaulah kurva-kurva π¦ = π(π₯) dan π¦ = g(π₯)
dengan g(π₯) β€ π(π₯) pada selang π β€ π₯ β€ π. Kurva-kurva ini dan selang itu
-
6
membatasi daerah yang terdapat pada gambar. Kita gunakan cara: Potong, aproksimasi,
integralkan untuk menentukan luas daerah tersebut.
βπ΄ β [π(π₯) β g(π₯)]βπ₯
π΄ = β« [π(π₯) β g(π₯)]ππ₯π
π
Bahwa π(π₯) β g(π₯) adalah tinggi jalur potong yang benar; walaupun kurva g berada
di sebelah bawah sumbu π₯. Sebab dalam hal ini g(π₯) negatif; jadi mengurangi dengan
g(π₯) berarti menjumlahkan dengan bilangan yang positif. Anda dapat melihat sendiri
bahwa π(π₯) β g(π₯) adalah tinggi jalur yang benar. Sekalipun π(π₯) dan g(π₯) adalah
negatif.
Contoh 5. Tentukan luas daerah antara kurva π¦ = π₯4 dan π¦ = 2π₯ β π₯2.
Penyelesaian
Kita mulai menentukan titik-titik potong kurva-kurva tersebut dan kemudian
menggambarkannya. Jadi kita mencari akar-akar persamaan 2π₯ β π₯2 = π₯4.Suatu
persamaan berderajat empat, yang biasanya tidak mudah terpecahkan. Akan tetapi,
tampak bahwa π₯ = 0 dan π₯ = 1, adalah dua diantara akar-akarnya.Gambar daerah,
potongan jalur dan aproksimasi serta integral yang bersangkutan dapat dilihat
-
7
βπ΄ = (2π₯ β π₯2 β π₯4)βπ₯
π΄ = β« (2π₯ β π₯2 β π₯4)ππ₯1
0
Masih ada satu tugas lagi, yaitu menghitung integral.
= β« (2π₯ β π₯2 β π₯4)ππ₯1
0
= [π₯2 βπ₯3
3β
π₯5
5]
0
1
= (1 β1
3β
1
5)
= 7
15
Contoh 6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabol π¦2 = 4π₯ dan garis 4π₯ β
3π¦ = 4.
Penyelesaian
Kita tentukan titik potong parabol dan garis koordinat y dari titik ini dapat diperoleh
dan penulisan persamaan yang kedua sebagai 4π₯ = 3π¦ + 4 dan kemudian dua
ungkapan untuk 4π₯ disamakan.
π¦2 = 3π¦ + 4
π¦2 β 3π¦ β 4 = 0
(π¦ β 4)(π¦ + 1) = 0
-
8
π¦ = 4, β1
Dengan demikian titik-titik potong tersebut adalah (4,4) dan (1
4, β1) .
Daerah yang harus dicari luasnya dapat dilihat pada Gambar.
Daerah ini kita potong-potong menjadi jalur-jalur tegak (vertikal), seperti terlihat pada
Gambar. Ada kesulitan sedikit, karena kurva batas bawah terdiri atas dua kurva. Di
sebelah kiri sekali jalur-jalur merentang dari bagian bawah parabol hingga bagian
atasnya, sedangkan untuk daerah sisanya jalur-jalur ini merentang dari garis hingga
parabol. Jadi, apabila kita menggunakan jalur-jalur tegak, kita bagi daerah yang
bersangkutan menjadi dua bagian, kemudian membentuk integral untuk masing-
masing bagian, kemudian menghitungnya. Suatu penyelesaian yang jauh lebih
sederhana ialah memotong daerah menjadi jalur-jalur yang datar, seperti dapat kita
lihat pada Gambar. Dalam hal ini kita menggunakan π¦ sebagai variabel dalam integral,
dan bukan π₯. Perhatikan bahwa jalur-jalur yang datar itu selalu bermula pada parabol
(di sebelah kiri) dan berakhir pada garis (di sebelah kanan).
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik π¦ = π(π₯) terletak di
bawah sumbu β π₯, maka :
-
9
adalah bilangan yang negatif, sehingga tak dapat melukiskan suatu luas. Ingatlah
bahwa mengitegralkan berarti,menjumlahkan dan mengambil limit apabila panjang
jalur menjadi nol. Dalam proses ini β βπ₯ berubah menjadi β« ππ₯, pada gambar
menunjukkan proses yang telah dipersingkat itu untuk soal yang sama.
βπ΄ β [3π¦ + 4
4β
π¦2
4] βπ¦, π΄ = β« [
3π¦ + 4
4β
π¦2
4]
4
β1
ππ¦
π΄ = β« [3π¦ + 4 β π¦2
4]
4
β1
ππ¦ =1
4β« (3π¦ + 4 β π¦2)ππ¦
4
β1
=1
4[3π¦2
2+ 4π¦ β
π¦3
3]
4
β1
= (24 + 16 β16
3) β (
3
2β 4 +
1
3)
β« π(π₯)ππ₯π
π
-
10
= 125 β 5,21
Ada dua hal yang harus diperhatikan, yaitu :
1. Integral yang menyangkut penjaluran datar variabel y, bukan π₯.
2. untuk memperoleh integral, kita nyatakan π₯ masing-masing dengan y dari
dua persamaan yang diketahui. Kemudian kita kurangkan nilai π₯ yang lebih
kecil (kurva kiri) dari nilai π₯ yang lebih besar (kurva kanan).
Jarak dan Perpindahan. Pandang suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus
dengan kecepatan π£(π‘) pada saat π‘. Bila π£(π‘) β₯/0, maka :
Menyatakan jarak yang ditempuh dalam selang waktu π β€ π‘ β€ π . Namun, π£(π‘)
dapat pula bernilai negative (yang berarti bahwa benda itu bergerak dalam arah
sebaliknya), maka :
Menyatakan perpindahan benda itu, yang berarti, jarak lurus dari tempat berangkat
π (π) ke tempat akhir π (π). Untuk mendapatkan jarak keseluruhan yang ditempuh
benda selama π β€ π‘ β€ π, kita harus menghitung:
β« π£(π‘)ππ‘π
π
β« π£(π‘)ππ‘π
π
β« π£(π‘)ππ‘ = π (π) β π (π)π
π
-
11
Luas daerah antara kurva kecepatan dan sumbuβ π‘. Di sebelah kiri sekali jalur-jalur
merentang dari bagian bawah parabol hingga bagian atasnya, sedangkan untuk daerah
sisanya jalur-jalur ini merentang dari garis hingga parabol. Jadi, apabila kita
menggunakan jalur-jalur tegak, kita bagi daerah yang bersangkutan menjadi dua
bagian, kemudian membentuk integral untuk masing-masing bagian, kemudian
menghitungnya.
Contoh 7. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = π₯3 + 2 antara π₯ = β1 dan
π₯ = 2.
Penyelesaian: Daerah π dapat dilihat pada Gambar.
π΄(π ) = β« (π₯3 + 2)ππ₯2
β1
= [π₯4
4+ 2π₯]
β1
2
= (16
4+ 4) β (
β1
4β 2)
=41
4
-
12
Contoh 8. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = π₯2 β 2π₯ + 4 antara π₯ = β1
dan π₯ = 2.
Penyelesaian:
.
π΄(π ) = β« (π₯2 β 2π₯ + 4 )ππ₯2
β1
= [π₯3
3β π₯2 + 4π₯]
β1
2
=36
3
Gambar 1.4
Menyatakan perpindahan benda itu, yang berarti, jarak lurus dari tempat berangkat s(a)
ke tempat akhir s(b). Untuk mendapatkan jarak keseluruhan yang ditempuh benda
selama π β€ π‘ β€ π, kita harus menghitung:
Luas daerah antara kurva kecepatan dan sumbuβ π‘.
Contoh 9. Tentukan luas daerah π dibawah kurva π¦ = π₯4 β 2π₯3 + 2 antara π₯ =
β1 dan π₯ = 2.
Penyelesaian :
π¦ = π(π₯), π₯ = π, π₯ = π, πππ π¦ = 0
β« |π£(π‘)ππ‘π
π
-
13
π΄(π ) = β« (π₯3 β 2π₯3 2
β1
+ 2) ππ₯
= [π₯5
5β
π₯4
2+ 2π₯]
β1
2
= (32
5β
16
2+ 4) β (β
1
5β
1
2β 2)
= 51
10
Contoh 10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabol π¦2 = 3π₯ dan garis 3π₯ β
2π¦ = 3.
Penyelesaian :
π¦2 = 2π¦ + 3
π¦2 β 2π¦ β 3 = 0
(π¦ β 3)(π¦ + 1) = 0
π¦ = 3, β1
Menyatakan jarak yang ditempuh dalam selang waktu π β€ π‘ β€ π. Namun, π£(π‘)
dapat pula bernilai negative (yang berarti bahwa benda itu bergerak dalam arah
sebaliknya), maka :
β« π£(π‘)ππ‘ = π (π) β π (π)π
π
-
14
Menyatakan perpindahan benda itu, yang berarti, jarak lurus dari tempat berangkat
π (π) ke tempat akhir π (π). Untuk mendapatkan jarak keseluruhan yang ditempuh
benda selama π β€ π‘ β€ π, kita harus menghitung:
Luas daerah antara kurva kecepatan dan sumbuβ π‘.
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik π¦ = π(π₯) terletak di
bawah sumbu β π₯, maka :
adalah bilangan yang negatif, sehingga tak dapat melukiskan suatu luas.
Contoh 11. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh π¦ = π₯2 β 2π₯3 β π₯ + 2 , ruas
sumbu π₯ antara π₯ = β1 dan π₯ = 2 dan oleh garis π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β«(π₯2 β 2π₯31
β1
β π₯ + 2)ππ₯ β β«(π₯2 β 2π₯22
1
β π₯ + 2)ππ₯
= [π₯3
3β π₯2 β
π₯2
1+ 3π₯]
β1
1
β [π₯3
3β π₯2 β
π₯2
1+ 3π₯]
β1
2
= 3 β (β4
3)
= 12
3
β« |π£(π‘)ππ‘π
π
β« π(π₯)ππ₯π
π
-
15
Di sebelah kiri sekali jalur-jalur merentang dari bagian bawah parabol hingga bagian
atasnya, sedangkan untuk daerah sisanya jalur-jalur ini merentang dari garis hingga
parabol. Jadi, apabila kita menggunakan jalur-jalur tegak, kita bagi daerah yang
bersangkutan menjadi dua bagian, kemudian membentuk integral untuk masing-
masing bagian, kemudian menghitungnya. Dalam hal ini kita menggunakan π¦ sebagai
variabel dalam integral, dan bukan π₯.
Contoh 12. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = π₯6 β 2π₯ + 4 antara π₯ = β2
dan π₯ = 2.
Penyelesaian:
π΄(π ) = β« (2
β2
π₯6 β 2π₯ + 4)
= [π₯7
7β π₯2 + 4π₯]
β2
2
= (128
7β 4 + 8) β (1287 + 4 β 8)
=367
7
-
16
1. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = 6π₯2 + π₯ + 4 antara π₯ = β1 dan
π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« 6π₯22
β1
+ π₯ + 4 ππ₯
= β―
= (β¦ ) β (β¦ +1
2+ β― )
=65
2
2. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = 8π₯3 β 3π₯2 β 1 antara π₯ = β1 dan
π₯ = 2.
Penyelesaian:
π΄(π ) = β« 8π₯3 β 3π₯2 β 1 2
β1
ππ₯
= β―
= (32 β β― β 2) β (β¦ )
= 18
3. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = 3π₯2 + 4π₯ + 4 antara π₯ = β1 dan π₯ =
2.
1. 2. Soal Isian
-
17
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« 3π₯2 + 4π₯ + 4 ππ₯2
β1
= β―
= (β¦ + 8 + β― ) β (β¦ )
= 27
4. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh
π¦ =3π₯2
2β 2, sumbu π₯.
π₯ = β2,dan π₯ = 3.
Penyelesaian :
A(R) = β β«3π₯2
2β 2 ππ₯
3
β2
= (β¦ +12
2) β (β¦ )
=55
2
5. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh
π¦ =6π₯2
2β 8, sumbu π₯.
. π₯ = β2 dan π₯ = 3.
Penyelesaian :
-
18
A(R) = β β«6π₯2
2β 8 ππ₯
3
β2
= β―
= (β¦ ) β (β¦ )
= 75
6. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh π¦ = 2π₯3 β π₯2 β 2π₯ + 2, ruas
sumbu π₯ antara π₯ = β1 dan π₯ = 2, dan oleh garis π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« 2π₯3 β π₯2 β 2π₯ + 2 ππ₯ β β« 2π₯3 β π₯2 β 2π₯ + 2 ππ₯2
1
1
β1
= β―
= β17
6
7. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh π¦ = π₯3 β 2π₯2 β π₯ + 4, ruas
sumbu π₯ antara π₯ = β1 dan π₯ = 2, dan oleh garis π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« π₯3 β 2π₯2 β π₯ + 4 ππ₯1
β1
= β―
= β―
= β9
12
-
19
8. Tentukan luas daerah antara kurva π¦ = 4π₯3 dan π¦ = π₯ β 3π₯3.
Penyelesaian :
= β« π₯ β 3π₯3 β1
0
4π₯3ππ₯
= β―
= β3
2
9. Tentukan luas daerah antara kurva π¦ = 3π₯5 dan π¦ = 2π₯ β 3π₯2
Penyelesaian :
= β« 2π₯ β 3π₯2 β 3π₯5 ππ₯1
0
= β―
= β1
2
10. Tentukan luas daerah antara kurva π¦ = 5π₯4 dan π¦ = 4π₯ β π₯3
Penyelesaian :
= β« 4π₯ β π₯3 β1
0
5π₯4 ππ₯
= β―
=3
4
11. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = 3π₯2 β 2π₯ + 4 antara π₯ = β1 dan
π₯ = 2.
Penyelesaian :
-
20
π΄(π ) = β« 3π₯2 β 2π₯ + 4 ππ₯2
β1
= β―
= 18
12. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = 10π₯4 β 3π₯2 + 2 antara π₯ = β1
dan π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« 10π₯4 β 3π₯2 + 2 ππ₯2
β1
= β―
= 63
13. Tentukan luas daerah π di bawah kurva π¦ = 6π₯2 + 6π₯ β 4 antara π₯ = β1 dan
π₯ = 2.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β« 6π₯2 + 6π₯ β 4 ππ₯2
β1
= β―
= 15
14. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh
π¦ =π₯3
4+ 6, sumbu π₯.
π₯ = β2 dan π₯ = 3.
-
21
Penyelesaian :
A(R) = β β« π₯3
4β + 6 ππ₯3
β2
= β―
= β―
=61
16
15. Tentukan luas daerah π yang dibatasi oleh
π¦ =3π₯2
2+ 2, sumbu π₯.
π₯ = β2 dan π₯ = 3.
Penyelesaian :
π΄(π ) = β β«3π₯2
2+ 2
3
β2
ππ₯
= β―
= β―
=15
2
-
22
Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang persamaannya
diketahui.Tunjuklah sebuah persegi-panjang dalam suatu jalur potongan,
aproksimasilah luasnya, susunlah integral yang sesuai dan kemudian hitunglah luas
daerah yang bersangkutan.
1. π¦ = 4 β 1
3π₯2 , π¦ = 0, antara π₯ = 0 dan π₯ = 3.
2. π¦ = 4π₯ β π₯2 , π¦ = 0, antara π₯ = 1 dan π₯ = 3.
3. π¦ = π₯2 β 2π₯ β 3, π¦ = 0, antara π₯ = 0 dan π₯ = 2.
4. π¦ =1
2(π₯2 β 10), π¦ = 0, antara π₯ = β2 dan π₯ = 3.
5. π¦ = π₯3, π¦ = 0, π₯ = β1, π₯ = 2.
6. π¦ = βπ₯, π¦ 3 = 0, π₯ = β1, π₯ = 8.
7. π¦ = βπ₯ β 4 , π¦ = 0, π₯ = 8.
8. π¦ = π₯2 β 4π₯ + 3, π₯ β π¦ β 1 = 0.
9. π¦ = π₯2, π¦ = π₯ + 2.
10. π¦ = 2βπ₯, π¦ = 2π₯ β 4, π₯ = 0.
11. π¦ = π₯2 β 4π₯, π¦ = βπ₯2.
12. π¦ = π₯2 β 2, π¦ = 2π₯2 + π₯ β 4.
13. π₯ = 6π¦ β π¦2, π₯ = 0.
14. π₯ = βπ¦2 + π¦ + 2, π₯ = 0.
15. π₯ = 4 β π¦2, π₯ + π¦ β 2 =
1.3. Soal Tambahan
-
23
h β β β
1.2 Volume Benda dalam Bidang (Lempengan, Cakram, Cincin)
Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas. Tidak mengherankan oleh
karena integral tersebut memang diciptakan untuk keperluan itu. Akan tetapi integral
tersebut dapat digunakan untuk banyak persoalan lainnya. Hampir tiap besaran yang
dapat dianggap sebagai hasil potongan sesuatu menjadi bagian-bagian lebih kecil,
aproksimasi tiap bagian, penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap bagian
mengecil, dapat diartikan sebagai suatu integral. Khusunya, hal ini benar untuk volume
benda-benda tertentu yang akan kita bahas di bawah ini.
Gambar 2.1
Apakah yang disebut volume? Kita muai dengan benda-benda sederhana, yaitu tabung
lingkaran tegak dan sejenisnya. Empat di antaranya dapat dilihat pada Gambar 1.
Dalam tiap kasus, benda itu diperoleh dengan cara menggerakan suatu daerah pada
bidang (rata) sejauh h dengan arah yang tegak lurus pada daerah tersebut. Dalam tiap
kasus itu, volume benda ditentukan sebagai luas A, daerah alas, dikalikan dengan tinggi
h, yakni
π = π΄ β β
BAB 2 VOLUME BENDA DALAM BIDANG
-
24
Perhatikanlah sebuah benda yang bersifat bahwa penampang-penampang
tegaklurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu. Misalnya garis tersebut
adalah sumbu x dan andaikan bahwa luas penampang di x adalah A (x) dengan a β€ x β€
b (Gambar 2). Selang [a, b] kita bagi dengan titik-titik bagi a = x0 < x1 <
x2 . . . < xn = b. Melalui titik-titik itu kita lukis bidang tegaklurus pada sumbu x.
Dengan demikian kta peroleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis
(Gambar 3). Volume βππ suatu lempeng dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu
βππ β π΄(xΜ π) βπ₯π , π₯πβ1 β€ οΏ½Μ οΏ½π β€ π₯π
dan volume V benda dapat diaproksimasi dengan jumlah Riemann
π β β π΄(οΏ½Μ οΏ½π)
π
π=1
βπ₯π
Gg
b
`x
a Gambar 2.2
-
25
π = β« π΄(π₯)ππ₯π
π
Apabila norma partisi kita tujukan ke nol, kita memperoleh suatu integral tentu; integral
ini kita definisikan sebagai volume benda
Dalam perhitungan volume-volume benda, sebaiknya anda jangan menggunakan
rumus itu secara hafalan. Akan tetapi anda haruslah memahami proses yang menuju ke
penemuan rumus tersebut. Seperti untuk luas, proses itu kita sebut pula, pemotongan,
aproksimasi dan pengintegralan. Hal ini diperjelas dalam contoh di bawah ini.
Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidang yang
terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu
akan membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut dinamakan sumbu
putar. Sebagai contoh, apabila daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran dan garis
b
οΏ½Μ οΏ½
X
xi-1 a
xi
Gambar 2.3
Benda Putar : Metode Cakram
-
26
sumbu
tengahnya, diputar mengelilingi garis tengah itu, maka daerah tersebut membentuk
sebuah bola. Apabila daerah segitiga diputar mengelilingi salah satu kakinya, daerah
itu akan membentuk sebuah kerucut Gambar 4. Apabila sebuah daerah lingkaran
diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang lingkaran itu yang tidak memotongnya
Gambar 5, maka diperoleh sebuah torus (ban). Dalam tiap hal, volume benda-benda itu
dapat disajikan sebagai suatu integral tentu.
Gambar 4 merupakan contoh volume benda dalam bidang yang diputar mengelilingi
sumbu π₯. Sedangkan, Gambar 5 merupakan contoh volume benda putar yang diputar
mengelilingi sumbu π¦. Metode cakram berdasarkan rumus volume:
π = πΏπ’ππ π΄πππ Γ ππππππ
sumbu
Gambar 2.5 Gambar 2.4
-
27
4
βπ₯
βπ£ β π(βπ₯)2βπ₯
π = β« π π₯ ππ₯4
0
x
Luas alas berupa lingkaran, maka πΏπ’ππ π΄πππ = ππ2,
dimana π adalah jari-jari putaran. Sehingga, rumus
volume dengan menggunakan metode cakram
berdasarkan gambar di samping adalah
π = β« ππ2π
π
ππ₯
π = π β« π¦2π
π
ππ₯
Contoh 1.
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva y
=βπ₯, sumbu x dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu x.
y βπ
π = βπ
1 βπ
x
x
βπ₯
Gambar 2.7
Gambar 2.6
-
28
Penyelesaian
Pada bagian kiri Gambar 7 kita lihat daerah dengan sebuah jalur pemotongan. Apabila
R diputar menglilingi sumbu x, daerah ini akan membentuk sebuah benda putar dan
jalur tersebut membentuk sebuah cakram yang volumenya βπ dapat kita aproksi masih
dengan volume sebuah tabung dengan tinggi βπ₯π dan dengan jari-jari alas βπ β
π(βπ₯)2
βπ₯ , volume tabung ini adalah ππ2β . Apabila volume tabung-tabung ini kita
jumlahkan dan kemudian kita integralkan, maka
π = π β« π₯ ππ₯4
0
π = π [π₯2
2]
0
4
π = π (16
2)
π = 8π satuan volume
π β 25,13 satuan volume
Contoh 2.
Tentukan volume benda yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ =
π₯ dengan π₯ = 2 diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian
π = π β« π₯ ππ₯2
0
π = π β« π₯ ππ₯2
0
-
29
π = π [1
2π₯2]
0
2
π = 2π satuan volume
Contoh 3.
Tentukan volume benda yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ =
π₯2 + 1 dengan π₯ = 3 diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian
π = π β« π΄(π₯) ππ₯π
π
π = π β« π₯2 + 1 ππ₯3
0
π = π [1
3π₯3 + 3]
0
3
π = π (1
3(27) + 3 β 0)
π = π(12)
π¦ = π₯2 + 1
Gambar 2.8
-
30
y
βπ¦
π = 12π satuan volume
Contoh 4.
Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva
π¦ = π₯3, sumbu π¦, dan garis π¦ = 3 diputar mengelilingi sumbu π¦.
Penyelesaian
y
π₯ = βπ¦3
βππ
βy
1
Gambar 2.9
y
βπ¦3
3
βπ β (βπ¦3 )2β
π = β« ππ¦2/3ππ¦3
0
-
31
h
π = π(π22 β π1
2)β
Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variabel pengintegralan. Perhatikan
bahwa π¦ = π₯3 setara dengan π₯ = βπ¦ 3
dan βπ β (βπ¦3 )
2 βπ¦ maka
π = π β« π¦2 3β ππ¦3
0
π = π [3
5π¦5 3β ]
0
3
π =9β9
3
5π
π β 11,76 satuan volume
Metode Cincin
Ada kalanya apabila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu
putarnya, kita memperoleh sebuah cakram yang di tengahnya ada lubangnya. Daerah
demikian kita sebut cincin. Lihat Gambar 10.
Contoh 5.
Tentukan volume benda yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ =
4π₯3 + 3 dengan π₯ = 4 diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian
π = π β« π΄(π₯) ππ₯π
π
r 1`
Gambar 2.10
-
32
π = π β« 4π₯3 + 3 ππ₯4
0
π = π [4
4π₯4 + 3π₯]
0
4
π = π((4)4 + 3(4) β (0)4 + 3(0))
π = π(256 + 12)
π = 268π satuan volume
Contoh 6.
Tentukan volume benda apabila daerah yang dibatasi oleh parabol-parabol π¦ = π₯2 dan
π¦2 = 8π₯ diputar mengelilingi sumbu βπ₯.
Penyelesaian
π = π β« π΄(π₯) ππ₯π
π
π = π β« (8π₯ β π₯4) ππ₯2
0
π = π [8π₯2
2β
π₯5
5]
0
2
π =48
5π satuan volume
π β 30,16 satuan volume
Contoh 7.
-
33
Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva π₯ = β4 β π¦2 dan sumbu π¦ diputar
mengelilingi garis π₯ = β1. Susunlah integral yang merumuskan volume benda putar
itu.
βπ£ β π[(β8π₯)2 β (π₯2)2]βπ₯
π = β« π(8π₯ β π₯4)ππ₯2
0
2
βπ₯
Gambar 2.11
-
34
Penyelesaian
Jari-jari cincin adalah β4 β π¦2 + 1, sedangkan jari-jari dalam adalah 1. Lihat Gambar
11. Integral yang bersangkutan dapat disederhanakan. Bagian yang terletak di atas
sumbu x, volumenya sama dengan bagian yang di bawah sumbu π₯. Jadi kita cukup
mengintegralkan antara 0 dan 2 kemudian hasilnya dikalikan dua. Kita peroleh:
π = π β« [(1 + β4 β π¦2)2
β 1] ππ¦2
β2
π = 2π β« [2β4 β π¦2 + 4 β π¦2] ππ¦2
0
Untuk menghitung integral tersebut lihatlah Soal 31.
βπ£ β π[1 + β4 β π¦2)2 β 1]βπ¦
π = β« π [(1 + β4 β π¦2)2
β 1] ππ¦2
β2
π₯ = β1
x
π₯ = β1 Gambar 2.12
-
35
Benda Ruang Lain Yang Penampangnya Diketahui
Benda yang kita bahas memiliki daerah-daerah lingkaran sebagai penampang-
penampang tegak. Metode yang kita gunakan tetap berlaku untuk benda-benda yang
penampang tegaknya berbentuk bujur sangkar atau segitiga. Sesungguhnya yang kita
perlukan ialah bahwa kita dapat menghitung luas penampang-penampang tersebut.
Contoh 8.
Buatlah gambar grafik dari data π¦ = π₯2, π₯ = 0, dan π₯ = 2 jika diputar mengelilingi
sumbu π₯. Hitung volumenya.
Penyelesaian
π¦ = π₯2
Substitusikan nilai π₯ dimulai dari 0.
π₯ = 0 maka π¦ = 0.
π₯ = 1 maka π¦ = 1.
π₯ = 2 maka π¦ = 4.
π₯ = 3 maka π¦ = 9.
π¦ = π₯2 Gambar 13
-
36
Hitung volume.
π = π β« π΄(π₯) ππ₯π
π
π = π β« π₯2 ππ₯2
0
π = π [1
3π₯3]
0
2
π = π (8
3β 0)
π =8
3π satuan volume
Contoh 9.
Andaikan alas sebuah benda adalah suatu daerah rata pada kuadran pertama yang
dibatasi π¦ =βπ₯2
4oleh sumbu π₯ dan π¦. Andaikan penampang-penampang yang tegak
lurus pada sumbu π₯ berbentuk bujur sangkar. Tentukan volume benda ini.
Penyelesaian
Apabila kita potong-potong benda tegak lurus pada sumbu π₯ kita peroleh lempeng-
lempeng tipis yang berbentuk bujur sangkar.
1 βπ₯2
4
Gambar 14
-
37
βπ β (1 βπ₯2
4)
2
βπ₯
π = β« (1 βπ₯2
4)
2
ππ₯2
0
π = β« (1 βπ₯2
6+
π₯4
16) ππ₯
2
0
π = [π₯ βπ₯3
6+
π₯5
80]
0
2
π = 2 β8
6+
32
80
π =4
6β
2
5
π =16
15 satuan volume
π β 1,07 satuan volume
Contoh 10.
Buatlah gambar grafik dari persamaan π₯ = β4 β π¦2 bila diputar mengelilingi sumbu
π¦. Hitunglah volumenya.
Penyelesaian
π₯ = β4 β π¦2
Substitusikan nilai π¦ dimulai dari 0.
π¦ = 0 maka π₯ = 2.
π¦ = 1 maka π₯ = 1,7.
π¦ = 2 maka π₯ = 0
π¦ = β4 β π₯2
Gambar 15
-
38
π = π β« π΄(π¦) ππ¦π
π
π = π β« (4 β π¦2)1 2β ππ¦2
0
π = π [2
3(4 β π¦2)3 2β ]
0
2
π =2
3π [ β(4 β π¦2)3]
0
2
π =2
3π [β(4 β 22)3 β β(4 β 02)3]
π =2
3π (β0 β β64)
π =2
3π (β8)
π =β16
3π
Karena volume tidak ada yang bernilai negatif, maka hasil harus dimutlakkan.
π = |β16
3π|
π =16
3π satuan volume
Contoh 11.
π₯ = β4 β π¦2
π₯ = (4 β π¦2)1 2β
-
39
Gambar 2.16
Alas sebuah benda diketahui merupakan daerah yang dibatasi oleh satu busur kurva
π¦ = sin π₯ dan sumbu π₯. Tiap penampang yang tegaklurus pada sumbu π₯ adalah sebuah
segitiga sama sisi yang berdiri pada alasnya. Tentukan volume benda itu.
π΄ =1
2π’
β3
2π’
π΄ =β3
4π’2
π¦ = sin π₯
u u
y
β3
2π’
π’
2
π¦ = sin π₯
y
Gambar 2.17
-
40
βπ£ β (β3
4π ππ2π₯)βπ₯
π = β« (β3
4π ππ2
π
0
π₯) ππ₯
Penyelesaian
Kita ingat bahwa luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi π’ adalah β3π’2
4 . Untuk
melakukan pengintegralan kita menggunakan sin2π₯ =(1βcos 2π₯)
2
π =β3
4 β«
1 β cos 2π₯
2ππ₯
π
0
π = β3
8 β« (1 β cos 2π₯)ππ₯
π
0
π =β3
8[β« 1
π
0
ππ₯ β1
2β« cos 2π₯ . 2 ππ₯
π
0
]
π =β3
8[π₯ β
1
2sin 2π]
0
π
π =β3
8Ο satuan volume
π β 0,68 satuan volume
Contoh 12.
Tentukan volume benda yang terbentuk apabila daerah dibatasi oleh kurva
π¦ = π₯2 β 1 antara π¦ = 0 dan π¦ = 3 jika diputar mengelilingi sumbu π¦.
Penyelesaian
π = π β« π΄(π¦) ππ¦π
π
-
41
π = π β« (π¦ + 1)1 2 β ππ¦3
0
π = π [2
3(π¦ + 1)3 2β ]
0
3
π =2
3π [β(π¦ + 1)3]
0
3
π =2
3π(β43 β β13)
π =2
3π(8 β 1)
π =2
3π(7)
π =14
3π satuan volume
Contoh 13.
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh kurva
π¦ = π₯, sumbu π₯, dari garis π₯ = 6 diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian
π = π β« [π(π₯)]2 ππ₯π
π
π = π β« (π₯)2 ππ₯6
0
π = π [1
3π₯3]
0
6
π = π [(1
3Γ 63) β (
1
3Γ 03)]
π = π[(72) β (0)]
-
42
π = 72π satuan volume
Contoh 14.
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh kurva
π¦ = π₯β1, π₯ = β1, dan π₯ = 3 diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian
π = π β« [π(π₯)]2 ππ₯π
π
π = π β« [π₯β1]2 ππ₯3
β1
π = π β« π₯β2 ππ₯3
β1
π = π [β1
π₯]
β1
3
π = π (β1
β1β (
β1
3))
π = π (1 +1
3)
π =4
3π satuan volume
-
43
1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh
kurva π¦ = π₯, sumbu π₯, dan garis π₯ = 3 diputar mengelilingi sumbu π₯ sejauh
360o.
π = π β« [π(π₯)]2 ππ₯π
π
π = π β« (π₯)2 ππ₯3
0
π = β―
π = β―
π = β―
π = 9π satuan volume
2. Tentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cincin silinder
yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ = π₯2 dan garis π¦ = 2π₯
diputar mengelilingi sumbu π¦.
ππ¦ = π β« (π¦12 β π¦2
2) ππ¦π
π
ππ¦ = π β« [(βπ¦)2 β (
1
2π¦)
2
] ππ¦4
0
ππ¦ = β―
2.2 Soal Isian
-
44
ππ¦ = β―
ππ¦ = β―
ππ¦ = β―
ππ¦ = β―
ππ¦ = 2π (4
3)
ππ¦ =8
3π
ππ¦ = 22
3π satuan volume
3. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh sumbu
π¦. Kurva π¦ = π₯2, garis π¦ = 2 dan garis π¦ = 5 diputar mengelilingi sumbu π¦.
π = π β« [π(π¦)]2 ππ¦π
π
π = π β« (βπ¦)2
ππ¦5
2
π = β―
π = β―
π = β―
π =21
2π satuan volume
4. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah π yang dibatasi oleh
kurva π¦ = β2π₯, sumbu π₯ dan garis π₯ = 2, apabila π diputar mengelilingi
sumbu π₯.
-
45
π = π β« [π(π₯)]2 ππ₯π
π
π = π [β¦
β¦]
β¦
β¦
π = β―
π = 4π satuan volume
5. Tentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cakram yang
terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ = π₯2, sumbu π₯, dan
0 β€ π₯ β€ 2, jika diputar secara sumbu π₯.
ππ₯ = π β« [π(π₯)]2 ππ₯
π
π
ππ₯ = π β« (π₯2)2 ππ₯
2
0
ππ₯ = β―
ππ₯ = β―
ππ₯ = β―
ππ₯ =32
5π satuan volume
6. Tentukan volume benda putar yang di bentuk oleh putaran daerah yang dibatasi
oleh grafik dari π¦ = βπ₯ dan π¦ = π₯2 terhadap sumbu π₯.
π = π β« (π₯12
π
π
β π₯22) ππ₯
π = π β« [(βπ₯)2
β (π₯2)2] ππ₯1
0
-
46
π = β―
π =3
10π satuan volume
7. Tentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dari
π¦ = βπ₯ dan π₯ = 4, π¦ = 0 yang mengelilingi sumbu π¦.
π = π β« [π(π¦)]2 ππ¦π
π
π = π β« (π¦2)2 ππ¦4
0
π = β―
π = β―
π =32
5π satuan volume
8. Tentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cakram dari
π¦ =2
βπ₯ dengan batas π₯ = 0 dan π₯ = 3, dengan mengelilingi sumbu π₯.
π = π β« [π(π₯)]2 ππ₯π
π
π = π β« (2π₯β1 2β )2 ππ₯3
0
π = β―
π = β―
π = β―
π =4
3π satuan volume
-
47
9. Tentukan volume benda putar
dari π¦ = βπ₯ dengan batas π¦ =
β1 dan π¦ = 1, dengan
mengelilingi sumbu π¦.
π = π β« [π(π¦)]2 ππ¦π
π
π = π β« (π¦2)2 ππ¦1
β1
π = β―
π = β―
π =2
5π satuan volume
10. Jika daerah yang dibatasi oleh
kurva π₯ = (π¦ β 2)2 dan garis
π₯ + π¦ = 4 diputar mengelilingi
sumbu π¦, maka hitunglah
volume benda putar yang terjadi
dengan menggunakan metode
cakram.
ππ¦ = π β« (π¦12
π
π
β π¦22) ππ¦
ππ¦ = π β« [(4 β π¦)2
3
0
β (π¦ β 2)2)] ππ¦
ππ¦ = β―
ππ¦ = β―
ππ¦ = π (21 β 63
5)
ππ¦ = 142
5π satuan volume
-
48
Dalam Soal-soal 1 hingga 4, tentukan
volume benda yang dibentuk, apabila
daerah yang diberikan diputar
mengelilingi sumbu yang diberikan;
potong, diaproksimasi, diintegralkan.
1. sumbu-π₯
y
2. sumbu-π₯
3. (a) sumbu-π₯
(b) sumbu-π¦
4. (a) sumbu-π₯
(b) sumbu-π¦
2.3. Soal Tambahan
π¦ = π₯2 + 1
= π₯2 + 1
y
x
2
-
49
Dalam Soal-soal 5 hingga 10, buatlah
sketsa daerah R yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang persamaannya
diketahui. Perlihatkan sebuah jalur
persegi-panjang yang tegak. Kemudian
tentukan volume benda yang terbentuk
apabila R diputar mengelilingi sumbu
π₯.
5. π¦ = π₯2
4, π₯ = 4, π¦ = 0
6. π¦ = π₯3, π₯ = 2, π¦ = 0
7. π¦ = 1
π₯, π₯ = 1,π₯ = 4, π¦ = 0
8. π¦ = π₯3 2β , π¦ = 0, antara π₯ =
1 dan π₯ = 3.
9. π¦ = β4 β π₯2, π¦ = 0, antara
π₯ = β1 dan π₯ = 2.
-
50
10. Nyatakanlah tujuan prinsip
Cavaleri untuk volume (lihat Soal 10
pada Pasal 6.1).
Tentukan volume yang dibentuk
apabila diputar mengelilingi sumbu π₯.
11. π¦ = 4π₯ + 1, antara π₯ = 4 dan
π₯ = 0
12. π¦ = 6π₯ + 1, antara π₯ = 0 dan
π¦ = 0
13. π¦ = 3π₯1 2β , antara π₯ = 4 dan
π₯ = 0
14. π¦ = β9 β π₯2, antara π₯ = 3 dan
π₯ = 0
15. π¦ =2
βπ₯ ,antara π₯ = 9 dan π₯ = 1
16. π¦ =2
π₯2, antara π₯ = 2 dan π₯ = 0
17. π₯ = βπ¦, antara π₯ = 4, π₯ = 2,
dan π¦ = 0
18. π₯ = π¦3, antara π₯ = 4 dan π₯ = 1
19. π₯ = 4π¦2, antara π₯ = 9 dan
π₯ = 4
20. π₯ = βπ¦ β 2, antara π₯ = 1 dan
π₯ = 0
Tentukan volume yang dibentuk
apabila diputar mengelilingi sumbu π¦.
21. π₯ = π¦ β 2, antara π¦ = 1, π¦ = 4
22. π₯ = π¦2 β 4, antara π¦ = 1
dan π¦ = 2
23. π₯ + π¦2 = 3, antara π¦ = 1, π¦ =
2
24. π₯2 + 3 = π¦, antara π¦ = 4 dan
π¦ = 7
25. π₯2
2= π¦, antara π¦ = 0 dan π¦ = 2
Gambar 18
-
51
26. βπ₯ β 2 = π¦, antara π¦ = 1 dan
π¦ = 4
27. βπ₯3
+ 1 = π¦, antara π¦ = β2
dan π¦ = 3
28. 1
π₯= π¦2, antara π¦ = β6 dan
π¦ = β2
29. 2
π₯3= π¦, antara π¦ = 2 dan π¦ =
β1
30. π₯3
π¦2= 1, antara π¦ = 1 dan π¦ = 8
Dalam Soal-soal 31 hingga 37,
gambarlah daerah π yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang persamaannya
diberikan. Perlihatkanlah jalur persegi
panjang yang mendatar. Tentukan
volume benda yang terbentuk apabila π
diputar mengelilingi sumbu y.
31. π₯ = π¦2, π₯ = 0, π¦ = 2
32. π₯ =2
y, π¦ = 1, π¦ = 6, π₯ = 0
33. π₯ = βπ¦, π¦ = 4, π₯ = 0
34. π₯ = π¦2 3β , π¦ = 8, π₯ = 0
35. π₯ = π¦3 2β , π¦ = 4, π₯ = 0
36. π₯ = β9 β π¦2, π₯ = 0
37. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila bagian atas
elips
π₯2
π2+
π¦2
π2= 1
diputar mengelilingi sumbu π₯. Dengan
demikian dapat dihitung volume benda
yang disebut sferoid; π dan π konstanta
dan π > π.
38. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah yang
dibatasi oleh garis π¦ = 4π₯ dan
parabola π¦ = π₯2 diputar
mengelilingi sumbu π₯.
Gambarlah.
39. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah yang
dibatasi oleh garis π₯ β 2π¦ = 0
dan parabol π¦2 β 2π₯ = 0
-
52
diputar mengelilingi sumbu π₯.
Gambarlah.
40. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah dalam
kuadran pertama yang dibatasi
oleh lingkaran π₯2 + π¦2 = π2,
sumbu π₯ dan garis π₯ = π β β,
0 < β < π, diputar
mengelilingi sumbu π₯. Benda
yang terjadi adalah tembereng
bola dengan tinggi β dan bola
berjari-jari π.
41. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah pada
bidang π₯π¦ yang dibatasi oleh
garis π¦ = 4π₯ dan parabol π¦ =
4π₯2 diputar mengelilingi sumbu
π¦. Gambarlah.
42. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah dalam
kuadran pertama yang dibatasi
oleh parabol-parabol 3π₯2β
16π¦ + 48 = 0 dan π₯2β 16π¦ +
80 = 0 dan sumbu π¦ diputar
mengelilingi garis π¦ = 2.
Gambarlah.
43. Alas sebuah benda adalah
daerah lingkaran π₯2 + π¦2 = 4.
Tentukan volume benda
tersebut apabila tiap penampang
oleh bidang yang tegaklurus
pada sumbu π₯ adalah bujur
sangkar. Petunjuk : Lihat
Contoh 5 dan 6.
44. Seperti Soal nomor 23 akan
tetapi penampang benda dengan
bidang yang tegaklurus pada
sumbu π₯ adalah segi-tiga sama
kaki yang alasnya terletak pada
bidang π₯π¦ dengan tinggi 4.
Petunjuk : Untuk melengkapi
perhitungan, anggaplah
-
53
β« β4 β π₯2ππ₯2
β2 sebagai luas
(daerah) setengah lingkaran.
45. Alas sebuah benda dibatasi oleh
satu busur dan kurva π¦ =
βπππ π₯, βπ 2β β€ π₯ β€ π 2β , dan
sumbu π₯. Tiap penampang
benda dengan benda yang
tegaklurus pada sumbu π₯
berbentuk bujur sangkar yang
alasnya terletak pada bidang
kurva tadi. Tentukan volume
benda itu.
46. Alas sebuah benda adalah
daerah yang dibatasi oleh π¦ =
1 β π₯2 dan π¦ = 1 β π₯4.
Penampang benda dengan
bidang-bidang tegaklurus pada
sumbu π₯ adalah bujur sangkar.
Tentukan volume benda itu.
47. Tentukan volume satu oktan
(seperdelapan) benda yang
merupakan daerah sekutu dua
tabung lingkaran tegak dengan
jari-jari masing-masing 1, dan
yang sumbu -sumbunya
berpotongan tegaklurus.
Petunjuk : Penampang yang
mendatar adalah bujur sangkar
(lihatlah gambar).
48. Alas sebuah benda adalah suatu
daerah π yang dibatasi oleh
π¦ = βπ₯ dan π¦ = π₯2. Tiap
penampang dengan bidang yang
tegaklurus pada sumbu π₯ adalah
setengah lingkaran dengan garis
tengah yang melintasi daerah π
tersebut. Tentukan volume itu.
Gambar 2.19
-
54
49. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah pada
kuadran pertama yang dibatasi
oleh kurva π¦2 = π₯3, garis π₯ =
4 dan sumbu π₯ diputar
mengelilingi (a) garis π₯ = 4; (b)
garis π¦ = 8.
50. Tentukan volume benda yang
terbentuk apabila daerah yang
dibatasi oleh π¦2 = π₯3, garis π¦ =
8 dan sumbu π¦ diputar
mengelilingi (a) garis π₯ = 4; (b)
garis π¦ = 8.
51. Lengkapkanlah perhitungan
integral dalam Contoh 4,
dengan mengingat bahwa
β« [2β4 β π¦2 + 4 β π¦2] ππ¦2
0
= 2 β« β4 β π¦22
0
ππ¦ + β« (4 β π¦2)ππ¦2
0
Kemudian anggaplah integral yang
pertama sebagai luas daerah
seperempat lingkaran.
52. Sebuah tong kayu terbuka
dengan jari-jari π dan tinggi β
pada mulanya penuh dengan air.
Tong ini dimiringkan sampai
pada tingkat air persis sama
dengan garis tengah dasarnya
dan muka tepat menyentuh
tepi/bibir tong bagian atas.
Carilah volume air yang tinggal
di dalam tong tersebut.
β π
-
55
53. Sebuah pasak didapat dari
pemotongan sisi kanan silinder
pejal yang berjari-jari π.
Permukaan bagian atas pasak
tersebut berada pada suatu
bidang yang melalui diameter
πdari lingkar alas silinder dan
membentuk sudut π dengan
alas. Carilah volume dari pasak
tersebut.
54. (Jam air) Sebuah tangki air
diperoleh dengan memutar
kurva π¦ = ππ₯4, k>0 terhadap
sumbu-π¦.
(a) Carilah π(π¦), volume air dalam
tangki sebagai fungsi kedalaman π¦.
(b) Air menetes melalui suatu lubang
kecil sesuai dengan hukum Torricelli
(ππ/ππ‘ = βπβπ¦). Tunjukkan bahwa
ketinggian air turun dengan tingkat
konstan.
55. Tunjukkan bahwa volume dari
kerucut pada umumnya adalah
1
3π΄β, di mana π΄ adalah luas
dasar dan β tingginya. Gunakan
hasil ini untuk mendapatkan
rumus volume dari:
(a) Sebuah kerucut dengan alas
lingkaran berjari-jari π dan tinggi β;
(b) Sebuah tetrahedron beraturan
dengan panjang π
-
56
3.1 Volume Benda Putar (Kulit Tabung)
Ada cara lain untuk menghitung volume benda putar, yaitu metode kulit tabung. Untuk
berbagai persoalan, metode ini lebih mudah digunakan ketimbang metode cakram atau
metode cincin. Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung
lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit (Gambar1). Apabila jari-jari tabung
dalam adalah π1, dan jari-jari tabung luar adalah π2, sedangkan tinggi tabung adalah β,
maka volume kulit tabung adalah
π = (luas alas) β (tinggi)
= (ππ22 β ππ1
2)β
=π(π2 + π1)(π2 β π1)β
=2π(π1+ π2
2)β(π2 β π1)
Sehingga
π = 2π π₯ (ππππ β ππππ) π₯ (π‘πππππ)π₯ (π‘ππππ)
= 2ππβ βπ
Gambar 3.1
BAB 3 VOLUME BENDA PUTAR (KULIT TABUNG)
-
57
2ππ
βπ
Cara termudah untuk mengingat rumus tersebut adalah sebagai tersebut adalah sebagai
berikut: Apabila kulit tabung sangat tipis dan terbuat dari kertas, kita dapat
memotongnya sepanjang garis yang sejajar sumbu simetri dan kemudia membukanya.
Maka akan kita peroleh selembar persegi-panjang, yang memiliki ketebalan. Volume
dari benda ini, yang berbentuk lempeng, dapat kita hitung
Gambar 3. 2
Metode Kulit Tabung
Perhatikan sebuah daerah seperti pada gambar 3 dan gambar 4. Potong-potongalah
jalur-jalur yang vertikal dan kemudia putarlah mengelilingi sumbu π¦. Maka akan
terbentuklah sebuah benda putar dan tiap jalur akan membentuk sebuah benda yang
menyerupai suatu kulit terbang. Untuk memperoleh volume kulit tabung ini, kita
hitung volume βπ sesuatu kulit tabung, jumlahkan dan kemudia tarik limit jumlah ini
apabila tebal kulit tabung makin menipis (menuju nol). Limit ini akan menghasilkan
sebuah integral.
π = 2ππββπ
-
58
βπ β 2π π₯ π (π₯) βπ₯
π = 2π β« π₯ π(π₯) ππ₯π
π
Gambar 3.3 Gambar 3.4
Contoh 1
Daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ = 1/βπ₯, sumbu π₯, garis π₯ = 1 dan garis π₯ = 4
diputar mengelilingi sumbu π¦. Tentukan volume benda yang terbentuk.
Penyelesaiaan:
Pada gambar 3 dan gambar 4 dapat dikatakan mendekati kebenaran
Sehingga π = 2π β« π₯1
βπ₯ππ₯
4
1
= 2π β« π₯12
4
1
ππ₯
= 2π [2
3. 8 β
2
3. 1]
=28π
3
β 29,32 π
-
59
Contoh 2
Gambar 3.5
Daerah yang dibatasi oleh garis π¦ = (π
β) π₯, sumbu π₯ dan garis π₯ = β diputar
mengelilingi sumbu π₯. Diperoleh sebuah kerucut (diandalkan π > 0, β > 0).
Tentukan volume kerucut itu dengan menggunakan metode cakram dan metode kulit
tabung.
Penyelesaian (Metode Cakram). Ikutilah langkah β langkah pada Gambar 4.
π = ππ2
β2β« π₯2
β
0
ππ₯
= π π2
β2 [
π₯3
3]
β0
= ππ2β3
3β2
= 1
3 ππ2β
π¦ =π
βπ₯
-
60
Gambar 3.6
(Metode Kulit Tabung). Lihat gambar 3.6
π = 2πβ β« (π¦ β 1
π
π
0
π¦2) ππ¦
= 2πβ [π¦2
2β
π¦3
3π]
π0
= 2πβ [π2
2β
π2
3]
= 1
3ππ2β
Sudah barang tentu kedua metode di atas harus menghasilkan rumus untuk volume
kerucut yang kita kenal sejak lama.
Contoh 3
Tentukan volume benda yang terbenruk apabila daerah ada kuadran pertama yang
terletak diatas para bola π¦ = π₯2 dan dibawah parabol π¦ = 2 β π₯2, diputar mengelilingi
sumbu π¦.
βπ£ β 2π π¦ (β ββ
ππ¦) βπ¦
π£ = β« 2π π¦ (β ββ
ππ¦) ππ¦
π
0
β β β
β
ππ¦
y
-
61
x
1
(1,1)
π¦ = 2 β π₯2
π¦ = π₯2
Penyelesaian:
Gambar 3.7
Apabila kita melihat pada gambar 3.7 bagian kiri, maka menggunakan jalur-jalur datar
bukanlah pilihan yang terbaik (karena batas kanan terdiri atas bagian-bagian dari dua
kurva, sehingga diperlukan dua integral). Sebaiknya kita menggunakan jalur-jalur yang
tegak.
Kemudian kita gunakan metode kulit tabung. Kita peroleh
π = 4π β« (π₯ β π₯3)1
0
ππ₯
= 4π [π₯2
2β
π₯4
4]
10
2 β π₯2 β π₯2
2
π = β« 2ππ₯(2 β 2π₯2)ππ₯1
0
βπ β 2π(2 β π₯2 β π₯2)βπ₯
-
62
π¦
3
3
2
1
1 2 π₯
= 4π [1
2β
1
4]
= π β 3,14
Contoh 4
Bentuklah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk apabila daerah π yang
ada pada gambar 8 diputar mengelilngi : (a) sumbu π₯ ; (b) sumbu π¦ ; (c) garis π¦ =
β1π dan (d) garis π₯ = 4.
Gambar 3.8
Penyelesaian:
(a)
3 + 2π₯ β π₯2
Metode cakram
βπ₯ y
-
63
3
3 + 2π₯ β π₯2
Sumbu
putar βπ₯
y
3 + 2π₯ + π₯2
3 x
x
Sumbu putar: π¦ = β1
βV = π(3 + 2π₯ β π₯2)2
V = π β« (3 + 2π₯ β π₯23
0
)2ππ₯
(b)
Metode kulit tabung
βπ β 2π Γ (3 + 2π₯ β π₯2)βπ₯
π = 2π β« π₯(3 + 2π₯ β π₯23
0
)ππ₯
(c)
Metode cincin
βV β Ο[(4 + 2π₯ β π₯2)2 β 12]
π = π β« [(4 + 2π₯ β π₯2)2 β 1]ππ₯3
0
x
x 3 x
y βπ₯
-
64
y βπ₯
x
(d) Metode kulit tabung
βV β 2Ο(4 β x)(3 + 2x β π₯2)βπ₯
β« (4 β π₯)(3 + 2π₯ β π₯23
0
)ππ₯
Contoh 5
Tentukan volume benda putar yang dibatasi kurva π¦ = π₯2, garis π¦ = 2, garis
π¦ = 4, dan sumbu π¦ yang diputar mengelilingi sumbu π¦.
3
4 β π₯
π₯ = 4 x
Sumbu putar
-
65
Penyelesaian :
Ubah π(π₯) menjadi π(π¦)
π(π₯) = π₯2
π¦ = π₯2
π₯2 = π¦
π₯ = βπ¦
π£ = π β« [π(π¦)]2 ππ¦π
π
π£ = π β« [βπ¦]2 ππ¦4
2
π£ = π β« [π¦] ππ¦4
2
π£ = π [1
2π¦2]
42
π£ = π [(1
2(4)2) β (
1
2(2)2)]
π£ = π [8 β 2]
π£ = 6π satuan volume
-
66
Contoh 6
Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh fungsi π(π₯) = 4 β π₯2, sumbu π₯,
dan sumbu π¦ yang diputar 360Β° terhadap sumbu π¦.
Penyelesaian :
Mencari titik potong
π¦ = 4 β π₯2
jika π₯ = 0,
π¦ = 4 β (0)2
π¦ = 4
maka (0 , 4)
jika π¦ = 0
0 = 4 β π₯2
π₯2 β 4 = 0
(π₯ + 2) (π₯ β 2)
-
67
π₯ = β2 atau π₯ = 2
maka (β2 , 0) (2 , 0
ubah π(π₯) menjadi π(π¦)
π(π₯) = 4 β π₯2
π¦ = 4 β π₯2
π₯2 = 4 β π¦
π₯ = β4 β π¦
π£ = π β« [π(π¦)]2 ππ¦π
π
π£ = π β« [β4 β π¦]2
ππ¦4
0
π£ = π β« [4 β π¦] ππ¦4
0
π£ = π [4π¦ β1
2π¦2]
40
π£ = π [(4(4) β1
2(4)2) β (0)]
π£ = π [16 β 8]
π£ = 8π satuan volume
-
68
Contoh 7
Volume benda putar yang dibatasi kurva π¦ = π₯3 β 4π₯2 ; 0 β€ π₯ β€ 2 dan diputar
terhadap sumbu π₯.
Penyelesain :
mencari titik potong
π¦ = π₯3 β 4π₯2
jika π¦ = 0,
0 = π₯3 β 4π₯2
π₯3β 4π₯2 = 0
π₯2(π₯ β 4)
π₯2 = 0 ππ‘ππ’ π₯ = 4
π₯ = 0 ππ‘ππ’ π₯ = 4
maka (0 , 0) (4 , 0)
π£ = π β« [π(π₯)]2 ππ₯π
π
π£ = π β« [π₯3 β 4π₯2]2 ππ₯2
0
π£ = π β« [π₯6 β 8π₯5 + 16π₯4] ππ₯2
0
π£ = π [1
7π₯7 β
4
3π₯6 +
16
5π₯5]
20
π£ = π [(1
7(2)7 β
4
3(2)6 +
16
5(2)5) β (0)]
-
69
π£ = π [128
7β
256
3+
512
5]
π£ = π [1920 β 8960 + 10752
105]
π£ = π [3712
105]
π£ = 3537
105π satuan volume
Contoh 8
Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva π¦ = βπ₯2 + 4 dan
π¦ = β2π₯ + 4 yang diputar 360Β° mengelilingi sumbu π¦.
Penyelesaian :
Mencari titik potong
(i) π¦ = βπ₯2 + 4
jika π₯ = 0,
π¦ = (0)2 + 4
π¦ = 4
maka (0 , 4)
jika π¦ = 0,
0 = βπ₯2 + 4
π₯2 β 4 = 0
(π₯ + 2) (π₯ β 2)
π₯ = β2 ππ‘ππ’ π₯ = 2
-
70
maka (β2 , 0) (2 , 0)
(ii) π¦ = β2π₯ + 4
jika π₯ = 0
π¦ = β2(0) + 4
π¦ = 4
maka (0 , 4)
jika π¦ = 0
0 = β2π₯ + 4
2π₯ = 4
π₯ = 2maka (2 , 0)
ubah π¦ = β¦ menjadi π₯ = β¦
(i) π¦ = βπ₯2 + 4
π₯2 = π¦ β 4π₯
= β4 β π¦
-
71
(ii) π¦ = β2π₯ + 4
2π₯ = 4 β π¦
π₯ = 2 β1
2π¦
mencari batas
π₯ = π₯
(β4 β π¦)2 = ( 2 β
1
2π¦)
2
4 β π¦ =1
4π¦2 β 2π¦ + 4
1
4π¦2 β π¦ = 0
π¦2 β 4π¦ = 0
π¦(π¦ β 4)
π¦ = 0 atau π¦ = 4
maka batasnya = 0 β 4
π£ = π β« [(π1(π¦)2 ) β (π2(π¦)
2 )] ππ¦π
π
π£ = π β« [(β4 β π¦)2
β (2 β1
2π¦ )
2
] ππ¦4
0
π£ = π β« [(4 β π¦) β (1
4π¦2 β 2π¦ + 4)] ππ¦
4
0
π£ = π β« [β1
4π¦2 + π¦] ππ¦
4
0
-
72
π£ = π [β1
12π¦3 +
1
2π¦2 ]
40
π£ = π [(β64
12+
16
2) β (0)]
π£ = π (β64 + 96
12)
π£ =32
12π
π£ =8
3π satuan volume
Contoh 9
Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva π¦ = 6π₯ β π₯2 dan
π¦ = π₯ diputar mengelilingi sumbu π₯ sejauh 360Β°.
Penyelesaian :
mencari titik potong:
π¦ = 6π₯ β π₯2
jika π₯ = 0,
π¦ = 6(0) β (0)2
π¦ = 0
maka (0 , 0)
jika π¦ = 0
0 = 6π₯ β π₯2
π₯2 β 6π₯ = 0
π₯ (π₯ β 6)
-
73
π₯ = 0 atau π₯ = 6
maka (0 , 0) (6 , 0)
menentukan batas
π¦ = π¦
π₯ = 6π₯ β π₯2
π₯2 β 5π₯ = 0
π₯ (π₯ β 5)
π₯ = 0 atau π₯ = 5
maka batasnya = 0 β 5
π£ = π β« [(π1(π₯)2) β (π2(π₯)
2)] ππ₯π
π
π£ = π β« [(6π₯ β π₯2)2 β (π₯)2]ππ₯5
0
π£ = π β« [π₯4 β 12π₯3 + 35π₯2]ππ₯5
0
π£ = π [1
5π¦5 β 3π₯4 +
35
3π₯3]
50
π£ = π (1875 β 5625 + 4375
3)
π£ =625
3π
π£ = 2081
3π satuan volume
-
74
Contoh 10
Volume benda putar yang dibatasi kurva π¦ = π₯2 dan π¦ = βπ₯2 + 4π₯ dan diputar
terhadap sumbu π₯.
Penyelesaian :
mencari titik potong
π¦ = βπ₯2 + 4π₯
jika π₯ = 0,
π¦ = β(0)2 + 4(0)
π¦ = 0
maka (0 , 0)
jika π¦ = 0,
0 = βπ₯2 + 4π₯
π₯2 β 4π₯ = 0
π₯ (π₯ β 4)
π₯ = 0 atau π₯ = 4
maka (0 , 0) (4 , 0)
mencari batas
π¦ = π¦
π₯2 = βπ₯2 + 4π₯
2π₯2 β 4π₯ = 0
2π₯ (π₯ β 2)
-
75
2π₯ = 0 atau π₯ = 2
Maka batasnya = 0 β 2
π£ = π β« [(π1(π₯)2) β (π2(π₯)
2)] ππ₯π
π
π£ = π β« [(βπ₯2 + 4) 2 β (π₯2)2] ππ₯2
0
π£ = π β« [π₯4 β 8π₯3 + 16π₯2 β π₯4] ππ₯2
0
π£ = π β« [β8π₯3 + 16π₯2]2
0
ππ₯
π£ = π [(β2(2)4 +16
3(2)3) β (0)]
π£ = π (β96 + 128
3)
π£ =32
3π
π£ = 102
3π satuan volume
Contoh 11
Jika daerah yang dibatasi oeh kurva π₯ = (π¦ β 2)2 dan garis π₯ + π¦ = 4 diputar
mengelilingi sumbu π¦, maka volume benda putar yang terbentuk.
Penyelesaian :
Mencari titik potong:
-
76
(i) π₯ = (π¦ β 2)2
π₯ = π¦2β 4π¦ + 4
jika π₯ = 0,
0 = π¦2 β 4π¦ + 4
π¦2 β 4π¦ + 4 = 0
(π¦ β 2)(π¦ β 2)
π¦ = 2 ππ‘ππ’ π¦
= 2
maka (0 , 2) (0 , 2)
jika π¦ = 0,
π₯ = 02 β 4(0) + 4
π₯ = 4
maka (4 , 0)
(ii) π₯ + π¦ = 4
jika π₯ = 0,
0 + π¦ = 4
π¦ = 4
maka (0 , 4)
jika π¦ = 0,
π₯ + 0 = 4
π₯ = 4
-
77
maka (4 , 0)
mencari batas
π₯ = π₯
4 β π¦ = π¦2 β 4π¦ + 4
π¦2 β 3π¦ = 0
π¦ ( π¦ β 3)
π¦ = 0 atau π¦ = 3
maka batasnya = 0 β 3
π£ = π β« [(π1(π¦))2
β (π2(π¦))2
] ππ¦
π
π
π£ = π β« [(4 β π¦)2 β ((π¦ β 2)2)2 ] ππ¦3
0
π£ = π β« [(π¦2 β 8π¦ + 16) β (π¦ β 2)4 ] ππ¦3
0
π£ = π [1
3π¦3 β 4π¦2 + 16π¦ β
1
5(π¦ β 2)15]
30
π£ = π [(1
3(3)3 β 4(3)2 + 16(3) β
1
5(3 β 2)5) β (
1
5(0 β 2)5)]
π£ = π [(9 β 36 + 48 β1
5) β (β
32
5)]
-
78
π£ = π [45 β 180 + 240 β 1 + 32
5]
π£ =136
5π
π£ = 271
5π satuan volume
Contoh 12
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis
π¦ = 4, kurva π¦ = π₯2β 7π₯ + 10, dan sumbu x diputar terhadap garis π¦ = 1.
Penyelesaian :
mencari titik potong
π¦ = π₯22β 7π₯ + 10
jika π₯ = 0,
π¦ = (0)2 β 7(0) + 10
π¦ = 10
maka (0 , 10)
jika π¦ = 0,
0 = π₯2β 7π₯ + 10
π₯2 β 7π₯ + 10 = 0
(π₯ β 5) (π₯ β 2)
π₯ = 5 ππ‘ππ’ π₯ = 2
maka (5 , 0) (2 , 0)
Translasikan persamaan terhadap (0, β1)
-
79
π¦ = π₯2 β 7π₯ + 10
(i) xβ = x + 0
π₯ = π₯β
(ii) π¦β = π¦ β 1
π¦ = π¦β + 1
masukan ke persamaan
(π¦β + 1) = (π₯β)2 β 7(π₯β) + 10
π¦ + 1 = π₯2 β 7π₯ + 10
π¦ = π₯2 β 7π₯ + 9
sehingga sama artinya dengan dibatasi kurva π¦ = π₯2 β 7π₯ + 9 garis
π¦ = 3 dan diputar terhadap sumbu π₯
mencari batas
π¦ = π¦
3 = π₯2 β 7π₯ + 9
π₯2 β 7π₯ + 6 = 0
(π₯ β 1) (π₯ β 6)
π₯ = 1 ππ‘ππ’ π₯ = 6
maka batasnya = 1 β 6
-
80
π£ = π β« [(π1(π₯)2) β (π2(π₯)
2)] ππ₯π
π
π£ = π β« [(3)2 β (π₯2 β 7π₯ + 9)2] ππ₯6
1
π£ = π β« [9 β (π₯4 β 14π₯3 + 67π₯2 β 126π₯ + 81)] ππ₯6
1
π£ = π β« [βπ₯4 + 14π₯3 β 67π₯2 + 126π₯ β 72] ππ₯6
1
π£ = π [β1
5π₯5 +
7
2π₯4 β
67
3π₯3 + 63π₯2 β 72π₯]
61
π£ = π [(β1
5(6)5 +
7
2(6)4 β
67
3(6)3 + 63(6)2 β 72(6))
β (β1
5(1)5 +
7
2(1)4 β
67
3(1)3 + 63(1)2 β 72(1))]
-
81
π£ = π [(β7776
5+ 4536 β 4824 + 2268 β 432) β (β
1
5+
7
2β
67
3+ 63 β 72)]
π£ = π [(β7776 + 22680 β 24120 + 11340 β 2160
5)
β (β6 + 105 β 670 + 1890 β 2160
30)]
π£ = π [(β36
5) β (
β841
30)]
π£ = π [β216 + 841
30]
π£ = π [625
30]
π£ = 2025
30π satuan volume
-
82
1. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = π¦ =1
3π₯2 ,
π¦ = π₯ , π₯ = 0 , π₯ = 2 , dan sumbu π₯ yang diputar mengelilingi sumbu π¦
sejauh 360Β°.
Penyelesaian :
ubah π¦ = β― menjadi π₯ = β―
π¦ = β―
3π¦ = β―
π₯ = β―
π£ = π β« [(π1(π¦)2) β (π2(π¦)
2)] ππ¦π
π
= β―
= β―
= β―
3.2. Soal Isian
-
83
π£ = 32
6π satuan volume
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ = π₯ ,
π¦ = 3π₯ β π₯2, dan garis π₯ = 2 diputar mengelilingi sumbu π₯ sejauh 360Β°.
Penyelesaian :
mencari batas
π¦ = π¦
β¦ = β¦
β¦ = β¦
β¦ atau β¦
maka batasnya = β―
π£ = π β« [(π1(π₯)2) β (π2(π₯)
2)] ππ₯π
π
π£ = β―
π£ = 322
30π satuan volume
3. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi π¦ = 1 β π₯2 ,
π¦ = β 1 , π¦ = 1 , sumbu π¦ dan diputar mengelilingi sumbu π¦ sejauh 360Β°.
Penyelesaian :
ubah π¦ = β― menjadi π₯ = β―
π¦ = β―
π₯2 = β―
π₯ = β―
-
84
π£ = π β« [π(π¦)2] ππ¦π
π
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = 2π satuan volume
4. Volume benda putar daerah yang dibatasi π¦ = π₯2 dan π¦2 = 8π₯ dan diputar
mengelilingi sumbu π¦ sejauh 360Β°.
Penyelesaian :
ubah π¦ = β― menjadi π₯ = β―
π¦ = β―
π₯ = β―
π¦2 = β―
π₯ = β―
mencari batas
π₯ = π₯
β¦ = β¦
β¦ atau β¦
maka batasnya = β―
π£ = π β« [(π1(π¦)2) β (π2(π¦)
2)] ππ¦π
π
-
85
π£ = β―
π£ = β―
π£ = 4256
320π satuan volume
5. Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh kurva π₯ = π¦2 , π¦ = 6 β π₯ ,
sumbu π₯ dan mengelilingi sumbu π¦ sejauh 360Β°.
Pembahasan:
ubah π¦ = β― menjadi π₯ = β―
π¦ = β―
π₯ = β―
mencari batas
π₯ = π₯
β¦ = β¦
β¦ = β¦
β¦ atau β¦
maka batasnya = β― karena dibatasi oleh sumbu π₯
π£ = π β« [(π1(π¦)2) β (π2(π¦)
2)] ππ¦π
π
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
-
86
π£ = 444
15π satuan volume
6. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ =
π₯2 , sumbu π , dan garis π₯ = 3 diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian:
π£ = π β« [π(π₯)2] ππ¦π
π
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = 483
5π satuan volume
7. Volume benda putar yang terjadi jika dibatasi oleh kurva π¦ = π₯2 dan π¦ = π₯
diputar mengelilingi sumbu π¦.
Penyelesaian :
ubah π¦ = β― menjadi π₯ = β―
π¦ = β―
π₯ = β―
mencari batas
π₯ = π₯
β¦ = β¦
β¦ = β¦
-
87
β¦ atau β¦
maka batasnya = β―
π£ = π β« [(π1(π₯)2) β (π2(π₯)
2)] ππ₯π
π
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ =1
6π satuan volume
8. Volume benda putar antara dua kurva mengelilingi π π’πππ’ π¦ dengan garis
π¦ = 2π₯ πππ π¦ = 3.
Penyelesaian :
ubah π¦ = β― menjadi π₯ = β―
π¦ = β―
π₯ = β―
π£ = π β« [π(π₯)2] ππ¦π
π
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
-
88
π£ = 23
12π satuan volume
9. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi π¦ = π₯2, π₯ = 0 , π₯ = 2 diputar
360Β° mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian :
π£ = π β« [π(π₯)2] ππ¦π
π
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ =32
5 π satuan volume
10. Volume benda putar di daerah yang dibatasi oleh π¦ = 2π₯ + 2 ,
π¦ = π₯ + 5, dan sumbu π¦ diputar mengelilingi sumbu π₯.
Penyelesaian :
mencari batas
π¦ = π¦
β¦ = β¦
β¦ = β¦
maka batasnya = β―
π£ = π β« [(π1(π₯)2) β (π2(π₯)
2)] ππ₯π
π
-
89
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = β―
π£ = 45π satuan volume
-
90
1. Dalam soal-soal 1-12, anda
diminta menghitung volume
benda yang terbentuk apabila
daerah π yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang diketahui
diputar mengelilingi sumbu
yang diketahui pula.
Lakukanlah hal ini dengan
mengikuti langkah-langkah
berikut :
(a) Gambarlah daerah π .
(b) Perlihatkanlah sebuah jalur
yang telah diberi huruf-huruf
yang sesuai.
(c) Tulislah rumus untuk hampiran
volume benda yang dibentuk
oleh jalur itu.
(d) Bentuklah integral yang
bersangkutan.
(e) Hitunglah integral ini.
1. π¦ = 4
π₯, π₯ = 1, π₯ = 4, π¦ =
0; mengelilingi sumbu π¦.
2. π¦ = π₯2 , π₯ = 2, π¦ =
0; mengelilingi sumbu π¦.
3. π¦ = βπ₯, π₯ = 4 π¦ = 0;
mengelilingi sumbu π¦.
4. π¦ = 4 β π₯2(π₯ β₯ 0), π₯ =
0, π¦ = 0; mengelilingi
sumbu π¦.
5. π¦ = βπ₯, π₯ = 4, π¦ = 0;
mengelilingi garis π₯ = 4.
6. π¦ = 4 β π₯2(π₯ β₯ 0), π₯ =
0, π¦ = 0; mengelilingi garis
π₯ = 2.
7. π¦ =1
4π₯3 + 2, π¦ = 2 β π₯,
π₯ = 2; mengelilingi sumbu
π¦.
3.3. Soal Tambahan
-
91
8. π¦ = π₯2, π¦ =
2π₯; mengelilingi sumbu π¦.
9. π₯ = π¦2, π¦ = 2, π₯ = 0;
mengelilingi sumbu π₯.
10. π₯ = β2π¦ + 1, π¦ = 2, π₯ =
0, π¦ = 0; mengelilingi
sumbu π₯.
11. π₯ = π¦2, π¦ = 2, π₯ = 0;
mengelilingi garis π¦ = 2.
12. π₯ = β2π¦ + 1, π¦ = 2, π₯ =
0, π¦ = 0; mengelilingi garis
π¦ = 3.
13. Perhatikan daerah π
(Gambar 12). Susunlah
sebuah integral untuk
volume benda yang
terbentuk apabila daerah π
diputar mengelilingi garis-
garis berikut.
(a) Sumbu π₯ (cincin);
(b) Sumbu π¦ (kulit tabung);
(c) Garis π₯ = π (kulit
tabung);
(d) Garis π₯ = π (kulit
tabung).
Gambar 3.8
14. Sebuah daerah π digambar
pada Gambar 13. Susunlah
sebuah integral untuk
volume benda yang
terbentuk apabila daerah π
itu diputar mengelilingi
garis-garis berikut :
(a) Sumbu π¦ (cincin);
(b) Sumbu π₯ (kulit tabung);
-
92
(c) Sumbu π¦ = 3 (kulit
tabung);
GAMBAR 3.9
15. Gambarlah daerah π yang di
batasi oleh π¦ = 1 π₯3β , π₯ =
1, π₯ = 3, dan π¦ = 0.
Susunlah integral (jangan
dihitung) untuk kasus-kasus
sebagai berikut :
(a) Luas daerah π .
(b) Volume benda yang
terbentuk apabila daerah
π diputar mengelilingi
sumbu π¦.
(c) Volume benda apabila
daerah π diputar
mengelilingi garis π₯ =
4.
(d) Volume benda
apabila π di putar
mengelilingi garis π₯ =
4.
16. Lakukan hal yang sama
seperti dalam soal 15 untuk
daerah π yang dibatasi oleh
π¦ = π₯3 + 1 dan π¦ = 0 dan
yang terletak antara π₯ = 0
dan π₯ = 2.
17. Tentukan volume benda
yang terbentuk apabila
daerah π diputar
mengelilingi sumbu π₯.
Daerah π itu dibatasi oleh
kurva-kurva π₯ = βπ¦ dan
π₯ = π¦3/32
18. Seperti soal 17, akan tetapi
π diputar mengelilingi garis
π¦ = 4.
19. Diketahui sebuah bola
(pejal) dengan jari-jari π.
Dalam bola ini dibuat
-
93
lubang dengan jar-jari ( π >
π) dan permukaan ke
permukaan melalui pusat
bola. Tentukan volume
benda sisa dari bola
tersebut.
20. Susunlah integral (dengan
motedo kulit tabung) untuk
volume torus yang
terbantuk apabila daerah
lingkaran π₯2 + π¦2 = π2
diputar mengelilingi garis
π₯ = π(π > π).
Hitunglah kemudian
volume itu. Petunjuk: ada
baiknya menganggap
sebagian dari integral itu
sebagai luas.
21. Daerah dalam kuadran
pertama yang dibatasi oleh
π₯ = 0, π¦ = sin (π₯2) dan π¦ =
cos π₯2 diputar
mengelilingin sumbu π¦.
Tentukan volume benda
putar yang terjadi.
22. Daerah yang dibatasi oleh
π¦ = 2 + sin π₯, π¦ = 0, π₯ =
0 πππ π₯ = 2π diputar
mengelilingi sumbu π¦.
Carilah volume benda putar
yang terjadi. Petunjuk:
β« π₯ sin π₯ ππ₯ = sin π₯ β
π₯ cos π₯ + πΆ.
23. Andaikan π merupakan
daerah yang dikelilingi oleh
π¦ = π₯2 dan π¦ = π₯. Carilah
volume benda putar yang
terjadi apabila π diputari
mengelilingi: (a) sumbu
π₯;(b) sumbu π¦;(c) garis π¦ =
π₯.
-
94
24. Andaikan kita ketahui
rumus π = 4ππ2 sebagai
luas permukaan dari suatu
bola, akan tetapi kita tidak
ketahui rumus mengenai
volume π. Dapatkanlah
rumus ini dengan
memotong bola pejal
menjadi kulit-kulit
25. bola tipis yang konsentris.
Petunjuk: volume βπ dari
suatu kulit bola tipis dengan
jari-jari terluar π₯ adalah
βπ β 4ππ₯2 βπ₯.
Gambar 3.10
26. Pandang suatu daerah tak
teratur dengan luas π di
permukaan suatu bola
dengan jari-jari π. Carilah
volume benda yang terjadi
apabila setiap titik pada
daerah ini dihubungkan ke
pusat bola oleh suatu
potongan garis. Petunjuk:
gunakan metode kulit bola
sebagimana diuraikan pada
Soal 24.
Gambar 3.11
-
95
Panjang kurva spiral yang tampak pada Gambar 1. Spiral tersebut berupa benang atau
pegas, kita dapat menariknya sehingga berupa garis lurus dan kemudian mengukur
panjangnya dengan penggaris. Oleh karena kurva tersebut adalah grafik sebuah
persamaan, maka cara mengukur panjangnya akan dilakukan dengan metode yang agak
berlainan.
Grafik dari fungsi π¦ = sin π₯, 0 β€ π₯ β€ π, adalah sebuah kurva rata (kurva yang terletak
seluruhnya pada sebuah bidang) lihat pada Gambar 2. Begitu pula grafik dari fungsi
π₯ = π¦2, β2 β€ π¦ β€ 2 lihat pada Gambar 3. Dalam dua kasus ini kurva itu adalah grafik
sebuah fungsi. Dalam contoh pertama fungsinya berbentuk π¦ = π(π₯), dan dalam
contoh kedua fungsi itu berbentuk π₯ = π(π¦). Grafik yang berupa spiral, adalah dari
sebuah fungsi yang tidak termasuk jenis pertama maupun jenis kedua. Demikian pula,
lingkaran π₯2 + π¦2 = π2. Walaupun demikian, lingkaran itu dapat dianggap sebagai
gabungan grafik fungsi-fungsi π¦ = π(π₯) = βπ2 β π₯2 dan
π¦ = π(π₯) = ββπ2 β π₯2.
π¦
π₯
π¦ = sin π₯ β
Gambar 4.1
1
π
Gambar 4. 2
BAB 4 PANJANG KURVA PADA BIDANG
-
96
Lingkaran ini mendorong kita untuk melihat sebuah kurva dari sudut lain. Dari
trigonometri kita tahu bahwa π₯ = π cos π‘, π¦ = π sin π‘, 0 β€ π‘ β€ 2π, menggambarkan
sebuah lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 lihat pada Gambar 4. Dalam persamaan ini π‘ variabel
sembarang, yang selanjutnya akan kita namakan parameter, baik π₯ maupun π¦ telah
dinyatakan dengan parameter ini.
Jika kita masukkan ke grafik persamaan π₯ = π‘ cos π‘, π¦ = π‘ sin π‘, 0 β€ π‘ β€ 5π. kita
akan mendapatkan suatu kurva berbentuk semacam spiral yang telah kita sebut di atas.
Dan kita dapat menyajikan kurva sinus dan parabol ke dalam bentuk parameter. Fungsi
sinus dan fungsi parabol dapat pula disajikan dalam bentuk parameter, kita dapat
menulis. Dalam kasus pertama, parameternya adalah
π¦ = sin π₯, π₯ = π₯, 0 β€ π₯ β€ π
π¦ = π¦, π₯ = π¦2, β2 β€ π¦ β€ 2
π¦
(π₯, π¦) 2
1
-1
-2
1 2 3 4 π₯
π₯ = π¦2
π¦
a π‘
π₯ = π cos π‘, π¦ = sin π‘
0 β€ π‘ β€ 2π
Gambar 4.4 Gambar 4.3
π₯
-
97
Dalam kasus pertama parameternya adalah π₯, sedangkan dalam kasus kedua
parameternya adalah π¦. Jadi sebuah kurva rata dapat dilukiskan oleh sepasang
persamaan parameter π₯ = π (π‘), π¦ = π(π‘), π β€ π‘ β€ π, fungsi π dan π kita andaikan
kontinu pada selang tersebut. Anggaplah π‘ sebagai menyatakan waktu. Apabila π‘
bertambah dari π hingga π, titik (π₯, π¦) bergerak sepanjang seluruh kurva itu.
Untuk mengenali kembali sebuah kurva yang ditentukan oleh persamaan parameter,
kita sebaiknya menghilangkan (mengeliminasi) parameter ini. Hal-hal ini juga dapat
dicapai dengan mencari π‘ dan salah satu persamaan parameter dan kemudian
mesubstitusikannya kedalam persamaan lain, dengan demikian kita akan mudah
memahami dan mencari panjang kurva pada bidang.
Contoh 1. Gambarlah sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah
π₯ = 2π‘ + 1, π¦ = π‘2 β 1, 0 β€ π‘ β€ 3.
Penyelesaian :
Kita susun daftar nilai variabel π‘, π₯ dan π¦. Kemudian kita gambar pasangan
terurut (π₯, π¦) dan akhirnya kita hubungkan titik-titik tersebut sesuai dengan arah
naiknya nilai π‘, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 5.
-
98
untuk π‘ = 0 untuk π‘ = 2 untuk π‘ = 0 untuk π‘ = 2
π₯ = 2π‘ + 1 π₯ = 2π‘ + 1 π¦ = π‘2 β 1 π¦ = π‘2 β 1
π₯ = 2(0) + 1 π₯ = 2(2) + 1 π¦ = (0)2 β 1 π¦ = (2)2 β 1
π₯ = 1 π₯ = 5 π¦ = β1 π¦ = 3
untuk π‘ = 1 untuk π‘ = 3 untuk π‘ = 1 untuk π‘ = 3
π₯ = 2π‘ + 1 π₯ = 2π‘ + 1 π¦ = π‘2 β 1 π₯ = π‘2 β 1
π₯ = 2(1) + 1 π₯ = 2(3) + 1 π¦ = (1)2 β 1 π₯ = (3)2 β 1
π₯ = 3 π₯ = 7 π¦ = 0 π₯ = 8
Setelah memperhatikan contoh soal diatas, kita dapat mengetahui apa yang harus dicari
dan diselesaikan. Untuk itu setiap simbol dan kata-kata harus diperhatikan dengan
benar.
(3,0)
(5,3)
(7,8)
y
x
8
6
4
2
2 6 6 8
Gambar 4.5
t x y
0
1
2
3
1
3
5
7
-1
0
3
8
(1,-1)
-
99
Contoh 2. Hilangkanlah parameter π‘ dari persamaan π₯ = π‘2 + 2π‘ , π¦ = π‘ β 3,
β2 β€ π‘ β€ 3. Kemudian tentukan bentuk kurva dan gambarlah grafik dari persamaan
diatas
Penyelesaian :
Dari persamaan kedua, kita peroleh π‘ = π¦ + 3. Jika π‘ ini distribusikan ke dalam
persamaan pertama, kita peroleh
π₯ = (π¦ + 3)2 + 2(π¦ + 3)
π₯ = π¦2 + 8π¦ + 15 atau π₯ + 1 = (π¦ + 4)2.
Persamaan ini kita kenal sebagai parabola dengan puncak di (-1,-4) dan terbuka ke
kanan. Untuk mengambarkan grafiknya, kita hanya memperhatikan bagian parabol
yang sesuai dengan nilai parameter yang memenuhi β 2 β€ π‘ β€ 3. Daftar nilai-nilai dan
grafik pada. Anak panah menunjukan arah naiknya nilai π‘.
Dari gamba