UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO - UniBG 04. Value at...Università degli Studi di Bergamo...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Facoltà di Ingegneria

Corso di Risk Management

Prof. Filippo Stefanini

Value at Risk

A.A. 2009/2010

Corso 60012 – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile

Università degli Studi di BergamoFacoltà di Ingegneria

Risk Management2009/2010

Value at Riskpag 2

Storia del VaR

J.P. Morgan è accreditata come la banca che ha reso il VaR una misuraampiamente diffusa. Nel 1990 il presidente di J.P. Morgan, DennisWeatherstone, era insoddisfatto dei lunghi report di analisi del rischio chericeveva ogni giorno. Egli voleva un report semplice che sintetizzassel’esposizione totale della banca su tutto il proprio portafoglio di trading. Daquesta esigenza nacque il “report 4:15”, dall’ora in cui veniva messo sullascrivania di Weatherstone, prima della chiusura dei mercati.Nel 1994 J.P. Morgan pubblicò su Internet una versione semplificata delproprio sistema di calcolo dei rischi finanziari, chiamata RiskMetrics. Nel1996 il BIS Amendment adottò ufficialmente il VaR per calcolare il capitaleche le istituzioni finanziarie devono detenere per coprire la loro esposizione airischi di mercato e di credito.



Value at Riskpag 3

Il Value at Risk (VaR) è la massima perdita potenziale che un portafoglio puòsubire in un dato orizzonte temporale e con una data probabilità (intervallo diconfidenza).Il calcolo del VaR ha lo scopo di consentire di fare la seguente affermazione:

Value at Risk

Y% è il VaR del portafoglio. Il VaR è il livello di perdita che non verrà superato con probabilità 100%-X.

“Con una probabilità del 100%-X non perderemo più del Y% del portafoglio

nei prossimi N giorni.”



Value at Riskpag 4

-2% -1% 0% 1% 2% 3% 4%0

2

4

6

8

10

12

14

VaR @1 mese @ (100%-X)

Significato grafico del VaR nella distribuzione empirica dei rendimenti

Rendimenti mensili

Num

ero

di o

sser

vazi

oni

X

f(x)

x



Value at Riskpag 5

Ad esempio un VaR di € 1 milione su un mese con livello diconfidenza 95%, significa che la massima perdita per ilportafoglio per il prossimo mese sarà € 1 milione nel 95% deicasi. Nulla ci dice su che cosa succede nel restante 5% deicasi.

Value at Risk



Value at Riskpag 6

Il VaR è il (100%-X)-esimo percentile della distribuzione deirendimenti del portafoglio nei prossimi N giorni.

Il VaR è funzione di due parametri:• l’orizzonte temporale (solitamente 1 giorno, 5 giorni, 10

giorni, 1 mese, 1 anno) ed• il livello di confidenza (tipicamente 95% o 99%).

Value at Risk



Value at Riskpag 7

Il VaR non descrive la perdita peggiore

Il VaR non dice nulla sulla distribuzione delle perdite nella coda sinistra

Il VaR è soggetto all’errore di campionamento

Caveat



Value at Riskpag 8

Nell’ipotesi che le variazioni di valore del portafoglio in giorni successivi sidistribuiscano come variabili casuali normali identiche, indipendenti ed a medianulla si ricava che:

dove X è il livello di confidenza, s è la deviazione standard della variazione divalore del portafoglio nell’orizzonte temporale prescelto ed N-1 è l’inversa dellafunzione di distribuzione normale standardizzata.Sia N il numero di giorni. Se le variazioni di valore del portafoglio in giornisuccessivi sono variabili casuali normali identiche, indipendenti ed a media nullasi ricava che:

Parametri del VaR

)(1 XNVaR

NVaRVaR giorno 1giorni N



Value at Riskpag 9

VaR e Capitale di Vigilanza

• Gli organi di vigilanza sulla stabilità di sistema finanziario richiedono allebanche di detenere un capitale minimo calcolato in funzione del Value atRisk

• Il Comitato di Basilea ha scelto i seguenti parametri per il calcolo del VaR:– per il rischio di mercato nel book di trading, un orizzonte temporale di

10 giorni ed un intervallo di confidenza del 99%– per il rischio di credito e per il rischio operativo, un orizzonte

temporale di 1 anno ed un intervallo di confidenza del 99.9%



Value at Riskpag 10

Expected Shortfall

La Expected Shortfall è la perdita attesa, data una perdita maggiore (in valore assoluto) del VaR. La Expected Shortfall è anche chiamata Conditional VaR (cVaR) o Tail Loss. Mentre il VaR si chiede quanto possono andar male gli investimenti finanziari, la Expected Shortfall si chiede:

“Se gli investimenti vanno male, qual è la perdita attesa ? “



Value at Riskpag 11

Expected Shortfall

La Expected Shortfall è la perdita attesa durante un periodo diN giorni se la perdita è maggiore del (100-X)-esimo percentile

Come il VaR, anche la Expected Shortfall è funzione di dueparametri:

• l’orizzonte temporale (N giorni) e

• l’intervallo di confidenza (X%).



Value at Riskpag 12

VaR

VaR

Distribuzioni con lo stesso VaR ma con diverse Expected Shortfalls

Due portafogli con lo stesso VaR possono avere Expected Shortfalls molto diverse

Rend%

Rend%

Freq oss

Freq oss



Value at Riskpag 13

Vantaggi del VaR

• è una misura di rischio ampiamente diffusa

• sintetizza in un singolo numero importanti aspetti del rischio di un portafoglio di strumenti finanziari

• ha la stessa unità di misura dei rendimenti del portafoglio su cui è calcolato

• è semplice da capire• risponde alla semplice domanda:

“Quanto possono andare male gli investimenti finanziari ?”

Il VaR …



Value at Riskpag 14

Misure di Rischio Coerenti

• Definiamo una misura di rischio coerente l’ammontare di cash che deve essereaggiunto ad un portafoglio per rendere il suo rischio accettabile

• Proprietà di una misura di rischio coerente:1. Se un portafoglio ha rendimenti più bassi di un altro portafoglio, la sua

misura di rischio deve essere maggiore in valore assoluto2. Se aggiungiamo un ammontare di cash K ad un portafoglio, la sua misura

di rischio deve diminuire di K3. Cambiando la dimensione di un portafoglio di un fattore moltiplicativo l,

la misura di rischio deve essere moltiplicata per l4. La misura di rischio di due portafogli che vengono fusi tra loro, deve non

essere maggiore della somma delle loro misure di rischio prima che sianofusi



Value at Riskpag 15

VaR vs Expected Shortfall

• Il VaR soddisfa le prime tre condizioni ma non la quarta in quanto non è una misura di rischio additiva

• La Expected Shortfall soddisfa tutte e quattro le condizioni

Il VaR non è una misura di rischio coerente, mentre la Expected Shortfall è una misura di rischio coerente.



Value at Riskpag 16

Misure di rischio spettrali

• Una misura di rischio spettrale assegna pesi ai quantili della distribuzione dei rendimenti

• Il VaR assegna tutto il peso al (1-X)-esimo quantile della distribuzione dei rendimenti o al X-esimo quantile della distribuzione delle perdite

• La Expected Shortfall assegna un peso uguale a tutti i quantili maggiori dell’ X-esimo quantile

• Per una misura di rischio coerente i pesi devono essere una funzione non-decrescente dei quantili



Value at Riskpag 17

Ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti

La distribuzione dei rendimenti di un qualunque portafoglio di strumenti finanziari non è normale. Il motivo è da ricercare nelle emozioni che guidano il comportamento degli operatori di mercato:– Avidità – Paura



Value at Riskpag 18

• Quando le performance giornaliere di un portafoglio sono indipendenti edidenticamente distribuite, la varianza dei dati su un periodo di N giorni èpari ad N volte la varianza giornaliera

• Se i rendimenti di un portafoglio hanno un’autocorrelazione a ritardo 1 paria r,la varianza su un periodo di N giorni è pari a

volte la varianza giornaliera

132 2)3(2)2(2)1(2 nNNNN

Ipotesi di indipendenza dei dati nel calcolo del VaR



Value at Riskpag 19

Impatto dell’autocorrelazione

N=1 N=2 N=5 N=10 N=50 N=250

r=0 1.0 1.41 2.24 3.16 7.07 15.81

r=0.05 1.0 1.45 2.33 3.31 7.43 16.62

r=0.1 1.0 1.48 2.42 3.46 7.80 17.47

r=0.2 1.0 1.55 2.62 3.79 8.62 19.35

In pratica il rendimento giornaliero di un portafoglio non è sempreindipendente dal rendimento del giorno precedente. La tabella seguentemostra il rapporto tra il VaR ad N-giorni ed il VaR ad 1-giorno, quando c’èun’autocorrelazione r a ritardo 1 (ipotesi di normalità della distribuzionedei rendimenti).



Value at Riskpag 20

Scelta dei parametri del VaR

• L’orizzonte temporale scelto dovrebbe dipendere da quanto velocemente ilportafoglio può essere liquidato.

• Supponiamo che una banca voglia mantenere un credit rating AA e calcoli chele società con questo credit rating hanno una probabilità di fallire dello 0.03%su un orizzonte temporale di 1 anno. Questa banca userà per il riskmanagement interno un intervallo di confidenza al 99.97% con un orizzontetemporale di 1 anno.

Rating = Il rating esprime la valutazione dell’affidabilità creditizia di un soggetto emittente strumenti finanziari di debito, ovvero della probabilità che questi faccia fronte puntualmente ai suoi debiti. Pertanto il rating fornisce agli operatori finanziari un’informazione sul grado di rischio degli emittenti.



Value at Riskpag 21

Marginal VaR

ii w

VaRMVaR

Per un portafoglio in cui ho investito l’ammontare wi (weight) nell’i-esima componente, il Marginal VaR è la sensitività del VaR all’ammontare investito nella i-esima componente:



Value at Riskpag 22

Incremental VaR

• Incremental VaR è l’effetto incrementale sul VaR di un nuovo trade o l’effettoincrementale di chiudere un trade esistente. Risponde alla domanda: “Qual èla differenza tra il VaR con ed il VaR senza il trade ?”

• Per un portafoglio in cui l’ammontare wi è investito nell’i-esima componentedel portafoglio:

ii

i ww

VaRIVaR



Value at Riskpag 23

Component VaR

ii

i ww

C

VaR

• Il Component VaR per la i-esima componente del portafoglio è la parte delVaR del portafoglio che può essere attribuita a questa componente.

• Per un portafoglio in cui l’ammontare wi è investito nell’i-esima componentedel portafoglio:



Value at Riskpag 24

Proprietà del Component VaR

• Il Component VaR è approssimativamente lo stesso del VaR incrementale

• Il VaR totale è la somma dei Component VaR (teorema di Euler)

N

ii

i

ww

VaR1

VaR



Value at Riskpag 25

Riassunto

• Value at Risk (VaR) is the maximum loss a portfolio should sustain under normalmarket conditions over a specified time period and with a specified level ofconfidence.

• Parametric VaR is calculated via closed-form, analytical methods. Here theportfolio volatility is calculated from the historical volatilities and correlations of eachconstituent position. The desired confidence level and time horizon are then applied tothis volatility to generate a VaR.

• Monte Carlo VaR is calculated by simulating a large number of possible scenarios foreach market risk factor. In each scenario the portfolio is repriced and the resultingdistribution of P&L outcomes is used to derive a VaR. This technique bettercaptures the non-linear nature of any optionality in the portfolio.

• Marginal VaR is the difference in portfolio VaR with the selected security and theportfolio VaR without the selected security. In other words, marginal VaR specifieshow much the portfolio VaR would decrease/increase if the selected security waseliminated.

• Incremental VaR or contribution to VaR specifies how much the total portfolio VaRwould change by increasing the size of a selected security by an incremental amount.The sum of all incremental VaRs will be equal to the portfolio VaR.



Matrice di varianze-covarianzepag 26

Calcolo dell’Incremental VaR con la matrice di varianze-covarianze

• Sia N la funzione di densità di probabilità normale standardizzata.

• Sia (1-a)% l’intervallo di confidenza e sia T l’orizzonte temporale diriferimento

n

jijji

iii

ii

wwwT

Nw

wwTw

Nwww

1

1

1

'1)(

')(VaRIVaR




Esempio

• Consideriamo il seguente portafoglio:

Bloomberg ticker NamePortfolio Weights

IT IM Equity Italcementi SpA 10.00%BRE IM Equity Brembo SpA 10.00%TEN IM Equity Tenaris SA 10.00%UBI IM Equity Unione di Banche Italiane SCPA 10.00%BP IM Equity Banco Popolare SC 10.00%ATL IM Equity Atlantia SpA 10.00%CRB IM Equity LYXOR ETF Commodities CRB 10.00%IT0004536949 Govt Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00%IT0003190912 Govt Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00%GR0110021236 GOVT Hellenic Republic Government Bond 10.00%




Esempio

• La matrice varianze-covarianze giornaliere è la seguente:

0.057% 0.026% 0.032% 0.025% 0.033% 0.021% 0.005% 0.000% -0.001% 0.001%

0.026% 0.053% 0.034% 0.026% 0.033% 0.019% 0.007% -0.001% -0.001% 0.001%

0.032% 0.034% 0.107% 0.035% 0.045% 0.028% 0.021% -0.001% -0.002% 0.001%

0.025% 0.026% 0.035% 0.056% 0.041% 0.018% 0.007% -0.001% -0.001% 0.000%

0.033% 0.033% 0.045% 0.041% 0.099% 0.023% 0.008% 0.000% -0.001% 0.001%

0.021% 0.019% 0.028% 0.018% 0.023% 0.046% 0.006% 0.000% -0.001% 0.001%

0.005% 0.007% 0.021% 0.007% 0.008% 0.006% 0.019% 0.000% 0.000% 0.000%

0.000% -0.001% -0.001% -0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.001% 0.000% 0.000%

-0.001% -0.001% -0.002% -0.001% -0.001% -0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%

0.001% 0.001% 0.001% 0.000% 0.001% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.001%




Esempio

• La matrice di varianze-covarianze giornaliere undiversified:

0.057% 0.055% 0.078% 0.057% 0.076% 0.052% 0.033% 0.006% 0.004% 0.007%

0.055% 0.053% 0.076% 0.055% 0.073% 0.050% 0.032% 0.006% 0.004% 0.007%

0.078% 0.076% 0.107% 0.078% 0.103% 0.070% 0.045% 0.008% 0.006% 0.010%

0.057% 0.055% 0.078% 0.056% 0.075% 0.051% 0.032% 0.006% 0.004% 0.007%

0.076% 0.073% 0.103% 0.075% 0.099% 0.068% 0.043% 0.008% 0.005% 0.009%

0.052% 0.050% 0.070% 0.051% 0.068% 0.046% 0.029% 0.005% 0.004% 0.006%

0.033% 0.032% 0.045% 0.032% 0.043% 0.029% 0.019% 0.003% 0.002% 0.004%

0.006% 0.006% 0.008% 0.006% 0.008% 0.005% 0.003% 0.001% 0.000% 0.001%

0.004% 0.004% 0.006% 0.004% 0.005% 0.004% 0.002% 0.000% 0.000% 0.000%

0.007% 0.007% 0.010% 0.007% 0.009% 0.006% 0.004% 0.001% 0.000% 0.001%




Esempio

• Ecco i risultati del calcolo del VaR con il metodo parametrico con 2 yearlookback con intervallo di confidenza al 99%:

Daily Monthly Yearly

Ex ante Volatility 1.19% 5.32% 18.89%

Diversified Value at Risk -2.77% -12.38% -43.96%

UnDiversified Value at Risk -3.64% -16.29% -57.81%




Esempio

• Di seguito riportiamo il breakdown del VaR di -12.38%:

NamePortfolio Weights

Incremental VaR monthly @ 99%

Italcementi SpA 10.00% -1.81%Brembo SpA 10.00% -1.81%Tenaris SA 10.00% -2.74%Unione di Banche Italiane SCPA 10.00% -1.89%Banco Popolare SC 10.00% -2.58%Atlantia SpA 10.00% -1.48%LYXOR ETF Commodities CRB 10.00% -0.66%Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00% 0.01%Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00% 0.05%Hellenic Republic Government Bond 10.00% -0.05%



Value at Riskpag 32

Backtesting

• Supponiamo che l’orizzonte temporale sia 1 giorno ed il limite di confidenza sia X%. Se il modello di VaR è accurato, la probabilità che il VaR sia superato in un dato giorno è p=1-X.

• Supponiamo di guardare al numero totale di n giorni e osserviamo che il limite di VaR è ecceduto (in valore assoluto) in m giorni

• Se (m/n)>p , dobbiamo rifiutare il modello che ha prodotto valori di VaR troppo piccoli



Value at Riskpag 33

Backtesting

• Il VaR è calcolato facendo l’ipotesi che il portafoglio rimanga invariatodurante il periodo di tempo

• Fare il backtesting di una metodologia di calcolo del VaR significa guardare aquanto spesso capitano le eccezioni (in valore assoluto, perditaosservata>VaR)

• Supponiamo che la probabilità teorica di una eccezione sia p =1-X. Laprobabilità di m o più eccezioni in n giorni (cioè la probabilità che il VaR siasuperato in m o più giorni) è:

• Quando il numero di eccezioni m è più basso del numero atteso di eccezioni,la probabilità di m o meno eccezioni è:

knkn

mkpp

knkn

)1(

)!(!!

knkm

kpp

knkn

)1(

)!(!!

0



Value at Riskpag 34

Backtesting

• Una volta calcolato il VaR bisogna monitorare il numero delle perditemaggiori (in valore assoluto) del VaR stimato ("VaR Exceptions").

• Per un VaR calcolato usando un intervallo di confidenza pari a (1-a)%, leeccezioni dovrebbero verificarsi secondo una percentuale pari ad a%.

• Quindi è possibile fare un back-test sulla metodologia utilizzata per il calcolodel VaR monitorando l’incidenza delle VaR Exceptions

• Se la percentuale di eccezioni osservate supera la soglia di a%, significa che ilmodello usato per la stima del VaR non è corretto



Value at Riskpag 35

Esercizio

• Un fondo hedge ha condotto un back-test sulla metodologia VaR ed hamonitorato l’incidenza delle perdite giornaliere del portafoglio che sonorisultate maggiori del VaR. Se l’intervallo di confidenza scelto è il 95%,quante dovrebbero essere al massimo queste eccezioni ? Il VaR è statocalcolato con il metodo storico su serie storiche di 2 anni. Nell’ipotesi in cui lavolatilità del mercato di riferimento sia rimasta costante durante i 2 anniconsiderati per il calcolo del VaR, il metodo VaR ha predetto correttamente ilrischio del portafoglio dell’hedge fund ?



Value at Riskpag 36

Esercizio

• Il grafico seguente mostra le perdite maggiori (in valore assoluto) del VaR stimato. Nel 2008 il numero delle eccezioni è stato superiore al 5% perché i movimenti di mercato sono stati molto più volatili rispetto ai precedenti 2 anni.

• Pertanto il modello utilizzato per la stima del VaR non si è rivelato corretto.



Value at Riskpag 37

Undiversified VaR

• In una situazione di crisi di mercato le correlazioni tendono a salire. Siassume allora che i rendimenti dei titoli in portafoglio siano perfettamentecorrelati e che si muovano contemporaneamente nella peggior direzione

• Possiamo modificare la matrice di varianze-covarianze per studiare che cosapuò succedere al portafoglio in situazioni in cui le correlazioni tra i titolisalgono fino a diventare tutte uguali ad 1.



Value at Riskpag 38

Che senso ha calcolare il VaR per un portafoglio concentrato

o poco liquido ?

Il VaR e la liquidità



Value at Riskpag 39

Esempio

• Creiamo un portafoglio così composto:

Dati al 28/03/2008



Value at Riskpag 40

Esempio

• Il VaR del portafoglio calcolato con il metodo storico con intervallo di confidenza 95% su un orizzonte temporale di 1 giorno è -0,17%

Dati al 28/03/2008



Value at Riskpag 41

Esempio

• … ed in maggior dettaglio …

Dati al 28/03/2008



Value at Riskpag 42

VaR per una distribuzione normale

• Se la distribuzione dei rendimenti è normale, il Value at risk è proporzionale alla volatilità:

dove W0 è il valore iniziale del portafoglios è la standard deviationm è il rendimento medioDt è il periodo di tempoz è il coefficiente di distribuzione normale

tzWzeroVaR 0)(

ttzWmeanVaR 0)(



Value at Riskpag 43

Se la distribuzione dei rendimenti è normale standardizzata

• Se la distribuzione dei rendimenti è normale e se scegliamo a=99%

perché il percentile della distribuzione normale con a=99% è 2.326

326.2VaR



Value at Riskpag 44

VaR per una distribuzione generale

Sia W0 è il valore iniziale del portafoglioW è il valore di portafoglio al tempo T

R è il rendimento del portafoglio con media m e standard deviation R* è detto rendimento criticoIl più basso valore di portafoglio per un dato intervallo di confidenza c è

**)( 0 RWWWEmeanVaR

**)( 00 RWWWzeroVaR

RWW 10

*1* 0 RWW



Value at Riskpag 45

La morte del VaR ?

• Il Value at risk non ha permesso di individuare la possibilità di crollo dei mutui subprime statunitensi che hanno causato centinaia di miliardi di dollari di perdite per le banche di tutto il mondo

• La crisi subprime ha evidenziato i difetti di questa misura finanziaria basata sui prezzi storici



Value at Riskpag 46

La morte del VaR ?

• “Finance is an area that's dominated by rare events. The tools we have inquantitative finance do not work in what I call the ‘Black Swan’ domain.”

Nassim Taleb, autore del libro The Black Swan: The Impact of theHighly Improbable e del libro Fooled By Randomness: The HiddenRole of Chance in Life and in the Markets

• “VaR … creates a false sense of security among senior managers andwatchdogs. This is like an air bag that works all the time, except when youhave a car accident.”

David EinhornPresident and Co-FounderGreenlight Capital LLC



Value at Riskpag 47

VaR e UCITS III sofisticati

“The calculation of the Value-at-Risk must be done according to thefollowing calculation standards:• unilateral confidence interval of 99 %;

• holding period equivalent to 1 month (20 days);• effective observation period (history) of risk factors of at least 1 year

(250 days) unless a shorter observation period is justified by asignificant increase in price volatility;

• quarterly data update;

• daily calculation, in principle.In principle, UCITS must apply an instant price choc equivalent to a 20days price variation and a confidence interval of 99%.”

Fonte: CSSF CIRCULAR 07/308, 2 agosto 2007



Value at Riskpag 48

VaR e UCITS III sofisticati

“The Commission would like to draw the UCITS' attention on thefact that the method of calculation of a VaR equivalent to 99%confidence interval and one month holding period described aboveis based on simplifying hypothesis which are far from beingalways observed in reality. Consequently, the Commission expectsthat the UCITS applies such equivalent VaR with caution andmakes use, if appropriate, of a more conservative method ordetermines directly the VaR on the basis of the parameters of 99%and one month holding period (instant choc) when it becomesobvious that the indicated method (square root of time, quantilesof normal distribution) results in an underestimate of the risk forthe standard calculations determined at the beginning of this point(i.e. 99%, one month).”

Fonte: CSSF CIRCULAR 07/308, 2 agosto 2007



Value at Riskpag 49

Esercizio

• Se la distribuzione dei rendimenti è normale un VaR mensile del 20% con intervallo di confidenza del 99% a quale volatilità annua dei rendimenti corrisponde ?

NVaRVaR giorno 1giorni N

%28.6912%2012mese 1anno 1

VaRVaR

annualeannualeVaR 326.2

%79.29326.2/ annualeannuale VaR



Value at Riskpag 50

Metodi di calcolo del VaR

• Non c’è un unico metodo per il calcolo del VaR.

• Modelli basati sui dati passati– Calcolo con la matrice di varianze-covarianze– Simulazione con il metodo di Monte-Carlo

• Modelli basati sulle volatilità implicite– Il problema è che i dati sulle volatilità implicite sono disponibili solo per un numero ridotto di

strumenti finanziari. Tuttavia in questo modo si ottiene una misura del VaR più reattiva aglishock di mercato

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