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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Setor de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
RODRIGO FARIAS ANDRIOLO
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM RELAÇÃO A
POTÊNCIA GERADA
CURITIBA
2011
RODRIGO FARIAS ANDRIOLO
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM RELAÇÃO A
POTÊNCIA GERADA
Trabalho de conclusão de curso apresentado à disciplina Trabalho Final de Curso como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia, Exatas, Universidade Federal do Paraná. Orientadora: Profa. Dra. Thelma Solange Piazza Fernandes.
CURITIBA
2011
“Se, a princípio, a ideia não é absurda, então não há esperança para ela.”
(Albert Einstein)
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Prof. Dr. Thelma Solange Piazza Fernandes, pela dedicação,
amizade e conhecimento cedidos para que esse trabalho fosse realizado.
Aos meus pais, Elza e Fernando por serem meu porto seguro e a minha
irmã Aline pelas infindáveis conversas e momentos de descontração.
À Profa Dra. Elizete Maria Lourenço e ao Prof. Dr. Odilon Luís Tortelli, por
aceitarem o convite de participação da banca e também pelas sugestões que
muito contribuíram para a análise dos resultados.
Aos meus amigos (as) Giovana, Victor, Luan, João Paulo, Bruna, Aramis,
André, Inajara, Cristiano, Joás, Paulo Roberto, Diógenes, Péricles e Sávio pelos
momentos de descontração e também pela ajuda empreendida.
E a todos os colegas e professores que de alguma forma ajudaram na
realização deste trabalho.
RESUMO
O congestionamento em linhas de transmissão é uma das diversas restrições que
limitam a exploração ótima dos recursos de energia. Alguns fatores como, o
aumento da complexidade dos sistemas, o constante crescimento da demanda e
as dificuldades (custo e questões ambientais) em se construir novas linhas
intensificam os gargalos de transmissão. A fim de contornar estes gargalos, esse
trabalho tem como objetivo analisar técnicas existentes e propor uma nova que
contorne o problema de congestionamento, utilizando o conceito de sensibilidade
entre variações de potência gerada com as variações nos fluxos das linhas. Os
resultados foram obtidos para um sistema de 33 barras que representa o sistema
elétrico da região Sul do Brasil.
Palavras-chave: Análise de sensibilidade, Congestionamento, Matriz
Sensibilidade, Gestão do congestionamento
ABSTRACT
The congestion in transmission lines is one of several restrictions that limit the
optimal exploitation of energy resources. Some factors as the increasing
complexity of systems, the load growth and the difficulties (cost and environmental
issues) to build new lines, results in transmission bottlenecks. In a way to avoid
this problem, this work aims to analyse already used techniques and propose a
new method that eliminates the congestion problem, using the concept of
sensitivity between the variations of power generation with the line flows
variations. The results were obtained for a 33 bus system which represents the
Southern electrical system of Brazil.
Keywords: Sensitivity analysis, Line congestion, Sensitivity matrix, Congestion
Management
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 1
1.1. Contexto ....................................................................................................................................... 1
1.2. Objetivo ........................................................................................................................................ 2
1.3. Estrutura do trabalho .................................................................................................................... 2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................................................ 4
2.1. Métodos propostos na literatura ................................................................................................... 4
3. MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................................... 9
3.1. SFC Linear ................................................................................................................................... 9
3.2. SFPO não linear ......................................................................................................................... 12
3.3. SKKT linear ................................................................................................................................ 18
3.4. Considerações finais do capítulo ............................................................................................... 25
4. RESULTADOS ............................................................................................................................... 26
4.1. Resultados para o Método SFC linear ....................................................................................... 26
4.1.1. Incremento de geração na barra 2 ............................................................................................. 28
4.1.2. Eliminando a sobrecarga em na linha (9-18) ............................................................................ 32
4.2. Resultados para o Método SFPO não linear ............................................................................. 33
4.2.1. Incremento de geração na barra 2 ............................................................................................. 35
4.2.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18) ............................................................................. 38
4.3. Resultado para o Método SKKT linear ....................................................................................... 39
4.3.1. Incremento de geração na barra 2 ............................................................................................. 40
4.3.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18) ............................................................................. 44
4.4. Comparação entre os métodos .................................................................................................. 45
5. CONCLUSÕES .............................................................................................................................. 48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................................................... 49
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Ramo de um sistema de transmissão ................................................... 12
Figura 2 – Topologia do sistema - FONTE: ALVES (2007) .................................. 26
Figura 3–Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18) ....................................... 31
Figura 4 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18) ................................... 31
Figura 5 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31) .................................... 32
Figura 6 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18) ..................................... 36
Figura 7 - Relação entre ∆Pl e o erro para a linha (19-18) ................................... 37
Figura 8 - Relação entre ∆Pl e o erro para a linha (28-31) ................................... 37
Figura 9 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18) ...................................... 42
Figura 10 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18) .................................. 43
Figura 11 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31) .................................. 43
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Tipos de Barra do Fluxo de Carga Convencional ................................ 13
Tabela 2 – Valores de potência e ângulos ........................................................... 27
Tabela 3 – Fluxo nas linhas de intercâmbio ......................................................... 27
Tabela 4 – Valores de sensibilidade ( ) ............................................................... 27
Tabela 5 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ......... 28
Tabela 6 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação ...... 28
Tabela 7 – Valores de ΔPj calculados a partir da matriz sensibilidade ................. 29
Tabela 8 – Erro entre os valores de fluxos ........................................................... 30
Tabela 9 - Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra ............... 33
Tabela 10 - Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ....... 34
Tabela 11 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação .... 34
Tabela 12 – Valores de sensibilidade ( ) ............................................................ 34
Tabela 13 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ....... 35
Tabela 14 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação .... 35
Tabela 15 – Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade .............. 36
Tabela 16 – Erro entre os valores de fluxos ......................................................... 36
Tabela 17 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 3 .......... 38
Tabela 18 – Valores de potência e ângulos ......................................................... 39
Tabela 19 – Fluxo nas linhas de intercâmbio ....................................................... 40
Tabela 20 –Valores de sensibilidade, .......................................................... 40
Tabela 21 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ....... 41
Tabela 22 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação .... 41
Tabela 23 - Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade ............... 42
Tabela 24 – Erro entre os valores de fluxos ......................................................... 42
Tabela 25 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 1 .......... 44
Tabela 26 – Erro entre os valores de fluxos para os três métodos ...................... 45
Tabela 27 – Tabela de classificação das barras, para a linha (9-18), em relação
aos 3 métodos ...................................................................................................... 46
Tabela 28 - Tabela de classificação das barras, para a linha (19-18), em relação
aos 3 métodos ...................................................................................................... 46
Tabela 29 - Tabela de classificação das barras, para a linha (28-31), em relação
aos 3 métodos ...................................................................................................... 46
1. INTRODUÇÃO
1.1. Contexto
O congestionamento em linhas de transmissão ocorre quando os fluxos
de potência atingem a capacidade máxima dos equipamentos de transmissão ou
quando estes operam próximos a esse máximo. Essa condição de operação é
maléfica ao sistema, uma vez que ocasiona corte de carga, não cumprimento dos
contratos no mercado livre de energia e impede que sejam despachadas as
usinas com menor custo de operação.
O sistema brasileiro, por ser predominantemente hidráulico enfrenta
algumas dificuldades, pois os geradores de energia estão localizados,
geralmente, longe dos centros de carga. Não obstante, a preocupação com o
meio ambiente também tem dificultado e tomado tempo na construção de novas
linhas de transmissão. Devido a esse fato, novos meios e métodos são
necessários para a melhor utilização dos recursos já existentes.
Dentre os diversos métodos citados na literatura, muitos deles tratam o
problema de congestionamento através de realocação de geração, corte de
carga, cancelamento de transações de energia e reconfiguração dos sistemas de
transmissão (HOJI, 2006). A proposta desse trabalho é contornar o problema de
congestionamento utilizando o conceito de análise de sensibilidade.
A análise da sensibilidade das variáveis de um sistema de energia elétrica
em relação a um certo conjunto de ações de controle tem encontrado aplicação
em vários problemas de análise de redes, inclusive na determinação de ações de
controle corretivo a serem comandadas por um operador em um centro de
monitoração e controle do sistema (MONTICELLI, 1983). Nesse trabalho será
feita a análise de sensibilidade entre as variações nos fluxos das linhas de
transmissão em relação à potência gerada.
2
1.2. Objetivo
O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia, baseada nas
condições de otimalidade de primeira ordem e no conceito de sensibilidade, para
contornar ou eliminar o problema de congestionamento em linhas de transmissão.
Para se atingir esse objetivo seguiu-se as seguintes etapas:
a) Entender o conceito de sensibilidade entre as variáveis de um sistema;
b) Revisão bibliográfica sobre manejo do congestionamento utilizando o
conceito de sensibilidade;
c) Formulação matemática e implementação computacional em
plataforma Matlab de métodos já existentes e do proposto;
d) Análise de resultados.
1.3. Estrutura do trabalho
No capítulo dois, é feita uma revisão bibliográfica sobre o que vem sendo
feito atualmente no que diz respeito ao manejo do congestionamento utilizando
fatores de sensibilidade.
No terceiro capítulo serão apresentadas as formulações dos métodos,
para a obtenção desses fatores de sensibilidade, baseados no fluxo de carga
linear (FC linear), no Jacobiano do fluxo de potência ótimo não linear (FPO não
linear) e do método proposto, que a partir das condições de KKT, utiliza a matriz
Hessiana para obter tais fatores. Os métodos serão citados como, Sensibilidade
para o Fluxo de Carga Linear (SFC linear), Sensibilidade para o FPO não linear
(SFPO não linear) e Sensibilidade baseada nas KKT (SKKT linear).
No capítulo 4 são apresentados os resultados de alguns testes realizados
para os três métodos. Foram feitas simulações a fim verificar os impactos que
incrementos de geração tem sobre os fluxos nas linhas de intercâmbio. Foi criada
uma situação em que se reduz a capacidade de transmissão de uma das linhas
de intercâmbio e então utilizando a matriz sensibilidade verifica-se o desempenho
3
das metodologias, ou seja, se a condição de congestionamento foi ou não
eliminada. Nesse capítulo, além de serem feitas análises dos resultados de cada
método individualmente, também é apresentada uma análise comparativa entre
os resultados dos três métodos.
Para encerrar, são listados os resultados positivos e negativos obtidos, as
dificuldades encontradas e propostas para trabalhos posteriores.
4
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. Métodos propostos na literatura
Muitos trabalhos, a seguir listados, utilizam o conceito de sensibilidade em
linhas de transmissão para contornar ou manejar o problema de
congestionamento nas linhas.
Sob a justificativa de que, contornar o problema de sobrecarga e
congestionamento em linhas de transmissão através do redespacho de geração,
despende muito tempo, CHOI e MOON (2001) propuseram um algoritmo para
eliminar o congestionamento em linhas utilizando a sensibilidade linearizada, em
que o despacho dos geradores permanece inalterado, mas a abertura angular
entre as linhas é modificada através de dispositivos FACTS que alteram a
reatância série da linha.
A equação de sensibilidade proposta em CHOI e MOON (2001) fornece a
variação angular entre duas barras, em relação à variação da susceptância série
da linha.
(1)
onde
– Variação de potência entre as barras k e m;
– Variação da susceptância da linha que interliga as barras k e m;
– Susceptância da linha que interliga as barras k e m;
– Variação na abertura angular entre as barras k e m;
– Abertura angular entre as barras k e m.
Em SONG e KEZUNOVIC (2004) é proposto um método, que utiliza
fatores de contribuição baseados nos geradores e cargas. O método descrito
nesse artigo é segmentado em três partes. Assim, dado um congestionamento em
uma ou mais linhas, a primeira etapa calcula um Fator de Contribuição de Fluxo
na Rede (FNCF) a fim de controlar o fluxo na rede. Caso o problema não seja
5
contornado na primeira etapa, então, são calculados os Fatores de Contribuição
de Carga (FLCF) e Geração (FGCF) de modo a eliminar o congestionamento.
A formulação matemática utilizada para se calcular o FNCF, é baseada no
método de fluxo de potência desacoplado rápido. Como resultado final, as
variações no fluxo da linha estão relacionadas a três componentes: O Fator de
Contribuição de Fluxo na Rede, a indutância série da linha e a variação da
admitância da linha em questão.
Segundo os autores, para cada mudança nos parâmetros de uma linha,
pode-se obter todas as variações de fluxos nas demais linhas do sistema. E
também é possível calcular, a partir de uma variação de fluxo desejada, as
variações nos parâmetros da linha. Os resultados apresentados no trabalho foram
obtidos de simulações feitas no sistema 14 barras do IEEE.
No trabalho de JIBIKI, SAKAKIBARA E IWAMOTO (2007), foi proposto
um método de sensibilidade de fluxo de potência em linhas de transmissão
baseado no fluxo DC e nas reatâncias de linha. O método proposto pelos autores
tem o propósito de aliviar o congestionamento sem influenciar as transações de
potência ativa. Para levar a cabo tal proposta, os autores assim como no trabalho
de CHOI e MOON (2001) utilizaram dispositivos FACTS para contornar o
problema.
CHOI e MOON (2001) obtiveram os índices de sensibilidade de fluxo a
partir das admitâncias das linhas, já JIBIKI, SAKAKIBARA E IWAMOTO (2007),
para uma dada emergência, calculam índices de sensibilidade de fluxo a partir
das reatâncias das linhas a fim de determinar um valor de compensação para os
dispositivos FACTS.O método calcula um Fator de Contribuição de Reatância na
Rede (NRCF),relacionando as variações dos fluxos das linhas em função
de variações nas reatâncias das linhas ( ):
(2)
onde representa a sensibilidade de fluxo da linha .
HASRA, SINHA e PHULPIN (2009) propuseram um índice de
sensibilidade baseado na técnica de gestão de congestionamento, que é obtido
da reprogramação da geração e/ou corte de carga. O modelo matemático
6
proposto, chamado de Fatores de Sensibilidade (SFs), relacionam as injeções de
potência em uma barra com as variações de corrente nas linhas do sistema. Por
sua vez, esses fatores são utilizados para selecionar quais são as barras de
geração ou carga mais sensíveis na gestão do congestionamento.
A partir das equações de corrente entre duas barras, nota-se que o fluxo
de corrente em uma linha é influenciado tanto pela diferença angular quanto pelas
magnitudes de tensão (HASRA, SINHA e PHULPIN, 2009). Assim, uma variação
no fluxo de corrente na linha corresponde a uma variação nos ângulos e
magnitudes de tensão das barras. A fim de verificar essa correspondência, os
autores utilizaram-se das derivadas parciais da corrente em relação às variáveis
tensão e ângulo por barra, conforme a equação (3). E com algumas simplificações
chegaram às equações (4) e (5).
(3)
(4)
(5)
onde
,
,
,
– São as derivadas parciais de em relação aos
ângulos e tensões das barras k e m;
– fator de carga
;
nb – número de barras.
Os FSs, portanto, segundo HASRA, SINHA e PHULPIN (2009), quando
multiplicados por um vetor que representa as variações de potência por barra,
fornecem como resultado um vetor com as variações de corrente nas linhas. Os
resultados foram obtidos a para os sistemas de 30 e 118 barras do IEEE.
7
No trabalho de WIRMOND, FERNANDES e TORTELLI foi proposto um
modelo de otimização para alocação de defasadores angulares em sistemas de
transmissão congestionados. O problema de otimização foi resolvido através da
utilização dos Algoritmos Genéticos (AG) juntamente com o Fluxo de Potência
Ótimo (FPO). A estratégia proposta foi à adoção dos AG para a alocação ótima de
TCPST, utilizando o FPO para a solução do fluxo de carga e ajuste dos taps
defasadores. A formulação matemática para a metodologia foi baseada em
critérios de minimização dos custos de instalação dos equipamentos e
minimização da sobrecarga total do sistema. Essa metodologia foi testada em um
sistema de 291 barras que é o equivalente em carga pesada da rede elétrica do
estado do Paraná no Brasil que contém toda a rede de 525 kV, 230 kV, 138 kV e
69 kV.
A literatura também apresenta relações de sensibilidade que utilizam as
equações não lineares, obtidas, por exemplo, da matriz Jacobiana ( ) do clássico
problema de Fluxo de Potência (MEDEIROS, 1999).
(6)
onde,
S – matriz sensibilidade que relaciona as variações nos fluxos das linhas
( ), com variação de potência ativa em barras de geração ( ;
θ – vetor de ângulo de tensão;
V – vetor de magnitude de tensão, dimensão.
Outro trabalho que relaciona sensibilidades é o de FERNANDES e
ALMEIDA (2005), que utiliza a estrutura da matriz Hessiana, obtida de um Fluxo
de Potência Ótimo, a fim de calcular a sensibilidade entre magnitudes de tensão e
cargas de um sistema elétrico competitivo.
Desta revisão bibliográfica, percebe-se a existência de várias
metodologias para se obter relações de sensibilidade entre fluxos nas linhas e
demais parâmetros, tais como reatâncias, ângulos e geração de potência ativa.
8
As metodologias a serem implementadas e proposta neste trabalho, que
tem como objetivo calcular sensibilidades entre fluxos de potência ativa em linhas
de transmissão e injeções de potência ativa em barras de geração, são:
a) De Fluxo de Potência linear, inspiradas nos trabalhos de CHOI e
MOON (2001) e JIBIKI, SAKAKIBARA E IWAMOTO (2007);
b) De modelo Fluxo de Potência não linear utilizando o Jacobiano de
um Fluxo de Potência Ótimo, modelado exatamente como em
MEDEIROS (1999), e
c) De modelo não linear utilizando a matriz Hessiana de um Fluxo de
Potência Ótimo convergido como modelado em FERNANDES e
ALMEIDA (2005).
9
3. MATERIAIS E MÉTODOS
Neste capítulo, serão descritas as metodologias a serem implementadas
e analisadas a fim de se obter a melhor relação de sensibilidade entre fluxos de
potência ativa nas linhas de transmissão e injeções de potência ativa em barras
de geração.
3.1. SFC Linear
As equações de balanço de potência ativa representadas na forma linear
são:
(7)
onde
P- vetor de injeção de potência ativa (nb x1);
Pg - vetor das potências ativas geradas (nb x1);
Pd- vetor de cargas nas nb barras (nb x 1);
B - matriz tipo susceptância (nb x nb);
- vetor de ângulos de tensão das barras (nb x 1);
nb - número de barras do sistema.
O fluxo Pl nas linhas (Modelo Linearizado) generalizado para todo o
sistema é dado pela expressão (8).
(8)
onde,
Plij – Vetor de fluxo nas linhas (nl x 1);
X – Matriz diagonal com reatância xij (nl x nl);
A – Matriz de incidência barra-ramo (nb x nl), sendo que aij = -1se o ramo
se conecta a barra i e está orientado entrando nesta barra e aji = 1 se o ramo se
conecta a barra i e está orientada saindo desta barra;
θ – Vetor de ângulos das barras.
10
Como a matriz B é singular, inclui-se nas equações de balanço de
potência no problema ref = 0 (ref = barra de referência). Assim, a matriz B deve
ser reduzida pela retirada da coluna e da linha referente à barra ref que passa a
se chamar B’ (1: nred, 1: nred), onde nred = nb-1.
O novo vetor dos ângulos nas barras ’ passa a ser representado sem a
linha correspondente à barra de referência, a nova matriz de incidência A’
representada sem a linha correspondente à barra de referência e o vetor P’ sem a
linha da barra de referência, passando a se ter:
(9)
(10)
Da equação (9) pode-se re-escrever:
(11)
Substituindo (11) em (10) obtêm-se a equação (12), a qual expressa os
fluxos em função das injeções líquidas de potência ativa.
(12)
O termo que multiplica o vetor P’ é uma matriz de coeficientes constantes,
pois, seus valores dependem apenas dos parâmetros da rede. Reescrevendo a
equação (12) e substituindo o termo constante por α, chega-se a equação (13).
(13)
onde,
(14)
11
Deseja-se saber qual a relação entre a variação de fluxo nas linhas
devido a uma variação de potência em uma determinada barra do sistema. Para
tal, deriva-se a equação (13) em relação à e chega-se a equação (15).
(15)
A equação (15) fornece como resultado o impacto que uma variação de
potência, em uma dada barra, tem sobre o fluxo nas linhas.
Esta matriz sensibilidade α tem o seguinte formato:
(16)
onde
nl – número de linhas do sistema;
nb – número de barras do sistema.
Dada uma variação de potência ativa em qualquer uma das barras do
sistema, os valores de sensibilidade, de acordo com sua magnitude, não só
indicam quais serão as linhas mais afetadas, como também permitem quantificar
essas variações.
Assim, se houver linhas congestionadas, essa matriz pode indicar as
barras de geração que tem maior impacto sobre os fluxos violados. Como foi
exposto anteriormente, esta matriz sensibilidade é constante, ou seja, não
depende nem do patamar de carga ou ponto de operação, pois é fruto da
modelagem linear.
12
3.2. SFPO não linear
O problema do Fluxo de Potência – FP consiste na obtenção das
condições de operação, ou seja, magnitude e ângulo das tensões nodais, a partir
dos quais podem ser determinados os fluxos de potência ativa e reativa em
regime permanente de uma rede de energia elétrica com topologia, níveis de
geração e consumo conhecidos.
Na formulação básica do problema de FP são associadas quatro variáveis
a cada barra, conforme apresentado na Figura 1, a qual apresenta duas barras (k
e m) de um sistema de transmissão.
Vk , θk
Sk = Pk + jQk Sm = Pm + jQm
Vm , θm
Pkm , Qkm , Ikm
Figura 1- Ramo de um sistema de transmissão
As quatro variáveis representam:
– módulo da tensão da barra k;
– ângulo da tensão da barra k;
– potência ativa líquida injetada na barra k;
– potência reativa líquida injetada na barra k.
Por outro lado, aos ramos da rede, cujas barras extremas são k e m
associam-se as seguintes variáveis:
– corrente que sai da barra k em direção a barra m;
– fluxo de potência ativa que sai da barra k em direção a barra m;
– fluxo de potência reativa que sai da barra k em direção a barra m.
No fluxo de carga convencional, definem-se três tipos de barras, em
função das variáveis que são conhecidas e incógnitas, conforme mostrado na
Tabela 1.
13
Tabela 1 - Tipos de Barra do Fluxo de Carga Convencional
Tipo de Barra Notação Dados Incógnitas
Barra de Carga PQ Pk e Qk Vk e θk
Tensão Controlada PV Pk e Vk θk e Qk
Referência Vθ Vk e θk Pk e Qk
A Barra de Referência – Vθ é imprescindível na formulação do problema
em função de dois fatores (MONTICELLI, 1983):
a) Necessidade matemática de estipular um ângulo de referência;
b) Para fechar o balanço de potência da rede, pois as perdas de
transmissão não são conhecidas a priori, ou seja, não é possível definir as
injeções de potência do sistema antes de conhecer as perdas que são função dos
fluxos na rede.
Os fluxos de potência ativa e reativa nos ramos, ou seja, linhas e,
transformadores defasadores puros e defasadores, advêm das seguintes
expressões gerais:
(17)
(18)
Para as barras PV e PQ:
(19)
Para as barras PQ:
(20)
As equações (19) e (20) podem ser compactadas como:
14
(21)
onde,
(22)
Como se deseja estabelecer relações de sensibilidade entre algumas das
variáveis do sistema, as mesmas são separadas como:
u: variáveis de controle (Pg e V das barras PV)
x: variáveis dependentes (V e θ das barras PQ)
(23)
(24)
A equação (21), em termos de u e x podem ser expressas por:
(25)
Supondo que x0 e u0 são soluções de , dado um incremento
Δu nas variáveis de controle u, deseja-se saber qual será a variação Δx das
variáveis dependentes x.
(26)
(27)
Para obtenção dos incrementos nas variáveis dependentes, faz-se
expansão em Série de Taylor, em torno de x0 e u0, na direção Δx e Δu até o
termo de primeira ordem. Como resultado tem-se a equação (28).
15
(28)
Rearranjando a equação (28), obtém-se (29):
(29)
E, que
(30)
De (30), sabe-se que um dos termos é o Jacobiano ( ) da função f(x), que
relaciona as injeções de potência com as tensões nas barras:
(31)
Supondo que se deseje relacionar as variáveis de controle u, nesse caso
a potência ativa gerada, com as variáveis dependentes x. Assim,
(32)
(33)
(34)
Renomeando os termos correspondentes aos desvios de potência da
equação (21) chega-se a (35):
(35)
16
Novamente, através da expansão em Séries de Taylor, pode-se
determinar os incrementos Δx devido aos incrementos Δu. No processo é
calculada a derivada parcial de f(y) em relação a variável de controle Pg:
(36)
onde,
(37)
(38)
(39)
Substituindo (37), (38) e (39) em (36) e após isto, a equação (36) em (30):
(40)
Reorganizando os termos da equação (40) chega-se a:
(41)
Variações nos pontos de operação (V, θ) resultam em variações nos
fluxos. Essas variações podem ser expressas pelas equações (42) e (43).
17
(42)
(43)
Substituindo (41) em (43) chega-se a (44):
(44)
onde
(45)
A matriz (nl x 2nb) é uma matriz sensibilidade que relaciona as variações
nos fluxos das linhas com variações de potência ativa nas barras de geração,
(
).
Para se obter a matriz sensibilidade os seguintes passos devem ser
seguidos:
1) Rodar fluxo de potência via NR- convergido (são disponíveis as
magnitudes e ângulos das tensões nas barras e também a matriz
Jacobiana).
2) Calcular as derivadas e substituir os valores das magnitudes
e ângulos das tensões calculados no passo 1.
3) Calcular .
18
3.3. SKKT linear
Suponha um problema de otimização que envolva o despacho de geração
hidráulica e térmica para um determinado intervalo de tempo (horas), sendo que
se conhece a priori a quantidade de energia hidráulica que pode ser turbinada no
período. Esse problema de otimização é um Fluxo de Potência Ótimo.
Escolhendo-se a representação linear para as equações de balanço
(FPODC), os critérios de otimização utilizados são: minimização do custo da
geração térmica e custo de déficit, o qual é representado como sendo o custo de
um gerador fictício com valor elevado que assume a geração de potência, caso
haja algum problema de déficit de geração ou violação de restrições.
Esse FPODC é resolvido pelo Método dos Pontos Interiores versão
primal-dual e sua formulação geral é:
(46)
s.a.
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
onde
c(Pgt) – função custo da geração térmica;
c(Pgfic) – função custo da geração fictícia;
wc – peso para ponderação da função custo da térmicas;
wfic – peso para ponderação da função custo das fictícias;
Pgfic– geração de potência ativa fictícia;
B’’ – matriz do tipo susceptância da rede, que é a matriz B sem a coluna
referente à barra de referência, (nb x nb-1);
θ'– vetor de ângulo de tensão, (nb-1 x 1);
Pd – vetor com os valores de carga, (nb x 1);
19
Pghmax e Pghmin – vetores contendo respectivamente os limites
mínimos e máximos de geração de potência ativa dos geradores hidráulicos,
(nbx1);
Pgh – geração de potência ativa pelas usinas hidrelétricas, (nbx1);
Pgtmin e Pgtmax– vetores contendo respectivamente os limites mínimos
e máximos de geração de potência ativa dos geradores térmicos, (nbx1);
Pgt – vetor que representa a geração de potência ativa das usinas
termelétricas para todos os patamares, (nbx1);
Flmax e Flmin – vetores contendo respectivamente os limites máximos e
mínimos de potência ativa que fluem pelos ramos monitorados, (nbx1);
Meta – Vetor de energia, sendo que nas posições onde não se tem
geração hidráulica conectado seu valor é nulo, (nbx1);
Flmax e Flmin – vetor de fluxo de potência nas linhas monitoradas,
(nbx1);
Para transformar as restrições de desigualdade em restrições de
igualdade, são introduzidas variáveis de folga ao problema.
As restrições do problema passam a ser representadas da seguinte
maneira:
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
A fim de se representar as restrições de não negatividade das variáveis
de folga, o problema é modificado com a introdução da barreira logarítmica na
função objetivo do problema. O objetivo da barreira é penalizar a função objetivo
quando as variáveis de folga se aproximam da barreira.
O problema modificado passa a ser assim representado:
20
=1 + =1
=1 + =1
(61)
s.a
(62)
(63) (64)
(65) (66)
(67) (68) (69)
(70)
A função Lagrangiana associada a este problema é:
(71)
21
As variáveis duais são os multiplicadores de Lagrange associados às
restrições: e ´s.
As condições necessárias de otimalidade de primeira ordem (Condições de
Karush-Kuhn-Tucker) para este novo problema de otimização são:
(72)
Todo esse conjunto de equações pode ser representado por
(73)
22
onde,
(74)
Aplicando o Método de Newton às condições de KKT para resolução do
sistema por método iterativo, obtém-se o seguinte sistema de equações
linearizadas:
(75)
O sistema de equações (75) é resolvido a cada iteração, sendo que para
atualização das variáveis, deve-se calcular o comprimento do passo (), de modo
que:
- as variáveis de folga sejam todas 0.
- os multiplicadores de Lagrange relacionados a restrições de máximo
sejam positivos e relacionados a restrições de mínimo sejam negativos.
Assim, a atualização se dá como:
(76)
23
sendo que garante que as restrições de desigualdades não sejam violadas e
é uma constante que tem por finalidade garantir a interioridade da nova
aproximação, sendo utilizado o valor 0,9995.
O último passo dentro de cada iteração é recalcular o valor do parâmetro
barreira µ.O cálculo do parâmetro é baseado na relação:
(77)
onde,
l– número de restrições de desigualdade;
– fator de aceleração ( 1);
s – vetor formado pelas variáveis de folga;
– vetor formado pelos multiplicadores de Lagrange.
3.3.1. Impacto da Geração nos Fluxos
Para se obter a relação de sensibilidade entre a variável Pl (fluxo nas
linhas) e o vetor de geração Pg, ou seja, para se obter a relação recorre-
se à linearização das equações pertencentes às condições de KKT no ponto
ótimo (z*).
O vetor z pode ser decomposto em três vetores:
1) Pl: vetor de fluxo;
2) Pd:vetor de carga;
3) y: vetor que engloba todas as variáveis de otimização com exceção
do vetor Pl e Pd.
Assim, no ponto ótimo, as equações de KKT são expressas por:
(78)
Supondo um novo ponto de operação ótima, o qual é definido após um
incremento no vetor Pg, pode-se escrever:
24
(79)
Esta relação implica que:
(80)
Chamando:
(81)
que é a matriz Hessiana.
Assim,
(82)
E,
(83)
A relação é uma componente do vetor, contido em (83), que estabelece
qual o incremento ou decremento nos componentes de Pl devido a variações em
.
Já que numericamente uma injeção de potência pode ser representada
como uma carga negativa, utiliza-se o resultado obtido em 83 para se obter o
:
(84)
25
3.4. Considerações finais do capítulo
Este capítulo apresentou uma revisão dos métodos citados na literatura
(SFC linear e SFPO não linear), que através do conceito de sensibilidade
relacionam variações de fluxos nas linhas com variações de potência gerada.
Foi apresentado também um método que, utilizando a matriz Hessiana, é
possível relacionar variações de fluxo nas linhas com incrementos ou
decrementos de geração.
Ambos os métodos citados acima foram implementados e testados em
plataforma Matlab. Os resultados obtidos, bem como a análise e discussão dos
mesmos serão apresentados no Capítulo 4.
26
4. RESULTADOS
Este capítulo tem como objetivo apresentar os resultados pertinentes às
simulações dos métodos supracitados e suas implicações, os quais foram
desenvolvidos na plataforma Matlab 7.10.0 (R2010a) versão estudante, simulado
em um PC Pentium(R) Dual-Core, 2,00 GHz com SO Windows 7 e testado para o
sistema de 33 barras proposto por ALVES (2007), cujos dados se encontram-se
nos anexos de 1 a 4. A potência base adotada tanto nas simulações quanto na
apresentação dos resultados é de 100 MVA.
Figura 2 – Topologia do sistema - FONTE: ALVES (2007)
4.1. Resultados para o Método SFC linear
Os resultados, que serão detalhados a seguir, foram obtidos para um
ponto de operação dado pela Tabela 2, adotando a barra 1 como referência.
27
Tabela 2 – Valores de potência e ângulos
Barra Potência
Gerada (pu) Ângulo (rad)
1 5,4536 0,0000
2 3,1452 0,0294
3 2,9651 0,0008
14 4,2794 0,0002
15 4,2665 0,1070
16 1,7089 0,0089
17 3,6063 0,0401
No intuito de facilitar a compreensão dos resultados, foram analisados
apenas os resultados para as linhas (9-18), (19-18) e (28-31) que são as linhas de
intercâmbio entre as áreas A e B.
Para esse ponto de operação, os fluxos nas linhas de intercâmbio estão
ilustrados na Tabela 3.
Tabela 3 – Fluxo nas linhas de intercâmbio
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 5,2272
(19-18) -0,5308
(28-31) -2,3540
A matriz sensibilidade (α) tem dimensão (nl x nb) e foi obtida pela
aplicação da equação (14). Está ilustrada na Tabela 4 parte da matriz (α) na qual
há interesse, ou seja, nas posições referentes as linhas de intercâmbio. Valores
positivos de sensibilidade significam que para um incremento de geração, a
variação de fluxo é positiva, em contrapartida para valores negativos, a variação
de fluxo é negativa.
Tabela 4 – Valores de sensibilidade ( )
Geração Linhas
11 2 3 14 15 16 17
(9-18) 0,0000 0,6825 0,8713 0,4025 0,2990 0,3996 0,7340
(19-18) 0,0000 0,1256 0,0288 0,0326 0,0242 0,4880 0,0595
(28-31) 0,0000 -0,1919 -0,0999 0,4351 0,3233 -0,1124 -0,2064
1 Barra de folga do sistema
28
A Tabela 4 fornece os valores de sensibilidade de cada gerador para cada
uma das linhas de intercâmbio. Os valores de sensibilidade referentes à barra 1
são nulos, pois, na posição da barra de folga, linha e coluna da matriz Y são
eliminadas.
Uma vez obtidos os valores de sensibilidade para ponto de operação
analisado, deseja-se verificar qual o real impacto que um incremento de geração
tem sobre os fluxos nas linhas de intercâmbio. Para efeito de comparação,
adotam-se os resultados fornecidos pelas Tabelas 2, 3 e 4 como referência.
4.1.1. Incremento de geração na barra 2
A partir do caso de referência incrementa-se 0,1 pu à barra 2. Os valores
de geração e fluxo para o novo ponto de operação são dados pelas Tabelas 5 e 6
respectivamente.
Tabela 5 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação
Barra Potência
Gerada (pu) Ângulo (rad)
1 5,3536 0,0000
2 3,2452 0,0335
3 2,9651 0,0024
14 4,2794 0,0019
15 4,2665 0,1085
16 1,7089 0,0111
17 3,6063 0,0422
Tabela 6 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 5,2954
(19-18) -0,5182
(28-31) -2,3732
Analisando as tabelas de fluxos do caso referência e da presente
situação, verifica-se que houve variações nos fluxos.
Por exemplo, o impacto no fluxo da linha i devido a variação na geração da
barra j:
29
(85)
(86)
(87)
onde,
– Novo valor de fluxo na linha (i);
– Fluxo na linha (i) antes da variação de potência na barra (j);
– Valor de sensibilidade da linha (i) para a barra (j);
– Incremento ou decremento de geração na barra (j);
– Variação de fluxo na linha (i) calculada a partir da matriz
sensibilidade.
Assim, diferença ΔPli pode ser obtida através da equação (86), onde
ΔPg2 tem valor 0,1 na posição da barra 2 e nas demais posições os valores são
nulos. A Tabela 7 ilustra os valores de ΔPli calculados a partir da matriz
sensibilidade.
Tabela 7 – Valores de ΔPj calculados a partir da matriz sensibilidade
Linha ΔPlj(pu)
(9-18) 0,0871
(19-18) 0,0029
(28-31) -0,0099
É intuitivo verificar se as variações (ΔPli) reais, ou seja, obtidas através do
fluxo de carga com incremento de geração a barra 2, e as obtidas através da
matriz sensibilidade são compatíveis. Para tal, calcula-se o erro através da
equação (88).
Os resultados obtidos estão ilustrados na Tabela 8.
(88)
30
onde,
Erro (%) – erro percentual;
– Fluxos nas linhas (i=1,2,...,nl) para o caso referência;
– Variações de fluxo calculadas a partir da matriz sensibilidade;
– Fluxos nas linhas, obtidos através do fluxo de carga, dado o
incremento de potência na barra 2.
Tabela 8 – Erro entre os valores de fluxos
Linha (pu)
(pu) Erro (%)
(9-18) 5,2955 5,3143 0,3556
(19-18) -0,5182 -0,5279 1,8683
(28-31) -2,3732 -2,3640 -0,3886
Para a variação de 0,1 pu na barra 2, os erros não foram significativos,
porém deseja-se saber até que valores de incremento o erro se mantêm em uma
faixa aceitável.
Realizaram-se outras simulações para incrementos de geração de 0,1 a 1
pu para cada uma das barras. Os erros foram calculados a partir da equação (88)
e o comportamento destes em relação aos incrementos de geração, para cada
uma das linhas, pode ser observado nas Figuras 3, 4 e 5.
Figura 4 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18)
-5
0
5
10
15
20
25
30
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (19-18)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 17
31
Figura 3–Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18)
Figura 4 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18)
-2
0
2
4
6
8
10
12
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ΔP e o erro para a linha (9-18)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
-5
0
5
10
15
20
25
30
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (19-18)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 17
32
Figura 5 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31)
Na figura 4 a informação referente à barra 16 foi suprimida, pois o erro
atrelado a essa barra ultrapassou 1000%, dificultando a visualização dos erros
das demais barras de geração.
Algumas informações podem ser inferidas dos gráficos. Fica evidente que
o erro tende aumentar quanto maiores forem os incrementos de geração. O erro
também tem correlação com a posição geográfica do gerador, aqueles mais
distantes eletricamente foram os que apresentaram maiores erros.
4.1.2. Eliminando a sobrecarga em na linha (9-18)
Uma dos objetivos do trabalho é utilizar a matriz sensibilidade como
ferramenta para contornar ou eliminar a sobrecarga em uma linha. Reduziu-se
então a capacidade de transmissão da linha (9-18) que originalmente era de 8 pu
para 5,0 pu. Deseja-se que o fluxo de 5,2272 pu passe a ser de 4,5 pu, ou seja,
deseja-se um de -0,7272 pu.
O primeiro passo é escolher a que barra corresponde ao maior valor de
sensibilidade para a linha (9-18). A partir da Tabela 4 retira-se a informação de
que o maior valor de sensibilidade se dá para a barra 3 seguida da barra 17.
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (28-31)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
33
Uma vez que todos os valores de sensibilidade para a linha (9-18) são
positivos e que qualquer incremento de geração, em qualquer uma das barras,
tende a aumentar o fluxo na linha em questão, a alternativa é trabalhar com
decrementos de geração. Dada à variação de fluxo desejada e o valor de
sensibilidade, a equação (89) fornece como resultado o decremento de potência
necessário para se obter tal variação.
(89)
Somou-se a barra 3 o calculado acima. A partir de uma nova
simulação (Fluxo de carga DC) foram obtidas as novas distribuições de fluxos,
conforme ilustrado na Tabela 9.
Tabela 9 - Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 4,5001
(19-18) -0,5548
(28-31) -2,2706
A partir dos resultados fornecidos pela Tabela 9 verificou-se que a
sobrecarga na linha (9-18) foi eliminada e que o valor de fluxo esperado foi muito
próximo ao obtido.
4.2. Resultados para o Método SFPO não linear
Nesta seção serão discutidos os resultados para o método não linear,
baseada na matriz Jacobiana (SFPO não linear). Para o ponto de operação
ilustrado na Tabela 10 os valores de fluxos nas linhas de intercâmbio são dados
pela Tabela 11.
34
Tabela 10 - Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação
Barra Potência
Gerada (pu) Ângulo (rad)
1 5,7800 0,0000
2 2,7906 0,0020
3 6,6691 0,0463
14 4,0000 -0,0373
15 4,0000 0,0754
16 0,8504 -0,0600
17 1,6786 -0,0072
Tabela 11 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 6,1414
(19-18) 1,0846
(28-31) -2,5021
A matriz sensibilidade obtida através da equação (45), e a parte em que
há interesse é dada pela Tabela 12.
Tabela 12 – Valores de sensibilidade ( ) Geração Linhas
12 2 3 14 15 16 17
(9-18) 0,0000 0,6685 0,8649 0,3854 0,2938 0,3828 0,7187
(19-18) 0,0000 -0,1207 -0,0263 -0,0294 -0,0227 -0,4956 -0,0553
(28-31) 0,0000 -0,2079 -0,1071 0,4101 0,3115 -0,1184 -0,2236
Assim como na matriz sensibilidade obtida para o método SFC linear, a
coluna referente à barra de folga apresenta valores nulos de sensibilidade. Os
valores de sensibilidade positivos, para incrementos de potência nas barras de
geração, refletem em variações positivas nos fluxos das linhas. O contrário
acontece quando os valores de sensibilidade são negativos.
As informações dadas pelas Tabelas 10, 11 e 12 são adotadas como
referência para posterior comparação de resultados.
2 Barra de folga do sistema
35
4.2.1. Incremento de geração na barra 2
A partir dos resultados do caso referência, soma-se um incremento de
potência de 0,1 pu à barra 2. Os valores de geração e fluxo para o novo ponto de
operação são dados pelas Tabelas 13 e 14.
Tabela 13 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação
Barra Potência
Gerada (pu) Ângulo (rad)
1 5,7800 0,0000
2 2,8906 0,0043
3 6,6568 0,0462
14 4,0000 -0,0373
15 4,0000 0,0754
16 0,8403 -0,0599
17 1,6010 -0,0085
Tabela 14 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 6,1380
(19-18) 1,0821
(28-31) -2,5030
Comparando os fluxos do caso referência com os da Tabela 14, verificou-
se alteração nos fluxos.
Sabe-se que a cada barra está associado um valor de sensibilidade, e
que, a partir das variações das potências geradas, é possível calcular as
variações nos fluxos. Para esse caso, o incremento de 0,1 pu a geração da barra
2 tende a aumentar o fluxo na linha (9-18), em contrapartida o decremento na
barra 3 faz justamente o contrário devido o sinal do valor de sensibilidade para
cada uma dessas barras. Por se tratar de um FPO os geradores são livres e a
cada mudança no ponto de operação, novos valores de geração são obtidos. A
variação total no fluxo da linha (9-18), então, será soma das variações oriundas
de cada incremento ou decremento nas barras geração.
A Tabela 15 ilustra os valores de calculados a partir da matriz
sensibilidade, equação (45). O erro entre o fluxo estimado, através da matriz
sensibilidade, e o obtido através de simulação, está ilustrado na Tabela 16.
36
Tabela 15 – Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade
Linha ΔPlj (pu)
(9-18) -0,0034
(19-18) -0,0025
(28-31) -0,0009
Tabela 16 – Erro entre os valores de fluxos
Linha (pu)
(pu) Erro (%)
(9-18) 6,1380 6,1380 0,0011
(19-18) 1,0821 1,0821 -3,0290E-05
(28-31) -2,5030 -2,5030 -0,0003
A exemplo do que foi feito no método linear, as Figuras 5, 6 e 7 ilustram,
para cada uma das linhas, o comportamento do erro em relação aos incrementos
de potência.
Figura 6 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18)
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
ΔP (pu)
Relação entre ΔP e o erro para linha (9-18)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
37
Figura 7 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18)
Figura 8 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31)
O comportamento do erro em relação aos incrementos de potência, salvo
a magnitude do erro, é semelhante ao observado no método linear. Para ambas
as linhas o maior erro manteve-se abaixo de 1%.
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (19-18)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (28-31)
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
38
4.2.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18)
Reduzindo-se a capacidade da linha (9-18) para 5 pu, e simulando para o
mesmo ponto de operação, o valor do fluxo na linha é superior ao seu limite. A
partir do caso referência sabe-se que o fluxo na linha é de 6,1414 pu, ou seja, é
desejável que, para um fluxo inferior ao limite, a variação seja superior a -1,1414.
Segundo a Tabela 12 que ilustra os valores de sensibilidade para o
método SFPO não linear, a barra 3 é a que possui maior valor de sensibilidade.
Na tentativa de fazer a variação de fluxo na linha (9-18) ( ) se tornar igual
a -1,1414, utilizando a equação (90), foi decrementado 1,3197 pu na geração da
barra 3, que ficou fixada em Pg3 =(6,6568-1,3197) pu. Como em um FPO todas as
barras de geração estão livres para se ajustarem, todas elas (com exceção da
barra 3 que foi fixada em 5,3494 pu ) podem ser redespachadas de modo a
alterar o fluxo nesta linha.
Assim, para a linha (9-18), a variação total do fluxo é a soma de todas as
variações de potência multiplicadas por suas respectivas sensibilidades. A partir
da equação (44) chega-se a equação (90):
(90)
onde,
– valores de sensibilidade da linha (9-18) para cada uma das barras
de geração, onde, 0,6685 0,8649 0,3854 0,2938 0,3828 0,7187].
– vetor das variações de potência gerada para cada um dos
geradores, obtido do FPO.
– variação de fluxo na linha (9-18)
A variação de fluxo na linha (9-18), para esse decremento de potência, foi
de -0,2364 pu, como ilustrado na Tabela 17.
Tabela 17 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 3
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 5,9330
(19-18) 1,0279
(28-31) -2,6515
39
Esse resultado fique aquém da variação necessária para que a
sobrecarga na linha seja eliminada. Foi dito anteriormente que a variação total do
fluxo em uma linha é a soma das contribuições de cada uma das barras. Nesse
caso, somou-se uma variação de potência apenas na barra 3, portanto as
variações de potência nas demais barras do sistema diminuíram o efeito da
variação na barra 3.
A fim de se verificar se existe algum valor de que possa eliminar a
sobrecarga na linha, foram realizados testes para até cinco vezes o valor de
(Pg3 = 6,6691 + (-6,5985)). Para essa condição extrema, o fluxo na linha (9-18) foi
de 5,0799 pu, valor que ainda ultrapassa o novo limite máximo estipulado.
Conclui-se então que modificando o valor de geração em apenas uma
barra, o resultado desejado não é atingido. Uma alternativa seria adicionar
incrementos ou decrementos de potência (de acordo com o sinal de sensibilidade)
para todas as barras de geração, ou seja, fixar todos os valores de geração,
entretanto, tal estratégia descaracterizaria o problema de FPO.
4.3. Resultado para o Método SKKT linear
Nas seções 4.1 e 4.2 foram apresentados os resultados para os métodos
existentes na literatura. Nessa seção serão apresentados os resultados para o
método proposto, ou seja, o que utiliza a matriz Hessiana.
Seguindo a mesma estrutura utilizada nas outras seções, os resultados
referentes ao ponto de operação estão dispostos nas Tabelas 18 e 19. A matriz
sensibilidade é obtida através da equação (84), e a parte que é de interesse é
dada pela Tabela 20.
Tabela 18 – Valores de potência e ângulos
Barra Potência
Gerada (pu) Ângulo (rad)
1 5,4536 0,0000
2 3,1452 0,0294
3 2,9651 0,0008
14 4,2794 0,0002
15 4,2665 0,1070
16 1,7089 0,0089
17 3,6063 0,0401
40
Tabela 19 – Fluxo nas linhas de intercâmbio
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 5,2273
(19-18) -0,5308
(28-31) -2,3540
Tabela 20 –Valores de sensibilidade, Geração Linhas
1 3 2 3 14 15 16 17
(9-18) -0,2682 0,1420 0,2619 -0,0048 -0,0724 -0,0306 0,1734
(19-18) -0,0572 0,0451 -0,0523 -0,0276 -0,0352 0,4068 -0,0209
(28-31) -0,1107 -0,1952 -0,0935 0,3183 0,2080 -0,1545 -0,2026
Pode-se notar que, para esse método, mesmo a barra 1 sendo a
referência do sistema, a informação de sensibilidade, na referida posição, não foi
perdida, pois em um FPO a barra 1 é apenas uma barra de referência angular do
sistema.
Assim como foi feito nas seções precedentes, deseja-se verificar o
desempenho do método proposto para variações nas potências geradas.
Inicialmente realizaram-se testes para a barra 2 e em seguida para as demais
barras do sistema.
4.3.1. Incremento de geração na barra 2
Adotando-se os resultados do item anterior como referência, verificou-se
o comportamento do sistema para um incremento de 0,1 pu na geração da barra
2. Os valores de geração e fluxo para o novo ponto de operação são dados pelas
Tabelas 21 e 22, respectivamente.
3 Barra de folga do sistema
41
Tabela 21 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação
Barra Potência
Gerada (pu) Ângulo (rad)
1 5,4637 0,000
2 3,2452 0,0313
3 2,9277 0,0002
14 4,2716 0,00001
15 4,2779 0,1074
16 1,6959 0,0086
17 3,5429 0,0391
Tabela 22 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 5,2272
(19-18) -0,5307
(28-31) -2,3540
O incremento de geração na barra 2 não só teve impacto sobre os fluxos
como também forçou o sistema a operar em um novo ponto, cujos valores de
geração, para cada uma das barras, diferiram do caso de referência.
Utilizando-se da equação (84), pode-se calcular a variação de fluxo
esperada através da matriz de sensibilidade.
A variação nos fluxos é resultado da diferença entre os valores de
geração do caso referência e do caso em estudo. No método SFC linear a
variação se dá apenas na posição do gerador onde houve incremento ou
decremento de geração, porém, para este caso, o vetor é :
Sabe-se que para cada um dos geradores, e para cada uma das linhas,
está atrelado um valor de sensibilidade. Partindo desse fato toma-se como
exemplo a seguinte situação:
O incremento de geração, de 0,1 pu, na barra 2, originou decrementos de
potência nas barras 3, 4, 16 e 17. Portanto, para uma mesma linha, a variação
42
total do fluxo é a soma de todas as variações de potência multiplicadas por suas
respectivas sensibilidades. As variações nos fluxos, calculadas a partir da
equação (84), estão ilustradas na Tabela 23.
Tabela 23 - Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade
Linha ΔPlj (pu)
(9-18) -0,0157
(19-18) 0,0014
(28-31) -0,0006
Utilizando-se da equação (88) o erro foi calculado e está ilustrado na Tabela 24.
Tabela 24 – Erro entre os valores de fluxos
Linha (pu)
(pu) Erro (%)
(9-18) 5,2115 5,2176 0,1170
(19-18) -0,5293 -0,5291 -0,0635
(28-31) -2,3546 -2,3564 0,0753
As Figuras 8, 9 e 10 mostram a relação do erro, para cada uma das
linhas, com os incrementos de potência que vão de 0,1 a 1,0 pu.
Figura 9 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (9-18)
Barra 1
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
43
Figura 10 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18)
Figura 11 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31)
Observam-se nessas figuras que o comportamento dos erros são
análogos aos erros dos métodos SFC linear e SFPO não linear (Jacobiano). À
medida que se aumenta os incrementos de potência o erro também cresce
rapidamente.
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (19-18)
Barra 1
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Erro (%)
∆P (pu)
Relação entre ∆P e o erro para linha (28-31)
Barra 1
Barra 2
Barra 3
Barra 14
Barra 15
Barra 16
Barra 17
44
4.3.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18)
No caso referência, o fluxo na linha (9-18) é de 5,2273 pu. Deseja-se que
o fluxo na linha (9-18) seja menor que uma nova capacidade máxima, 5 pu. De
maneira análoga as seções precedentes, escolhe-se a posição na matriz
sensibilidade que apresenta maior valor de sensibilidade, para essa situação
escolheu-se a barra 1.
Uma vez que o valor de sensibilidade escolhido tem sinal negativo e o
objetivo é reduzir o fluxo em pelo menos 0,2274 pu, utilizando a equação (91)
oriunda da equação (84), foi aplicado um incremento de 0,8480 pu de geração na
barra 1.
(91)
onde,
– valores de sensibilidade para cada uma das barras de geração;
ΔPg – vetor das variações de potência gerada para cada um dos
geradores;
ΔPl(9-18) – variação de fluxo desejada.
A variação de fluxo obtida, para o incremento de potência, é de -0,3751
pu, como ilustra a Tabela 25 e pelas sensibilidades é igual a -0.2346 pu.
Tabela 25 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 1
Linha Fluxo (pu)
(9-18) 4,8522
(19-18) -0,6197
(28-31) -2,4897
Esse resultado garante que a sobrecarga na linha foi eliminada.
45
4.4. Comparação entre os métodos
Nessa seção serão comparados os resultados dos métodos das seções
4.1, 4.2 e 4.3.
Cada um dos métodos tem naturezas diferentes de solução, o que
inviabiliza a comparação direta entre as matrizes sensibilidade. Um é fruto da
abordagem linear de um fluxo de carga, outro é um FPO não linear e o último é
um FPO linear.
A Tabela 26 apresenta uma compilação dos erros calculados por cada um
dos três métodos, para a situação de incremento de geração na barra 2.
Tabela 26 – Erro entre os valores de fluxos para os três métodos
Linhas SFC linear SFPO não linear SKKT linear
(9-18) 0,3556 % 0,0011 % 0,1170 %
(19-18) 1,8683 % -3,0290E-05 % -0,0635 %
(28-31) -0,3886 % -0,0003 % 0,0753 %
Comparando-se os resultados obtidos entre os métodos SFC linear e
SFPO não linear, verifica-se que o não linear, por ser mais exato, apresenta erros
menores.
Já entre o método SFPO não linear e o que utiliza as KKT, percebe-se
que o não linear ainda apresenta melhores resultados. No entanto, comparando-
se o linear com o das KKT, que também é um método linear, percebe-se que esse
último é melhor, pois incorporam na solução as restrições operacionais do
sistema.
Outra alternativa de análise é criar uma classificação onde seriam
comparados, não a magnitude dos valores de sensibilidade, e sim, informações
sobre quais geradores são os mais indicados para contornar o problema de
congestionamento. As Tabelas 27, 28 e 29 mostram a classificação de todas as
barras, para cada uma das linhas analisadas.
46
Tabela 27 – Tabela de classificação das barras, para a linha (9-18), em relação aos 3 métodos
Linha (9-18) (DC) Linha (9-18) (Jac.) Linha (9-18) (KKT)
Col. Barra Sens. Barra Sens. Barra Sens.
1º 3 0,8713 3 0,8649 1 -0,2681
2º 7 0,7340 7 0,7188 3 0,2618
3º 2 0,6825 2 0,6686 7 0,1734
4º 4 0,4025 4 0,3855 2 0,1419
5º 6 0,3996 6 0,3829 5 -0,0724
6º 5 0,2990 5 0,2938 6 0,0305
7º 1 0,0000 1 0,0000 4 -0,0047
Tabela 28 - Tabela de classificação das barras, para a linha (19-18), em relação aos 3 métodos
Linha (19-18) (DC) Linha (19-18) (Jac.) Linha (19-18) (KKT)
Col. Barra Sens. Barra Sens. Barra Sens.
1º 6 0,4880 6 -0,4957 6 0,4068
2º 2 0,1256 2 -0,1208 1 -0,0572
3º 7 0,0595 7 -0,0554 3 -0,0523
4º 4 0,0326 4 -0,0294 2 0,0450
5º 3 0,0288 3 -0,0263 5 -0,0352
6º 5 0,0242 5 -0,0227 4 -0,0276
7º 1 0,0000 1 0,0000 7 -0,0209
Tabela 29 - Tabela de classificação das barras, para a linha (28-31), em relação aos 3 métodos
Linha (28-31) (SFC) Linha (28-31) (SFPO.) Linha (28-31) (SKKT)
Col. Barra Sens. Barra Sens. Barra Sens.
1º 4 0,4351 4 0,4102 4 0,3182
2º 5 0,3233 5 0,3616 5 0,2080
3º 7 -0,2064 7 -0,2236 7 -0,2025
4º 2 -0,1919 2 -0,2079 2 -0,1951
5º 6 -0,1124 6 -0,1184 6 -0,1545
6º 3 -0,0999 3 -0,1072 1 -0,1107
7º 1 0,0000 1 0,0000 3 -0,0934
onde,
Col – colocação do método;
SFC – resultados para o método SFC linear;
SFPO – resultados para o método SFPO não linear;
SKKT – resultados para o método S KKT linear;
Sens – valores de sensibilidade.
Das Tabelas 27 a 29, observa-se que os valores de sensibilidades obtidos
pelo método linear e não linear apresentam valores semelhantes.
47
Aparentemente, o método das KKT diverge quanto às sensibilidades, no
entanto, observando-se a 29, conclui-se que para a linha (28-31) as 5 barras de
geração mais significativas são: 4, 5, 7, 2 e 6 ( para os três métodos). Nenhuma
destas barras é a de referência.
Já para a linha (9-18), pelo método das KKT as barras mais significativas
são 1, 3, 2 e 7. Os outros dois métodos são incapazes de reconhecer a barra de
folga como barra significativa, o que pode mascarar os resultados apresentados
por estas metodologias.
48
5. CONCLUSÕES
Neste trabalho foram apresentados os métodos linear, não linear e o
método proposto, para análise de sensibilidade do fluxo em relação a potência
gerada. Cada um dos métodos descrito foi implementado computacionalmente em
plataforma Matlab.
Os resultados obtidos demonstram que a matriz sensibilidade, como
ferramenta ou meio de eliminar o congestionamento, deve ser utilizada para
pequenos incrementos ou decrementos de potência, pois, como foi visto nas
ilustrações, o erro aumenta rapidamente. Invariavelmente, para todos os métodos,
as magnitudes dos erros aumentam à medida que se distanciam os geradores
das linhas em análise.
Foram apresentados resultados para uma situação onde o
congestionamento foi eliminado utilizando a matriz sensibilidade. Para esse teste,
apenas os resultados do método SFPO não linear (Jacobiano) estiveram aquém
do desejado.
Por fim, em uma análise onde todos os geradores foram classificados
quanto seu valor de sensibilidade, verificou-se que para os métodos linear e não
linear as primeiras posições foram ocupadas pelos mesmos geradores. Em
apenas uma das linhas os métodos classificaram os mesmos geradores para as
primeires posições. A existência de diferença entre a classificação fornecida pelo
método proposto e os citados anteriormente, se deve nitidamente ao fato de
existir um valor de sensibilidade diferente de zero para barra de folga. Isto posto,
os resultados apresentados para o método proposto satisfazem os objetivos do
trabalho.
49
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Mestrado (UNESP, Ilha Solteira), 2006
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Dissertação de Mestrado (UFSC, Florianóplis), 1999.
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50
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Electrical Power and Energy Systems. No Prelo.
ALVES, W. F.; Proposição de sistemas-teste para análise computacional de
sistemas de potência. Dissertação de Doutorado. Niterói-RJ, 2007.
51
ANEXOS
ANEXO 1. Dados de Barra
Nº Nome Tipo Tensão Faixa
Área Max Min
800 Gov. Bento Munhoz V 13,8 1,050 0,950 1
808 Salto Caxias PV 13,8 1,050 0,950 2
810 Salto Segredo PV 13,8 1,050 0,950 2
814 Bateias PQ 230 1,050 0,950 1
824 Gov. Bento.Munhoz PQ 500 1,090 0,950 1
839 Cascavel PQ 230 1,050 0,950 2
840 Cascavel PQ 138 1,050 0,950 2
848 Foz do Chopin PQ 138 1,050 0,950 2
856 Segredo PQ 500 1,090 0,950 2
895 Bateias PQ 500 1,090 0,950 1
896 Cascavel do Oeste PQ 500 1,090 0,950 2
897 Salto Caxias PQ 500 1,090 0,950 2
898 Foz do Chopin PQ 230 1,050 0,950 2
904 Itá PV 13,8 1,050 0,950 1
915 Machadinho PV 13,8 1,050 0,950 1
919 Salto Osório PV 13,8 1,050 0,950 2
925 Salto Santiago PV 13,8 1,050 0,950 2
933 Areia PQ 500 1,090 0,950 1
934 Areia PQ 230 1,050 0,950 2
938 Blumenau PQ 500 1,090 0,950 1
939 Blumenau PQ 230 1,050 0,950 1
955 Campos Novos PQ 500 1,090 0,950 1
959 Curitiba PQ 500 1,090 0,950 1
960 Curitiba PQ 230 1,050 0,950 1
964 Caxias PQ 500 1,090 0,950 1
965 Caxias PQ 230 1,050 0,950 1
976 Gravataí PQ 500 1,090 0,950 1
995 Itá PQ 500 1,090 0,950 1
1030 Machadinho PQ 500 1,090 0,950 1
1047 Salto Osório PQ 230 1,050 0,950 2
1060 Salto Santiago PQ 500 1,090 0,950 2
1210 Gravataí-230 PQ 230 1,050 0,950 2
2458 Cascavel-230 PQ 230 1,050 0,950 2
Coluna Descrição
Nº Número de identificação da barra.
Nome Nome de identificação da barra.
Tipo
Corresponde ao tipo de barra a ser representado nos dados de fluxo de potência, onde:
Tipo V = Barra de referência ou swing
Tipo PV = Barra de tensão regulada ou de geração
Tipo PQ = Barra de carga
Tensão Corresponde a tensão nominal de operação da barra, em kV.
Faixa Faixa de tensão correspondente aos níveis máximos e mínimos de tensão que a barra pode operar em regime permanente, em pu.
Área Número de identificação da área elétrica ou subsistema ao qual a barra pertence.
FONTE: ALVES (2007)
52
ANEXO 2. Dados de linha
Seqüência Positiva e Negativa Seqüência Zero De Para Nome V Circ R+ X+ B CN CE R0 X0
824 933 G.B.Munhoz-Areia 500 1 0,0100 0,1240 15,204 2182 2182 0,04 0,29
824 933 G.B.Munhoz-Areia 500 2 0,0100 0,1260 15,428 2182 2182 0,04 0,29
839 898 Cascavel-F.Chopin 230 1 1,1300 6,9900 12,617 189 318 4,88 19,51
839 1047 Cascavel-S.Osório 230 1 1,2200 7,6900 13,810 189 323 5,44 21,20
839 2458 Cascavel-Cascavel
Oeste 230 1 0,2200 1,0900 1,8601 319 413 0,77 2,95
839 2458 Cascavel-Cascavel
Oeste 230 2 0,1700 1,0300 2,0537 356 356 0,65 3,26
856 933 Segredo-Areia 500 1 0,0520 0,6540 80,493 2273 2273 0,29 1,68
856 1060 Segredo-S.Santiago 500 1 0,0560 0,6970 85,746 2182 2182 0,31 1,79
896 897 Cascavel Oeste-
S.Caxias 500 1 0,0500 0,7300 78,060 1637 1637 0,50 1,90
898 1047 F.Chopin-S.Osório 230 1 0,1500 0,8900 1,6317 324 324 0,62 2,51
933 895 Areia-Bateias 500 1 0,2000 2,5500 312,72 2110 2110 2,77 10,53
933 955 Areia-Campos Novos 500 1 0,1620 2,0480 250,17 2110 2110 2,22 8,44
933 959 Areia-Curitiba 500 1 0,2000 2,6900 336,40 2182 2182 2,72 10,86
934 1047 Areia-Salto Osório 230 1 3,0450 15,738 27,123 319 319 15,21 44,43
934 1047 Areia-Salto Osório 230 2 3,0410 15,718 27,089 319 319 15,20 44,40
938 955 Blumenau-C.Novos 500 1 0,2556 2,9224 360,40 2037 2037 3,17 12,06
938 959 Blumenau-Curitiba 500 1 0,1270 1,6030 195,89 1266 1266 1,73 6,60
955 964 Campos Novos-Caxias 500 1 0,1877 2,3467 287,24 1688 1688 2,42 8,76
959 895 Curitiba-Bateias 500 1 0,0500 0,4400 47,580 2110 2110 0,47 1,80
964 976 Caxias-Gravataí 500 1 0,0733 0,9164 112,17 1688 1688 0,98 3,55
976 995 Gravataí-Itá 500 1 0,2820 3,8520 493,70 1688 1688 3,62 15,18
995 964 Itá-Caxias 500 1 0,1643 3,0339 354,88 2182 2182 3,04 11,54
995 1030 Itá-Machadinho 500 1 0,0730 0,9200 112,26 2182 2182 0,83 3,22
995 1060 Itá-Salto Santiago 500 1 0,1720 2,1700 265,16 2110 2110 2,35 8,94
1030 955 Machadinho-C.Novos 500 1 0,0470 0,5900 71,818 2182 2182 0,48 1,86
1060 897 S.Santiago-S.Caxias 500 1 0,0760 1,1710 124,58 2370 2681 0,80 3,04
Coluna Descrição
De Número de identificação da barra de origem.
Para Número de identificação da barra de destino.
Nome Nome de identificação do circuito.
V Tensão nominal de operação do circuito, em kV.
Circ Número de identificação do circuito.
R+ Resistência equivalente de seqüência positiva do circuito, em %.
X+ Reatância equivalente de seqüência positiva do circuito, em %.
B Susceptância shunt total do circuito, em Mvar.
CN Capacidade de carregamento do circuito em condições normais de operação,
em MVA.
CE Capacidade de carregamento do circuito em condições de emergência, em
MVA.
R0 Resistência equivalente de seqüência zero do circuito, em %.
X0 Reatância equivalente de seqüência zero do circuito, em %.
Linha 1 Primeira linha de transmissão ou circuito um no caso de circuitos paralelos.
Linha 2 Segunda linha de transmissão ou circuito dois no caso de circuitos paralelos.
RM Parte resistiva da impedância mútua (seqüência zero do circuito), em %.
XM Parte reativa da impedância mútua (seqüência zero do circuito), em %.
FONTE: ALVES (2007)
53
ANEXO 3. Dados de carga
Barra Nome Tensão Carga
MW Mvar
814 Bateias 230 680 130
960 Curitiba 230 790 330
939 Blumenau 230 940 50
965 Caxias 230 700 49
1210 Gravataí 230 1100 400
934 Areia 230 235 57
2458 Cascavel do Oeste 230 400 125
840 Cascavel 138 150 32
848 Foz do Chopin 138 90 17
Total 5 085 1 190
FONTE: ALVES (2007)
ANEXO 4. Dados de Máquinas
Geração de Potência Ativa (MW)
Barra Nome Nº de
Máquinas
Geração Máxima
por Máquina
Geração Máxima
Total
800 G.B.Munhoz 4 418,5 1674
808 Salto Caxias 4 310 1240
810 Salto Segredo 4 315 1260
904 Itá 5 170 1450
915 Machadinho 3 260 1140
919 Salto Osório 4 120 728
925 Salto Santiago 4 220 1420
Total 28 8 912
FONTE: ALVES (2007)