UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARABA
CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMTICA
KLEBER WASHINGTON CABRAL DE VASCONCELOS
Logaritmos e suas Aplicaes
Campina Grande/PB
Dezembro/2011
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Trabalho de Concluso do Curso de
Licenciatura Plena em Matemtica da
Universidade Estadual da Paraba.
Em cumprimento s exigncias para
obteno do ttulo de Licenciado em
Matemtica.
Orientador: Prof. Ms. Fernando Luiz Tavares da Silva
Campina Grande
Dezembro de 2011
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FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UEPB
V441l Vasconcelos, Kleber Washington Cabral de. Logaritmos e suas aplicaes [manuscrito] / Kleber
Washington Cabral de Vasconcelos. 2011. 41 f. : il. color.
Digitado.
Trabalho de Concluso de Curso (Graduao em
Matemtica) Universidade Estadual da Paraba, Centro de
Cincias Tecnolgicas, 2011.
Orientao: Prof. Me. Fernando Luiz Tavares da Silva, Departamento de Matemtica e Estatstica.
1. Ensino de Matemtica. 2. Aprendizagem. 3. Logaritmo. I.
Ttulo.
21. ed. CDD 510.7
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DEDICATRIA
Dedico este trabalho a Deus por proporcionar mais esta graa em minha vida, dando-
me a certeza de um bom caminho em busca do aprendizado.
A meus pais, tios, tias, primos, colegas e professores que esteve comigo neste processo
de busca pelo conhecimento, em especial a minha Av Laura Cabral de Vasconcelos.
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AGRADECIMENTOS
A Deus
Ao senhor meu Deus por tudo que tenho e sou, pois foi de tua inteira vontade que este
momento acontecesse na minha vida, me dando permisso para os primeiros
suspiros, a este filho que tanto te adora propiciando paz, amor, sade e sabedoria,
como prova do teu amor por ns.
Aos meus pais:
Cleodon Cabral de Vasconcelos e Leide Cleide de Vasconcelos Cabral
Por ter me dado graa da vida e ajudado em todos os momentos de dificuldades,
visando uma grata vitria do seu amado filho, tanto na esfera profissional quanto na
vida como cidado digno e respeitado.
Aos meus Avs:
Laura Cabral de Vasconcelos e Severino Cabral de Vasconcelos (In Memria)
Por ter orientado meus pais e com isso contribuir diretamente em minha educao,
dando-me conselhos e transmitindo conhecimento de vida, favorecendo para que eu
possa obter xito e ser leal com o meu prximo.
Toda minha famlia
Que com muito esforo deram sua grande contribuio atravs de conselhos dando-me
incentivo para a vida.
Ao professor Fernando Luiz Tavares da Silva
Pela orientao, conhecimento repassado, pacincia e principalmente estimulo minha
atividade profissional.
Aos verdadeiros colegas que de alguma forma contriburam para que essa conquista se
realizasse em minha vida.
A UEPB
A universidade por ter me dado conhecimento tcnico, poltico e intelectual em
especial nas pessoas dos professores que contriburam para minha formao
diretamente.
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RESUMO
Durante anos de estudos observei a dificuldade que os alunos tinham para compreender o
estudo dos logaritmos, pois no era feita uma ponte de ligao entre o contedo e suas
aplicaes, desenvolvendo assim uma viso crtica sobre o contedo de forma a ter um estudo
mais agradvel e coeso.
A abordagem do tema logaritmo, neste trabalho acadmico, tem por objetivo desenvolver uma
metodologia diferente da utilizada atualmente, melhorando com essa nova proposta o
processo de ensino - aprendizagem.
Pretendemos fazer uma abordagem diferenciada do contedo, atravs da contextualizao,
evidenciando as aplicaes para que o aluno sinta motivao ao estudo logaritmo.
Palavra chave: Logaritmo; Ensino; Aprendizage
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Summary
During years of studies I observed the difficulty that the students had to understand the study
of the logarithms, because it was not made a connection bridge between the content and its
applications, developing like this a critical vision on the form content to have a more pleasant
and united study.
The approach of the theme logarithm, in this academic work, has for objective to develop a
different methodology at the used now days, getting better with this new proposal the
teaching-learning process.
We intended to do a differentiated approach of the content, through the contextualization,
evidencing the applications for the student to feel motivation when studying logarithm.
Key word: logarithm; Teaching; Learning
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SUMRIO
INTRODUO................................................................................................................... 09
CAPTULO 1
Historia da matemtica e os logaritmos.................................................................... 10
Nomes que fizeram histria....................................................................................... 12
Surgimento dos logaritmos ....................................................................................... 14
CAPTULO 2
Introduo................................................................................................................... 16
Definio dos logaritmos............................................................................................ 16
Antilogaritmo ............................................................................................................ 17
Conseqncias da definio....................................................................................... 17
Base e ........................................................................................................................ 18
Propriedades dos logaritmos de mesma base ............................................................ 18
Cologaritmo................................................................................................................ 20
Mudana de Base ...................................................................................................... 21
Funo logartmicas .................................................................................................. 23
Equaes logartmicas................................................................................................ 27
Inequaes logartmicas.............................................................................................. 29
Logaritmos Decimais.................................................................................................. 32
Mantissas e caractersticas.......................................................................................... 32
Aplicaes dos logaritmos.......................................................................................... 35
Concluso................................................................................................................ 40
Referncia Bibliogrficas................................................................................... 41
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10
INTRODUO
Acreditamos que o estudo dos logaritmos no deve ser um fim em si mesmo, mas sim estar
intimamente relacionado a um domnio de suas aplicaes e que esses dois aspectos podem
caminhar juntos, atravs de uma anlise histrica e aplicativa. com esse intuito que esse
conceito formado e por situaes problemas; O que motivou essa pesquisa: Abranger
explicitamente a histria da inveno, o processo histrico e atual das propriedades dos
logaritmos ou da funo logartmica e suas aplicaes em diversas reas do conhecimento
como na acstica, nos elementos radioativos, terremotos, na msica, nos fractais e na
astronomia, dentre outras.
Esse trabalho est subdividido em trs tpicos: O primeiro estuda a histria dos logaritmos e
os motivos que levaram a sua criao, atravs de anlise e abordagem de diferentes
matemticos na busca das resolues de problemas da poca; O segundo estuda os logaritmos
como um conceito formado explicitando suas formulas e propriedades, esclarecendo atravs
das demonstraes de cada propriedade inserida no contexto e o terceiro retrata a aplicao
dos logaritmos nas reas do conhecimento aqui mencionadas.
A proposta central possibilitar uma interao entre teoria e prtica.
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11
CAPTULO 1
1.1 HISTRIA DA MATEMTICA E OS LOGARITMO
As primeiras referncias matemtica avanadas e organizadas datam do terceiro milnio
a.C, na Babilnia e no Egito. Esta matemtica estava dominada pela aritmtica.
Os primeiros livros egpcios, escritos no ano 1800 a.C, mostram um sistema de numerao
decimal com diferentes smbolos para as sucessivas potncias de 10 (1, 10, 100, ...),
semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras
corretas para calcular a rea de tringulos, retngulos e trapzios, e o volume de figuras como
ortoedros, cilindros e pirmides.
Os grego usaram elementos da matemtica dos babilnios e dos egpcios. A inovao mais
importante foi a inveno da matemtica abstrata, com base numa estrutura lgica de
definies, axiomas e demonstraes. Este avano comeou no sculo VI a.C, com Tales de
Mileto e Pitgoras. Alguns de seus discpulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria
numrica e a geometria, que so atribudas ao prprio Pitgoras.
No final do sculo IV a.C, Euclides escreveu Elementos obra que contm a maior parte do
conhecimento matemtico da poca. O sculo posterior a Euclides esteve marcado por um
grande desenvolvimento da matemtica, como se pode comprovar nos trabalhos de
Arquimedes e Apolnio.
Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cnicas e estabeleceu seus nomes:
elipse, parbola e hiprbole.
Os avanos dos matemticos rabes com as tradues dos gregos clssicos foram os
principais responsveis pelo crescimento da matemtica durante a idade Mdia. Entre outros
avanos, os matemticos rabes ampliaram o sistema indiano de posies decimais na
aritmtica de nmeros inteiros, estendendo-o s fraes decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu
a lgebra dos polinmios. Os gemetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as
investigaes de Arquimedes sobre reas e volumes.
Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma frmula
algbrica para a resoluo das equaes de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os
matemticos a se interessarem pelos nmeros complexos e estimulou a busca de solues
semelhantes para equaes de quinto grau ou mais. Tambm no sculo XVI, comearam a ser
utilizados os modernos smbolos matemticos e algbricos.
O sculo XVII comeou com a descoberta dos logaritmos pelo matemtico John Napier. Na
geometria pura, Descartes publicou em seu discurso do mtodo ( 1637) sua viso da
geometria analtica , que mostrava como utilizar a lgebra para investigar a geometria das
curvas. Outro avano importante na matemtica do sculo XVII foi o surgimento da teoria da
probabilidade.
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12
No entanto, o acontecimento mais importante do sculo na matemtica foi o estudo dos
clculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o
alemo Leibniz tambm descobriu o calculo e foi o primeiro a divulg-lo, em 1684 e 1686. O
sistema de notao de Leibniz usado hoje no clculo. O grande matemtico do sculo XVIII
foi o suo Euler, que contribuiu com idias fundamentais sobre clculo e outros ramos da
matemtica e suas aplicaes.
Em 1821, o matemtico Francs Cauchy conseguiu um enfoque lgico e apropriado do
clculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Alm de fortalecer os
fundamentais da anlise, nome dado a partir de ento s tcnicas do clculo, os matemticos
do sculo XIX realizaram importantes avanos nesta parte. No incio do sculo, Gauss deu
uma explicao adequada sobre o conceito de nmero complexo.
Outra descoberta do sculo XIX, que na poca foi considerada abstrata e intil, foi a
geometria no- euclidiana. Os fundamentais da matemtica foram completamente
transformados no sculo XIX, principalmente pelo ingls George Boole, em seu livro
Investigaes das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemticas da
lgica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.
O computador revolucionou a matemtica e converteu-se num elemento primordial. Este
avano deu grande impulso a certos ramos da matemtica, como a anlise numrica e a
matemtica finita, e gerou novas reas de investigao, como o estudo dos algoritmos.
Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos to diversos quanto a teoria
numrica, as equaes diferencias e a lgebra abstrata.
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1.2 NOMES QUE FIZERAM HISTRIA
JOHN NAPIER (1550-1617)
John Napier matemtico escocs , que posteriormente recebeu o ttulo de Baro de
Merchiston, nasceu em 1550 no castelo de Merchiston, nas proximidades de Edinburgh,
Esccia. Filho de Archibald Napier e Janet Bothwell. Seu tio era Adam Bothwell, Bispo de
Orkney, que se celebrizou por haver coroado o Rei Jaime VI e feito o casamento da Rainha
Maria de Lorena com Jaime V, Rei da Esccia. Seu pai era um homem muito importante do
sculo XVI, tendo sido designado chefe da casa da moeda em 1582. Sua famlia adquiriu uma
grande propriedade em Merchiston, alm de j ter outras em Lennox, Menteith e Gartness.
Napier foi educado na Esccia, no St. Andrews University, e em 1563 matriculou-se no
Triumphant College of St. Salvator, onde lhe despertou um grande interesse pela Teologia e
pela aritmtica. Porm, acaba abandonando a universidade para estudar na Europa, onde
adquiriu conhecimento em literatura clssica e matemtica.
Durante o tempo em que ficou na Europa, estudou os princpios que fundamentam a notao
dos nmeros e a histria da notao arbica, descobrindo suas razes na ndia. Foi ele quem
fez as primeiras tentativas com respeito ao desenvolvimento da base dois para a contagem.
Em 1571, Napier voltou Esccia para assistir ao segundo matrimnio do seu pai. Neste
mesmo ano ele engaja-se com ardor na polmica em torno da reforma protestante.
Por volta de 1590, Napier j havia conseguido um completo conhecimento da
correspondncia entre as progresses aritmticas e geomtricas, o que acabou servindo de
base para que ele desenvolvesse o conceito de logaritmo.
Para Napier, o estudo da matemtica era s um passatempo e ele chegou a ganhar fama de
inventor, pois imaginou verdadeiros engenhos, alguns de guerra destinados a conter a invaso
de Filipe II, porm nunca construdos. Entre as suas imaginaes tambm estavam vrios
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artifcios para o ensino de aritmtica, um dos quais, conhecido por Napiers bones, ou
Ossos de Napier, que sobrevivem at hoje e so utilizados para dividir e multiplicar de forma
mecnica. Napier tambm achou expresses exponenciais para funes trigonomtricas e
introduziu a notao decimal para fraes , alm de algumas outras contribuies para a
matemtica, como a trigonometria esfrica.
Mas a sua contribuio mais importante foi a criao dos logaritmos, publicada em um tratado
de 1614, onde abrange a descrio deste mtodo junto com um conjunto de tabelas e regras.
Napier tinha a inteno de que, por meio dos seus logaritmos, desse uma grande ajuda aos
astrnomos, livrando-os dos erros de clculos com grandes nmeros. Escreveu, tambm,
tabelas de logaritmos de funes trigonomtricas, incluindo tabelas de senos e seus
logaritmos, calculados de minuto a minuto.
Embora estivesse implcito no trabalho de Napier em seu desenvolvimento dos logaritmos, o
nmero e, do logaritmo natural, somente foi estudado de maneira mais profunda cerca de
um sculo depois, com Leonhard Euler , quem, inclusive, utilizou a letra e para represent-
lo e batizou o logaritmo que tem este nmero como base, de neperiano em homenagem ao
descobridor dos logaritmos.
John Napier faleceu em 4 de abril de 1617.
A palavra Logaritmo foi inventada por Napier a partir das palavras gregas Logos
(razo) e Aritmos (nmero), o que mais tarde acabou tendo uma interpretao no latim
como nmeros que evoluem.
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1.3 SURGIMENTO DOS LOGARITMOS
Os logaritmos, como instrumento de clculo, surgiram para realizar simplificaes, uma vez
que transformam multiplicaes e divises nas operaes mais simples de soma e subtrao.
Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do inicio do
sculo XVII. Ele considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemticos
da poca tambm tenham trabalhado com ele.
J antes dos logaritmos, a simplificao das operaes era realizada atravs das conhecidas
relaes trigonomtricas, que relacionam produtos com somas ou subtraes.
O mtodo de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progresso
geomtrica
b , , , , ,..., ,...
os termos da progresso aritmtica
1,2,3,4,5,...,n,...
Ento ao produto de dois termos da primeira progresso, . , est associada a soma m+p
dos termos correspondentes na segunda progresso.
Considerando, por exemplo,
PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16394
Para efetuar, por exemplo, 256 . 32, basta observar que:
256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;
13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda-feira.
Assim, 256 . 32 = 8192 resultado esse que foi encontrado atravs de uma simples operao de
adio.
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Enquanto Napier trabalhava com uma progresso geomtrica , ao que parece, de forma
independente, Burgi tambm lidava com o problema dos logaritmos. Juntos elaboraram
tbuas de logaritmos mais teis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10
fosse uma potncia conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou
comuns,ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.
Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola mdia ou no incio dos cursos
superiores de matemtica; tambm por muitos anos a rgua de clculo logartmica foi o
smbolo do estudante de engenharia do campus universitrio.
Hoje, porm, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rpidas calculadoras,
ningum mais usa uma tbua de logaritmos ou uma rgua de clculo para fins
computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de clculo, est
desaparecendo das escolas, os famosos construtores de rguas de clculo de preciso esto
desativando sua produo e clebres manuais de tbuas matemticas estudam a possibilidade
de abandonar as tbuas de logaritmos. Os produtos da grande inveno de Napier tornaram-se
peas de museu.
A funo logartmica, porm, nunca morrer. A principal dessas razes de natureza terica.
Embora eles tenham sido inventados como acessrio para facilitar operaes aritmticas, o
desenvolvimento da matemtica e das cincias em geral veio mostrar que diversas leis
matemticas e vrios fenmenos naturais e mesmo sociais so estreitamente relacionados
com os logaritmos. Assim sendo, os logaritmos, que no princpio eram importantes apenas por
causa das tbuas, mostraram ter aprecivel valor intrnseco.
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CAPTULO 2 LOGARITMOS
2.1 Introduo
Neste captulo, vamos definir os logaritmos, demonstrar suas propriedades. Mostrar a
representao grfica da funo logartmica, comparando-a com a funo exponencial.
Vamos estudar as equaes e inequaes logartmicas, e mostrar algumas aplicaes dos
logaritmos.
2.2 Definio
Sendo a e b nmeros reais positivos, com b 1, chamamos de logaritmos de a na base b o
expoente real x ao qual se eleva b para obter a:
= x = a, com a >0 , b >0 e b 1
Onde:
a = logaritmando
b = base
x= logaritmo
Exemplos:
=3 , pois =8
=2, pois =100
Observao: Quando a base 10, por conveno, omitimos a base, ou seja o logaritmo dito
decimal.
= .
Para que = x tenha significado, para todo x real, precisamos impor b >0 , b1 e a >0.
A essas restries chamamos condies de existncia dos logaritmos:
1 b>0 => > 0 => a > 0
Assim , no existem, por exemplo:
, pois no existe x tal que = -8
, pois no existe x tal que = 3
-
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2.3 Antilogaritmo
Sejam a e b dois nmeros reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de
b na base a igual a x, ento b o antilogaritmo de x na base a. Em smbolos:
Exemplos:
2.4 Consequncias da definio
1) O logaritmo da unidade, em qualquer base, nulo, ou seja:
=0 pois = 1
2) O logaritmo de um valor, na mesma base, sempre igual a 1, ou seja:
=1 pois = b
3) O logaritmo de uma potncia, cuja base seja igual base do logaritmo, ser igual ao
expoente da potncia
=k pois =
4) Se = ento podemos concluir que M=N.
Demonstrao:
= = M k = M
Esta propriedade muito utilizada na soluo de exerccios envolvendo equaes onde
aparecem logaritmos ( equaes logartmicas).
5 ) b elevado ao logaritmo de M na base b igual a M
= M
-
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2.5 Base e:
O nmero e, conhecido como constante de Euler, irracional e vale
aproximadamente 2,718...
Quando um logaritmo possui base e, ele chamado de logaritmo neperiano, e
representado por ln. Deste modo:
= ln 2
= ln
= ln
2.6 Propriedades dos Logaritmos
2.6.1 Logaritmo do produto
Sendo a, b e c nmeros reais positivos, a1,ento:
= +
Demonstrao:
Sejam x, y e z nmeros reais tais que:
= x = b (1) = y = c (2) = z = bc (3)
Substituindo (1) e (2) e (3) , temos:
= . = z = x+y = +
Exemplos:
= + = 4+2 =6
+ = = = = 2
+ = = = = 1
-
20
2.6.2 Logaritmo do quociente
Sendo a, b e c nmeros reais positivos, a1, obtemos:
= -
Demonstrar:
Sejam x, y e z nmeros reais tais que:
= x = b (1) = y = c (2) = z = (3)
Substituindo (1) e (2) em (3), temos:
= = : = z = x-y = -
Exemplos:
= - = 3- 4 = -1
- = = = 1
2.6.3 Logaritmo da Potncia
Em qualquer base a (0 < a 1), o logaritmo de uma potncia de base real positiva e
expoente real igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia.
Em smbolos
Se 0 < a 1, b > 0 e IR, ento
= .
Demonstrao:
Fazendo = x e = y, provemos que y = . x
De fato:
= x = b
= y =
= ( ) = y = . X
Observaes:
-
21
1) Como corolrio desta propriedade , decorre:
Em qualquer base a (0 < a 1), o lagaritmo da raz ensima de um nmero real
positivo igual ao produto do inverso do ndice da raiz pelo logaritmo do radicando.
Em smbolos:
, ento
= =
2) Se b > 0, ento > 0 para todo real e vale a identidade
= .
mas, se soubermos apenas que > 0 , ento temos:
= . .
Exemplos:
= 5.
= =
= 4. se, e somente se, x-1 > 0 , isto , x > 1
Se x 0, ento = 2. .
2.7 Cologaritmo
Chama-se cologaritmo de um nmero b ( b IR e b > 0 ), numa base a ( a IR e 0 < a
1), ao logaritmo do inverso de b na base a.
Em smbolos:
co = , se 0 < a 1 e b > 0.
Como = - , ento co = -
Exemplos:
-
22
1) co = - = - = = 4
2) = - = + co
3) - = + co onde x > 1.
2.8 Mudana de base
H ocasies em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma
nica base conveniente.
Na aplicao das propriedades operatrias, os logaritmos devem estar todos numa mesma
base.
Propriedade:
Se a, b e c so nmeros reais positivos e a e c diferentes de 1, ento tem-se:
=
Demonstrao:
Consideremos = x , = y e = z e notemos que z 0, pois a 1.
Provemos que x = .
De fato:
Exemplos:
-
23
1) convertido para a base 2 fica:
=
2) convertido para a base 10 fica:
=
3) convertido para a base 10 fica:
= = =
Observao
A propriedade da mudana de base pode tambm ser assim apresentada:
Se a, b e c so nmeros reais e positivos e a e c diferentes de 1, ento tem-se:
= .
Demonstrao:
A demonstrao bastante simples, basta que passemos o para a base a:
. = . =
Conseqncias
1) Se a e b so reais positivos e diferentes de 1, ento tem-se:
=
Demonstrao
Convertendo para a base b, temos: = = .
2) Se a e b so reais positivos com a diferente de 1 e um real no nulo, ento tem-se:
=
-
24
Demonstrao:
Devemos considerar dois casos:
1 caso:
Se b = 1, temos:
= 0
=
= 0
2 caso:
Se b 1, temos:
= = = .
Exemplos
1) = =
2) = = -
3) = = -
2.9 A FUNO LOGARTIMICA
Considere a funo y = ax , denominada funo exponencial, onde a base a um nmero
positivo com a 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condies, ax um nmero positivo, para todo x R, onde R o
conjunto dos nmeros reais.Denotando o conjunto dos nmeros reais positivos por R+* ,
poderemos escrever a funo exponencial como segue:
f: R R+* ; y = a
x , 0 < a 1
Esta funo bijetora, pois:
a) injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomnio.
Assim sendo, a funo exponencial BIJETORA e, portanto, uma funo inversvel, OU
SEJA, admite uma funo inversa.
http://www.paulomarques.com.br/arq1-6.htm
-
25
Vamos determinar a funo inversa da funo y = ax , onde 0 < a < 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay \ y = loga x. Portanto, a funo logartmica ento:
f: R+* R ; y = loga x , 0 < a 1. Mostramos a seguir, os grficos das funes exponencial ( y
= ax ) e logartmica
( y = loga x ), para os casos a > 1 e 0 < a < 1. Observe que, sendo as funes, inversas, os seus
grficos so curvas simtricas em relao bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou
seja, simtricos em relao reta y = x.
Da simples observao dos grficos acima, podemos concluir que:
1 - para a > 1, as funes exponencial e logartmica so CRESCENTES.
2 - para 0 < a < 1, elas so DECRESCENTES.
3 - o domnio da funo y = logax o conjunto R+*
.
4 - o conjunto imagem da funo y = logax o conjunto R dos nmeros reais.
5 - o domnio da funo y = ax o conjunto R dos nmeros reais.
6 - o conjunto imagem da funo y = ax o conjunto R+
* .
7 - observe que o domnio da funo exponencial igual ao conjunto imagem da funo
http://www.paulomarques.com.br/arq1-6.htm
-
26
logartmica e que o domnio da funo logartmica igual ao conjunto imagem da funo
exponencial. Isto ocorre porque as funes so inversas entre si.
Exemplos:
1) Construir o grfico cartesiano da funo f(x) = ( x > 0) .
Soluo:
Vamos construir a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.
y y = x
-2 = -2 4
-1 = -1 2
0 =0 1
1 =1
2 =2
-
27
2) Construir o grfico cartesiano da funo f(x) = (x > 0)
Soluo:
Vamos construir a tabela dando valores dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.
y y = x
-2 = -2
-1 = -1
0 =0 1
1 =1 2
2 =2 4
-
27
3.0 Equaes Logartmicas
As equaes logartmicas podem ser classificados em trs tipos:
1 tipo: =
a equao que apresenta, ou redutvel a, uma igualmente entre dois logaritmo de mesma
base a (0 < a 1).
A resoluo de uma equao deste tipo baseia-se na quarta conseqncia da definio.
importante que no devemos esquecer-nos das condies de existncia dos logaritmos.
temos:
Se 0 < a 1, ento:
=
Exemplos:
1) Resolva a equao = .
Soluo: = = 7
Resolvendo = 7 = 4
soluo da equao
Logo, S = {4}
2) Resolva a equao = = > 0
= -2 = -1.
Fazendo = 1 em encontramos, 4.1-5 = -1 < 0, logo = 1 no soluo. Chegamos a
mesma concluso se fizermos = 1 em = -1 < 0.
Logo, S = .
3) Resolva a equao = .
-
28
Soluo: = =
= 0
Resolvendo = 0 = 4 ou = -3.
Para = 4 temos que = -6 < 0, logo = 4 no soluo .
Para = -3 temos que = 8 > 0, logo = -3 satisfaz a equao.
Portanto, S = { -3}
2 tipo: = .
a equao que apresenta, ou redutvel , uma igualdade entre um logaritmo e um nmero
real.
A soluo de uma equao deste tipo simples: basta aplicarmos a definio de logaritmo.
Em equao deste tipo no necessrio preocupar-se com a condio de existncia.
Se 0 < a 1 e IR, ento
= = .
Exemplos:
4) Resolvendo a equao = 0
Soluo: = 0 = = 1 = 2 =
Ento S =
5) Resolva a equao = 0.
Soluo: = 0 = = 1
= 0.
Resolvendo a equao = 0 obtemos: e = -2. Logo, e
So solues da equao.
Ento, S = .
3 Tipo: Incgnita auxiliar
So as equaes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudana de incgnita.
-
29
Resolvendo a equao - = 2.
Soluo: A equao proposta equivalente equao
- - 2 = 0
Fazendo = y , temos: -y -2 = 0 y= 2 ou y = -1.
Mas y = , ento :
= 2 = = 4
= -1 = =
Ento, S = { 4, }
3.1 Inequaes logartmicas
Da forma que classificamos as equaes logartmicas, tambm vamos classificar as
inequaes logartmicas.
1 Tipo:
a inequao redutvel a uma desigualdade entre dois logartmicos de mesma base a ( 0< a
1) .
1 Caso
Se a base maior que 1, a relao de desigualdade que existe entre os logaritmandos de
mesmo sentido que a dos logaritmos.
Se a > 1, f(x) e g(x) > 0 ento:
f(x) > g(x).
Exemplo: Resolvendo a inequao, <
Soluo: como a base maior que 1, logo a desigualdade entre os logaritmandos tem o
mesmo sentido que a dos logaritmos.
-
30
< 0 < 5x - 2< 4 2 < 5x < 6 < x < .
S = {x IR / < x < }
2 Caso
Se a base positivas e menores que 1, a relao de desigualdade existente entre os
logaritmos de sentido contrario dos logaritmos.
Se 0 < a < 1 , f(x) e g(x) > 0 , ento:
0 < f(x) < g(x).
Exemplo: Resolva a inequao , < .
Soluo: como a base maior que zero e menor que 1, logo a desigualdade entre os
logaritmos tem sentido contrrio dos logaritmos. Ento, temos:
< 4x 3 > 5 4x >8 x > 2.
S = { x IR / x > 2}
2 Tipo:
A inequao logaritmo redutvel a uma desigualdade entre um logaritmo e um nmero real.
Temos dois casos a considerar:
1 Caso
Tm-se > K, e usando em ambos os membros resulta, ,
onde e K > 0 , 0 < a 1.
Se
Exemplos:
1) Resolva a inequao
-
31
Soluo : Como a > 1, ento > K.
(3x+5) > 3x+5 > 8 3x > 3 x > 1.
S = { x IR/ x > 1}
2) Resolva a inequao < 1.
Soluo: Temos que 0 < a < 1, logo 0 < f(x) < .
< 1 - 6x +3 > - 12x +6 > 1 - 12x +6 > 0. Onde
= 64 , = e =
S = { x IR / < x < }
2 Caso:
Se < K, e usando em ambos os membros obtemos, < , onde
) e K > 0 , 0 < a 1.
Se < k
Exemplo: Resolva a inequao > 0, para 0 < a < 1.
Soluo: Temos que 0 < a < 1, logo 0 < < k.
> 0 ) < < 1. Ento,
0 < < 1 < < 2.
S= { IR / < < 2}
-
32
3 Tipo: Incgnita auxiliar.
So as inequaes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudana de incgnita.
Exemplo:
Resolvendo a seguinte inequao, - 4 > 0.
Soluo: Fazendo = y obtemos: > 0. Resolvendo temos:
= 25 , = 4 e = -1 com x > 0.
= 4 = = 16
= -1 = =
S = { IR / < ou > 16}
3.2 Logaritmos Decimais
Com a propriedade operatria dos logaritmos, podemos transformar uma multiplicao em
uma soma, uma diviso em subtrao e uma potncia em uma multiplicao, isto ,com o
emprego da teoria dos logaritmos podemos transformar uma operao em outra mais simples
de ser realizada.
3.3 Caracterstica da Mantissa
Para algum nmero real positivo x que consideremos, este nmero ter que estar
necessariamente compreendido entre duas potncias de 10 com expoente inteiro consecutivos.
Exemplos:
1) x = 0,04
2) x = 0,351
-
33
3) x = 53,2
4) x = 810
sendo assim, para x > 0 , existe C Z tal que;
x agora usando log em ambos os membros obtemos;
log x C log x C +1
Ento podemos afirmar que:
log x = C + m em , que C Z e o 0 m 1 isto o logaritmo decimal de x a soma de um
nmero inteiro C com um nmero decimal m (0 m 1).
O nmero inteiro C por definio a caracterstica do logaritmo de x e o nmero decimal m
por definio a mantissa do logaritmo decimal de x.
Podemos afirmar que:
Para determinar a caracterstica do logaritmo decimal de um nmero x positivo ser ela
calculadora por uma das duas seguintes regras:
Regra I ( x > 1).
Para o logaritmo decimal de um nmero x > 1, sua caracterstica calculada da seguinte
forma: A caracterstica igual ao nmero de algarismo da parte inteira, menos 1, do logaritmo
decimal de x.
Justificao:
Como o nmero real x tem que est compreendido entre duas potncias de 10 com expoentes
inteiros e consecutivos ento;
Seja x > 1 e x tem ( n +1) algarismos na sua parte inteira, ento temos:
n , isto , a
caracterstica de log x n.
Exemplos:
Logaritmo Caracterstica
C = 0
-
34
C = 2
C = 3
Regra II ( 0
A caracterstica do logaritmo decimal de um nmero 0 , o oposto da quantidade de
zeros que precedem ao primeiro algarismo significativo.
Justificao:
Seja 0 e tem n algarismos zeros precedendo o primeiro algarismo significativo,
no nulo, temos ento:
-n , isto a
caracterstica de n.
Exemplos:
Logaritmo Caracterstica
C = -1
C = -2
C = -3
A mantissa obtida nas tbuas ( tabelas ), em anexo, de logaritmos.
Em geral, a mantissa um nmero irracional e por esse motivo as tbuas de logaritmos so
tabelas que fornecem os valores aproximados dos logaritmos dos nmeros inteiros,
geralmente de 1 a 10.000.
Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar a seguinte
propriedade: A mantissa do logaritmo decimal de x, no se altera se multiplicarmos x por uma
potncia de 10 com expoente inteiro.
Uma conseqncia importante :
Os logaritmos de dois nmeros cujas representaes decimais diferem apenas pela vrgula
tm mantissas iguais.
Por exemplo, os logaritmos decimais dos nmeros 2, 200 , 0,2 , 0,002, tm todos a mesma
mantissa 0,3010.
-
35
3.4 APLICAES DOS LOGARITMOS
3.4.1 Acstica
A cincia nas suas varias ramificaes, foi beneficiada pelo advento do logaritmo. Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som apresenta caractersticas: altura, intensidade e
timbre. No caso da intensidade ( I ) , que representa a potncia de uma onda sonora por
unidade de rea( ), encontram-se interessantes detalhes.
Para perceber a onda sonora, o tmpano humano necessita que ela tenha, no mnimo uma
intensidade
I0 = 10 - 12 )
Chamada de limiar de audibilidade e no mximo, de ), chamada de limiar da dor.
O nvel sonoro(N) representa a comparao entre a intensidade sonora ( I ) e o limiar da
audibilidade ( I0). A sua unidade mais prtica o decibel (dB).
A grandeza nvel sonoro ( N ) obedece a uma escala logartmica, sendo definida por
N = 10.
Pode relacionar esses conceitos com algumas situaes do cotidiano. O ouvido humano
apresenta leses irrecuperveis sempre que exposto, por um determinado tempo, a nveis
sonoros(N) superiores a 80(dB). As unidades bol( B ) e decibel(dB) representam desse modo
tabela de Briggs que pode ser reescrito como na tabela 4.1
-
36
Tabela 4.1: Tabela de Briggs
x Log x
... ...
101 2,004321
102 2,008600
103 2,012837
104 2,017033
105 2,041189
... ...
3.4.2 Terremotos
Figura 1:Mapa-Mundi com as divises das placas tectnicas.
Com o lento movimento das placas litosfricas, da ordem de alguns centmetros por
ano,tenses vo se acumulando em vrios pontos, principalmente perto de suas bordas. As
tenses acumuladas podem ser compressivas ou distensivas, dependendo da direo de
movimentao relativa entre as placas. Quando essas tenses atingem o limite de resistncia
das rochas, ocorre uma ruptura, como podemos ver na figura 2, o movimento repentino entre
os blocos de cada lado da ruptura geram vibraes que se propagam em todas as direes.
-
37
O plano de ruptura forma o que se chama de falha geolgica. Os terremotos podem ocorrer
no contato entre duas placas litosfricas ( caso mais freqente) ou no interior de uma delas,
como indicado no exemplo da figura 2, sem que a ruptura atinja a superfcie. O ponto onde se
inicia a ruptura e a liberao das tenses acumuladas chamado de hipocentro ou foco.
Sua projeo na superfcie o epicentro, e a distncia do foco superfcie a profundidade
focal.
Figura 2: o ponto inicial da ruptura chamado hipocentro ou foco do tremor, e sua projeo na superfcie o
epicentro.
Embora a palavra terremoto seja utilizada mais para os grandes eventos destrutivos, enquanto
os menores geralmente so chamados de abalos ou tremores de terra, todos so resultado do
mesmo processo geolgico de acmulo lento e liberao rpida de tenses.
A diferena principal entre os grandes terremotos e os pequenos tremores o tamanho da rea
de ruptura, o que determina a intensidade das vibraes emitidas.
H trs causas diferentes pelas quais podem ocorrer os terremotos: vulcanismo, acomodaes
geolgicas das camadas internas da crosta e as causas tectnicas.
Essas movimentaes das placas tectnicas do origem a vrios fenmenos, como a formao
de cadeias de montanhas, erupo de vulces, terremotos e maremotos.
-
38
natural coincidir os abalos ssmicos com os locais que apresentam atividade vulcnica e
grandes altitudes.
As erupes vulcnicas servem de previses de terremotos, antecedendo-os.
3.4.3 Ondas Ssmicas
Uma onda ssmica uma onda que se propaga atravs da terra, geralmente como
conseqncia de um sismo, ou devido a uma exploso. Estas ondas so estudadas pelos
sismlogos e medidas por sismgrafos.
3.4.3 Tsunamis
So ondas de grande energia geradas por abalos ssmicos que se propagam no oceano.
Foi no oceano Pacfico que ocorreram maioria das Tsunamis, por ser uma rea
cercada por atividades vulcnicas e freqentes abalos ssmicos.
As tsunamis ao se propagarem no oceano, possuem comprimento de ordem de 150 a
200 Km de extenso e raramente superior a 1 metro de altura. Portanto, em alto mar eles so
quase imperceptveis. Entretanto, ao se aproximar das zonas costeiras mais rasas, h uma
reduo da velocidade, devido ao atrito com o fundo do mar, porm a energia continua a
mesma. Consequentemente, a altura da onda aumenta bastante em pouco tempo. Neste ponto,
ela pode atingir 10, 20 e at 30 metros de altura, em funo de sua energia e da distncia do
epicentro da tsunami.
Como se forma a onda mortal:
Vejamos a figura:
Figura 3: Formao de um Tsunami. Fonte: http://www.cientic.com/tema_geologicos.html
1. A ruptura causada pelo tremor no leito do mar empurra a gua para cima, dando incio
onda.
-
39
2. A onda gigante se move nas profundezas do oceano em velocidade altssima.
3. Ao se aproximar da terra, a onda perde velocidade, mas fica mais alta.
4. Ela ento avana por terra, destruindo tudo em seu caminho.
-
40
CONCLUSO
A inveno dos logaritmos foi de grande importncia para o avano da tecnologia, dando mais
rapidez aos clculos utilizados a partir do sculo XVI. Suas aplicaes tomaram rumos
diversos, expandindo dessa forma suas reas de atuao.
Com o avano da tecnologia, alguns recursos como: a tbua de logaritmos ou mesmo a rgua
de clculo, foram sendo desativados por falta de uso, logicamente com o advento dos
computadores no seria vivel continuar utilizando os recursos do sculo XVI.
Os logaritmos podem ser explorados de uma melhor maneira por parte dos professores do
ensino mdio, bastando para isso, se adaptar aos novos mtodos de ensino.
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41
BIBLIOGRAFIA
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Paulo- Editora Moderna- 1979.
VILA, Geraldo Severo de SOUZA. Clculo 1: Funes de uma varivel/Geraldo vila. -4.
Ed.- Rio de Janeiro: LTC livros tcnicos e cientficos Editora S.A.,1982.
BAUGART, John K. Histria da lgebra, traduo hygino h. Domingues So Paulo: Atual,
1992.
Boyer, Carl B. Histria da Matemtica, traduo Elza F. Gomide 2 edio So Paulo;
Editora Edgard Biucher,1996.
DANTE, Luiz Roberto. Matemtica do ensino Mdio, volume nico: livro do professor/
Luiz Roberto Dante.- - 1 Ed.- - So Paulo: tica,2005.
EVES, Gelson. Fundamentos de matemtica Elementar, 2: logaritmos: exerccios
resolvidos, exerccios propostos com resposta, testes de vestibulares com resposta. Gelson
Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami- 8 edio. So Paulo- Atual, 1993.
http://www.exatas.mat.br/historia.htm
http://www.perdiamateria.eng.br/nomes/Napier.htm
http://www.exatas.mat.br/historia.htmhttp://www.perdiamateria.eng.br/nomes/Napier.htm