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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL
Rodovia Itajubá-Lorena, Km 74,5 - Caixa Postal 116CEP 12600-970 - Lorena - SP Fax (12) 3153-3133Tel. (Direto) (12) 3159-5007/3153-3209
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Polo Urbo-Industrial Gleba AI-6 - Caixa Postal 116CEP 12600-970 - Lorena - SP
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“LOB1021 - FÍSICA IV“
Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior
Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)Escola de Engenharia de Lorena (EEL)
Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970
[email protected]/docentes ou www.eel.usp.br (Página dos professores)
UNIDADE 8c -
Fótons e Ondas de Matéria III
A função de onda
),( trrψ
),(),(),( 21 trtrtr rrr ψψψ +=
2|),(|),( trtr rr ψρ =
• Princípio da superposição:
• Interpretação probabilística:(Max Born)
1),( 3 =∫V
rdtrrρ
A nossa conclusão sobre tudo o que foi dito até agora é que, dada uma partícula atômica ou um fóton, este objeto pode ser descritopela chamada amplitude de probabilidade , ou função de onda, à qual podemos aplicar:
A função de onda carrega a informação máximaque podemos ter sobre o sistema em questão.
Dualidade e complementaridadeAssim, as propriedades ondulatórias e corpusculares coexistem.
Esta é a chamada dualidade onda-partícula.
Entretanto, não há nenhuma forma destas duas propriedades serem testadas simultaneamente. Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto corpuscular seja evidenciado ou um que revele o caráter ondulatório do sistema em questão.
Este é o princípio da complementaridade, que ficou bem claro na experiência de Young que analisamos.
• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a velha teoria quântica (1900 ~ 1920) tinha sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica.
A equação de Schrödinger
Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início a mecânica quântica moderna.
• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na Universidade de Zurich sobre a teoria de De Broglie.
Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron,se não havia nenhuma equação de onda !
Erwin Schrödinger
A equação de Schrödinger não pode ser deduzida, assim como não podem ser deduzidas as equações da dinâmica de Newton. Ela só pode ser postulada.
A forma escolhida deveria incorporar o sucesso das teorias anteriores. Fatalmente, ela também levaria a novas previsões(e interpretações) que poderiam ser testadas.
“ Nossa mecânica clássica talvez seja completamente análoga à óptica geométrica e por isso falha, estando em desacordo com a realidade… Portanto é preciso estabelecer uma mecânica ondulatória…” - Schrödinger, 1926.
A equação de Schrödinger
• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo:
0),(),(1 22
2
2 =∇−∂
∂ trFt
trFc
rrrr
onde é a variável dinâmica de interesse; Por exemplo: o campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM, ou a função de onda .
),( trF rr
• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas massivas!
),( trrψ
A equação de Schrödinger
2|),(|),( trtr rr ψρ =
0)t,r(Fzyxt
)t,r(Fc1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂
∂ rrrr
ou
),( trrψ
Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos:
( )tirki00 ee)trk(iexp)t,r( ωψωψψ −⋅=−⋅=
rrrrr
Derivando com relação a t :
),(),( trit
tr rr
ωψψ−=
∂∂
Tomando o gradiente de e depois a sua divergência
)t,r(k)t,r()]t,r([
)t,r(ki)t,r(r
)t,r(
22 rrrrr
rrrr
rr
ψψψ
ψψψ
−=∇=∇⋅∇
⇒=∂∂
=∇
),( trrψ
),( trrψ
A equação de Schrödinger
PROVAR que é solução da equação diferencial da página anterior!
),(),(),( trEtrt
tri rrh
rh ψωψψ
==∂
∂Então:
e
),(),(2
),(2
),(2
2222
2
trEtrm
ptrmktr
mrrrhrh ψψψψ ===∇−
),(2
),( 22
trmt
tri rhr
h ψψ∇−=
∂∂
Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ek ; V = 0) :
A equação de Schrödinger
kc
hfp poisr
hr
==
)(exp),( 0 trkitr ωψψ −⋅= rrr
ωππ
h=== )f2(2hhfE pois
Mas, no caso geral não relativístico:
),()(),(2
),()(2
22
trrVtrm
ptrErVm
pE rrrrr ψψψ +=⇒+=
),()(),(2
),( 22
trrVtrmt
tri rrrhr
h ψψψ+∇−=
∂∂
Equação de Schrödinger (Postulada!)
A equação de Schrödinger
Onda estacionária:
)exp()(),( tirtr ωϕψ −=rr
),()(),(2
),( 22
trrVtrmt
tri rrrhr
h ψψψ+∇−=
∂∂
)()()(2
)()( 22
rrVrm
rEr rrrhrrh ϕϕϕωϕ +∇−==
substituindo na Eq. de Schrödinger:
obtemos:
Equação de Schrödinger independente do tempo.
A equação de Schrödinger
Aplicações da Equação de Schrödinger
1) A partícula livre em 1-D2) O potencial degrau3) A barreira de potencial
1) A partícula livre em 1-D
0)(;)()(2 2
22
==− rVxEdx
xdm
ϕϕh
Para encontrar a solução geral de:
2
22 ),(2
),(x
txmt
txi∂
∂−=
∂∂ ψψ h
h
devemos resolver inicialmente:
ou:2
222
2 2onde;0)()(h
mEkxkdx
xd==+ ϕϕ
1) A partícula livre em 1-D Solução geral: )exp()exp()( ikxBikxAx −+=ϕ
)(';)('com;sincos)( BAiBBAAkxBkxAx −=+=′+′=ϕ
como: θθθ sincos)exp( ii ±=±
)](exp[),( tkxitx ωψ +−∝ Onda propagante para a esquerda:
)(exp),( tkxitx ωψ −∝ Onda propagante para a direita:
1) A partícula livre em 1-D
Façamos: A = ϕ0 e B = 0 )exp()( 0 ikxx ϕϕ =
e mkktkxitx
2)(onde)(exp),(
2
0h
==−= ωωωϕψ
mk
mp
22
222 hh ==ωpois:
+∞<<∞=== x-paraConstante!|),(|),( 20
2 ϕψρ txtx
A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:
),( txρ
x0
20ϕ
• Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.
(p/ direita)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ−
−Δ
== 2
20
2
2
)]([2))((exp
)]([21|),(|),(
txtxx
txtxtx
πψρ
tmkxtx 0
00 )( h+=
40
2
22
0 )(41)(
xmtxtx
Δ+Δ=Δ
h
x)(0 tx
)(txΔ
2|),(| txψ
2))((21
txΔπ
• Seja um “pacote de ondas”:
kx
Δ=Δ
21
0
wavemechanics-freepacketO princípio da incerteza∫∞
∞−
−= dktkkxikAtx ])([exp)(21),( ωπ
ψ
Densidade de probab.:
onde:
e
Propriedade da distribuição gaussiana:
O princípio da incerteza
221
21
000h
=ΔΔ⇒=ΔΔ⇒Δ
=Δ pxkxk
x
Como: xtxx Δ≡Δ≤Δ )(0
2h
≥ΔΔ px
• Relação conhecida como princípio da incerteza de Heisenberg!
Não podemos determinar a posição e o momento linear de uma partícula quântica com precisão arbitrária em ambas as medidas!
Werner Heisenberg
khp h== λ
• Apesar de termos mostrado essa propriedade partindo de uma distribuição gaussiana (pacote de ondas), ela é inerente à mecânica quântica. Ela se aplica sempre aos pares das chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente!
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥ΔΔ
≥ΔΔ
≥ΔΔ
2
2
2
h
h
h
z
y
x
pz
py
pxEm 3-D:
O princípio da incerteza
• Também pode ser escrito como:
O princípio da incerteza
( )
2vxE2
2vmm2
m2p x
2m2m2
ppp x
2
h
h
h
≥
≥
≥
ΔΔΔ
ΔΔΔ
ΔΔΔΔ
2t E h≥ΔΔ
2h
≥ΔΔ px
Prob.1:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.
)/(1028.5)(40
).(1063.6 2927
min, scmgcm
sergpbx
−−
×≈×
=Δπ
min,min, bx
bbx vmp Δ=Δ )/(1011.2
)(25)(40).(1063.6 30
27min, scm
gcmsergvb
x−
−
×≈×
×=Δ→
π
)10(4).()10(
210 min,
cmserghppcmpxcmx b
xbx
bx
bb
π=Δ→Δ≤ΔΔ≤→≤Δ
ha)
b) elétron num átomo:
e
bxe
xbx
ex
e
mpvp
cmserghpcmx
min,9min,min,9
8min,8 10;10
)10(4).(10 Δ
=ΔΔ==Δ→≤Δ −−
π
cs
cmg
scmg
vs
cmgp ex
ex 019.0)(108.5
)(101.9
)(1028.5;)(1028.5 7
28
11
min,20min, ≈×≈×
×≈Δ×≈Δ −
−
−
vmL
Prob. 2:
Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo, onde K é a energia cinética da partícula.
hmKk 22π
=
mk
mpKkp
22;
222 hh ===
hmKmKkmKk 2222
22 π
==→=hh
2) O potencial degrau
I) E > V0 :
202
22222
22
2211
212
12
)(2onde;0)()(;0se
2onde;0)()(;0se
h
h
VEmkxkdx
xdx
mEkxkdx
xdx
−==+>
==+<
ϕϕ
ϕϕ
0V
1 2
E
0 x
1
2
E > V0 :
202
2222
221111
)(2onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
h
h
VEmkxikDxikCx
mEkxikBxikAx
−=−+=
=−+=
ϕ
ϕ
2) O potencial degrau
1 20
x
Soluções gerais:
x < 0 :
x > 0 :
mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.
I R
T R2
1
21
1
21
21
2kk
kAC
kkkk
AB
+=
+−
= ; amplitude de reflexão
; amplitude de transmissão
mkvvCJvBJvAJ i
ih
==−== onde||,||,|| 22
trans12
ref12
inc
221
212
1
2
inc
trans
2
21
212
inc
ref
)(4
kkkk
AC
kk
JJT
kkkk
AB
JJR
+===
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
==−=1=+TR
2) O potencial degrau→contínuasfunçõessão
dxdeComo ψψ
daí:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−→+→
−→+→
0x0x
0x0x
dxd
dxd ψψ
ψψ
0V
1 2
E
202
22222
22
2211
212
12
)(2onde;0)()(;0se
2onde;0)()(;0se
h
h
EVmxdx
xdx
mEkxkdx
xdx
−==−>
==+<
κϕκϕ
ϕϕ
2) O potencial degrau
0 x
II) E < V0 :
1
2
202
2222
221111
)(2:onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
h
h
EVmxDxCx
mEkxikBxikAx
−=+−=
=−+=
κκκϕ
ϕ
E < V0 :
2) O potencial degrau
0x
x < 0 :
x > 0 :
1 2
02
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−=
+−
= −
1
21
21
21 tan,)2exp(k
iikik
AB κ
ηηκκ ; amplitude de reflexão
mkvvBJvAJ i
ih
=−== onde,||,|| 12
ref12
inc
0=T;12
inc
ref ==−=AB
JJ
R
⇒−= )exp()( 22 xCx κϕ
Comprimento de penetração
)(2 0
12 EVm −== − hκλ
wavemechanics-step
2) O potencial degrau2) O potencial degrau→contínuasfunçõessão
dxdeComo ψψ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−→+→
−→+→
0x0x
0x0x
dxd
dxd ψψ
ψψ
3) A barreira de potencial
0V
1 2
E
L
3
221
233
232
32
202
22222
22
2211
212
12
2onde;0)()(
;se
)(2onde;0)()(;0se
2onde;0)()(;0se
h
h
h
mEkkxkdx
xdLx
VEmkxk
dxxdxL
mEkxkdx
xdx
===+>
−==+>>
==+<
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
0 x
I) E > V0 :
1
2
3
E > V0 :
221
23333
202
2222
221111
2onde;)exp()exp()(
)(2onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
h
h
h
mEkkxikFxikEx
VEmkxikDxikCx
mEkxikBxikAx
==−+=
−=−+=
=−+=
ϕ
ϕ
ϕ
3) A barreira de potencial
1 2 3
0
1
2
3
0V
1 2
E
L
3
221
233
232
32
202
22222
22
2211
212
12
2onde;0)()(
;se
)(2onde;0)()(;0se
2onde;0)()(;0se
h
h
h
mEkkxkdx
xdLx
EVmx
dxxdxL
mEkxkdx
xdx
===+>
−==−>>
==+<
ϕϕ
κϕκϕ
ϕϕ
3) A barreira de potencial
0 x
II) E < V0 :
1
2
3
E < V0 :
221
23333
202
2222
221111
2onde;)exp()exp()(
)(2onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
h
h
h
mEkkxikFxikEx
EVmxDxCx
mEkxikBxikAx
==−+=
−=+−=
=−+=
ϕ
κκκϕ
ϕ
3) A barreira de potencial
1 2 3
0
1
2
3
)2(exp LT κ−≈ 20 )(2h
EVm −=κ
)2exp(11 LTR κ−−=−=
Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:
; onde
wavemechanics-barrier
3) A barreira de potencial
Coeficiente de reflexão
→contínuasfunçõessãodxdeComo ψψ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−→+→
−→+→
0x0x
0x0x
dxd
dxd ψψ
ψψ
Prob. 3:a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?
No tempo de espera t* para 1 próton tunelar: r t* T = 1 ; )2(exp LT κ−≈
anosst 104111* 101037,3 ≈×≈ (maior que a idade do universo ! )
Taxa de incidência de prótons: r = 1000(C/s) / 1,6×10-19(C) ≈ 6,25×1023 s-1a)
b) Feixe de elétrons: 2/511.0 cMeVme =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π×
= − )56)(511.0(8).(1240)70,0(2exp
)(1025,61
123* eVeVMev
nmeVnm
ste
ste9* 101.2 −×≈ !
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
×=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −= − )56)(938(8
).(1240)70,0(2exp
)(1025,61)(8
2exp11232
2* eVeVMev
nmeVnm
shEVm
Lr
t bp ππ
onde: mp = 938 MeV/c2 ; me = 0.511 MeV/c2
hc = 1240 eV nm
O microscópio de varredura por tunelamento (STM)
wavemechanics-stm
Nobel Laureates 1986: Heinrich Rohrer , Gerd Binnig e Ernst Ruska