UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO · divisão de Ma e nos significados da divisão de Pinto e...
141
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO VANESSA CRISTINA DE CARVALHO ITO CONHECIMENTO DE ESTUDANTES DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A RESPEITO DOS PROCESSOS DE ENSINO E DE APRENDIZAGEM DA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES São Paulo 2014
Transcript of UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO · divisão de Ma e nos significados da divisão de Pinto e...
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
VANESSA CRISTINA DE CARVALHO ITO
CONHECIMENTO DE ESTUDANTES DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA A RESPEITO DOS PROCESSOS DE ENSINO E DE
APRENDIZAGEM DA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES
São Paulo 2014
VANESSA CRISTINA DE CARVALHO ITO
CONHECIMENTO DE ESTUDANTES DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA A RESPEITO DOS PROCESSOS DE ENSINO E DE
APRENDIZAGEM DA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES
Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de mestre sob orientação da Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva.
São Paulo 2014
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva
Prof. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte
Prof. Dra. Nilza Eigenheer Bertoni
DEDICATÓRIA
Aos meus queridos pais, pela boa educação que
me deram e por terem me ajudado a chegar até
aqui.
Ao meu amado, por ter estado ao meu lado e ter
me dado todo o suporte do qual precisei durante
boa parte deste longo percurso.
Amo vocês.
AGRADECIMENTOS
Há quase três anos, quando me inscrevi para o processo seletivo deste
programa de mestrado não fazia ideia do que estava por vir. Sinto-me emocionada ao
olhar para trás lembrando de todo o caminho que percorri para chegar ate aqui.
Foram dias duros de tempos confusos. Mas, me adaptei aos poucos e com o
passar dos meses comecei a me sentir parte desta casa. Fui agraciada com o privilégio
de ser aluna de ilustres professores dos quais trago no peito um enorme carinho e
admiração. Não haveria palavras suficientes para expressar meu apreço e
agradecimento a todos.
À Prof. Dra. Angélica Fontoura Garcia Silva, minha querida orientadora, sem a
qual este trabalho não teria sido realizado. Muitíssimo obrigada pela dedicação, pela
confiança, e principalmente, por ter acreditado que eu era capaz e não ter desistido de
mim nos meus piores momentos. Serei eternamente grata à senhora por toda sua
atenção.
À Prof. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte, que sempre esteve ao nosso
lado, nos dando apoio incondicional, a todo o momento disposta a nos ajudar,
enriquecendo nosso trabalho com suas contribuições e amizade.
À Prof. Dra. Nilza Eigenheer Bertoni, pela atenciosa avaliação deste trabalho no
processo de qualificação e por todas as suas observações, sem as quais este trabalho
não alcançaria a qualidade que alcançou.
À Prof. Dra. Tânia Maria Mendonça Campos, por quem tenho profundo respeito
e admiração, por coordenar este programa de pós graduação de forma tão brilhante,
favorecendo o crescimento da pesquisa em Educação Matemática no Brasil.
Aos funcionários da secretaria do mesmo programa, sempre tão gentis e
competentes, nos prestando um ótimo atendimento quando necessitamos.
Ao Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni, a quem admiro profundamente e tenho
grande respeito. Obrigada pelo seu apoio, pela ética e humanidade as quais sempre
dispensou a mim. O senhor me fez enxergar o magistério com novos olhos.
À Secretaria de Educação Estadual de São Paulo, por terem acreditado no meu
projeto e terem me concedido a bolsa de estudo, fornecendo todo o suporte financeiro
necessário para a concretização deste trabalho.
Aos futuros professores, alunos do curso de Licenciatura em Matemática da
UNIAN-SP, turma de 2012, por terem sido tão gentis ao colaborarem no
desenvolvimento dessa pesquisa.
Óðinn, deus da sabedoria, guardião dos mistérios das runas. Sem o seu
toque eu nada saberia. Agradeço-te por não ter me desamparado durante todo
este processo e por não permitir que eu fosse envergonhada diante dos homens.
A ti pertence todo o conhecimento nos nove mundos.
Hail Alfather!
SUMARIO APRESENTAÇÃO 13 CAPÍTULO 1: CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA 16
1.1 Antecedentes e Motivações 16
1.2 Os processos de ensino e de aprendizagem da divisão entre frações: Problemática
20
1.3 Objetivos e questões de pesquisa 22
1.3.1 Nosso objeto de pesquisa: o futuro professor de matemática
22
1.4 O percurso da investigação
24
CAPÍTULO 2: AS PESQUISAS SOBRE O TEMA E O CURRÍCULO PROPOSTO
25
2.1 Sobre os conhecimentos necessários ao ensino 25
2.1.1 Conhecimento profissional docente na perspectiva de Shulman
25
2.1.2 Conhecimento profissional docente na perspectiva de Ball e colegas
2.2 Conhecimentos necessários para o ensino da divisão entre frações: o que dizem as pesquisas
31
2.3 Indicação do currículo oficial: contribuições para análise do conhecimento curricular
42
CAPÍTULO 3: A INVESTIGAÇÃO 49
3.1 Procedimentos Metodológicos 49
3.2 Caracterização dos sujeitos 50
3.3 Atividades desenvolvidas durante a intervenção
51
CAPÍTULO 4: DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA E ANÁLISE DOS DADOS
56
4.1 Conhecimentos Prévios dos Futuros Professores
56
4.2 Intervenção
62
4.2.1 Atividade 3: Modelo de Medida 62
4.2.2 Atividade 4: Problema 2 e 3 83
4.3 O Currículo Oficial do Estado de São Paulo 96
4.3.1 Discussão do Problema: Atividade 5 97
4.4 Atividade 6: A divisão como operação inversa da multiplicação 102
4.5 Análise e Reelaboração dos problemas.
108
CONSIDERAÇÕES FINAIS
119
REFERÊNCIAS
126
ANEXOS I. Termo de consentimento livre e esclarecido
II. Termo de compromisso
12
APÊNDICES
I. Questionário
II. Atividade 1
III. Atividade 2
IV. Atividade 3
V. Atividade 4, problema 1
VI. Atividade 4, problema 2 e 3
VII. Atividade 5
VIII. Atividade 6
130
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Esquema de comparação dos níveis de conhecimentos
segundo Shulman (1986) às categorias de conhecimentos de acordo
com Ball et al (2008).
28
Figura 2. Multiplicação entre frações 44
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1. Comparação entre os modelos de divisão segundo Ma
(1999) e os significados de divisão de acordo com Pinto e Monteiro
(2008)
33
Quadro 2. Resolução da atividade 2
57
Quadro 3. Classificação dos erros evidenciados na atividade de
elaboração dos problemas
59
RESUMO
O presente estudo tem por objetivo investigar os conhecimentos profissionais de futuros professores de matemática, no que tange aos significados da divisão, em especial, a divisão entre frações. Essa pesquisa está baseada nos níveis de conhecimento de Shulman, nas categorias de conhecimento de Ball, Thames e Phelps, nos modelos de divisão de Ma e nos significados da divisão de Pinto e Monteiro. A pesquisa foi realizada com 11 alunos do curso de graduação, licenciatura em matemática de uma universidade particular da cidade de São Paulo entre os anos de 2012 e 2013. A investigação foi desenvolvida em três etapas. Na primeira etapa, foi feito um levantamento bibliográfico sobre o que as pesquisas existentes falavam sobre o tema. A segunda etapa consistiu na elaboração de uma intervenção que seria realizada junto à referida turma de licenciatura. A terceira etapa foi a realização da intervenção com a turma de licenciatura. Durante a pesquisa, aplicou-se uma série de 6 atividades que tratavam da divisão entre frações, por meio de situações problemas que traziam os significados da divisão propostos por Pinto e Monteiro. A análise dos dados foi feita qualitativamente. Os resultados mostraram, inicialmente, uma pontual carência no conhecimento dos futuros professores, ao se depararem com questões que exigiam certo grau de interpretação para se obter a resposta correta e a (re)construção dos conhecimentos necessários ao ensino, especialmente, o especializado e pedagógico do conteúdo
Palavras-chaves: modelos de divisão, significados da divisão, divisão entre frações, educação matemática.
ABSTRACT
The present study has the objective to investigate the professional knowledge of future mathematics teachers, with respect to the meanings of the division, in particular the division between fractions. This research is based on the knowledge levels of Shulman , the knowledge categories of Ball, Thames e Phelps, in the division models of Ma and the division meanings of Pinto and Monteiro. The research was conduced with 11 second year of teaching degree students, from a private university in São Paulo city between the years 2012 and 2013. The investigation was developed in three stages. In the first stage, we made a bibliographic investigation into the existing research about the spoke subject. The second stage consisted of developing an intervention to be conduced on second year of teaching degree students. The third stage was the completion of the intervention with the class degree. During the research, we applied a series of 6 activities that addressed the division between fractions, using problem situations that brought the division meanings proposed by Pinto and Monteiro. The data analysis was done qualitatively. The results showed a specific deficiency in the knowledge of future teachers, when they were faced with issues that required some degree of interpretation to give the correct answer and the (re) construction of knowledge needed for teaching, mainly the specialized and pedagogical content.
Key-words: division models, division meanings, division between fractions, mathematic education.
13
APRESENTAÇÃO
O presente estudo insere-se na linha de pesquisa “Formação de Professores que
Ensinam Matemática” do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo (UNIAN- SP).
Este trabalho é resultado de uma pesquisa de caráter qualitativo no qual
investigamos os conhecimentos de futuros professores de matemática do Estado de
São Paulo acerca do ensino da divisão entre frações. Nosso objetivo principal é
identificar quais são os conhecimentos necessários ao futuro professor de matemática
para que este venha a ensinar o conceito de divisão de forma significativa, algo que
está além do ensino de procedimentos dos algoritmos da divisão.
A pesquisa contou com a participação de um grupo de estudantes do segundo
ano de Licenciatura em Matemática de uma universidade particular da cidade de São
Paulo, por dois semestres. Durante a investigação foram feitas três sessões de
intervenções junto a esta turma, nas quais os futuros professores resolveram algumas
tarefas envolvendo divisão entre frações. Além dessas tarefas, os estudantes
participaram de discussões que abordavam os significados da divisão, a saber, a
divisão como medida, a divisão como partilha equitativa e a divisão como operação
inversa da multiplicação. Analisamos as respostas dos licenciandos, assim como as
questões discutidas e suas reflexões durante todo o processo.
Para desenvolver esta pesquisa, nos orientamos pela questão central que
apresentamos a seguir:
Quais são os conhecimentos profissionais de estudantes de um curso de
Licenciatura em Matemática evidenciados durante a participação de uma
intervenção que lhes sejam garantidos espaços para estudar os três
significados da divisão entre frações?
14
Para responder a esta questão de pesquisa, nos organizamos em três etapas:
1. Realização de uma pesquisa documental:
2. Elaboração da intervenção junto à referida turma de Licenciatura em Matemática,
em três encontros.
3. Análise dos dados obtidos durante a intervenção.
Coletamos os dados para este estudo por meio dos seguintes instrumentos:
1. Questionários;
2. Registros de observações colhidas durante as sessões de formação;
3. Registros feitos pelos licenciados.
Para a fundamentação teórica, fizemos uso dos estudos que tratam dos níveis de
conhecimento estipulados por Shulman (1986) e Ball (1990, 2008), além dos
significados da divisão sugeridos por Ma (1999) e Pinto e Monteiro (2008).
Apresentamos este estudo em cinco capítulos conforme descritos abaixo:
No primeiro capítulo tratamos dos motivos que nos levaram a investigar o
conhecimento de futuros professores de matemática sobre o ensino da divisão entre
frações. Mostramos a relevância do estudo tanto do ponto de vista pessoal como
teórico. Discutimos sobre as frustrações pessoais que um professor pode sofrer ao se
sentir incapaz de responder determinados questionamentos feitos por seus alunos e
sobre a importância de se ter o domínio do conhecimento do conteúdo e seus
significados. Apresentamos brevemente nossas escolhas tanto a respeito da
metodologia da pesquisa como dos teóricos que utilizamos na análise dos dados.
Indicamos ainda o objetivo principal para o desenvolvimento desta pesquisa que é
reconhecer quais são os saberes fundamentais necessários ao professor de
matemática.
No Capítulo 2, apresentamos uma descrição de algumas pesquisas existentes
sobre o tema escolhido. Nossa intenção foi ampliar a justificativa e discutir a teoria que
utilizamos neste estudo. Nesse capítulo apresentamos também resultados de
15
pesquisas que apontam o fato de que o sucesso no processo de aprendizagem
depende diretamente do repertório de conhecimentos do professor. No que tange ao
enfoque matemático, nos concentramos na divisão entre frações, pois segundo
estudos publicados, tradicionalmente no Brasil assim como em outros países (China,
Portugal e EUA), o ensino da divisão entre frações mantém o foco no ensino do
algoritmo “inverte e multiplica”, e se faz necessário ampliar o conhecimento de futuros
professores sobre esta temática. Por essa razão, achamos por bem desenvolver este
estudo visando investigar as causas e os efeitos produzidos no processo de
aprendizagem ocorrido em consequência de um ensino limitado a esse procedimento.
Na sequencia, ainda no segundo capítulo, fazemos um relato acerca do que
dizem as pesquisas sobre este assunto. A divisão entre frações é um tema
investigado em pesquisas voltadas para a educação matemática, e esses estudos nos
mostram que autores como Neves (2008), Ma (2009), Pinto e Monteiro (2008), Oliveira
Filho (2011) e Ponte (1998) concordam que "alunos e professores apresentam
dificuldades conceituais", pois "há uma evidente fragilidade no conhecimento
profissional docente" e que "os professores precisam ter um conhecimento profundo
acerca dos conteúdos ensinados".
No Capítulo 3, nos dedicamos à descrição das atividades realizadas durante os
encontros com a turma de licenciatura. Já os principais resultados da pesquisa são
descritos no capítulo 4, no qual as análises dos dados coletados foram realizadas
considerando a fundamentação teórica escolhida.
Para finalizar esta pesquisa, apresentamos nossas Considerações Finais
contendo nossas reflexões sobre os dados analisados, respostas relativas à nossa
questão de pesquisa e indicação de pesquisas que poderão ser realizadas
posteriormente. Dessa forma, diante dessas considerações, esperamos contribuir para
com pesquisas acadêmicas voltadas para essa temática de estudo.
16
CAPÍTULO 1: CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA
Neste primeiro capítulo realizamos um relato pessoal sobre os motivos que nos
levaram a desenvolver este trabalho e, em seguida, apresentamos o que dizem as
pesquisas acerca da divisão entre frações. Apresentamos ainda nosso objetivo e
questões de pesquisa e descrevemos o nosso percurso de investigação.
1.1 Antecedentes e motivações1
Sou professora da rede de ensino público do Estado de São Paulo desde maio de
2002. Iniciei minha carreira no magistério trabalhando como professora substituta,
quando procurei uma escola para efetuar meu estágio. Naquela época estava cursando
o último ano de Licenciatura em Matemática numa universidade particular na cidade de
Santo André, em São Paulo. Por coincidência, o diretor da escola havia sido meu
professor no ensino médio e acabou por me convidar para compor o quadro de
professores eventuais daquela escola, pois a falta de professores em sala de aula já
era algo bastante comum naquela época. Pois bem, no auge dos meus 22 anos de
idade, estava eu assumindo minha primeira aula de Matemática, no posto de
professora, numa turma de 8ª série, hoje conhecida por 9º ano. O professor titular da
turma havia se afastado por um problema de saúde e o tema que estava sendo
trabalhado era o Teorema de Tales. Para minha surpresa, um assunto com o qual eu,
uma futura professora de matemática, prestes a obter a licenciatura, nunca havia tido
contanto anteriormente, nem no ensino médio, nem na graduação. Tive que me
preparar para entrar na sala de aula, estudando o assunto com algumas poucas horas
de antecedência. Então, fiz o que pude. Mas a insegurança em estar ali, diante daquela
turma era algo inevitável. Primeiramente, por ser minha primeira vez em sala de aula, e
para agravar minha situação, precisava ensinar um conteúdo, do qual eu não tinha
conhecimento.
1 Esta subseção é apresentada na primeira pessoa do singular por tratar-se de experiências pessoais da pesquisadora.
O restante do trabalho será escrito na primeira pessoa do plural, por acreditarmos que esta investigação é fruto dos
nossos estudos, das contribuições da orientadora, banca além dentre outros.
17
Lembro-me dessa situação com desgosto, pois certamente aquele conteúdo não
foi ensinado de forma plena para aquela turma de 8ª série. Por fim, o professor titular
retornou e, quero acreditar, aqueles alunos não concluíram o ensino fundamental sem
aprenderem o Teorema de Tales, tal como aconteceu comigo.
Tendo superado essa dificuldade, ao longo dos meses que permaneci naquela
unidade escolar, fui compreendendo quão grande era a minha necessidade de
aprimorar meus conhecimentos sobre os conteúdos matemáticos ensinados na escola
regular.
Os dias foram se passando. Como aluna do último ano da graduação, aquele foi
um período em que eu estava muito envolvida com o assunto do meu trabalho de
conclusão de curso. O tema que estava estudando era o ensino da Matemática para
alunos surdos. Eu estava numa escola que recebia alunos com necessidades
educacionais especiais, e dentre aqueles alunos, havia dois com deficiência auditiva.
Grata surpresa tê-los conhecido durante o desenvolvimento do meu trabalho. Durante
os momentos de intervalo entre uma aula e outra, aproveitava para registrar aquela
experiência com os alunos surdos e isso me ajudou bastante. Acredito que meu desejo
por compreender as necessidades de aprendizado dos alunos nasceu naquele período
em que estive naquela escola, ainda como estudante de graduação.
No ano de 2003, continuei trabalhando como professora eventual em outras
unidades escolares da rede pública de São Paulo, na cidade de Mauá. Quanto mais
tempo eu passava em sala de aula, maiores eram as lacunas que eu encontrava nos
meus conhecimentos necessários para lecionar. Tendo já concluído minha graduação,
aos poucos fui compreendendo que o quê eu havia estudado durante o curso tinha
pouca conexão com o que eu precisava ensinar para os meus alunos. Continuar
estudando era necessário. E assim eu fiz.
Naquele ano, frequentei várias oficinas e mini cursos oferecidos pelo Centro de
Aperfeiçoamento ao Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e
Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP).
18
No final de 2003, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo, promoveu um
concurso para efetivação de professores da rede pública, no qual fui aprovada. Passei
o ano de 2004 aguardando a convocação para assumir o posto de professora efetiva da
rede estadual e, durante o período de espera, continuei frequentando os cursos
oferecidos pelo CAEM.
Finalmente, em janeiro de 2005 fui convocada e tive minha contratação efetivada
pelo Estado. Pela primeira vez, seria eu a professora titular das turmas de Matemática
com as quais já estava acostumada a trabalhar como professora eventual.
Escolhi assumir meu cargo na mesma escola que já trabalhava desde 2003.
Escola a qual cursei todo o ensino fundamental durante a infância, localizada no bairro
onde nasci, em meio a comunidade que me viu crescer. Era meu quarto ano como
professora. Desde a faculdade, algumas coisas já haviam mudado na minha concepção
de magistério. Já não era tão ignorante quanto aos conteúdos que deveria ensinar e,
nessa época, sentia certa segurança em lidar com os adolescentes. Estar em sala de
aula, era algo confortante para mim.
Pois bem. Com a reforma do Currículo Estadual de 2008, eis que surgiram novos
desafios. Um curso que apresentava um material a ser desenvolvido na sala, com
conteúdo, muitas vezes, apresentado de forma diferente da que eu estava acontumada.
Tudo novo. Aquilo que eu sabia, precisava se adequar à nova realidade do ensino da
Matemática. Uma nova batalha se travou dentro da minha mente. Horas de estudos e
pesquisas, buscando compreender a nova proposta de ensino. Eu precisava superar
essa dificuldade, pois aquele era meu trabalho. Era hora de voltar para sala de aula
como aluna, em busca de compreensão dos pressupostos que envolviam as novas
metodologias indicadas.
Em 2009, me matriculei num curso de Especialização em Educação Matemática
na mesma Universidade particular da cidade de Santo André, aonde havia cursado a
graduação. A constante troca de experiência profissional durante o curso e todas as
metodologias de ensino sugeridas na grade curricular, me forneceram subsídios para a
compreensão do atual Currículo de Matemática. Mas sentia que ainda não era o
suficiente.
19
Novamente, estava eu diante de temas por mim desconhecidos. Dessa vez, meu
trabalho de conclusão da especialização tratava sobre as Dízimas Periódicas, em
especial, as dízimas cíclicas que apesar de serem consideradas uma curiosidade por
um grande geômetra do qual tive a honra de ser aluna, era um assunto que me
fascinava.
Ao concluir esse curso, uma das professoras me convidou para participar do
processo seletivo do programa de Mestrado da Universidade Anhanguera na cidade de
São Paulo. Minha primeira reação foi de espanto e recusa, pois sempre vi o curso de
Mestrado como algo inalcançável para mim. Eu tinha consciência das exigências que
um curso deste nível requer e tinha medo inclusive de participar do processo seletivo.
Aquela professora, tão querida, de forma carinhosa acabou por me convencer de que
eu era capaz e que ela me ajudaria no que fosse possível. Assim sendo, fiz minha
inscrição e para minha surpresa, fui aceita para o programa de Mestrado da UNIAN, no
início de 2012.
Quando iniciei neste programa, não fazia ideia sobre o que iria estudar, mas me
inclinava a pesquisar sobre o ensino dos números racionais. Ao longo do tempo em que
estive lecionando, ficou claro para mim que, dentre todos os conjuntos numéricos, os
números racionais em sua representação fracionária era um dos temas com mais
dificuldade de compreensão por parte dos alunos. Mas, para qual área do ensino das
frações eu iria me direcionar?
Com a ajuda da minha orientadora, decidimos pelo tema ensino da divisão entre
frações. Assim, com base em minha experiência como aluna de graduação e como
professora de Matemática, resolvemos investigar os conhecimentos profissionais de
futuros professores de Matemática sobre os significados da divisão, tendo como objeto
principal o ensino da divisão entre frações.
20
1.2 Os processos de ensino e de aprendizagem da divisão entre frações:
problemática
No que se refere às dificuldades apresentadas por alunos e professores com
relação à divisão entre frações, observamos em uma revisão bibliográfica inicial a
existência de diversos estudos no âmbito da Educação Matemática.
Neves (2008), por exemplo, ao fazer a revisão bibliográfica para sua tese de
doutorado cujo tema central era a divisão e os números racionais, após analisar
quarenta e dois estudos nacionais e internacionais publicados no período de 1999 a
2006 observou que “alunos e professores apresentam dificuldades conceituais”
(NEVES, 2008, p.vi). A autora complementa que tal fato potencializa a redução da
capacidade de compreensão do aluno uma vez que os estudos:
(...) sugerem que o ensino desses conteúdos tem priorizado o uso de regras em detrimento da elaboração conceitual, não ampliando a compreensão dos sistemas numéricos e das interações entre as operações e engendrando rupturas conceituais entre os números naturais e os racionais. (NEVES, 2008, p.vi).
Ao confrontar professores americanos num estudo comparativo sobre o
conhecimento profissional entre professores chineses e americanos a respeito da
divisão envolvendo frações, Liping Ma (2009) verificou que 57% dos entrevistados não
conseguiram apresentar a resposta correta da divisão de 2
1
4
31 . “Dos 23 professores
americanos, 21 tentaram calcular 2
1
4
31 , mas apenas nove (43%) completaram seus
cálculos e obtiveram a resposta correta.” (MA, 2009, p.114). Esse resultado nos
instigou a questionar sobre qual seria o resultado de uma investigação semelhante a
essa no Brasil, sobretudo, entre futuros professores, foco de nossa pesquisa.
Além disso, em um levantamento bibliográfico preliminar, tomamos conhecimento
do trabalho das pesquisadoras Hélia Pinto e Cecília Monteiro (2008). As autoras, de
forma análoga a Ma (2009), levantaram um estudo sobre os três significados da
divisão (a divisão como medida, como partilha equitativa e como operação inversa da
21
multiplicação). Esse estudo, de natureza teórica, nos ajudou na compreensão dos
significados também explorados por Ma (2009). Para mostrar a relevância do estudo,
Pinto e Monteiro (2008) chamam a atenção para o fato de que em Portugal as
dificuldades na compreensão deste tópico por parte dos alunos têm origem na prática
docente. Segundo as pesquisadoras:
(...) ainda persiste a ideia de que ensinar a divisão é ensinar a realizar o algoritmo da divisão em vez de desenvolver o conceito (...). Para que os alunos possam compreender de forma significativa a divisão de números racionais, os professores precisam ter um conhecimento profundo acerca desta operação e das conexões que tem com outras operações de modo a que selecionem problemas e projetem tarefas adequadas. (PINTO e MONTEIRO, 2008, p.201).
Ainda tratando do mesmo assunto, no Brasil, o pesquisador Dario Vieira de
Oliveira Filho (2011), constatou que “há uma evidente fragilidade no conhecimento
profissional docente” no que concerne ao ensino das operações envolvendo frações:
Fica explícita a necessidade de rediscutir as formas de se tratar a temática fração nos cursos de formação inicial e continuada de professores. A partir dos depoimentos dos docentes envolvidos nesta pesquisa, foi possível identificar a influência das dificuldades relativas ao conhecimento matemático na prática docente. (OLIVEIRA FILHO, 2011, p.150).
Entende-se desta forma, que a maneira como o professor venha a abordar o
ensino da divisão entre os números racionais pode interferir diretamente na
compreensão dos alunos, haja vista que outras pesquisas apontam que as
concepções do professor influenciam diretamente na qualidade do aprendizado. João
Pedro da Ponte (1998), por exemplo, estabelece uma relação intrínseca entre o
conhecimento do professor e os processos de ensino e de aprendizagem. O autor
afirma que:
Na verdade, um professor, para exercer adequadamente a sua actividade profissional, tem (a) de ter bons conhecimentos e uma boa
22
relação com a Matemática, (b) de conhecer em profundidade o currículo e ser capaz de o recriar de acordo com a sua situação de trabalho, (c) de conhecer o aluno e a aprendizagem, (d) dominar os processos de instrução, os diversos métodos e técnicas, relacionando-os com os objectivos e conteúdos curriculares, (e) conhecer bem o seu contexto de trabalho, nomeadamente a escola e o sistema educativo e (f) conhecer-se a si mesmo como profissional. (PONTE,1998, p.4)
Diante dessas primeiras constatações, acreditamos que a compreensão dos
alunos sobre os significados da divisão depende do conhecimento do professor. De
acordo com as pesquisas mencionadas, existe uma pontual carência do conhecimento
dos professores sobre este assunto em diversos países. Dessa forma, consideramos
ser relevante investigar a influência das abordagens dos diferentes significados no
desenvolvimento profissional docente de um curso de formação inicial.
1.3 Objetivos e questões de pesquisa
1.3.1 Nosso objeto de pesquisa: o futuro professor de matemática.
Esta pesquisa tem como objeto matemático a divisão entre frações e como
sujeito principal estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática de uma
universidade particular localizada na cidade de São Paulo, (futuros professores de
matemática que, possivelmente, virão a exercer sua função nesse mesmo Estado).
Nosso estudo tem por finalidade analisar os procedimentos de reconstrução dos
conhecimentos profissionais de futuros professores que lecionarão Matemática para os
anos finais da educação básica sobre a utilização de diferentes significados para
ensinar o conceito de divisão de fração.
Para desenvolver nosso estudo pretendemos responder às seguintes questões:
Quais são os conhecimentos profissionais explicitados por estudantes de um
curso de Licenciatura em Matemática no qual lhes sejam garantidos espaços
para estudar os três significados da divisão com frações?
Esta questão pode ser respondida com o auxílio de outras perguntas:
23
Quais são as concepções que os futuros professores de Matemática têm em
relação aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de divisão entre
frações?
Quais são as reflexões explicitadas pelos futuros professores durante uma
sequência de aulas de um curso de Licenciatura em Matemática em que se
propõe a discussão de diferentes significados da divisão entre fração?
24
1.4 O percurso da investigação
Para o desenvolvimento desta pesquisa, iniciamos nossos estudos fazendo uma
análise bibliográfica em alguns trabalhos publicados que tratam de temas relacionados
ao ensino da divisão e seus significados, em especial, a divisão entre frações.
Com base nestes estudos, achamos por bem elaborarmos uma sequência de
atividades com o objetivo de investigar a reconstrução de conhecimentos de futuros
professores de Matemática acerca da divisão entre frações e seus significados. Sendo
assim, selecionamos e desenvolvemos algumas atividades que trataram do mesmo
assunto, afim de serem trabalhadas durante as aulas com os nossos sujeitos de
pesquisa.
A sequência foi desenvolvida em quatro aulas de três horas de duração, as quais
chamaremos de sessões.
Sessão 1: Foi aplicado um instrumento diagnóstico que investigava a capacidade dos
indivíduos em efetuarem o cálculo de 2
1
4
31 e elaborar quatro situações problemas
que ilustrassem essa divisão com situações cotidianas.
Sessão 2: Foram apresentadas aos futuros professores o significado da divisão como
medida, de acordo com Pinto e Monteiro (2008).
Sessão 3: Foram apresentadas aos futuros professores os significados da divisão
como partilha equitativa e como operação inversa da multiplicação (Pinto e Monteiro,
2008). Neste encontro também mostramos as semelhanças existentes esses
significados e os modelos de divisão de acordo com Ma (1999). Após este estudo,
solicitamos que os futuros professores analisassem e solucionassem um problema
envolvendo divisão entre frações, baseado numa atividade do Currículo oficial de
Matemática do Estado de São Paulo.
Sessão 4: Foi realizada um semestre após os primeiros encontros. Nessa sessão
retomamos a discussão sobre os significados da divisão e propusemos que os
indivíduos reformulassem os problemas por eles elaborados, com o objetivo de
investigar se eram capazes de reconhecer os erros cometidos inicialmente e corrigi-los
autonomamente.
25
CAPÍTULO 2: AS PESQUISAS SOBRE O TEMA E O CURRÍCULO
PROPOSTO
Para o desenvolvimento deste estudo, tomamos como base um quadro teórico
relacionado tanto à formação de professores quanto ao objeto matemático divisão entre
frações. Quanto ao primeiro enfoque procuramos, em particular, os que tratam do
conhecimento profissional docente e da reflexão sobre a prática. Para tanto, utilizamos
ideias divulgadas por Shulman (1986), e Ball, Thames & Phelps (2008). Quanto ao
segundo enfoque, nos referenciaremos nos estudos de Ball (1990), Ma (1999) e Pinto e
Monteiro (2008) sobre os diferentes significados da divisão com frações. Nos
apoiaremos também na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990).
2.1 Sobre os conhecimentos necessários ao ensino
Sobre essa temática, nossa investigação fundamentou a análise dos dados
especialmente nos estudos de Shulman (1986) e Ball et al (2008).
2.1.1 Conhecimento Profissional docente na perspectiva de Shulman
Nos EUA, Lee S. Shulman (1986) faz uma discussão sobre a importância em
manter o equilíbrio entre o conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico.
Ele afirma que no século XIX, a realização plena do trabalho pedagógico concentrava-
se no conhecimento do conteúdo. Para esse autor, em muitas pesquisas sobre ensino
existe uma lacuna quanto às questões centrais sobre o conteúdo das lições ensinadas
e que o tema principal nesses trabalhos são as metodologias de ensino utilizadas pelos
professores. Shulman considera esse ponto cego nas investigações desenvolvidas na
segunda metade do século XX como um paradigma perdido.
Lendo a literatura de pesquisas sobre o ensino, está claro que questões centrais não são feitas. A ênfase está sobre como os professores dirigem suas salas de aula, organizam atividades, administram o tempo e como estruturam as atribuições, como atribuem elogios e críticas,
26
como formulam os níveis de suas perguntas, como planejam suas aulas, e julgam a compreensão dos alunos em geral. Nós sentimos falta de questões sobre o conteúdo das lições ensinadas, as questões feitas, e as explanações oferecidas. (SHULMAN, 1986 p.10)
Em seu estudo, Shulman ainda apresenta os domínios e categorias de
conhecimentos que um professor deve ter em mente e qual a relação existente entre os
conhecimentos do conteúdo e os conhecimentos pedagógicos gerais. O autor faz uma
classificação dessas categorias de conhecimento da seguinte maneira:
Conhecimento do conteúdo específico: segundo o autor, é aquele que “se
refere à quantidade e organização do conhecimento em si, na mente do professor”.
Este tipo de conhecimento está relacionado diretamente aos conteúdos que o professor
deve ser capaz de ensinar de forma compreensível durante certo período de acordo
com a maturação dos seus alunos. Para Shulman:
Os professores devem não apenas ser capazes de definir para os estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também ser capazes de explicar por que uma proposição particular é considerada justificada, porque vale a pena conhecer, e como se relaciona com outras proposições, tanto no âmbito da disciplina ou fora dela, tanto na teoria quanto na prática. (SHULMAN, 1986 p.13)
Nesse nível de conhecimento, espera-se que o professor tenha ao menos o
domínio mínimo do assunto, quando comparado ao conhecimento de uma pessoa leiga.
Ele deve compreender os fundamentos do tópico que está ensinando, sua estruturação
e seus significados. O professor também deve ser capaz de justificar a relevância dos
conteúdos abordados, a fim de classifica-los como centrais ou periféricos.
Conhecimento pedagógico do conteúdo: Este tipo de conhecimento abrange
outros significados além do anterior. De acordo com Shulman, ele diz respeito a temas
específicos do conteúdo que são importantes no processo de ensino: “suas formas
mais úteis na representação das ideias, as analogias mais poderosas, ilustrações,
27
exemplos, explanações e demonstrações... de forma a tornar o assunto compreensível
aos outros.” (SHULMAN, 1986, p.14)
O professor deve possuir um repertório particular que o ajude a atingir o
entendimento dos alunos acerca de determinada temática. O conhecimento pedagógico
do conteúdo também é útil para classificar os tópicos ensinados como fáceis ou difíceis.
Ele permite que o professor seja capaz de identificar as dificuldades dos alunos em
compreender esses conteúdos de forma a evitar que os alunos sejam vistos como
desprovidos de conhecimentos e suas mentes sejam vistas como um “quadro branco”
pronto a ser usado.
Conhecimento curricular: Nessa terceira categoria de conhecimento, Shulman
discute a importância do conhecimento curricular. Há uma investigação sobre as
concepções consideradas para a construção de um programa de ensino e como seus
temas devem ser distribuídos de acordo com os níveis de aprendizagem. O autor ainda
cria uma ilustração comparando os conteúdos a serem ensinados e o currículo com
medicamentos receitados por um médico, cujo objetivo é curar a enfermidade.
O currículo e os materiais associados são a matéria médica de pedagogia, a farmacopeia de que o professor chama a essas ferramentas de ensino que apresentam ou exemplificam o conteúdo particular e corrige ou avalia a adequação das realizações dos alunos. Esperamos que o médico maduro compreenda toda a gama de tratamentos para melhorar uma determinada doença... Do mesmo modo, devemos esperar que o professor maduro venha a possuir tais entendimentos sobre as alternativas disponíveis para o ensino curricular. (SHULMAN, 1986, p.15)
Para Shulman, conhecer os conteúdos relacionados à sua disciplina não é
suficiente para um professor. O professor também deve ter conhecimento acerca dos
temas trabalhados por outros professores simultaneamente, para que ele seja capaz de
relacionar o conteúdo que está trabalhando com os diversos assuntos estudados pelos
alunos em outras matérias.
28
2.1.2 Conhecimento Profissional docente na perspectiva de Ball e colegas
Considerando o trabalho realizado por Shulman, a pesquisadora americana
Debora Loewenberg Ball (1990) desenvolveu investigação que analisou o
conhecimento pedagógico e as concepções de futuros professores de ensino
fundamental e médio sobre o ensino da matemática, em especial, o ensino da divisão.
A autora abordou três aspectos da divisão: a divisão entre frações, a divisão por zero e
a divisão envolvendo equações algébricas. Durante o desenvolvimento da pesquisa,
foram tomados como relevantes a compreensão sobre o assunto, as ideias acerca do
ensino e da aprendizagem e o ponto de vista pessoal dos futuros professores sobre
qual é o papel do professor em sala de aula.
Essa investigação deu origem ao projeto de pesquisa que a autora vem
desenvolvendo ao longo dos últimos anos juntamente com outros pesquisadores, no
qual procuram investigar os conhecimentos necessários para o ensino da matemática
de professores americanos. Para representar suas hipóteses Ball et al (2008) propõe
um refinamento para categorias de Shulman. A Figura 1 mostra a correspondência
entre as categorias fundamentais de conhecimento estipuladas por Shulman (1986) e a
subdivisão conceitual dada por Ball.
Figura 1. Esquema de comparação dos níveis de conhecimentos segundo Shulman (1986) às categorias de conhecimentos de acordo de Ball et al (2008).
29
Fonte: BALL et al, 2008, p.5
Conhecimento do conteúdo comum (CCK): Segundo Ball et al (2008)
Conhecimento do conteúdo comum é o conhecimento que qualquer pessoa, professor
ou não, possui sobre um determinado conteúdo. Essa categoria abrange o
conhecimento do assunto e de suas estruturas organizacionais, necessário para nortear
o professor sobre o que é legítimo ensinar ou não. O professor deve ser capaz de:
... saber quando os estudantes têm respostas erradas, reconhecer quando o livro didático dá uma definição incorreta, e ser capaz de usar termos e notações corretamente quando fala e escreve na lousa. (BALL et al, 2008, p.6, tradução nossa 2)
Conhecimento do Conteúdo Especializado (SCK): Os autores afirmam que
essa categoria de conhecimento refere-se ao conhecimento estritamente matemático
necessário ao ensino. O professor deve ser capaz de avaliar os erros dos alunos a fim
de identificar a fonte deste erro rapidamente, e assim tomar providencias para sanar o
problema, orientando os alunos de forma eficiente e fluente.
Análises como essas são características do trabalho distintivo que o professor faz e elas requerem um tipo de raciocínio matemática que a maioria dos estudos não precisam fazer em uma base regular (BALL et al, 2008, p.7, tradução nossa3)
Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes (KCS): Ball et al (2008) define
essa categoria como o resultado da experiência do professor no magistério, ou seja,
sua experiência com os estudantes e com o conhecimento de seus pensamentos.
Neste caso, a experiência do professor auxilia no diagnóstico dos erros e suas
possíveis causas. Sem o conhecimento do conteúdo e dos estudantes é inútil ter o
conhecimento do conteúdo específico ao ensinar.
2...knowing when students have answers wrong, recognizing when the textbook gives an inaccurate
definition, and being able to use terms and notation correctly when speaking and writing at the board. (BALL et al, 2008, p.6) 3 Analysis such as this are characteristic of the distinctive work teachers do and they require a kind of mathematical reasoning that most adults do not need to do on a regular basis (BALL et aL, 2008, p.7).
30
É claro, considerações matemáticas deste tipo [referindo-se a avaliações de erros] só valem a pena se o professor souber o suficiente sobre estudantes e ensino para fazer uso disto, mas o ponto que nós queremos aqui é que o trabalho do professor constitui uma forma de resolver problemas matemáticos que vive dentro do trabalho de ensinar. (BALL et al, 2008, p.8, tradução nossa4)
Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT): O conhecimento do conteúdo
e do ensino é aquele que permite que o professor reconheça a sequência didática que
deve ser aplicada para que não haja lacunas no processo de ensino e de
aprendizagem. É um conhecimento que conecta a compreensão matemática específica
e a compreensão de assuntos pedagógicos que viabilizam a aprendizagem dos alunos.
Os professores precisam sequenciar um conteúdo particular para instrução, decidindo com qual exemplo começar e quais exemplos usar para levar os estudantes profundamente dentro do conteúdo. Eles precisam avaliar as vantagens instrucionais e desvantagens de representações usadas para ensinar uma ideia específica. (BALL et al, 2008, p.9, tradução feita por nós5)
Conhecimento curricular do conteúdo: De acordo com Ball et al (2008) o
conhecimento curricular do conteúdo é aquele que permite que o professor tenha
domínio sobre a gama de programas e assuntos designados para o ensino, de acordo
com cada nível de aprendizagem. O professor deve conhecer os materiais didáticos
que estão à sua disposição, além das indicações e contraindicações para uso do
currículo ou desses materiais de acordo com cada situação específica. (Shulman, 1986,
apud Ball et al, 2008 p.2)
A segunda categoria, [referindo-se aos níveis de conhecimentos de Shulman, 1986] conhecimento curricular, é representado pela ampla gama de programas designados para o ensino de assuntos e tópicos particulares em dado nível, a variedade de materiais instrucionais
4 Of course, mathematical consideration of this kind is worthwhile only if a teacher knows enough about students and teaching to make use of it, but the point we want to make here is that the work teachers do constitutes a form of mathematical problem solving that lives inside the work of teaching. (BALL et al, 2008, p.8) 5 Teachers need to sequence particular content for instruction, deciding which example to start with and
which examples to use to take students deeper into the content. They need to evaluate the instructional advantages and disadvantages of representations used to teach a specific idea.
31
disponíveis em relação àqueles programas. E o conjunto de características que atendem tanto as indicações e as contraindicações para o uso de determinado currículo ou materiais dos programas em circunstâncias específicas. (SHULMAN 1986b apud BALL et al, 2008, p.2, tradução nossa6).
2.2 Conhecimentos Necessários para o Ensino da Divisão entre Frações: o que
dizem as pesquisas
Para o tópico “divisão entre frações”, Ball (1990) utilizou como tema central a
elaboração de uma história que ilustrasse a divisão 2
1
4
31 . Os resultados obtidos pela
autora apontaram que grande parte dos pesquisados não foi capaz de criar uma
situação problema que atendesse a divisão sugerida, pois afirmavam que era
impossível conectar tal divisão com uma situação da vida real. Segundo Ball (1990),
alguns dos futuros professores tinham uma visão distorcida da matemática,
considerando que ela não possuía necessariamente total aplicação na vida prática e
lacunas nos conhecimentos necessários para o ensino.
As respostas dos candidatos a professores ao serem solicitados a
resolver e desenvolver uma representação para 2
1
4
31 sugeriram que
eles perceberam que a tarefa era sobre frações, não divisão. Quando perguntamos, por exemplo, o que criava esta dificuldade, a maioria
comentou que era difícil (ou impossível) relacionar 2
1
4
31 com a vida
real, porque, como um disse, "você não pensa em frações, você pensa mais em números inteiros". Não somente suas explicações revelavam que eles enquadravam o problema em termos de frações, mas também que muitos estavam desconfortáveis com frações como quantidades. Muitos comentaram que eles não gostavam de frações. (BALL, 1990, p.134, tradução nossa7).
6 The second category, curricular knowledge, is “represented by the full range of programs designed for the teaching of particular subjects and topics at a given level, the variety of instructional materials available in relation to those programs, and the set of characteristics that serve as both the indications and contraindications for the use of particular curriculum or program materials in particular circumstances” (Shulman, 1986b, p.10). 7 The teacher candidates' responses to being asked to solve and to develop a representation for
32
Um erro recorrente identificado por Ball foi a confusão criada pelos futuros
professores pesquisados ao desenvolver uma história ilustrando a divisão por dois, e
não por meio, como foi solicitado.
Dentre os dezenove candidatos a professores, apenas dois participantes puderam
identificar que a divisão por meio não correspondia à divisão por dois, ainda que não
tivessem a compreensão do significado da divisão por meio.
Dois participantes (fundamental e um médio) reconheceram o problema conceitual. Eles inicialmente propuseram histórias ou modelos que representavam a divisão por dois e, em seguida, percebi que eles estavam representando divisão pela metade [referindo-se à divisão por dois], não por meio. (BALL, 1990, p.136)
Além destes, alguns dos participantes não foram capazes de desenvolver sequer
um exemplo, correto ou incorreto.
A partir das concepções de Shulman e Ball, a pesquisadora chinesa Liping Ma
(1999) considerando o modelo sugerido por Ball na divisão 2
1
4
31 , desenvolveu um
estudo comparativo entre professores chineses e americanos acerca da compreensão
dos significados da divisão. Neste estudo, Ma destaca a importância do domínio dos
professores acerca dos três níveis de modelos relacionais, classificando-os como
modelo de divisão por agrupamento, modelo de divisão como repartição e modelo de
divisão como produto e fatores. Seguindo a mesma linha de pesquisa que Liping Ma, as
pesquisadoras portuguesas Hélia Pinto e Cecília Monteiro (2008) desenvolveram um
estudo baseando-se em três categorias de significados de divisão: a divisão como
medida, a divisão como partilha equitativa e a divisão como operação inversa da
multiplicação. O quadro, a seguir, nos dá um parâmetro de comparação entre os
1 ¾ ½ suggested that they perceived the task to be about fractions, not division. When asked, for
example, what made this difficult, most commented that it was hard (or impossible) to relate 1 ¾ ½ to
real life because, as one said, "you don't think in fractions, you think more in whole numbers.”. Not only
did their explanations reveal that they framed the problem in terms of fractions, but also that many were
uncomfortable with fractions as quantities. Several commented that they did not like fractions.
33
modelos de divisão de Ma (1999) e os significados da divisão de Pinto e Monteiro
(2008):
QUADRO 1: Comparação entre os modelos de divisão segundo Ma (1999) e os
significados da divisão de divisão segundo Pinto e Monteiro (2008)
MA (1999)
PINTO E MONTEIRO
(2008)
SIGNIFICADOS
AGRUPAMENTO DIVISÃO COMO
MEDIDA
Quantas vezes cabem o
divisor dentro do dividendo.
REPARTIÇÃO PARTILHA
EQUITATIVA
O divisor e o quociente são
da mesma natureza e o
quociente representa o valor
que cabe a cada um dos
elementos do divisor.
PRODUTO E FATORES OPERAÇÃO INVERSA
DA MULTIPLICAÇÃO
Há uma relação
multiplicativa entre três
medidas, onde multiplicando
um valor desconhecido pelo
divisor o resultado é o
dividendo.
De acordo com Ma, o modelo de agrupamento consiste em encontrar quantas
vezes o divisor cabe dentro do dividendo. Neste modelo deve-se considerar:
(...) quantas vezes um número é relativamente a outro número. Por exemplo, quantas vezes o número 10 é relativamente ao número 2? Dividimos 10 por 2 e obtemos 5. 10 é 5 vezes 2. É a isto que chamamos o modelo de agrupamento. (MA, 1999, p.139)
O modelo de repartição da divisão definido por Ma (1999) consiste em separar o
dividendo em tantas partes iguais quantas indicadas pelo divisor, e verificar quanto vale
essa parte. Neste modelo, o dividendo e o quociente são da mesma natureza e o
34
quociente representa o valor que cabe a cada um dos elementos do divisor. Para a
divisão utilizada como questão central da pesquisa: “(...) o modelo de repartição da
divisão entre frações – “encontrar um número tal que 2
1 dele seja
4
31 ”.” (MA, 1999,
p.140).
Ma (1999) define o modelo de produto e fatores como o ato de encontrar um fator
que multiplicado pelo divisor dê origem ao dividendo. Segundo a autora, neste modelo
há uma relação multiplicativa entre três medidas, no qual multiplicando um valor
desconhecido pelo divisor o resultado é o dividendo. Este é um modelo de divisão,
geralmente associado a situações problemas que envolvem cálculos de área de
quadriláteros ou circunferências relacionados a frações. “Se um lado de um retângulo
de 4
31 metros quadrados [de área] mede
2
1 metro, qual é o comprimento do outro
lado?” (MA, 1999, p. 138).
Para Pinto e Monteiro (2008), na divisão como medida, o divisor e dividendo são
da mesma natureza e o divisor pode ser entendido como a quantidade de vezes que ele
cabe no dividendo. Ou seja, toma-se o divisor como unidade de medida para se medir o
dividendo. Naturalmente são divisões que induzem os alunos a fazer agrupamentos dos
itens a serem divididos:
48 bolachas foram colocadas em caixas com 4 cada uma, quantas caixas são necessárias?” Pretende-se pois determinar o número de grupos, dando a dimensão de cada grupo [...] Numa fase mais avançada [os alunos] percebem que têm de procurar o fator escalar que lhes diz quantas vezes o divisor cabe no dividendo. (PINTO e MONTEIRO, 2008, p.203)
O segundo significado da divisão discutidos por Pinto e Monteiro (2008)
denomina-se divisão como partilha equitativa. Neste significado da divisão o dividendo
e o quociente são da mesma natureza. Nos problemas que envolvem este significado,
pretende-se determinar o tamanho do grupo que caberá a cada elemento do divisor.
Pinto e Monteiro (2008) sugerem que o uso de situações contextualizadas proporciona
35
melhor compreensão das situações apresentadas, o que gera certa clareza na
esquematização de algoritmos da divisão, propiciando resultados de forma significativa.
“São situações que pretendem determinar o tamanho de cada grupo, ou seja, o valor
que cabe a cada um dos elementos do divisor” (PINTO E MONTEIRO, 2008, p.208).
Por exemplo:
Neste caso, deve-se determinar o número de balas que cabe a cada garota.
Assim, 5315 . Logo, cada uma receberá 5 balas.
O terceiro significado de divisão discutido pelas autoras é o chamado divisão
como operação inversa da multiplicação. “Nesta categoria de situações, existe uma
relação multiplicativa entre três medidas sendo uma delas o produto de outras duas.”
(PINTO E MONTEIRO, 2008). Geralmente este significado vem atrelado a situações
problemas que envolvem divisão de áreas. Neste caso, temos o produto entre dois
fatores, sendo um deles um valor desconhecido a ser determinado: bxa , onde a e b
são valores conhecidos e x é uma incógnita, ou seja, abx .
Assim como em outros países, tradicionalmente no Brasil, o processo de divisão
envolvendo frações concentra-se no algoritmo conhecido como Inverter o divisor e
multiplicar. Não há problema algum no uso deste algoritmo. Porém a falta de
compreensão do processo de divisão quando ele é ensinado pode gerar lacunas
comprometendo todo o processo de aprendizagem da divisão entre frações. Muitas
vezes o algoritmo “inverter o divisor e multiplicar (IM)” é ensinado sem conexão com o
significado da operação. Os alunos realizam as tarefas seguindo o procedimento sem
alcançar a compreensão do por que da funcionalidade do algoritmo. Um dos erros
recorrentes entre crianças de 11 e 12 anos que estão aprendendo o processo de
divisão entre frações é inverter o dividendo, o que indica uma completa incompreensão
do que estão fazendo. É necessário que haja uma compreensão significativa deste
conceito, para que sua realização não seja uma mera manipulação de números (PINTO
e MONTEIRO, 2008).
Clara tem 15 balas e deseja distribuir igualmente entre 3 amigas. Quantas balas cada uma receberá?
36
Para Pinto e Monteiro (2008), é importante que se ofereça aos alunos a
oportunidade de vivenciarem experiências de divisão que envolvam o significado de
partilha equitativa, e que este estudo seja ampliado para outros estudos direcionados
aos significados da divisão como medida e a divisão como operação inversa da
multiplicação.
As autoras, assim como Ball (1990) e Ma (1999), apoiadas em Shulman (1986),
destacam a importância do conhecimento do conteúdo específico. Elas afirmam que o
sucesso do aprendizado significativo depende diretamente do conhecimento dos
professores quanto à conexão entre divisão e multiplicação com frações para que eles
possam criar tarefas que promovam reflexão sobre o efetivo significado da divisão. “É
fundamental que os professores possuam um conhecimento bastante aprofundado da
divisão, na sua relação com a multiplicação e das suas propriedades.” (PINTO e
MONTEIRO, 2008, p.218).
No que tange ao ensino das frações, este “tema tem sido apontado pelos
professores como um dos mais problemáticos na aprendizagem da matemática das
séries iniciais” (BERTONI, 2004). A autora afirma que tais dificuldades têm sido tão
acentuadas pelas avaliações externas, ao ponto de implicar na diminuição à ênfase do
ensino das frações neste segmento de ensino.
É o caso dos Parâmetros Curriculares Nacionais, cujas orientações vão no sentido de eliminar das séries iniciais as operações com números racionais na representação fracionária. A matriz de descritores da 4ª série do SAEB – Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica, MEC/INEP - também não inclui essas operações. (BERTONI, 2004, p.1).
Bertoni ainda destaca que não há uma preocupação em se preencher esta lacuna
do aprendizado nas propostas curriculares que seguem para as séries finais do ensino
fundamental.
Por outro lado, não se nota, de modo geral, nos livros e nas propostas curriculares de 5a a 8ª série, mudanças no sentido de uma introdução mais cuidadosa às frações e às operações entre elas, visando suprir essa lacuna deixada nas séries iniciais. Isso nos leva à constatação de
37
que o espaço para a aprendizagem desses números nas séries iniciais foi diminuído e não houve ganho de espaço nas séries finais. (BERTONI, 2004, p.1)
Além disso, concordamos com a autora quando em outro estudo ela afirma que o
ensino das frações deve ir além dos procedimentos utilizados em situações parte-todo e
na utilização de cálculos somente focados na memorização de algoritmos. Segundo
Bertoni (2009):
(...) É preciso encontrar caminhos para levar o aluno a identificar essas quantidades em seu contexto cotidiano e a apropriar-se da ideia do número fracionário correspondente, usando-os de modo significativo. (BERTONI, 2009, p.16)
Nesse mesmo estudo a autora discute também a divisão entre frações e assim
como Ball (1990) e Ma (1999), ela associa as situações às observadas nos números
naturais, ou seja, situações de partilha e medida. Seu estudo nos ajudou a
compreender melhor tais situações uma vez que em poucas palavras define cada um
dos dois modelos: “Na partilha, temos a divisão equitativa; na medida, temos a
formação de grupos ou porções de tamanho pré determinado” (ibidem, p. 99). Suas
colocações nos permitiram refletir sobre as possibilidades e limites da utilização das
diferentes situações uma vez que chama a atenção para o fato de que “divisão como
partilha nem sempre será possível com frações; mas a divisão como formação de
grupos de tamanho fixado (medida) será sempre aplicável” (ibidem).
Analisando em um contexto geral sobre a utilização desses números, Bertoni
(2004) afirma que a ausência das frações em nosso cotidiano deve-se ao fato de que o
uso contínuo dos números racionais em sua representação decimal está ligado a uma
questão sócio-cultural, uma vez que os números decimais têm uma forte presença no
nosso sistema monetário e no sistema de medidas. A aceitação por parte dos alunos
pelos números decimais é impulsionada pela analogia que há entre as operações com
números naturais e as operações com números decimais. Isso nos parece preocupante
uma vez que Behr et al (1983) considera que os números racionais se constituem numa
ideia de fundamental importância para a Matemática que acontece no contexto escolar.
Os autores chamam a atenção para o fato de que o desenvolvimento desse conceito
38
ocorre, sobretudo, no período de transição ao que Piaget indica como pensamento
concreto e operacional formal que ocorre justamente nos anos finais do Ensino
Fundamental.
Merlyn Behr e colegas (1983) justificam a importância do estudo dessa temática
afirmando que a compreensão do conceito de fração envolve três perspectivas: a
prática, a psicológica e a matemática. Na perspectiva prática, os autores consideram
que o estudo deste conceito amplia a habilidade de dividir, favorecendo, dessa forma, a
construção do conceito de proporcionalidade, compreensão e manipulação (modelagem
e resolução) de situações problema do mundo real. Sob o ponto de vista psicológico,
Behr et al (1983), como já afirmamos anteriormente, reconhecem que os números
racionais possibilitam que os alunos expandam e desenvolvam suas estruturas mentais.
Já na perspectiva matemática, esse estudo aponta que a compreensão desse conceito
é fundamental para levar o aluno a entender, posteriormente, as operações algébricas
elementares.
Apoiados também nos estudos de Behr et al (1983), Campos e Rodrigues (2007)
afirmam que existe uma relação intrínseca entre a compreensão do significado das
frações e as habilidades para se devolver divisões. Os autores afirmam que o estudo
das frações, pela perspectiva psicológica, proporciona aos alunos um rico
desenvolvimento em suas estruturas mentais, além de propiciar um crescimento
intelectual contínuo levando o aluno do campo concreto para o campo operatório
informal.
Nesse estudo, os autores verificaram que “um aspecto significativo da construção
do conceito de número racional, que permanece não apropriado por alunos até estágios
de escolarização posteriores ao seu ensino formal: a ideia de unidade” (CAMPOS e
RODRIGUES, 2007, p.68). Ainda, os autores identificaram como uma das possíveis
causas das dificuldades encontradas pelos alunos, a prática pedagógica dos
professores.
Essa constatação se confirma em outros estudos. Neves (2008), ao fazer a
revisão bibliográfica para sua tese de doutorado e analisar quarenta e dois estudos
nacionais e internacionais publicados no período de 1999 a 2006 observou que “alunos
e professores apresentam dificuldades conceituais” (NEVES, 2008, p.vi). A autora
39
complementa que tal fato potencializa a redução da capacidade de compreensão do
aluno, uma vez que os estudos:
... sugerem que o ensino desses conteúdos tem priorizado o uso de regras em detrimento da elaboração conceitual, não ampliando a compreensão dos sistemas numéricos e das interações entre as operações e engendrando rupturas conceituais entre os números naturais e os racionais. (NEVES, 2008, p.6)
Nesse sentido, também com base num estudo levantado com professores
inseridos no projeto intitulado “Observatório da Educação” financiado pela Coordenação
de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e pelo Instituto de Estudos
e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) na cidade de São Paulo, Brasil, o
pesquisador Dario Vieira de Oliveira Filho (2011), constatou que “há uma evidente
fragilidade no conhecimento profissional docente” no que concerne ao ensino das
operações envolvendo frações:
Fica explícita a necessidade de rediscutir as formas de se tratar a temática fração nos cursos de formação inicial e continuada de professores. A partir dos depoimentos dos docentes envolvidos nesta pesquisa, foi possível identificar a influência das dificuldades relativas ao conhecimento matemático na prática docente. (OLIVEIRA FILHO, 2011, p.150).
Analisando outros documentos que tratam do ensino da divisão com frações, as
pesquisadoras Garcia Silva, Duarte juntamente com Oliveira Filho (2012), constataram
que o ensino da divisão entre frações concentra-se, principalmente, no estudo do
procedimento, sem oferecer um entendimento conceitual. Os pesquisadores ainda
fizeram uma análise do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, no que se refere ao
estudo das operações com frações. No Caderno do Professor (1º bimestre, 7º ano) há
uma orientação sugerindo que os professores introduzam o ensino da divisão entre
frações por meio de situações que envolvam a ideia de medida. O caderno ainda
orienta que os professores façam uma avaliação diagnóstica com os alunos a fim de
investigar seus conhecimentos sobre as frações no que tange à nomenclatura e a
representação parte-todo (São Paulo, 2009).
40
Nele ainda destaca-se a importância de se desenvolver habilidades que propiciem
aos alunos “reconhecer a diferença entre os números naturais, diretamente ligados à
ideia de contagem e ordenação, e os números fracionários relacionados aos processos
de medida” (SÃO PAULO, 2009, p.9, apud GARCIA SILVA et al).
Ainda relacionado aos processos de ensino e de aprendizagem apoiaremos este
estudo nas pesquisas de Gerard Vergnaud.
A Teoria dos Campos Conceituais foi desenvolvida pelo psicólogo francês Gérard
Vergnaud. Seus estudos fundamentaram-se nas teorias de Piaget e demonstraram
preocupar-se com a compreensão cognitiva do sujeito em ação. Segundo o autor trata-
se de:
... uma teoria cognitivista que visa fornecer um quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências complexas, nomeadamente daquelas que relevam as ciências e as técnicas (VERGNAUD, 1996, p.155).
A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud analisa o desenvolvimento do
conhecimento, com foco específico no conteúdo. Vergnaud (2011) discute sobre a
relevância do seu estudo ao afirmar que existe uma relação do indivíduo com o
conhecimento, e que ela não é a mesma durante toda a vida. Segundo o autor “existe
uma variação muito grande [do conhecimento de crianças com idades] entre os 5 aos
13 anos e poucos pesquisadores se interessaram por estudar este aspecto (...)”
(VERGNAUD, 2011).
Dessa forma, segundo o autor a construção de um Campo Conceitual pelo aluno
se dá por meio da superação das dificuldades conceituais enfrentadas ao longo de um
período de tempo de estudo, por meio de experiências vivenciadas, aprendizagem e
maturidade.
Seus estudos indicam que o desenvolvimento cognitivo da criança depende de
conceitualizações e, nesse sentido, é sua essência. Para o autor Conceitualização é
definida como “a construção, percepção e relação dos objetos e propriedades que
estão no mundo”. (VERGNAUD, 2010). O autor considera que é por meio da percepção
que se identifica tais objetos e suas propriedades, além disso, também pode ser
resultado de uma construção.
41
Vergnaud (1996) considera o Conceito como um tripleto de três conjuntos, C (S, I,
R), na qual:
S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito (a referência);
I é um conjunto de invariantes sobre os quais repousa a operacionalidade dos
esquemas (o significado);
R é um conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para
repensar as situações e os procedimentos de tratamento (o significante).
Dessa forma, o autor considera que para compreender como se dá a construção
dos conceitos pelos estudantes é necessário que se analise as experiências
vivenciadas dentro ou fora da escola e afirma que é preciso levar em conta esses três
conjuntos ao mesmo tempo. Além disso, Vergnaud afirma não haver uma
correspondência biunívoca entre estes três conjuntos. Assim sendo, ele afirma que
nenhum deles pode ser excluído dessa relação.
Em nosso estudo trataremos, sobretudo, sobre as diferentes situações que
envolvem o conceito de divisão entre frações. Dessa forma, é necessário que
apresentemos o conceito de situação proposto pelo autor.
Na Teoria dos Campos Conceituais o autor afirma que o conceito de situação
pode envolver uma ou mais tarefas com diferentes graus de complexidade. Todavia,
considera também que a dificuldade presente na resolução de uma situação que
envolve várias tarefas não é a soma nem o produto das diferentes subtarefas
envolvidas, mas o desempenho em cada subtarefa que afeta o desempenho global
(VERGNAUD, 1990, p. 146).
Neste estudo consideraremos o termo “situação” tal como é empregado por
Vergnaud. Por fim, é importante destacar que, fundamentados no autor, procuramos
discutir com os futuros professores, durante o processo formativo, um conjunto de
situações que retratavam a ideia de divisão entre frações, seus invariantes e suas
representações.
42
2.3 Indicações do currículo oficial: contribuições para análise do conhecimento
curricular
No ano de 2008, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo iniciou a
implementação do atual currículo disciplinar destinado às escolas da rede pública de
ensino fundamental e médio. Seu principal objetivo era contribuir com o crescimento
dos níveis de aprendizado dos alunos, “propiciando a todos uma base comum de
conhecimento e de competências” (SÃO PAULO, 2008), formando uma única rede de
ensino em todo o estado. Para isso, contou com a ajuda de especialistas e professores
que atuavam em sala de aula.
Para a criação deste currículo, inicialmente, foi feito um levantamento dos
principais documentos pedagógicos existentes. Em seguida, deu-se início a uma série
de reuniões que contavam com a presença de professores, nas quais esses
profissionais puderam expor suas experiências para que desta forma, fossem ser
identificadas e sistematizadas as práticas já utilizadas nas escolas.
O currículo é composto por um documento básico denominado Currículo do
Estado de São Paulo – Matemática e suas Tecnologias, e um conjunto de três
documentos:
1. O Caderno do Gestor, cujo objetivo é apoiar os gestores escolares e
coordenadores pedagógicos, estimulando-os a fazer com que a implementação
deste currículo tivesse sucesso junto aos professores, e assim garantir que a
proposta pedagógica fosse cumprida. (SÃO PAULO, 2010, p.8)
2. Os Cadernos do Professor, no qual contém, especificamente, orientações para o
desenvolvimento do trabalho em sala de aula, tais como sugestões de
atividades, o tempo previsto para execução de cada tarefa e quais habilidades
devem ser trabalhadas em cada situação de aprendizagem para que os alunos
alcancem as competências esperadas. (SÃO PAULO, 2010, p.8)
3. Os Cadernos do Aluno, que assim como os cadernos do professor, contém 4
situações de aprendizagem, as quais pretende-se que os estudantes as
43
desenvolvam ao longo do bimestre de acordo com as orientações do professor.
(SÃO PAULO, 2010, p.8)
Os cadernos do aluno e do professor são separados em 4 volumes, os quais são
trabalhados nos 4 bimestres do ano letivo. Eles compõem, fundamentalmente, aquilo
que, segundo seus elaboradores, deve ser ensinado durante a série/ano corrente,
podendo ser enriquecido com outros materiais de apoio. Os conteúdos abordados no
currículo são as principais referências para o estabelecimento das matrizes do sistema
de avaliação do rendimento escolar do estado de São Paulo (SARESP). Tal avaliação é
aplicada aos alunos ao final de cada ciclo: 3º ano, 5º ano, 7º ano e 9º ano do Ensino
Fundamental e 3ª série do ensino Médio. Essas avaliações são usadas como diretrizes
para a criação dos programas de reforço e de recuperação continuada que são
oferecidos ao longo das séries subsequentes. Assim, espera-se que ao final de cada
curso (Ensino Fundamental e Médio) os alunos tenham desenvolvido as competências
essenciais na formação escolar.
No que tange ao ensino da divisão por frações, o currículo estadual de matemática
inicia este estudo no volume 1 do 7º ano (6ªsérie) na segunda situação de
aprendizagem dos Cadernos do Professor e do Aluno.
A divisão entre frações é apresentada logo após o estudo da multiplicação por
frações dentro da mesma situação de aprendizagem. Nesta situação de aprendizagem
é esperado que o aluno tenha compreensão não apenas das regras básicas de
multiplicação entre frações como também de seus significados. Para isso, faz-se uso de
uma representação geométrica, como veremos a seguir:
44
Calcular 4
3 de
5
4:
FIGURA 2 – Multiplicação de frações. Fonte: Currículo Oficial do Estado de São Paulo – 7ª série (8ºano)
– Caderno do Professor– Volume 1 – p.32.
Da mesma forma, no que diz respeito à divisão entre frações, a atividade
proposta, segundo as indicações contidas no material, também “favorece a utilização de
argumentos geométricos para compreensão do algoritmo [inverte e multiplica]” (SÃO
PAULO, 2008). Generalizando a ampliação da ideia de partilha, temos:
Os autores do caderno sugerem ao professor que se faça uma analogia com os
números inteiros, supondo que seja feita a divisão de duas latas de tinta inteiras para
pintar 6 paredes, o que nos diz que uma lata de tinta pintaria três paredes, pois
326 . Da mesma forma, pode-se chegar ao resultado do tamanho da área a ser
pintada considerando 4
3 de parede a ser pintado com
3
2 de tinta, ou seja,
3
2
4
3 .
Se com 3
2 de uma lata de tinta dá para pintar
4
3 de uma parede, que fração da
parede conseguirei pintar com uma lata de tinta?
45
A orientação inicial do caderno induz à aplicação do algoritmo “inverte e
multiplica”. Em seguida, menciona a ideia de frações equivalentes indicando que se
faça a multiplicação das frações por um mínimo múltiplo comum entre 4 e 3, no caso
12, o que nos leva, naturalmente, ao mesmo algoritmo inverte e multiplica.
8
9
24
33
34
24
34
33
3
2
4
3
3
24
3
Esse algoritmo é discutido por Pinto e Monteiro (2008), apoiadas em Sinicrope,
Mick e Kolb (2002) que exemplificam uma situação de divisão entre frações
algebricamente8, nomeada por eles de algoritmo do denominador comum.
bc
ad
bd
bc
bd
ad
d
c
b
a
Pinto e Monteiro (2008) justificam que este algoritmo, fundamentadas em Flores
(2002), pode ser utilizado:
Quando as partes são do mesmo tamanho, o resultado depende apenas do número de partes envolvidas e não do seu tamanho, por isso, para dividir fracções com o mesmo denominador, basta dividir os numeradores. (PINTO E MONTEIRO, 2008, p.204)
As autoras afirmam que, em Portugal, tal algoritmo “raramente é utilizado na sala
de aula do segundo ciclo” (Ibidem). Observamos que houve por parte dos autores
desse currículo a preocupação de chamar a atenção do professor para essa outra
forma de resolver a divisão entre frações. Entretanto, acreditamos que, para viabilizar a
reflexão do professor para uma possível aplicação deste segundo algoritmo seria
necessária uma ampliação das orientações contidas neste caderno. Nossa hipótese,
confirmada por Oliveira Filho (2011), ao investigar professores da rede de ensino
público de Estado de São Paulo sobre sua prática pedagógica, todos foram unânimes
8 Essa atividade foi utilizada na segunda sessão de nossa investigação na Atividade 3.3
46
em afirmar somente a utilização do algoritmo inverte e multiplica em suas aulas.
(OLIVEIRA FILHO, 2011, p.164).
Entre as orientações dadas aos professores, o caderno menciona que nesta tarefa
o principal objetivo é fazer com que os alunos fixem as regras práticas da divisão entre
frações [algoritmo inverte e multiplica], enfatizando no primeiro momento a importância
da aplicação em situações problemas, para que o desenvolvimento da regra prática
propicie ao aluno o ganho natural deste significado.
Essa situação de aprendizagem do currículo é finalizada com a indicação de
quatro situações problemas envolvendo a divisão entre frações.
A duas primeiras são semelhantes, tratando da divisão de fração por número
inteiro, envolvendo o conceito de partilha equitativa.
João colocou em uma jarra 4
3do conteúdo de uma garrafa de refrigerante. O
conteúdo da jarra foi repartido igualmente entre seis pessoas. Calcule a fração
do refrigerante que havia inicialmente na garrafa que coube a cada uma das seis
pessoas (SÃO PAULO, 2008, p.24)
Laura tem 4
13 de hora para terminar suas três tarefas de casa. Se ela dividir
igualmente o tempo entre as tarefas, quantas horas ela terá que dedicar a cada
uma? (SÃO PAULO, 2008, p.25)
47
O terceiro problema envolve o conceito de divisão como partilha de um número
decimal por uma fração.
A quarta e última situação problema retoma o conceito de divisão como partilha
equitativa, mas desta vez entre duas frações.
Como vimos, o primeiro problema trata da divisão entre uma fração e um número
natural. O segundo é a divisão entre um número natural e um número misto. O terceiro
problema trata da divisão entre um número racional na sua representação decimal e
uma fração, todos envolvendo partilha equitativa. Apenas o quarto problema apresenta
uma divisão entre frações. Efetivamente, temos apenas duas situações de
aprendizagem que apresentam a divisão entre frações (o problema introdutório e o
último acima descrito) em todo o currículo, o que nos parece insuficiente. Nesse
sentido, cabe ao professor complementar o trabalho. Todavia, consideramos que os
autores do documento deveriam chamar a atenção do professor nesse sentido.
Ao fazermos a análise das propostas contidas no currículo acerca das sugestões
de ensino dadas aos professores, sentimos que tais orientações não especificam
claramente a necessidade de desenvolver nos alunos a construção dos diferentes
significados da divisão por meio da apresentação de situações problemas diversificadas
até porque observamos que nem todos os significados foram abordados. Percebemos
que a quantidade de tarefas apresentadas não é suficiente para propiciar ao aluno a
Rita comprou chocolate a granel e pagou R$7,20 por 4
3 de “quilo”. Qual o preço
do “quilo” do chocolate que Rita comprou? (SÃO PAULO, 2008, p.25)
Podemos encher 8
7 do tanque A usando
3
2da água contida no tanque B.
Supondo-se o tanque A completamente vazio, que fração do tanque B seria
necessária para encher o tanque A? (SÃO PAULO, 2008, p.25)
48
fixação da regra prática e que o tempo destinado à execução dessas tarefas não é
suficiente para proporcionar a construção do conhecimento da divisão entre frações,
necessária aos alunos. Dessa forma, as evidências aqui apresentadas nos levam a
considerar que este seja um conteúdo abordado de maneira um tanto superficial pelo
currículo estadual.
49
CAPÍTULO 3: A INVESTIGAÇÃO
Neste capítulo apresentamos nossa metodologia de pesquisa, a caracterização
dos sujeitos envolvidos e os instrumentos de investigação utilizados durante o
desenvolvimento do estudo. Nossa investigação foi realizada contando com a
colaboração de um grupo de estudantes do quarto semestre do curso de graduação
em Matemática de uma universidade particular da cidade de São Paulo.
3.1 Procedimentos Metodológicos
Para atingir os objetivos durante a execução desta pesquisa, utilizamos uma
abordagem qualitativa apresentando características apontadas por Bogdan e Biklen
(1994):
1. “Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente
natural, constituindo o investigador o instrumento principal”.
2. “A investigação qualitativa é descritiva”.
3. “Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do
que simplesmente pelos resultados ou produtos”.
4. “Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de
forma indutiva”;
5. “O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.
(BOGDAN E BIKLEN,1994, p. 47-50).
Nesta pesquisa estivemos em contato direto com os sujeitos investigados durante
o desenvolvimento das atividades, o que nos deu a oportunidade de presenciar as
reflexões e as discussões feitas por eles. Coletamos os registros escritos da realização
das tarefas e fizemos a gravação do áudio de boa parte de suas falas. Isso nos permitiu
analisar o processo de criação da investigação. Para a análise dos dados, as
informações foram coletadas e inter-relacionadas e consideramos, assim como os
autores, o processo de análise “como um funil: as coisas estão abertas de início e vão
50
se tornando mais fechadas e específicas no extremo”. (BOGDAN E BIKLEN,1994,
p.50). Procuramos ainda nos preocupar em apreender as diferentes perspectivas dos
nossos sujeitos de forma fidedigna.
Para desenvolver esse estudo, realizamos inicialmente uma pesquisa bibliográfica
que nos orientou no processo de criação das atividades a serem realizadas durante as
sessões de intervenção. Tal intervenção foi realizada, quase que totalmente, durante as
aulas da disciplina Prática de Ensino e divididas em quatro sessões:
Sessão 1: Aplicação de um questionário de caráter diagnóstico.
Sessão 2: Apresentação e discussão do modelo de divisão como medida.
Sessão 3: Apresentação dos modelos de divisão como partilha equitativa e como
operação inversa da multiplicação, além da análise de uma atividade do Currículo
oficial de Matemática do Estado de São Paulo.
Sessão 4: Reformulação dos problemas elaborados na primeira sessão um semestre
após os primeiros encontros.
3.2 Caracterização dos sujeitos
Contamos com a participação de 11 sujeitos para a realização deste estudo.
Listaremos a seguir algumas características do grupo:
Sua idade média era entre 25 e 35 anos, dentre os quais havia 3 mulheres e
8 homens.
Todos os sujeitos frequentaram escola pública, e 3 deles foram alunos do
programa de Ensino para Jovens e Adultos (EJA) da Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo.
Três eram professores da rede pública, sendo dois professores dos anos
finais e uma professora dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Para preservar a identidade dos sujeitos deste estudo, usaremos letras
maiúsculas do alfabeto para nomeá-los. Portanto, os chamaremos de Futuros
Professores A, B, C, D, E, F, G, H, I, J e K quando estivermos nos referindo a eles.
51
3.3 Atividades desenvolvidas durante a intervenção
Iniciamos a pesquisa com uma atividade baseada no estudo desenvolvido por
Ball (1990) que analisou os conhecimentos de professores acerca de divisão no
universo dos números reais. Assim como a autora, no tocante à divisão entre frações
também sugerimos que nossos sujeitos efetuassem a divisão de 4
31 por
2
1 fazendo
uso do algoritmo de sua escolha.
Essa tarefa foi inspirada em Ball (1990) na qual procuramos analisar o
Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) (BALL et al, 2008). Nesse sentido,
buscamos investigar um conhecimento que é considerado como básico a qualquer
pessoa que estudou matemática, independentemente, de ser professor ou não. Assim
sendo, pedimos que os sujeitos desse estudo efetuassem a mesma divisão indicada
pela autora.
Atividade 1: Efetuar a divisão 2
1
4
31 .
Posterior ao trabalho de Ball (1990), Ma (1999) fez uso da mesma divisão e,
depois de analisar a resolução solicitou a elaboração de uma situação problema que
ilustrasse a divisão 2
1
4
31 . Em seguida, Ma (1999) elaborou um estudo comparativo
entre professores chineses e americanos sobre os conhecimentos explicitados acerca
da divisão entre frações pelos dois grupos de professores.
52
Da mesma forma que esse estudo, sugerimos aos estudantes de licenciatura que
elaborassem quatro problemas que direcionasse à esta divisão apresentando a
questão a seguir:
Atividade 2: Elaborar quatro problemas que ilustrem a situação abaixo:
“As pessoas parecem adotar diferentes abordagens na resolução de problemas
envolvendo a divisão entre frações. Como se resolve um problema como este?
2
1
4
31 ”
(BALL, 1990)
Nesta atividade, esperava-se que os sujeitos elaborassem quatro problemas
indicando exatamente a divisão de 4
31 por
2
1 e calculassem o quociente da divisão.
A terceira atividade foi baseada no trabalho desenvolvido por Pinto e Monteiro
(2008) em um exercício que investigava a capacidade de efetuar a divisão de dois
hexágonos regulares adjacentes em partes. Nesta atividade, esperava-se que os
sujeitos fossem capazes de extrair frações dos hexágonos, mantendo a
proporcionalidade em suas áreas.
Atividade 3.1: Consideremos dois hexágonos adjacentes como a unidade.
Represente:
a) As metades da figura:
b) Os quartos da figura:
c) Os sextos da figura:
d) Os duodécimos da figura:
53
A atividade seguinte utilizava os mesmos hexágonos adjacentes, porém baseava-
se na divisão destes hexágonos em triângulos com o intuito de se formarem trapézios.
O objetivo era verificar se os futuros professores eram capazes de efetuar
aritmeticamente tal tarefa observando a mudança da unidade de referência de
triângulo para trapézio.
Na atividade 3.2 observamos o modelo de divisão como medida, no qual usamos
o divisor como uma unidade para medir o dividendo.
A atividade seguinte traz três problemas, sendo o primeiro deles envolvendo o
conceito da divisão como medida e os dois últimos o conceito de divisão como partilha
equitativa (PINTO E MONTEIRO, 2008). Esperava-se que os futuros professores
efetuassem a divisão e elaborassem a resposta de acordo com as unidades de
referência contidas nas perguntas.
Atividade 3.2: Considerando a unidade anterior, determine quantos trapézios
cabem em 11 triângulos e, em seguida, represente os cálculos aritmeticamente.
Atividade 4 - Problema 1 (medida): Numa confeitaria foram vendidos 4 bolos
em fatias de 5
3 do bolo. Quantas fatias foram vendidas e quantas partes do
bolo sobraram?
Atividade 4 - Problema 2 (partilha equitativa): A mãe de Marta fez um bolo
de cenoura e dividiu em 16 fatias iguais. Marta levou para a escola 16
12 do bolo,
que distribuiu igualmente em 3 pratos. Que porção do bolo ficou em cada
prato?
54
A atividade 5 foi extraída do Currículo Oficial do Estado de São Paulo. Era
baseada no modelo de divisão como partilha equitativa e seu objetivo era investigar o
conhecimento do conteúdo e do ensino dos futuros professores de acordo com as
categorias de conhecimentos estabelecidos por Ball et al (2008).
A última atividade (6) foi extraída do trabalho das autoras Pinto e Monteiro (2008)
e envolvia o conceito da divisão como operação inversa da multiplicação. Este conceito
da divisão está associado ao Conhecimento Do Conteúdo Especializado (SCK), de
acordo com as categorias de conhecimentos de Ball et al (2008).
Ao findar a sequência de atividades investigativas, foram apresentados
formalmente aos futuros professores os três modelos e significados da divisão (Ma,
1999, Pinto e Monteiro, 2008) e os níveis e categorias de conhecimentos (Shulman,
1986, Ball et al, 2008). Após uma discussão, os futuros professores tiveram contato
com suas atividades e fizeram uma análise dos próprios erros.
Atividade 4 - Problema 3 (partilha equitativa): Considerando que 5
4 de uma
corda mede 4
31 metros, quanto mede a totalidade da corda?
Atividade 5: Se 3
2de uma lata de tinta dão para pintar
4
3 de uma parede, que
fração da parede conseguirei pintar com uma lata de tinta?
Atividade 6 (operação inversa da multiplicação): Determinar o
comprimento de um retângulo que tem largura igual a 4
3 da unidade e de área
20
6 de unidades quadradas. (PINTO E MONTEIRO, 2008, p.212)
55
No semestre seguinte ao início da intervenção, retornamos a um novo encontro
com esta mesma turma a fim de retomarmos a discussão acerca dos modelos de
divisão. Nesse encontro solicitamos que os futuros professores reelaborassem os
mesmos problemas sugeridos na segunda atividade, criando uma história cuja solução
fosse dada por 2
1
4
31 , observando suas colocações para que não cometessem
novamente os mesmos erros: problemas que induzissem à divisão por 2, à
multiplicação por 2
1 ou a criação de histórias inconsistentes.
Os resultados das atividades foram analisados, conforme descritos no capítulo
seguinte.
56
CAPÍTULO 4: DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA E ANÁLISE DOS
DADOS
Neste capítulo descrevemos e analisamos todo o processo de desenvolvimento
da pesquisa junto à turma de Licenciatura em Matemática, bem como os resultados
obtidos na realização das atividades.
Buscamos classificar as tarefas por categorias observando os erros e acertos
cometidos nos procedimentos de resolução apresentados pelos futuros professores.
4.1 Conhecimentos Prévios dos Futuros Professores
Para analisar os conhecimentos prévios dos sujeitos deste estudo elaboramos
duas questões iniciais que serão descritas e analisadas a seguir.
Atividade 1:
A atividade inicial tinha por objetivo verificar se os estudantes de um curso de
licenciatura eram capazes de resolver a divisão 2
1
4
31 e qual era o procedimento
utilizado. Nesta atividade, pretendíamos reconhecer dentre os níveis de
conhecimentos sugeridos por Ball et al (2008) o Conhecimento Do Conteúdo Comum
(KCC), ou seja, o conhecimento que os futuros professores revelavam acerca da
divisão com frações.
Ao fazer a análise dos dados desta atividade, observamos que todos os
indivíduos envolvidos foram capazes de chegar ao resultado correto, fazendo uso do
algoritmo “inverte/multiplica”.
Reiteramos que para preservar a identidade dos nossos colaboradores,
chamaremos os mesmos de futuros professores A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, e K.
Abaixo relacionamos os procedimentos utilizados pelos sujeitos envolvidos nesta
investigação.
57
QUADRO 2: Resolução da atividade 2:
Futuro Professor Desenvolvimento do Algoritmo A
2
7
4
14
2
1
4
7
2
1
4
31
B
2
7
4
14
1
2
4
7
2
1
4
7
2
1
2
314
2
1
4
31
2
2
C
2
7
4
14
1
2
4
7
2
14
7
2
1
4
7
2
1
4
3
4
4
2
1
4
31
2
2
D
2
7
4
14
1
2
4
7
2
1
4
7
2
1
4
31
2
1
4
31
2
2
E
2
7
4
14
2
1
4
7
2
1
4
31
2
7
4
14
2
1
4
7
2
1
4
3
4
4
2
2
2
2
ou
F
2
7
4
14
2
1
4
7
2
1
4
3
4
42
2
G
2
7
4
14
1
2
4
7
2
1
4
7
2
1
4
34
2
1
4
31
2
2
H
5,31
2
4
7
2
14
7
2
1
4
7
I
2
7
1
2
4
7
2
1
4
7
J
2
7
4
14
1
2
4
7
2
1
4
7
4
3142
2
K
2
7
4
14
2
1
4
7
4
3
4
4
Para a resolução desta divisão foram necessários conhecimentos prévios sobre
números mistos, frações impróprias e o algoritmo da divisão entre frações.
58
Todos os futuros professores foram capazes de alcançar o resultado corretamente
demonstrando efetuar com correção a operação. Segundo Ma (1999) essa operação
não é trivial. A autora ressalta que:
... a divisão por fracções é um tópico avançado da aritmética. A divisão é a mais complicada das quatro operações. Os números fraccionários são muitas vezes considerados os números mais complexos na matemática
do ensino básico. A divisão por fracções, a operação mais complicada
com os números mais complexos pode ser considerada um tópico cimeiro da aritmética. (MA, 1999, p.114)
Analisando os cálculos observarmos que os futuros professores utilizaram-se de
ideias básicas a fim de resolver a operação proposta:
1. Transformar o número misto 4
31 na fração imprópria
4
7.
2. Efetuar a multiplicação de 4
7 por
2
1 (algoritmo inverte e multiplica)
3. Simplificar o resultado final (4
14) por 2.
Trata-se do Conhecimento do Conteúdo Comum (CCK) descrito por Ball et al
(2008). Segundo os autores, este é o conhecimento básico a todos os professores que
estudam matemática, optem ou não pelo magistério.
Todavia, consideramos que o fato de resolver de forma correta uma divisão entre
frações não habilitaria esses estudantes de licenciatura a elaborar situações-problema
envolvendo tal operação. Nesse sentido, consideramos ser de fundamental importância
identificar quais problemas seriam elaborados pelos sujeitos deste estudo.
Atividade 2
Nesta fase da investigação, assim como sugerido por Ball (1990), foi solicitado aos
futuros professores que desenvolvessem quatro situações problemas que ilustrassem a
divisão 2
1
4
31 , numa tentativa de garantir que os três significados da divisão sugeridos
59
por Pinto e Monteiro (2008) fossem contemplados. De acordo com Ball et al (2008),
esta tarefa envolve o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT).
Analisando as proposições, observamos que mesmo resolvendo a operação de
forma correta, pouco menos de 20% dos participantes elaborou situações consistentes.
Observamos que dos 44 problemas elaborados, 11 apresentavam corretamente
da divisão de 1 4
3 por
2
1, 6 tratavam da multiplicação por
2
1, 28 demarcaram a divisão
por 2 e apenas 3 problemas ficaram inconsistentes.
Como exemplo das situações elaboradas com correção apresentamos a
elaborada pelo Futuro Professor C:
Para melhor analisar a relação entre os acertos e equívocos observados na
criação das situações por sujeito relacionamos no quadro a seguir os problemas
elaborados por cada estudante de acordo com a ideia encontrada neles. A
denominação dos problema 1, problema 2, problema 3 e problema 4 referem-se aos 4
problemas elaborados por cada licenciando, sendo que a mesma designação, para
alunos distintos, significa problemas distintos.
QUADRO 3: Classificação dos erros evidenciado na atividade de elaboração de
problemas
Futuro
Professor Divisão por
2
1
Multiplicação
por 2
1
Divisão por 2 História
inconsistente
A Problema 1 Problemas 2 e 3 Problema 4
B Problema 4 Problemas 1,2 e 3
C Problemas 1,2,3 e 4
Se um ventilador refrigera 2
1 sala, quantos ventiladores são necessários para
ventilar 1 4
3de sala? (FUTURO PROFESSOR C)
60
D Problemas 1,2,3 e 4
E Problemas 2 e 4 Problemas 1 e 3
F Problemas 1,2,3 e 4
G Problemas 1,2,3 e 4
H Problema 1 Problemas 2 e 4 Problema 3
I Problemas 1, 2 e 4 Problema 3
J Problemas 1,2,3 e 4
K Problemas 1,2,3 e 4
Analisando o ocorrido observamos que quatro estudantes elaboraram, pelo
menos, parcialmente, situações que representavam uma divisão por 2
1: dois alunos
(FPG e FPC) elaboraram corretamente as quatro situações e dois parcialmente (FPI e
FPA), os demais estudantes apresentaram concepções equivocadas para a divisão.
Resultados semelhantes a estes foram encontrados por Liping Ma (1999, p.126).
Segundo a autora aproximadamente 26% dos 23 professores americanos investigados
conseguiram elaborar problemas consistentes, já aproximadamente 70% deles
utilizaram concepções erradas, semelhantes às observadas nesta pesquisa.
Consideramos histórias inconsistentes as histórias que não indicam claramente
qual o cálculo deve ser realizado para se chegar a uma resposta. Ma (1999) destacou
em sua pesquisa alguns casos de professores americanos que não “apresentaram
confusão ao efetuarem a divisão, mas também não foram capazes de escrever uma
história” (MA, 1999, p.128).
Das análises dos problemas, podemos observar a existência de alguns erros
recorrentes:
Divisão por 2:
Parte dos sujeitos ao criarem algumas histórias confundiram a divisão por 2
1 com
a divisão por 2. Foram utilizadas expressões como “dividir ao meio”, ou “dividir a
metade”.
Ganhei um pacote de biscoito e já tinha ¾ do mesmo biscoito. Resolvi dividir a metade com um amigo. Quanto cada um ficou? (FUTURO PROFESSOR E)
61
Alguns problemas apresentavam citações em que se repartia 14
3 entre duas
pessoas.
Multiplicação por 2
1
Alguns indivíduos confundiram a divisão por 2
1 pela multiplicação por
2
1.
Histórias inconsistentes:
Dentre os problemas analisados, ainda encontramos algumas histórias que não
apresentavam uma problematização clara.
Depois de analisarmos estes resultados passamos apresentação e reflexão sobre
os diferentes significados da divisão com frações.
Comprei um pacote de bolacha e já tinha 4
3 de outro
pacote de bolacha. Quero dividir meio a meio com meu amigo. Quanto cada um irá comer? (FUTURO PROFESSOR B)
Karina tinha 1 chocolate inteiro e mais 4
3 de outro
chocolate, porém metade caiu no chão. Quanto sobrou do chocolate? (FUTURO PROFESSOR B)
Comprei uma caixa de maçãs. Vendi 1 4
3 e dividi ao meio
(2
1) esse número para fazer uma torta. (FUTURO
PROFESSOR H)
62
Ao final desta investigação, os participantes da pesquisa tiveram a oportunidade
de fazer uma reflexão sobre os erros cometidos e puderam reelaborar as questões
incorretas. Nesta fase de reelaboração, houve uma expressiva melhora, porém alguns
participantes cometeram os mesmos erros que foram discutidos e retomados.
4.2 Intervenção
Reiteramos que durante a intervenção apresentamos aos futuros professores
situações problema envolvendo diferentes significados. A sequência de tarefas foi
desenvolvida durante a aula e destinamos um tempo para que, em pequenos grupos,
todos resolvessem e, em seguida, discutimos em plenária as diferentes soluções
encontradas.
4.2.1 Atividade 3: Modelo de Medida
Esta atividade foi desenvolvida durante nosso primeiro encontro com os indivíduos
investigados. Durante esse encontro foram realizadas três tarefas que tratavam da
divisão entre frações. Tais divisões tinham foco na categoria da divisão como medida,
sugerida por Pinto e Monteiro (2008).
A primeira tarefa consistia em realizar a representação das frações por meio de
figuras e a segunda tarefa consistia em resolver aritmeticamente uma situação
problematizada e a terceira tarefa envolvia um caso contendo possíveis estratégias
equivocadas de alunos do Ensino Fundamental.
Para a primeira tarefa, os futuros professores deveriam realizar a divisão de dois
hexágonos adjacentes em partes, sendo elas metades, quartos, sextos e duodécimos.
O objetivo dessa tarefa era verificar se os futuros professores eram capazes de
determinar diferentes unidades de medidas a partir de um todo, e assim obter unidades
de medidas diferentes.
63
Exemplo de resolução da atividade 3:
Fonte: O sentido do número: Reflexões que se entrecruzam, Teoria e Prática (PINTO E MONTEIRO,
2008, p.203)
64
Após a realização da primeira tarefa, discutimos em plenária as resoluções dadas
pelos sujeitos às questões. Todas as soluções realizadas foram compartilhadas com o
grupo pelo quadro negro, e neste momento os futuros professores afirmaram que esta
atividade havia sido de fácil execução. Todos os envolvidos obtiveram sucesso em
suas respostas. Como consideramos que tal atividade envolveria o Conhecimento Do
Conteúdo Especializado (SCK) com a ideia de medida em contato com a geometria,
acreditamos que esse era um conhecimento já construído pelos nossos sujeitos.
Na segunda tarefa (atividade 3.2), os futuros professores deveriam resolver
aritmeticamente uma situação problematizada. O enunciado solicitava que fossem
representados os cálculos que resolveriam a situação, além da expressão aritmética:
Análise das soluções apresentadas pelos alunos na Atividade 3.2
Na análise das respostas podem-se verificar algumas variações sutis nos
procedimentos de resolução. Dentre os indivíduos investigados, 9 responderam a
questão corretamente e somente 1 não foi capaz de representar a situação
aritmeticamente. O décimo primeiro futuro professor não esteve presente na execução
desta tarefa.
Atividade 3.2: Considerando a unidade anterior, determine quantos trapézios
cabem em 11 triângulos e em seguida represente os cálculos aritmeticamente.
65
Com relação às estratégias utilizadas pelos futuros professores nessa atividade,
observamos que:
1. Na apresentação dos resultados, 6 estudantes representaram 3
11 como
3
23 ; 3
estudantes indicaram apenas 3
11; 1 não resolveu a tarefa, deixando a folha em
branco.
2. Todos os estudantes expressaram corretamente os resultados em termos da
unidade de referência trapézio. Assim, a resposta 3
11 ou
3
23 significa que em
3
11
de trapézio cabem em 11 triângulos.
3. Entre os 10 futuros professores, 8 deles resolveram aritmeticamente considerando
3
3 a medida de um trapézio inteiro (entre eles o futuro professor G).
Alguns dos pontos observados: o futuro professor B modelou o problema,
transformando-o em uma equação e o futuro professor H representou o cálculo
baseando-se apenas na imagem. A expressão aritmética foi indicada e os cálculos
foram realizados. Estes dois casos são representados a seguir:
66
O futuro professor H expressou o resultado como um número inteiro, ignorando a
existência do denominador da fração.
67
No protocolo anterior, observamos que o futuro professor H finalizou os cálculos
admitindo 11 inteiros como resultado da adição de 3
2 com 3, ignorando o denominador
da fração
3
11.
Durante as discussões, alguns dos futuros professores fizeram comentários
acerca dos procedimentos de resolução por eles utilizados. Nesta conversa os sujeitos
destacaram a possibilidade da formação de três trapézios inteiros dados pelo
agrupamento de três triângulos equiláteros cada um. Comentaram também sobre a
impossibilidade de se formar o quarto trapézio, uma vez que dos 11 triângulos restavam
apenas 2, e que para formar o quarto trapézio era necessário mais um triângulo. Esse
grupo pontuou a sobra de 3
2 de um trapézio como o resto no algoritmo da divisão.
Os membros de outro grupo utilizaram o mesmo procedimento de resolução,
porém apontaram a existência de quatro trapézios, sendo o quarto trapézio incompleto,
pois dele havia sido retirado 3
1 do todo indicando a ideia de subtração.
Observando tal discussão, a professora questionou os alunos sobre o fato de
alguém entre eles ter pensado na ideia da divisão de 3
11. Ela esperava que os futuros
professores observassem que poderiam representar a situação por meio do significado
do quociente, ou seja, 3
11. Para essa discussão observamos que apenas três dos
futuros professores se manifestaram, conforme descrito a seguir:
Eu ia dividir... eu ia dividir, mas...por que daí se ele dividir os onze...talvez, porque de dois a três...na verdade aí vai sobrar o resto. Seria os dois terços. (FUTURO PROFESSOR F)
Eu fiz assim: um trapézio é igual a três triângulos. Aí, quantos trapézios são iguais a x triângulos? Daí, x trapézios é igual a onze triângulos. Aí vai ficar três x é igual a onze, e x é igual a onze terços. (FUTURO PROFESSOR B)
68
Observamos que a ideia de quociente estava presente nas estratégias indicadas.
Vale ressaltar, entretanto, que apenas 3 dos 11 participantes se manifestaram.
Salientamos que, consideramos relevante a problematização proposta durante a
intervenção, uma vez que a utilização do significado quociente para representar frações
não é utilizada por muitos dos docentes brasileiros. Documentos Oficiais como PCN
(1998), por exemplo, já apontavam que os professores utilizavam-se do significado
parte-todo para introduzir fração, como também foi verificado nas investigações
propostas por Garcia Silva (2007) e Oliveira Filho (2011). Oliveira Filho (2011), por
exemplo, aponta que professores que lecionavam para os 6º e 7º anos do Ensino
Fundamental além de não utilizarem-se do significado quociente para introduzir as
frações apresentavam a divisão exclusivamente por meio do algoritmo. Todavia em
uma situação que envolva agrupamento ou medida, é difícil compreender 3
11 como
resposta. O mais claro seria indicar que de 3
11 extrai-se 3 grupos inteiros e mais
3
2 de
outro grupo, ou seja 3
23
3
11 .
A atividade 3.3 tratava da análise da resposta dada a um exercício resolvido
incorretamente. Para analisar o Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes (KCS)
descrito por Ball (2008), propusemos a analise do erro por meio da seguinte situação:
Desta atividade esperava-se que os futuros professores identificassem que o
principal erro do aluno foi a mudança na unidade de referência. Ele deixou de olhar
A gente pode pegar onze triângulos e dividir por três. Se colocasse outro lá formava mais um trapézio. (FUTURO PROFESSOR E)
Atividade 3.3: Um dos alunos resolveu o problema anterior e encontrou como
resultado. Discuta essa resposta.
69
para os trapézios e passou a observar os hexágonos. Sua resolução indica que talvez o
erro desse aluno tenha sido pensar em um triângulo faltante dos seis que, agrupados,
formam um dos hexágonos. Dificuldades dos estudantes ao final da educação básica
relativas a compreensão do papel da unidade em situações-problema envolvendo
frações foram observadas na pesquisa de Rodrigues (2005).
Dessa forma, consideramos que a situação apresentada poderia favorecer a
discussão e reflexão do grupo sobre essa temática. As respostas a essa situação
indicaram lacunas nos conhecimentos dos futuros professores em relação as essas
dificuldades possivelmente encontradas por alunos na compreensão do papel da
unidade na situação apresentada. Esta tarefa, nos permitiu observar que 3 professores
não obtiveram sucesso em suas respostas. Os protocolos a seguir ilustram essas
situações.
Análise das Soluções apresentadas pelos alunos na Atividade 3.3
Um dos sujeitos participantes foi capaz de descrever a resposta dada pelo aluno,
porém não mencionaram a mudança de unidade de referência.
70
Além deste, três sujeitos mencionaram que o aluno identificou a existência de três
trapézios e a sobra de 6
1. Provavelmente compreenderam a situação, mas também não
mencionaram o inteiro de referência (trapézio).
71
Um sujeito apresentou a situação de forma figural.
72
Um sujeito se baseou na operação (6
13 ) para verificar a incorreção da resposta.
Ainda houve entre os futuros professores 5 sujeitos que apresentaram uma
análise inconsistente.
73
Observamos que os futuro professores A e C não deixaram claro que a parte
desprezada do desenho se referia aos dois triângulos restantes que formariam o quarto
trapézio
3
2.
74
Segundo Ball et al (2008) o conhecimento do conteúdo e dos estudantes relaciona
a compreensão do conteúdo matemático ao conhecimento da forma como pensam os
alunos, possibilitando ao professor a previsão e análise de erros comuns de estudantes
e a busca de encaminhamentos a fim de superá-los. (BALL et al, 2008, p.15)
75
Nesse sentido, consideramos que a apresentação e discussão da situação
durante a intervenção favoreceu o processo de reflexão sobre a necessidade de
reconhecer a existência de diferentes unidades de referência.
Durante o segundo encontro da nossa intervenção, foi proposto aos sujeitos de
pesquisa que resolvessem a seguinte situação problema:
Nosso objetivo com esta atividade era verificar se os futuros professores eram
capazes de reconhecer a ideia da divisão por medida sugerida por Pinto e Monteiro
(2008), e assim responder a questão apresentada de acordo com a unidade de
referência na pergunta.
Para desenvolver esta atividade é necessário que se apliquem os conceitos da
categoria de Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT), ;(Ball, 2008).
Este problema indica que dos 4 bolos, podem-se vender 6 fatias e sobram 3
2 de
fatia, ou ainda 6 fatias com a sobra de 5
2 do bolo. Neste caso, esperava-se que ao
responder, o futuro professor indicasse a qual sobre ele estava se referindo: bolo ou
fatias.
Ao resolver a questão pelo algoritmo da divisão, assumindo que 4 bolos repartidos
em quintos, tem-se 20 partes para se dividir em 5
3. Este cálculo induz ao resultado de
6 fatias inteiras e 3
2 de uma fatia.
Dentre os sujeitos pesquisados, os futuros professores I, C, B e A fizeram o uso
deste algoritmo da divisão. Porém ao elaborarem suas respostas, não indicaram ao
que se referia a outra parte do quociente (3
2).
Atividade 4 – Problema 1: Numa confeitaria foram vendidos 4 bolos em fatias
de 5
3 do bolo. Quantas fatias foram vendidas e quantas partes do bolo
sobraram?
76
Dos 4 futuros professores, um deles não apresentou nenhuma resposta, além dos
cálculos
Um futuro professor apresentou resposta de 3
26 referenciando-se erroneamente
aos 3
2 como se fosse o resto de um bolo.
77
Um futuro professor desenvolveu o cálculo aritmético obtendo como resultado 3
26
e representou a situação de forma figural, indicando 5
2 de sobra, porém sem indicar
claramente o todo referência dos restos obtidos.
78
Um futuro professor fez uso de frações, somando as parcelas. Ao finalizar seus
cálculos, encontrou 5
2 de resto, mas também não indicou ao que se referenciava esta
sobra.
Em contrapartida, ao resolver este problema utilizando recursos figurais, a solução
facilmente tende a ter como resultado 6 fatias inteiras e uma sobra de 5
2 de um bolo.
Esta sobra na verdade refere-se a uma parte fracionária do quociente e não ao resto da
divisão. Esta também é uma resposta aceitável, desde que ao responder seja indicado
ao que se refere a fração encontrada: 5
2 de bolo.
Dentre os futuros professores, 6 deles apresentaram solução figural, porém
nenhum deles indicou a unidade de referência da fração.
79
Três sujeitos indicaram a solução de forma figural, obtendo 6 fatias vendidas e um
resto de 5
2. Porém não fizeram menção a o que se referia a fração.
80
Um futuro professor indicou apenas a sobra de 5
2 mencionando a quantidade de
apenas 5
3 de fatias vendidas.
Um futuro professor indicou a resposta de forma figural, além de somar as
parcelas. Ao final da soma, efetuou a subtração daquilo que seria possível ser vendido,
resultando num resto de 5
2, sem mencionar ao que se referia a fração.
81
Um futuro professor respondeu este problema incorretamente, transformando uma
grandeza contínua em uma grandeza discreta. Ao fazer a representação figural, ele
encontrou apenas 4 fatias de bolo para serem vendidas, repartindo cada bolo em 5
pedaços iguais, dos quais ele utilizou 3 partes, deixando outras 2 partes como sobra.
Este futuro professor não percebeu que com 2 fatias da sobra de um bolo e 1 fatia da
sobra de outro ele poderia formar uma nova fatia. Ele considerou o bolo individualmente
em uma situação real cortando as fatias separadamente. Além disso, não observou
que cada fatia deveria ser vendida de forma fracionada, levando suas respostas para a
divisão aos números inteiros.
Durante a resolução dos problemas, acompanhamos de perto a discussão de uma
dupla (futuros professores E e J). Abaixo segue a transcrição do diálogo.
Futuro Professor J – Aqui tem 1, 2, 3, uma fatia... 1, 2, 3, duas fatias... aí tem
1, 2, 3, três fatias... depois 1, 2, 3, quatro fatias... 1, 2, 3, cinco fatias... 1, 2, 3,
seis fatias.
Futuro Professor E – Então isso é um pedaço?
Futuro Professor J- É um pedaço!
82
Nesta discussão percebemos que os futuros professores E e J não se deram
conta de que ambos haviam feito o cálculo de maneira correta, porém não estavam
usando a mesma unidade de referência. Ao representar essa situação de forma figural,
o ultimo bolo apresenta a sobra de uma fatia de 5
3 de bolo. Ao efetuar os cálculos pelo
algoritmo da divisão, encontramos uma sobra de 5
2 de uma fatia. Essa fração na
verdade não se refere ao resto da divisão e sim a uma parte fracionária do quociente.
Portanto o resultado dessa divisão pode ser um número misto: 5
26 fatias.
Após a discussão, enquanto a professora apresentava a questão o grupo
percebeu a diferença nos referenciais: bolo e fatia. Nesse momento, de acordo com as
Futuro Professor E – Então tem dois pedaços, três pedaços, quatro pedaços,
cinco pedaços, seis pedaços...
Futuro Professor J – E sobram esses dois. Então seis pedaços e sobram dois
quintos.
Futuro Professor E – Essa é uma forma de fazer (apontando para o
desenho). Eu fiz assim (apontando para o cálculo). Vinte quintos dividindo os
bolos... deram seis pedaços e sobraram dois terços.
Futuro Professor J – E a resposta aqui embaixo não deu dois quintos.
Futuro Professor E – Não sei... Olha: quatro bolos são vinte dividido por
cinco, que vai dar quatro bolos, dividido por três quintos, que é a fatia do bolo.
Aí você inverte. Vai dar cem sobre quinze. Cem dividido por quinze, vai dar
seis pedaços inteiros e vai sobrar dez de quinze.
Futuro Professor J – Mas por que isso?
Futuro Professor E – Simplificando isso aqui por cinco, vai ficar seis pedaços
inteiros e dois terços.
Futuro professor J – Mas sobraram dez fatias de quinze?
Futuro Professor E – Então, é isso que eu estou na dúvida.
83
colocações feitas pelos sujeitos, entendemos que eles passaram a perceber a
importância do reconhecimento do todo referência.
Nossa investigação aponta novamente uma constatação que também foi
observada por Campos e Rodrigues (2010) ao investigar o conhecimento de alunos que
haviam completado a Educação Básica, e tanto naquela como nesta pesquisa notamos
também “um aspecto significativo da construção do conceito de número racional, que
permanece não apropriado por alunos até estágios de escolarização posteriores ao seu
ensino formal: a ideia de unidade” (CAMPOS e RODRIGUES, 2010, p.68).
4.2.2 Atividade 4: Problema 2 e 3
Na atividade seguinte, buscamos investigar os conhecimentos dos futuros
professores acerca do conhecimento do conteúdo especializado estabelecido por Ball
et al (2008).
Nesta tarefa, selecionamos duas situações problemas utilizadas pelas
pesquisadoras Pinto e Monteiro (2008) que ilustravam o conceito da divisão por partilha
equitativa.
Ao analisarmos os dados, percebemos que os sujeitos envolvidos não tiveram
dificuldades em resolver o primeiro problema:
Esta atividade pode ser resolvida pelo algoritmo da divisão. Divide-se 4
3 por 3 e a
resposta deste problema é 4
1. Todos os futuros professores chegaram a este resultado
utilizando métodos diferenciados.
Atividade 4 - Problema 2 (partilha equitativa): A mãe de Marta fez um
bolo de cenoura e dividiu em 16 fatias iguais. Marta levou para a escola 16
12
do bolo, que distribuiu igualmente em 3 pratos. Que porção do bolo ficou em
cada prato?
84
Três dos nossos colaborares não participaram desta atividade: os futuros
professores A, C e H.
Dos professores que apresentaram uma solução, dois deles utilizaram apenas o
algoritmo inverte e multiplica para chegar ao resultado, porém o segundo não indicou
na resposta ao que se referia a fração encontrada:
85
Dois futuros professores representaram a situação de forma figural, além de
utilizarem o algoritmo da divisão inverte e multiplica. Estes apresentaram uma resposta
ao problema.
86
Um futuro professor apresentou a resolução de forma figural além do algoritmo
inverte e multiplica, porém não indicou a unidade de referência da fração encontrada:
Um futuro professor apresentou resposta de forma figural, o que provavelmente o
levou a perceber que restava 3
1 do bolo. A partir disso, calculou
3
1 de
16
12 pela
multiplicação, mas não apresentou na resposta a unidade de referência da fração.
87
Um futuro professor registrou anotações de cálculo mental e finalizou
apresentando a resposta.
O futuro professor K efetuou a divisão de 16
12 por 3. Levando em conta que havia 12
fatias de 16
1 dividindo essa quantia em 3 pratos, obtendo 4 fatias de
16
1 para cada
prato, ou seja 16
4. Notamos aqui um cálculo mental rápido, já que é válido o algoritmo
utilizado: para dividir uma fração pela outra, é possível dividir os numeradores e os
denominadores ordenadamente, obtendo o numerador e o denominador da fração
quociente.
88
Consideramos que esta foi uma atividade realizada com sucesso pelos futuros
professores.
Dos nossos sujeitos de pesquisa, todos iniciaram transformando a fração mista
4
31 na fração imprópria
4
7.
Dois futuros professores fizeram uso do algoritmo inverte e multiplica a partir da
divisão de 4
7 por
5
4. Após encontrarem o resultado, apresentaram a resposta indicando
a unidade de referência da fração.
Atividade 4 - Problema 3 (partilha equitativa): Considerando que 5
4 de uma
corda mede 4
31 metros, quanto mede a totalidade da corda?
89
Um futuro professor apresentou solução de forma figural e efetuou a divisão de 4
7
por 5
4 utilizando o algoritmo inverte e multiplica. Ao final, indicou a resposta utilizando a
unidade de referência para a fração encontrada.
90
Um futuro professor utilizou o conceito de proporção, indicando a quarta
proporcional. Ao final indicou a unidade de referência da fração encontrada.
Um futuro professor indicou na solução o algoritmo inverte e multiplica, e justificou
seus cálculos utilizando o conceito de proporcionalidade.
91
Dois futuros professores efetuaram a divisão de 4
7 por 4 fazendo uso do algoritmo
inverte e multiplica. Tendo determinado a medida correspondente a uma parte,
adicionou esta parte às outras 4 já determinadas obtendo assim as 5 partes que
compunham a totalidade da corda. Destes dois professores, o primeiro fez uma
anotação deixando claro o motivo pelo qual lançou mão deste método. Ele afirma não
ter compreendido o motivo pelo qual se chega ao resultado correto dividindo 5
4 por
4
7.
Provavelmente ele aplicou o algoritmo inverte/multiplica mentalmente, invertendo a
primeira fração.
92
93
O futuro professor K enganou-se ao efetuar o cálculo, dividindo a fração que
representa o tamanho da corda
5
4 pela metragem estipulada
4
7. Coincidentemente,
ele chegou no resultado esperado, pois ao utilizar o algoritmo inverte e multiplica, se fez
válida a propriedade comutativa da multiplicação.
94
Durante a execução desta tarefa, tivemos a oportunidade de presenciar alguns
diálogos. Abaixo segue a transcrição de um deles:
Futuro Professor J: um inteiro e três quarto é equivalente à sete
quartos. Um quinto dividido por sete quartos é quatro sobre trinta e cinco.
Aí eu pensei e somar sete quartos sobre quatro por trinta e cinco
Futuro Professor E: então, mas o que eu acho que está errado aí é que,
como você vai dividir um quinto por...
Futuro Professor J: Não, não, não...desse aqui a gente vai tirar um
quinto...um quinto dividido por sete quartos...um quinto vezes quatro
sobre cin....sobre sete. Isso aqui é sete sobre quatro, sobre trinta e cinco,
que é isso aqui.
Futuro Professor E: Você concorda que aqui não está certo? Você está
fazendo a conta como se fosse o total da corda. Isso é quatro quintos da
corda.
Futuro Professor J: Mas como você vai fazer para achar um quinto...
quanto que um quinto mede?
Futuro Professor E: Então eu acho que agora sim, a conta que eu fiz
aqui, acho que esse é o total da corda. Aí se você tirar daqui. Você
pode... desse resultado aqui você pode dividir por um quinto. Ah, sei lá.
95
Diálogo estabelecido entre os futuros professores E e J, com intervenções da Professora.
Professora: Como você pensou?
Futuro Professor J: Eu pensei em tirar um quinto... eu queria saber
quanto que um quinto mede da corda. Aí depois eu ia pegar um quinto,
mais o que mede, mais o que ele está dando. Aí eu ia somar os dois e ia
achar o valor total.
Professora: Quatro partes da corda, então é um metro e três quartos.
Futuro Professor J: Então eu queria achar quanto que um quinto
equivale em metros também.
Professora: E qual estratégia você pode utilizar para chegar nessa
resposta?
Futuro Professor J: Eu vou dividir
Professora: Existe uma estratégia mais simples. Pensa, você já tem
quatro partes da corda. Você quer saber a equivalência da medida da
corda em metros.
Futuro Professor E: Você pode dividir isso aqui por quatro que você vai
achar a outra parte. Assim acha um quinto, né professora? Isso mesmo.
Divide isso aqui por quatro.
Futuro Professor J: Por quatro, né? Os sete quartos... Sete quartos
dividido por quatro, vai ficar sete sobre dezesseis. Quanto deu o seu
outro lá?
Futuro Professor E: Estou dividindo por quatro.
Futuro professor J: Sete dezesseis avos, né?
Futuro Professor E: É.
Futuro Professor J: Então, sete dezesseis avos é o quê? (risos)
Futuro Professor E: Um quinto da corda.
Futuro Professor E: Não é o que falta para dar um inteiro?
Futuro Professor J: Isso confunde a cabeça
Professora: Você já tem todas as respostas em mãos, mas não sabe a
quais perguntas elas respondem. Pense e interprete novamente a
questão do problema.
Futuro Professor J: O que é sete dezesseis avos?
96
O problema aparece com enunciado correto. Podemos perceber que o diálogo
entre os futuros professores apresenta bastante riqueza de detalhes. Embora os alunos
não tenham notado que basta uma divisão entre os números, as discussões e
processos foram bastante enriquecedores.
Esperava-se que os estudantes fizessem uso da quarta proporcional. Eles não
perceberam que para se obter este resultado bastava efetuar a divisão de 4
31 por
5
4.
4.3 O Currículo Oficial do Estado de São Paulo
Para analisar o Conhecimento Curricular proposto por Ball et al (2008)
apresentamos uma situação apresentada no material de apoio ao currículo de São
Paulo “Caderno do Professor” (2009). Nosso objetivo foi verificar como os futuros
professores analisaram uma situação problema apresentada no Currículo Oficial de São
Paulo:
Foi solicitado aos futuros professores para que se fizesse uma análise do
problema e classificasse a divisão envolvida de acordo com seu significado: medida,
partilha equitativa ou operação inversa da multiplicação. Neste momento os estudantes
já haviam assistido a apresentação dos modelos e significados da divisão. Nessa
tarefa, eles ainda deveriam apresentar uma justificativa explicando o modelo de divisão
escolhido.
Atividade 5: Se
3
2de uma lata de tinta dão para pintar
4
3 de uma parede, que
fração da parede conseguirei pintar com uma lata de tinta? (SÃO PAULO FAZ
ESCOLA, 6ª SÉRIE (7ºANO), 2009, 1º BIM., p.32).
97
4.3.1 Discussões do Problema: Atividade 5
O resultado desta divisão pode ser obtido fazendo uso de proporcionalidade:
3
2 da lata de tinta, pinta
4
3 de parede
1 lata inteira de tinta, pinta x partes da parede
Analisando a situação o futuro professor poderia perceber comparando 3
2 da lata
de tinta com 1 lata de tinta inteira, encontrando 2
3 como fator de proporcionalidade.
Dessa forma, comparando 4
3 da parede com x partes da parede, teríamos o produto
2
3.
4
3 chegando ao resultado de
8
9 da parede.
Tal esquema poderia, inclusive justificar o algoritmo IM (inverte e multiplica). Outro
esquema que poderia ser utilizado é o da quarta proporcional:
8
9
2
3
4
3
3
24
3
4
31
3
2 xxxx
Portanto, uma lata de tinta pinta 8
9 da parede, ou seja, uma parede inteira mais
8
1
de outra parede.
Esperava-se que o futuro professor indicasse que para solucionar este problema,
havia sido utilizado o conceito de divisão como partilha equitativa: quantas partes da
parede podem ser pintadas com uma lata de tinta inteira?
98
Dos participantes envolvidos na pesquisa obtivemos os seguintes resultados:
Um futuro professor efetuou a divisão de 4
3 por
3
2 e fazendo o uso do algoritmo
inverte e multiplica, chegou ao resultado de 8
9, porém não classificou o problema de
acordo com o significado da divisão nele contido.
99
Um participante fez uso da quarta proporcional, encontrando o resultado
corretamente, porém classificou o problema como sendo fatores e produto.
Três dos futuros professores também fizeram uso da quarta proporcional
classificando o problema corretamente como partilha equitativa.
100
101
Um dos participantes não apresentou o cálculo do problema e apenas afirmou
corretamente que se tratava de um caso de divisão como partilha equitativa.
Um dos sujeitos efetuou a divisão de forma incorreta dividindo a quantidade de
tinta pela porção da parede a ser pintada e concluiu classificando o problema como um
caso de partilha equitativa. Nota-se que apesar do erro de cálculo, este futuro professor
compreendeu o significado nele envolvido.
102
Um dos futuros professores efetuou a divisão corretamente fazendo uso do
algoritmo inverte e multiplica e concluiu classificando o problema como um caso de
divisão como medida.
Os resultados na resolução deste problema nos mostra que grande parte dos
professores alcançaram a compreensão do significado “partilha equitativa”
corretamente. Isso provavelmente favorecerá o trabalho do professor ao ensinar as
atividades contidas no currículo oficial do estado São Paulo.
4.4 Atividade 6: A divisão como operação inversa da multiplicação
O objetivo da atividade seguinte era analisar as estratégias utilizadas pelos futuros
professores ao resolverem um problema envolvendo a ideia da divisão como operação
inversa da multiplicação. Este conceito da divisão está associado ao Conhecimento do
Conteúdo Especializado (SCK), de acordo com as categorias de conhecimentos de Ball
et al (2008).
De acordo com Pinto e Monteiro (2008), “nesta categoria existe uma relação
multiplicativa entre três medidas, sendo uma delas o produto das outras duas”. Os
problemas que envolvem este significado geralmente são relacionados ao modelo de
área. (PINTO E MONTEIRO, 2008).
103
Como este problema está relacionado à área de um retângulo, para resolvê-lo
basta desenharmos um retângulo e dividi-lo em 20 casas, sendo 5 de comprimento e 4
de largura. Conforme informação no enunciado do problema, marcamos 3 das 4 casas
na largura, e hachuramos a área restante para completar as 6 das 20 casas de área.
Um problema, facilmente solucionável de forma figural.
Apenas um dos futuros professores representou a situação unicamente de forma
figural indicando o comprimento correspondente de 5
2.
Três futuros professores fizeram uso da quarta proporcional e chegaram ao
mesmo resultado.
Atividade 6: Determinar o comprimento de um retângulo que tem largura igual a
4
3 da unidade e de área
20
6 de unidades quadradas. (PINTO E MONTEIRO,
2008, p.212)
104
105
Cinco futuros professores efetuaram a divisão de 20
6 por
4
3, e chegaram também
ao mesmo resultado.
106
107
108
Apenas um futuro professor não obteve sucesso em sua resolução. Ele tentou
modelar o problema, mas atribuiu uma variável para a largura e outra para o
comprimento. Por este motivo não chegou à resposta correta.
4.5 Análise e Reelaboração dos problemas.
No semestre seguinte à realização da primeira intervenção, realizamos um novo
encontro com a mesma turma de Licenciatura em Matemática a fim de retomarmos a
discussão inicial da oficina (Atividade 2) sobre a criação de uma história adequada que
ilustrasse a divisão de 4
31 por
2
1.
Iniciamos o encontro fazendo uma reapresentação dos significados da divisão
descritos por Ma (1999) e Pinto e Monteiro (2008). Ainda falamos dos níveis de
conhecimentos segundo Shulman (1986) e que mais tarde foram refinados numa leitura
matemática por Ball (1990) e Ball et al (2008).
109
Nosso objetivo era fazer com que os sujeitos identificassem os erros cometidos
em suas atividades entregues no semestre anterior, e com base nas discussões acerca
dos significados, reelaborassem novos problemas observando a demarcação da divisão
utilizada para a criação das histórias.
O quadro a seguir nos dá o parecer percentual dos avanços alcançados pelos
futuros professores após a discussão dos significados. Pode-se notar também que
apesar dos avanços, ainda nos deparamos com alguns casos em que os significados
não ficaram muito claros, pois alguns futuros professores cometeram os mesmos
enganos cometidos anteriormente.
QUADRO 3: Parecer percentual nos avanços da reelaboração dos problemas da
atividade 2.
Atividade 2: Elaboração
Atividade 2: Reelaboração
Quantidade % Quantidade %
Elaboração correta
Divisão por ½ 12 27,3 14 66,7%
Elaboração incorreta
Divisão por 2
23 52,3 2 9,5%
Multiplicação por 2
0 0 1 4,8%
Multiplicação por ½
6 13,6 0 0
Histórias Inconsistentes
3 6,8 4 19,%
Total de problemas avaliados
44 21
A seguir apresentamos os protocolos gerados pelos futuros professores na reelaboração dos problemas.
110
1. História inconsistente:
111
Analisando as quatro situações, observamos que o Futuro Professor D,
utilizou-se corretamente da ideia de medida, todavia a inconsistência estava na
redação do texto. Na primeira situação, a estudante afirma que Luzia fez 4
3 de
bolo, o que na realidade não é possível. Já na segunda situação, o futuro
professor não deixa claro que a unidade os 4
3 é referente aos milhões de reais.
112
2. Divisão por dois:
3. Estratégia da Multiplicação por dois na solução da atividade 2:
Os protocolos apresentam situações inadequadas, mas não infundadas. Trata-se
de estratégias pensadas. Sabendo que o algoritmo da divisão por 2
1 envolve a
multiplicação do dividendo por 2, os futuros professores procuraram uma situação que
levasse a isso.
113
114
4. Elaboração correta:
115
116
117
118
Finalmente, é importante registrar que os resultados individuais destacados do
ocorrido nesta atividade, proposta meses após a intervenção, mostram que os domínios
dos conhecimentos necessários ao ensino dos futuros professores sobre os diferentes
significados foram ampliados. Analisando o desempenho individual pudemos observar a
(re)construção dos conhecimentos do conteúdo e do ensino por parte dos estudantes
investigados. Acreditamos que tal avanço é fruto da intervenção que envolveu essa
turma, favorecendo a superação dos conhecimentos limitados demonstrados
inicialmente.
119
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho é resultado de uma pesquisa de caráter qualitativo realizada com
estudantes do curso de Licenciatura em Matemática em uma universidade particular da
cidade de São Paulo entre os anos 2012 e 2013.
O objetivo principal desta investigação foi reconhecer quais eram os
conhecimentos necessários a um futuro professor de matemática para uma
compreensão adequada no que tange ao ensino da divisão entre frações. Para isso
iniciamos nossa investigação fazendo um levantamento sobre o que diziam as
pesquisas acerca deste assunto.
Nos fundamentamos inicialmente nos níveis de conhecimentos estabelecidos por
Shulman (1986), a saber o Conhecimento do Conteúdo Específico, o Conhecimento do
Conteúdo Pedagógico e o Conhecimento Curricular. Ainda nos apoiamos nas
categorias de conhecimentos de Ball et al (2008) que tratam de um refinamento dos
níveis de conhecimento de Shulman. São elas: Conhecimento do Conteúdo Comum,
Conhecimento do Conteúdo Especializado, Conhecimento do Conteúdo e dos
Estudantes, Conhecimento do Conteúdo e do Ensino e o Conhecimento Curricular.
No que se refere ao objeto matemático, nos firmamos nos modelos de divisão
estabelecidos por Ball (1990) também discutidos por Ma (1999), dentre os quais estão o
modelo de divisão por agrupamento, o modelo de divisão por repartição, e o modelo de
divisão como produto e fatores. Seguindo a mesma linha de pesquisa, fizemos uso dos
significados da divisão postos por Pinto e Monteiro (2008). As autoras classificam os
três significados da divisão como: a divisão como medida, a divisão como partilha
equitativa e a divisão como operação inversa da multiplicação. Pelo fato de haverem
grandes semelhanças entre as classificações dadas por estes dois estudos e por
termos trabalhado as situações propostas por Pinto e Monteiro (2008) durante a
intervenção, optamos por utilizar a classificação dos significados da divisão indicados
pelas últimas autoras.
Nossa pesquisa foi dividida em três partes: a pesquisa bibliográfica, a elaboração
das atividades que seriam aplicadas na intervenção junto a uma turma de licenciatura
em matemática e a intervenção, que foi realizada em quatro sessões.
120
Durante a intervenção foram aplicadas uma série de 6 atividades cujo tema central
era os significados da divisão, em especial a divisão entre frações.
Contamos com a participação de 11 sujeitos, dentre os quais 3 eram mulheres e 8
eram homens, com idade média entre 25 e 35 anos. Dentre eles, dois sujeitos já
atuavam como professores dos anos finais do ensino fundamental e uma como
professora dos anos iniciais, também do ensino fundamental.
Reiteramos que, para a elaboração das atividades, nos concentramos nos
significados da divisão de acordo com Pinto e Monteiro (2008), todavia também
utilizamos algumas das ideias de Ball (1990) e Ma (1999).
A atividade 1 foi baseada numa divisão sugerida por Ball (1990) e que mais tarde
seria utilizada também por Ma (1999). Tal tarefa consiste em efetuar a divisão 2
1
4
31 . O
objetivo dessa tarefa era verificar se os futuros professores eram capazes de aplicar
corretamente algum algoritmo da divisão e chegar ao resultado correto. Nesta tarefa
procuramos avaliar o Conhecimento do Conteúdo Comum (BALL et al, 2008). Esta foi
uma tarefa bem sucedida, pois 100% dos sujeitos envolvidos foram capazes de resolvê-
la corretamente, entretanto, os resultados das análises mostraram que todos os sujeitos
fizeram uso do algoritmo “inverte e multiplica” da divisão. Até aquele momento, os
sujeitos ainda não tinham tido contado com os modelos ou os significados da divisão
estabelecidos por Ma (1999) e Pinto e Monteiro (2008).
A atividade 2 foi baseada numa tarefa utilizada por Ma (1999) na qual o objetivo
era criar uma situação problema cuja solução fosse dada pela divisão 2
1
4
31 .
Solicitamos aos futuros professores que elaborassem 4 problemas, pois esperávamos
que nas histórias por eles criadas fossem contemplados os três significados da divisão.
Num primeiro momento, tínhamos 44 problemas para serem observados. Os resultados
apontaram que dos 11 futuros professores, apenas dois deles foram capazes de
elaborar histórias que levassem à divisão por meio. Dentre os erros cometidos
identificamos a divisão por 2, a multiplicação por 2
1, e algumas histórias inconsistentes,
ou seja, não permitiam ao leitor compreender a ideia envolvida no problema.
121
Das análises dos problemas elaborados no primeiro encontro, comparados à sua
reelaboração, podemos observar um avanço significativo na compreensão dos futuros
professores sobre a divisão 2
1
4
31 . De acordo com os dados obtidos, inicialmente
27,3% dos estudantes elaboraram os problemas corretamente. No retorno, seis meses
após a intervenção, vimos que essa porcentagem aumentou para 73,8%. Notamos
também que a porcentagem da elaboração de problemas de forma equivocada também
diminuiu. A mudança mais expressiva foi na divisão por 2, cuja porcentagem caiu de
52,3% para 5,2% dos problemas elaborados. A este respeito um único problema com
este erro foi apresentado na reelaboração. Observamos também que nenhum dos
problemas apresentados seis meses após a intervenção demonstraram confundir a
divisão por 2
1 com a multiplicação por
2
1. A porcentagem de erro para este caso, caiu
13,6% para 0%. Todavia houve uma ampliação da porcentagem dos problemas
inconsistentes na reelaboração. Na primeira fase, a porcentagem deste tipo de
problemas era de 6,8%. Já na segunda fase, essa porcentagem aumentou para 15,8%
(3 problemas). Entretanto, vale ressaltar que dos problemas com histórias
inconsistentes na fase de reelaboração, 2 deles foram apresentados pelo mesmo
sujeito. Ao analisarmos os sujeitos individualmente, confirmamos que este sujeito
permaneceu apresentando algumas limitações, mas vale destacar que este futuro
professor não atentou para o texto das duas situações, mas ao analisar a situação do
ponto de vista da ideia de divisão entre frações percebemos que ela foi apresentada
com correção (envolvia ideia de medida). Além disso, vale ressaltar que esse mesmo
sujeito elaborou corretamente um outro problema.
A atividade 3 foi baseada em uma tarefa apresentada por Pinto e Monteiro
(2008), sendo dividida em 2 partes. A primeira parte tratava de um exercício que
investigava a capacidade de efetuar a divisão de dois hexágonos regulares adjacentes
em partes, e envolvia o significado da divisão como medida. Nesta atividade,
esperava-se discutir com os sujeitos a ideia de medida em representações figurais.
Para responder com correção o futuro professor deveria ser capaz de extrair frações
dos hexágonos, mantendo a proporcionalidade em suas áreas. As análises dos
122
resultados mostraram que 100% dos envolvidos obtiveram sucesso em suas
resoluções. Isto significa que os sujeitos possuíam a habilidade de identificar frações
quando as mesmas são representadas geometricamente.
Na segunda parte desta tarefa os futuros professores deveriam resolver
aritmeticamente uma situação problematizada. O enunciado solicitava que fossem
representados os cálculos que resolveriam a situação, além da expressão aritmética.
Eles deveriam responder quantos trapézios consegue-se formar com 11 triângulos que
faziam parte da formação de 2 hexágonos adjacentes. Essa atividade, mesmo antes
da discussão em plenária, foi respondida com correção por todos os estudantes do
curso de licenciatura.
A atividade 4 foi dividida em três tarefas em forma de situações problema, cujas
soluções eram dadas pela divisão entre frações. Em todas as tarefas desta atividade
era possível identificar se os estudantes possuíam o conhecimento do conteúdo
especializado e o conhecimento do conteúdo e do estudante segundo Ball et al (2008)
além de favorecer a reflexão sobre esses pontos com os estudantes durante a
discussão geral.
O primeiro problema envolvia o conceito de divisão por medida. O principal
objetivo desta tarefa era verificar se os futuros professores eram capazes de
reconhecer o significado da divisão nele contido e identificar a unidade de referência
adequada para a resposta final. Esta tarefa continha duas unidades de referência
distintas, pois o quociente apresentava um número misto como resposta. O que se
esperava dos futuros professores era que eles indicassem a que se referia a fração
encontrada. Dos participantes envolvidos, 100% efetuaram os cálculos corretamente
dos quais 67% não indicaram a unidade de referência em sua resposta, 11%
apresentou o cálculo sem resposta, 11% acertou o cálculo, mas se enganou quanto a
unidade de referência e 11% não foram capazes de resolver os cálculos corretamente.
Durante as discussões ocorridas em sala observamos que os estudantes identificaram
os equívocos ocorridos e foi possível refletir sobre o papel da unidade de referência.
O segundo problema trazia o significado de divisão como partilha equitativa. Dos
sujeitos envolvidos, 3 deles não participaram desta atividade. Mesmo antes da
123
discussão e da reflexão em plenária, observamos que todos os participantes já haviam
resolvido a situação de forma correta, apresentando métodos de soluções variados.
Identificamos entre as soluções que 25% fizeram cálculo mental e 75% utilizaram o
algoritmo inverte e multiplica. Além disso, 50% dos participantes fizeram uma
representação figural da situação problema.
O terceiro problema também envolvia o conceito de divisão como partilha
equitativa. Essa tarefa apresentava a divisão de um número misto por uma fração.
Todos os sujeitos iniciaram transformando o número misto em fração imprópria. O
objetivo principal dessa tarefa era verificar se os futuros professores eram capazes de
interpretar o problema corretamente e efetuar os cálculos de maneira adequada. Os
resultados mostraram que 87,5% dos futuros professores responderam corretamente a
situação. Dos sujeitos envolvidos, observamos que 62,5% chegaram à resposta
correta fazendo uso do algoritmo inverte e multiplica, 25% obtiveram o resultado
correto fazendo uso da quarta proporcional e apenas 12,5% não foi capaz de
interpretar o problema corretamente. Nesse momento, observamos que os futuros
professores possuíam domínio parcial do conhecimento do conteúdo especializado
(BALL et al, 2008), mas durante a discussão em plenária, eles demonstraram
compreender a situação.
A atividade 5 foi extraída do projeto São Paulo Faz Escola (currículo oficial),
volume 1 da 6ª série (7º ano). O objetivo principal nessa tarefa era identificar em qual
dos modelos de divisão o problema se encaixava. Tratava-se de um problema
envolvendo o modelo de partilha equitativa. Para realizar essa tarefa era necessário
que o futuro professor tivesse o domínio sobre a categoria do conhecimento do
conteúdo e ensino definidos por Ball et al (2008). No primeiro momento, observamos
que 62,5% dos participantes já conseguiam classificar o problema corretamente como
partilha equitativa, 12,5% classificou como operação inversa da multiplicação, 12,5%
classificou com medida, e outros 12,5% apresentou apenas os cálculos sem efetuar a
classificação. Como vimos, a maioria dos professores envolvidos nessa atividade
absorveu corretamente o significado da divisão como partilha equitativa. Consideramos
que as discussões ocorridas até então favoreceram aos futuros professores a
124
compreensão sobre os diferentes significados. Acreditamos ainda que tal compreensão
poderia favorecer o processo de ensino das atividades presentes no currículo oficial do
estado de São Paulo.
A atividade 6 trazia um problema relacionado com a área de um quadrilátero,
cujas dimensões eram dadas por frações. Um problema facilmente solucionável de
forma figural. O objetivo nessa atividade era analisar as estratégias utilizadas pelos
professores ao resolverem um problema envolvendo a ideia da divisão como operação
inversa da multiplicação. Esse conceito da divisão está associado ao conhecimento do
conteúdo especializado, de acordo com as categorias de conhecimentos de Ball et al
(2008). Nessa atividade 50% dos participantes fizeram uso da representação figural e
obtiveram a resposta correta fazendo uso do algoritmo inverte e multiplica, 30% fizeram
uso da representação figural da quarta proporcional chegando ao resultado correto,
10% obteve o resultado apenas com a representação figural e 10% não chegou ao
resultado correto por erro de interpretação do problema. Nossas discussões e
socializações desses resultados iniciais, possivelmente permitiram a ampliação do
conhecimento dos participantes.
O interesse por nossa pesquisa se iniciou ao observarmos a inexistência de
trabalhos que tratassem, especificamente, desta temática no Brasil. Por ser um assunto
que permeia o currículo oficial do estado de São Paulo e por se tratar de um
conhecimento básico para qualquer professor de matemática, acreditamos na validade
deste trabalho como agente enriquecedor no campo da pesquisa em educação
matemática.
Nosso principal objetivo era investigar quais são os conhecimentos necessários ao
futuro professor de matemática para que este venha ensinar o conceito de divisão entre
frações de forma significativa.
Com base em nossos dados, buscamos responder a nossa questão de pesquisa:
Quais são os conhecimentos profissionais de estudantes de um curso de
Licenciatura em Matemática evidenciados durante a participação de uma
intervenção no qual lhes sejam garantidos espaços para estudar os três
significados da divisão entre frações?
125
Ao analisar o Conhecimento Comum do Conteúdo e o Especializado de acordo
com nossos resultados, observamos que no início da intervenção o uso do algoritmo
inverte e multiplica era o método predominante nas resoluções de cálculos que
envolvem divisão entre frações e, dessa forma, consideramos a necessidade de que se
discuta com futuros professores além da justificativa para a utilização do algoritmo IM, a
ampliação das reflexões sobre a possibilidade de utilização de outros algoritmos, tanto
do ponto de vista didático como da matemática. Além disso, o reconhecimento da
unidade de referência não era um conhecimento prévio de todos os futuros professores.
Tal conhecimento foi evidenciado durante a intervenção. Nesse sentido, acreditamos na
necessidade de que os cursos de formação inicial deveriam considerar tal necessidade.
Quanto ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo observamos também haver,
inicialmente, uma carência pontual em termos de interpretação de situações problemas,
o que pode gerar equívocos na elaboração de respostas e interpretação análise das
orientações contidas no currículo. Percebemos uma clara necessidade de um estudo
mais aprofundado sobre a divisão entre frações e, principalmente, a necessidade do
estudo dos significados da divisão nos cursos de formação inicial e continuada para
professores de matemática, pois acreditamos que o processo de aprendizagem é
diretamente afetado pelo repertório de conhecimentos do professor, sobretudo, o
Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes e do Conhecimento do Conteúdo e do
Ensino.
Durante nossa intervenção foi possível evidenciar a (re) construção destes
conhecimentos quando se favoreceu a discussão e reflexão dos licenciandos sobre a
análise de erros dos alunos e possibilidades de intervenção. Consideramos o tempo
como uma limitação deste estudo. Esta pesquisa poderia ter sido feita com um tempo
maior destinado à intervenção para cada situação problema, na qual o futuro professor
tivesse mais tempo para refletir sobre suas colocações em cada atividade. Portanto,
acreditamos na validade de investigações futuras que abordem este tema destinando
um tempo maior para a intervenção.
126
REFERÊNCIAS
BALL, D. Prospective elementar and secondary teachers´ understanding of division. Journal for
Research in Mathematics Education, 21(2), 13 2-144, 1990
BALL, D. L. et al. Content knowledge for teaching: what makes it special? In: Journal of
Teacher Education, November/December 2008, vol. 59.
BEHR, M. J., Lesh, R., Post, T. R., Silver, e. A. Rational Numbers Concepts, In Acquisition of
Mathematics Concepts and Process, Ed by Richard Lesh e Marsha Landau, Londres.
BERTONI, Nilza Eigenheer. Um novo paradigma no ensino e aprendizagem das frações. VIII
Encontro de Educação Matemática. Recife. 2004.
______. Pedagogia: Educação e linguagem Matemática IV. Frações e números fracionários,
Brasília: Universidade de Brasília, 2009.
CAMPOS, Tânia Maria Mendonça; RODRIGUES, Wilson Roberto. A ideia de unidade na
construção do conceito do número racional. Revemat: Revista Eletrônica de Educação
Matemática, v. 2, n. 1, p. 68-93, 2007.
DA PONTE, João Pedro. Da formação ao desenvolvimento profissional, v. 20, 1998. Disponível
em http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos-por-temas.htm
GARCIA SILVA, A.F.; DUARTE, A. R. S.; OLIVEIRA FILHO, D. V. Estudo da Multiplicação
e divisão dos números fracionários no currículo de matemática do estado de São Paulo, Boletim
GEPEM (Online), v.61, p.63-78, 2012.
GARCIA SILVA, A. F. O desafio do desenvolvimento profissional docente: análise da formação
continuada de um grupo de professores das séries iniciais do ensino fundamental, tendo como
objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagem das frações. Tese (Doutorado em
Educação Matemática). PUC/SP. São Paulo, 2007.
MA, L. Aprender e ensinar matemática elementar. Lisboa: SPM/Gradiva, 2009.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais. Terceiro e quarto ciclos do ensino Fundamental:
introdução aos parâmetros curriculares nacionais Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e
quarto ciclos do ensino Fundamental: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília
MEC. 1998.
127
NEVES, R. S. P. A divisão e os números racionais: uma pesquisa de intervenção
psicopedagógica sobre o desenvolvimento de competências conceituais de alunos e professores.
Tese (Doutorado). Universidade de Brasília, Brasília, 2008.
OLIVEIRA FILHO, D. Concepções de professores da rede pública estadual de São Paulo acerca
do ensino das frações no ensino fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)
Uniban, São Paulo, 2011
PINTO, H.; MONTEIRO, C. A. Divisão de números racionais. In. BROCARDO, J.
SERRAZINA, L. ROCHA, I. O sentido do número: reflexões que entrecruzam teoria e prática.
Lisboa: Escolar, 2008.
RODRIGUES, W. R., Números Racionais: um estudo das concepções dos alunos após o estudo
formal. Dissertação de mestrado em elaboração, PUC-SP, 2005.
SÃO PAULO. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental – 6ª série/7º ano 1º
bimestre. Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de Souza
Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter Spinelli. São Paulo: SEE,
2009.
SHULMAN, Lee S., Those who understand: knowledge Growth in teaching – Education
Researcher, Vol.15, nº2, 1986 pp. 4-14
VERGNAUD, G. La teoria de los campos conceptuales. Recherches en didáctique des
mathématiques, p. 133-170, 1990.
______. A Teoria dos Campos Conceituais. In: BRUN, Jean (Org.). Didáctica das Matemáticas.
(Trad.) Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155 – 191
______. A Teoria dos Campos Conceituais. In: CAMPOS, T.M.M. (coord). Curso monográfico
Altos Estudos. UNIBAN / CAPES 05 a 13 de agosto de 2010. ______. Palestra: A Teoria dos Campos Conceituais- UNIBAN / CAPES 25 de agosto de
2011.
128
ANEXO I
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título da Pesquisa: Conhecimento de Estudantes de Licenciatura em Matemática a Respeito dos
Processos de Ensino e de Aprendizagem da Divisão entre Frações
Nome do (a) Pesquisador (a): Vanessa Cristina de Carvalho Ito
Nome do (a) Orientador (a): Profª Drª Angélica da Fontoura Garcia Silva
O senhor(a) foi convidado(a) a participar desse estudo, que tem como tema “Conhecimento de
Estudantes de Licenciatura em Matemática a Respeito dos Processos de Ensino e de Aprendizagem da
Divisão entre Frações”, por ser acadêmico do Curso de Matemática Licenciatura plena. O objetivo dessa
pesquisa é investigar os conhecimentos profissionais de futuros professores que lecionarão Matemática
para os anos finais da educação básica, sobre a utilização de diferentes significados para o ensino do
conceito de divisão de fração.
Eu, Vanessa Cristina de Carvalho, portadora do RG 29.226.876-2, e do CPF 270.731.708-08,
residente à Avenida Américo Tornero, 590 casa 01 – Jd. Mauá – Mauá – SP, aluna do Programa de
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN,
Campus Maria Cândida, estou realizando um estudo sobre os conhecimentos profissionais de futuros
professores de Matemática no que concerne ao ensino da divisão entre frações, com orientação da Profa.
Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva.
Em qualquer momento do estudo, o Sr.(a) terá acesso aos profissionais responsáveis pela
pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas. Os contatos poderão ser feitos por telefone (11) 9
8217-7064, (11) 4578-5940, ou via e-mail: [email protected].
Fica, portanto, estabelecido que o (a) Sr.(a) está participando de livre e espontânea vontade e
que, se desejar, tem o direito de desistir de sua participação a qualquer momento. As informações nessa
pesquisa serão mantidas em sigilo, garantindo, desta forma, seu anonimato. A divulgação dos resultados
será utilizada somente para esta pesquisa.
Não haverá despesas pessoais para o participante em qualquer fase do estudo.
São Paulo, 04 de dezembro de 2012.
_________________________________ Vanessa Cristina de Carvalho Ito
_________________________________
Angélica da Fontoura Garcia da Silva
Pesquisador: Vanessa Cristina de Carvalho Ito, RG 29.226.876-2, tel.: (11) 9 8217-7064
Orientador: Profª Drª Angélica da Fontoura Garcia Silva, RG: 11.796.468-2, tel.: (11) 9 9544-
1814
Comissão de Ética: tel.: (11) 2967- 9077
E-mail: [email protected]
129
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Entendo que fui convidado (a) a participar como voluntário(a) dessa pesquisa e
acredito ter sido suficientemente informado(a) segundo o que li e o que me foi explicado
a respeito da mesma. Ficaram claros para mim quais os propósitos do estudo, as
garantias de confidencialidade e de esclarecimentos permanentes bem com o fato de
que minha participação é isenta de despesas.
Eu,
________________________________________________________________,
concordo voluntariamente em participar deste estudo e poderei retirar o meu
consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades ou
perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido com a minha participação neste
estudo.
Assinatura do participante: _________________________________________
RG:_______________________
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e
Esclarecido deste colaborador para a participação neste estudo.
Assinatura do pesquisador responsável pelo estudo
____________________________________
São Paulo, ___/___/___.
130
ANÉXO II
TERMO DE COMPROMISSO
Declaro que, no desenvolvimento do Projeto de Pesquisa Conhecimento de
Estudantes de Licenciatura em Matemática a Respeito dos Processos de Ensino e
de Aprendizagem da Divisão entre Frações antes do início da coleta de dados,
juntarei na Folha de Rosto os dados e a assinatura do responsável pela instituição onde
será realizada a pesquisa.
São Paulo, 04/12/2012
____________________________________________
Profª Drª Angélica da Fontoura Garcia da Silva
Orientadora
____________________________________________
Vanessa Cristina de Carvalho Ito
Orientanda
131
APÊNDICE I
Prezado Acadêmico,
O questionário abaixo tem por objetivo obter elementos para subsidiar a elaboração
de um estudo sobre os conhecimentos profissionais de futuros professores de
Matemática no que concerne ao ensino da divisão entre frações.
Os sujeitos terão sua identidade preservada, não sendo identificados.
Os dados servirão para a pesquisa de Vanessa Cristina de Carvalho Ito, sob o titulo:
Conhecimento de Estudantes de Licenciatura em Matemática a Respeito dos
Processos de Ensino e de Aprendizagem da Divisão entre Frações.
Obrigado.
Nome:__________________________________________________________
QUESTIONÁRIO
1. Qual o ano de conclusão do ensino Médio? __________________
2. Você considera que seu desempenho na disciplina de matemática durante a
Educação Básica foi.
( ) Excelente, ( ) Muito Bom, ( ) Bom, ( ) Péssimo, ( ) Ruim
3. Você concluiu o Ensino Médio:
Regular ( ) Técnico ( ) EJA ( ) Outros ___________________
4. Sua idade : ______________________________________
5. Você estudou no Ensino Médio em:
( ) Escola Pública, ( ) Escola Particular
132
6. Por que escolheu o curso de Licenciatura em Matemática.
( ) gosta de Matemática;
( ) quer ser professor de Matemática;
( ) Pelas oportunidades de trabalho;
( ) Falta de opção de curso.
7. Você considera que seu desempenho no curso de Licenciatura em Matemática é:
( ) Excelente, ( ) Muito Bom, ( ) Bom, ( ) Péssimo, ( ) Ruim
8. Você tem alguma experiência como professor de Matemática ?
sim ( ) não ( )
9. Se você respondeu sim à pergunta anterior, diga se já trabalhou com alunos o
tema divisão entre frações e comente como foi.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________
133
APÊNDICE II
NOME:_________________________________________________R.A_________
Atividade 1: Efetuar a divisão 2
1
4
31 .
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
134
APÊNDICE III
NOME:_________________________________________________R.A_________
Atividade 2:
“O que você diria ser uma boa situação ou história para 2
1
4
31 ,
algo real para a qual 2
1
4
31 é a formulação matemática adequada?”
(BALL, 1990)
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
135
APÊNDICE IV
NOME:____________________________________________________R.A_________
SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO DIVISÃO COM FRAÇÃO: ATIVIDADE 3
Atividade 3.1: Consideremos dois hexágonos adjacentes como a unidade. Represente:
a) As metades da figura:
b) Os quartos da figura:
c) Os sextos da figura:
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
136
d) Os duodécimos da figura:
137
Atividade 3.2: Considerando a unidade anterior, determine quantos trapézios cabem em 11 triângulos, e em seguida represente os cálculos aritmeticamente.
1. Um dos alunos resolveu o problema anterior e encontrou como resultado 6
13 .
Discuta esta resposta.
Expressão aritmética:
Cálculos:
138
APÊNDICE V
NOME:_________________________________________________R.A________ SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES: MEDIDA
Atividade 4 - Problema 1:
Numa confeitaria foram vendidos 4 bolos em fatias de 5
3 de bolo. Quantas fatias
foram vendidas e quanto sobrou?
1. Ao resolver o problema anterior, dois alunos encontraram diferentes resultados.
O aluno A encontrou 5
2 como resto da divisão, enquanto o aluno B encontrou
3
2.
Comente a estratégia de raciocínio de cada um dos alunos.
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
139
APÊNDICE VI
NOME:_________________________________________________R.A_________
SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES: PARTILHA EQUITATIVA
Atividade 4 - Problema 2: A mãe de Marta fez um bolo de cenoura e dividiu em
16 fatias iguais. Marta levou para a escola 12/16 do bolo, que distribuiu igualmente
em 3 pratos. Que porção do bolo ficou em cada prato?
Atividade 4 - Problema 3: Considerando que 4/5 de uma corda mede 1 ¾
metros, quanto mede a totalidade da corda?
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
140
APÊNDICE VII
NOME:_________________________________________________R.A_________
ANALISAR A SITUAÇÃO PRESENTE NO CADERNO DO PROFESSOR,
CLASSIFICÁ-LA EM DIVISÃO COMO MEDIDA, COMO PARTILHA OU FATORES E
PRODUTO E JUSTIFICAR A RESPOSTA
Atividade 5:
.
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
141
APÊNDICE VIII
NOME:_________________________________________________R.A_________
SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO DIVISÃO COM FRAÇÃO: A DIVISÃO
COMO OPERAÇÃO INVERSA DA MULTIPLICAÇÃO
Atividade 6: Determinar o comprimento de um retângulo que tem largura igual
a4
3 da unidade e de área
20
6de unidades quadradas.
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
