UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO FACULTAD DE …pablos/PROBABILIDAD Y ESTADISTICA... · Figura 2.4...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y

AGRIMENSURA

CARRERA: INGENIERIA MECANICA

CATEDRA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

MATERIAL DE TRABAJO N° 2

ANEXO

AÑO 2017

Profs. Noemí Ferreri y Graciela Carnevali Página 2

INDICE

EJEMPLO 1……………………………………………………………………………………………… 3

EJEMPLO 2 ……………………………………………………………………………………………… 8

EJEMPLO 3 ……………………………………………………………………………………………….17


Ejemplo 1: (Adaptado del libro “Estadística práctica con Minitab de P. Grima Cintas y otros, Pearson

Prentice Hall, Madrid, 2004)

Una bodega que produce vinos de alta calidad puso en marcha un plan para disminuir el

n° de defectos que se producen en la presentación de sus botellas, es decir, en relación al

aspecto exterior de las mismas. Este está compuesto por un conjunto de elementos

(cápsula, collarín, óvalo, etiqueta, contraetiqueta, etc.) que se colocan en líneas que

funcionan a alta velocidad.

En una primera etapa se decidió analizar las botellas del vino espumante, producto más

destacado de la bodega y con ese objetivo se seleccionaron al azar botellas de ese vino.

En cada botella se observaron los defectos encontrados y para cada uno se registró su

ubicación.

En las botellas inspeccionadas, se detectaron 318 defectos, los cuales, en este ejemplo

se clasifican según su ubicación en: (1) Collarín (2) Tirilla (3) Etiqueta (4) Contraetiqueta

(5) Cápsula (6) Tapón (7) Morrión

Los valores obtenidos son los siguientes:

2 2 1 1 3 1 2 2 3 3 3 1 4 5 1 1

3 4 2 1 3 3 3 2 4 2 6 4 1 3 4 4

3 2 3 5 1 5 1 3 3 3 3 2 1 2 2 3

1 2 2 4 2 1 1 2 3 2 2 3 2 1 1 1

3 1 3 2 3 3 3 2 3 1 2 4 3 3 2 3

5 3 3 3 2 1 2 4 4 1 4 4 2 1 3 3

2 1 4 3 1 2 4 3 4 3 5 2 2 3 2 1

2 3 1 3 3 1 2 1 2 3 2 3 7 3 1 5

2 3 1 1 5 2 3 3 1 3 3 1 2 1 3 3

2 1 3 2 5 1 2 1 3 1 4 3 2 3 1 2

3 3 2 2 3 2 2 7 2 3 4 3 3 1 3 3

2 3 3 3 2 1 7 4 2 5 7 1 6 3 3 1

2 1 3 2 1 1 5 7 1 3 2 5 3 4 2 1

4 3 2 3 3 3 1 3 1 3 5 3 4 1 3 3

2 3 3 3 1 3 3 2 7 2 2 3 2 3 3 1

1 3 2 2 3 1 2 2 3 5 3 2 1 2 1 3

2 2 3 2 4 4 3 4 1 1 1 1 7 2 1 1

1 3 3 2 2 2 1 3 1 3 1 2 6 2 3 3

4 2 2 3 3 1 4 3 2 2 1 2 3 3 5

3 5 3 3 5 3 1 1 3 1 3 1 1 3 2


Para este ejemplo se define:

Población física: el conjunto de los infinitos “defectos o imperfecciones” de presentación

en botellas de vino espumante producidas en la bodega

Variable: Localización del defecto (variable cualitativa, escala nominal)

Población estadística: el conjunto de las “infinitas” localizaciones obtenidas a partir de los

“infinitos” defectos observados en botellas de vino espumante

Se trata de un estudio por muestreo. Se seleccionaron botellas, en cada una se

observaron los defectos y finalmente se cuenta con una muestra de n = 318 defectos de

presentación

Tabla 1.1. Tabla de distribución de frecuencias

(Localización del defecto) ni

(N° de defectos)

fi

(Proporción de

defectos)

(1) Collarín 74 0,2327

(2) Tirilla 81 0,2547

(3) Etiqueta 111 0,3491

(4) Contraetiqueta 26 0,0818

(5) Cápsula 16 0,0503

(6) Tapón 3 0,0094

(7) Morrión 7 0,0220

Total 318 1,0000

Observación: Recuerde que la variable en estudio es cualitativa y está medida

en escala nominal, por ello no tiene sentido obtener frecuencias acumuladas

Tomando, a modo de ejemplo, la segunda línea de la tabla, las frecuencias obtenidas

pueden interpretarse de la siguiente manera:

- c2 (valor de la variable): El defecto se localiza en la Tirilla

- n2 = 81 (frecuencia absoluta) 81 defectos se localizaron en la tirilla de la botella

- f2 = 0,2547 (frecuencia relativa, luego multiplicada por 100 para interpretarla como

porcentaje) El 25,47 % de los defectos se localiza en la tirilla de la botella.


Proporción de defectos

Figura 1.1. Clasificación de los defectos de presentación de botellas de vino espumante, según su localización

Figura 1.2. Diagrama de Pareto para la localización de los defectos de presentación en botellas de vino espumante

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

(7) Morrión

(6) Tapón

(5) Cápsula

(4) Contraetiqueta

(3) Etiqueta

(2) Tirilla

(1) Collarín

Conteo 111 81 74 26 16 10

Porcentaje 34,9 25,5 23,3 8,2 5,0 3,1

% acumulado 34,9 60,4 83,6 91,8 96,9 100,0

C13 Otro54123

350

300

250

200

150

100

50

0

100

80

60

40

20

0

Co

nte

o

Po

rce

nta

je

Localización del defecto


Figura 1.3. Diagrama de puntos para la localización de los defectos de presentación en botellas de vino espumante. En el eje horizontal se encuentran los códigos de las diferentes localizaciones y en el eje vertical, las frecuencias relativas correspondientes. La barra se reemplaza por un punto.

Figura 1.4. Diagrama de sectores para la localización de los defectos de presentación en botellas de vino espumante. En este caso, dado que el n° de categorías es alto, el gráfico no es la opción más apropiada.

De los diferentes gráficos se observa que los defectos se localizan más frecuentemente en la etiqueta, luego en la tirilla y en el collarín. Las restantes localizaciones se presentan con mucha menor frecuencia

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(7) Morrión2,2%

(6) Tapón0,9%

(5) Cápsula5,0%

(4) Contraetiqueta8,2%

(3) Etiqueta34,9% (2) Tirilla

25,5%

(1) Collarín23,3%

Localización de los defectos de presentación de botellas de vino espumante


Cálculo e interpretación de las medidas características:

En lo que sigue se presenta el cálculo y la interpretación de las diferentes medidas

características consideradas en este material. En la Tabla 1.2 se resumen todas ellas.

Moda: Claramente, la moda es la tercera clase: “etiqueta”. Como ya se vio en todos los

gráficos, más frecuentemente los defectos de presentación de las botellas de vino

espumante se localizan allí.

Proporción: Se pueden obtener proporciones para cada una de las localizaciones. Por

ejemplo, la proporción de defectos en el collarín es 0,23 y la proporción de defectos en la

contraetiqueta es 0,08.

Tabla 1.2. Medidas características correspondientes a los 318

defectos de presentación en botellas de vino espumante.

Medida Valor obtenido Interpretación

Moda “etiqueta” La mayor proporción de defectos se presenta en la etiqueta

Proporciones fo(collarín) = 0,23 fo(contraetiqueta) = 0,08

El 23 % de los defectos se localiza en el collarín. El 8 % de los defectos se localiza en la contraetiqueta.


Ejemplo 2: En una industria textil interesa evaluar la calidad del estampado en las telas

de algodón. Con ese objetivo, de la producción de un día en particular se toma una

muestra de 80 trozos de tela (de 1 m2 de superficie cada uno) y en cada uno se observa

la cantidad de defectos.

Los valores obtenidos son los siguientes:

2 2 2 1 1 1 1 3

1 1 1 3 1 0 0 1

2 1 2 3 1 0 2 1

0 2 3 0 5 0 2 2

2 0 2 2 0 4 0 1

2 1 3 0 2 0 3 1

0 1 1 2 2 1 1 0

3 3 0 1 1 1 4 2

1 1 3 1 1 0 2 1

1 0 1 3 0 2 1 2



Población física: el conjunto de los infinitos trozos de 1 m2 de tela de algodón que se

producen en la empresa

Variable: N° de defectos (variable cuantitativa discreta)

Población estadística: el conjunto de las infinitas cantidades de defectos obtenidas a partir

de los infinitos trozos

Se trata de un estudio por muestreo. El tamaño de la muestra (n) es 80 unidades.

Tabla 2.1. Tabla de distribución de frecuencias

xi

(N° de defectos

por trozo)

ni

(N° de trozos)

fi

(Proporción de

trozos)

Ni

(N° de trozos)

Fi

(Proporción de

trozos)

0 17 0,2125 17 0,2125

1 30 0,3750 47 0,5875

2 20 0,2500 67 0,8375

3 10 0,1250 77 0,9625

4 2 0,0250 79 0,9875

5 1 0,0125 80 1,0000

Total 80 1,0000 -- --

Tomando, a modo de ejemplo, la tercera línea de la tabla, las frecuencias obtenidas


- x3 (valor de la variable): 2 defectos por trozo

- n3 = 20 (frecuencia absoluta) En 20 trozos se observaron 2 defectos por trozo


porcentaje) En el 25 % de los trozos se observaron 2 defectos por trozo

- N3 = 67 (frecuencia absoluta acumulada) En 67 trozos se observaron hasta 2

defectos por trozo

- F3 = 0,8375 (frecuencia relativa acumulada, luego multiplicada por 100 para

interpretarla como porcentaje) En el 83,75 % de los trozos se observaron hasta 2

defectos por trozo


N° de Trozos

N° de defectos por trozo

Figura 2.1 Gráfico de bastones obtenido con Excel.

Dado que Excel no tiene este tipo de gráfico, se construyó como un gráfico de barras verticales y se maximizó la separación entre barras, para que estas resulten lo más angostas posibles

a- Obtenido con Excel. Excel sólo marca los puntos y no las líneas

horizontales, como se presentan en la Figura 2.5 (Material 2)

b- Obtenido con Minitab

Figura 2.2 Gráfico escalonado para el n° de defectos por trozo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5

Pro

po

rció

n d

e t

rozo

s (F

i)

N° de defectos por trozo543210

100

80

60

40

20

0

N° de defectos

Po

rce

nta

je

Gráfico escalonado

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5


Figura 2.3 Diagrama de puntos para el n° de defectos por trozo de tela, construido con Minitab. Este gráfico y la Figura 2.1 coinciden en este caso en el que se estudia una variable discreta.

Tallo y hoja de C2 N = 80

Unidad de hoja = 0,10

17 0 00000000000000000

(30) 1 000000000000000000000000000000

33 2 00000000000000000000

13 3 0000000000

3 4 00

1 5 0

Figura 2.4 Diagrama de tallo y hoja para el n° de defectos por trozo de tela, construido con Minitab. En este caso en el que se tenían valores sin cifras decimales,

Minitab consideró a la parte entera como tallo y a la cifra decimal (0) como hoja.

Observación: Los números que Minitab indica a la izquierda del diagrama de tallo y hoja

son las frecuencias acumuladas hasta el tallo en el que se encuentra la mediana y

antiacumuladas desde ese tallo. Para el tallo en el que se encuentra la mediana (que en

este caso es el segundo) Minitab señala la cantidad de datos que se observan (en este

caso, 30).

543210

N° de defectos

Gráfica de puntos


Figura 2.5 Diagrama de Caja y Bigotes para el n° de defectos por trozo. En este caso, Minitab señala 3 trozos

con valores atípicos: los que tienen 4 y 5 defectos. El valor de la mediana coincide con el del primer cuartil.

De los gráficos se observa que: - la cantidad de defectos por trozo varía entre 0 y 5 unidades; siendo los valores más frecuentes el 1 (en primer lugar), el 2 y el 0. - la forma de la distribución es asimétrica, a la derecha: los valores más frecuentes son los menores (0, 1, 2); mientras que el 4 y el 5 se dan con muy baja frecuencia. - existen valores atípicos “grandes”, detectados en el diagrama de caja y bigotes.

5

4

3

2

1

0

N° d

e d

efe

cto

s

Gráfica de caja





Promedio:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: Si se suman los 80 valores, y se divide ese

total por 80, el promedio resulta 1,413x defectos.

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: A partir de la Tabla 2.1 se obtienen los

siguientes cálculos, que van a servir para obtener no sólo el promedio sino también la

variancia.

Tabla 2.2 Cálculos necesarios para obtener promedio y variancia

xi ni xini xi2ni

0 17 0 0

1 30 30 30

2 20 40 80

3 10 30 90

4 2 8 32

5 1 5 25

Total 80 113 257

,

j jj

x n

x

6

1 1131 413

80 80

1,413x defectos En promedio, los trozos de tela investigados tienen 1,413

defectos.

Observación: En las calculadoras científicas, Modo Estadística, se “cargan” los datos de

las dos primeras columnas de la Tabla 2.2 y se obtiene el promedio (y también la

desviación estándar).

Moda: Del gráfico de bastones, de la tabla de distribución de frecuencias y del diagrama

de tallo y hoja se observa claramente que 1 es el valor más frecuente.

1x defecto Más frecuentemente los trozos tienen 1 defecto.


Mediana:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: En el Diagrama de Tallo y Hoja se presentan

los datos ordenados de menor a mayor (Figura 2.4). Allí se puede localizar el valor que se

encuentre en el centro (promediando la posición 40° y 41°, ya que se cuenta con n = 80

datos). En ambos lugares, el valor es 1, de modo que 1x defecto.

Observe que el diagrama de tallo y hoja construido por Minitab, indica en qué tallo está la

Mediana, señalando entre paréntesis su frecuencia absoluta.

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: En la Tabla 2.1 la primera clase cuya

frecuencia relativa acumulada es como mínimo 0,50, es la segunda ya que F2 = 0,58 y F1

< 0,50. Por ese motivo, para ese conjunto de datos, 1x defecto.

1x defecto El 50 % de los trozos de tela investigados tiene hasta 1 defecto (y

el 50 % restante tiene 1 defecto o más).

De manera análoga a la mediana se obtienen los cuartiles:

q1 = 1 defecto El 25 % de los trozos de tela investigados tiene hasta 1

defecto (y el 75 % restante tiene 1 defecto o más).

q3 = 2 defectos El 75 % de los trozos de tela investigados tiene hasta 2 defectos

(y el 25 % restante tiene 2 defectos o más).

Media truncada al 5 %:

Dado que n = 80, se eliminan 4 valores (5% de 80) a cada lado y se promedian los 72

restantes:

5% 1,347x defectos En promedio, el 90 % central de los trozos de tela

investigados tienen 1,347 defectos.

Media geométrica: la variable asume valores 0, de modo que la media geométrica no

puede calcularse, se anula.


Rango: El valor mínimo es 0 y el máximo es 5 defectos, por lo tanto, el rango vale 5

defectos.

r = 5 defectos La máxima diferencia que se observa en los trozos de tela

analizados es de 5 defectos.

Rango Intercuartílico: El primer cuartil vale 1 y el tercero vale 2, por lo tanto, el rango

intercuartílico vale 1 defecto.

ric = 1 defecto La máxima diferencia que se observa en el 50 % central de los

trozos de tela analizados es de 1 defecto.

Variancia y desviación estándar:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: Si se aplica la definición de variancia a los 80

valores, se obtiene 2 1,233s (defectos)2.

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: Con los cálculos obtenidos en la Tabla

2.2 y el valor del promedio, se obtiene:

( ),

,

j jj

x n nx xx

sn

62 2

212 257 80 1 413

1 2331 79

s2 = 1,233 (defectos)2 El promedio de los desvíos cuadrados entre cada valor y

el promedio es 1,233 (defectos)2

Aplicando raíz cuadrada a la variancia se obtiene la desviación estándar, s = 1,11

defectos.

s = 1,11 defectos La dispersión “promedio” de las cantidades de defectos,

alrededor de la media es aproximadamente 1,11 defectos.

Observación: la expresión “dispersión promedio” está entre comillas porque no se trata de

un promedio en el sentido estricto de su definición, sino en lo que se busca obtener con la

desviación estándar.


Tabla 2.3 Medidas características correspondientes a los 80 trozos de tela analizados.

Simbología e interpretación


Med

idas d

e p

osic

ión

o localiz

ació

n

Valor mínimo xmín: 0 defectos El menor n° de defectos observado

en los trozos de tela es 0

Valor máximo xmáx: 5 defectos El mayor n° de defectos observado en los trozos de tela es 5

Cuartil 1 q1: 1 defecto El 25 % de los trozos de tela investigados tiene hasta 1 defecto (y el 75 % restante tiene 1 defecto o más)

Cuartil 2 o Mediana

1x defecto El 50 % de los trozos de tela investigados tiene hasta 1 defecto (y el 50 % restante tiene 1 defecto o más)

Cuartil 3 q3: 2 defectos El 75 % de los trozos de tela investigados tiene hasta 2 defectos (y el 25 % restante tiene 2 defectos o más)

Moda 1x defecto

Más frecuentemente, los trozos de tela analizados presentan 1 defecto

Promedio o media aritmética

,1 413x defectos En promedio, los trozos de tela presentan 1,4 defectos

Media geométrica No se puede obtener en este caso

Media truncada al 5 %

% ,5 1 347x defectos En promedio, el 90 % central de los trozos de tela presentan 1,35 defectos

Med

idas d

e v

ari

ab

ilida

d o

dis

pers

ión

Variancia s2: 1,233 (defectos)

2 El promedio de los desvíos

cuadrados entre cada valor y el promedio es 1,233 (defectos)

2

Desviación estándar

s:1,11 (defectos) La dispersión “promedio” de las cantidades de defectos, alrededor de la media es 1,11 defectos

Coeficiente de variación

cv: 78,6 % La desviación estándar del n° de defectos representa un 78,6 % del promedio

Rango r: 5 defectos La mayor diferencia observada en los 80 trozos analizados es de 5 defectos.

Rango intercuartílico

riq: 1 defecto La mayor diferencia observada en el 50 % central de los trozos es de 1 defecto

En este caso, se observó la presencia de valores atípicos y asimetría a la derecha. Por

ese motivo, se elige a la mediana y los cuartiles como medidas de localización y al rango

intercuartílico como medida de variabilidad.

Además, la moda es un valor que refleja adecuadamente lo que se destaca en ese

conjunto: la mayoría de los trozos tienen 1 defecto.


Ejemplo 3: En un proceso de producción de válvulas estas se someten a inspección. Las

válvulas cuyos diámetros están por encima de la especificación se rectifican, mientras que

aquellas cuyos diámetros están por debajo se desechan. Las especificaciones para el

diámetros de las válvulas están dadas por el siguiente intervalo: (2” – 2,2”).

Con el objeto de conocer el comportamiento del espesor de las válvulas producidas, en la

empresa deciden tomar una muestra de 100 unidades y en cada una evalúan su espesor.

Los datos obtenidos son los siguientes:

2,12 2,19 2,02 2,15 2,12 2,16 2,15 2,23 2,08 2,05

2,06 2,10 2,06 1,98 2,12 2,04 2,10 2,18 2,00 2,23

2,08 2,11 2,09 2,18 1,92 2,08 2,18 2,11 2,02 2,17

2,02 2,01 2,14 2,17 2,16 2,04 2,14 2,19 2,10 2,04

1,97 2,12 2,13 1,94 2,02 2,17 2,01 1,97 2,17 2,26

2,03 2,07 2,17 2,06 2,21 2,13 2,17 2,12 2,02 2,13

2,11 2,13 2,10 2,10 2,08 2,15 2,01 2,13 2,14 2,07

1,98 2,05 2,12 1,95 2,15 1,90 2,17 2,25 2,13 2,22

2,21 2,04 2,14 2,08 2,19 2,19 2,13 2,20 2,08 2,11

2,10 2,14 2,12 2,02 2,07 2,06 1,94 1,99 2,11 2,04



Población física: el conjunto de las “infinitas” válvulas que se producen en la empresa

Variable: Diámetro (variable cuantitativa continua)

Población estadística: el conjunto de los “infinitos” diámetros obtenidos a partir de las

“infinitas” válvulas

Se trata de un estudio por muestreo. El tamaño de la muestra (n) es 100 válvulas

Tabla 3.1. Tabla de distribución de frecuencias para el diámetro de las válvulas

ci

(Diámetro,

agrupado en

intervalos)

ni

(N° de válvulas)

fi

(Proporción de

válvulas)

Ni

(N° de válvulas)

Fi

(Proporción de

válvulas)

(1,85 ; 1,90] 1 0,01 1 0,01

(1,90 ; 1,95] 3 0,03 4 0,04

(1,95 ; 2,00] 6 0,06 10 0,10

(2,00 ; 2,05] 16 0,16 26 0,26

(2,05 ; 2,10] 16 0,16 42 0,42

(2,10 ; 2,15] 30 0,30 72 0,72

(2,15 ; 2,20] 20 0,20 92 0,92

(2,20 ; 2,25] 6 0,06 98 0,98

(2,25 ; 2,30] 2 0,02 100 1,00

Total 100 1,0000 -- --

Tomando, a modo de ejemplo, la quinta línea de la tabla, las frecuencias obtenidas


- c5 (intervalo de clase): Diámetros en el intervalo (2,05” – 2,10”]

- n5 = 16 (frecuencia absoluta) En 16 válvulas, el diámetro se encuentra entre

2,05” y 2,10”


porcentaje). En el 16 % de las válvulas, el diámetro se encuentra entre 2,05” y

2,10”

- N5 = 42 (frecuencia absoluta acumulada) En 42 válvulas, el diámetro mide hasta

2,10”


- F5 = 0,42 (frecuencia relativa acumulada, luego multiplicada por 100 para

interpretarla como porcentaje) En el 42 % de las válvulas, el diámetro mide hasta

2,10”

En este ejemplo se consideraron 9 intervalos, de amplitud 0,05, abiertos por izquierda;

pero podrían haberse considerado otros agrupamientos.

En la Figura 3.1 se presentan tres histogramas. El primero corresponde a los intervalos

utilizados en la Tabla 3.1. Los dos que se encuentran debajo tienen más y menos

intervalos. El histograma construido con un mayor número de clases es el que Minitab

brinda “por default”. Los restantes, fueron solicitados a Minitab por el usuario.

Observe cómo cambiando la cantidad de intervalos y, consecuentemente, su amplitud, se

obtiene una descripción más o menos detallada de la distribución de los datos.

Figura 3.1 Histogramas obtenidos con Minitab

Minitab presenta un eje de ordenadas; pero fue borrado, por lo comentado en la Sección 2-2-6 del Material 2

2,32,22,12,01,9

30

25

20

15

10

5

0

Diámetro

2,252,202,152,102,052,001,951,90

14

12

10

8

6

4

2

0

Diámetro

2,262,182,102,021,941,86

40

30

20

10

0

Diámetro


Figura 3.2 Polígono acumulativo para el diámetro de válvulas, obtenido con Minitab

Figura 3.3 Gráfica de puntos para el diámetro de las válvulas, obtenido con Minitab

2,32,22,12,01,9

100

80

60

40

20

0

Diámetro

Pro

po

rció

n d

e v

álv

ula

s

2,252,202,152,102,052,001,951,90

Diámetro


Tallo y hoja de C3 N = 100

Unidad de hoja = 0,010

4 19 0244

10 19 577889

26 20 0111222222344444

42 20 5566667778888889

(30) 21 000000111112222222333333344444

28 21 55556677777778889999

8 22 011233

2 22 56

Figura 3.4 Diagrama de tallo y hoja obtenido con Minitab

Figura 3.5 Diagrama de caja y bigotes, para el diámetro de las válvulas

De los gráficos se observa que: - el diámetro de las válvulas varía entre 1,90 y 2,26 “, siendo los valores más frecuentes los que están entre 2,10 y 2,20” - la forma de la distribución es levemente asimétrica, a la izquierda: los valores más frecuentes son los mayores. - no se detectan valores atípicos.

2,3

2,2

2,1

2,0

1,9

Diá

me

tro





Proporción: En este caso interesan dos proporciones: la proporción de válvulas que

deben desecharse por tener diámetro menor que 2”: fo(desecho) = 0,10 y la proporción de

válvulas que deben rectificarse por tener diámetro mayor que 2,20”: fo(rectificado) = 0,08.

Estas y otras proporciones, se obtienen directamente de la Tabla de Distribución de

Frecuencias (Tabla 3.1 )

Promedio:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: Si se suman los 100 valores, y se divide ese

total por 100, el promedio resulta 2,0986"x

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: A partir de la Tabla 3.1 se obtienen los

siguientes cálculos, que van a servir para obtener, de manera aproximada, no sólo el

promedio sino también la variancia.

Tabla 3.2 Cálculos necesarios para obtener promedio y variancia

ci xi' ni xi’ni xi’2ni

(1,85 ; 1,90] 1,875 1 1,875 3,515625

(1,90 ; 1,95] 1,925 3 5,775 11,116875

(1,95 ; 2,00] 1,975 6 11,85 23,40375

(2,00 ; 2,05] 2,025 16 32,4 65,61

(2,05 ; 2,10] 2,075 16 33,2 68,89

(2,10 ; 2,15] 2,125 30 63,75 135,46875

(2,15 ; 2,20] 2,175 20 43,5 94,6125

(2,20 ; 2,25] 2,225 6 13,35 29,70375

(2,25 ; 2,30] 2,275 2 4,55 10,35125

Total 100 210,25 442,6725 Observación: xi’ es el punto medio de cada intervalo

',

, "

j jj

x n

x

9

1 210 252 1025

100 100


Observe que al obtener el promedio a partir de la tabla de distribución de frecuencias, el

resultado es aproximado y depende de la cantidad y la amplitud de los intervalos

definidos. Dado que, en este caso, también se cuenta con el promedio obtenido a partir

de los datos “en bruto”, se utilizará este último ya que es exacto.

2,0986"x El diámetro promedio de las válvulas es aproximadamente 2,10”

Moda:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: En el Diagrama de Puntos (Figura 3.3) se

observan varios valores que cumplen la definición de Moda. Pueden mencionarse 2,17”;

2,12” y 2,13”, 2,02”, etc.

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: En la Tabla 3.1, la clase con mayor

frecuencia es la sexta. Su frecuencia absoluta es n6 =30 y corresponde al intervalo (2,10”;

2,15]. Las frecuencias anterior y posterior son n5 = 16 y n7 = 20 respectivamente. La

amplitud del intervalo es 0,05 y su límite inferior es 2,10”. Con esa información se aplica la

fórmula aproximada para obtener la Moda:

1

1 2

(30 16)2,10 0,05 2,129"

(30 16) (30 20)x l h

2,129"x Más frecuentemente los diámetros de las válvulas miden

aproximadamente 2,13”. Se interpretó sólo este valor, a modo de ejemplo.

Mediana:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: En el Diagrama de Tallo y Hoja (Figura 3.4)

se presentan los datos ordenados de menor a mayor (Figura 3.4). Allí se puede localizar

el valor que se encuentre en el centro (promediando la posición 50° y 51°, ya que se

cuenta con n = 100 datos). En ambos lugares, el valor es 2,11”, de modo que 2,11"x

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: En la Tabla 3.1, la primera clase cuya

frecuencia relativa acumulada es como mínimo 0,50, es la sexta ya que F6 = 0,72 y F5 <


0,50. Por ese motivo, para ese conjunto de datos, x se encuentra en el intervalo (2,10” ;

2,15”].

De allí sale que l = 2,10 y h = 0,05. La frecuencia relativa de ese intervalo es f = 0,30 y la

frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior es F = 0,42, por lo cual ∆2 = 0,50 –

0,42 = 0,08.

Aplicando la fórmula aproximada, se obtiene:

0,50 0,422,10 0,05 2,1133"

0,30x

En este caso, el valor exacto y el valor aproximado son muy similares. De todos modos,

por lo comentado anteriormente para el promedio, si se puede contar con el valor exacto,

se toma dicho valor.

2,11"x El 50 % de las válvulas tienen diámetros de hasta 2,11” (y el 50 %

restante tienen diámetros de 2,11” o más).

De manera análoga a la mediana se obtienen los cuartiles:

q1 = 2,04” El 25 % de las válvulas tienen diámetros de hasta 2,04” (y el 75 %

restante tienen diámetros de 2,04” o más).

q3 = 2,15” El 75 % de las válvulas tienen diámetros de hasta 2,15” (y el 25

% restante tienen diámetros de 2,15” o más).

Media truncada al 10 %:

Dado que n = 100, se eliminan 10 valores (10% de 100) a cada lado y se promedian los

80 restantes:

10% 2,1016"x El diámetro promedio del 80 % central de las válvulas es

2,1016”.

Media geométrica: Se obtiene la raíz de orden 100 del producto de los 100 diámetros.

Este resulta:

2,0972"Gx El diámetro promedio de las válvulas es 2,0972”.


Rango: El valor mínimo es 1,90” y el máximo es 2,26”, por lo tanto, el rango vale 0,36”

r = 0,36” La máxima diferencia que se observa en los diámetros de las

válvulas es de 0,36”.

Rango Intercuartílico: El primer cuartil vale 2,04” y el tercero vale 2,15”, por lo tanto, el

rango intercuartílico vale 0,11”.

ric = 0,11” La máxima diferencia que se observa en los diámetros del 50 %

central de las válvulas es de 0,11”.

Variancia y desviación estándar:

- A partir del conjunto de datos sin agrupar: Si se aplica la definición de variancia a los

100 valores, se obtiene 2 20,0059 (")s

- A partir de la tabla de distribución de frecuencias: Con los cálculos obtenidos en la Tabla

3.2 y el valor del promedio, se obtiene un valor aproximado para la variancia:

' ( ), ,

, (")

j jj

x n nx xx

sn

92 2

212 2442 6725 100 2 1025

0 00631 99

s2 = 0,0059 (“)2 El promedio de los desvíos cuadrados entre cada diámetro y el

diámetro promedio es 0,0059 (“)2 (se toma e interpreta el valor exacto y no el

aproximado)

Aplicando raíz cuadrada a la variancia se obtiene la desviación estándar, s = 0,0768”.

s = 0,0768” La dispersión “promedio” de los diámetros de las válvulas,

alrededor del diámetro promedio es aproximadamente 0,0768”


Tabla 3.3 Medidas características correspondientes al diámetro de las 100 válvulas analizadas.

Simbología e interpretación


Med

idas d

e p

osic

ión

o localiz

ació

n

Valor mínimo xmín: 1,90 ” El menor diámetro observado en las válvulas es 1,90”

Valor máximo xmáx: 2,26 ” El mayor diámetro observado en las válvulas es 2,26”

Cuartil 1 q1: 2,04 “ El 25 % de las válvulas tienen diámetros de hasta 2,04 “ (y el 75 % restante tiene 2,04” o más)

Proporciones fo(des) = 0,10 fo(rec) = 0,08

El 10 % de las válvulas debe desecharse y el 8 % debe rectificarse

Cuartil 2 o Mediana

2,11"x El 50 % de las válvulas tienen diámetros de hasta 2,11 “ (y el 50 % restante tiene 2,11” o más)

Cuartil 3 q3: 2,15 “ El 75 % de las válvulas tienen diámetros de hasta 2,15 “ (y el 25 % restante tiene 2,15 “ o más)

Moda 2,13"x

Más frecuentemente, las válvulas tienen diámetros de 2,13”

Promedio o media aritmética

, "2 0986x El diámetro promedio de las válvulas es 2,0986 “

Media truncada al 10 %

% , "10 2 1016x El diámetro promedio del 80 % central de las válvulas es 2,1016”

Media geométrica , "G 2 0972x El diámetro promedio de las válvulas es 2,0972”

Med

idas d

e v

ari

ab

ilida

d o

dis

pers

ión

Variancia s2: 0,0059 (“)

2 El promedio de los desvíos

cuadrados entre cada diámetro y el diámetro promedio es 0,0059 (“)

2

Desviación estándar

s: 0,0768 ” La dispersión “promedio” entre cada diámetro y el diámetro promedio es 0,0768 ”

Coeficiente de variación

cv: 3,66 % La desviación estándar del diámetro de las válvulas representa un 3,66 % del promedio

Rango r: 0,36 “ La mayor diferencia observada en los diámetros de las válvulas analizadas es de 0,36 “.

Rango intercuartílico

riq: 0,11 ” La mayor diferencia observada en el 50 % central de los diámetros de las válvulas analizadas es de 0,11 “

Observación: se indicó un único valor para la Moda pero en este conjunto de datos, puede haber varios, como

se comentó en la página 23.

En este ejemplo, la variable presenta una distribución levemente asimétrica pero las medidas (mediana, promedio, media geométrica, media truncada al 10%) no difieren sustancialmente, de modo que se puede utilizar razonablemente cualquiera de ellas como medida de tendencia central y la medida de variabilidad correspondiente para acompañarlas.

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