UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE-L

PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL - AGOSTO 2015

NOMBRE: Edison Guilcamaigua

ASIGNATURA: Álgebra FECHA DE ENVIÓ: 26 de Mayo del 2015

PARALELO: T1 B-110 FECHA DE REVISIÓN: 28 de Mayo del 2015

TEMA: Divisibilidad, Cocientes Notables, MCD, MCM.

CONSULTA N°02

DIVISIBILIDAD

Dados dos polinomios D(x ) y d (x ) de grados no nulos, se dirá D(x ) es divisible por d (x ) si existe

un único Q(x ), tal que la división es exacta. Es decir: D(x )≡ d (x)⋅Q(x )

TEOREMAS DE DIVISIBILIDAD

TEOREMA 1

Si F (x) es divisible por G(x ) y G(x ) es divisible por H (x ), entonces F (x) es divisible por H (x ).

TEOREMA 2

Si F (x) y G(x ) son divisibles por H (x ), entonces la suma y la diferencia de F (x) y G(x ) es

divisible por H (x ).

TEOREMA 3

⇒ Si el polinomio P(x ) es divisible separadamente por los binomios (x−a), (x−b) y (x−c) tal que

(a≠ b ≠ c ), entonces P(x ) es divisible por el producto (x−a)(x−b)(x−c )

⇐Recíprocamente si el polinomio P ( x ) es divisible por el producto ( x−a ) ( x−b ) ( x−c ), entonces será

divisible separadamente por ( x−a ), ( x−b ) y ( x−c ). (a≠ b ≠ c )

COCIENTES NOTABLES (C.N.)

Llamaremos cocientes notables (C.N.) a aquellos cocientes que obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad efectuar el proceso de la división.

En forma general se tendrá divisiones de la siguiente manera: xm± y p

xa ± yb

La cual genera un cociente notable (C.N.) si se cumple la siguiente:

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE ma= p

b=n

donde "n" es el número de términos del cociente notable (n ≥ 2 ,n∈Z).

TEOREMA DEL TÉRMINO GENERAL

Si un cociente notable consta de "n" elementos y se quiere calcular un término de lugar "k", se utilizará la siguiente expresión:

Caso 1 xm± y p

xa− yb Entonces: T k⏟lugar

=( xa )n−k ( yb )k−1

Caso 2 xm± y p

xa+ yb Entonces: T k⏟lugar

=(−1 )k+1 ( xa )n−k ( yb )k −1

TÉRMINO CENTRAL (n→ impar ) T central=T n+12

=( xa )n−1

2 ( yb )n−1

2

CASOS PARTICULARES

A continuación mostraremos un cuadro resumen de los cocientes notables que se obtienen de las divisiones de la forma:

x ⁿ ± y ⁿx ± y

Problema 1. Si el polinomio P ( x )¿ x3+3 x2+ Ax+B

es divisible entre ( x+4 ) (x−2 ), entonces el valor de A−B es

A)−2 B)−1 C)0

D)2 E)3

SOLUCIÓN x3+3 x2+Ax+B

x+4∧ x3+3 x2+ Ax+B

x−2

Por teorema del resto

x=−4⟹ (−4 )3+3 (−4 )2+ A (−4 )+B=0

−64+48−4 A+B=0

⟹4 A−B=−16

i. x=2⟹23+3 (2 )2+ A (2 )+B=0

8+12+2 A+B=0

⟹2 A+B=−20

Luego

{4 A−B=−162 A+B=−20

⟹ A=−6∧B=−8

∴ A−B=−6−(−8 )=2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Calcular el mínimo común múltiplo

En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.

Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:

Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el

15. Respuesta: 15