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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO (IIP) DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BI-EMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO DE ANÁLISIS DINÁMICO JAIME EDUARDO JARA LANDIVAR TUTOR: ING. JUAN FRANCISCO FERNÁNDEZ BRITO PhD. Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado de: MAGÍSTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS MATERIALES Quito-Ecuador 2015
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO (IIP)
DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO
BI-EMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO
POR MEDIO DE ANÁLISIS DINÁMICO
JAIME EDUARDO JARA LANDIVAR
TUTOR: ING. JUAN FRANCISCO FERNÁNDEZ BRITO PhD.
Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado de:
MAGÍSTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS
MATERIALES
Quito-Ecuador
2015
ii
DEDICATORIA
Dedico este trabajo:
A la memoria de mis abuelos: Luis Elicio Landívar Rodríguez (+1990-12-15),
Manuelita Veintimilla Bolaños (+1982-01-28); Leonidas Jara Jácome (+1984),
Victoria Arroba (+1931); a mi tío Tito Luis Olmedo Landívar Veintimilla (+1987-01-
06),
A mis padres César y Margoth que con su ejemplo siempre guiaron mis pasos y a
quienes tanto debo…
A mis hijos: Yemina, Ammy y Gersom,
Y a mi nieto Michael Villarreal.
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR
iii
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a Dios en “cuyas manos están mis tiempos”; a la Facultad de Ingeniería que
me ha permitido continuar mis estudios, a los profesores del posgrado que con su
enseñanza nos impartieron sus conocimientos y continuaron con la siembra de la
investigación, de manera especial al Ing. Juan Francisco Fernández Brito PhD. que con
su generosidad amplió mis inquietudes de entender de mejor manera las ciencias de la
ingeniería. Al Ing. Pablo Herrera, Gerente de la Consultora IPHc, que me dio la
oportunidad de obtener algunos datos para comprobaciones ingenieriles mientras se
construía el puente motivo de esta investigación, así como al Ministerio de Transportes
y Obras Públicas en general y en particular al Ing. Marcos Mayorga Reinoso, Director
Provincial de los Ríos (E), quien me autorizó a utilizar la información básica de los
estudios del puente sobre el río San Pablo.
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR
iv
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Yo, Jara Landívar Jaime Eduardo, en calidad de autor de la tesis sobre
DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BI-EMPOTRADO
DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO DE ANÁLISIS
DINÁMICO, por la presente autorizo a la UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADOR, hacer uso de todos los contenidos que me pertenecen o de parte de los que
contiene esta obra, con fines estrictamente académicos o de investigación.
Los derechos que como autor me corresponden, con excepción de la presente
autorización, seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo establecido en los
artículos 5, 6, 8, 19 y demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y su
Reglamento.
Quito, 8 de septiembre de 2015
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR
CC. 1704868452
v
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue realizado en su totalidad por el Sr. JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR como requisito parcial a la obtención del título de MAGÍSTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS MATERIALES.
El documento elaborado superó el control antiplagio URKUND.
8 de septiembre de 2015
ING. JUAN FRANCISCO FERNÁNDEZ BRITO PhD.
TUTOR
..........................................................
vi
CONTENIDO
DEDICATORIA ....................................................................................................................... ii
AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................ iii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL ......................................................... iv
CERTIFICACIÓN .....................................................................................................................v
LISTADO DE TABLAS ............................................................................................................ x
LISTADO DE FIGURAS ......................................................................................................... xi
LISTADO DE ANEXOS ........................................................................................................ xiii
RESUMEN.............................................................................................................................. xiv
ABSTRACT ............................................................................................................................. xv
CERTIFICACIÓN .................................................................................................................. xvi
CAPITULO 1 ............................................................................................................................ 1
REVISION BIBLIOGRAFICA SOBRE DEFORMACIONES ............................................... 1
INTRODUCCION .................................................................................................................... 1
1.1.1 Generalidades ........................................................................................................ 1
1.1.2 Deformación .......................................................................................................... 2
1.3 Ley de Hooke: deformación axial – distorsión ......................................................... 3
1.4 Deformación angular (o por cortante) – Distorsión .................................................. 4
1.5 Relación de Poisson: Estados de deformación biaxial y triaxial ............................... 6
1.6 Ecuación Generalizada Lamé-Hooke .................................................................... 8
1.6.1 Material anisótropo. .......................................................................................... 8
1.6.2 Material isótropo: ecuaciones de Lamé-Hooke ................................................. 9
1.6.3 Interpretación física de las constantes elásticas del material de Hooke ............... 11
1.6.3.1 Módulo de elasticidad ........................................................................ 11
1.6.3.2 Módulo de Poisson ............................................................................. 11
1.6.3.3 Módulo de elasticidad transversal ...................................................... 11
1.6.3.4 Módulo de deformación volumétrica ................................................. 11
1.7 Esfuerzos de origen térmico ........................................................................................ 12
1.8 Deformaciones en puentes AASHTO 2012 ............................................................ 13
1.8.1 Requisitos Generales ....................................................................................... 13
1.8.2 Criterios para la Deflexión .............................................................................. 14
1.8.3 Grandes deformaciones en puentes colgantes ................................................. 16
CAPITULO 2 .......................................................................................................................... 17
vii
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN PUENTES TIPO ARCO ...................................... 17
2.1 Introducción ............................................................................................................ 17
2.2 Propiedades de los arcos ......................................................................................... 17
2.3 Definición ................................................................................................................ 17
2.4 Sistemas estructurales básicos usados en puentes ................................................... 17
2.4.1 Puentes de vigas .................................................................................................. 17
2.4.2 Vigas de alma llena ............................................................................................. 18
2.4.3 Vigas en celosía................................................................................................... 19
2.4.5 Puentes atirantados .............................................................................................. 21
2.5 El arco ..................................................................................................................... 21
2.6 Métodos de cálculo ................................................................................................. 23
2.6.1 Método de los desplazamientos....................................................................... 23
2.6.1.1 ARCO BIEMPOTRADO ............................................................................... 27
2.6.2 Métodos energéticos ............................................................................................ 32
2.6.3 Método de los elementos finitos...................................................................... 33
2.7 El puente arco .......................................................................................................... 35
2.7.1 Clasificación de los puentes arco ........................................................................ 38
2.7.1.1 Arco con tablero superior ................................................................................ 39
2.7.1.2 Puentes de hormigón con tablero superior ...................................................... 39
2.8 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN EL ARCO DEL PUENTE SOBRE EL RÍO
SAN PABLO POR EL MÉTODO DE DESPLAZAMIENTOS............................................. 43
CAPITULO 3 .......................................................................................................................... 52
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE MÉTODOS COMPUTACIONALES
COMO EL SAP2000 .............................................................................................................. 52
3.1 Introducción ............................................................................................................ 52
3.1.1 Solicitaciones y Combinaciones de carga ........................................................... 53
3.1.1.1 Carga muerta o peso propio (CM)................................................................... 53
3.1.1.1.1 Sobre carga vehicular e impacto (CV + I) ....................................................... 53
3.1.1.3 Sobrecarga vehicular HL-93 .......................................................................... 53
3.1.1.4 Fuerza de frenado ........................................................................................... 54
3.1.1.5 Fuerza del viento ............................................................................................ 55
3.1.1.6 Presión del viento sobre los vehículos (Viento-1) ......................................... 55
3.1.1.7 Presión del viento sobre la estructura (Viento-2) ........................................... 56
3.1.1.8 Carga sísmica (EQ) ........................................................................................ 56
viii
3.1.1.9 Combinaciones de carga y factores de mayoración ........................................ 62
3.1.1.10 Diseño geométrico .......................................................................................... 63
3.1.1.11 Idealización estructural ................................................................................... 65
3.1.1.11.1 Condiciones de apoyo ............................................................................. 66
3.1.1.11.2 Cargas y combinaciones de cargas del modelo ....................................... 66
3.1.1.11.2.1 Cargas introducidas: ................................................................................ 66
3.1.1.11.2.2 Combinaciones de carga: ........................................................................ 67
3.1.1.12 Resultados del Modelo SAP2000 ................................................................... 70
3.1.1.121 Deflexiones en el puente ................................................................................ 70
CAPITULO 4 .......................................................................................................................... 73
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE UN MODELO DE ANÁLISIS
DINÁMICO PARA CARGA MOVIL EN LOS ARCOS DE HORMIGÓN PARA EL
PUENTE EN ARCO SOBRE EL RÍO SAN PABLO ............................................................ 73
4.1 Análisis dinámico .................................................................................................... 73
4.1.1 Requisitos básicos de la dinámica estructural ..................................................... 73
4.1.2 Requisitos Generales ........................................................................................... 73
4.1.3 Distribución de Masas ......................................................................................... 75
4.1.4 Rigidez ................................................................................................................ 75
4.1.5 Amortiguamiento ....................................................................................................... 76
4.1.6 Frecuencias Naturales ................................................................................................ 76
4.1.7 Respuestas Dinámicas Elásticas ................................................................................. 78
4.1.7.1 Vibración Inducida por los Vehículos ................................................................. 78
4.1.8 Vibración Inducida por el Viento ........................................................................ 79
4.1.8.1 Velocidades del Viento ....................................................................................... 79
4.1.9 Efectos Dinámicos .............................................................................................. 79
4.1.10 Consideraciones de Diseño ................................................................................. 80
4.1.11 Respuestas Dinámicas Inelásticas ........................................................................... 80
4.1.11.1 Requisitos Generales ............................................................................................. 80
4.2 Cálculo dinámico en puentes ...................................................................................... 80
4.3 Modos de vibración. El tiempo característico de las estructura. ................................. 81
4.4 Vibraciones forzadas ................................................................................................... 82
4.5 Descripción estructural del puente sobre el río San Pablo .......................................... 84
4.6 Determinación del modelo matemático de deformaciones por análisis dinámico
vehicular del puente sobre el río San Pablo ............................................................................ 85
ix
4.7 Ecuación del movimiento ............................................................................................ 87
4.8 Aplicación del Método de Newmark .......................................................................... 87
4.9 Procedimiento de cálculo ............................................................................................ 89
4.10 Programa Matlab ......................................................................................................... 89
CAPITULO 5 .......................................................................................................................... 91
CÁLCULO DE DEFORMACIONES SEGÚN MODELO DE ANÁLISIS DINÁMICO POR
LA APLICACIÓN DE CARGAS MÓVILES ........................................................................ 91
5.1 Datos del arco de hormigón armado del Puente sobre el río San Pablo ...................... 91
5.2 Carga impulsiva .......................................................................................................... 96
5.3 Resultados ................................................................................................................... 98
CAPITULO 6 ........................................................................................................................ 100
MEDICIÓN IN SITU DE DEFORMACIONES DEL ARCO .............................................. 100
CAPITULO 7 ........................................................................................................................ 111
ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS DEFORMACIONES POR MÉTODO ESTÁTICO,
DEFORMACIONES POR MÉTODO DINÁMICO Y DEFORMACIONES
DETERMINADAS CON MEDICIONES ............................................................................ 111
CAPITULO 8 ........................................................................................................................ 114
CONCLUSIONES ................................................................................................................ 114
RECOMENDACIONES ....................................................................................................... 115
Glosario ................................................................................................................................. 117
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................. 119
BIOGRAFIA ......................................................................................................................... 135
x
LISTADO DE TABLAS
Tabla 1 - Puentes de Arco ........................................................................................... 41
Tabla 2- Determinación de carga permanente ............................................................. 45
Tabla 3- Carga muerta del arco ................................................................................... 46
Tabla 4- Cálculo de deformaciones y esfuerzos de un arco biempotrado ................... 46
Tabla 5- Reacciones isostáticas ................................................................................... 47
Tabla 6- Momentos de empotramiento ....................................................................... 47
Tabla 7- Secciones trasnversales de los arcos ............................................................. 47
Tabla 8- Coordenadas de los puntos del arco en análisis ............................................ 47
Tabla 9- Tipo de suelo y factores de sitio Fa .............................................................. 58
Tabla 10- Tipo de suelo y Factores Fd ........................................................................ 59
Tabla 11- Tipo de suelo y Factores de sitio Fs ............................................................ 59
Tabla 12- Acelerograma .............................................................................................. 60
Tabla 13- Requisitos de análisis mínimos para efectos sísmicos ................................ 77
Tabla 14- Requisitos para que un puente sea considerado regular ............................. 77
Tabla 15- Incremento por Carga Dinámica, IM .......................................................... 78
Tabla 16 - Coordenadas de los elementos del arco ..................................................... 91
Tabla 17- Propiedades Geométricas secciones arco ................................................... 93
Tabla 18- Grados de libertad ....................................................................................... 94
Tabla 19- Cargas armónicas ........................................................................................ 97
Tabla 20- Mediciones de cotas en arco de puente San Pablo................................... 101
xi
LISTADO DE FIGURAS
Figura 1.- Diagrama esfuerzo-deformación .................................................................. 1
Figura 10. Arco en voladizo con extremo libre unido al centro elástico .................... 25
Figura 11. Arco biempotrado cortado por la clave...................................................... 25
Figura 12. Variante para obtener arcos en voladizo a partir de un arco biempotrado 25
Figura 13. Esfuerzos en una rebanada de arco bajo carga .......................................... 26
Figura 14. Arco en voladizo con arranques a nivel ..................................................... 29
Figura 15. Obtención de M, N y Q en un arco biempotrado ....................................... 29
Figura 16. Deformaciones provocadas por un giro dθ ................................................ 30
Figura 17. Ejes elásticos en un arco asimétrico .......................................................... 31
Figura 18. Puente Krk en Croacia ............................................................................... 36
Figura 19. Puente Fiumarella ...................................................................................... 36
Figura 2 Deformación angular o distorsión................................................................... 5
Figura 20. Puente Waxian en China ........................................................................... 37
Figura 21. Puente metálico en la Saquea en Zamora ................................................. 37
Figura 22. Puente catenario de hormigón en la Saquea en la provincia de Zamora .. 38
Figura 23. Puentes metálicos en el Paso Lateral de Babahoyo en la provincia de Los
Ríos .......................................................................................................................... 38
Figura 24. Puentes de hormigón armado en el Acceso Norte de Babahoyo en la
provincia de Los Ríos ............................................................................................. 39
Figura 25. Puente de Parramata en Australia ............................................................. 41
Figura 26. Puente de la Guaira en Venezuela ............................................................ 41
Figura 27. Puente triarticulado ................................................................................... 41
Figura 28. Corrimientos y momentos flectores debidos a desplazamientos
horizontales .............................................................................................................. 43
Figura 29. Esquema del Puente San Pablo ................................................................. 44
Figura 3. Forma de trabajo de un puente con vigas .................................................... 18
Figura 30. Esquema sección transversal .................................................................... 45
Figura 31 Planta del modelo estructural ...................................................................... 54
xii
Figura 32. Espectro de respuesta sísmica para el diseño............................................ 59
Figura 33. Zonificación sísmica NEC 2011 ................................................................ 59
Figura 34. Espectro de diseño de Babahoyo ............................................................... 63
Figura 35. Idealización de Puente San Pablo .............................................................. 66
Figura 36. Esquema en elevación de puente San Pablo .............................................. 66
Figura 37. Sección transversal de puente San Pablo ................................................... 67
Figura 38. Idealización estructural Puente San Pablo ................................................. 67
Figura 39. Deflexiones de Puente San Pablo .............................................................. 72
Figura 4. Distribución de esfuerzos por flexión .......................................................... 18
Figura 40. Deformada del puente San Pablo ............................................................... 73
Figura 41. Deflexiones de la envolvente Puente San Pablo ........................................ 74
Figura 42. Elevación Puente San Pablo ...................................................................... 87
Figura 43. Sección transversal Puente San Pablo ....................................................... 87
Figura 44. Modelo Geométrico de oscilaciones .......................................................... 89
Figura 45. Carga móvil de diseño ............................................................................... 99
Figura 46. Respuesta dinámica de deformaciones .................................................... 101
Figura 47 Prueba de carga Puente San Pablo y nivelación del tablero ..................... 103
Figura 5. Sistemas de puentes de arco......................................................................... 20
Figura 6. Flujo de cargas en el sistema de puentes atirantados ................................... 21
Figura 7. Inscripción en el templete funerario del Puente de Alcántara ..................... 22
Figura 8 Carga vertical, componentes horizontales en las reacciones y esfuerzos
longitudinales de contrarresto en un arco ................................................................ 22
Figura 9. Arco en voladizo obtenido al liberar un apoyo ............................................ 24
LISTADO DE ANEXOS
Anexo No. 1 Código de funciones Matlab.
Anexo No. 2 Autorización de uso Estudios de Puentes de Babahoyo
xiv
RESUMEN
DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BI-
EMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO DE
ANÁLISIS DINÁMICO
El presente trabajo consistió en realizar varios análisis para determinar por
diferentes métodos las deformaciones de un arco de hormigón armado biempotrado
de la estructura del puente sobre el río San Pablo ubicado en el acceso norte a la
ciudad de Babahoyo en la provincia de Los Ríos, cuya configuración estructural es
de dos arcos de hormigón armado que soportan péndolas con cables de acero de alta
resistencia y baja relajación y sostienen el tablero del puente vehicular, utilizando
métodos estáticos, un método dinámico para carga sísmica con el uso del software
SAP2000 y con el desarrollo de un modelo y las respectivas funciones en Matlab
para calcular las deformaciones por un método dinámico por carga móvil. Este tipo
de análisis no se han realizado en nuestro medio y puesto que el diseño y
construcción de importantes estructuras se están realizando y algunas por ser
flexibles requieren ya de diseños con modelos que contemplen las vibraciones que
se van a producir por el paso de cargas móviles sean peatonales y/o vehiculares
según sea el caso a fin de evitar efectos de resonancia. Además en el desarrollo
futuro se prevé que se construyan trenes de velocidades importantes que atravesarán
por puentes será necesario tomar en cuenta consideraciones de análisis dinámico
por los efectos que provocarán sobre los puentes tanto las vibraciones como la fatiga
sobre las estructuras por los continuos procesos de carga y descarga que conllevan
las cargas móviles en general.
DESCRIPTORES:
/ DEFORMACIONES PARA PUENTES / PUENTES TIPO ARCO / MÉTODO
DE DESPLAZAMIENTOS / MÉTODO DINÁMICO SÍSMICO / MODELO
DINÁMICO / CARGA MÓVIL / FUNCIONES MATHLAB / ARCO DE
HORMIGÓN ARMADO /
xv
ABSTRACT
DEFORMATIONS OF A BI EMBED REINFORCEMENT CONCRETE ARC
OF THE BRIDGE OVER THE RIVER SAN PABLO THROUGH OF
DYNAMIC ANALYSIS
Present paper consisted in solver several analysis that permit to define with
different methods the deformations of a bi-embed concrete arc of support structure
of bridge constructed over San Pablo river in north access to Babahoyo’s City in
the Province Los Ríos. That bridge has two reinforced concrete arcs that support
the steel cables of high resistance and low relaxation that sustain the vehicle deck
of bridge. For this, it have used static and dynamic methods with the use of software
such as SAP2000 and to development a model with some Mathlab functions to
solve the deformations by a dynamic method of moving load. This kind of analysis
has not did in our country.
Now, the bridge design and construction of important structures are being
made in the equatorian cities and some of them are flexible structures and require
of structural designs that observe the vibrations that produce the pedestrian and
vehicle loads to prevent resonance effects. In addition, in the future development
engineering construction will appear trains with high velocity that need to cross
bridges and those designs will have dynamic considerations by dynamic effects
over bridges like high vibrations and fatigue of structures to produce the continuous
process of loading and unloading of moving loads in general way.
Key words:
/ DEFORMATIONS TO BRIDGES/ BRIDGES IN ARC / METHOD OF
DISPLACEMENTS / EARTHQUAKE DYNAMIC METHOD /
DYNAMIC MODEL / MOBILE LOAD / MATHLAB FUNCTIONS /
xvi
CERTIFICACIÓN
Yo, SILVIA DAYANA ASTUDILLO RIERA, con cédula de ciudadanía
1722075494, certifico el haber realizado la traducción del resumen de
“DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BI-
EMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO
DE ANÁLISIS DINÁMICO” elaborado por el señor Ing. SJAIME EDUARDO
JARA LANDÍVAR, alumno de la Maestría en “EN ESTRUCTURAS Y
CIENCIAS DE LOS MATERIALES - I PROMOCIÓN”, previo a la obtención
del título de Magíster.
Atentamente,
SILVIA DAYANA ASTUDILLO RIERA
TRADUCTORA
C.C. 1722075494
xvii
1
CAPITULO 1
REVISION BIBLIOGRAFICA SOBRE DEFORMACIONES
INTRODUCCION
1.1.1 Generalidades
La resistencia de un material no es el único criterio que se utiliza al diseñar
estructuras. La rigidez puede tener la misma o mayor importancia. Además se pueden
considerar otras propiedades como la dureza, la tenacidad y la ductilidad que influyen
en la elección de un material. Estas propiedades se determinan mediante ensayos,
comparando los resultados con estándares predefinidos. Por ejemplo si se considera
una probeta de acero sujeta entre las mordazas de una máquina de pruebas de tensión
y se observa simultáneamente la carga y el alargamiento de una determinada longitud
de la misma. (Singer, 1994).
Diagrama de ensayo de acero
Figura 1.- Diagrama esfuerzo-deformación
Los resultados se representan en un gráfico en el que en las ordenadas se ponen las
cargas y en las abscisas los correspondientes alargamientos.
Esfuerzo
𝜎 =𝑃
𝐴
Deformación
휀 =𝛿
𝐿
Límite de
proporcionalidad
Límite de elasticidad
Punto de
fluencia
Esfuerzo último Punto de ruptura
real
Punto de ruptura
aparente
O
2
En la figura 1 que presenta un gráfico de esta clase, se observa que no aparecen
representadas las fuerzas y alargamientos totales, sino las fuerzas unitarias o esfuerzos
y los alargamientos unitarios o deformaciones, pues sólo se pueden comparar las
propiedades de una muestra con las de la otra si se reducen los valores observados a
puntos de referencia comunes.
1.1.2 Deformación
El valor de la deformación (unitaria) ε es el cociente entre el alargamiento,
deformación total, δ, y la longitud L en la que se ha producido. Por lo que,
휀 =𝛿
𝐿 𝐸𝑐. 1
La deformación en cualquier punto es:
휀 =𝑑𝛿
𝑑𝐿 𝐸𝑐. 2
que determina el valor de la deformación en una longitud muy pequeña, dL, que se
considera constante en dicha longitud. Se supone que la deformación es constante y se
puede aplicar la expresión (Ec. 2). Se tienen premisas como son:
1. El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal o recta
constante.
2. El material debe ser homogéneo.
3. La fuerza o carga debe ser axial a fin de producir un esfuerzo uniforme.
En la figura 1, se observa que, desde el origen O hasta un punto llamado límite
de proporcionalidad, el diagrama esfuerzo-deformación es un segmento recto, de
donde se deduce la relación de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación,
enunciada en el año 1678 por Robert Hooke1. Hay que resaltar que esta
proporcionalidad no se extiende a todo el diagrama, si no que determina el límite
de proporcionalidad, y más allá de este punto, el esfuerzo deja de ser proporcional
a la deformación. El límite de proporcionalidad tiene mucha importancia en la
1 La célebre ley de Robert Hooke. Ut tensio sic vis, es decir, <<Según la deformación, así es la fuerza>>
que relacionó la deformación total con la fuerza total sin admitir límite alguno a esta proporcionalidad.
3
teoría respecto al comportamiento de los sólidos elásticos que se basa en la
proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones estableciendo un límite superior
al esfuerzo admisible que un material puede soportar.
Se tiene además otros conceptos importantes de este diagrama esfuerzo-
deformación son:
(1) El límite de elasticidad (o límite elástico) es el esfuerzo más allá del cual el
material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda
con una deformación residual conocida como deformación permanente.
(2) El punto de fluencia es aquel en el que aparece un considerable alargamiento
o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga que puede disminuir
mientras dura la fluencia.
(3) El límite aparente de proporcionalidad al 0.2% u otro porcentaje está
asociado al punto de fluencia. Se aplica este concepto en materiales que no tienen
un punto de fluencia bien definido, o no lo tienen, a través de un procedimiento de
equiparación con los materiales que sí tienen.
(4) El esfuerzo último, o bien el límite de resistencia, es la máxima ordenada de
la curva esfuerzo-deformación.
(5) El punto de ruptura o esfuerzo en el punto de ruptura. Cercano a la ruptura,
el material se alarga muy rápidamente y al mismo tiempo se estrecha, de manera
que la carga en el instante de la ruptura, se distribuye en una sección mucho más
pequeña.
1.3 Ley de Hooke: deformación axial – distorsión
Considerando el diagrama esfuerzo-deformación y tomando su parte rectilínea,
se tiene que la pendiente de la recta es la relación entre el esfuerzo y la deformación
y se llama módulo de elasticidad representada con la letra E:
𝐸 =𝜎
휀 ó 𝜎 = 𝐸. 휀 (𝐸𝑐. 3)
4
La ecuación anterior es la ley de Hooke. Hooke enunció la ley de que el esfuerzo
es proporcional a la deformación. Thomas Young, en el año 1807 introdujo la
expresión matemática con una constante de proporcionalidad que se llamó módulo
de Young. Luego, este nombre se sustituyó por el de módulo de elasticidad o
módulo elástico que es una medida de su rigidez.
De la ecuación (3), se observa que las unidades para el módulo de elasticidad E
son idénticas a las unidades para el esfuerzo σ, la deformación ε es una cantidad
adimensional. Así por ejemplo, el módulo de elasticidad para el acero es
aproximadamente 200 x 109 N/m2 (200 x 109 Pa). En el del SI se expresaría como
200 GN/m2 (200 GPa).
Otra forma de la expresión de la ley de Hooke es la que se obtiene al sustituir σ
por su equivalente P/A y ε por δ/L, de modo que la ecuación (3) quedaría:
𝑃
𝐴= 𝐸
𝛿
𝐿
O lo que es igual,
𝛿 =𝑃𝐿
𝐴𝐸=𝜎𝐿
𝐸 (𝐸𝑐. 4)
Esta ecuación relaciona la deformación total δ con la fuerza ó carga aplicada P,
la longitud de la barra L, el área de la sección recta A y el módulo de elasticidad E. La
deformación total de obtiene en las mismas unidades que la longitud L, ya que σ y E
tienen las mismas unidades. En la expresión (4) hay que tener en consideración las
siguientes hipótesis:
1. La carga ha de ser axial.
2. La barra debe ser homogénea y de sección constante.
3. El esfuerzo no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad.
1.4 Deformación angular (o por cortante) – Distorsión
5
Las fuerzas cortantes producen una deformación angular o distorsión, de la
misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales. Un
elemento sometido a tensión experimenta un alargamiento, mientras que un elemento
sometido a una fuerza cortante no varía la longitud de sus lados, notándose un cambio
de forma, de rectángulo a paralelogramo como se indica en la figura 2.
Figura 2 Deformación angular o distorsión
El proceso puede mencionarse como producido por el desplazamiento
infinitesimal o resbalamiento de capas infinitamente delgadas del elemento unas sobre
otras, siendo la suma de estos infinitos desplazamientos infinitesimales la deformación
total δs en una longitud L.
La deformación angular media se obtiene dividiendo δs para L. Y se tiene que
tan γ = δ/L, figura 2. Como γ es siempre muy pequeño, tan γ = γ y tenemos:
𝛾 =𝛿𝑠
𝐿 (𝐸𝑐. 5)
La distorsión es la variación experimentada por el ángulo entre dos caras
perpendiculares de un elemento diferencial.
Si la ley de Hooke también es válida en el cortante, existe una relación lineal
entre la distorsión y el esfuerzo cortante dada por la ecuación:
𝜏 = 𝐺𝛾 (𝐸𝑐. 6)
Ps
Ps
δs
γ L
6
Donde G es el módulo de elasticidad al cortante. La relación entre la
deformación tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es
𝛿𝑠 =𝑉𝐿
𝐴𝑠 𝐺 (𝐸𝑐. 7)
En donde V representa la fuerza cortante que actúa sobre una sección de área
A.
1.5 Relación de Poisson: Estados de deformación biaxial y triaxial
Otro tipo de deformación elástica es la variación de las dimensiones
transversales que acompaña a toda tensión o compresión axial. Se comprueba
experimentalmente que si una barra se alarga por una tensión axial sufre una reducción
de sus dimensiones transversales. Poisson comprobó en el año 1811 que la relación
entre las deformaciones unitarias en estas direcciones es constante, por debajo del
límite de proporcionalidad. En su memoria se ha dado su nombre a esta expresión y se
define como:
𝜈 = −휀𝑦
휀𝑥 (𝐸𝑐. 8)
Donde εx es la deformación debida solamente a un esfuerzo en la dirección X,
y εy son las deformaciones unitarias que se manifiestan en las direcciones
perpendiculares. El signo menos indica un acortamiento en las dimensiones
transversales cuando εy es positiva como ocurre con un alargamiento producido por
tensión.
La relación de Poisson permite generalizar la aplicación de la ley de Hooke al
caso de esfuerzos biaxiales. Por ejemplo, si un elemento está sometido
simultáneamente a esfuerzos de tensión según los ejes X y Y, la deformación en la
dirección X debida a σx es σx/E pero al mismo tiempo, el esfuerzo σy producirá una
contracción lateral en la dirección X de valor 𝜈 σy/E, por lo que la deformación
resultante en la dirección X estará dada por la ecuación:
휀𝑥 =𝜎𝑥
𝐸− 𝜈
𝜎𝑦
𝐸 (𝐸𝑐. 9)
7
De igual manera, la deformación según la dirección Y es:
휀𝑦 =𝜎𝑦
𝐸− 𝜈
𝜎𝑥
𝐸 (𝐸𝑐. 10)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (9) y (10) se obtienen los
esfuerzos en función de las deformaciones:
𝜎𝑥 =(휀𝑥 + 𝜈. 휀𝑦)𝐸
1 − 𝜈2 ; 𝜎𝑦 =
(휀𝑦 + 𝜈. 휀𝑥)𝐸
1 − 𝜈2 (𝐸𝑐. 11)
Estas expresiones pueden generalizarse para el caso de deformaciones por
tensión triaxiales, obteniéndose:
휀𝑥 =1
𝐸[𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)]
휀𝑦 =1
𝐸[𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑧 + 𝜎𝑥)] (𝐸𝑐. 12)
휀𝑧 =1
𝐸[𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)]
Las expresiones anteriores son válidas cuando uno o varios esfuerzos son de
compresión, hay que aplicar signos positivos a los alargamientos y esfuerzos de tensión
y signos negativos a los acortamientos y esfuerzos de compresión.
Una importante relación entre las constantes E, G y 𝜈 para un material dado es:
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜈) (𝐸𝑐. 13)
Se utiliza la ecuación (13) para determinar el valor de 𝜈 cuando se conocen las
constantes E y G. Los valores más frecuentes de la relación de Poisson son 0.25 a 0.30
para el acero, 0.33 aproximadamente para otros muchos metales. (Singer, 1994).
A menos que se realicen ensayos físicos, se puede asumir que el coeficiente de
Poisson para el hormigón es igual a 0.20. El efecto del coeficiente de Poisson se puede
8
despreciar en aquellos componentes que se anticipa estarán sujetos a fisuración.2
(AASHTO LRFD, 2012).
1.6 Ecuación Generalizada Lamé-Hooke
1.6.1 Material anisótropo.
La relación lineal entre el tensor de tensiones y el de deformaciones se expresa
así:
𝜎 = 𝐶. 휀 (𝐸𝑐. 14)
Descompuesta:
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 . 휀𝑘𝑙 (𝐸𝑐. 15)
En esta ecuación, C es un tensor denominado tensor de elasticidades. La simetría de σ
y ε implica las siguientes simetrías de C:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑙𝑘
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗
Expresando de manera vectorial tenemos:
𝝈 = 𝑪. 𝜺 (𝐸𝑐. 16)
En esta nueva ecuación, σ es un vector que contiene las seis componentes
independientes del tensor de tensiones:
𝜎 = {𝜎𝑥 𝜎𝑦𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 } (𝐸𝑐. 17)
ε es el vector que contiene los alargamientos unitarios en las direcciones
coordenadas y las distorsiones angulares entre ellas:
휀 = {휀𝑥 휀𝑦휀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧 } (𝐸𝑐. 18)
2 Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 5.4.2.5 Coeficiente de Poisson.
9
Y C es la denominada matriz constitutiva, que es una matriz cuadrada simétrica
de 6 × 6 elementos.
1.6.2 Material isótropo: ecuaciones de Lamé-Hooke
El tensor C debe ser un tensor isótropo. A partir de esta condición y utilizando
sus condiciones de simetría, el número de parámetros independientes en C se reduce a
2, que denominaremos λ y µ, y que la ecuación (Ec.16) se transforma en:
𝜎 = 𝜆 𝑒 𝑰 + 2𝜇 𝜺 (𝐸𝑐. 19)
Expresión que constituye las llamadas ecuaciones de Lamé en la que interviene
la deformación volumétrica. La forma clásica de las ecuaciones de Lamé es:
𝜎𝑥 = 𝜆𝑒 + 2𝜇휀𝑥 𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝛾𝑥𝑦 (𝐸𝑐. 20𝑎)
𝜎𝑦 = 𝜆𝑒 + 2𝜇휀𝑦 𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝛾𝑥𝑧 (𝐸𝑐. 20𝑏)
𝜎𝑧 = 𝜆𝑒 + 2𝜇휀𝑧 𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝛾𝑦𝑧 (𝐸𝑐. 20𝑐)
Y su expresión en la forma: 𝜎 = 𝐶휀 es:
{
𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧}
=
[ 𝜆 + 2𝜇 𝜆 𝜆𝜆 𝜆 + 2𝜇 𝜆𝜆 𝜆 𝜆 + 2𝜇
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
𝜇 0 0 0 𝜇 0 0 0 𝜇 ]
{
휀𝑥휀𝑦휀𝑧𝛾𝑥𝑦𝛾𝑥𝑧𝛾𝑦𝑧}
(𝐸𝑐. 21)
Las constantes λ y µ son conocidas como parámetros de Lamé. Es común usar
la notación alternativa G para el parámetro µ.
Sumando las tres ecuaciones de Lamé, que proporcionan las tensiones normales
se obtiene:
𝐼𝜎 = (3𝜆 + 2𝜇)𝑒 (𝐸𝑐. 22)
Sustituyendo en la expresión (Ec.19) se puede despejar la relación inversa, que
resulta:
10
휀 =1
2𝜇[𝜎 −
𝜆
3𝜆 + 2𝜇𝐼𝜎𝑰]
Si se introducen dos nuevos parámetros, E y 𝜈, definidos como:
𝐸 =𝜇(3𝜆 + 2𝜇)
𝜆 + 𝜇 𝜈 =
𝜆
2(𝜆 + 𝜇), (𝐸𝑐. 23)
Con las expresiones inversas
𝜆 =𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈) 𝜇 =
𝐸
2(1 + 𝜈), (𝐸𝑐. 24)
La expresión anterior se transforma en:
휀 =1 + 𝜈
𝐸𝜎 −
𝜈
𝐸𝐼𝜎𝑰 (𝐸𝑐. 25)
Esta es la expresión compacta de la Ley de Hooke generalizada; en notación
clásica
휀𝑥 =1
𝐸(𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)) 𝛾𝑥𝑦 =
2(1 + 𝜈)
𝐸𝜏𝑥𝑦 (𝐸𝑐. 26𝑎)
휀𝑦 =1
𝐸(𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)) 𝛾𝑥𝑧 =
2(1 + 𝜈)
𝐸𝜏𝑥𝑧 (𝐸𝑐. 26𝑏)
휀𝑧 =1
𝐸(𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)) 𝛾𝑦𝑧 =
2(1 + 𝜈)
𝐸𝜏𝑦𝑧 (𝐸𝑐. 26𝑐)
Las constantes E y 𝜈 se denominan módulo de elasticidad y coeficiente de
Poisson respectivamente. La expresión de la ley de Hooke generalizada en la forma
휀 = 𝐶−1𝜎 es la siguiente:
11
{
휀𝑥휀𝑦휀𝑧𝛾𝑥𝑦𝛾𝑥𝑧𝛾𝑦𝑧}
=
[
1
𝐸−𝜈
𝐸−𝜈
𝐸
−𝜈
𝐸
1
𝐸−𝜈
𝐸
−𝜈
𝐸−𝜈
𝐸
1
𝐸
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2(1 + 𝜈)
𝐸 0 0
0 2(1 + 𝜈)
𝐸 0
0 0 2(1 + 𝜈)
𝐸 ]
{
𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧}
(𝐸𝑐. 27)
1.6.3 Interpretación física de las constantes elásticas del material de Hooke
1.6.3.1 Módulo de elasticidad
Si se considera el ensayo de tracción uniaxial, se observar que σy = σz = 0, y
además τxy = τxz = τyz = 0.
Sustituyendo estos valores en la primera ecuación de la Ley de Hooke resulta:
𝜎𝑥 = 𝐸휀𝑥
1.6.3.2 Módulo de Poisson
Es posible calcular las deformaciones 휀𝑦 y 휀𝑧 en el ensayo de tracción uniaxial.
Se tiene:
휀𝑦 = −𝜈
𝐸𝜎𝑥 휀𝑧 = −
𝜈
𝐸𝜎𝑧,
Estas expresiones indican que en el ensayo uniaxial de tracción, las dimensiones
de la sección transversal se reducen proporcionalmente al valor del coeficiente de
Poisson.
1.6.3.3 Módulo de elasticidad transversal
A partir del ensayo de corte directo en la dirección X, Z = constante, en el que
la única componente no nula de la tensión es 𝜏𝑥𝑧 se deduce a partir de la ley de
Hooke:
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇. 𝛾𝑥𝑧
Que muestra cómo 𝜇 = 𝐺 está relacionado con la rigidez frente a la distorsión
del material.
1.6.3.4 Módulo de deformación volumétrica
12
La ecuación (Ec. 22) establece una relación entre la tensión y la deformación
volumétrica. Teniendo en cuenta que la tensión normal media es un tercio se
tiene:
𝜎𝑚 =3𝜆 + 2𝜇
3𝑒
Al factor de la deformación volumétrica se denomina K, módulo de
deformación volumétrica, así:
𝐾 =3𝜆 + 2𝜇
3=
𝐸
3(1 − 2𝜈) (𝐸𝑐. 28)
(Mas, 2004).
1.7 Esfuerzos de origen térmico
Es conocido que los cambios de temperatura provocan en los cuerpos
dilataciones o contracciones, de manera que la deformación lineal δT, viene dada por:
𝛿𝑇 = 𝛼𝐿(Δ𝑇) (𝐸𝑐. 29)
En donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en m/m.oC, o
simplemente (oC)-1, L es la longitud y ΔT es la variación de temperatura en oC. Si no se
impide la deformación debida a la temperatura, como ocurre en los sistemas
estáticamente determinados, no aparecerán esfuerzos en la estructura, pero en la
mayoría de los casos no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o
parcialmente impedidas. Como resultado de esto aparecen fuerzas internas que
contrarrestan, también parcial o totalmente, estas deformaciones. Los esfuerzos
originados por estas fuerzas internas son esfuerzos térmicos. (Singer, 1994).
El coeficiente de expansión térmica se debería determinar realizando ensayos en
laboratorio sobre la mezcla de hormigón específica a utilizar. En ausencia de datos, el
coeficiente de expansión térmica se puede tomar como:
Para hormigón de densidad normal: 10,8 × 10-6/ºC, y
13
Para hormigón de baja densidad: 9,0 × 10-6/ºC.3 (AASHTO LRFD, 2012).
1.8 Deformaciones en puentes AASHTO 2012
1.8.1 Requisitos Generales
Los puentes se deberían diseñar de manera de evitar los efectos estructurales o
psicológicos no deseados que provocan las deformaciones. A pesar de que, salvo en el
caso de los tableros de placas ortótropas, las limitaciones referidas a deflexiones y
alturas de vigas son optativas, se debería realizar la revisión del diseño para determinar
que el puente se comportará satisfactoriamente.
Si se emplean análisis dinámicos éstos deben cumplir con los principios y
requisitos del Artículo 4.74
Para puentes de vigas de acero oblicuas rectas y puentes de vigas de acero
curvas horizontalmente con o sin apoyos oblicuos, las siguientes investigaciones
adicionales se consideran:
Las deflexiones vertical, lateral y rotacional elástica debido a las combinaciones
de carga aplicable se consideran para asegurar un comportamiento de servicio
satisfactorio de soportes, nudos, estribos integrales y pilas.
Las rotaciones de vigas calculadas en apoyos deberían ser acumuladas sobre la
secuencia de construcción asumida de ingeniería. Las rotaciones calculadas en
apoyos no excedieran la capacidad rotacional especificada de los apoyos para
cargas factoradas acumuladas correspondientes al estado investigado.
Los diagramas de camber satisfarán las provisiones del Artículo 6.7.2 y pueden
reflejar las deflexiones acumuladas calculadas debido a la secuencia de
construcción asumida de ingeniería.
3 Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 5.4.2.2 Coeficiente de Expansión Térmica. Tabla C5.4.2.1-1−
Características de las mezclas de hormigón según su Clase.
4 Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 2.5.2.6.1 General.
14
1.8.2 Criterios para la Deflexión
Los criterios de esta sección se deben considerar optativos, a excepción de los
siguientes:
Los requisitos para tableros ortótropos se deben considerar obligatorios.
Los requisitos del Artículo 12.14.5.9 para estructuras de hormigón armado
prefabricado que tienen tres lados se deben considerar obligatorios.
Los tableros metálicos reticulados y otros tableros livianos metálicos y de
hormigón deben satisfacer los requisitos de serviciabilidad del Artículo 9.5.2.
Para la aplicación de estos criterios la carga del vehículo debe incluir el
incremento por carga dinámica.
Si un Propietario decide invocar el control de las deflexiones se pueden aplicar los
siguientes principios.
Al investigar la máxima deflexión absoluta, todos los carriles de diseño
deberían estar cargados, y se debería asumir que todos los elementos portantes
se deforman igualmente;
Para sistemas de vigas I y vigas cajón de acero curvas, las deflexiones de cada
viga deberían ser determinadas individualmente basadas en su respuesta como
parte del sistema.
Para el diseño compuesto, el diseño de la sección transversal debería incluir la
totalidad del ancho de la carretera y las porciones estructuralmente continuas
de las barandas, aceras y barreras divisorias;
Al investigar los máximos desplazamientos relativos, el número y posición de
los carriles cargados se deberían seleccionar de manera que se produzca el peor
efecto diferencial;
Se debería utilizar la porción correspondiente a la sobrecarga viva de la
Combinación de Cargas de Servicio I de la Tabla 3.4.1-1, incluyendo el
incremento por carga dinámica, IM;
La sobrecarga viva se debe tomar del Artículo 3.6.1.3.2;
15
Se deberían aplicar los requisitos del Artículo 3.6.1.1.2; y
Para puentes oblicuos se puede usar una sección transversal recta, y para
puentes curvos y puentes curvos oblicuos se puede usar una sección transversal
radial.
En ausencia de otros criterios, para las construcciones de acero, aluminio y/u
hormigón se pueden considerar los siguientes límites de deflexión:
Carga vehicular, general........................................................... Longitud/800,
Cargas vehiculares y/o peatonales............................................ Longitud/1000,
Carga vehicular sobre voladizos............................................... Longitud/300, y
Cargas vehiculares y/o peatonales sobre voladizos.................. Longitud/375
Para las vigas de acero I, y para las vigas de acero tipo cajón y tubulares, se deben
aplicar los requisitos de los Artículos 6.10.4.2 y 6.11.4, respectivamente, referentes al
control de las deflexiones permanentes por medio del control de las tensiones en las
alas. Para puentes peatonales, por ejemplo, puentes cuya función primaria es peatones,
bicicletas, ecuestres y vehículos de mantenimiento livianos, los requisitos de la Sección
5 de las Especificaciones AASHTO LRFD para el Diseño de puentes pedestres se
aplicará.
En ausencia de otros criterios, para las construcciones de madera se pueden
considerar los siguientes límites de deflexión:
Carga vehicular y pedestre …………………………………….Longitud/425, y
Carga vehicular sobre tablones y paneles de madera (máxima deflexión relativa
entre bordes adyacentes) ........................................................................ 2,5 mm
Para los tableros de placas ortótropas se deberán aplicar los siguientes requisitos:
Carga vehicular sobre placa del tablero …………….…………..Longitud/300
Carga vehicular sobre los nervios de un tablero ortótropo metálico
................................................................................................. Longitud/1000, y
16
Carga vehicular sobre los nervios de tableros ortótropos metálicos (máxima
deflexión relativa entre nervios adyacentes) ........................................ 2,5 mm.
1.8.3 Grandes deformaciones en puentes colgantes
En los puentes colgantes las solicitaciones se deberán analizar mediante la teoría
de grandes deformaciones para cargas verticales. Se deberán analizar las solicitaciones
provocadas por las cargas de viento, considerando la tensión de rigidización de los
cables. Al asignar fuerzas a los cables, suspensores y componentes de las cerchas de
rigidización se podrá despreciar la rigidez torsional del tablero.5
En el pasado los puentes colgantes cortos se analizaban mediante teorías de
pequeñas deformaciones convencionales. Para los puentes cortos y de longitud
moderada se han utilizado métodos con factores de corrección para tomar en cuenta el
efecto de la deformación, el cual es particularmente significativo para el cálculo de los
momentos en los sistemas de tablero. Cualquiera de los puentes colgantes
contemporáneos tiene una longitud de tramo tal que se debería utilizar la teoría de las
grandes deformaciones.
Por los mismos motivos de orden económico, el tramo probablemente tendrá una
longitud suficiente como para que la influencia de la rigidez torsional del tablero,
combinada con el efecto relativamente pequeño de la sobrecarga en relación con la
carga permanente, haga que la técnica de la sumatoria de momentos sea adecuada para
asignar cargas a los cables y suspensores y habitualmente aún al sistema de tablero, por
ejemplo, una cercha de rigidización.
5 Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 4.6.3.8 Puentes Colgantes.
17
CAPITULO 2
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN PUENTES TIPO ARCO
2.1 Introducción
Las propiedades del arco como elemento estructural sometido a flexo-
compresión se indica más adelante con el propósito de indicar su comportamiento que
rige en este elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con
elementos tipo arco, de igual manera se indicará el procedimiento para estimar las
dimensiones de la sección transversal del arco.
2.2 Propiedades de los arcos
2.3 Definición
2.4 Sistemas estructurales básicos usados en puentes
Un sistema estructural es el conjunto ensamblado de elementos para formar un
cuerpo único cuyo objetivo es dar soporte a una obra civil. El tipo de elementos y la
forma que se ensamblen definen el comportamiento de una estructura.
En los puentes se distinguen dos sistemas estructurales principales como son:
la superestructura y la infraestructura. La superestructura se halla constituida por el
tablero que recibe directamente la carga y por un sistema de transmisión de ésta a la
infraestructura la que se encargará de llevarla al suelo.
Los puentes se clasifican de acuerdo con el sistema estructural en: puentes de
vigas longitudinales, puentes en arco, puentes colgantes, puentes atirantados y puentes
en voladizo.
2.4.1 Puentes de vigas
18
Las vigas son elementos que trabajan a flexión y cortante cuando se someten a
cargas perpendiculares a su plano. En los puentes construidos con vigas el flujo de
carga pasa del tablero a unas vigas secundarias transversales y de éstas a las vigas
longitudinales principales que se apoyan en los estribos (Fig. 3)
Figura 3. Forma de trabajo de un puente con vigas
Una vez que la carga es transmitida por las vigas longitudinales principales a
los apoyos, se genera en éstos una reacción igual a la carga aplicada. Los puentes de
vigas constituyen una solución económica para salvar luces pequeñas hasta 30 o 40 m;
para luces mayores se recomienda usar otros sistemas estructurales.
2.4.2 Vigas de alma llena
En este tipo de elementos, el esfuerzo normal por flexión es inversamente
proporcional al momento de inercia de la sección figura 4.
Figura 4. Distribución de esfuerzos por flexión
Los puntos de apoyo de la viga constituyen la zona crítica para cortante
Flujo de carga a través de las vigas longitudinales principales a los estribos o pórticos de apoyo
Reacciones en la misma dirección de la carga aplicada
Viga deformada. Los efectos de flexión producen tracción abajo y compresión arriba el centro es la zona crítica para flexión
CARGA
Esfuerzo máximo a compresión=σc máx
Compresión en cordón superior, F’c
Esfuerzo máximo a tracción=σc f
Tracción en cordón inferior, Ft
h h
Momento Interno Mmáx Momento
Interno Mmáx
σ máx c= σ máx t =Mmáx*h/2 / I Ft=Fc=Mmáx/h
VIGAS DE ALMA LLENA VIGAS EN CELOSIA
19
El momento de inercia es una propiedad geométrica que expresa qué tan alejada
se encuentra el área de un eje dado. De acuerdo con la distribución de esfuerzos internos
producidos por los efectos de flexión, se recomienda usar inercias mayores para tener
más área en los puntos de mayor esfuerzo. Lo ideal es tener esfuerzos mínimos con la
mínima área posible y esto se logra usando vigas de sección I. Si el esfuerzo nominal
interno por flexión es mayor que el máximo esfuerzo resistido por el material, tanto a
compresión como a tracción, la viga fallará por flexión presentando rotura en la zona
de tracción y aplastamiento en la zona de compresión. Si los esfuerzos internos no
superan la resistencia del material, se podría presentar falla por pandeo de la zona
comprimida. El pandeo depende directamente de la relación de esbeltez, la que se
calcula con la longitud libre del elemento (sin arriostramientos o apoyos laterales) sobre
el radio de giro de la sección transversal (√𝐼 𝐴⁄ ). La forma de controlar el pandeo sería
disminuir la longitud libre o aumentar el radio de giro; en la práctica se usa la primera
opción uniendo la viga al tablero o por medio de elementos rigidizadores de la zona a
compresión.
La distribución del esfuerzo cortante interno es inversamente proporcional al
momento de inercia y al ancho de la sección transversal. Para una sección rectangular
el esfuerzo máximo se presenta en el eje neutro de la sección. Si el esfuerzo interno es
mayor que el esfuerzo resistido por el material a corte, la sección fallará presentando
grietas diagonales.
2.4.3 Vigas en celosía
Las vigas en celosía o en cerchas están compuestas por elementos rectos y
esbeltos unidos entre sí en sus extremos por medio de conexiones tipo articulación. El
ensamblaje es de tal manera que en el interior de la cercha se pueden identificar figuras
estructuralmente estables como triángulos. Debido al tipo de unión de los elementos en
sus extremos, éstos sólo trabajan a carga axial. En este tipo de estructuras, el momento
interno es soportado por el efecto del par de fuerzas entre el cordón superior
(compresión) e inferior (tracción) de la cercha. A mayor distancia entre los dos
cordones, menores serán los esfuerzos axiales en ellos. Los esfuerzos cortantes son
20
soportados por tracción o compresión en las diagonales de la cercha dependiendo de su
inclinación.
La falla más común en vigas en cercha se presenta por las conexiones en los
nudos. Si las conexiones trabajan adecuadamente, la falla se puede presentar por rotura
de los elementos a tracción y pandeo en los elementos a compresión.
2.4.4 Puentes de arco
El sistema estructural principal está constituido por dos arcos laterales o por un
arco central inferior. Según con la posición de la vía se clasifica en puente de vía
superior y puente de vía inferior. En el puente de la vía superior la transmisión de la
carga al arco puede ser por medio de puntales, columnas o muros y en el puente de vía
inferior, por medio de tirantes verticales.
El arco como elemento estructural trabaja netamente a compresión. Las
reacciones en sus apoyos, además se soportar la carga vertical aplicada, deben ejercer
fuerzas horizontales para ayudar al arco a mantener su forma curva. Si los soportes no
pueden brindar esta reacción, se pueden recurrir a un elemento inferior complementario
que actuará como tirante (tracción), figura 5.
Figura 5. Sistemas de puentes de arco
Tablero suspendido
Reacciones de los
soportes
Tablero superior soportado
Reacciones de los
soportes Tensor inferior para compensar
reacciones horizontales
21
Los arcos pueden ser de sección compacta o de sección no compacta tipo
cercha. Las fallas más comunes en estos puentes son por pandeo a compresión en el
arco o por deslizamiento en sus soportes, lo que ocasiona la rotura del arco. Para evitar
la falla por pandeo se pueden contar con elementos arriostradores.
2.4.5 Puentes atirantados
Figura 6. Flujo de cargas en el sistema de puentes atirantados
El sistema estructural de este tipo de puentes consta de un tablero que trabaja a
flexocompresión, unos tirantes que soportan el tablero y transmiten la carga a un pilón
que lleva las cargas hasta la fundación. Como sistema estructural completo, los puentes
atirantados pueden fallar por inestabilidad general causada por rotación del pilón en su
base; por poca resistencia del pilón, ya sea a flexión, compresión o cortante o por falla
del tablero a compresión, ya sea por aplastamiento o por pandeo de los elementos. Otras
fallas locales pueden presentarse. (Duque, 2004).
2.5 El arco
Una definición de arco fue dada por Cayo Julio Lácer, el ingeniero romano que
proyectó el puente de Alcántara en el año 106, y se halla en la piedra del templete
funerario del puente que menciona el mecanismo resistente de estas estructuras: Ars
ubi materia vincitur ipsa sua (En el arco la materia se vence a sí misma).
Pilón con compensación
de cargas a ambos lados
Pilón principal
empotrado en su base
Compresión en el tablero por la
componente horizontal de la
fuerza ejercida por los tirantes
Tirantes
22
Figura 7. Inscripción en el templete funerario del Puente de Alcántara
El tema de los arcos no es nuevo en la ingeniería, siempre ha habido una gran
atracción por el arco y su fenómeno resistente.
Como cualidad fundamental del arco es su forma curva. Aunque es insuficiente,
ya que si se apoya isostáticamente una barra arqueada sólo se tendrá una viga curva, no
un arco. Hay que considerar las condiciones de sustentación y se encontrará lo esencial
de la estructura arco, la existencia de esfuerzos longitudinales de contrarresto, que son
los que determinan su forma (Fernández Casado, 1955).
Figura 8 Carga vertical, componentes horizontales en las reacciones y esfuerzos
longitudinales de contrarresto en un arco
El arco genera empujes horizontales sobre los apoyos. La existencia de estas
componentes horizontales en las reacciones, pese a que las cargas externas sean
verticales, es un hecho que caracteriza a los arcos y los diferencia de las vigas. Los
23
empujes se deben a la imposibilidad de desplazamiento de los estribos, y no a la forma
curva de la pieza, ya que los empujes bajo cargas verticales no aparecen si faltan los
estribos que impidan la apertura del arco (Argüelles, 1996).
2.6 Métodos de cálculo
Hay varias maneras que se puede abordar el problema del cálculo de los arcos,
como son:
a) Método de los desplazamientos
b) Métodos energéticos
c) Método de los elementos finitos
2.6.1 Método de los desplazamientos
Este método tiene su origen en la aplicación de las fórmulas de Bresse, que
permiten calcular los corrimientos de los puntos de la directriz del arco, así como los
giros experimentados por cualquier sección recta del prisma mecánico.
Al analizar el problema estructural del arco desde el punto de vista de los
desplazamientos y de las deformaciones, se manifiesta que al actuar las solicitaciones
tienden a desplazar a la estructura en bloque, a lo que se oponen las reacciones de
apoyo, que logran el equilibrio del sistema.
Las reacciones se calculan a partir de la teoría de las deformaciones, expresando
analíticamente las condiciones en que han surgido.
Para desarrollar el método de las deformaciones se recurre a la superposición
de dos estados de carga. El primero corresponde a una estructura isostática virtual
obtenida a partir del arco hiperestático original. El segundo estado de carga completa
la estructura isostática con las reacciones hiperestáticas propias del arco inicial.
24
Hay dos problemas al estudiar un arco hiperestático. El primero es la
transformación de la estructura en otra isostática que sirva de punto de partida. El
segundo se refiere al modo de calcular las deformaciones de la estructura auxiliar.
Para lograr el isostatismo se puede reducir el arco a viga curva o a voladizo.
Para tener la viga curva a partir del arco hiperestático basta liberar un apoyo de las
restricciones superabundantes: el empuje en los arcos biarticulados y el empuje y el
momento de empotramiento en los arcos biempotrados. El arco en voladizo puede
conseguirse por cuatro caminos6 (Fernández Casado, 1955):
1) Liberando una de las extremidades (Figura 9).
Figura 9. Arco en voladizo obtenido al liberar un apoyo
2) Complementando la transformación anterior mediante la prolongación del
arco con una barra de rigidez infinita que termina en el centro elástico (Fig.
10).
Figura 10. Arco en voladizo con extremo libre unido al centro elástico
6 Se expresan todas las modalidades posibles de conversión de la estructura hiperestática para hacer ver que el
método es extensivo a todo tipo de arco hiperestático, y no sólo a los arcos biarticulados y biempotrados objeto de
este estudio.
25
3) Cortando el arco por la clave (en general por una sección cualquiera), con
lo que se obtienen dos voladizos (Fig. 11).
Figura 11. Arco biempotrado cortado por la clave
4) Cada uno de los voladizos se enlaza al centro elástico del arco por una
barra de rigidez infinita. (Fig. 12).
Figura 12. Variante para obtener arcos en voladizo a partir de un arco
biempotrado
Una vez que se tiene el arco isostático, se calculan las reacciones mediante las
ecuaciones que proporciona la Estática. Después se somete a esta estructura virtual a la
reacción de las acciones hiperestáticas que se encargan de anular las deformaciones
incompatibles con las condiciones de apoyo.
26
En los arcos hiperestáticos las incógnitas son siempre más de tres, seis en el
caso del arco biempotrado. Por consiguiente, se necesitan otras ecuaciones que
expresen las condiciones de indeformabilidad debidas al sistema de apoyo.
a) La primera de estas condiciones es la invariabilidad de la luz, que es
suficiente en el caso del arco de dos articulaciones (sólo cuatro incógnitas).
𝛿𝐵 = 0
b) La segunda condición es la ausencia de desnivelación entre apoyos, junto
con la anterior, resuelve el problema del arco de una sola articulación, donde
las incógnitas son cinco.
𝛿𝐵 = 0
∆𝐵= 0
c) La tercera condición es que el giro relativo de las dos secciones extremas
es nulo, y con ella se obtienen las tres ecuaciones complementarias para
resolver el problema general del arco empotrado.
𝛿𝐵 = 0
∆𝐵= 0
𝜃𝐵 = 0
Al conocer las estructuras isostáticas que sirven de arranque para el análisis del
arco hiperestático, el segundo problema básico para el estudio de un arco es el cálculo
de las deformaciones, y concretando más, de las deformaciones de una extremidad con
respecto a la otra.
Figura 13. Esfuerzos en una rebanada de arco bajo carga
27
La continuidad geométrica del arco permite el análisis diferencial de una
rebanada aislada (Fig. 13), en cuyas secciones transversales infinitamente próximas se
producen los esfuerzos M, N y Q. Si se estudia por separado la deformación que
produce cada fuerza de sección, se tiene que el momento flector M produce un giro de
la sección, el esfuerzo normal N ocasiona una translación o desplazamiento
longitudinal y el esfuerzo cortante Q un corrimiento o desplazamiento transversal de la
sección.
La acción conjunta de estas deformaciones elementales, al superponerse,
permite obtener la deformación de un punto cualquiera de la directriz, que será una
etapa intermedia para conocer las deformaciones relativas de un extremo del arco con
respecto al otro, definidas por las expresiones:
𝛿 = ∫𝑁
𝐴. 𝐸𝑑𝑥 + ∫ 𝛼
𝑄
𝐴. 𝐺
𝑙
0
𝑑𝑧 + ∫𝑀
𝐸. 𝐼.𝑧 𝑑𝑠
𝑙
0
𝑙
0
∆= ∫𝑁
𝐴. 𝐸𝑑𝑧 − ∫ 𝛼
𝑄
𝐴. 𝐺
𝑙
0
𝑑𝑥 − ∫𝑀
𝐸. 𝐼.𝑥 𝑑𝑠
𝑙
0
𝑙
0
𝜃 = ∫𝑀
𝐸. 𝐼𝑑𝑠
𝑙
0
E es el módulo de elasticidad del material, G es el módulo de elasticidad
transversal del material, A es el área de la sección transversal, I el momento de inercia
de la sección transversal y α el factor de forma de la sección transversal.
2.6.1.1 ARCO BIEMPOTRADO
El arco doblemente empotrado es un sistema hiperestático con tres reacciones
superabundantes. Como las reacciones vienen definidas por seis valores diferentes, se
precisan tres ecuaciones para complementar las tres que nos da la Estática. Estas
28
expresiones han de considerar las condiciones de deformabilidad debidas al sistema de
apoyo o sea las ecuaciones de deformación ligadas a los extremos empotrados.
Las condiciones derivadas de los extremos empotrados son tres:
a) invariabilidad de la longitud,
b) ausencia de desniveles entre apoyos y
c) que el giro relativo de las dos secciones extremas sea nulo.
Para analizar el arco hiperestático se recurre al arco en voladizo, que se deja
deformar libremente por la actuación de fuerzas y causas exteriores. Luego se lleva la
extremidad libre a su posición verdadera mediante la aplicación de las reacciones de
apoyo correspondientes a dicho extremo.
Para calcular se puede realizar de dos maneras, pero con el mismo resultado. En
primer lugar se calcularían las deformaciones del voladizo debidas a las acciones
exteriores. Posteriormente se obtendrían los corrimientos originados por las reacciones,
suponiendo que fueran acciones externas sobre el extremo virtualmente liberado. Por
último se establecerían las ecuaciones complementarias, igualando dos a dos las
deformaciones obtenidas.
Un método alternativo sería considerar como causa deformadora las fuerzas
externas y las reacciones, igualando a cero las tres deformaciones totales.
Al operar de esta manera se obtendría el sistema [2.6.1.1], que representan un
sistema de ecuaciones, anulando sus primeros miembros. Si se utilizan los ejes elásticos
genéricos representados en la figura 17 se llega al sistema [2.6.1.2].
29
Figura 14. Arco en voladizo con arranques a nivel
Figura 15. Obtención de M, N y Q en un arco biempotrado
SISTEMA [2.1.6.1]
30
Figura 16. Deformaciones provocadas por un giro 𝑑𝜃.
𝐸. 𝜃 = 𝑀1. ∫1
𝐼. 𝑑𝑠 + 𝑉1∫
𝑥
𝐼. 𝑑𝑠 − 𝐻1∫
𝑧
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑀𝑖
𝐼. 𝑑𝑠
𝐸. ∆= − 𝑀1. ∫𝑥
𝐼. 𝑑𝑠 + 𝑉1. [−∫
𝑥2
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑠𝑒𝑛2𝛼
𝐴. 𝑑𝑠 −
𝐸
𝐺.∫𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝐴. 𝑑𝑠] +
+𝐻1. [∫𝑥. 𝑧
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐴. 𝑑𝑠 +
𝐸
𝐺.∫𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐴. 𝑑𝑠] +
−∫𝑀𝑖 . 𝑥
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑁𝑖𝐴. 𝑑𝑧 −
𝐸
𝐺∫𝑥. 𝑄𝑖𝐴
. 𝑑𝑥
𝐸. 𝛿 = 𝑀1. ∫𝑧
𝐼. 𝑑𝑠 + 𝑉1. [−∫
𝑥. 𝑧
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐴. 𝑑𝑠 +
𝐸
𝐺.∫𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐴. 𝑑𝑠] +
+𝐻1. [−∫𝑧2
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝐴. 𝑑𝑠 −
𝐸
𝐺.∫𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝛼
𝐴. 𝑑𝑠] +
+∫𝑀𝑖 . 𝑧
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑁𝑖𝐴. 𝑑𝑥 +
𝐸
𝐺∫𝑥. 𝑄𝑖𝐴
. 𝑑𝑧
SISTEMA [2.1.6.2]
31
Figura 17. Ejes elásticos en un arco asimétrico.
𝐸. 𝜃0 = 𝑀0. ∫1
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑀𝑖
𝐼. 𝑑𝑠
𝐸. ∆0= 𝑉0. [−∫𝑥′2
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑠𝑒𝑛2𝛼′
𝐴. 𝑑𝑠 −
𝐸
𝐺.∫𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝛼′
𝐴. 𝑑𝑠] +
−∫𝑀𝑖. 𝑥
′
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑁𝑖𝐴. 𝑑𝑧′ −
𝐸
𝐺∫𝑥. 𝑄𝑖𝐴
. 𝑑𝑥′
𝐸. 𝛿0 = 𝐻0. [−∫𝑧′2
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑐𝑜𝑠2𝛼′
𝐴. 𝑑𝑠 −
𝐸
𝐺.∫𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝛼′
𝐴. 𝑑𝑠] +
+∫𝑀𝑖. 𝑧′
𝐼. 𝑑𝑠 + ∫
𝑁𝑖𝐴. 𝑑𝑥′ +
𝐸
𝐺∫𝑥. 𝑄𝑖𝐴
. 𝑑𝑧′
Luego con los primeros miembros de las ecuaciones anulados en los apoyos, lo que
permitiría despejar explícitamente las reacciones H0, V0, M0, tendríamos:
𝑀0 = −∫𝑀𝑖
𝐼 . 𝑑𝑠
∫1𝐼 . 𝑑𝑠
𝑉0 =∫𝑀𝑖 . 𝑥
′
𝐼 . 𝑑𝑠 + ∫𝑁𝑖𝐴 . 𝑑𝑧
′ −𝐸𝐺 ∫
𝑥. 𝑄𝑖𝐴 . 𝑑𝑥′
[− ∫𝑥′2
𝐼 . 𝑑𝑠 + ∫𝑠𝑒𝑛2𝛼′𝐴 . 𝑑𝑠 −
𝐸𝐺 . ∫
𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝛼′𝐴 . 𝑑𝑠]
32
𝐻0 =− [∫
𝑀𝑖. 𝑧′𝐼 . 𝑑𝑠 + ∫
𝑁𝑖𝐴 . 𝑑𝑥′ +
𝐸𝐺 ∫
𝑥. 𝑄𝑖𝐴 . 𝑑𝑧′]
[−∫𝑧′2
𝐼 . 𝑑𝑠 + ∫𝑐𝑜𝑠2𝛼′𝐴 . 𝑑𝑠 −
𝐸𝐺 . ∫
𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝛼′𝐴 . 𝑑𝑠]
En estas fracciones que definen las reacciones en el centro elástico los
coeficientes fijos se encuentran en los denominadores, mientras que los coeficientes de
carga constituyen los numeradores.
2.6.2 Métodos energéticos
Mediante la aplicación de teoremas muy utilizados en el cálculo de estructuras,
existen una serie de modos de calcular arcos estáticamente indeterminados y que usan
entidades intangibles como son la energía de deformación o el trabajo elástico. Entre
los principios o teoremas de puede indicar el segundo teorema de Castigliano, el
teorema del mínimo trabajo, el principio de los trabajos virtuales o el teorema de
Maxwell-Betti o de la reciprocidad de los trabajos.
Si se analiza un elemento diferencial de arco, en el que se denomina M, N y Q
los esfuerzos de cualquier sección transversal, con los sentidos positivos que se indican
en la figura 13, siendo h la altura de la sección transversal pequeña respecto al radio de
curvatura r de la directriz del arco, se puede determinar la energía de deformación por
flexión Uf como:
𝑈𝑓 = ∫𝑀2. 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐼
𝑠
0
Esta expresión es semejante a la que se usa en vigas rectas pero con la variable
s, que representa la longitud de la directriz del arco.
Del mismo modo se puede determinar la energía de deformación por cortante
Uc como:
𝑈𝑐 = ∫ 𝛼𝑄2. 𝑑𝑠
2. 𝐺. 𝐴
𝑠
0
33
Si los arcos son esbeltos, esta magnitud es pequeña comparada con la debida a
la flexión, por lo que es común despreciarla.
Para la energía de deformación por compresión directa Ut se tiene:
𝑈𝑡 = ∫𝑁2. 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐴
𝑠
0
Así la energía de deformación total del arco queda definida por:
𝑈 = ∫𝑀2. 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐼
𝑠
0
+∫ 𝛼𝑄2. 𝑑𝑠
2. 𝐺. 𝐴
𝑠
0
+∫𝑁2. 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐴
𝑠
0
Si además se toman en cuenta los efectos de temperatura tenemos:
𝑈 = ∫𝑀2. 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐼
𝑠
0
+∫ 𝛼𝑄2. 𝑑𝑠
2. 𝐺. 𝐴
𝑠
0
+∫𝑁2. 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐴
𝑠
0
+∫ 𝑁. 𝛼𝑡 . 𝑡. 𝑑𝑠𝑠
0
+∫ 𝑀.𝛼𝑡.∆𝑡
ℎ. 𝑑𝑠
𝑠
0
Donde: 𝛼t es el coeficiente de dilatación térmica, ∆𝑡 es el incremento de
temperatura respecto a una situación de referencia y ∆𝑡
ℎ representa el gradiente de
temperatura entre trasdós e intradós.
2.6.3 Método de los elementos finitos
Este método determina el comportamiento de una estructura sometida a
acciones exteriores, sustituyendo la solución continua y exacta de las ecuaciones
diferenciales que expresan el equilibrio de un elemento diferencial genérico por una
solución discontinua o discreta y por tanto aproximada.
Salvo las estructuras reticulares, la mayor parte de las estructuras en ingeniería
son de naturaleza continua y su comportamiento no se puede expresar en forma precisa
en función de un número pequeño de variables discretas. Por eso, la exactitud de los
resultados sólo podrá tenerse en estructuras de barras.
34
Sin embargo de que las estructuras continuas son tridimensionales, el algunos
casos, su comportamiento se puede describir con modelo matemáticos uni o
bidimensionales, siempre que se pueda hacer uso de hipótesis simplificadas.
Para el análisis de un arco por el método de los elementos finitos a partir de su
geometría, apoyos y cargas que actúan, es necesario definir un modelo matemático
apropiado para describir su comportamiento. Por ejemplo un modelo que se basa en la
teoría de la flexión de vigas de Timoshenko y un modelo que se basa en la teoría clásica
de Euler-Bernoulli.
En la primera fase de aplicación del modelo es necesario determinar con detalle
las características del material de la estructura.
En segundo lugar se procede a discretizar la estructura en partes que no
intersecten entre sí, que se denominan <<elementos finitos>>. Dependiendo del
problema, el elemento finito será uni, bi o tridimensional, y estará constituido de un
número discreto de <<nodos>>. En general la malla de elementos finitos puede estar
constituida por elementos de diferente geometría.
La norma general de nombrar un elemento en función del tipo de problema y
del tipo de modelo matemático empleado, la forma de discretizar un arco también
puede ser influyente al momento de denominar el elemento en cuestión. Por ejemplo si
se decide discretizar el arco plano en elementos curvos, se acepta el nombre de
elemento de viga curvado.
Una manera más sencilla de discretizar un arco plano consiste en hacerlo
mediante elementos rectos. De esta manera, cuando el elemento finito es una barra recta
sometida a cargas externas que provocan, una situación conjunta de compresión y
flexión (compresión compuesta o flexión compuesta, según el predominio de una u
otra). Existe la tendencia de designar al elemento finito como elemento de Timoshenko
o elemento de viga de Timoshenko, solicitado únicamente a flexión, acoplando el
efecto de la compresión mediante un elemento de barra.
El elemento de pórtico plano puede basarse en el modelo de Timoshenko o en
el de Euler-Bernoulli, obteniéndose formulaciones distintas.
35
En tercer lugar a partir de la expresión de los trabajos virtuales o el principio de
la energía potencial total se obtienen las matrices de rigidez y el vector de cargas para
cada elemento finito (matrices y vectores locales, referida al sistema de coordenadas
asociado al elemento).
Luego se procede al ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector de cargas
equivalentes de todos los elementos de la malla, obteniéndose las matrices globales,
referidas al sistema de coordenadas general del arco. Así, se obtiene el sistema de
ecuaciones del arco,
[𝐾]. {𝑎} = {𝑓}
Donde: [𝐾] es la matriz de rigidez global del arco, {𝑎} el vector de
desplazamientos de los nodos y {𝑓} el vector de cargas de la estructura.
Una vez establecida la ecuación matricial de la estructura, se resuelve el sistema
de ecuaciones; calculados los movimientos nodales {𝑎} se pueden calcular las
deformaciones y luego, las tensiones de cada elemento, así como las reacciones en los
nodos.
El gran número de ecuaciones que genera el método solo puede ser resuelto con
métodos matriciales, haciendo uso de los computadores.
2.7 El puente arco
La aparición del pretensado ha posibilitado la construcción de puentes rectos de
gran luz y luego el puente atirantado, que cubre con longitudes de 200 m a 500 m y que
puede llegar a los 1.000 m. El uso de grandes cerchas constituía la dificultad más
relevante que presentaba la ejecución de esos puentes, ubicadas, generalmente, en
zonas de difícil acceso, grandes valles o cursos de agua importantes. Sin embargo la
aplicación a los arcos del método de construcción en avance en voladizo, reavivó la
presencia de este tipo de puentes de hormigón o metálicos con longitudes que oscilan
entre los 100 y los 400 m como el puente del Krk, Croacia, L = 390,00 m, para el caso
del hormigón ó hasta los 518,5 m, en el caso de puentes metálicos.
36
Figura 18. Puente Krk en Croacia
Junto con el avance en voladizo, está presente, el abatimiento, por giro, de arcos
construidos en posición vertical, método que puso a punto R. Morandi en la pasarela
de la Fiumarella.
Figura 19. Puente Fiumarella
El puente de Waxian sobre el Yangtze, China, 420 m de longitud y de hormigón
se ha construido con autocimbra como los puentes de hormigón armado de Ribera o de
Torroja.
Figura 20. Puente Waxian en China
37
El puente la Saquea que es un puente de arcos metálicos de una longitud de 110
m y dos carriles sobre el río del mismo nombre en la provincia de Zamora Chinchipe.
Figura 21. Puente metálico en la Saquea en Zamora Chinchipe
El puente la Saquea aguas arriba del anterior, siendo un puente de hormigón
armado con un arco catenario de un solo carril en la provincia de Zamora Chinchipe.
Figura 22. Puente catenario de hormigón en la Saquea en la provincia de Zamora Chinchipe
Los puentes Gemelos en el Paso Lateral de Babahoyo de una longitud de 100
m, siendo un par de puentes metálicos sobre el río Babahoyo de dos carriles cada uno.
38
Figura 23. Puentes metálicos en el Paso Lateral de Babahoyo en la provincia de Los Ríos
Los puentes en arco de hormigón armado en el Acceso Norte a la ciudad de
Babahoyo el puente sobre el río San Pablo de 110 m y el puente sobre el río Catarama
de 132 m de longitud.
Figura 24. Puentes de hormigón armado en el Acceso Norte de Babahoyo en la provincia de
Los Ríos
2.7.1 Clasificación de los puentes arco
Desde el punto de vista de su forma, el puente arco se divide en tres clases:
Puente arco con tablero superior
Puente arco con tablero intermedio
Puente arco con tablero inferior
La situación relativa entre arco y tablero viene dada por la relación flecha-luz.
A partir de valores de esta relación inferiores a 1/10, los problemas derivados de
39
las deformaciones de temperatura, fluencia y retracción, en los arcos de hormigón,
o en los apoyos, son cada vez mayores. El arco con tablero intermedio o el arco con
tablero inferior, son la respuesta a aquellos casos en los que la distancia entre el
apoyo del arco y su coronación resulta muy pequeña.
2.7.1.1 Arco con tablero superior
Los parámetros desde los que puede controlarse las distintas variantes de esa
tipología.
Material. Acero, hormigón y construcción mixta para el arco, las pilas y el
dintel.
Articulaciones. Arco biempotrado, arco bi-articulado, arco triarticulado.
Sección transversal del arco. Sección cajón, de una o varias celdas. Sección
rectangular maciza, secciones tubulares, celosías, etc.
Sección del tablero. Secciones cajón. Losa maciza o aligerada, vigas “T” o
doble “T”.
Relación arco tablero. Pilares, tímpanos, etc.
Distribución de rigideces entre arco y tablero. Arco rígido – tablero flexible,
arco flexible – tablero rígido.
Directriz en planta del arco. Arco plano y espacial.
2.7.1.2 Puentes de hormigón con tablero superior
a) Articulaciones
Un arco con tablero superior es un puente bi-empotrado, Fig. 15. Las articulaciones
son elementos costosos y plantea dudas de conservación. Deben evitarse siempre que
sea posible. Introducen una gran deformabilidad en el arco y sólo son obligatorias en
el caso de que se esperen grandes giros en la cimentación, situación difícil de encontrar,
dado que el arco debe estar situado en terrenos de buena resistencia. En el puente de
Guaira, Fig. 16, Freyssinet construye un arco biarticulado, tanto por exigencias de la
cimentación de una de las laderas, como por el hecho, más importante, de ser el primer
puente que se construye en avance en voladizo atirantado y se deseaba tener
40
deformabilidad en los arranques durante el proceso de construcción. Esta precaución
no se suele adoptar hoy en día, pues los procesos constructivos en avance en voladizo
pueden controlarse adecuadamente bien en arcos biempotrados.
La biarticulación se ha empleado, también en puentes arco como el puente de
Hokawazu de 170 m de longitud en el Japón (1978) ó en el puente de Linganeau sobre
el Brégenzerach de 210 m de longitud en Austria (1967).
El arco triarticulado, fig. 17, prácticamente no se construye hoy en día por su
gran deformabilidad. Convierte el arco en isostático y por tanto muy apetecible en
circunstancias de posibilidades de cálculo limitadas. Los puentes de Veundre y
Boutiron de Freyssinet están triarticulados y, debieron bloquearse las articulaciones de
clave para reducir su deformabilidad. Una gran parte de los puentes de Maillart son
triarticulados.
Figura 25. Puente de Parramata en Australia
Figura 26. Puente de la Guaira en Venezuela
41
Figura 27. Puente triarticulado
b) Puentes arco clásicos
En Tabla No. 1 se establecen las características más importantes de los que se
pueden llamar, puentes arco clásicos, los mismos que se construyen desde los años
1930 hasta la actualidad.
Tabla 1 - Puentes de Arco
NO. NOMBRE AÑO L f / L
Ec /
L
Ea /
L CARACTERISTICA
1 KRK 1980 390.00 1/6.5 1/60 1/60 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
2 PARRAMATA 1965 304.79 1/7.46 1/71 1/43.5 CERCHAS
3 FOZ IGUAZU 1965 290.00 1/5.47 1/90 1/60 CERCHAS
4 BLOUKRANS 1983 272.00 1/4.4 1/75 1/48 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
5 ARRABIDA 1963 270.00 1/5.19 1/90 1/60 CERCHAS
6 SANDO 1943 264.00 1/6.6 1/91 1/52.8 CERCHAS
7 CHATEAUBRIAND 1991 261.00 1/8.1 1/62 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
8 SHIBENIK 1966 246.10 1/8 1/84 1/66.6 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
9 RKR II 1980 244.00 1/5.14 1/61 1/61 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
10 FIUMARELLA 1961 231.00 1/3.5 1/11.5 1/35 CERCHAS
11 MARTIN GIL 1942 200.00 1/3.35 CERCHAS
12 REGENTA 1996 194.00 1/3.8 1/80 1/46
AVANCE EN VOLADIZO ARCO Y
DINTEL
13 PLOUGASTEL 1930 3x186 1/6.5 1/37.9 CERCHAS
14 TRANEBERG 1934 181.00 1/6.8 1/61 1/36.2 CERCHAS
15 VALLE GROSSE MUHL 1991 170.00 1/3.43 1/68 1/56 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
16 HOKAWAZU * 1974 170.00 1/6.4 1/70 1/56
17 NECKARBURG 154.00 1/3.1 1/51 1/51 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
42
18 PODALSKO 150.80 1/3.5 1/56 1/32
19 PUDDELFORD 150.10 1/6 1/108 1/61
20 LA GUAIRA 1952 150.00 1/4.75 1/50 1/50 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
21 ARGENTOBEL 1987 143.00 1/4.8 1/55 1/34 GIRADO
22 BERNA 150.00 1/46 1/46 1/30
23 VIADUCTO LA PEÑA 1995 148.50 1/3.28 1/70 1/41
AVANCE EN VOLADIZO ARCO Y
DINTEL
24 TENFEKSTAL 1938 138.00 1/5.3 1/106 1/49
25 ECHELSBACK 1930 130.00 1/4.1 1/61 1/40 AUTOCIMBRADO
26 G. WESTINGHAUSE 125.00 1/2.61 1/62 1/41
27 SERRIERES-SUR-AIN 1960 124.20 1/4.17 1/51.7 1/51.7 CERCHAS
28 KRUMMBACH 1979 124.00 1/4 1/82 1/52 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
29
JUAN DE AUSTRIA
(VALLADOLID) *
1986 120.00 1/9.13 1/66 1/100 CERCHAS
30 NIEDENBACH 1973 120.00 1/3.3 1/48 1/48 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
31 REVIN E ORZY * 120.00 1/12 1/56 1/64
32 CONFLANS FIN D'OISE ** 1950 101.00 1/10.6 1/72 1/101 CERCHAS
33 RIO STORM 100.00 1/5 1/83 1/40 GIRADO
34 VALLE DEL CROTTA 1986 90.00 1/4.7 1/69.2 1/62.9 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
35 NUEVA REPUBLICA 90.00 1/11.7 1/90 1/39 CERCHAS
36 KERISPER 86.00 1/6.25 1/77 1/51.8
37 TIEFE-TAL 77.68 1/6.16 1/64
* ARCO BIARTICULADO L = LUZ DEL
ARCO Ec = ESPESOR EN CLAVE
** ARCO TRIARTICULADO f = FLECHA DEL
ARCO Ea = ESPESOR EN ARRANQUES
- Condiciones de borde. Son arcos generalmente biempotrados. Las
configuraciones bi-articuladas no se emplean. Los arcos triarticulados no se
emplean.
- Directriz y flechas del arco. La directriz del arco debe seguir la curva
antifunicular de las cargas permanentes del puente, arco + tablero + pilares, lo
que lleva a curvas próximas a la parábola de 2º grado. La flecha a utilizar
debería ser, en principio, la mayor posible, con el fin de minimizar los esfuerzos
sobre el hormigón y las cargas sobre el cimiento, además de controlar dentro de
43
límites aceptables, los efectos producidos por las deformaciones impuestas y
los asientos de los apoyos. Fig. 18. (Manterola, 2006)
Figura 28. Corrimientos y momentos flectores debidos a desplazamientos horizontales
2.8 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN EL ARCO DEL PUENTE
SOBRE EL RÍO SAN PABLO POR EL MÉTODO DE DESPLAZAMIENTOS
El cálculo general de los efectos que se producen en un arco bi empotrado por
el efecto de la aplicación de las cargas que se hallan sobre él, sean éstas: las cargas
muertas, las cargas permanentes y las cargas móviles se indica a continuación para
cargas permanentes:
DATOS PARA CALCULO DEL ARCO
PUENTE SOBRE RIO SAN PABLO
GEOMETRIA:
Figura 29. Esquema del Puente San Pablo
44
Flecha: 23.44 m Flecha del arco
Radio: 73.01 m
Radio circular del
arco
Longitud: 107.23 m Longitud del arco
SECCION TRANSVERSAL:
Figura 30. Esquema sección
transversal
Área: 7.45 m2
VIGA PRETENSADA
Sección de viga pretensada:
h vp 0.50 m Altura de viga pretensada
b vp: 0.20 m Base de viga pretensada
Area: 0.10 m2 Area de viga pretensada
Long: 10.50 m2 Longitud de viga
Núm. Vigas: 72
ASFALTO:
e = 0.05 m
Espesor de la capa de
asfalto
Área = 0.45 m2 Área de la capa de asfalto
L = 112.55 m Longitud de capa de asfalto
DADOS DE ACERO
Peso = 200 lbs Aparato de sujeción superior de péndola
90.68 kg
0.09 ton
# dados/arco 25
CABLES DE
PENDOLAS
Diámetro: 2.75 pulg
45
0.07 m
Área: 0.0038 m2
# péndolas/arc 25
Long péndola 5.57 m 1
7.07 m 2
8.41 m 3
9.60 m 4
10.67 m 5
11.56 m 6
12.34 m 7
13.00 m 8
13.52 m 9
13.93 m 10
14.22 m 11
14.38 m 12
14.47 m 13
L total cable 283.01 m
Tabla 2- Determinación de carga permanente
Elementos Area
(m2) P.Horm.(ton/m3)
Peso
(ton) # Peso (ton)
Peso
(ton/m)
Vigas y losa 7.45 2.40 1 0.5 8.94 8.94
Asfalto 0.45 2.20 1 0.5 0.50 0.50
Vigas
pretensada 0.10 2.40 10.50 36 90.72 0.85
Péndolas 0.0038 7.85 283.01 1 8.51 0.08
Dados 1 1.00 0.09 25 2.27 0.02
Total: ton/m 10.38
kN/m 103.82
Ec =12000*(f'c)^0.5 Módulo elástico del hormigón
f'c = 240 kg/cm2 Esfuerzo de compresión del hormigón
(f'c)^0.5 = 15.49
Ec = 185,903.20 kg/cm2 Módulo elástico del hormigón
46
Ec = 1,859,032.01 ton/m2 Módulo elástico del hormigón
G =
E/[2(1+v)
v horm = 0.20
G =
E/[2(1+v) 77,459.67 kg/cm2 Módulo al cortante del hormigón
G =
E/[2(1+v) 774,596.67 ton/m2
Tabla 3- Carga muerta del arco
Tramo b h bm hm Area
(m) (m) (m) (m) (m2)
1 1.85 3.00 1.78 2.74 4.85
2 1.70 2.47 1.63 2.20 3.58
3 1.55 1.93 1.48 1.67 2.46
4 1.40 1.40
Tramo Area Peso horm. Peso arco Long. Arco Peso arco
(m2) t/m3 (t/m) (m) (ton)
1 4.85 2.40 11.65 18.95 220.79
2 3.58 2.40 8.58 24.69 211.84
3 2.46 2.40 5.89 17.36 102.32
Σ = 534.95
Tabla 4- Cálculo de deformaciones y esfuerzos de un arco biempotrado
METODO:
DE
DEFORMACIONES
Carga w (ton/m) 10.38
Tramo ton/m
1 22.03
2 18.96
3 16.28
Tramo L arc α α sen α cos α
w
(Q)=w.cos
α
w
(N)=w.sen
α
47
(m) (grados) (rad) (ton/m) (ton/m)
1 18.95 46.251 0.80723 0.72238 0.69150 15.24 15.92
2 24.69 32.602 0.56901 0.53880 0.84243 15.97 10.22
3 17.36 13.466 0.23503 0.23287 0.97251 15.83 3.79
Tabla 5- Reacciones isostáticas Tra
mo
Qi=w.La
rc/2
Qi=w.La
rc/2
Ni=w.La
rc/2
Ni=w.La
rc/2
Hi(Qi)=Qi
.senα
Vi(Qi)=Qi
.cosα
Hi(Ni)=Ni
.senα
Vi(Ni)=Ni
.cosα
(ton) (ton) (ton) (ton) (ton) (ton) (ton) (ton)
1 144.36 144.36 150.80 150.80 104.28 99.82 108.94 104.28
2 197.20 197.20 126.12 126.12 106.25 166.13 67.95 106.25
3 137.39 137.39 32.90 32.90 31.99 133.61 7.66 31.99
∑ 478.94 478.94 309.82 309.82 242.52 399.56 184.55 242.52
H1= 242.52 184.55 427.08
V1= 399.56 242.52 642.08
Tabla 6- Momentos de empotramiento
Tramo Hi Vi x z Hi*zi Vi*xi Mi
(ton) (ton) (m) (m) (ton-m)
1 426.43 408.21 7.13 5.80 -2,474.02 2,910.88 436.87
2 348.41 544.75 11.17 4.92 -1,712.47 6,085.39 4,372.92
3 79.31 331.21 8.51 1.00 -79.62 2,818.07 2,738.46
∑ 854.15 1284.17 -4,266.10 11,814.34
M1 = 7,548.24
Tabla 7- Secciones transversales de los arcos
Tramo b h bm hm Area I
(m) (m) (m) (m) (m2) (m4)
1 1.85 3.00 1.78 2.74 4.85 3.02614
2 1.70 2.47 1.63 2.20 3.58 1.44192
3 1.55 1.93 1.48 1.67 2.46 0.56735
4 1.40 1.40
Tabla 8- Coordenadas de los puntos del arco en análisis
X Z θ (grados) θ (rad) L arc= R.θ x z
14.262 11.603 14.629 0.25532 18.641 14.26 11.603
36.604 21.434 19.136 0.33399 24.384 22.34 9.830
53.621 23.441 13.474 0.23517 17.169 17.02 2.008
R = 73.010 m
48
M1 1/I ds V1 x/I H1 z/I Mi/I
7,548.24 0.330 18.95 642.08 4.71287 427.08 3.83436 144.36
7,548.24 0.694 24.69 642.08 15.49458 427.08 6.81745 3,032.71
7,548.24 1.763 17.36 642.08 29.99331 427.08 3.53889 4,826.72
Términos de la Integral
1 2 3 4
6.26 89.31 72.66 2,735.69
17.12 382.56 168.32 74,877.68
30.60 520.68 61.44 83,791.89
53.98 992.55 302.42 161,405.26
Término Valor
1 407,479.43
2 637,303.38
3 129,155.89
4 161,405.26
Eθ = 1,077,032.18
E.θ = 1,077,032.18
E = 1,859,032.01 ton/m2
θ = 0.57935 rad
θ = 33.19 grados
M1 1/I ds x x/I x/I .ds
7,548.24 0.330 18.95 14.26 4.71287 89.31
7,548.24 0.694 24.69 22.34 15.49458 382.56
7,548.24 1.763 17.36 17.02 29.99331 520.68
Σ = 992.55
49
A -7,492,036.04
V1 x^2/I x^2/I .ds sen^2 a / A (sen^2a/A).ds xcos^2a/A (xcos^2a/A)ds
642.08 67.21 1,273.70 0.10749 2.03695 1.40476 26.62
642.08 346.18 8,547.15 0.08120 2.00494 7.26642 179.41
642.08 510.39 8,860.37 0.02208 0.38332 20.64958 358.48
Σ = 18,681.22 4.42521 564.50
E = 1,859,032.01 ton/m2
G = 774,596.67 ton/m2
E/G = 2.40
1 -18,681.22
2 4.43
3 -1,354.81
Σ = -20,031.61
B -12,861,983.39
H1 x.z/I (x.z/I).ds
sen a.cos
a/A
sen a.cos
a/A.ds
x.sen a.cos
a/A
x.sen a.cos
a/A.ds
427.08 54.68 1,036.28 0.10290 1.94989 1.46749 27.81
427.08 544.10 13,433.80 0.12697 3.13479 2.83666 70.04
427.08 2,215.44 38,459.96 0.09221 1.60084 4.94457 85.84
Σ = 52,930.04 6.68551 183.68
1 52,930.04
2 6.69
3 183.68
E = 1,859,032.01 ton/m2
G = 774,596.67 ton/m2
3 440.84
C 22,796,269.11
Tramo Mi Qi Ni
(ton-m) (ton) (ton)
1 436.87 144.36 150.80
2 4,372.92 197.20 126.12
50
3 2,738.46 137.39 32.90
Tramo Mi.x/I Mi.x/I.(ds) dz dx Ni/A (dz) x.Qi/A.(dx)
1 1,029.44 19,507.96 11.60 14.26 360.44 6,048.28
2 33,878.28 836,454.80 9.83 22.34 346.80 45,109.70
3 41,067.68 712,934.92 2.01 17.02 26.90 51,045.12
Σ = 1,568,897.68 734.14 102,203.10
E/G* 245,287.45
1 -1,568,897.68
2 734.14
3 -245,287.45
D -1,813,450.99
A -7,492,036.04
B -12,861,983.39
C 22,796,269.11
D -1,813,450.99
E.Δ = 628,798.68
E = 1,859,032.01
Δ = 0.34 m
M1 z x ds A sen a cos a I
7,548.24 11.603 14.262 18.95 4.85 0.72238 0.69150 3.02614
7,548.24 9.830 22.342 24.69 3.58 0.53880 0.84243 1.44192
7,548.24 2.008 17.017 17.36 2.46 0.23287 0.97251 0.56735
M1 z/I (ds) x.z/I . ds sen a/A
.ds
x.sen a.cos
a/A .ds z^2 ds/I cos^2a.ds/A x.sen^2a.ds/A
7,548.24 72.66 89.31 2.82 27.81 843.11 1.87 29.05
7,548.24 168.32 382.56 3.72 70.04 1,654.65 4.90 44.79
7,548.24 61.44 520.68 1.65 27.24 123.35 6.69 6.52
51
Σ = 302.42 992.55 8.19 125.09 2,621.11 13.45 80.37
Términos de la Integral
1 2,282,731.91
2 -917.63
2 -589,193.07
3 -2,800.53
3 -1,196,040.55
Mi Mi.z/I. ds Ni Ni/A .dx Qi x.Qi.dz/A
436.87 31,743.08 150.80 443.02 144.36 2,058.79
4,372.92 736,062.55 126.12 788.20 197.20 7,218.15
2,738.46 168,237.36 32.90 227.95 137.39 7,366.86
Σ 936,042.98 1,459.18 16,643.81
Términos de la Integral
4 936,042.98
5 1,459.18
6 39,945.14
E. δ = 1,474,945.59
δ = 0.79 m
RESUMEN:
θ = 33.19 grados
Δ = 0.338 m
δ = 0.793 m
52
CAPITULO 3
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE MÉTODOS
COMPUTACIONALES COMO EL SAP2000
3.1 Introducción
Se ha modelado el puente sobre el río San Pablo como una estructura tridimensional
que va ser sometido a distintos tipos de carga.
Como se puede ver en la figura, se tiene un puente en arco, de 112 m de longitud.
La estructura es principalmente hormigón armado, pero tiene además elementos
pretensados en el tablero. Se utiliza además cables de acero, para transmitir las cargas
del tablero a los arcos. Los cimientos son unas zapatas de hormigón armado que se
apoyan en pilotes.
Figura 31 Planta del modelo estructural
Los cálculos se realizaron utilizando el programa de cálculo estructural SAP2000,
versión 16. En el caso de los modelos realizados en dicho programa de cálculo
estructural, la geometría y la introducción de datos se realizan de forma gráfica. Los
resultados, el programa se presentan en forma gráfica y el proceso de diseño requiere
que el trabajo se realice de manera iterativa e interactiva.
53
3.1.1 Solicitaciones y Combinaciones de carga
Las cargas consideradas en el cálculo de este puente se presentan a continuación.
3.1.1.1 Carga muerta o peso propio (CM)
Esta carga es el peso de toda la estructura, instalaciones y acabados, la misma
que es permanente. El tablero de puente la carga muerta es principalmente el peso de
la losa de hormigón de 22 cm y una carpeta asfáltica de 5cm.
Como la longitud de la estructura que es de 112 m es importante, la carga muerta
es quizá la solicitación más importante de la estructura.
3.1.1.1.1 Sobre carga vehicular e impacto (CV + I)
La sobrecarga vehicular utilizada es la del camión HL-93, que es una
combinación de Camión de diseño y carga de carril de diseño.
3.1.1.3 Sobrecarga vehicular HL-93
La carga HL-93 establece la colocación de una carga de 950 kg/m por carril.
La normativa AASHTO establece un factor de presencia múltiple, para el caso de 2
carriles dicho factor es de 1.0 (AASHTO LRFD, 2012) (3.6.1.1.2).
En el puente sobre el río San Pablo la carga del tablero se determinó sobre la
base de las siguientes consideraciones: el tablero tiene 2 carriles por lo que el diseño
contempla que en cada uno puede existir una carga de 950 kg/m, se consideró además
la carga peatonal de 500 kg/m2 de vereda.
A esta carga se le añadió la del camión de diseño, el cual se encuentra
especificado en la normativa con los siguientes valores: eje delantero 3.500 kg, eje
54
intermedio 14.500 kg y eje trasero 14.500 kg. La separación entre ejes delantero e
intermedio y la separación entre eje intermedio y trasero es de 4.5 m. A esta carga se
le afectó por el factor dinámico que es 33% adicional. A continuación se presenta un
cuadro indicativo de la sobrecarga vehicular HL-93.
HL-93
Carga de
carril 950 kg/m
Número de carriles 2
Carga del camión de diseño
Eje kg Distancia
Eje 1 3.500 0 m (origen)
Eje 2 14.500 4.5 m (desde el origen)
Eje 3 14.500 9.0 m (desde el origen)
Factor de presencia múlt. = 1 (para 2 carriles)
El incremento por carga dinámica de la carga viva es del 33%, dicho incremento
se aplica solo a la carga del camión de diseño, no a la carga del carril.
El factor de presencia múltiple como el del impacto corresponde al diseño
LRFD. El factor de presencia múltiple cargado dos carriles es de 1.00.
3.1.1.4 Fuerza de frenado
La fuerza de frenado de acuerdo a la normativa AASHTO, establece que se deberá
tomar como el mayor valor entre:
Fuerza de frenado 1.- El 25% de los pesos por eje del camión de diseño.
Fuerza de frenado 2.- El 5% del camión de diseño más la carga del carril de
diseño.
En este caso se analizó para el segundo valor (5%), por ser la carga de mayor valor.
55
Aproximadamente 50 kg/m de carril (16 kg/m2) a lo largo de los 112 m de
longitud del puente.
En el modelo se consideró dos cargas, frenado-1 y frenado-2, puesto que existe
dos carriles. Estas cargas son en dirección contraria, por lo que el caso más desfavorable
es cuando actúa una a la vez.
3.1.1.5 Fuerza del viento
La carga del viento se calcula en la estructura y en los vehículos. La norma
menciona que se debe considerar una velocidad básica del viento de 160 km/h. Salvo
que se disponga de otros valores que señalen la velocidad de viento con mayor
precisión.
El cálculo de la carga del viento para el puente San Pablo de acuerdo a las
especificaciones del AASHTO.
3.1.1.6 Presión del viento sobre los vehículos (Viento-1)
La presión del viento sobre los vehículos se representa con 150 kg/m actuando
perpendicularmente a la calzada. Esta carga se basa en considerar una larga fila de
vehículos en secuencia aleatoria, expuesta a la velocidad de viento de diseño de 90
km/h. Esta carga se transmite al tablero a través de los neumáticos de los vehículos.
Fuerza frenado 1
Eje Carga (kg) 25%xCarga
Eje 1 3500 875 kg
Eje 2 14500 3625 kg
Eje 3 14500 3625 kg
Fuerza frenado 2
Eje Carga (kg) 5%xCarga
Eje 1 3500 175 kg
Eje 2 14500 725 kg
Eje 3 14500 725 kg
Carga distribuida = 950 kg/m
Longitud del puente = 112 m
F. de frenado distrib. (5%)= 5320 kg/m
56
3.1.1.7 Presión del viento sobre la estructura (Viento-2)
Para el cálculo de la carga se requiere el alto del puente expuesto donde da el
viento, en este caso corresponde al alto de la viga lateral en el tablero (para el cálculo
se consideró 1.70 m).
Sobre la superestructura:
Velocidad básica de diseño = 160 km/h
Presión del viento en las Vigas
0,0024
MPa (N/mm2) Barlovento
0,0012
MPa (N/mm2) Sotavento
Alto de viento 1,70 m
Barlovento 416,33 kg/m
Sotavento 208,16 kg/m
Pero no menor a:
4,4 N/mm Barlovento 448,98 kg/m
2,2 N/mm Sotavento 224,49 kg/m
Se consideró una carga de viento en los arcos y en el tablero de 450 kg/m para
barlovento y 225 kg/m para sotavento.
3.1.1.8 Carga sísmica (EQ)
Para la carga sísmica se realizará mediante un cálculo dinámico por la
definición del espectro de respuesta, definido por la Norma Ecuatoriana de la
Construcción NEC-11.
57
Figura 32. Espectro de respuesta sísmica para el diseño
Los valores a ser considerados para establecer el espectro de respuesta son los
siguientes.
Babahoyo se encuentra en una zona sísmica cuyo valor de Z es de 0.30 (Comité
Ejecutivo de la Norma Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
Figura 33. Zonificación sísmica NEC 2011
Con respecto al factor de Importancia se consideró como un puente especial por
las dimensiones del puente y porque se espera que en un sismo el puente esté abierto
para vehículos de emergencia. Por lo que se colocó un factor de importancia de 1.5.
58
Con respecto al efecto del tipo de suelo en el sitio de implantación se obtuvo
del estudio geotécnico que el suelo al nivel de la cimentación es de tipo depósitos de
arena, con una potencia de 40 m, luego material consolidados; de aquí que el tipo de
suelo se le consideró en la categoría E, con lo cual se establece los valores de Fa, Fd y
Fs.
Donde, Fa es el factor que amplifica las ordenadas del espectro de respuesta
elástico de aceleraciones para diseño en roca (Comité Ejecutivo de la Norma
Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
Tabla 9- Tipo de suelo y factores de sitio Fa
Tipo de
perfil del
subsuelo
Zona sísmica I II III IV V VI
Valor Z
(aceleración
esperada en
roca, g)
0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 >=0.5
A 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90
B 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
C 1.40 1.30 1.25 1.23 1.20 1.18
D 1.60 1.40 1.30 1.25 1.20 1.15
E 1.80 1.50 1.40 1.28 1.15 1.05
F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota
El factor Fd representa un amplificador de las ordenadas del espectro elástico
de respuesta de desplazamientos para diseño en roca (Comité Ejecutivo de la Norma
Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
59
Tabla 10- Tipo de suelo y Factores Fd
Zona sísmica I II III IV V VI
Valor Z
(aceleración
esperada en
roca, g)
0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 >=0.5
A 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90
B 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
C 1.60 1.50 1.40 1.35 1.30 1.25
D 1.90 1.70 1.60 1.50 1.40 1.30
E 2.10 1.75 1.70 1.65 1.60 1.50
F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota
El factor Fs que considera el comportamiento no lineal de los suelos, la
degradación del período del sitio que depende de la intensidad y contenido de
frecuencias de la excitación sísmica y los desplazamientos relativos del suelo, para los
espectros de aceleración y desplazamientos (Comité Ejecutivo de la Norma
Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
Tabla 11- Tipo de suelo y Factores de sitio Fs
Tipo de
perfil del
subsuelo
Zona sísmica I II III IV V VI
Valor Z
(aceleración
esperada en
roca, g)
0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 >=0.5
A 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75
B 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75
C 1.00 1.10 1.20 1.25 1.30 1.45
D 1.20 1.25 1.30 1.40 1.50 1.65
E 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00
F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota
Nota: Para los suelos tipo F no se proporcionan valores de Fa, Fd, debido a que requieren un estudio
especial, conforme lo estipula la sección 2.5.4.9
.
60
Se utilizó el cálculo dinámico para sismo mediante la introducción de un
espectro de respuesta, definido por la Norma Ecuatoriana de la Construcción;
Z = 0.3 Factor de zona
Fa = 1.4
Fd = 1.7 Fa, Fd, Fs: Coeficientes de amplificación dinámica
Fs = 1.7
ϕp = 1.0 Factor por irregularidad en elevación
ϕe = 0.9 Factor por irregularidad en planta
η = 1.8 Relación de amplificación espectral (S a/Z)
r = 1.5 Depende del tipo de suelo (A, B y C =1; D y E =1.5)
R = 3.0 Coeficiente de reducción de respuesta estructural
I = 1.5 Factor de importancia
Se consideró que el puente no tiene irregularidad en planta; si en elevación. Para
la relación ŋ el NEC-11 indica para las provincias de la costa 1.8. Se consideró un factor
de respuesta sísmica de 3, puesto que se dota a los elementos estructurales cierta
ductilidad en las conexiones.
A continuación se presenta los valores del espectro obtenido:
Tabla 12- Acelerograma
# T (seg) Sa (g) # T (seg) Sa (g)
1 0.206429 0.420000 36 1.956429 0.185674
2 0.256429 0.420000 37 2.006429 0.178777
3 0.306429 0.420000 38 2.056429 0.172297
4 0.356429 0.420000 39 2.106429 0.166199
5 0.406429 0.420000 40 2.156429 0.160452
6 0.456429 0.420000 41 2.206429 0.155029
7 0.506429 0.420000 42 2.256429 0.149905
8 0.556429 0.420000 43 2.306429 0.145057
9 0.606429 0.420000 44 2.356429 0.140465
10 0.656429 0.420000 45 2.406429 0.13611
11 0.706429 0.420000 46 2.456429 0.131975
12 0.756429 0.420000 47 2.506429 0.128046
13 0.806429 0.420000 48 2.556429 0.124308
61
14 0.856429 0.420000 49 2.606429 0.120748
15 0.906429 0.420000 50 2.656429 0.117355
16 0.956429 0.420000 51 2.706429 0.114118
17 1.006429 0.420000 52 2.756429 0.111027
18 1.056429 0.420000 53 2.806429 0.108073
19 1.106429 0.420000 54 2.856429 0.105248
20 1.156429 0.408573 55 2.906429 0.102544
21 1.206429 0.383438 56 2.956429 0.099953
22 1.256429 0.360779 57 3.006429 0.09747
23 1.306429 0.340267 58 3.056429 0.095088
24 1.356429 0.321627 59 3.106429 0.092802
25 1.406429 0.304269 60 3.156429 0.090605
26 1.456429 0.289077 61 3.206429 0.088494
27 1.506429 0.274805 62 3.256429 0.086464
28 1.556429 0.261670 63 3.306429 0.08451
29 1.606429 0.249549 64 3.356429 0.082629
30 1.656429 0.238336 65 3.406429 0.080816
31 1.706429 0.227938 66 3.456429 0.079069
32 1.756429 0.218274 67 3.506429 0.077384
33 1.806429 0.209275 68 3.556429 0.075758
34 1.856429 0.200877 69 3.606429 0.074188
35 1.906429 0.193027 70 3.656429 0.072671
Figura 34. Espectro de diseño de Babahoyo
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
SA(G
)
T (SEG)
ESPECTRO DE DISEÑO
62
Los períodos de vibración de la estructura, con el modelo de cálculo
tridimensional se determinan directamente. De acuerdo a la normativa es suficiente
utilizar los 25 primeros modos de vibración de la estructura.
3.1.1.9 Combinaciones de carga y factores de mayoración
La normativa AASHTO establece las combinaciones de resistencia y servicio
que se debe analizar, así como los factores de mayoración que se considera para cada
una de dichas cargas. Se describen cada una de las combinaciones utilizadas, las cuales
corresponde a diseño a última resistencia (LRFD).
RESISTENCIA I: Combinación de carga básica que se relaciona con el uso del puente
por parte de vehículos normales.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.75 (CV+I) + 1.75 F frend
RESISTENCIA II: Combinación de cargas que se relaciona con el uso del puente por
parte de vehículos de diseño especiales especificados por el propietario, sin viento.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.35 (CV+I) + 1.35 F frend
RESISTENCIA III: Combinación de cargas para el puente expuesto a vientos de
velocidades superiores a 90 km/h.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.40 West.
RESISTENCIA IV: Combinación de cargas para relaciones elevadas entre las
solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas por las
sobrecargas.
Estado límite => Carga = 1.50 CM.
RESISTENCIA V: Combinación de cargas que se relaciona con el uso del puente por
parte de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.35 (CV+I) + 1.35 Ffrend + 0.4 West + W veh
EVENTO EXTREMO I: Combinación de cargas que incluye sismos.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 0.50 CV + EQ
63
SERVICIO I: Combinación de carga que se relaciona con la operación normal del
puente con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores nominales.
Diseño a última resistencia
Estado límite => Carga = CM + (CV+I) + F frend + 0.3 West+ W veh.
SERVICIO II: Combinación de carga cuyo objetivo es controlar la fluencia de las
estructuras de acero y el resbalamiento provocado por la sobrecarga vehicular en las
conexiones de resbalamiento crítico.
Estado límite-> Carga = CM + 1.30 (CV+I) +1.30 F frand.
FATIGA: Combinación de cargas de fatiga y fractura relacionada con la sobrecarga
gravitatoria vehicular y repetitiva y las respuestas dinámicas bajo un único camión de
diseño.
Estado límite-> Carga = 0.75 (CV+I)
3.1.1.10 Diseño geométrico
El cálculo estructural del puente se realizó un modelo tridimensional, con el
software de SAP2000 V16.
Se ha propuesto un puente en arco de hormigón, con péndolas de acero para
apoyar el tablero. En este caso el puente diseñado es de aproximadamente de 112 m.
La cimentación es una cimentación profunda hasta un estrato más resistente y se han
utilizado pilotes presforzados de 0.60 x 0.60 m.
64
Figura 35. Idealización de Puente San Pablo
Figura 36. Esquema en elevación de puente San Pablo
El tablero del puente es de 2 carriles vehiculares, carril para bicicletas y
circulación peatonal a cada lado del puente.
65
Figura 37. Sección transversal de puente San Pablo
3.1.1.11 Idealización estructural
El puente se apoya en estribos a cada lado y éstos a su vez en pilotes
presforzados. De los estribos surgen dos arcos que sostienen al tablero a través de
cables de acero que constituyen las péndolas.
Figura 38. Idealización estructural Puente San Pablo
66
Los arcos, columnas, vigas y losa son de hormigón armado; las péndolas son
cables de acero. En el modelo se los caracteriza los arcos columnas y vigas con
elementos tipo “frame”, mientras que la losa del tablero se caracteriza con elementos
tipo “shell”.
El tablero está formado por una losa de calzada soportada por vigas perpendiculares
al tráfico cada 1.50 m. A estas vigas que son secundarias están unidas en su parte central
por una viga diafragma. Las vigas secundarias se apoyan en dos vigas principales, las
que se localizan a cada lado del tablero en la intersección con el plano del arco. Estas
vigas forman una barrera que impide que los vehículos puedan caer al río. Los arcos y
péndolas sujetan dichas vigas principales.
3.1.1.11.1 Condiciones de apoyo
La estructura que soporta el puente son los arcos que se encuentran a cada lado
del tablero. Estos arcos se empotran en los cimientos y los cimientos a su vez se apoyan
en el suelo a través de pilotes presforzados.
3.1.1.11.2 Cargas y combinaciones de cargas del modelo
Las cargas introducidas en el modelo son:
3.1.1.11.2.1 Cargas introducidas:
Dead: Carga muerta de la estructura.
Distribuida-1, Distribuida-2: Carga distribuida del carril en los diferentes partes
del tablero. Para considerar el caso más desfavorable se consideró la posibilidad
de cargar totalmente o cargar parcialmente el tablero, esto es la mitad izquierda
o la mitad derecha.
Vehiculo-1, Vehiculo-2: Carga correspondiente a las cargas puntuales de un
tren de cargas del vehículo de diseño. Se cargan los 2 carriles.
Veredas: Carga de peatones en las aceras del puente.
Frenado-1, Frenado-2: Carga de frenado, en dirección longitudinal al puente y
depende del carril.
Vien-Est: Carga de viento sobre la estructura.
67
Vien-Veh: Carga de viento sobre vehículos. Se considera como una carga
horizontal transversal al tablero.
Sismo-X: Carga sísmica en dirección longitudinal.
Sismo-Y: Carga sísmica en dirección transversal.
Sismo-Z: Carga sísmica en dirección vertical.
3.1.1.11.2.2 Combinaciones de carga:
REST-I: 1.25 x CM + 1.75 x (CV + I) + 1.75 x Ff rend
REST-I-Tren: Carga muerta, carga de vehículos en todo el puente, carga
peatonal en las aceras.
Carga Factor de mayoración
Dead: 1.25
Vehículo-Izq: 2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Vehículo-Der: 2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Peatonal: 1.75
REST-I-Tren-Izq: Carga muerta, carga de vehículos en el lado izquierdo, carga
peatonal en las aceras.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.25
Vehiculo-Izq; 2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Peatonal; 1.75
REST-I-Tren-Der: Carga muerta, carga de vehículos en el lado derecho, carga
peatonal en las aceras.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.25
Vehículo-Izq; 2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Peatonal; 1.75
68
REST-I-HL93: Carga muerta, Carga viva distribuida en todo el puente, carga
del vehículo de diseño en el centro, carga peatonal en las aceras, carga de
frenado en uno de los carriles.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.25
Distribuida-1; 1.75
Distribuida-2; 1.75
Vehículo Diseño; 2.33
Peatonal; 1.75
Frenado-1; 1.75
REST-III: 1.25CM+1.40West.
REST-III-1: Carga muerta, Carga viento en los vehículos.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.25
Viento-1; 1.40
REST-III-2: Carga muerta, Carga viento en la estructura.
Carga; Factor de mayoración)
Dead; 1.25
Viento-2; 1.40
REST-IV: 1.50 CM
REST-IV: Carga muerta.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.50
RES-V: 1.25CM+1.35(CV+I)+1.35Ffrend+0.4West+Wveh.
REST-V-1: Carga muerta, Carga viva distribuida en todo el puente, carga de
vehículos en diferentes lugares del puente, carga peatonal, carga de frenado en
uno de los carriles, carga de viento en la estructura y los vehículos.
Carga Factor de mayoración
69
Dead; 1.25
Distribuida-1; 1.35
Distribuida-2; 1.35
Vehiculo-1; 1.80
Vehiculo-2; 1.80
Peatonal; 1.35
Frenado-2; 1.35
Viento-2; 0.40
Viento-1; 1.00
EV-EXT-X: 1.25CM + 0.50 (CV) + EQX
Para las combinaciones de carga sísmica, se considera que la carga actúa el 100%
del sismo en una sola dirección y un 20% en las otras direcciones ortogonales. Es decir,
una combinación de carga tiene 100% con carga sísmica en X, y 20% con carga sísmica
en Y y en Z. Otra 100% con la carga sísmica en Y y 20% con carga sísmica en X y Z.
La normativa solo considera carga sísmica en X o en Y, este caso se consideró
importante agregar un 20% de carga sísmica en Z por la amplitud de los vanos. También
se consideró una combinación donde la carga principal es en Z, pero en este caso se
limitó al 75% de dicha carga.
EV-EXT-X: Carga muerta, Carga viva parcial distribuida en todo el puente,
carga sísmica en dirección longitudinal al puente y carga parcial sísmica en las
otras dos direcciones perpendiculares.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.25
Distribuida-1; 0.50
Distribuida-2; 0.50
Sismo-X; 1.00
Sismo-Y; 0.20
Sismo-Z; 0.20
70
EV-EXT-Y: 1.25CM + 0.50 (CV) + 0.30EQX + 1.0EQY
EV-EXT-Y: Carga muerta, Carga viva parcial distribuida en todo el puente,
carga sísmica en dirección transversal al puente y carga parcial sísmica en las
otras dos direcciones perpendiculares.
Carga Factor de mayoración
Dead; 1.25
Distribuida-1; 0.50
Distribuida-2; 0.50
Sismo-Y; 1.00
Sismo-X; 0.20
Sismo-Z; 0.20
3.1.1.12 Resultados del Modelo SAP2000
3.1.1.121 Deflexiones en el puente
Las deflexiones que se generan en el puente se han determinado y los valores
máximos de flecha generados por carga la carga muerta o permanente es
aproximadamente en las vigas longitudinales de 50.7 mm. Esta flecha se genera en la
zona central de las vigas principales y de 44.6 mm que corresponde a las partes
centrales de los arcos. En la siguiente figura, se presenta el gráfico de deflexiones.
Figura 39. Deflexiones de Puente San Pablo
71
La deflexión por carga muerta debe ser contrarrestada mediante la contra flecha
calculada como el producto entre la deflexión de carga muerta por un factor que puede
ser 1.5 a 2.
La deflexiones en la combinación de la carga REST-I-HL93, en donde se halla
toda la estructura cargada con la carga permanente y la carga de uso afectados por los
coeficientes de mayoración, se presenta en la siguiente figura. La deformación máxima
en el arco es de 86.5 mm y en la zona central de las vigas principales es de 99.1 mm.
Figura 40. Deformada del puente San Pablo
Las deflexiones con la envolvente se presentan en la siguiente figura. La
deformación máxima en el arco es de 50.5 mm y en la zona central de las vigas
principales es de 99.1 mm.
72
Figura 41. Deflexiones de la envolvente Puente San Pablo
Para que las vibraciones de un puente no representen un problema, la normativa
limita la deflexión a L/800 = 140 mm, considerando únicamente la carga viva más la
carga dinámica. En este caso, si se considera el tramo del tablero entre los apoyos de
los arcos tenemos L=96,00m, en consecuencia la deflexión está limitada a 120 mm.
La establecida por el modelo es menor a la combinación de carga de resistencia
que considera la carga muerta y los factores de mayoración, por lo que no se tendría
problemas de vibraciones.
73
CAPITULO 4
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE UN MODELO DE
ANÁLISIS DINÁMICO PARA CARGA MOVIL EN LOS ARCOS DE
HORMIGÓN PARA EL PUENTE EN ARCO SOBRE EL RÍO SAN PABLO
4.1 Análisis dinámico
4.1.1 Requisitos básicos de la dinámica estructural
4.1.2 Requisitos Generales
Para analizar el comportamiento dinámico de un puente se deberán modelar las
características de rigidez, masa y amortiguamiento de los componentes estructurales.
El número mínimo de grados de libertad incluido en el análisis se deberá basar
en el número de frecuencias naturales a obtener y en la confiabilidad de las formas
modales supuestas. El modelo deberá ser compatible con la precisión del método
utilizado para resolverlo. Los modelos dinámicos deberán incluir los aspectos
relevantes de la estructura y la excitación.
Los aspectos importantes de la estructura pueden incluir:
La distribución de la masa,
La distribución de la rigidez, y
Las características de amortiguamiento.
Los aspectos importantes de la excitación pueden incluir:
La frecuencia de la función excitatriz,
La duración de la aplicación, y
La dirección de aplicación.
En el diseño de un puente no es necesario considerar un análisis de las vibraciones
inducidas por los vehículos ni por el viento. Aunque un vehículo cruzando sobre el
puente no constituye una situación estática, el puente se analiza colocando el vehículo
de forma estática en diferentes ubicaciones a lo largo del puente y aplicando un
incremento por carga dinámica, como se especifica en el Artículo 3.6.2, para considerar
las respuestas dinámicas provocadas por el vehículo en movimiento. Sin embargo, en
74
los puentes flexibles y en los componentes largos y esbeltos de puentes que pueden ser
excitados por el movimiento del puente, las solicitaciones dinámicas pueden ser
mayores que el incremento por carga dinámica especificado en el Artículo 3.6.2. En la
mayoría de los puentes en los cuales se han observado problemas de vibración el
amortiguamiento natural de la estructura era muy bajo. Los puentes continuos flexibles
pueden ser particularmente susceptibles a las vibraciones. Estos casos pueden requerir
un análisis para sobrecarga móvil.
Si el número de grados de libertad del modelo es mayor que el número de grados
de libertad dinámicos utilizado, se puede emplear un procedimiento de condensación
estándar.
Se pueden utilizar procedimientos de condensación para reducir el número de
grados de libertad antes de efectuar el análisis dinámico. Sin embargo, la condensación
puede comprometer la precisión de los modos más elevados. Si se requieren modos
más elevados, tales procedimientos se deberían aplicar con precaución.
El número de frecuencias y formas modales necesarias para completar el
análisis dinámico se deberían estimar de antemano, o se deberían determinar como una
aproximación de múltiples pasos. Habiendo determinado este número, el modelo se
debería desarrollar de manera que posea un mayor número de grados de libertad
aplicables.
Se deberían incluir suficientes grados de libertad para representar las formas
modales relevantes para la respuesta que se desea obtener. Una regla práctica es que el
número de grados de libertad debería ser igual al doble del número de frecuencias
requeridas.
El número de grados de libertad y las masas asociadas se deberían seleccionar
de manera de aproximar la verdadera naturaleza distributiva de la masa. El número de
75
frecuencias requeridas también depende del contenido de frecuencias de la función
excitatriz.
4.1.3 Distribución de Masas
La masa se deberá modelar considerando el grado de discretización en el
modelo y los movimientos anticipados.
La distribución de la rigidez y la masa se debería modelar en un análisis
dinámico. La discretización del modelo debería tomar en cuenta las variaciones
geométricas y las variaciones de la rigidez y masa de los materiales.
Elegir entre un modelo de masa continua y un modelo de masa discontinuo
depende del sistema y de la respuesta investigada y resulta difícil de generalizar. Para
los sistemas de masa distributiva modelados con funciones de formas polinómicas en
las cuales la masa está asociada con la rigidez distributiva, como por ejemplo una viga,
se recomienda utilizar un modelo de masa continua. En lugar de una formulación
continua, se puede utilizar un modelo discretizado en los grados de libertad
traslacionales, de manera de aproximar la naturaleza distributiva de la masa.
Para sistemas con masa distributiva asociada con mayor rigidez, como por
ejemplo la rigidez en el plano del tablero de un puente, la masa se puede modelar
adecuadamente mediante un modelo distributivo. Si fueran significativos, se deberán
incluir los efectos de la inercia rotacional.
En el análisis sísmico se deberían considerar los efectos no lineales, tales como
la deformación inelástica y la fisuración, ya que estos efectos disminuyen la rigidez.
4.1.4 Rigidez
El puente se deberá modelar de manera consistente con los grados de libertad
seleccionados para representar los modos y frecuencias de vibración naturales. La
76
rigidez de los elementos del modelo se deberá definir de manera que sea consistente
con el puente modelado.
4.1.5 Amortiguamiento
Se puede utilizar amortiguamiento viscoso equivalente para representar la
disipación de energía.
El amortiguamiento se puede despreciar en el cálculo de las frecuencias
naturales y desplazamientos nodales asociados. Los efectos del amortiguamiento se
deberían considerar si se busca una respuesta transitoria.
Se pueden obtener valores de amortiguamiento adecuados midiendo
vibraciones libres inducidas in situ o bien realizando ensayos de vibración forzada. En
lugar de realizar mediciones, para el coeficiente de amortiguamiento viscoso
equivalente se pueden utilizar los siguientes valores:
Construcciones de hormigón: ............................................................ 2%
Construcciones de acero soldadas y abulonadas: .............................. 1%
Madera: ............................................................................................. 5%
4.1.6 Frecuencias Naturales
Para los propósitos del Artículo 4.7.2, [“Respuestas Dinámicas Elásticas.
4.7.2.1 Vibración inducida por los vehículos. Si se requiere un análisis de la interacción
dinámica entre un puente y la sobrecarga, el Propietario deberá especificar y/o aprobar
la rugosidad superficial, velocidad y características dinámicas de los vehículos a
emplear en el análisis. El impacto se deberá determinar como una relación entre la
solicitación dinámica extrema y la solicitación estática equivalente. En ningún caso el
incremento por carga dinámica utilizado en el diseño deberá ser menor que 50% del
incremento por carga dinámica especificado en la Tabla 3.6.2-1, excepto que no se
permitirá ninguna reducción para las juntas del tablero”] y a menos que el Propietario
especifique lo contrario, se deberán utilizar modos y frecuencias de vibración naturales
elásticos no amortiguados. Para los propósitos de los Artículos 4.7.4 y 4.7.5 se deberán
77
considerar todos los modos y frecuencias amortiguados relevantes. [Art. 4.7.4 Análisis
para Cargas Sísmicas. 4.7.4.1 Requisitos Generales. Los requisitos mínimos de análisis
para los efectos sísmicos serán como se especifica en la Tabla 4.7.4.3.1-1.
Tabla 13- Requisitos de análisis mínimos para efectos sísmicos
(Tabla 4.7.4.3.1-1 AASHTO)
Zona sísmica Puentes de un
solo tramo
Puentes de múltiples tramos
Otros Puentes Puentes esenciales
Puentes
críticos
Regular Irregular Regular Irregular Regular Irregular
1
No se requiere
análisis
sísmico
* * * * * *
2 SM/UL SM SM/UL MM MM MM
3 SM/UL MM MM MM MM TH
4 SM/UL MM MM MM TH TH
* = no se requiere análisis sísmico
UL = método elástico de carga uniforme
SM = método elástico unimodal
MM = método elástico multimodal
TH = método de historia de tiempo
Tabla 14- Requisitos para que un puente sea considerado regular
(Tabla (4.7.4.3.1-2 AASHTO)
Parámetro Valor
Número de tramos 2 3 4 5 6
Máximo ángulo subtendido para un puente curvo 90 90 90 90 90
Máxima relación de longitudes entre tramo y tramo 3 2 2 1.5 1.5
Máxima relación de rigidez caballete/pila entre tramo y tramo,
excluyendo estribos - 4 4 3 2
Los puentes curvos compuestos por múltiples tramos simples se deberán
considerar “irregulares” el ángulo subtendido en planta es mayor que 20o. Estos puentes
78
se deberán analizar ya sea mediante el método elástico multimodal o bien mediante el
método de historia de tiempo.
Un puente curvo de vigas continuas se puede analizar como si fuera recto,
siempre y cuando se satisfagan todos los requisitos siguientes:
El puente es regular de acuerdo con definido en la Tabla 2, excepto que para un
puente de dos tramos la máxima relación de longitudes entre tramo y tramo no
debe ser mayor que 2.
Las longitudes de tramo del puente recto equivalente son iguales a las
longitudes de arco del puente curvo.
Si estos requisitos no se satisfacen el puente curvo de vigas continuas se deberá analizar
utilizando su geometría curva real.]
4.1.7 Respuestas Dinámicas Elásticas
4.1.7.1 Vibración Inducida por los Vehículos
Si se requiere un análisis de la interacción dinámica entre un puente y la
sobrecarga, el propietario deberá especificar y/o aprobar la rugosidad superficial,
velocidad y características dinámicas de los vehículos a emplear en el análisis. El
impacto se deberá determinar como una relación entre la solicitación dinámica extrema
y la solicitación estática equivalente.
En ningún caso el incremento por carga dinámica utilizado en el diseño deberá
ser menor que 50% del incremento por carga dinámica especificado en la Tabla 3.6.2.1-
1, excepto que no se permitirá ninguna reducción para las juntas del tablero.
(Tabla AASHTO 3.6.2.1-1)
Tabla 15- Incremento por Carga Dinámica, IM
Componente IM
Juntas del tablero – Todos los Estados Límites 75%
Todos los demás componentes
Estado Límite de fatiga y fractura
Todos los demás Estados Límites
15%
33%
79
La limitación impuesta al incremento por carga dinámica refleja el hecho de
que la rugosidad superficial es un factor que afecta fuertemente la interacción vehículo/
puente, y que durante la etapa de diseño resulta difícil estimar cómo el deterioro del
tablero a largo plazo afectará dicha rugosidad.
La correcta aplicación del requisito sobre reducción del incremento por carga
dinámica es la siguiente:
IMCALC ≥ 0,5 IMTabla 3.6
y no:
(1 +𝐼𝑀
100)𝐶𝐴𝐿𝐶
≥ 0.5 (1 +𝐼𝑀
100)
4.1.8 Vibración Inducida por el Viento
4.1.8.1 Velocidades del Viento
Para estructuras importantes, las cuales se puede anticipar serán sensibles a los
efectos del viento, la ubicación y magnitud de los valores extremos de presión y succión
se deberán establecer mediante ensayos de simulación en túnel de viento.
4.1.9 Efectos Dinámicos
En las estructuras sensibles al viento se deberán analizar los efectos dinámicos,
tales como los provocados por vientos turbulentos o ráfagas, además de las
interacciones viento-estructura inestables, tales como los fenómenos de “galloping” y
“flutter.” En las estructuras esbeltas o torsionalmente flexibles se deberá analizar el
pandeo lateral, empuje excesivo y divergencia.
80
4.1.10 Consideraciones de Diseño
Se deberán evitar deformaciones oscilatorias bajo carga de viento que pudieran
provocar niveles de tensión excesivos, fatiga estructural e inconvenientes o
incomodidad para los usuarios. Los tableros de puentes, tirantes y suspensores deberán
estar protegidos contra oscilaciones excesivas provocadas por vórtices, lluvia o viento.
Siempre que resulte factible, se deberá considerar el uso de amortiguadores para
controlar las respuestas dinámicas excesivas. Si no resulta posible disponer
amortiguadores ni modificar la geometría, se deberá modificar el sistema estructural
para lograr este control.
4.1.11 Respuestas Dinámicas Inelásticas
4.1.11.1 Requisitos Generales
Durante un sismo mayor o colisión de una embarcación se puede disipar energía
mediante uno o más de los siguientes mecanismos:
Deformación elástica e inelástica del objeto que impacta contra la estructura,
Deformación inelástica de la estructura y sus accesorios,
Desplazamiento permanente de las masas de la estructura y sus accesorios, y
Deformación inelástica de disipadores mecánicos de energía especialmente
dispuestos para tal fin. (AASHTO LRFD, 2012)
4.2 Cálculo dinámico en puentes
El cálculo dinámico de los puentes proporciona la respuesta de la estructura
frente a las acciones variables en el tiempo, sean cargas o aceleraciones.
El puente se pone en movimiento y se generan fuerzas de inercia, producto de
la masa por la aceleración que intervienen junto a las fuerzas de amortiguamiento, en
la ecuación:
81
𝑚𝑑2𝑢
𝑑𝑡2+ 𝑐
𝑑𝑢
𝑑𝑡+ 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡)
Donde m es la matriz de masas, c es la matriz de amortiguamiento y k es la
matriz de rigidez del puente. Las cargas variables en el tiempo es el vector p(t). Estos
son los datos del problema, las incógnitas son los desplazamientos, u, las velocidades
du/dt y las aceleraciones d2u/dt2 del puente.
La naturaleza de las acciones manifiesta la diversidad de las escalas temporales
involucradas (segundos, horas, días o años) que se hallan relacionadas con la
importancia de la respuesta dinámica de la estructura. Se puede decir, en primera
instancia, que la importancia de la respuesta dinámica de una estructura depende de la
comparación entre el tiempo característico de la acción y el tiempo característico de
la estructura. El tiempo característico de la acción está relacionado con la duración de
la misma, bien en el proceso de puesta en carga o bien la duración de la carga impulsiva
o también el período para situaciones de carga cíclicas o asimilables a ellas. El tiempo
característico de la estructura, es un tiempo que se puede identificar con el período
propio de la estructura. (Manterola, 2006).
4.3 Modos de vibración. El tiempo característico de las estructura.
El cálculo dinámico de un puente se inicia por la determinación de los modos
de vibración del puente. Se parte del modelo de cálculo de barras que se utiliza para
obtener la respuesta estática de la estructura. En este modelo hay que proporcionar en
cada barra las áreas e inercias reales de la parte de puente que se discretiza ya que sirven
para definir la matriz de masas. Además hay que proporcionar las masas inertes de la
carga muerta del puente ya que intervienen en la matriz de masas, una forma normal
de dar dicha información es concentrar la masa de la carga muerta en los nudos del
modelo.
El cálculo de los modos de vibración se hace sin amortiguamiento y para
vibraciones libres, es decir se trata de calcular la siguiente ecuación:
82
𝑚𝑑2𝑢
𝑑𝑡2+ 𝑘𝑢 = 0
Como el movimiento libre es simplemente armónico se puede suponer que 𝑑𝑢
𝑑𝑡=
𝑑𝑢
𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)
La ecuación anterior se reduce a:
(𝒌 − 𝜔2𝒎)�̂� = 0
Donde ω son los autovalores y �̂� los autovectores que definen la forma en la que el
puente va a vibrar. Los autovalores son las frecuencias propias de vibración del puente,
la más pequeña en cada dirección se denomina la frecuencia propia principal de
vibración del puente en dirección transversal, longitudinal o vertical. Por eso conviene
tratar con modelos tridimensionales que incluyan tanto el tablero como las pilas.
Para obtener buenos resultados en los análisis posteriores es conveniente
obtener un buen número de autovalores, del orden de 8 por vano. Es decir en un puente
recto de 3 vanos es conveniente buscar los 25 autovalores más pequeños. Hay que
tomar en cuenta que los últimos modos de vibración que se obtengan muevan más del
80% de la masa total del puente en cada dirección.
La determinación de cada modo principal de vibración se realiza observando la
forma de los autovectores que realmente es una representación de la deformada de la
estructura completa para cada frecuencia. El primer modo es el que produce un
desplazamiento en un solo sentido, con un seno por vano en el caso de vibración
vertical, y un solo seno en sentido transversal del tablero. Si el puente tiene pilas altas
los primeros modos pueden ser los de vibración de las pilas, sin apenas efecto en el
dintel, esto se aprecia además porque la masa movilizada es pequeña, la
correspondiente a las pilas.
4.4 Vibraciones forzadas
El análisis del comportamiento dinámico de un puente con el paso de una carga
móvil se puede realizar de dos maneras. La primera es utilizando la integral de Duhamel
83
que consiste en hacer una integración numérica en el tiempo, desarrollando en serie de
Fourier las cargas aplicadas, es el denominado análisis en el dominio del tiempo. La
segunda, y más utilizada, es el análisis en el domino de la frecuencia que aprovecha el
trabajo realizado en la determinación de los principales modos de vibración del puente
y se conoce como método de superposición de modos.
Consiste fundamentalmente en utilizar los autovectores como coordenadas
generalizadas de tal forma que transformando la matriz de masas y el vector de cargas
en las componentes de los autovectores se obtienen ecuaciones independientes para
cada modo de vibración tanto en vibraciones libres como forzadas. De esta forma se
obtienen los desplazamientos generalizados que hay que transformar de nuevo para dar
la solución de coordenadas geométricas.
Para realizar el cálculo dinámico se debe discretizar la carga móvil a lo largo
del tiempo. Normalmente se divide el paso del convoy en milisegundos, de cinco a
diez, y en cada intervalo de tiempo se da la carga aplicada y la posición de la misma.
La carga puede ser fija en el tiempo si no se considera amortiguamiento propio del
vehículo, en otro caso se trata de una carga pulsante con el período de la suspensión.
El siguiente parámetro a considerar es amortiguamiento propio del puente ya
que interviene en la ecuación general del movimiento. Este valor se conoce
empíricamente, es decir ensayando una estructura real con cargas calibradas y
obteniendo su respuesta. Por tanto para el cálculo de un modelo es necesario utilizar
valores medios. En general para puentes metálicos es del 1%, para los mixtos es del
3% y para los de hormigón 5% del amortiguamiento crítico para los modos principales
de vibración. (Manterola, 2006).
En el análisis dinámico de un puente por el paso de una carga se obtiene gran
cantidad de resultados, los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de todos los
nudos del modelo en las tres direcciones del espacio si el modelo es tridimensional. Por
eso la interpretación de resultados se hace más visible mediante gráficos que
representan la variación de una determinada magnitud en un nudo concreto del modelo
y en una dirección con el paso del convoy.
84
Normalmente se analizan las aceleraciones en los centros de los vanos
producidas por el paso de un determinado convoy de carga. Se puede analizar si dichas
aceleraciones son superiores a un umbral que provoca malestar a los usuarios del
puente, peatones u otros.
En el cálculo dinámico de un puente los movimientos que se obtienen son
relativos a los desplazamientos estáticos, es decir para conocer el valor absoluto del
movimiento de un punto hay que sumar la respuesta estática de la carga aplicada con
la respuesta dinámica a lo largo del tiempo. (Manterola, 2006).
4.5 Descripción estructural del puente sobre el río San Pablo
El puente sobre el río San Pablo es un puente de 2 arcos de hormigón armado,
cuya longitud es de 112 m y 18.20 m de ancho de tablero intermedio. Con 25 péndolas
por arco de 1 ¾” de diámetro colocadas cada 3 metros que sustentan 2 vigas
longitudinales de hormigón armado. A su vez las péndolas cuelgan del arco de
hormigón armado. El arco de hormigón armado tiene embedido un núcleo de acero
interiormente y se apoya sobre dos estribos cuya cimentación es profunda por los
pilotes que tiene, como se esquematiza en los gráficos siguientes:
Figura 42. Elevación Puente San Pablo
85
Figura 43. Sección transversal Puente San Pablo
El arco de hormigón se ha subdivido en 30 elementos donde se conforman los 31 nudos
desde donde cuelgan las 25 péndolas en los 25 nudos centrales del arco.
4.6 Determinación del modelo matemático de deformaciones por análisis
dinámico vehicular del puente sobre el río San Pablo
A fin de definir el modelo matemático que nos permitirá realizar el cálculo de
deformaciones por medio de un análisis dinámico debido al paso de la carga móvil
sobre el puente sobre el río San Pablo, se toma la estructura discretizada de tal manera
que se suponen concentradas las masas y rigideces en los nodos donde se hallan las
péndolas a través de las cuales se transmitirán las fuerzas de excitación vertical de la
carga móvil que atraviesa a lo largo de la estructura como se indica en la siguiente
figura:
86
Figura 44. Modelo Geométrico de oscilaciones
87
Tenemos por tanto un sistema de múltiples grados de libertad, en este caso de
87 grados de libertad ya que se tienen 3 grados de libertad por nudo pero los nudos de
apoyo se consideran empotrados existiendo restricciones por lo que no existen grados
de libertad en los apoyos.
4.7 Ecuación del movimiento
La ecuación diferencial del movimiento ante las acciones producidas por la
carga móvil a lo largo del puente sobre el río San Pablo es:
𝑚𝑑2𝑢
𝑑𝑡2+ 𝑐
𝑑𝑢
𝑑𝑡+ 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡) = −𝑚 𝑎(𝑡)
Si cambiamos de nomenclatura
𝑚𝑑2𝑢
𝑑𝑡2= 𝑚�̈�; 𝑐
𝑑𝑢
𝑑𝑡= 𝑐 �̇�; 𝑘𝑢 = 𝑘𝑞; 𝑝(𝑡) = 𝑓(𝑡)
Luego:
𝑚�̈� + 𝑐�̇� + 𝑘𝑞 = 𝑓(𝑡) = −𝑚 𝑎(𝑡)
4.8 Aplicación del Método de Newmark
Podríamos expresar el sistema de ecuaciones diferenciales matricialmente con
la definición de la ecuación:
𝑀�̈� + 𝐶�̇� + 𝐾𝑞 = −𝑀. 𝐽. 𝑎(𝑡) 𝐸𝑐. 4.8.1
Donde: M, C, K son las matrices de Masa, Amortiguamiento y Rigidez del
sistema.
La solución de este sistema se realizará con el Método de Newmark.
Se consideran constantes para análisis lineal �̈�, �̇�, 𝑞 y son los vectores de
aceleración, velocidad y desplazamiento, respectivamente. J es un vector que contiene
unos para el caso plano y depende del modelo numérico de análisis, a(t) es la
aceleración de movimiento de la carga móvil.
88
Para el tiempo discreto ti+1, la ecuación 4.8.1 es:
𝑀𝑞𝑖+1̈ + 𝐶𝑞𝑖+1̇ + 𝐾𝑞𝑖+1 = −𝑀. 𝐽. 𝑎𝑖+1 𝐸𝑐. 4.8.2
El vector de desplazamientos en forma incremental es:
𝑞𝑖+1 = ∆𝑞𝑖+1 + 𝑞𝑖 𝐸𝑐. 4.8.3
Se tienen además las ecuaciones siguientes:
𝑞𝑖+1̈ =1
𝛽∆𝑡[𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖 − 𝑞𝑖+1∆𝑡̇ ] − (
1
2𝛽− 1) 𝑞�̈� 𝐸𝑐. 4.8.47
𝑞𝑖+1̇ =𝛾
𝛽∆𝑡(𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖) + (1 −
𝛾
𝛽)𝑞�̇� + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡. 𝑞�̈� 𝐸𝑐. 4.8.58
Las ecuaciones anteriores 4.8.4 y 4.8.5 en función de Δ son:
𝑞𝑖+1̈ =1
𝛽∆𝑡2∆𝑞𝑖+1 −
1
𝛽∆𝑡𝑞�̇� − (
1
2𝛽− 1) 𝑞�̈� 𝐸𝑐. 4.8.6
𝑞𝑖+1̇ =𝛾
𝛽∆𝑡∆𝑞𝑖+1 + (1 −
𝛾
𝛽) 𝑞�̇� + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡. 𝑞�̈� 𝐸𝑐. 4.8.7
Al reemplazar las ecuaciones 4.8.7, 4.8.6 y 4.8.3 en 4.8.2, se obtiene luego de
agrupar términos:
�̂�∆𝑞𝑖+1 = 𝐹𝑖+1 𝐸𝑐. 4.8.8
Siendo:
�̂� = 𝐾 +1
𝛽∆𝑡2𝑀 +
𝛾
𝛽∆𝑡𝐶 𝐸𝑐. 4.8.9
𝐹𝑖+1 = −𝑀 𝐽 𝑎𝑖+1 +𝑀 [1
𝛽∆𝑡𝑞�̇� + (
1
2𝛽− 1) 𝑞�̈�] − 𝐶 [(1 −
𝛾
𝛽) 𝑞�̇� + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡𝑞�̈�]
− 𝐾𝑞𝑖 𝐸𝑐. 4.8.10
Se denomina a �̂� como la matriz efectiva, que es una matriz constante para
análisis lineal y a Fi+1 el vector de cargas efectivas, que es variable en cada instante de
tiempo.
7 Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Roberto Aguiar Falconí. Pág 286. 8 Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Roberto Aguiar Falconí. Pág 287.
89
4.9 Procedimiento de cálculo
El procedimiento de cálculo, para el análisis lineal, utilizando el método β de
Newmark es el siguiente:
a) Determinar la matriz de rigidez efectiva
�̂� = 𝐾 +1
𝛽∆𝑡2𝑀+
𝛾
𝛽∆𝑡𝐶
b) Para el instante de tiempo i+1 determinar el vector de cargas efectivo
𝐹𝑖+1 = −𝑀 𝐽 𝑎𝑖+1 +𝑀 [1
𝛽∆𝑡𝑞�̇� + (
1
2𝛽− 1) 𝑞�̈�] − 𝐶 [(1 −
𝛾
𝛽) 𝑞�̇� + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡𝑞�̈�] − 𝐾𝑞𝑖
c) Se obtiene el incremento de desplazamiento para el tiempo i+1, para lo que se
debe resolver el sistema de ecuaciones lineales:
�̂�∆𝑞𝑖+1 = 𝐹𝑖+1
d) Se calculan la aceleración, velocidad y desplazamiento en el incremento de
tiempo i+1.
𝑞𝑖+1̈ =1
𝛽∆𝑡2∆𝑞𝑖+1 −
1
𝛽∆𝑡𝑞�̇� − (
1
2𝛽− 1) 𝑞�̈�
𝑞𝑖+1̇ =𝛾
𝛽∆𝑡∆𝑞𝑖+1 + (1 −
𝛾
𝛽) 𝑞�̇� + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡. 𝑞�̈�
𝑞𝑖+1 = ∆𝑞𝑖+1 + 𝑞𝑖
e) Se actualizan desplazamientos, velocidades y aceleraciones y se pasa al
próximo punto desde el paso b).
𝑞𝑖 = 𝑞𝑖+1
𝑞�̇� = 𝑞𝑖+1̇
𝑞�̈� = 𝑞𝑖+1̈
(Aguiar, 2012).
4.10 Programa Matlab
Para el cálculo de desplazamientos se han desarrollado varias funciones Matlab:
a) Cálculo de la Matriz de rigidez de los elementos de un arco (krigidez).
b) Función para encontrar el vector de colocación de los elementos del arco
orientado al cálculo de la matriz de rigidez (vc).
90
c) Función para hallar las coordenadas generalizadas (CG).
d) Función para encontrar la matriz de rigidez de un elemento de arco (kelemarco).
e) Función con la matriz de masas.
f) Función para determinar la matriz de amortiguamiento con el algoritmo de
Wilson y Penzien y finalmente
g) Función que determina los desplazamientos (Newmarlineal).
Las funciones indicadas se hallan en Anexo 1.
91
CAPITULO 5
CÁLCULO DE DEFORMACIONES SEGÚN MODELO DE ANÁLISIS
DINÁMICO POR LA APLICACIÓN DE CARGAS MÓVILES
A fin de proceder con el cálculo indicado en el capítulo anterior es necesario que
se establezca la información que de acuerdo al modelo indicado se requiere, la misma
que se indica a continuación.
5.1 Datos del arco de hormigón armado del Puente sobre el río San Pablo
Los datos para calcular los desplazamientos dinámicos de acuerdo a las
funciones de Matlab requeridas se presentan en las siguientes tablas:
Tabla 16 - Coordenadas de los elementos del arco
MODELO DINAMICO DE OSCILACIONES DEL ARCO SAN PABLO
NUMERO NODO GDL COORDENADAS
x1 x2 x3 X Y Z
1 1 0 0 0 -53.61 0.00
2 2 1 2 3 -42.00 10.73
3 3 4 5 6 -39.00 12.80
4 4 7 8 9 -36.00 14.70
5 5 10 11 12 -33.00 16.35
6 6 13 14 15 -30.00 17.84
7 7 16 17 18 -27.00 19.15
8 8 19 20 21 -24.00 20.30
92
9 9 22 23 24 -21.00 21.31
10 10 25 26 27 -18.00 22.18
11 11 28 29 30 -15.00 22.88
12 12 31 32 33 -12.00 23.46
13 13 34 35 36 -9.00 23.91
14 14 37 38 39 -6.00 24.23
15 15 40 41 42 -3.00 24.46
16 16 43 44 45 0.00 24.48
17 17 46 47 48 3.00 24.46
18 18 49 50 51 6.00 24.23
19 19 52 53 54 9.00 23.91
20 20 55 56 57 12.00 23.46
21 21 58 59 60 15.00 22.88
22 22 61 62 63 18.00 22.18
23 23 64 65 66 21.00 21.31
24 24 67 68 69 24.00 20.30
25 25 70 71 72 27.00 19.15
26 26 73 74 75 30.00 17.84
27 27 76 77 78 33.00 16.35
28 28 79 80 81 36.00 14.70
29 29 82 83 84 39.00 12.80
30 30 85 86 87 42.00 10.73
31 31 0 0 0 53.61 0.00
93
Tabla 17- Propiedades Geométricas secciones arco
GEOMETRIA Y PROPIEDADES DE LAS SECCIONES DEL ARCO PUENTE SAN PABLO
ELEMENTO
NODO
I
NODO
J
L
(m)
Angulo
(°)
bi
(m)
hi
(m)
bf
(m)
hf
(m)
bm
(m)
hm
(m)
A
(m2)
Inercia
(m4)
MASA
(ton-
s2/m)
1 1 2 13.82 42.67 1.85 3.00 1.73 2.35 1.788 2.675 4.782 2.851 1.171
2 2 3 5.31 34.93 1.73 2.35 1.70 2.31 1.713 2.330 3.990 1.805 0.977
3 3 4 3.93 32.44 1.70 2.31 1.68 2.04 1.688 2.175 3.670 1.447 0.899
4 4 5 3.50 28.55 1.68 2.04 1.65 1.93 1.663 1.985 3.300 1.084 0.808
5 5 6 3.40 26.35 1.65 1.93 1.63 1.84 1.638 1.885 3.087 0.914 0.756
6 6 7 3.32 23.68 1.63 1.84 1.60 1.75 1.613 1.795 2.894 0.777 0.709
7 7 8 3.26 21.05 1.60 1.75 1.58 1.67 1.588 1.710 2.715 0.661 0.665
8 8 9 3.20 18.48 1.58 1.67 1.55 1.61 1.563 1.640 2.563 0.574 0.628
9 9 10 3.15 15.94 1.55 1.61 1.53 1.55 1.538 1.580 2.429 0.505 0.595
10 10 11 3.11 13.43 1.53 1.55 1.50 1.50 1.513 1.525 2.307 0.447 0.565
11 11 12 3.08 10.95 1.50 1.50 1.48 1.46 1.488 1.480 2.202 0.402 0.539
12 12 13 3.05 8.49 1.48 1.46 1.45 1.43 1.463 1.445 2.113 0.368 0.518
13 13 14 3.03 6.05 1.45 1.43 1.43 1.41 1.438 1.420 2.041 0.343 0.500
14 14 15 3.02 3.62 1.43 1.41 1.40 1.40 1.413 1.405 1.985 0.326 0.486
15 15 16 3.00 1.19 1.40 1.40 1.40 1.40 1.400 1.400 1.960 0.320 0.480
16 16 17 3.00 -1.19 1.40 1.40 1.40 1.40 1.400 1.400 1.960 0.320 0.480
17 17 18 3.00 -3.62 1.40 1.40 1.40 1.40 1.400 1.400 1.960 0.320 0.480
18 18 19 3.00 -6.05 1.40 1.40 1.43 1.40 1.413 1.400 1.978 0.323 0.484
19 19 20 3.02 -8.49 1.43 1.40 1.45 1.41 1.438 1.405 2.020 0.332 0.495
20 20 21 3.03 -10.95 1.45 1.41 1.48 1.46 1.463 1.435 2.099 0.360 0.514
21 21 22 3.05 -13.43 1.48 1.46 1.50 1.50 1.488 1.480 2.202 0.402 0.539
94
22 22 23 3.08 -15.94 1.50 1.50 1.53 1.55 1.513 1.525 2.307 0.447 0.565
23 23 24 3.11 -18.48 1.53 1.55 1.55 1.61 1.538 1.580 2.429 0.505 0.595
24 24 25 3.15 -21.05 1.55 1.61 1.58 1.67 1.563 1.640 2.563 0.574 0.628
25 25 26 3.20 -23.68 1.58 1.67 1.60 1.75 1.588 1.710 2.715 0.661 0.665
26 26 27 3.26 -26.35 1.60 1.75 1.63 1.84 1.613 1.795 2.894 0.777 0.709
27 27 28 3.40 -28.55 1.63 1.84 1.65 1.93 1.638 1.885 3.087 0.914 0.756
28 28 29 3.50 -32.44 1.65 1.93 1.68 2.04 1.663 1.985 3.300 1.084 0.808
29 29 30 5.31 -34.93 1.68 2.04 1.70 2.31 1.688 2.175 3.670 1.447 0.899
30 30 31 13.82 -42.67 1.70 2.31 1.73 2.35 1.713 2.330 3.990 1.805 0.977
Tabla 18- Grados de libertad
No. NUDO GRADOS DE
LIBERTAD
MASAS EN
EL NUDO
(ton.s^2/m^2)
1 2 1 30 31 1.074
2 3 2 32 33 0.938
3 4 3 34 35 0.854
4 5 4 36 37 0.782
5 6 5 38 39 0.732
6 7 6 40 41 0.687
7 8 7 42 43 0.646
8 9 8 44 45 0.611
9 10 9 46 47 0.580
10 11 10 48 49 0.552
11 12 11 50 51 0.528
12 13 12 52 53 0.509
13 14 13 54 55 0.493
95
14 15 14 56 57 0.483
15 16 15 58 59 0.480
16 17 16 60 61 0.480
17 18 17 62 63 0.482
18 19 18 64 65 0.489
19 20 19 66 67 0.504
20 21 20 68 69 0.527
21 22 21 70 71 0.552
22 23 22 72 73 0.580
23 24 23 74 75 0.611
24 25 24 76 77 0.646
25 26 25 78 79 0.687
26 27 26 80 81 0.732
27 28 27 82 83 0.782
28 29 28 84 85 0.854
29 30 29 86 87 0.938
30 1.074
96
5.2 Carga impulsiva
Figura 45. Carga móvil de diseño
La carga móvil que se ha utilizado en el diseño es la de la norma AASHTO
LRFD 2012.
Se ha considerado que el vehículo de diseño circula a una velocidad de 30 km/h,
pero esta velocidad se puede modificar en más o en menos en el programa a fin de
realizar pruebas de sensibilidad.
v = 30.00 km/h Velocidad del vehículo
v = 8.33 m/seg Velocidad del vehículo
L = 100.00 m Luz del puente
t = 12.00 seg Tiempo de cruce del puente
CARGA MO VIL DE DISEÑO (CARGA EXCITATIVA)
dp = 3.00 m Distancia entre péndolas
de = 14 pies Distancia entre ejes
de = 4.27 m Distancia entre ejes
p1 = 8.0 kip
1 kip 0.4464 ton
97
e = 3.00 m Espacio entre péndolas
t1 = 0.36 seg
Tiempo de cruce entre péndola y
péndola
T = 0.36 seg Período
w = 2.78 1/seg frecuencia
Tabla 19- Cargas armónicas
FUERZA EXCITATIVA (TON)
# T (seg) P0 (ton) wt seno (wt) p(t)=Po sen(wt)
1 1 16.35 2.778 0.35584 5.82
2 2 16.35 5.556 0.66510 10.87
3 3 16.35 8.333 0.88729 14.51
4 4 16.35 11.111 0.99333 16.24
5 5 16.35 13.889 0.96934 15.85
6 6 16.35 16.667 0.81845 13.38
7 7 16.35 19.444 0.56042 9.16
8 8 16.35 22.222 0.22902 3.74
9 9 16.35 25.000 0.13235 2.16
10 10 16.35 27.778 0.47640 7.79
11 11 16.35 30.556 0.75808 12.39
12 12 16.35 33.333 0.94053 15.38
98
5.3 Resultados
Una vez que se han corrido los programas computacionales con las funciones de
cálculo con los datos ingresados en las funciones Matlab de acuerdo al modelo de
análisis dinámico desarrollado por la aplicación de las cargas móviles que atraviesan el
puente sobre el río San Pablo, se obtienen los siguientes resultados:
La deformación máxima calculada por el paso de una carga excitativa móvil que
atraviesa el puente San Pablo a una velocidad promedio de 30 km/h considerando que
la vibración del mismo se inicia desde que la carga dinámica incide de manera directa
sobre la primera péndola hasta la última lo que limita la longitud del puente a 100 m,
produce una deformación máxima de 46.6 mm como se puede apreciar en el gráfico de
deformaciones adjunto:
Figura 46. Respuesta dinámica de deformaciones
99
Es posible con este modelo realizar análisis de sensibilidad que permitan
observar las deformaciones que se producen por el paso de la carga móvil a
distintas velocidades y con distintos valores de carga.
La deformación por carga dinámica móvil que atraviesa el Puente San
Pablo debe ser añadida a la deformación por carga estática calculada por las
cargas muertas de la estructura y las cargas permanentes para tener un criterio
más definido de la contraflecha que se aplicará en la fase constructiva.
100
CAPITULO 6
MEDICIÓN IN SITU DE DEFORMACIONES DEL ARCO
Una vez que el puente sobre el río San Pablo terminó su construcción, se
realizaron varias mediciones con topografía para observar su comportamiento antes de
su puesta en servicio. De igual manera se realizó una prueba de carga estática con varios
vehículos pesados que fueron colocados en los dos carriles del puente, como se observa
en las fotos (Fig. 35) que permanecieron por lapso de 2 horas, el día martes 25 de
febrero del 2014 y se tomaron datos de nivelación del puente antes de que se colocada
la carga como después de que fuera desalojada en donde se observó la recuperación de
la deformación que fue en el eje del tablero del puente de 50 mm en la mitad de la luz.
Figura 47 Prueba de carga Puente San Pablo y nivelación del tablero
101
Los datos de las mediciones que se realizaron en el arco del río San Pablo se presentan
a continuación donde se observa una deflexión de 37 mm.
Tabla 20- Mediciones de cotas en arco de puente San Pablo
08 DE ENERO 2014 26 DE FEBRERO 2014
NUM. NORTE ESTE COTA NORTE ESTE COTA DEFLEXION (mm)
1 90,416.680 60,026.512 6.562 90,416.692 60,026.524 6.525 1 37
2 90,361.779 59,973.377 6.623 90,361.791 59,973.389 6.586 2 37
3 90,415.945 59,978.874 6.673 90,415.957 59,978.886 6.636 3 37
4 90,437.123 60,002.755 6.811 90,437.135 60,002.767 6.774 4 37
5 90,361.803 59,976.000 6.818 90,361.815 59,976.012 6.781 5 37
6 90,361.485 59,977.094 6.840 90,361.497 59,977.106 6.803 6 37
7 90,431.304 59,971.409 6.863 90,431.316 59,971.421 6.826 7 37
8 90,401.926 60,007.328 6.891 90,401.938 60,007.340 6.854 8 37
9 90,433.441 59,974.086 6.983 90,433.453 59,974.098 6.946 9 37
10 90,389.059 59,976.797 6.984 90,389.071 59,976.809 6.947 10 37
11 90,415.083 59,975.762 6.991 90,415.095 59,975.774 6.954 11 37
12 90,407.840 59,976.480 7.031 90,407.852 59,976.492 6.994 12 37
13 90,406.626 59,977.018 7.035 90,406.638 59,977.030 6.998 13 37
14 90,440.631 60,005.436 7.050 90,440.643 60,005.448 7.013 14 37
15 90,413.619 60,000.866 7.108 90,413.631 60,000.878 7.071 15 37
16 90,439.431 60,005.475 7.123 90,439.443 60,005.487 7.086 16 37
17 90,415.211 59,974.727 7.172 90,415.223 59,974.739 7.135 17 37
18 90,517.877 60,022.005 7.175 90,517.889 60,022.017 7.138 18 37
19 90,384.685 59,976.932 7.238 90,384.697 59,976.944 7.201 19 37
20 90,384.930 59,975.842 7.262 90,384.942 59,975.854 7.225 20 37
21 90,420.072 59,992.878 7.278 90,420.084 59,992.890 7.241 21 37
22 90,388.176 60,007.311 7.300 90,388.188 60,007.323 7.263 22 37
23 90,370.747 59,977.237 7.380 90,370.759 59,977.249 7.343 23 37
24 90,375.557 59,976.336 7.558 90,375.569 59,976.348 7.521 24 37
25 90,368.974 59,977.593 7.691 90,368.986 59,977.605 7.654 25 37
26 90,376.701 60,004.060 7.748 90,376.713 60,004.072 7.711 26 37
27 90,367.135 59,978.335 7.806 90,367.147 59,978.347 7.769 27 37
28 90,366.996 60,003.979 7.887 90,367.008 60,003.991 7.850 28 37
29 90,338.342 60,002.777 7.900 90,338.354 60,002.789 7.863 29 37
30 90,365.117 59,978.058 7.900 90,365.129 59,978.070 7.863 30 37
31 90,365.095 59,976.787 7.914 90,365.107 59,976.799 7.877 31 37
102
32 90,368.350 60,002.264 8.014 90,368.362 60,002.276 7.977 32 37
33 90,340.300 60,003.409 8.412 90,340.312 60,003.421 8.375 33 37
34 90,347.696 60,004.141 8.556 90,347.708 60,004.153 8.519 34 37
35 90,343.194 59,984.745 8.691 90,343.206 59,984.757 8.654 35 37
36 90,340.577 60,000.530 8.744 90,340.589 60,000.542 8.707 36 37
37 90,340.300 59,988.741 8.784 90,340.312 59,988.753 8.747 37 37
38 90,339.461 59,985.760 8.858 90,339.473 59,985.772 8.821 38 37
39 90,340.394 59,994.991 8.872 90,340.406 59,995.003 8.835 39 37
40 90,336.485 59,986.065 9.020 90,336.497 59,986.077 8.983 40 37
41 90,332.816 59,990.470 9.125 90,332.828 59,990.482 9.088 41 37
42 90,332.755 59,999.513 9.150 90,332.767 59,999.525 9.113 42 37
43 90,332.885 59,995.105 9.193 90,332.897 59,995.117 9.156 43 37
44 90,325.651 59,999.039 9.490 90,325.663 59,999.051 9.453 44 37
45 90,325.592 59,991.653 9.492 90,325.604 59,991.665 9.455 45 37
46 90,325.635 59,995.283 9.535 90,325.647 59,995.295 9.498 46 37
47 90,325.552 59,995.316 9.537 90,325.564 59,995.328 9.500 47 37
48 90,325.245 59,989.089 9.762 90,325.257 59,989.101 9.725 48 37
49 90,325.733 60,001.427 9.781 90,325.745 60,001.439 9.744 49 37
50 90,302.386 59,990.244 10.358 90,302.398 59,990.256 10.321 50 37
51 90,302.363 60,002.042 10.385 90,302.375 60,002.054 10.348 51 37
52 90,302.813 59,995.917 10.527 90,302.825 59,995.929 10.490 52 37
53 90,302.463 60,001.498 10.606 90,302.475 60,001.510 10.569 53 37
54 90,302.296 59,989.536 10.686 90,302.308 59,989.548 10.649 54 37
55 90,302.960 59,989.200 10.698 90,302.972 59,989.212 10.661 55 37
56 90,302.270 60,001.909 10.721 90,302.282 60,001.921 10.684 56 37
57 90,301.722 60,002.293 10.934 90,301.734 60,002.305 10.897 57 37
58 90,272.232 59,996.707 11.330 90,272.244 59,996.719 11.293 58 37
59 90,272.072 60,002.463 11.360 90,272.084 60,002.475 11.323 59 37
60 90,271.595 60,002.283 11.422 90,271.607 60,002.295 11.385 60 37
61 90,272.177 60,003.189 11.452 90,272.189 60,003.201 11.415 61 37
62 90,271.725 59,991.266 11.463 90,271.737 59,991.278 11.426 62 37
63 90,156.095 59,994.853 11.484 90,156.107 59,994.865 11.447 63 37
64 90,272.724 60,002.798 11.516 90,272.736 60,002.810 11.479 64 37
65 90,147.050 59,999.996 11.537 90,147.062 60,000.008 11.500 65 37
66 90,272.012 59,990.062 11.541 90,272.024 59,990.074 11.504 66 37
67 90,271.830 59,990.358 11.547 90,271.842 59,990.370 11.510 67 37
68 90,260.844 59,996.767 11.556 90,260.856 59,996.779 11.519 68 37
69 90,261.090 59,996.995 11.581 90,261.102 59,997.007 11.544 69 37
70 90,156.380 60,004.659 11.600 90,156.392 60,004.671 11.563 70 37
71 90,252.745 60,002.145 11.623 90,252.757 60,002.157 11.586 71 37
72 90,252.695 60,001.919 11.624 90,252.707 60,001.931 11.587 72 37
103
73 90,252.630 59,992.536 11.629 90,252.642 59,992.548 11.592 73 37
74 90,252.783 60,002.771 11.637 90,252.795 60,002.783 11.600 74 37
75 90,252.599 59,991.854 11.639 90,252.611 59,991.866 11.602 75 37
76 90,252.573 59,992.185 11.648 90,252.585 59,992.197 11.611 76 37
77 90,260.771 60,003.220 11.704 90,260.783 60,003.232 11.667 77 37
78 90,260.768 59,990.853 11.760 90,260.780 59,990.865 11.723 78 37
79 90,250.674 60,001.743 12.437 90,250.686 60,001.755 12.400 79 37
80 90,250.924 60,003.253 12.457 90,250.936 60,003.265 12.420 80 37
81 90,250.784 60,002.479 12.459 90,250.796 60,002.491 12.422 81 37
82 90,157.980 59,995.307 12.464 90,157.992 59,995.319 12.427 82 37
83 90,158.131 60,004.095 12.468 90,158.143 60,004.107 12.431 83 37
84 90,158.009 59,993.843 12.471 90,158.021 59,993.855 12.434 84 37
85 90,158.188 60,004.873 12.472 90,158.200 60,004.885 12.435 85 37
86 90,158.163 60,005.649 12.472 90,158.175 60,005.661 12.435 86 37
87 90,158.059 59,994.625 12.476 90,158.071 59,994.637 12.439 87 37
88 90,158.991 60,004.298 12.492 90,159.003 60,004.310 12.455 88 37
89 90,158.980 60,004.898 12.492 90,158.992 60,004.910 12.455 89 37
90 90,158.986 60,004.081 12.493 90,158.998 60,004.093 12.456 90 37
91 90,159.020 60,005.572 12.495 90,159.032 60,005.584 12.458 91 37
92 90,247.999 60,001.720 12.508 90,248.011 60,001.732 12.471 92 37
93 90,248.033 60,002.652 12.518 90,248.045 60,002.664 12.481 93 37
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95 90,248.072 60,003.390 12.525 90,248.084 60,003.402 12.488 95 37
96 90,160.927 59,994.551 12.526 90,160.939 59,994.563 12.489 96 37
97 90,160.978 60,004.040 12.533 90,160.990 60,004.052 12.496 97 37
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99 90,160.995 60,004.763 12.546 90,161.007 60,004.775 12.509 99 37
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103 90,250.606 59,992.891 12.606 90,250.618 59,992.903 12.569 103 37
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104
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122 90,164.606 59,995.250 13.960 90,164.618 59,995.262 13.923 122 37
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105
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106
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107
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108
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109
314 90,194.453 59,994.109 25.109 90,194.465 59,994.121 25.072 314 37
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316 90,195.983 59,995.456 25.171 90,195.995 59,995.468 25.134 316 37
317 90,212.461 60,001.511 25.212 90,212.473 60,001.523 25.175 317 37
318 90,196.454 60,001.997 25.244 90,196.466 60,002.009 25.207 318 37
319 90,212.555 60,002.167 25.246 90,212.567 60,002.179 25.209 319 37
320 90,195.953 59,994.703 25.247 90,195.965 59,994.715 25.210 320 37
321 90,196.408 60,002.642 25.261 90,196.420 60,002.654 25.224 321 37
322 90,211.925 59,995.023 25.265 90,211.937 59,995.035 25.228 322 37
323 90,212.028 59,994.275 25.281 90,212.040 59,994.287 25.244 323 37
324 90,212.565 60,002.993 25.286 90,212.577 60,003.005 25.249 324 37
325 90,211.957 59,993.618 25.298 90,211.969 59,993.630 25.261 325 37
326 90,196.624 60,003.337 25.313 90,196.636 60,003.349 25.276 326 37
327 90,196.006 59,994.082 25.320 90,196.018 59,994.094 25.283 327 37
328 90,210.495 60,001.505 25.367 90,210.507 60,001.517 25.330 328 37
329 90,210.251 59,994.364 25.413 90,210.263 59,994.376 25.376 329 37
330 90,208.556 59,995.175 25.428 90,208.568 59,995.187 25.391 330 37
331 90,198.597 60,001.914 25.437 90,198.609 60,001.926 25.400 331 37
332 90,210.493 60,002.172 25.437 90,210.505 60,002.184 25.400 332 37
333 90,198.557 59,995.408 25.438 90,198.569 59,995.420 25.401 333 37
334 90,210.222 59,993.684 25.446 90,210.234 59,993.696 25.409 334 37
335 90,198.456 60,002.526 25.464 90,198.468 60,002.538 25.427 335 37
336 90,210.488 60,002.912 25.469 90,210.500 60,002.924 25.432 336 37
337 90,208.540 60,001.583 25.473 90,208.552 60,001.595 25.436 337 37
338 90,208.541 59,994.337 25.481 90,208.553 59,994.349 25.444 338 37
339 90,206.514 59,995.166 25.495 90,206.526 59,995.178 25.458 339 37
340 90,198.519 59,994.671 25.511 90,198.531 59,994.683 25.474 340 37
341 90,198.466 60,003.287 25.514 90,198.478 60,003.299 25.477 341 37
342 90,200.433 60,001.850 25.518 90,200.445 60,001.862 25.481 342 37
343 90,208.531 60,002.205 25.527 90,208.543 60,002.217 25.490 343 37
344 90,208.475 59,993.761 25.527 90,208.487 59,993.773 25.490 344 37
345 90,200.422 59,995.357 25.535 90,200.434 59,995.369 25.498 345 37
346 90,206.499 60,001.643 25.539 90,206.511 60,001.655 25.502 346 37
347 90,200.373 60,002.462 25.552 90,200.385 60,002.474 25.515 347 37
348 90,206.566 59,994.406 25.552 90,206.578 59,994.418 25.515 348 37
349 90,198.579 59,994.017 25.558 90,198.591 59,994.029 25.521 349 37
350 90,202.329 59,995.279 25.569 90,202.341 59,995.291 25.532 350 37
351 90,208.574 60,002.983 25.572 90,208.586 60,002.995 25.535 351 37
352 90,206.561 60,002.274 25.581 90,206.573 60,002.286 25.544 352 37
353 90,204.324 59,995.262 25.582 90,204.336 59,995.274 25.545 353 37
110
354 90,202.473 60,001.714 25.587 90,202.485 60,001.726 25.550 354 37
355 90,206.564 59,993.802 25.592 90,206.576 59,993.814 25.555 355 37
356 90,204.464 60,001.680 25.595 90,204.476 60,001.692 25.558 356 37
357 90,200.386 59,994.572 25.598 90,200.398 59,994.584 25.561 357 37
358 90,200.357 60,003.209 25.603 90,200.369 60,003.221 25.566 358 37
359 90,202.385 60,002.349 25.612 90,202.397 60,002.361 25.575 359 37
360 90,202.298 59,994.524 25.627 90,202.310 59,994.536 25.590 360 37
361 90,204.376 59,994.472 25.632 90,204.388 59,994.484 25.595 361 37
362 90,206.557 60,002.991 25.635 90,206.569 60,003.003 25.598 362 37
363 90,204.449 60,002.196 25.645 90,204.461 60,002.208 25.608 363 37
364 90,200.502 59,993.945 25.647 90,200.514 59,993.957 25.610 364 37
365 90,202.440 60,003.023 25.664 90,202.452 60,003.035 25.627 365 37
366 90,204.404 59,993.838 25.670 90,204.416 59,993.850 25.633 366 37
367 90,202.288 59,993.928 25.680 90,202.300 59,993.940 25.643 367 37
368 90,204.411 60,003.031 25.699 90,204.423 60,003.043 25.662 368 37
111
CAPITULO 7
ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS DEFORMACIONES POR
MÉTODO ESTÁTICO, DEFORMACIONES POR MÉTODO DINÁMICO
Y DEFORMACIONES DETERMINADAS CON MEDICIONES
Una vez que se han obtenido los resultados de las deformaciones del arco de
hormigón armado del Puente sobre el río San Pablo se puede observar lo siguiente:
El resultado de la deflexión vertical del centro del arco por el método de los
desplazamientos fue de 340.0 mm.
Las deflexiones que se generan en el puente se han determinado y los valores
máximos de flecha generados por carga la carga muerta en el centro del arco por medio
del SAP2000 es de 44.6 mm.
La deflexión máxima en el arco en la combinación de la carga REST-I-HL93,
en donde se halla toda la estructura cargada con la carga permanente y la carga de uso
afectados por los coeficientes de mayoración, por medio del SAP2000 es de 86.5 mm.
La deflexión máxima en el arco determinada por medio del modelo de análisis
dinámico por carga móvil con el uso de Matlab es de 46.6 mm.
El resultado de la deflexión medida con instrumentos de topografía en el arco
del puente San Pablo fue de 37.0 mm.
De los resultados que se han obtenido podemos mencionar que en el primer
caso, esto es, con el método de los desplazamientos arroja un resultado no comparable
con los otros métodos por lo que se desecha esa deformación.
Los valores de deformaciones por medio del SAP2000 con la combinación de
carga REST-I-HL93, arroja un resultado que fue calculado con análisis dinámico por
sismo ya que se introdujo el espectro de respuestas de aceleración, pero no utiliza el
análisis dinámico por carga móvil si no que usa el factor de amplificación por carga
dinámica de acuerdo a la Norma AASHTO, que es de 33% de la carga móvil. Es
112
necesario tomar en cuenta que este porcentaje proviene de un criterio de diseño como
se indica a continuación:
Un aspecto importante a analizar en los puentes es la amplificación dinámica de la
respuesta de sus elementos debida a la acción móvil de los vehículos que circulan, como
por ejemplo la amplificación dinámica de la flexión en las vigas que produce momentos
flexionantes mayores a los que serían de un análisis estático. La amplificación dinámica
de la respuesta estructural de los puentes se evalúa por medio del coeficiente de carga
dinámica permitida (Schwarz, 2001).
𝐶𝐷𝑃 = (𝑅𝐷𝐼𝑁 − 𝑅𝐸𝑆𝑇
𝑅𝐸𝑆𝑇) . 100%
Donde: RDIN = máxima respuesta dinámica
REST = máxima respuesta estática
La amplificación dinámica de la respuesta estructural de los puentes es un
problema complejo que conlleva varias variables como son: el peso, número de ejes,
velocidad, y características mecánicas de los vehículos como presión de llantas,
suspensión y amortiguamiento, el estado de la superficie de rodadura (rugosidad), la
interacción suelo-estructura y las características dinámicas del puente como
frecuencias, amortiguamientos y formas modales, las cuales se ven afectadas por la
presencia de elementos no estructurales como parapetos que dificultan una estimación
realista de las propiedades dinámicas.
La mayoría de los códigos y especificaciones de diseño estiman los efectos
dinámicos de las cargas vivas bajo un enfoque seudo-estático, en el que los esfuerzos
y deformaciones de la estructura se calculan colocando estáticamente las cargas
asociadas a un camión de diseño en una posición que garantice la máxima respuesta de
interés para el elemento de que se estudie (ejemplo: líneas de influencia) con el fin de
tomar en consideración la naturaleza dinámica de las cargas vivas.
Las normas AASHTO toman en cuenta la amplificación dinámica por medio
del factor de impacto I, que es análogo al CDP (I=CDP/100) y se calcula de la siguiente
manera:
113
𝐼 =50
𝐿 + 125≤ 0.30
Donde: L = es la longitud del vano en pies. La ecuación anterior ha sido usada
por más de 60 años sin ninguna modificación desde que apareció en 1931. Las normas
AASHTO para el diseño por factores de carga y resistencia especifican valores de
diseño para el CDP (coeficiente de carga dinámica permitida) de 25%, el cual se
multiplica por 4/3 para tomar en cuenta la carga de carril y llegar a un valor del 33%.
Se puede observar que el criterio de las normas AASHTO es muy general, ya
que solo toma en cuenta una sola variable (L).
El valor de deflexión calculada con el método de análisis dinámico por carga
móvil que se ha desarrollado en este trabajo permite tomar en consideración no sólo la
longitud del puente si no que se realiza un análisis de mayor aproximación al
comportamiento de la estructura por el paso de una carga móvil al tomar en cuenta la
ecuación del movimiento.
114
CAPITULO 8
CONCLUSIONES
En el diseño de puentes puede resultar insuficiente una estimación confiable del
peso de la carga viva que circula sobre los mismos con el fin de garantizar un
adecuado comportamiento, además se hace necesario una estimación confiable
de los efectos dinámicos que produciría. En el presente trabajo se ha obtenido
el peso de la carga viva y su efecto dinámico sobre la estructura lo que permitió
determinar la carga impulsiva que produjo una deflexión de 46.6 mm que por
medio de análisis convencional no se habría considerado.
Se reconoce la importancia de la vibración inducida del vehículo en movimiento
con relación a la respuesta y vida de servicio de un puente y el rol de la respuesta
dinámica en el deterioro y daño por fatiga que en el caso de la presente
investigación se observa que los cables de las péndolas siendo elementos de
acero entran en el proceso de ciclos de carga y descarga.
Al diseñar puentes muy flexibles, por ejemplo, los puentes colgantes o
atirantados, se pueden presentar problemas de resonancia por la carga móvil.
En el caso analizado del puente sobre el río San Pablo y por la conformación
de la geometría de los arcos, su estructuración se puede considerar como un
puente rígido.
En el diseño de puentes colgantes, en nuestro medio, no se consideran cargas
dinámicas producidas por la carga viva móvil. En el cálculo realizado sobre el
puente San Pablo al haberse realizado el análisis dinámico por carga móvil,
observa que la deformación producida por este tipo de carga, si bien, no alcanza
un valor importante, por ser una estructura rígida, es necesario determinarlo
para el respectivo diseño y comprobación de control de deflexiones que en esta
caso particular no excede la deflexión permisible por el código AASHTO que
es de L/800 = 140 mm.
Los métodos de valoración del impacto dinámico clásicos para puentes no
toman en consideración la posibilidad de que exista resonancia, en vista de que
115
se asume solo un incremento de hasta el 33% del incremento de la carga viva y
el cálculo considera los efectos de la carga de camión de diseño por un método
estático de ubicación de esta carga a través del método de las líneas de
influencia, hasta obtener un máximo, mientras que en el análisis realizado si se
calculó el impacto dinámico.
RECOMENDACIONES
Se recomienda añadir a la deflexión estática los efectos calculados por la carga
viva y su efecto dinámico sobre la estructura, que en este caso específico
produjo una deflexión de 46.6 mm, al respectivo análisis de control de
deflexiones.
Con la finalidad de registrar el proceso de ciclos de carga y descarga para los
elementos de acero de la estructura y en general de elementos de hormigón de
los puentes ya construidos, se deberían instrumentar los mismos, especialmente
aquellos de gran importancia. Se ha recomendado al MTOP la realización del
rating del puente para realizar el respectivo mantenimiento y disponer de
registros de cada elemento del puente sobre el río San Pablo.
En los puentes muy flexibles, se debería realizar el análisis dinámico por carga
móvil, además de su comportamiento estático, y si se presentaran problemas de
resonancia se evitarían cambiando el valor de la frecuencia natural variando la
masa y/o la rigidez o amortiguando la estructura. En el presente análisis
dinámico por carga viva móvil, el puente sobre el río San Pablo no es un puente
flexible.
En el diseño de puentes colgantes, en nuestro medio, se deberían considerar las
cargas dinámicas producidas por la carga viva móvil a fin de evitar problemas
de resonancia que podría colapsar a la estructura o incidir en mayor o menor
grado en la fatiga de los materiales y por tanto en su vida útil. En el análisis del
puente San Pablo se recomienda realizar el rating del puente por parte del
MTOP.
116
El estudio dinámico por cargas móviles en puentes flexibles debe ser
considerado ya que permitirá visualizar posibles problemas de vibraciones que
afectarían a las estructuras en su etapa constructiva y de puesta en
funcionamiento.
Se deberían realizar estudios sobre puentes existentes a fin de valorar y calibrar
a nuestro medio la determinación de la carga dinámica de impacto de los
vehículos sobre los puentes, pues los métodos actuales de análisis y diseño
podrían subestimar los efectos de las cargas dinámicas en las estructuras. Se
podría utilizar la metodología desarrollada con el software anexado en el
presente trabajo y utilizarlo en estructuras de puentes ya existentes para calibrar
para futuros diseños de estructuras de puentes.
Se recomienda la realización de estudios experimentales en los cuales se analice
detalladamente un número importante de puentes con diferentes propiedades de
respuesta dinámica con diferencias tanto de estructuración, geometría y
materiales. De la misma manera se pueden analizar distintos tipos de carga
móvil que se conozcan sus características como peso, separación entre ejes,
velocidad, rigidez y amortiguamiento de la suspensión y otras que se consideren
importantes. En el trabajo desarrollado se han dejado planteado algunas bases
para cálculo de análisis dinámico por carga viva móvil y de esta manera se
pueden aplicar los resultados de los estudios experimentales a fin de aportar en
una investigación específica a nuestro medio.
Se recomienda realizar estudios analíticos que permitan interpretar y entender
de mejor manera los resultados experimentales.
117
Glosario
Amortiguamiento Disipación de energía
Antifunicularidad Consideración estructural contraria a la catenaria
Arriostramiento Apoyos o restricciones al desplazamiento
Biemportrado Con doble empotramiento
camber Flecha o deflexión por flexión
CDP Coeficiente de carga dinámica permitida
Cercha
Estructura compuesta de elementos que conforman un emparrillado
de acuerdo a geometría requerida
Deformación Es el cociente entre el alargamiento y la longitud
Discretizar Obtención de nodos en un medio continuo
Distorsión Deformación angular producida por fuerzas cortantes
Esfuerzo de ruptura
Es el límite donde el material se alarga rápidamente y es el punto de
ruptura
Esfuerzo último
Es conocido también como el límite de resistencia y es la máxima
ordenada de la curva esfuerzo-deformación
Función excitatriz Función que define la fuerza impulsiva en una estructura
Ley de Hooke
La relación de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación
siendo la constante de proporcionalidad el módulo elástico
Límite de elasticidad
Es el esfuerzo más allá del cual el material no recupera totalmente su
forma original al ser descargado
Limite de proporcionalidad
Es el punto hasta donde los esfuerzos son proporcionales a las
deformaciones
Material anisótropo
Material que ofrece distintas propiedades cuando se examina o
ensaya en direcciones diferentes
NEC-11 Norma Ecuatoriana de la Construcción 2011
Péndola
Elemento de sujeción de una estructura colgante puede un cable o
varilla
Placas ortotrópas
Un material es ortotrópico cuando sus propiedades mecánicas o
térmicas son únicas e independientes en tres direcciones
perpendiculares entre sí
118
Punto de fluencia
Es aquel en el que aparece un considerable alargamiento o fluencia
del material sin el correspondiente aumento de carga
Relación de Poisson
Es la relación entre la deformación transversal y la deformación
longitudinal
119
BIBLIOGRAFIA
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Singer, F. L. (1994). Resistencia de materiales. México: Harper & Row Publishers,
Inc.
120
ANEXO 1
Funciones Matlab
function [KRA]=krigidez(E)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez de los elementos de un arco
%
% Autor: Jaime Jara Landívar
% UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
%
% ------------------------------------------------------------------------
% [KRA]=krigidez(E)
% ------------------------------------------------------------------------
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocación
% FPC Esfuerzo de compresión del hormigón (kg/cm2)
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base la sección transversal (m)
% h: altura de la sección transversal (m)
% long: Longitud del elemento (m)
% angulo: angulo de inclinacion del elemento (rad)
%
nod=input('\n Número de nudos: ');
nr= input('Número de nudos restringidos: ');
nudos=nod-nr;
ngl=nudos*3;
[CG]=cg(nod,nr);
mbr=input('\n\n Número de miembros: ');
[VC]=vc(mbr,CG);
%
fprintf('\n Nudos Totales %d',nod);
fprintf('\n Nudos restringidos %d',nr);
fprintf('\n Nudos de Cálculo %d',nudos);
fprintf('\n Grados de libertad %d',ngl);
fprintf('\n Número de miembros %d',mbr);
%
fc=input('\n Esfuerzo de hormigón: ');
E=12000*(fc)^0.5;
%
% for i=1:mbr
% fprint('\n elemento %d:',i);
% B(i)=input('\n Base:');H(i)=input('Altura:');L(i)=input('Luz libre:');
% end
%
B( 1)=1.788;H( 1)=2.675;L( 1)=13.82;ANG( 1)=0.74473;
121
B( 2)=1.713;H( 2)=2.330;L( 2)= 5.31;ANG( 2)=0.60964;
B( 3)=1.688;H( 3)=2.175;L( 3)= 3.93;ANG( 3)=0.56618;
B( 4)=1.663;H( 4)=1.985;L( 4)= 3.50;ANG( 4)=0.49829;
B( 5)=1.638;H( 5)=1.885;L( 5)= 3.40;ANG( 5)=0.45989;
B( 6)=1.613;H( 6)=1.795;L( 6)= 3.32;ANG( 6)=0.41329;
B( 7)=1.588;H( 7)=1.710;L( 7)= 3.26;ANG( 7)=0.36739;
B( 8)=1.563;H( 8)=1.640;L( 8)= 3.20;ANG( 8)=0.32254;
B( 9)=1.538;H( 9)=1.580;L( 9)= 3.15;ANG( 9)=0.27821;
B(10)=1.513;H(10)=1.525;L(10)= 3.11;ANG(10)=0.23440;
B(11)=1.488;H(11)=1.480;L(11)= 3.08;ANG(11)=0.19111;
B(12)=1.463;H(12)=1.445;L(12)= 3.05;ANG(12)=0.14818;
B(13)=1.438;H(13)=1.420;L(13)= 3.03;ANG(13)=0.10559;
B(14)=1.413;H(14)=1.405;L(14)= 3.02;ANG(14)=0.06318;
B(15)=1.400;H(15)=1.400;L(15)= 3.00;ANG(15)=0.02077;
B(16)=1.400;H(16)=1.400;L(16)= 3.00;ANG(16)=-0.02077;
B(17)=1.400;H(17)=1.400;L(17)= 3.00;ANG(17)=-0.06318;
B(18)=1.400;H(18)=1.400;L(18)= 3.00;ANG(18)=-0.10559;
B(19)=1.438;H(19)=1.405;L(19)= 3.02;ANG(19)=-0.14818;
B(20)=1.463;H(20)=1.435;L(20)= 3.03;ANG(20)=-0.19111;
B(21)=1.488;H(21)=1.480;L(21)= 3.05;ANG(21)=-0.23440;
B(22)=1.513;H(22)=1.525;L(22)= 3.08;ANG(22)=-0.27821;
B(23)=1.538;H(23)=1.580;L(23)= 3.11;ANG(23)=-0.32254;
B(24)=1.563;H(24)=1.640;L(24)= 3.15;ANG(24)=-0.36739;
B(25)=1.588;H(25)=1.710;L(25)= 3.20;ANG(25)=-0.41329;
B(26)=1.613;H(26)=1.795;L(26)= 3.26;ANG(26)=-0.45989;
B(27)=1.638;H(27)=1.885;L(27)= 3.40;ANG(27)=-0.49829;
B(28)=1.663;H(28)=1.985;L(28)= 3.50;ANG(28)=-0.56618;
B(29)=1.688;H(29)=2.175;L(29)= 5.31;ANG(29)=-0.60964;
B(30)=1.713;H(30)=2.330;L(30)=13.82;ANG(30)=-0.74473;
%
% Cálculo de la matriz de rigidez de la estructura
% Dimensión de la matriz de rigidez de la estructura
% ngl x ngl
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
fprintf('\n ELEMENTO DE ARCO: %5d',i);
b=B(i);h=H(i);long=L(i);angulo=ANG(i);
fprintf('\n b(m) h (m) L (m) (rad)')
fprintf('\n')
fprintf('%15.2f', b,h,long,angulo)
fprintf('\n')
[k]=kelemarco(b,h,long,E,angulo);
for j=1:6
jj=VC(i,j);
if jj==0
122
continue
end
for m=1:6
mm=VC(i,m)
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
%
zeda=0.05;
nmas=nudos*3;
[maz]=masas(ngl,nudos);
[C]=amortig(SS,maz,zeda,mbr,ngl);
%
pause;
%
fprintf('%\n Matriz Rigidez Coord. Glob. function krigidez \n');
for i=1:ngl
fprintf('%\n')
for j=1:ngl
fprintf('% 15.2f',SS(i,j))
end
end
fprintf('\n FIN krigidez \n')
%========================================
% DATOS:
% Datos para obtener el incremento de tiempo dt
%
% veloc = Velocidad del vehículo (km/h)
veloc=60.0;
veloc=veloc*1000/3600; % (m/s)
% luzpuente = Luz del puente San Pablo (m)
luzpuente=100;
% tiempo de cruce del camión (seg)
tiemp=luzpuente/veloc;
fprintf('\n % 10.2f',veloc,luzpuente,tiemp);
%
dt=tiemp/12.0
%
% Datos para la carga impulsiva p(t)
%
% p(t)=P0 seno(wt)
% p( 1)=5.82;
123
% p( 2)=10.87;
% p( 3)=14.51;
% p( 4)=16.24;
% p( 5)=15.85;
% p( 6)=13.38;
% p( 7)=9.16;
% p( 8)=3.74;
% p( 9)=2.16;
% p(10)=7.79;
% p(11)=12.39;
% p(12)=15.38;
%
% p(t)=P0
carga=20.00;
p( 1)=carga;
p( 2)=carga;
p( 3)=carga;
p( 4)=carga;
p( 5)=carga;
p( 6)=carga;
p( 7)=carga;
p( 8)=carga;
p( 9)=carga;
p(10)=carga;
p(11)=carga;
p(12)=carga;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[ymax]=Newmarklineal(p,maz,C,SS,dt)
%========================================
end
%
function [VC]=vc(mbr,CG)
%
% Programa para encontrar el vector de colocación de elementos del arco
% orientado al cálculo de la matriz de rigidez
%
% ---------------------------------------------------------------------
% [VC]=vc(mbr,CG)
% ---------------------------------------------------------------------
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocación
% mbr Número de miembros
%
% Información de elementos
for i=1:mbr
124
% fprintf('\n ELEMENTO DE ARCO %5d:',i);
% ini(i)=input('\nNúm Nodo Inicial:..........');
ini(i)=i;
% fin(i)=input( 'Núm Nodo Final: .......... ');
fin(i)=i+1;
end
% Arreglo VC, Vectores de colocación
for i=1:mbr
for k=1:3
VC(i,k) =CG(ini(i),k);
VC(i,k+3)=CG(fin(i),k);
end
end
fprintf('\n VECTORES DE COLOCACION DE ELEMENTOS \n')
for i=1:mbr
for k=1:6
fprintf('%7d',VC(i,k))
end
fprintf('\n')
end
pause;
end
% ---fin---
function [CG]=cg(nod,nr)
%
% Programa para encontrar las coordenadas generalizadas
% orientado al cálculo de la matriz de rigidez
%
% -------------------------------------------------------------------
% [CG]=cg(nod,nr)
% -------------------------------------------------------------------
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% nod Número de nodos
% nr Número de nudos restringidos
%
ngl=0;CG=ones(nod,3);
% Análisis de restricciones
for i=1:nr
nudres=input('\n Número del nudo restringido:')
X1=input('Desplazamiento en X, si/no (s/n):','s');
if X1=='n'
CG(nudres,1)=0;
else
ngl=ngl+1;CG(nudres,1)=ngl;
end
Y1=input('Desplazamiento en Y, si/no (s/n):','s');
125
if Y1=='n'
CG(nudres,2)=0;
else
ngl=ngl+1;CG(nudres,2)=ngl;
end
R1=input('Rotación, en Z, si/no (s/n):','s');
if R1=='n'
CG(nudres,3)=0;
else
ngl=ngl+1;CG(nudres,3)=ngl;
end
end
% =======================================
% grados de libertad
ngl=0;
for i=1:nod
for j=1:3
if CG(i,j)~=0
ngl=ngl+1;CG(i,j)=ngl;
else
end
end
end
% ======================================
for i=1:nod
for j=1:3
fprintf('\n %7d',CG(i,j))
end
end
% ======================================
end
% ---fin---
function [k]=kelemarco(b,h,L,E,angulo)
%
% Matriz de rigidez de un elemento del arco
%
% -------------------------------------------------------------------
% [k]=kelemarco(b,h,L,E,angulo)
% -------------------------------------------------------------------
% b: base de la sección transversal
% h: altura de la sección transversal
% L: longitud del elemento
% E: módulo de elasticidad del material
% angulo: ángulo de inclinación de cada elemento
% beta: factor de forma se considera 1.2
126
G=0.4*E;beta=1.2;
inercia=b*h^3/12;
area=b*h;
fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));
a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
% ==========================
%
a=(E*area)/L;
b=((12*E*inercia)/(L*L*L));
c=(6*E*inercia)/(L*L);
d=(4*E*inercia)/L;
e=(2*E*inercia)/L;
%
% =========================
k=zeros(6,6);
k(1,1)=a;
k(1,4)=-a;
k(2,2)=b;
k(2,3)=c;
k(2,5)=-b;
k(2,6)=c;
k(3,2)=c;
k(3,3)=d;
k(3,5)=-c;
k(3,6)=e;
k(4,1)=-a;
k(4,4)=a;
k(5,2)=-b;
k(5,3)=-c;
k(5,5)=b;
k(5,6)=-c;
k(6,2)=c;
k(6,3)=e;
k(6,5)=-c;
k(6,6)=d;
% =========================
r=zeros(6,6);
rt=zeros(6,6);
coseno=cos(angulo);
seno=sin(angulo);
r(1,1)=coseno;
r(1,2)=seno;
r(2,1)=-seno;
r(2,2)=coseno;
127
r(3,3)=1;
r(4,4)=coseno;
r(4,5)=seno;
r(5,4)=-seno;
r(5,5)=coseno;
r(6,6)=1;
rt(1,1)=r(1,1);
rt(1,2)=r(2,1);
rt(2,1)=r(1,2);
rt(2,2)=r(2,2);
rt(3,3)=r(3,3);
rt(4,4)=r(4,4);
rt(4,5)=r(5,4);
rt(5,4)=r(4,5);
rt(5,5)=r(5,5);
rt(6,6)=r(6,6);
%==================================
fprintf('\n MATRIZ DE ROTACION TRASPUESTA DEL ELEMENTO \n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',rt(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%==================================
fprintf('\n MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO \n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%===================================
fprintf('\n MATRIZ DE ROTACION DEL ELEMENTO \n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',r(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%===================================
fprintf('\n')
k=rt*k*r;
for i=1:3;
for j=i+1:4;
128
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf('\n MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO DE ARCO: \n\n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
end
% ---fin---
function [maz]=masas(ngl,nudos)
%
% Matriz de Masas
%
% -------------------------------------------------------------------
% [mas]=masas(ngl,nudos)
% -------------------------------------------------------------------
%
% maz = Matriz de masas
%
% for i=1:nudos
% fprint('\n elemento %d:',i);
% mas(i)=input('\n Masa (ton.s^2/m):');
% end
[maz]=zeros(ngl,ngl);
mas( 1)=1.074;
mas( 2)=0.938;
mas( 3)=0.854;
mas( 4)=0.782;
mas( 5)=0.732;
mas( 6)=0.687;
mas( 7)=0.646;
mas( 8)=0.611;
mas( 9)=0.580;
mas(10)=0.552;
mas(11)=0.528;
mas(12)=0.509;
mas(13)=0.493;
mas(14)=0.483;
mas(15)=0.480;
mas(16)=0.480;
mas(17)=0.482;
129
mas(18)=0.489;
mas(19)=0.504;
mas(20)=0.527;
mas(21)=0.552;
mas(22)=0.580;
mas(23)=0.611;
mas(24)=0.646;
mas(25)=0.687;
mas(26)=0.732;
mas(27)=0.782;
mas(28)=0.854;
mas(29)=0.938;
mas(30)=1.074;
for i=1:nudos
j=i*3-2
maz(j,j)=mas(i);
maz(j+1,j+1)=mas(i);
maz(j+2,j+2)=mas(i);
end
end function [C]=amortig(SS,maz,zeda,mbr,ngl)
%
% Matriz de Amortiguamiento
% Cálculo de la matriz de amortiguamiento
% Algoritmo de Wilson y Penzien
% -------------------------------------------------------------------
% [C]=amortig(SS,maz,zeda,mbr,ngl)
% -------------------------------------------------------------------
%
% C = Matriz de amortiguamiento
% SS = Matriz de rigideces
% maz = Matriz de masas
% zeda = Vector que contiene los factores de amortiguamiento
% mbr = Número de elementos de la estructura
zeda=0.05;
for i=1:ngl
zed(i)=zeda;
end
C = zeros(ngl,ngl);
fprintf('\n NUMERO DE ELEMENTOS (amortig)');
fprintf('\n %7d',ngl);
%=================================
fprintf('\n Matriz de rigideces \n')
for i=1:ngl
for j=1:ngl
130
fprintf('% 15.2f',SS(i,j))
end
fprintf('\n');
end
%=================================
fprintf('\n Matriz de masas \n')
for i=1:ngl
for j=1:ngl
fprintf('% 15.2f',maz(i,j));
end
fprintf('\n');
end
%==================================
[V,D]=eig(SS,maz);
Wn=sqrt(D);
W=diag(Wn);
for i=1:ngl
fi=V(:,i);
mi=fi'*maz*fi;
aux=2*zed(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*maz*fi*fi'*maz
end
for i=1:ngl
for j=1:ngl
fprintf('% 15.2f',C(i,j))
end
fprintf('\n ')
end
fprintf('\n FIN Programa de Amortiguamiento \n' )
end
%=============================================
function [ymax]=Newmarklineal(p,maz,C,SS,dt)
%
% Respuesta en el tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad
% por el Método de Newmark, ante una carga móvil que se desplaza a lo
% largo de la estructura, definido por un sistema de cargas armónicas
%
%=============================================
% [ymax]=Newmarklineal(p,maz,C,SS,JJ,dt)
%=============================================
% p: Vector que contiene los registros de la carga vehicular (n)
% maz: Matriz de masas del sistema (ngl x ngl)
% C: Matriz de amortiguamiento del sistema (ngl x ngl)
% SS: Matriz de rigidez del sistema (ngl x ngl)
% JJ: Q=-maz J a(t) es vector unitario para caso plano (ngl x 1)
131
% dt: incremento de tiempo con el cual se calcula la respuesta
% beta: 1/4 para aceleración constante y 1/6 para aceleración lineal
% gamma: =0.5
% d, v, a: desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta
%
%===========================================================
========
%
n=length(p);
tmax=dt*n;
t=linspace(0,tmax,n)';
beta=0.25;
gamma=0.5;
ngl=length(SS);
% Cambio de cm/s2 a m/s2 en la carga vertical
%for i=1:n
% p(i)=p(i)/100;
%end
%==================================
% Constantes auxiliares de cálculo
%==================================
fac1=1/(beta*dt);
fac2=gamma/(beta*dt);
fac3=1/(beta*dt*dt);
fac4=(1/(2*beta))-1;
fac5=1-(gamma/beta);
fac6=1-(gamma/(2*beta));
%==================================
% Cálculo de K sombrero
%==================================
Ks=SS+fac3*maz+fac2*C;
%==================================
% Condiciones iniciales
%==================================
for i=1:ngl
JJ(i)=1;
end
for i=1:ngl
d(i)=0;
v(i)=0;
a(i)=0;
end
d=d';
v=v';
a=a';
%========================
132
% Respuesta en el tiempo
%========================
for i=1:n-1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf('\n n = %10d' ,n);
fprintf('\n i = %10d' ,i);
fprintf('\n i+1 = %10d' ,i+1);
fprintf('\n fac1 = %10.2f',fac1);
fprintf('\n fac2 = %10.2f',fac2);
fprintf('\n fac3 = %10.2f',fac3);
fprintf('\n fac4 = %10.2f',fac4);
fprintf('\n fac5 = %10.2f',fac5);
fprintf('\n fac6 = %10.2f',fac6);
fprintf('\n dt = %10.2f',dt);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
pause
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%F1=-maz*JJ*p(i+1);
fprintf('\n length(maz) = %10.2f',length(maz));
fprintf('\n length(JJ) = %10d',length(JJ));
fprintf('\n i = %10d',i);
fprintf('\n p(i+1) = %10.2f',p(i+1));
%%%%
F1=-maz*JJ';
% pause
F1=F1*p(i+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% F1=0;
F2=maz*(fac1*v+fac4*a);
F3=-C*(fac5*v+fac6*dt*a);
F4=-SS*d;
F=F1+F2+F3+F4;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dq=Ks\F;
aa=fac3*dq-fac1*v-fac4*a;
vv=fac2*dq+fac5*v+fac6*dt*a;
dd=dq+d;
y(i)=dd(ngl);
tt(i)=dt*i;
d=dd;
v=vv;
a=aa;
end
plot(tt,y)
ylabel('Desplazamiento');
133
xlabel('Tiempo s')
ymax=max(y)
fprintf('\n Máximo desplazamiento \n')
fprintf('% 15.2f',ymax)
fprintf('\n Mínimo desplazamiento \n')
ymin=min(y)
fprintf('% 15.2f',ymin)
% fin
end
134
ANEXO No. 2
135
BIOGRAFIA
Nací en la ciudad de Quito el 21 de enero de 1957, en una familia de 7
hermanos donde fui el tercero. Mi padre provenía de un pueblo pequeño
llamado Calpi cerca de la ciudad de Riobamba y mi madre nacida en la ciudad
de Loja. Ellos, con su ejemplo y apoyo nos inculcaron y motivaron a
prepararnos en el estudio.
Mis primeros 3 años de estudio primario los realicé en la Escuela San
Pedro Pascual y los 3 años siguientes en la Escuela Alfonso del Hierro de la
ciudad de Quito.
Posteriormente mi educación secundaria la realicé en el Instituto
Nacional Mejía, con especialización Físico-matemático-químico-biólogo,
donde el 24 de julio año de 1975 obtuve el título de Bachiller en Humanidades
Modernas.
Mis estudios superiores los realicé en la Universidad Central del
Ecuador en la Facultad de Ingeniería y el 5 de enero de 1.983 obtuve el título
de Ingeniero Civil.
Realicé un stage desde el 15 de mayo al 15 de junio de 1.991 en el
Instituto de Investigaciones Camineras de Bruselas.
En abril de 1.999 seguí un curso de Programación Lógica y Auditoría
de Sistemas en la Universidad de la Rioja, y asistí al III Congreso
Internacional de (Tele) Informática Educativa y II Foro Regional de
Tecnología en la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Santa
Fe en Argentina.
136
Fui Ayudante Ad-Honorem de la Cátedra de Computación en la
Facultad de Ingeniería en el año de 1.978, así como Profesor Auxiliar de
Programación y Métodos Numéricos en la Facultad de Ingeniería de la
Universidad Central en el año de 1.984.
He realizado diseños de estudios estructurales de edificaciones,
viviendas, puentes, alcantarillas abovedadas y de cajón y análisis estructural
de otros tipos de elementos estructurales como muros, pilotes de hormigón
armado prebarrenado, pilotes de hormigón presforzado, etc. con las
consultoras Francisco Fernández, Promanvial, Rodrigo del Salto y
Tecnosuelos en las ciudades de Quito y Loja.
Trabajé en el Ministerio de Obras Públicas desde el año de 1.980 hasta
el 2.011, en las Direcciones de Planificación, Informática, Construcciones,
Concesiones y Estudios en el Departamento de Estructuras con
especialización en Puentes.
He trabajado en Fiscalización estructural de Edificios y Puentes con las
Consultoras Ing. Pedro Freire e IPHc Consultora en las ciudades de Santa
Clara, Quito, Isla Baltra, Babahoyo y Loja, donde trabajo actualmente.
