UNIVERSDADE AGOSTINHO NETO FACULDADE DE...
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Programa de Mestrado em MercadosFinanceiros
EconometriaMaio 2018
Armando Manuel 1
UNIVERSDADE AGOSTINHO NETOFACULDADE DE ECONOMIA
Programa DO DIA
RECAPITULAÇÃO1.Enquadramento Conceitual1.O Modelo Clássico de Analise de Regressão Simples2.O Cálculo dos Es>madores e o teste de Hipóteses 3.
MODELO DE REGRESS2. ÃO MÚLTIPLA ABORDAGEM MATRICIAL Pressupostos; 1.Infer2. ência a versão Matricial; Infer3. ência ao Método de Crammer; Testes Essenciais; 4.
VIOLA3. ÇÃO DAS HIPÓTESES BÁSICAS DO MODELO Mul>colinearidade1. e MicronumerosidadeHeteroskedas>cidade2.Autocorrela3. ção
PAINEL PRATICO4.Acesso1. e Manipulação de Dados;U>lização2. do Excel para Analise de Regressão;Testes 3. Esta>s>cos do Gretl
Armando Manuel 2
Recapitulação
1. Enquadramento Conceitual2. O Modelo Clássico de Analise de Regressão Simples3. O Cálculo dos Estimadores e o Teste de Hipóteses
Armando Manuel 3
( ) estimadordoestimadopadrãoerroparâmetroestimador
ˆep
ˆt
i
ii -º
b
b-b=
0:H0:H 2A20 ¹b=b
ååå += 222 dyy1dy
dy
F 2
2
2
2
-==åå
åå
ååb
== 2i
ii22
y
xyˆ
SQTSQE
R
MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA
Um modelo de regressão linear múl/pla é expresso da seguinteforma:
ondeY é a variável dependente,Xk são as k variáveis explica/vas,µ é o termo de perturbação estocás/co e i é a i-ésima observação;nos casos de dados de séries temporais, o subscrito t indicará a t-ésima observação.
ikikiii uXXXY +++++= bbbb ...33221nionde ...,,3,2,1=
PRESSUPOSTOS BÁSICOS
Notação Escalar Notação Matricial
1. para cada i 1. em que u e 0 são vectores coluna nx1, sendo 0 um vectornulo.
2. onde 2. em que I é uma matriz identidade nxn
3. são não estocásticos e fixos. 3. A matriz nxk X não é estocástica, ou seja é formada por um número de conjuntos fixos
4. Não há nenhuma relação linear exacta entre as variáveis X, ou seja nenhuma multicolinearidade
4. O posto(rank) de X é em que k é o número de colunas em X e k é menor que o número de observações n.
5. Para testar hipóteses assumimos que: 5. O vector u é distribuído normalmente multivariedade isto é
0)(E i =µ 0)(E =µ
2
ji 0)(E
s=
=µµ
ji ¹
I)(E 2s=µ¢µ
kXXX ...., ,32
k)X( =r
),0(N~ 2i sµ )I,0(N~ 2
i sµ
ji =
INFERÊNCIA A VERSÃO MATRICIAL DA REGRESSÃOMÚLTIPLA
Uma abordagem mais realista do modelo de regressão múl1pla, sugere• -nos o uso de matrizes devido ao facto de maior parte dos modelos implicarem a inclusão de k variáveis. Seja:•onde beta um é o intercepto, e os demais betas são os coeficientes parciais. u é o erro •tomando um comportamento aleatório. Adicionalmente , a equação pode ser apresentada sob forma de um sistema de equações e •posterior sob forma de um sistema de equações.
nknkn33n22nn
22kk32322222
11kk31321211
uX...XXY................................................................uX...XXYuX...XXY
+b++b+b+b=
+b++b+b+b=+b++b+b+b=
n...,,3,2,1iondeuX...XXY ikiki33i221i =+b++b+b+b=
A VERSÃO MATRICIAL
1nXn
2
1
1kXk
2
1
nXkkn
2k
1k
n3
32
13
n2
22
21
1nXn
2
1
u..uu
.
.
X..XX
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
X..XX
X..XX
1..11
Y..YY
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
+
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
b
bb
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
=
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
Podendo ainda assumir a forma matricial reduzida:
1nx1kxnxk1nxuXy +b=
Ondey=n X 1 é um vector coluna da variável dependenteX=n X k é a matriz das variáveis independentes, B=k X 1 vector coluna dos parâmetros por estimar.u=n X 1 vector coluna nos n erros(distúrbios).
Determinação dos Es0madores
ikiki33i221i uXˆ...XˆXˆˆY +b++b+b+b=
( )2kiki33i221ii2 Xˆ...XˆXˆˆYu åå b--b-b-b-=
Matricialmente teríamos a equação representada do seguinte modo:
b¢b¢+¢b¢-¢=b-¢b-=¢ ˆXXˆyXˆ2yy)ˆXy()ˆXy(uu
( )b¢+¢-=
b¶
¢¶ ˆXX2yX2ˆuu
( ) yXXXˆ 1 ¢¢=b -
INFERÊNCIA AO MÉTODO DE CRAMMER PARA AMATRIZ INVERSA
O método de crammer é recorrido apenas com o interesse dedeterminar-se quer os parâmetros assim como a matriz inversa damatriz produto das variáveis exógenas considerandoser elemento determinante para o calculo do vector dos estimadores
( ) yXXXˆ 1 ¢¢=b -
)x,......,x(X n1= nxn bAx =
A regra de Crammer requer que a Matriz A tenha uma solução única, tal que
de um sistema de ordem
Tal que i
ii Adet
Bdetx = onde B é a matriz A com o membro direito igual a b
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
=++=++=++
MÉTODO DE CRAMMERPARA COM PUTAR A MATR IZ IN VERSA
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
bbb
xxx
aaaaaaaaa
Note que embora a simbologia não seja proporcional ao modelo de regressão,quando no modelo de regressão precisamos calcular o vector beta, aqui o vectorbete corresponde a ao vector x quando a matriz dos “a” corresponde a matriz de“x” no modelo de regressão.Assim sendo, a regra de Crammer pressupõe que:
1
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaaaaaaaa
aabaabaab
x
-
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
1
333231
232221
131211
33331
23221
13111
2
aaaaaaaaa
abaabaaba
x
-
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
1
333231
232221
131211
33231
22221
11211
2
aaaaaaaaa
baabaabaa
x
-
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
Logo, conhecendo a matriz inversa, o resto reduz-se numa multiplicação.
MÉTODO DE CRAMMERPARA COMPUTAR A MATRIZ INVERSA
AAdjuntaMatrixAdet1
A 1 =-
Poderá recorrer a esta opção, calculando a matriz inversa e depois fazer o uso da formula obtida no desdobramento dos MQO na versão matricial.
A formula para o cálculo é:
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
101030542
A
Do calculo ficamos a saber que
9A -=
31003
c11 =+= 01100
c12 =-= 30130
c11 -=+=
41054
c21 -=-= 31152
c22 -=+= 40142
c11 =-=
150354
c31 -=+= 00052
c32 =-= 63042
c11 =+=
Matriz Adjunta A seria igual a:
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
332313
322212
312111
CCCCCCCCC
Aadj
IN FERÊNC IA AO MÉTODO DE MONTE CARLO
( ) 11ˆE b=b
( ) 22ˆE b=b
•O método de Monte Carlo é o mecanismo prático paratestar as hipóteses:
Heteroskedas*cidade
1. Uma das mais relevantes hipóteses do
modelo clássico, consiste no
comportamento homoscedastico da
variância do resíduo ao longo do tempo
característica básica das series temporais
estacionarias;
2. Ao longo do tempo, os erros de distintos
períodos possuem correlação nula;
3. Exemplo do modelo das expectativas
racionais;
4. O que ocorre no modelo se esta hipótese
for violada?
ECONOMETRIA -MESTRADO 13
22 )( sµ =Var
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
s
ss
=µ¢µ=µ
2n
22
21
...00............0...00...0
)(E)var(
HeteroskedasticidadeDetenção
1. Os estimadores dos mínimos
quadrados ordinários
continuam sendo melhores e
não viesados porém não mais
são eficientes ou seja, não
possuem variância mínima
ECONOMETRIA -MESTRADO 14
Heteroskedas*cidadeTeste de Hipóteses
Método Gráfico1. Quando não dispomos de informação a
priori da presença de heteroskedaticidade, computamos a analise de regressão e em seguida estudamos o comportamento do quadrados do erro, para identificar algum comportamento padronizado da media e Y com os erros;
2. Plot do quadrado do erro estimado em relação a variável dependente estimada;
3. Na generalidade a relação do erro com a media de Y, poder assumir varias formas, linear, quadrática, exponencial etc…
ECONOMETRIA -MESTRADO 15
!"!
#$
!"!
#$
!"!
#$
∄
Heteroskedas*cidadeTeste de Hipóteses
Teste de Park
1. Trata se de um texte no qual regredimos o
erro da regressão primaria, com função do
logaritmo da variável independente
2. Sempre beta for estatisticamente
significante, sugere que estamos em
presença de Heteroskedasticidade;
3. Quando beta for estatisticamente
insignificante, então a variância é
homoskedastica;
4. Trata-se de um teste de segunda ordem,
pode ser executado numa segunda ordem,
sempre que a heteroskedasticidade não for
encontrada em primeira ordem.
ECONOMETRIA -MESTRADO 16
!!" = !" ##$$%!
%&!!" = %&!" + (%&#! + )!
= * + (%&#! + )!
Considerando que a variância é
desconhecida, Park sugere o uso de
como proxy para a regressão seguinte:
!!"+,!"
HeteroskedasticidadeTeste de Hipóteses
Teste Goldfeld QuandtCons%tui passos para o emprego do 1.presente teste:
Organizar a amostra em ordem crescente a Xa)Omi%r m observações centrais tal que (nb) -m) seja num número parDividir a amostra em duas regressões (nc) -m)/2 Obter a soma dos resíduos quadrados de d)ambas regressões
Se lambda for superior ao valor tabelado 2.de F para os graus de liberdade escolhidos, rejeitamos a hipótese de homoskedas%cidade, quer dizer que a variância é heteroskedas%ca.
ECONOMETRIA -MESTRADO 17
( )( ) knu
knuglSRQglSRQ
22
2elomod
12
1elomod
1
2
--
==låå
onde: SRQ= Soma do resíduo quadrado
gl = graus de liberdade
HeteroskedasticidadeTeste de Hipóteses
Teste White´s general heteroskedas2city
Inicialmente computamos a regressão auxiliar do 1.quadrado do erro nos valores de X, no quadrado de X e nos produtos cruzados;
seguida computamos o coeficiente de determinação 2.efectuamos o teste de hipóteses
Se o valor computado da estaCsDca for superior ao 3.valor criDco chi-square segundo os graus de liberdade(sem o intercepto) Conclui-se que existe HeteroscedasDcidade
Se não exceder: então 4.
o que significa estar-se em presença de homoskedaDcidade.ECONOMETRIA -MESTRADO 18
iiiiiii vXXXXXXu ++++++= 326235
221433221
2ˆ aaaaaa
2df
2 ~Rn c
!" = $% + $'('" + $)()" + *"
0654321 =a=a=a=a=a=a
Heteroskedas*cidadeRemédios - Os Mínimos Quadrados Generalizados
Conhecendo as variâncias 1.heteroskedas3ca, transformamos o modelo e dividimos todos os parâmetros pela variância heteroskedas3ca compreendente a cada período.
Onde a variância dos mínimos 2.quadrados ordinários generalizados possuem variância semelhante a observada pelos MQO ou OLS, que é de facto uma constante.
ECONOMETRIA -MESTRADO 19
ii33i22ii XXY µ+b+b+b=
ii33i22i0ii XXXY µ+b+b+b=
÷÷ø
öççè
æsµ
+÷÷ø
öççè
æs
b+÷÷ø
öççè
æs
b+÷÷ø
öççè
æs
b=s i
i
i
i33
i
i22
i
i0i
i
i XXXY
*i
*i3
*3
*i2
*2
*i0
*1
*i XXXY µ+b+b+b=
( )2
i
i2*i
*i E)(Evar ÷÷
ø
öççè
æsµ
=µ=µ
( ) ( ) 2i2
i
2i2
i
2*i
*i
1E1)(Evar ss
=µs
=µ=µ
( ) 1)(var 2** == ii E µµ
Autocorrelação
1. A autocorrelação é a serie defasada consigo mesma segundo um número de unidades de tempo. Quando o termo correlação serial diz respeito a desfazagem de series diferentes.
2. A semelhança da heteroskedasticidade, na presença da autocorrelação os estimadores dos MQO continuam sendo os melhores estimadores lineares não viesados mas não mais possuem a variância mínima entre todos os estimadores não viesados
3. O termo Auto-correlação significa correlação entre elementos da mesma serie ao longo do tempo, todavia, o pressuposto do modelo clássico é de que não deve existir este tipo de perturbações.
ECONOMETRIA -MESTRADO 20
0)(E ji =µµ
0)(E ji ¹µµ
ji ¹
ji ¹
AutocorrelaçãoCausas
Inercia ou rigidez de variáveis 1.
económicas;
Especificação errónea do modelo 2.
(omissão de importantes variáveis);
Fenómeno 3. cobb-web (teia de aranha);
A manipulação de dados, sobretudo 4.
quando se tem dados brutos ao invés
de dados regulares. (transformação de
dados trimestrais em mensais)
ECONOMETRIA -MESTRADO 21
0)(E ji =µµ
0)(E ji ¹µµ
ji ¹
ji ¹
AutocorrelaçãoTipologias
1. Os modelos com auto-correlação na
variável dependente denominam-
se modelos auto-regressivos
2. Quando estivermos em presença de
uma função do erro dependendo
de componentes com desfazagem,
porém sendo estas perturbações
aleatórias com média zero, dizemos
que estamos em presença de um
esquema de média móvel-MA(1)ECONOMETRIA -MESTRADO 22
ti3i21t10i ICRNRN e+a+a+a+a= -
tti erµµ += -1
Onde r é o coeficiente de correlação, Neste contexto, o modelo pode ser designado como modelo autorregressivos de ordem um AR(1)
1-+= tti leeµ
11 -- ++= ttti leerµµ ARMA(1,1)
AutocorrelaçãoMedidas Correctivas
1. Em presença de auto-correlação, os estimadores continuam sendo MELNV porém não mais possuem variância mínima, o que quer dizer que deixam de ser eficientes.
2. Se utilizarmos a os intervalos de confiança tendem a ser muito amplos, tornando difícil a rejeição da hipótese nula
3. Considerando que o erro não é conhecido, a questão da auto-correlação muitas vezes é fruto de especulações. O remédio depende em grande parte do conhecimento tido quanto as interdependências entre as distintas variáveis, pois lidaremos com duas situações, uma quando a estrutura da correlação é conhecida, outra, quando ela não é conhecida.
ECONOMETRIA -MESTRADO 23
1AR2 )ˆvar(b
AutocorrelaçãoMedidas Correctivas
Quando conhecemos o nível de 1.correlação podemos introduzir ajustamentos no modelo de modo a elimina-la e obter es<madores MELNEE
Sempre que <vermos conhecimento da 2.dimensão da correlação, bastará aplicar diferenças ao modelo, reduzindo-o para operação na qual ao aplicar o operador da primeira diferença (delta) perdemos o intercepto. Nestas condições, semelhantemente, podemos es<mar o modelo fazendo recurso ao método dos MQO
ECONOMETRIA -MESTRADO 24
tt2ti XY µ+b+b=1t1t2i1t XY --- µ+b+b=
Multiplicando por r e subtraindo da equação anterior
1t1t2i1t XY --- rµ+rb+rb=r
)(XX)1(YY 1tt1t2t2i1tt --- rµ-µ+rb-b+r-b=r-
t1tt2i1tt )XX()1(YY e+r-b+r-b=r- --
t*t
*2
*1
*t XY e+b+b=
Conhecendo o nível de correlação r entre os dois períodos:
)XX(X);1();YY(Y 1tt*t1
*11tt
*t -- r-=r-b=br-=
tt2t XY e+Db=D
AutocorrelaçãoTeste de Durbin Watson
1. O teste de DW é um dos testes tradicionais para testar a presença de auto-correlação. Ele baseia-se nos resíduos e obedece uma distribuição estatística especifica, na qual são considerados os pontos de significância superior e inferior.
2. Quanto aos graus de liberdade, o parâmetro k não considera o intercepto da função. O teste DW não deve ser aplicado em modelos autorregressivos. O teste tem a seguinte formula de cálculo:
ECONOMETRIA -MESTRADO 25
( )
å
å
=
=--
= n
1t
2t
n
2t
21tt
e
eed
AutocorrelaçãoSintese
A autorrelação pode ocorrer por varias razões, pode ser derivada por 1.inércia ou rigidez das series temporais económicas, viés resultante da omissão de variáveis importantes, ou por uso da forma funcional incorrecta, o fenómeno cobb-wed, a da teia de aranha ou ainda a manipulação dos dados.Embora os esCmadores de MQO permaneçam não2. -viesados e consistentes na presença de autocorrelação, eles deixam de ser eficientes. Como resultado, os testes de significancia t e F usuais não podem ser legiCmamente aplicados. Por isso, são necessárias medidas correcCvas.o remédio depende da natureza da interdependência entre as 3.perturbações Ut Mas como Ut não são observáveis, a práCca comum é supor que sejam geradas por algum mecanismo.
ECONOMETRIA -MESTRADO 26
AutocorrelaçãoSintese
4. o mecanismo comumente suposto é o esquema auto-regressivo de primeira ordem de Markov, que supõe que a perturbação no período corrente se relaciona linearmente com o termo de perturbação no período anterior, sendo que o coeficiente de autocorrelação fornece o grau da interdependência. Este me¬canismo é conhecido como esquema AR(1).
5. Se o esquema AR(1) for válido e o coeficiente de autocorrelação for conhecido, o problema da correlação serial pode ser facilmente atacado por meio da trans¬formação dos dados seguindo o método da diferença generalizada. O esquema AR(1) pode ser facilmente generalizado para um esquema AR(p). Podemos também supor um mecanismo de média móvel (MA) ou uma mescla dos es¬quemas AR e MA, conhecida como ARMA.
ECONOMETRIA -MESTRADO 27
AutocorrelaçãoSintese
Mesmo que usemos um esquema AR(1), o coeficiente de 5. autocorrelação p não é conhecido a priori. Examinamos vários métodos para esCmar p, tais como d de Durbin-Watson, d modificado de Theil-Nagar, método de Cochrane-OrcuM (C-O) em duas etapas, método C-O iteraCvo e o método de Durbin em duas etapas. Em grandes amostras, estes métodos geralmente produzem esCmaCvas similares, mas não em pequenas amostras. Na práCca, o método C-O iteraCvo se tornou bastante popular.
Naturalmente, antes de corrigir a 6. autocorrelação, é preciso detectá-la. Há diversos métodos de detecção, dos quais o mais célebre é a estaQsCca d de Durbin-Watson. Embora comumente usada e roCneiramente produzida pela maioria dos pacotes de soRware, a estaQsCca d apresenta várias limitações. Muitas vezes, a estaQsCca d indica não uma autocorrelação pura, mas sim um viés de especificação ou o efeito ARCH.
ECONOMETRIA -MESTRADO 28
AutocorrelaçãoSintese
7. Um modelo especial que merecerá alguma atenção é modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedatic Model) , no qual a variância condicional do termo de erro se correlaciona serialmente com os valores passados do termo de erro elevados ao quadrado. Este modelo provou ser muito útil na modelagem e previsão de muitas variáveis financeiras, tais como taxas de câmbio, taxas de inflação etc.
ECONOMETRIA -MESTRADO 29