Unitat 4: TRIGONOMETRIA - XTEC...TRIGONOMETRIA 2 4.1.2 Triangles semblants Definició: Dos triangles...

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

1r de Batxillerat LLEIDA

TRIGONOMETRIA 1

Unitat 4: TRIGONOMETRIA

4.1 Conceptes previs 4.1.1 Angles Definició angles entre dues rectes paral·leles): Donades dues rectes paral·leles

i una altra recta que les talla, es formen angles i que són suplementaris,

és a dir sumen 180º i a més:

Els angles (1) i (2) , que són

iguals s’anomenen corresponents.

També ho són (3) i (4) , (1) i

(4) , (2) i (3) .


iguals s’anomenen oposats pel

vèrtex. També ho són (2) i (4) ,

(1) i (3) , (2) i (4) .


iguals s’anomenen alterns interns.

També ho són (3) i (4) .

Els angles (1) i (4) , que són iguals s’anomenen alterns externs.

També ho són (1) i (2) .

Definició: Un angle direm que està inscrit en una

circumferència si té el vèrtex sobre aquesta circumferència.

Definició: Un angle direm que és un angle central

si té el seu vèrtex en el centre de la circumferència. Teorema (Euclides, s.III aC): Un angle , inscrit en

una circumferència, val la meitat de l’angle central ,

que defineix l’arc que delimita.

2

Abu-l-Hàssan Alí ibn Abi-Saïd Abd-ar-Rahman ibn Àhmad ibn Yunus as-Sadafí al-Misrí, conegut simplement com Ibn Yunus ((àrab): ن س اب ون fou un matemàtic i astrònom àrab que (يvisqué cap el s.X i que fou qui introduí la trigonometria a Europa. Els àrabs foren els grans desenvolupadors d’aquesta branca ja que ho van necessitar pels seus càlculs astronòmics.



TRIGONOMETRIA 2

4.1.2 Triangles semblants Definició: Dos triangles T1 i T2 direm que són semblants si tenen els angles iguals.

Observació: Com sabem que els angles d’un triangle sumen 180º, per tal que dos triangles siguin semblants, només necessitem que tinguin dos angles iguals, i si els triangles són rectangles és suficient que tinguin un angle agut igual. Teorema de Tales (Tales de Milet s.VI aC): Dos triangles són semblants si i només si tenen els costats proporcionals. És a dir, si anomenem T1 i T2 als

triangles i 1a , 1b , 1c als costats del primer i 2a , 2b , 2c als corresponents del

segon, el fet que siguin proporcionals vol dir només que 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c .

4.2 Raons trigonomètriques 4.2.1 Raons trigonomètriques d’un angle agut Definició: Sigui un angle agut. Definim:

Sinus de l’angle :

catet oposat ' 'sin

hipotenusa '

AB A B

OB OB

Cosinus de l’angle :

catet contigu 'cos

hipotenusa '

OA OA

OB OB

Tangent de l’angle :

catet oposat ' 'tan

catet contigu '

AB A B

OA OA

Cotangent de l’angle : catet contigu ' 1

cotcatet oposat tan' '

OA OA

AB A B

Secant de l’angle : hipotenusa ' 1

seccatet contigu cos'

OB OB

OA OA

Cosecant de l’angle : hipotenusa ' 1

coseccatet oposat sin' '

OB OB

AB A B



TRIGONOMETRIA 3

Fixeu-vos que es compleix la relació sin

tancos

Teorema fonamental de la trigonometria: Sigui un angle qualsevol.

Aleshores es compleix que: 2 2sin cos 1 , i a conseqüència d’això es

compleix que 2

2

1tan 1

cos

.

Observació: Aquestes últimes tres relacions ens permeten calcular qualsevol raó trigonomètrica a partir d’una donada. És a dir, coneixent només el sinus d’un angle automàticament podem conèixer el cosinus i la tangent (i tota la resta de raons tot i que no ens seran tan útils).

És important conèixer les raons trigonomètriques dels angles de 30º, 45 º i 60º. Les de l’angle de 45º es dedueixen a partir d’un triangle rectangle isòsceles i com en aquest cas el costat oposat i el costat contigu són iguals aleshores el seu sinus i el seu cosinus també seran iguals. En qualsevol altre triangle rectangle els dos angles aguts sumen 90º i el costat oposat d’un dels angles és el contigu de l’altre. Per això en angles complementaris el cosinus d’un angle és igual al sinus del seu complementari.

0º 30º 45º 60º 90º

Sinus 0 1

2

2

2

3

2 1

Cosinus 1 3

2

2

2

1

2 0

tangent 0 3

3 1 3

4.2.2 Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol Sigui O l’origen del pla. Recordeu que tot angle queda determinat per dues

semirectes. La part positiva de l’eix d’abscisses i una altra semirecta L d’origen O. Si dibuixem una circumferència C centrada a l’origen i de radi R=1, la

semirecta L i la circumferència C es tallen en un punt ( , )P x y . Les raons

trigonomètriques de l’angle es poden representar de la següent manera:



TRIGONOMETRIA 4

Observació: De les definicions que hem donat, com sigui que C te radi unitat,

es dedueix que es compleix que: 1 sin 1 , i que 1 cos 1 .

Les raons trigonomètriques de qualsevol angle es poden relacionar sempre amb les d’un altre angle situat en el primer quadrant.

Un angle del segon quadrant es pot representar sempre per 180º-α, on α és un angle del primer quadrant.

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

Un angle del tercer quadrant es pot representar sempre per 180º+α, on α és un angle del primer quadrant.

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

Un angle del quart quadrant es pot representar sempre per 360º-α, on α és un angle del primer quadrant.

sin(360 ) sin

cos(360 ) cos

tan(360 ) tan

És important que recordem els signes de les raons trigonomètriques principals en cadascun dels quadrants:



TRIGONOMETRIA 5

4.2.3 Raons trigonomètriques de diversos angles

Teorema (fórmules d’adició): Siguin i dos angles qualssevol, aleshores:

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tan

tan1 tan ·tan

, quan tingui sentit.

Corol·lari (Raons trigonomètriques de l’angle doble): si en les expressions

anteriors, fem obtenim per l’angle 2 :

sin 2 2sin cos

2 2cos 2 cos sin

2

2 tantan 2

1 tan

, quan tingui sentit.

Corol·lari (Raons trigonomètriques de l’angle meitat):

1 cos

sin2 2

1 cos

cos2 2

1 cos

tan2 1 cos

.

Corol·lari (Transformacions de productes en suma): també conegudes com les fórmules de Simpson (Thomas Simpson 1777-1818). Siguin A i B, dos angles qualssevol, es compleix que:

sin sin 2sin cos2 2

A B A BA B

sin sin 2cos sin2 2

A B A BA B

cos cos 2cos cos2 2

A B A BA B

cos cos 2sin sin2 2

A B A BA B



TRIGONOMETRIA 6

Però... quantes raons trigonomètriques existeixen?

I ja està, no? Les úniques raons trigonomètriques són sinus,

cosinus, tangent, secant, cosecant i cotangent. Això és el que posen

en tots els llibres i en els temaris, tanmateix sí existeixen més raons

trigonomètriques! Històricament se n’han fet servir d’altres que, en el seu

moment, foren útil. Veiem-les:

Versinus: versen( ) 1 cos( )

Vercosinus: vercos( ) 1 cos( )

Coversinus: coversen( ) 1 sin( )

Covercosinus: covercos( ) 1 sin( )

Semiversinus: versin( )

semiversen( )2

El semiversinus (haversin en anglès) era molt conegut i utilitzat en navegació ja

que es feia servir per al càlcul de distàncies entre dos punts d’una esfera donades

les latituds i les longituds dels punts.

Semivercosinus: vercos( )

semivercos( )2

Semicoversinus: coversin( )

semicoversin( )2

Semicovercosinus: covercos( )

semicovercos( )2

Exsecant: exsec( ) sec( ) 1

Excosecant: excosec( ) cosec( ) 1

L’exsecant, que avui en dia ja pràcticament no es fa servir, va ser molt important

en agrimensura, astronomia i trigonometria esfèrica.



TRIGONOMETRIA 7

4.3 Teoremes d’aplicació:

En tota la secció quan ens referim a un triangle sempre entenem que els seus vèrtexs són A, B i C, els costats oposats a cada vèrtex són a, b i c, tal i com es veu en la figura i tal i com va proposar Leonhard Euler. Quan ens referim a p ens referim al

semiperímetre del triangle: 2

a b cp

.

Teorema del sinus: Sigui C la circumferència circumscrita a un triangle i sigui R el seu radi. Aleshores en qualsevol triangle es compleix:

2sin sin sin

a b cR

A B C

Teorema del cosinus: En qualsevol triangle es compleix que:

2 2 2 2 cosa b c bc A

Els teoremes del sinus i dels cosinus ja els utilitzava d’alguna manera o altra Euclides al s.III aC però sense aquesta notació, ja que les paraules sinus i cosinus i el seu ús el van estendre els àrabs uns quants segles més tard. Qui els popularitzà dins la matemàtica europea fou el matemàtic francès François Viète al s.XVI. Observació: Però quan haurem d’aplicar el teorema del sinus o bé del cosinus en la resolució de triangles no rectangles? El teorema del cosinus l’aplicarem quan d’un triangle coneixem dos costats i l’angle que formen o bé si en coneixem els tres costats. En qualsevol altre cas aplicarem el del sinus. Teorema de Briggs: (Henry Briggs 1561-1630) En qualsevol triangle es compleix que:

( )( ) ( )sin cos

2 2

A p b p c A p p a

bc bc

Teorema d’Heró: (Heró d’Alexandria s.I aC) La

superfície de qualsevol triangle és

( )( )( )S p p a p b p c .

Corol·lari (del radi de la circumferència inscrita): Sigui C la circumferència inscrita a un triangle, sigui r el seu radi, p el semiperímetre del triangle i S la

superfície d’aquest triangle. Aleshores: ·S r p .



TRIGONOMETRIA 8

PROBLEMES DE TRIGONOMETRIA

Resolució de triangles rectangles.

1. Resol els següents triangles rectangles: a) a=15 cm, B=27º (Sol: b=6,81 cm; c=13,4 cm; C=63º) b) b=12,5 cm, B=75º (Sol: a=12,94 cm; c=3,35 cm; C=15º) c) a=13 cm, b=12 cm. (Sol: c=5 cm; C=22,6º; B=67,4º) d) B=16,2 cm, c=15,8 cm (Sol: a=22,63 cm; B=45,7º; C=44,3º)

2. Calcula l’àrea d’un triangle sabent que a=25 cm, b=30 cm, C=30º.

(Sol: 187,5 cm2)

3. L’angle d’observació del punt més alt d’una torre és de 38º. Si fem l’observació a 60 m del peu de la torre i a 1,15 m de terra, calcula l’alçaria de la torre. (Sol: 48 m)

4. Calcula l’altura d’un triangle isòsceles, sabent que els costats iguals fan

11 m cadascun i que l’angle comprès és de 40º. (Sol: 8,43 m)

5. Amb quin angle es veu un edifici de 20 m d’alçada, des d’un punt que dista 16 m de l’edifici? (Sol: 51,3º)

6. Durant la maniobra d’enlairament, un avió ascendeix 300 m per cada 8 km de desplaçament horitzontal. En el suposat cas que la seua trajectòria sigui rectilínia, calcula l’angle format per aquesta trajectòria i el terra. (Sol: 2,15º)

7. L’ombra que projecta una torre quan els raigs del sol tenen una inclinació de 23º és de 12,5 m.

a) Calcula l’alçada de la torre, i després l’ombra. b) Calcula l’ombra quan la inclinació dels raigs és de 35º.

(Sol: a) 5,31 m; b) 7,58 m)

8. Calcula el perímetre d’un octògon regular inscrit en una circumferència de 6 m de radi. (Sol: 36,74 m)

9. Des de la vora d’un riu, observem la part alta d’un arbre situat a l’altra

vora, sota un angle de 60º. Si ens allunyem 10 m de la vora, l’angle d’observació és de 45º. Calcula l’alçada de l’arbre i l’amplada del riu.

(Sol: 23,73 m; 13,7 m)

10. Des de terra veiem el terrat d’un gratacels sota un angle de 60º. Amb quin angle el veuríem des d’una distància al peu del gratacel doble de l’anterior? (Sol: 40,9º)



TRIGONOMETRIA 9

11. Una estructura metàl·lica té la forma i les dimensions de la figura:

Troba la longitud dels pals AB i BE i la mesura dels angles A, C, EBD i ABC. (Sol: AB=7,21 m; BE=4,47 m; A=C=33,7º; EBD=53,14º; ABC=112,62º)

12. Una línia d’alta tensió passa per dos transformadors T i T’. Aquest és un plànol de la línia:

a) Calcula la longitud dels tres trams de cable. (Sol: a=346,4 m; b=600 m; c=424,3 m)

13. Els espeleòlegs utilitzen un rodet per a mesurar la profunditat. Deixen anar fil de rodet i mesuren la longitud i l’angle que forma amb l’horitzontal. Troba la profunditat del punt B. (Sol: 67,19 m)

14. Des del lloc on em trobo, la visual de la torre forma un angle de 32° amb l’horitzontal. Si m’hi aproximo 15 m, l’angle és de 50°. Quina és l’alçària de la torre?

(Sol: 19,4 m)



TRIGONOMETRIA 10

Raons trigonomètriques.

15. Calcula les raons trigonomètriques de l’angle en els següents casos:

a) 1

sin ; I quadrant5

b) 1

sin ; I quadrant4

b) 12

cos ; II quadrant13

d) tan 2; II quadrant

e) 1

tan ; III quadrant2

f) sec 3; III quadrant

g) cotan 4; IV quadrant h) 3

tan ; II quadrant4

i) 5

cosec ; III quadrant4

j) 2

cos ; II quadrant3

k) sec 4; IV quadrant l) cosec 2 2; II quadrant

Demostració d’igualtats trigonomètriques.

16. Simplifica les següents expressions:

a) 2 2

2

sec cos

tan

b)

2

cosec

1 cot

c)

2 2

2 2

cosec sin

cosec 2 cos

d) 2

2

sin 2 sin·

1 cos cos

e)

sin sin 3

cos cos3

a a

a a

f)

sin 3 sin 5

cos3 cos5

a a

a a

g) sec

cosec ·tan

a

a a h)

2

sec

1 tan

a

a i)

2sin

1 cos

a

a

17. Comprova les següents identitats trigonomètriques:

a) 2 2 2 2sec cosec sec ·cosec

b) 2

2

1sin

1 cot

c) cos tan

cot seccos ·tan

d) 1 tan

sin cossec

e)

sin tan ·cot 1

sin tan ·cot 1

a b a b

a b a b

f) tan 45 tan 45 2tan 2

g)

22sin sincos

tan 2 cos

x xx

x x

h) 2 2tan

cos sintan 2 tan

i) 2 2sec cos 1 2 tan ·cos

j) 2

2

2

cotcos

1 cot

k) 2 2 2 2tan sin tan ·sin

l) 2 2 2

sin ·cos tan

sin cos tan 1

m) tan tan

tan ·tancot cot

a ba b

a b

n) sin

tan tancos ·cos

x yx y

x y

o) sin 45

1 tancos 45·cos a



TRIGONOMETRIA 11

Equacions trigonomètriques

18. Resol les següents equacions i sistemes:

2 2

2 2

2

2

sin cos 21)

csc sec 2 2

3sin cos

42)

1cos sin

4

sin sin sin 30º3)

cos cos 1 cos30º

3sin cos

44)

5sin cos

4

sin 25)

cos 1

sin sin 16)

cos cos 1

1 sin

7)1

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

2sin

2

sin sin 18)

sin sin 1

sin 2 sin9)

tan 3 tan

tan 2 cot10)

tan cot 2

sin sin 111)

2 2 180º

x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

19. Quants angles hi ha que compleixen l’equació sin 2cos 4x x . I

quants n’hi ha que compleixen que sin cos 1x x .

2 2

2

2

2

2

2

1) cos 2 sin

2) cos 2 sin 1

13) sin 2 cos 2

2

4) 2cos cos 2 cos 0

5) sin cos 2 4sin

6) tan 2 cot

7) sec 2 cot

8) cot 1 csc

9) 3cos sin 2

10) sin 3 sin 2 sin

11) 1 2 tan 3tan

12) 4cos 2 3cos 1

113) sin 2

2

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

2

2

cos

14) cos sin cos3

15) 3cot 4 tan

16) 2cos 4sin 32

17) cos 2 cos 6 sin 5 sin 3

18) 4 tan 3tan 12 2

19) cos 2 sin 4sin

cos 320)

tan 2

21) 4sin 30º cos 30º 3

22) 2 tan 3cot 1 0

2 323) sec5

3

2

x

x x x

x x

xx

x x x x

x x

x x x

x

x

x x

x x

x

3

2

4) sin 2 cos 6sin

sin tan25)

2 4

x x x

x x



TRIGONOMETRIA 12

Resolució de triangles no rectangles.

20. Des dels dos extrems de la badia

d’Alcúdia (Mallorca), que estan a 15,25 km l’un de l’altre, es pot veure el cim del Puig Major. Un equip de topògrafs ha mesurat els angles que es poden veure en aquest croquis, on A i B són els dos extrems de la badia i C és el peu del cim. A més l’angle d’elevació del cim calculat des de A, és de 3º. Calculeu: a) L’angle entre la línia AC i la línia BC. b) L’alçària del cim

21. Per mesurar l’altura d’un núvol s’han fet

simultàniament dues observacions des de dos punts A i B distants entre si un quilòmetre i situats tots dos a nivell del mar. La inclinació de la visual des de A al núvol respecte a l’horitzontal és de 47º. Els angles que formen les visuals des de A i des de B amb la recta AB són de 38º i 53º tal com s’indica en la figura següent. Calculeu l’altura sobre el nivell del mar.

22. Una avioneta, vola a 1000 m d’altura. Quan està situada en un punt P veu dos pobles A i B amb visuals que formen angles de 10º i 20º respecte de l’horitzontal. Aquestes visuals no estan alineades i formen entre elles un angle de 26º. Suposem que el terreny és pràcticament pla. Quina és la distància que hi ha entre els pobles A i B

23. Volem mesurar l’alçada d’una torre que es troba a l’altra banda d’un llac. Des d’un punt A mesurem la inclinació de la visual al cim

de la torre i resulta ser de 21º. Ens desplacem 300 metres en línia recta fins a un punt B, mantenint-nos a la riba del llac. Els angles que formen les visuals des de A i des de B al cim de la torre amb la recta AB són de 79º i de 38º respectivament. Calculeu l’alçada de la torre



TRIGONOMETRIA 13

24. Suposem que les òrbites de la terra i de Venus al voltant del sol són cercles de radis respectius 15·107 km i 10,9·107 km a) A quina distància es troba Venus de la Terra quan l’angle

d’observació Sol-Terra-Venus és de 20º b) A quina distància es trobaran la Terra i Venus quan l’angle Terra-

Sol-Venus sigui de 90º. (Sol: a) 237,1·106 km; b) 185,42·106 km)

25. Un pati te forma de quadrilàter de vèrtexs A, B, C i D . Sabem que BC = 80 metres, CD = 60 metres, AD=75 metres, la diagonal DB = 100metres i l’angle A = 78,7º. Calculeu a) La longitud del costat AB b) La longitud de la diagonal AC

26. Des d’un costat d’un barranc volem mesurar la distància entre els

punts A i B, situats a l’altra banda. Per fer-ho des d’un punt C, situat a la banda de l’observador, mesurem els angles ACD = 35º i BCD = 80º, en què D és un altre punt situat a 65 m de C i al mateix costat de C. Des del punt D mesurem l’angle ADC = 27º i BDC =89º. Quina és la distància AB?

27. Es vol mesurar l’amplada d’un riu. A una distància de 25 m d’una de

les ribes hi ha una torre de telecomunicacions de 35 m d’alçada. Pugem dalt de la torre i observem l’angle que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l’altra, que és de 20º. Feu un croquis de la situació i calculeu l’amplada del riu. (Sol: 26 m)

28. Les diagonals d’un paral·lelogram mesuren 30 i 20 cm i es tallen formant i es tallen formant un angle de 40º. Calculeu-ne els costats. (Sol: 9,75 cm i 23,55 cm)

29. El circ ha arribat a la ciutat de Lleida i s’ha d’instal·lar . L’especialista a muntar-lo encara no ha arribat i els altres no saben la quantitat de cable d’acer que necessiten. El més espavilat recorda que, un cop tensat el cable des de l’extrem del pal principal fins a un punt determinat de terra, amb el qual forma 60º, calen dos metres més de cable que si forma amb el terra un angle de 70º. En total han de posar sis cables tensats que formin amb el terra 60º. Quants metres de cable necessiten?

30. Calculeu l’angle x sabent que en el dibuix adjunt la distància BD és el triple de la distància BC. Fixeu-vos que en el dibuix adjunt hi ha l’angle x i l’angle 2x.



TRIGONOMETRIA 14

31. Al Pirineu ha sorgit un nou llac. Per mesurar-lo, els experts n’han fet un dibuix amb les dades corresponents. Ajuda’ls a calcular la distància BC.

32. Considereu el pentàgon regular inscrit en una circumferència de radi 10 cm. Des d’un vèrtex

dibuixem dos diagonals i considerem el triangle que determinen amb el costat del pentàgon que delimiten. Calculeu la seua superfície.

33. Dos circumferències de radi 1 cm són tangents. Sobre aquestes circumferències dibuixem el triangle ABC de la figura següent. Calculeu els costats i els angles d’aquest triangle.

34. Fixeu-vos en la figura que hi ha dibuixada. a) Si l’amplada de la quadrícula és de 5 cm,

calculeu els costats del triangle ombrejat.

b) Calculeu el radi de la circumferència inscrita en el triangle ombrejat.

35. Un triangle de vèrtex A, B, C té una superfície de 50 m2. Sabem que l’angle A=45º, i que l’angle B=30º. Calculeu els seus costats.

(Pista: utilitzeu la següent fórmula per l’àrea del triangle 1

sin2

S ab C )

Unitat 4: TRIGONOMETRIA - XTEC...TRIGONOMETRIA 2 4.1.2 Triangles semblants Definició: Dos triangles...

Documents

Transcript of Unitat 4: TRIGONOMETRIA - XTEC...TRIGONOMETRIA 2 4.1.2 Triangles semblants Definició: Dos triangles...