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GRM. Física I. Semestre 2012-1 1
UNIDADES 2 y 3
MECÁNICA
CINEMÁTICA
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Tomados de Physics, Serway, e-book, 2005
Fisica, Vol. 1 Ohanian/Markert, 2009
Tipler/Mosca 2005
Bauer, 2011
GRM. Física I. Semestre 2011-1 3
0
x
x
Posición • En movimiento unidimensional, los vectores tienen una sola
componente, la componente x.
• Se utiliza el símbolo x para denotar al vector posición
– Note que el vector x puede ser positivo o negativo, e inclusive cero;
pero su magnitud siempre es una cantidad positiva (o cero).
• Si el vector posición es función del tiempo: x(t) X(t)
t t1
X(t1)
GRM. Física I. Semestre 2011-1 4
Representación gráfica
Caso 1: velocidad constante Case 2: velocidad creciente Case 3: deteniéndose
Vista superior de un auto que circula por un camino recto
GRM. Física I. Semestre 2011-1 5
Desplazamiento • Es la diferencia entre la posición final y la posición inicial
• Es un vector y al igual que la posición, puede ser negativo
• Es independiente de la elección del origen y el sistema de
coordenadas. El desplazamiento para ir de un punto b a un
punto a es exactamente el negativo de ir de un punto a a un
punto b:
x x2 x1 (x1 x(t1), x2 x(t2 ))
xba xb xa (xa xb ) xab
GRM. Física I. Semestre 2011-1 6
Distancia • Para movimiento unidimensional, la distancia
es el valor absoluto de la componente x del
vector desplazamiento
• La distancia siempre es positiva (o cero)
• La distancia es un escalar, el desplazamiento
es un vector.
x
GRM. Física I. Semestre 2011-1 7
Ejemplo: Segmentos de viaje
La distancia entre Des Moines y Iowa es de 170.5 km. Más o menos a la mitad de las dos ciudades, esta la ciudad de Malcom, a 89.9 km de Des Moines.
– Si se viaja de Malcom a Des Moines y luego a Iowa,
¿Cuál es la distancia total y cuál es el desplazamiento total para esta viaje?
Question:
If we take a round trip Des Moines – Iowa City – Des Moines, what is the total distance and displacement for this trip?
Malcom
GRM. Física I. Semestre 2011-1 8
Vector Velocidad • Velocidad promedio
– El desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo durante el cual el
desplazamiento tiene lugar
• Velocidad (Instantánea)
– Se obtiene en el límite en que el intervalo de tiempo, de la velocidad
promedio, se aproxima a cero
0 0
( ) lim limt t
x dxv t v
t dt
t
xvx
GRM. Física I. Semestre 2011-1 9
Ejemplo: Dependencia de la velocidad con
respecto al tiempo
• El vector posición, entre 0 y 10 s , para un auto que circula por un camino
recto está dado por la expresión
¿Cuál es la velocidad del automóvil como función del tiempo?
¿Cuál es la velocidad media del automóvil durante el intervalo?
x(t) 17.2 m (10.1 m)(t / s)+(1.1 m)(t /s)2
GRM. Física I. Semestre 2011-1 10
Rapidez
• Es el valor absoluto del vector velocidad
• Note que la velocidad es un vector, pero la
rapidez es un escalar
• Su relación con la distancia:
xv speed
t t
GRM. Física I. Semestre 2011-1 12
Ejemplo: Rapidez y velocidad
Suponga que una nadadora termina los
primeros 50 m de los 100 m estilo libre
en 38.2 s. Una vez que llega al
extremo opuesto de la piscina de 50 m
de largo, se vuelve y nada de regreso
al punto de partida en 42.5 s
¿Cuáles son la velocidad media y la
rapidez media de la nadadora para:
a) el tramo desde la salida hasta el lado
opuesto de la piscina
b) el tramo de regreso
c) la distancia total recorrida?
GRM. Física I. Semestre 2011-1 13
Vector Aceleración
• Aceleración promedio
– Cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo
• Aceleración (Instantánea)
– Se obtiene en el límite en que el intervalo de tiempo, para la velocidad
promedio, se aproxima a cero
0 0( ) lim lim
t t
v dva t a
t dt
x
va
t
GRM. Física I. Semestre 2011-1 14
Aceleracion instantánea
• La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración promedio conforme t se
aproxima a 0
2
20lim x x
xt
v dv d xa
t dt dt
• La pendiente del gráfico de velocidad vs. tiempo es la aceleración
• La línea verde representa la aceleración instantánea
• La línea azul es la aceleración promedio
EJEMPLO: Cuando se está viajando en automóvil en
un camino recto, se puede estar viajando en sentido
positivo o negativo, y se puede tener una aceleración
positiva o negativa. Asocie las siguientes
combinaciones de velocidad y aceleración
GRM. Física I. Semestre 2011-1 15
a) Vel (+), acel (+)
b) Vel (+), acel (-)
c) Vel (-), acel (+)
d) Vel (-), acel (-)
1. Desacelerando en el
sentido positivo.
2. Acelerando en el
sentido negativo.
3. Acelerando en el
sentido positivo.
4. Desacelerando en el
sentido negativo.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 16
Aceleración y Velocidad
• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están
en la misma dirección, el objeto incrementa su rapidez.
• Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están
en dirección opuesta, el objeto desacelera.
• El carro se mueve con velocidad constante positiva (mostrada por las
flechas rojas que se mantienen del mismo tamaño).
La aceleración es igual a cero.
Observe el Bat-móvil:
GRM. Física I. Semestre 2011-1 17
• La velocidad y la aceleración están en la misma dirección.
• La aceleración es uniforme (las flechas azules se mantienen en la misma longitud)
• La velocidad se incrementa (flechas rojas más largas)
Esto muestra una aceleración positiva y una velocidad positiva.
• La aceleración y la velocidad están en direcciones opuestas.
• La aceleración es uniforme (las líneas azules se mantienen en la misma longitud)
• La velocidad decrece (las flechas rojas se hacen más cortas)
La velocidad es positiva y la aceleración negativa.
Observe :
These are not IAAF official splits but splits extracted from high speed video analysis
GRM. Física I. Semestre 2012-1 19
Datos para segmentos de 10 m, para los últimos 20 años. Se incluye el tiempo de reacción (RT = reaction time) para el segmento 0 – 10 m .
Hasta la llegada de Bolt, 0.83 s para recorrer 10 m era el record de velocidad.
0.83 s para recorrer 10 m se traduce en 12 m/s, o casi 27 millas por hora,
o 43 km /h. (note: un guepardo corre a 28 m/s)
GRM. Física I. Semestre 2011-1 20
Ejercicio para hacer en casa (no se entrega)
Record mundial de 100 m planos • En 1991, Carl Lewis estableció un nuevo record mundial de
100 m planos. La lista muestra los tiempos en los que llegó a
las marcas de 10m, 20, m etc..
Determine los valores de velocidad media
y aceleración media empleando las
ecuaciones pertinentes. Vea los ejemplos
f i
i f
f i
x xxv
t t t
f i
i f
f i
v vva
t t t
GRM. Física I. Semestre 2011-1 21
Movimiento con aceleración constante
a) Aceleración contra tiempo para movimiento con aceleración constante; esta gráfica muestra un valor constante de 2.0 m/s2
b) Velocidad contra tiempo; esta gráfica es una línea recta de pendiente de 2.0 m/s2
c) Gráfica de posición contra tiempo; la gráfica es una parábola.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 22
Gráfico de la curva de movimiento:
desplazamiento vs. tiempo
• La pendiente de la
curva es la
velocidad.
• La línea curva indica
que la velocidad es
cambiante
– Y por lo tanto, hay
aceleración !
GRM. Física I. Semestre 2011-1 23
Gráfico de la curva de movimiento:
curva velocidad vs. tiempo
• La pendiente da la
aceleración.
• La línea recta indica
aceleración
constante.
GRM. Física I. Semestre 2011-1 24
• La pendiente cero
indica aceleración
constante.
Gráfico de movimiento: curva
aceleración vs. tiempo
GRM. Física I. Semestre 2011-1 25
Ecuaciones cinemáticas para el caso
especial de movimiento con aceleración
constante, donde t0 = 0 (tiempo inicial)
Además vx prom = ½ (vxf + vxi)
GRM. Física I. Semestre 2011-1 26
Ejemplo: Movimiento con aceleración
constante
Mientras un avión se desplaza por la pista de un portaaviones, para
alcanzar la rapidez de despegue, se acelera por sus motores de
propulsión a chorro. En un vuelo específico se ha determinado que la
aceleración promedio es de ax = 4.3 m/s2. Bajo la suposición de
aceleración constante y partiendo del reposo,
a) ¿cuál es la velocidad de despegue del avión después de 18.4 s?
b) ¿qué distancia ha recorrido el avión en la pista hasta el momento
del despegue?
Respuesta: Vx = 79 m/s x = 7.3 x102 m
GRM. Física I. Semestre 2011-1 27
Ejemplo: Movimiento con aceleración
constante
Acelerando desde el reposo, un auto de carreras puede llegar
a 333.2 millas por hora (mph) al final de ¼ de milla.
Si se considera que la aceleración constante…..
¿Cuál es el valor de la aceleración constante (m/s)?
¿Cuánto tiempo tarda el auto de carreras en recorrer un
cuarto de milla desde el arranque?
Respuesta: ax = 27.6 m/s2 t= 5.40 s
28
Reto para Ud: Movimiento con
aceleración constante
Considere el siguiente problema, también sobre
portaaviones:
Un jet aterriza en un portaaviones a 63 m/s.
a) ¿Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2.0
s debido a un cable de arresto que traba el jet y lo deja
en reposo?
b) Si el jet toca al portaaviones en x0 = 0, ¿cuál es su
posición final?
Respuesta para Ud.: ax = - 32 m/s2 xf = 63 m
GRM. Física I. Semestre 2011-1 29
Ejemplo 2: Movimiento con aceleración
constante. Dos objetos en movimiento
En una zona de hospitales, un vehículo va con una rapidez de 100 km/h.
Un coche de policía que se encuentra estacionado por ahí, arranca cuando
ve pasar al infractor y acelera con una velocidad constante de 7 m/s2
a) ¿Cuánto tiempo tarda el coche de policía en alcanzar al vehículo infractor?
b) ¿Qué velocidad lleva el coche de policía cuando le alcanza?
c) ¿Qué distancia han recorrido los coches en el punto de alcance?
Respuesta para Ud.: t= 8 s vp = 56 m/s xp = xv = 220 m
30
Un automóvil que viaja con
rapidez constante de 45.0 m/s
pasa por donde un patrullero
en motocicleta está oculto
detrás de un anuncio
espectacular. Un segundo
después de que el automóvil
pasa el anuncio, el patrullero
sale de su escondite para
detener al automóvil, que
acelera constantemente a 3.00
m/s2.
¿Cuánto tiempo tarda en
darle alcance al automóvil?
Respuesta para Ud.: t = 31 s
Ejemplo 2: Movimiento con aceleración
constante. Dos objetos en movimiento