UNIDAD No. 5 Series Series y criterios de convergencia.
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UNIDAD No. 5Series
Series y criterios de convergencia
SERIES
El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {an} es la sucesión a1, a2, a3,..., an, ..., entonces la suma a1+ a2+ a3+ … + an+ … se le llama serie infinita.
Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman los términos de la serie; ak se denomina término general.Se presentará una serie infinita en forma compacta como:
1kka
SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
Para cada serie infinita existe una sucesión de sumas parciales {Sn}, definida como sigue:
1kka
nn aaaaS
aaaS
aaS
aS
321
3213
212
11
CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA
Se dice que una serie infinitaes convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es,
El número S es la suma de la serie.
Si no existe, se dice que
la serie es divergente.
1kka
SSn
Lima n
kk
1
nSn
Lim
SERIES TELESCÓPICAS
Determine si la serie infinita:es convergente o divergente
1 )3)(2(
1
k kk
SERIES GEOMÉTRICAS
A una serie infinita de la forma:
se le denomina serie geométrica.
12
1
1 n
k
k arararaar
CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS
Una serie geométrica converge apara |r|<1 y diverge para |r|>1.
Demuestre lo anterior. Para ello:1. Determine Sn
2. Multiplique Sn por r
3. Efectúe la diferencia Sn-rSn
r
a
1
PROBLEMA
Determine si la serie infinita es convergente o divergente. En caso de ser convergente, determine el valor de la suma.
1 10
3
kk
SERIES ARMÓNICA
Demuestre que la serie armónica
es divergente.
4
1
3
1
2
11
1
1k k
CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE
TEOREMA:
Si la serie es convergente, entonces:
Si no existe o si el ,
entonces la serie diverge.
1kka
0 kak
Lim
kak
Lim
0
kak
Lim
1kka
PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE LA SUMA
Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente y an=f(n).
Entonces, la serie es convergente si y solo si la integral impropia: es convergente.
1kka
1
)( dxxf
PROBLEMA Determine si la serie: es convergente.
Estime el valor de la suma.
Determine si la serie: es convergente.
12
1
k k
¨
1
1
k k
SERIE P
La serie p:
converge si p>1 y diverge cuando p<1.
1
1
npn
PRUEBAS DE COMPARACIÓN
En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.
TEOREMA
Suponga que y son series de términos positivos.Entonces:
Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge.
Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge.
1kka
1kkb
1kkb
1kka
1kkb
1kka
PROBLEMA
Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:
1
)ln(
n n
n
PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE
Suponga que y son series con términos positivos.
Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.
1kka
1kkb
cb
a
n
Lim
n
n
PROBLEMA
Pruebe la convergencia o la divergencia de la serie:
Utilice la prueba de comparación en el límite considerando:
y .
1 12
1
kk
12
1
kna knb 2
1
SERIES ALTERNANTES
Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos (alternando signo).
Ejemplos:
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
)1(
1
1
n
n
n
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1)1(
1n
n
n
n
PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE
Si la serie alternante:
bn>0 satisface las siguientes dos condiciones:
1. bn+1 < bn para toda n.
2.
entonces la serie converge.
654321
1
1)1( bbbbbbbn
nn
0 nbn
Lim
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ
La serie: es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos converge.
1kka
1nna
PROBLEMA
Muestre que la serie: es absolutamente convergente.
12
1)1(
n
n
n
PRUEBA DE LA RAZÓN
Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y por lo tanto converge).
Si o ,
entonces la serie diverge.
11
La
a
n
Lim
n
n
1nna
11
La
a
n
Lim
n
n
n
n
a
a
n
Lim1
1nna
PROBLEMA
Pruebe la convergencia absoluta de la serie:
1
3
3)1(
nn
n n
PRUEBA DE LA RAÍZ
Si , entonces la serie
es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente).
Si o , entonces la serie es divergente.
1
Lan
Limn
n
1nna
1
Lan
Limn
n
n
nan
Lim
1nna
PROBLEMA
Compruebe la convergencia de la serie:
1 23
32
n
n
n
n