Unidad III de Física II, correspondientes a : INDICE · Fuerza Magnética sobre una Carga 02...
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1 Guías de Física II. IV UNIDAD DE FÌSICA II.(20%) Docente: Ing: Freddy Caballero. 2018
Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre
Vice-Rectorado de Barquisimeto Sección de Física
S
N
N
S
N S
F:3.1
F:3.2
Unidad III de Física II, correspondientes a :
INDICE CONTENIDO PAGINA
Introducción 01
Tipos de Imanes 02
Fuerza Magnética sobre una Carga 02
Fuerza de Lorentz (Selector de velocidad) 07
Espectrómetro de Masa 10
Efecto Hall 11
Fuerza Magnética sobre un Conductor 12
Momento Dipolar y Torque 14
Ley de Biot-Savart 27
Ley de Ampere 20
Problemas 22
3.1-.Introducción
Hace ya màs de 2000 años que los griegos sabían que cierto material ( llamado ahora magnetita en relación a la ciudad de "Magnesia" en Asia Menor, de ahí el término magnetismo).
Este mineral tenía y tiene la propiedad
de atraer piezas de hierro.
En la actualidad se le llama imán, y pueden ser naturales y artificiales, en el caso de los naturales cualquiera que sea su forma (ver figura 3.1) , posee dos polos, llamados polo norte ( dónde están las cargas positivas) y polo sur (dónde están las cargas negativas).
Entre las observaciones se noto que, al aproximar polos iguales se
produce entre ellos una fuerza de repulsión y polos distintos se atraen.
El conocimiento del
magnetismo se mantuvo limitado a los
imanes, hasta que en 1820, Hans Christian Ørsted profesor de la Universidad de Copenhague, descubrió que un hilo conductor sobre el que circulaba una corriente ejercía una perturbación magnética a su alrededor, que llegaba a poder mover una aguja magnética situada en ese entorno.
El contenido de esta unidad, se indica en el siguiente diagrama (figura 3.2), con la idea de tener una visión màs clara de los temas a tratar en esta guía de ejercicios.
Desarrollo de la asignatura para esta unidad., se muestra en la
figura 3.3 ¿Cómo se produce el campo Magnético “B” ( también
conocido como inducción Magnética).
Magnetismo
Fuerza Magnétic
a (F)
Métodos para determinar el
campo Magnético (B)
Sobre una carga en movimiento:
F = q ( v x B )
Ley de Biot-Savart Ley de Ampere
Que produce un
conductor que transporta una
corriente movimiento:
F = I ( dl x B )
APLICACIONES:
• Selector de Velocidad.
• Espectrómetro de masa.
• Ciclotrón (*).
• Torque.
• Momento
Dipolar. • Efecto Hall.
F:3.3
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B B
S N
F:3.4
El campo magnético “B”, puede ser generado de dos formas: a-. Por medio de un Imán natural o artificial. b-. Por medio de un conductor al cual se le hace “pasar “ una corriente
“I”.
3.2-. El Imán y tipos Imanes. Definición de Imán: Es un objeto que tiene magnetismo, que es la propiedad de atraer el hierro, níquel y sus aleaciones. Los imanes pueden ser: 1.1-. Naturales, por poseer la propiedad de atraer en forma natural. 1.2-.Artificiales, adquieren la
propiedad (magnetismo) por imantación.
En la figura 3.4, se muestra,
un imán (recto) con sus dos polos y la dirección y sentido del campo magnético “B” los imanes artificiales más comunes:
La unidad del campo
magnético “B” en el Sistema Internacional ( SI ) es el TESLA.
(Tesla = Newton/Ampere-mts).
Esta unidad (tesla) es bastante grande, por ejemplo el campo
magnético terrestre es algo menor a 10-4Tesla en la superficie de la tierra. Los campo magnéticos próximos a imanes permanentes suelen ser
de 0,1 a 0,5 tesla y los grandes electroimanes ( un cables enrollado sobre una núcleo, por donde “pasa” una corriente) producen campos entre 1 y 2 Teslas, los campos superiores a 10 Teslas son muy difíciles, debido a que
las fuerzas magnéticos resultantes “romperían los imanes en pedazos o los aplastarían..
Existe otra unidad que se puede utilizar para expresar el campo magnético (sistema cgs) llamado el Gauss (G), que se relaciona con el Tesla por medio de: 1G= 10-4 T
El campo magnético a igual que el campo eléctrico es vectorial , las líneas de campo magnético se pueden visualizar con las llamadas “LINEAS DE CAMPO MAGNETICO” ,que son líneas continuas que corren paralelas a la dirección del campo en cada punto y cuya densidad (definida como el número de líneas por unidad de área ) es proporcional a la intensidad de campo.
1.3-. Ahora si el caso es un conductor el cual transporta una corriente “I”, se aplica la “Regla de la Mano Derecha” (Yo la llamo la regla de mano derecha versión ampere “RMDA”). Uno debe colocar el dedo “pulgar” sobre el conductor en la dirección de la corriente y “cierra” el resto de los dedos (como que quisiera agarrar el conductor) este movimiento de los dedos nos indica cómo se encuentra orientado el campo magnético alrededor del conductor.
En la figura 3.5. y 3.6, se
aplica esta regla y por esa razón el campo lleva la dirección señalada.
Observe que el campo alrededor de un conductor no contiene un polo magnético, como en el caso de los imanes (naturales y artifíciales).
F:3.6
I
B B F:3.5
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a)
b)
B
B
F:3.7
Si el campo magnético “entra” al papel se representa por medio de una (X).ver figura 3.7 (a). Ahora, si el campo
“sale” de la pagina, se indica de la siguiente manera. Ver figura 3.7 (b)
3.3-. Fuerza Magnética.
Una vez definido el campo magnético, podemos continuar e investigar
sus efectos, y determinar las leyes de fuerza relacionadas con el magnetismo.
3.3.1-.Fuerza sobre una carga en movimiento.
Una partícula con carga “Q”, moviéndose a una velocidad V en un campo
B , experimenta una fuerza magnética F dada por:
F= q (v x B) Ec: 1
Esta fuerza magnética hace que la carga tienda a describir una
trayectoria circular desde el momento en que está empieza actuar. Es importante indicar antes de continuar los siguientes aspectos de la ecuación Nº1.
1. La fuerza magnética es proporcional a la carga “q” y a la velocidad “v
” que lleva la partícula cargada en el campo “B”. La fuerza es
perpendicular al movimiento de la partícula y al campo magnético (porque se obtiene de un producto cruz).
2. Si la carga es neutra, no existe fuerza magnética sobre ella porque
“q=0”, por lo tanto la carga se mueve en línea recta y no modifica su trayectoria.
3. Cuando la carga se mueve con una velocidad ( v ) paralela al campo
magnético (B), es decir, el vector de la velocidad y del campo
magnético son paralelos o antiparalelo),en este sentido, la fuerza Magnética sobre la carga es cero y su trayectoria no sufre variaciones, y se sigue moviendo en línea recta. Observen que en las
condiciones “2 y 3” el movimiento de la carga no se ve afectado, por circunstancias distintas que siempre hay que tenerlas presente.
En la figura 3.8., se
muestra como deben colocar la mano (derecha) y los dedos para encontrar la dirección y sentido de la fuerza magnética que se ejerce sobre la carga, se imaginan un sistema de referencia conformado por los “tres” dedos, y cada uno le corresponde un vector.
Recuerden que siempre la carga tiende a describir una trayectoria circular en la dirección y sentido de la fuerza magnética.
Este sistema de
referencia nos permitirá encontrar con mayor facilidad los vectores, en la figura 3.9, se muestra el
sistema de referencia que vamos a emplear a lo largo de toda esta unidad.
Ejemplo Nº1:
Dada la siguiente trayectoria que trae una carga “Q” (F:3.10) y entra en una región donde hay un campo magnético “B”, en cada caso encontrar: la dirección y el sentido de la fuerza magnética. También indicar la trayectoria que va describir la carga.
F:3.8
F
v
B F:3.9
Z
Q Q v y
B x F:3.10
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• Paso Nº1: Caso Nº1:
Lo primero es establecer un
sistema de referencia, este nos
permitirá saber cómo se
encuentra los vectores de la
velocidad “ v “ y el campo
magnético “B “.
• Paso Nº2: Si colocamos la velocidad en el
eje “y” (dedo índice)y el campo
en el eje “x” (dedo medio),
solamente nos queda un eje
libre, que es el “Z”, ahí es
donde está la fuerza, al
aplicar la regla de la mano
derecha, nos queda el pulgar
indicando hacia abajo, es
decir, que la carga tiende
describir una trayectoria
circula tal como se muestra en
la figura 3.13.
• Paso Nº3: Se carga describe una
trayectoria circular hacia
abajo (porque la fuerza
magnética apunta hacia abajo
justo en el momento que entra
en la zona donde hay campo),
cuando la carga llega al punto
“P”, tiene la misma rapidez,
con que entro a la región.
Solamente va cambiando de sentido y dirección (como lo hace
una partícula en el movimiento circular en física I).
Otro dado importante, cuando la carga “sale por el punto “P”,
se mueve en línea recta, porque ya no hay campo en esa zona y por
lo tanto no existe fuerza magnética sobre ella. Prácticamente la
carga “dio la vuelta”, como un retorno. Por cierto si la carga “Q” es
negativa, se hace el mismo análisis con la “mano derecha”, pero al
final se invierte (180ª) el vector de la fuerza, es decir que la fuerza
magnética, va apuntar hacia arriba y por lo tanto la carga
(negativa) se describe una trayectoria circular hacia arriba.
• Paso Nº4:
II Caso: Se invierte el
sentido del campo magnético
(B = B (-i)). Al aplicar la
“Regla de la Mano
Derecha” (RMD), colocamos
el dedo índice en la dirección
y sentido de “v” y el dedo
media en el campo “B”, el
dedo pulgar indica como la
fuerza. (ver figura 3.13)
• Paso Nº5: III-.Caso, nos dicen que una
carga describe la siguiente
trayectoria (ver figura 3.14).
Esto implica que nos dan
como va orientada la fuerza
magnética y tiene una
velocidad vz, tal como se
muestra en la figura 3.14.
En este caso falta saber
hacia dónde se encuentra
dirigido el campo magnético,
para cumplir con las
condiciones dadas.
Vy
Bx
coloca el dedo Ӓndice en
“v”
B
v
F
Colocamos los vectores de velocidad y campo
F:3.11
Z
Q v y
B
X
p
F:3.12
Fz
Bx
vy
F:3.13
vZ
Bx
Fy
F:3.15
z
v
y x Q
F:3.14
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En este tipo de ejercicio y como todos los anteriores, es bueno, “fijar”
en cada eje los vectores que nos da el problema como datos; en este
caso, la velocidad en el eje “z” y la fuerza en el eje “y” (como la carga se
desvía hacia la derecha, la fuerza magnética apunta en ese sentido).
Finalmente el dedo “medio” (que representa el campo magnético) se
encuentra orientado hacia la parte positiva del eje “x”,
Para determinar la magnitud de la fuerza magnética se emplea la
siguiente ecuación:
F = │q││v││B│ sen Donde:
= es el ángulo entre el vector de la velocidad y el vector del campo magnético. (todos los datos en magnitud)
Ejemplo Nº2 ( Fuerza sobre una carga en movimiento) Se posee dos cargas (Q1 y Q2), se desconoce el signo de cada una, pero al entrar en una región donde existe un campo magnético “B”, que constante y se encuentra saliendo de la hoja, se observa que las cargas describen las trayectorias señaladas en la figura 3.16. Encuentre el signo de cada una.
Solución:
• Paso Nº1: Para esto se aplica la regla de la mano
derecha, y veamos que ocurre con cada carga
por separado.
• Paso Nº2: Para Q1: La trayectoria se marca en “línea segmentada” (ver figura
3.17).
Se procede a trasladar el vector de la velocidad hacia el campo
magnético “B”, quedando el dedo pulgar apuntando hacia abajo (ver
figura 3.18), como la carga Q1 (y también Q2) al entrar en una región
donde existe un campo magnético perpendicular a la trayectoria,
las cargas describen una trayectoria circular,
donde esta presente la fuerza centrípeta
(fc1), en este caso la fuerza magnética
“apunta en sentido contrario” a la
centrípeta, por lo tanto, la carga es
negativa.
• Paso Nº3: Para Q2: Igual que la parte anterior, la
trayectoria se marca en “línea
segmentada” (ver figura 3.18),
En este caso, se traslada el vector de la velocidad (carga Q2) hacia el
campo magnético “B”, quedando el dedo pulgar apuntando hacia
abajo, quedando en el mismo sentido de la fuerza centrípeta (fc2), por
lo tanto la carga es positiva. .
Ejemplo Nº3:( Fuerza sobre una carga en movimiento) Como tercer ejemplo, ahora se ilustra por completo la trayectoria descrita con un radio “r” por una carga “q” positiva, ver figura 3.19, cuando entra en una región donde existe un campo “B” uniforme. ¿Què información podemos obtener de esta experiencia para complementar el aprendizaje?
Solución:
• Paso Nº1:
La fuerza magnética sobre la carga siempre es perpendicular al
movimiento descrito por ella en ese punto y también lo es a la
F:4.6
Q1 Q2
B
F:3.16
fc1
V1
F1
B
F:3.17
F:3.19
q v
F fc
r
B
F:3.19
V1
F1
fc1
B
F:3.18
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F:4.20
Y
Z X
velocidad “v ” que ella posee, en este sentido la fuerza magnética no
ejerce trabajo y por lo tanto la energía cinética no sufre variación.
• Paso Nº2:
La fuerza magnética solamente cambia la dirección de la velocidad
pero no su magnitud (rapidez constante) por lo tanto el movimiento
es circular uniforme.
• Paso Nº3:
Las únicas fuerzas presentes en este tipo de experiencia son la
fuerza centrípeta (fc) y la fuerza magnética (F). que vienen dadas:
F = qvB (magnitud de la fuerza magnética) y fc = mac = m v 2/r Ec:2 Por segunda Ley de Newton nos queda: q v B=m v 2/r
El radio descrito viene dado: r = m v / [qB] , Ec:3
• Paso Nº4:
Nota: la ecuación #5 es válida cuando la velocidad es perpendicular
al campo magnético y además mientras más grande sea la magnitud
del campo, el radio descrito “r” es menor, por el hecho que la fuerza
magnética aumenta y la centrípeta también .
Si deseamos encontrar el diámetro es: D=2r = 2m v /mB Ec:4
Recordemos que v = w r. Ec:5
Donde “w” es la velocidad angular o frecuencia angular por lo tanto:
w= qB/m Ec:6
• Paso Nº5:
Por último si deseamos determinar el tiempo que tarda en dar una
vuelta la carga (periodo “T”), puede ser determinado por medio de:
T = 2/w = 2m/qB Ec:7
De esta ecuación el periodo es independiente de la velocidad de la
carga, es decir que al tener dos cargas con diferentes velocidades, el
tiempo que tardan en dar una vuelta es igual, asumiendo que la
carga es igual, su masa y el campo magnético. Más adelante veremos
una de las aplicaciones, llamado el ciclotrón.
Se recomienda crear un sistema de referencia en vista que vamos a
trabajar con un Producto Cruz [ qv x B], al establecer un sistema de
referencia el campo magnético se encuentra en un eje, vamos asumir
en la parte positiva de “Z” y la velocidad en la parte positiva del eje
‘Y’, el eje que nos queda “libre” es “X”, entonces ahí esta la fuerza,
queda aplicar la regla de la mano derecha para determinar el sentido
de la misma.
Ejemplo Nº4:( Fuerza sobre una carga en movimiento) Se posee un protón con una velocidad 2x107 m/seg. , describiendo una trayectoria semicircular (ver figura 3.20), el radio descrito tiene la siguiente longitud 4 cm., encontrar: a-. La distancia entre los puntos “a y b”. b-. Dirección, sentido y magnitud del
campo magnético. c-. El tiempo que tiene que emplear
cuando entra por el punto “a” y sale por el punto “b”.
Solución:
• Paso Nº1: D = 2r = 2x 4= 8 cm.= 0,08 Pts.
• Paso Nº2: Para dirección y el sentido, primero asumimos un
sistema de referencia, tal como el indicado en la
figura 3.21. Si vemos el vector de la velocidad “v”,
se encuentra en el eje “y” en sentido “j”, la
llamaremos vy.
• Paso Nº3
B
r
a b
v
Q F:3.20
F:3.21
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Q1
B1
Q1
B2
Q1
B3
F:3.22
En relación a la fuerza magnética, la cual se genera, justo en el
momento en que entra la carga ( q) (en el punto “a”), si aplicamos la
“RMD”, se encuentra en el eje “x” en sentido “i”, denominada Fx.
Queda “libre” el eje “z” (recuerde que en el eje “y” se encuentra la
velocidad y en “x” la fuerza), por lo tanto, en el eje “z” va estar el
campo magnético, ahora para saber su sentido, se aplica :
qB =[ Fx x q v y], y nos da un en sentido “k” , es decir saliendo de la
pagina.
• Paso Nº4: Para la magnitud empleamos la ecuación #3,
r = m v / [qB], donde B + m v /[qr]
• Paso Nº5: Para el tiempo, podemos usar dos maneras: Una si encontramos el
periodo (T) y lo dividimos por dos (
recuerde que el periodo es el tiempo
empleado para una vuelta o ciclo), en este
caso es media vuelta, que es lo que hace
la carga.
T = 2m/qB , donde
m = 1,67x10-27 kg
q = 1,60x10-19 c
La segunda manera es, empleando la
longitud de arco l=r y con la velocidad
del protón ( que es constante, solamente
varía en sentido y dirección), se utiliza la
ecuación v =d/t, dónde d=l entonces t=
r/ v
Ejemplo Nº5:( Fuerza sobre una carga en movimiento) Se presentan tres casos con la carga “Q1 “, para cada uno campo magnético distinto, denominados “B1, B2 y B3”, las
trayectorias para cada campo se describen en la figura 3.22, se asume que la velocidad es la misma, ¿qué se puede decir en relación a la magnitud de cada campo magnéticos?
Solución:
• Paso Nº1:
De la ecuación: r = m v / [qB], el radio depende del campo (también de
la masa, la velocidad y de la carga pero son constantes), porque, el
ejercicio no dice lo contrario, y se asume esa condición. Entonces, esto
implica que a mayor campo el radio descrito es menor (por ser
inversamente proporcionales), entonces B1>B2>B3, para lograr las
trayectorias descritas. 4.3.2-. Diferencias entre fuerza magnética y fuerza eléctrica.
• La fuerza eléctrica siempre esta en la dirección del campo eléctrico, en cambio la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético.
• La fuerza eléctrica realiza trabajo, en cambio la magnética no.
• La fuerza eléctrica se puede determinar entre carga estáticas y en movimiento, pero la magnética solamente se determina cuando la carga esta en movimiento.
3.4-. Fuerza de Lorentz o ecuación de Lorentz.
Cuando una partícula se mueve en una región donde existe simultáneamente un campo magnético “B” y campo eléctrico “E” sobre la carga actúan dos fuerzas (una magnética y otra eléctrica) y vienen dadas:
La fuerza magnética: F = q(v x B) La fuerza eléctrica: Fe = q.E, La fuerza resultante sobre la carga es:
FL = q (v x B) +q.E, FL = Fuerza de Lorentz Ec:10
NOTA: En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo
electromagnético y el campo eléctrico sobre una carga en movimiento; ¿ qué se quiere
en este caso? :
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• Si se da como dato la fuerza magnética ( yo lo llamo el análisis magnético) uno debe buscar cómo debe ir la fuerza eléctrica ( análisis eléctrico) para lograr que ambas fuerzas se anulen y la carga se mueva en línea recta.
• Otra situación puede ser , ¿cómo se mueve las carga ?, si la fuerza eléctrica es mayor que la magnética o viceversa.
• También, ¿cómo debe ir el campo magnético o eléctrico para lograr que las fuerzas se anulen?. Existen muchas variantes, pero la esencia del circuito esta, trabajar primero con el análisis magnético y luego con el eléctrico o viceversa, esto depende de que datos me dé el ejercicio, al final hay que buscar que las fuerzas sean opuestas y si son iguales se anulan, de lo contrario dominará la de mayor magnitud y hacia allá se moverá la carga positiva ( si es negativa se hace el análisis como positiva, pero cada vez que se encuentre una fuerza se invierte por el signo de la carga). Veamos el ejemplo Nº6, con varios casos para visualizar todo esto.
Ejemplo Nº6:( Fuerza de Lorentz)
Se posee un protón con una velocidad
vx y entre en una región donde existen
dos placas horizontales de igual longitud, el campo magnético “B” , esta “saliendo” de la hoja, tal como se muestra en la figura 3.23, encontrar: a-. Dirección y sentido de la fuerza
magnética sobre la carga y la trayectoria que va a describir.
b-. Dirección y sentido de la fuerza eléctrica para lograr que la carga se mueva en línea recta entre las placas.
c-.¿ Cómo deben estar cargadas las placas para lograr producir el campo eléctrico necesario para generar la fuerza eléctrica de la parte “b”?
Soluciòn:
• Paso Nº1:
De acuerdo a la información, aportada por el
ejercicio, y estableciendo un sistema de
referencia para ubicar todos los vectores (ver
figura 3.23). Se tiene que: la velocidad de “q”
esta en el eje “X” y el campo magnético lo ubicamos entrando en el
eje “Z” (ver figura 4.24). Entonces: solamente queda “libre” el eje “Y”,
en este eje, esta la fuerza magnética.
• Paso Nº2:
Se debe aplicar “RMD”, para
obtener el sentido de la fuerza
magnética. ( hasta el momento
hemos hecho el análisis
magnético por los datos
utilizados) .Ver figura 3.25
• Paso Nº3: Como la fuerza magnética sobre la
carga está dirigida hacia arriba
(parte positiva del eje “Y”), y
deseamos buscar una expresión de
la fuerza de Lorentz (FL), es
necesario que la fuerza eléctrica
(Fe) tenga la misma dirección de la
fuerza magnética (Fm) pero con
sentido contrario.. ver figura 4.26.
Fe=qE
• Paso Nº4: Como la “Fe” va hacia abajo y la carga de prueba es positiva, está se
moverá en la dirección del campo eléctrico (recuerde lo visto en la
unidad Nº1,, donde la carga positiva tiende a moverse en la dirección
del campo eléctrico y de la fuerza eléctrica que hay sobre ella )
entonces el campo eléctrico tiene que apuntar hacia abajo también
(en la dirección de “Y” negativo).
Para que eso ocurra la placa de arriba tiene que ser positiva y la de
abajo es negativa (este análisis es el eléctrico)
Que podemos interpretar de todo esto:
1. Que la fuerza magnética y la eléctrica, siempre están en el
mismo eje, pero con sentido contrario.
Y X
Z
F:3.24
Fm v x
q
Fig:3.14
B
F:3.23
q Fm E
Fe
Fig:3.14
+ + + + + +
B
F:3.26
Fy Bx
Vx F:3.25
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2. Que el campo eléctrico y el campo magnético son
perpendiculares.
3. Que la carga positiva cuando se hace el análisis el eléctrico se
mueve en la dirección del campo y de la fuerza eléctrica.
Ejemplo Nº7:( Fuerza de Lorentz)
Hacer el ejemplo anterior, pero la carga es negativa (electrón).
Solución:
• Paso Nº1:
Haciendo el mismo procedimiento, fijamos el
sistema de referencia para ubicar todos los
vectores (ver figura 3.27).
De acuerdo al enunciado la velocidad de “q” es en el eje “X” y el
campo magnético está entrando y se encuentra en el eje “Z”, por lo tanto, solamente queda “libre” el eje “Y”, en este eje esta la fuerza magnética.
• Paso Nº2: Al realizar el producto cruz (v x
B), nos queda el dedo “pulgar”
apuntando hacia arriba, pero,
como la carga es negativa, se tiene
que invertir la fuerza magnética y
por eso es que en la figura 3.28, se
encuentra hacia abajo (todo esto es
el análisis magnético).
• Paso Nº3: La fuerza eléctrica tiene que ser contraria a
la magnética (ver figura 3.29), por lo tanto,
tiene que estar hacia arriba (aquí tenemos
que tener presente lo siguiente: la
fuerza eléctrica debe dar hacia arriba
ya asumiendo el signo de la carga que
es negativa), para que eso ocurra, la placa
superior tiene que ser positiva y la de abajo
negativa (ver figura 3.30), de esta
forma se produce un campo eléctrico
hacia abajo (recuerden que la carga
negativa se mueve al contrario del
campo eléctrico).
• Paso Nº4:
Observe que las placas quedan
igual que el ejemplo anterior, ¿por
qué ocurre esto?, la respuesta es la
siguiente, el signo de la carga no
me afecta el sentido del campo
magnético y del eléctrico,
solamente el sentido de la
fuerza. Este tipo de ejercicio, donde se colocan placas cargadas y campo magnético, se llama “Selector de Velocidad”, siendo una de las aplicaciones de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento y hemos analizado cuando queremos que la carga se mueva en línea recta, ahora veremos que pasas si queremos que a pesar que las fuerzas son opuestas, la carga describe una trayectoria (elíptica), debido a que la fuerza magnética es mayor o menor a la fuerza eléctrica.
• Caso #1: Cuando la Fe=Fm, sustituimos en cada ecuación por sus relaciones: Fe = q E (análisis eléctrico y en magnitud)
Fm= q v B (análisis magnético y en magnitud) luego igualamos las dos fuerzas y nos queda:
q v B v = E/B, esta
expresión relaciona los dos campos con la velocidad de la carga y la velocidad la llamo velocidad de control.
Y X
Z
F:3.27
Fe
Fm
F:3.29
q
v x Fm
Fig:3.14
B
F:3.28
q
v x Fm
F:3.30
+ + + + +
+
B
v2>v
v
q
v1<v
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
F:3.31
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Esta velocidad de control es la que debe poseer la carga para garantizar que se va a mover en línea recta, cuando entre a un selector de velocidad. Si la carga posee una velocidad distinta a ella, chocará en una de las placas, ya sea arriba o abajo, en la siguiente figura (3.31) se describe que ocurre cuando se presentan estos casos:
• Caso #2: Cuando v1<v, nos origina que Fe>Fm,(recuerde que la
velocidad afecta es a la fuerza magnética F =qvB) y la carga se desvía hacia abajo.
• Caso #3; cuando v2> v1, se origina que Fe<Fm, y la carga se desvía
hacia arriba..Por eso su nombre de Selecto de Velocidad.
Ejemplo Nº8 (Selector de Velocidad) Un selector de velocidad que contiene un campo magnético
de magnitud 0,2 T y un campo eléctrico de magnitud 2,5x105 N/C, se le inyectan iones, cada uno con carga +e, encontrar:
a-. ¿Cuál es la velocidad de los iones sin desviarse? b-. Si las placas que generan el campo magnético están
separadas una distancia de 2 cm, ¿cuál es la diferencia de potencial entre ellas?
Solución:
• Paso Nº1:
Sobre los iones actúan fuerzas (eléctrica y magnética), las igualamos
y obtenemos: qE = q v B → v = E/B = 2.5x105/0.2 T = 1,25 x106 m/s
• Paso Nº2:
Recordemos que el potencial entre dos placas viene dado:
V= Ed, sustituimos y nos queda: V = 2,5x105 x 0,02 = 5x103 voltios
2.3.5-. El Espectrómetro de Masa-. Espectrómetro de Masa
(separador de masa) En el caso cuando se tienen isótopos (los átomos de un mismo
elemento químico que no se distinguen más que por las masas de sus núcleos) todos se comportan de la misma manera en las reacciones químicas, por lo tanto no es posible descubrir y separar isótopos por medio puramente químicos, es por eso que por medio del espectrómetro de masas se detecta la presencia de los diferentes isótopos de un elemento.
El espectrómetro de masa, muy similar al mostrado en la figura 3.32, en el se pueden distinguir los siguientes: ❖ Una fuente de “DC” de voltaje que
puede ser llamada V o ∆V, un
campo magnético “B”, la o las cargas (q1 y q2) que se deseen introducir al espectrómetro de masa.
❖ En este tipo de ejercicio se tienen que aplicar las siguientes ecuaciones:
a-. La fuerza magnética y la centrípeta (fc) son las únicas fuerzas que
actúan sobre la carga una vez que entra al espectrómetro de masa, por
Fc = Fm entonces: m V 2/R = q V B despejamos la velocidad (v) y nos
queda:
V = (qRB /m) (1) (velocidad en función de la carga, radio de giro, campo
magnético y la masa,por lo tanto: q v B = m v 2
/r Ec: 12
Dónde el radio de la trayectoria circular es: r = m v / [q B] Ec:13 “r” es llamado también radio del ciclotrón. Esto significa que en la medida que la masa sea mayor el radio descrito lo será, siempre y cuando se mantenga constante la carga, el potencial y el campo magnético. Este equipo se emplea para separar isótopos de uranio y enriquecer el combustible nuclear, aunque es muy costoso el procedimiento. Generalmente en la mayoría de los ejercicios se desconoce el valor de la rapidez de la carga, esto implica que es necesario emplear otras
ecuaciones que vienen dadas por la energía potencial eléctrica (U= q∆V)
y la energía cinética de la carga (K = ½ m V 2)
Si las Igualamos q∆V = ½ m V 2, despejamos la velocidad:
V = (2q∆V/m ) ½
v
V q1 q2
B
F:3.32
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Ejemplo Nº9. (Espectrómetro de masa) Se posee el siguiente espectrómetro de masa, dos iones negativos (figura 3.33) (llamados anión) entran a la zona donde existe un campo magnético constante “B”, si las masas son m1 =2m2,las cargas son iguales, encontrar , ¿cuál de los dos cargas describe un radio menor?.
Solución:
• Paso Nº1:
En este tipo de ejercicio, las cargas describen una trayectoria circular
debido a la fuerza magnética existente sobre ella, en este sentido la
ecuación de fuerza magnética y fuerza centrípeta se igualan en
magnitud. Fc = Fm entonces: m V 2/R = q V B despejamos la
velocidad (v) y nos queda:
V = (qRB /m) (1) (velocidad en función de la carga, radio de giro,
campo magnético y la masa por energía, se tiene que: Ue = K
• Paso Nº2:
( Nota: se asume ya como dato ∆V ) sustituimos y nos queda:
q∆V = ½ m V 2, despejamos la velocidad: V = (2q∆V/m ) ½
(2)
igualamos “1” y “2” : 2q∆V/m =(qRB /m) 2
=2q∆V/m =(q2
R2
B2
/m 2 )
despejamos el radio: R= (2m∆V/ qB2
)1/2
(3)
para “q1” R1= (2m∆V/ q1B2
)1/2
y para “q2” R2= (2m∆V/ q2B2
)1/2
De las expresiones para cada radio, el numerador para la carga “q1”
es mayor que el de la carga “q2” (por la masa), por lo tanto a mayor
masa el radio es más grande. R1>R2 , por lo tanto la carga q1 describe
una mayor trayectoria. En conclusión, si el haz está compuesto de
iones de diferentes isótopos del mismo elemento, todos con la misma
carga, cada isótopo se mueve en una circunferencia de radios
diferentes.
Las orbitas circulares tienen un radio determinado por:
R = mv/qB Ec:15
3.6-. Efecto Hall
El Efecto Hall consiste cuando un conductor que posee una corriente eléctrica (placa rectangular) es expuesta a la acción de campo magnético,(ver figura 3.34), en ellas las cargas positivas se separan de las negativas, creando dos extremos polarizados, que luego van a producir un campo eléctrico conocido como campo eléctrico de Hall (EH) en honor a su descubridor Edwin Duntey Hall. Este tipo de aplicación nos sirve para determinar:
Nota: Este tipo de aplicación puede ser resuelta por medio de la fuerza sobre una
carga y fuerza sobre un conductor (esta parte todavía no ha sido estudiada, lo
haremos màs adelante)
a-. Signo de los portadores de cargas (son positivos o negativos).
b-. Velocidad de los portadores de cargas V = E/B
c-. Campo Eléctrico de Hall : VH = EH. d
Apareciendo así un campo eléctrico perpendicular al campo magnético y al propio campo eléctrico generado por la batería (V). Este campo de Hall (EH), y ligado a él aparece la Tensión Hall (VH).
Aplicaciones del efecto Hall:
Los sensores de Efecto Hall permiten medir:
• Los campos magnéticos (Teslámetros)
• La intensidad de corrientes eléctricas (sensores de corriente de Efecto Hall)
• También permiten la elaboración de sensores o detectores de posición sin contacto, utilizados particularmente en el automóvil,
Q1 Q2
B
F:3.33
B I D
a
+ + + + + + + +
b
F:3.34
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para detectar la posición de un árbol giratorio (caja de cambios, paliers, etc.).
• Encontramos también sensores de efecto Hall bajo las teclas de los teclados de los instrumentos de música modernos (órganos, órganos digitales, sintetizadores) evitando así el desgaste que sufren los contactos eléctricos tradicionales.
• Encontramos sensores de efecto Hall en el codificador de un motor de CD.
• Los motores de Efecto Hall (HET) son aceleradores de plasma de gran eficacia.
Ejemplo Nº10: (efecto Hall)
Se posee la siguiente lámina conductora, tal como se muestra en el dibujo (3.35), si Va-Vb = -15 voltios (hipótesis), encontrar: a-. Signo de los portadores de carga. b-. Campo eléctrico de Hall en dirección,
sentido y magnitud.(EH).
Solución:
• Paso Nº1: La batería “V”, produce una corriente “I”, que
sale por el terminal positivo de ella.
La dirección de la corriente me dice
como va orientada la velocidad (V ) de
las cargas, entonces, si se analiza la
“cara” de la placa donde se visualizan
los puntos “a y b”, ver figura 3-37).
• Paso Nº2:
Establezco el sistema de referencia (
figura 3.36) y coloco en cada eje, los
datos de los vectores que me dan
(velocidad y el campo magnético), me
queda el dedo pulgar apuntando hacia
la izquierda (asumo y es lo que recomiendo) (ver figura 3.37) que los
portadores positivos se mueven en la dirección de la fuerza magnética
y los negativos al lado contrario por lo tanto la placa que estoy
observando queda de la siguiente manera.(ver figura 3.38).
• Paso Nº3:
Debido a que las cargas positivas se
están colocando en “ a’ ” y las
negativas en “ b’ “ , esto quiere decir,
que Va’> Vb’ , despejando Va’- Vb’>0 ,
Esto representa mi resultado del
análisis realizado, ahora tenemos que
comparar este resultado con la
hipótesis del ejercicio, la cual es:
Va-Vb = -15 (ver enunciado),
escribimos las dos ecuaciones:
Va-Vb = -15 como “-15” es menor a
cero esta ecuación se puede expresar:
Va - Vb <0. De igual forma lo hacemos
con nuestro resultado:
Va’- Vb’>0 , Entonces al compararlo
con la hipótesis, se observa que son
contrarios, por lo tanto los portadores
son NEGATIVOS. (en caso que el
resultado coincida con la hipótesis se
dice que los portadores son
POSITIVOS).
• Paso Nº4:
El campo de Hall (en dirección y
sentido), va del extremo donde están
las cargas positivas al extremo donde
se colocan las negativas.
Y
X
Z
F:3.36
Fx
Bz
vy
Fig: 3.32 F:3.37
I V
a b
F:3.38
+
+
+
+ I
v
F a` b`
F:3.39
+
+
+
+ I
v
EH
a b
F:3.40
a b b
V
Bx
F:3.35
I
a b V
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En caso que nos pidan su magnitud, se emplea la ecuación: VH =
EH.d→ EH = 15/d N/C (Magnitud), VH es el voltaje que se da como
hipótesis que es -15 voltios, pero se toma la magnitud.
Nota: d= distancia entre los puntos “a” y “b” en metro.
3.7-.Fuerza Magnética sobre un conductor que
transporta corriente (I)
En la figura 3.41, se muestra un conductor, transportando una corriente “I”, el conductor se expone a la acción de un campo magnético “B”, el cual entra a la página, esto va originar una fuerza magnética sobre el conductor, determinada por medio de:
Fm = i (L x B) Ec:24
El vector fuerza “Fm” perpendicular al papel y saliendo y se representa por medio de un (•) que indica la punta de la flecha que representa al vector. Para determinar la magnitud tenemos:
Fm = i (L B) sen θ Ec:25
Donde: I = intensidad de corriente que transporta el conductor. L= longitud del conductor. B = campo magnético. Θ= ángulo que forman L y B.
Se puede presentar el caso donde el conductor no es recto, sino que tiene una forma arbitraria, obtenemos un diferencial de fuerza (dF).
dF = i ∫(dl x B) Ec:26
Donde el elemento de corriente i dl, está dirigido en el mismo sentido que la corriente. Si el alambre es recto y el campo magnético es
constante a lo largo de toda su longitud, entonces la ecuación Nº24 se convierte: F = i (dl x B) Ec:27
En la siguiente figura (3.42), se da un conductor, que transporta una corriente “I” y una parte del conductor se expone a la acción de un campo magnético. Producido por un imán, observa la acción y sentido de la fuerza magnética (aplicando la regla de la mano derecha)
Ejemplo Nº11: (Fuerza sobre un conductor)
Un alambre de longitud total “d” transporta una corriente “I”, el conductor se expone a la acción de un campo magnético “B”, tal como se indica en la figura 3.43, determinar. a-. La fuerza sobre el alambra. b-. ¿Qué sucede si la corriente se cambia
de sentido?.
Solución:
• Paso Nº1 Se emplea la ecuación:
Fm = i (dl x B) , establecemos un sistema de referencia para facilitar
el análisis (ver figura 3.38), la corriente se encuentra en el eje “y” y el
campo en la parte negativa de “Z”, el eje que queda libre es para la
fuerza, aplicamos la regla de la mano derecha y nos da la dirección y
sentido . La magnitud es F = IdB Newton.
Fm I
B
F:3.41
F:3.42
I
d
B
F:3.43
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• Paso Nº2 Si la corriente se invierte, la fuerza
sobre el conductor también lo hace.
Ejemplo Nº12 (Fuerza entre dos conductores paralelo)
Se posee dos conductores (tal como se muestra en la figura 3.44), cada uno transporta una corriente (I1 e I2), encontrar la fuerza que ejerce el conductor Nº1 sobre el Nº2.
Solución:
• Paso Nº1
Como vamos a encontrar la fuerza que
ejerce el conductor Nº1 sobre el Nº2,
tenemos que buscar el campo
magnético que produce este conductor
(Nº1) en la zona donde esta ubicado el
conductor Nº2, para esto se recomienda
hacer “corte” a través del conductor Nº1
y “crear” un plano paralelo a este corte.
Veamos la figura 3.45.
• Paso Nº2
Posteriormente se coloca el “dedo
pulgar” de la mano derecha en la
dirección de “ I1 ” e intente sujetar al
conductor con el resto de los dedos ,
observe que quedan “entrando” al
plano (ver figura 3.46), de acuerdo al
sistema de la figura 3.45, este campo
esta en el eje “Z” y entrando a la
pagina. ( Hemos aplicado la Regla de
la Mano Derecha versión Ampere).
• Paso Nº3
Como el campo se encuentra en el eje
“Z” en su parte negativa (por estar
entrando) . Note que quedan “libre”
dos ejes (X-Y), uno para el “dL2” y
otro para la fuerza.(ver figura 3:47)
• Paso Nº4
Para el “dL2”, utilizamos la corriente
del conductor Nº2, por lo tanto. El
diagrama vectorial queda como el
señalado en la figura 3.46, indicando
también la fuerza que recibe el
conductor Nº2, que en este caso es
de atracción.
• Paso Nº5
Se concluye, que dos conductores
que transportan corriente en el
mismo sentido y dirección el tipo de
fuerza es de atracción, en caso
contrario será de repulsión.
Ejemplo Nº13 (Fuerza sobre un alambre)
Dado el segmento de alambre mostrado en la figura 3.47, se desea comprobar que la fuerza magnética sobre el alambre, es equivalente, al establecer un segmento recto de alambre entre los puntos “ab”.
Solución:
I1 I2
1 2
F:3.44
plano
I1
B1
F:3.45
plano
I1 B1
F:3.47
dL2
I2
dL2
Fm B1
F:3.3.46
B
b
a
I
F:3.49
Y X
Z
F:3.46
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• Paso Nº1
La ecuación a utilizar es:
dF = i ∫(dl x B) , como la corriente
de cada tramo es igual, y su vez
cada tramo se encuentra expuesto al
mismo campo “B”,entonces, la
fuerza total es la suma de cada
segmento en forma vectorial nos da
la resultante tal como se indica en la
figura 3.50.una , la ecuación queda:
F = i ∫(dl x B) (integrando desde “a”
hasta “b”)
Ejemplo Nº14( Fuerza sobre un conductor) Un alambre en forma semicircular, con radio “R”, transporta una corriente “I”, el alambre se expone a la acción de campo magnético constante “B” entrando a la hoja, determine la fuerza magnética sobre el alambre.
Solución:
• Paso Nº1
El diferencial de longitud (dl) va en
la dirección de la corriente del
conductor, por lo tanto nos queda, la
fuerza magnética resultante tal
como se indica en la figura 3.51,
donde se descompone la fuerza.
F = I(dL x B) (vectorial)
Su magnitud es Fx = i ∫dL B sen θ , pero” θ “ es 90º, por el hecho que el
vector del campo es perpendicular al plano donde se encuentra el
conductor.
Ahora para encontrar las componentes, debemos emplear otro ángulo que
no sea “θ ”
Fx = i ∫dL B Cos α Fy = i ∫dL B Senα
Como el conductor es simétrico al eje “y”, entonces las componentes de la
fuerza en “x” se anulan , quedando solamente:
Fy = I ∫dL B Senα = I ∫ Rdα B Senα
(recuerde que por longitud de arco L=Rα)
Fy = I R B (-Cosα) = -IRB (Cos π –Cos 2π) = 2IRB Newton
Ejemplo Nº16 (Fuerza sobre un conductor) Se posee una barra de masa “0,25kg”, colocada sobre dos alambres conductores tal como se muestra en la figura 3.51, los alambres están separados una distancia “0,49 m” y conectados a una batería que aporta una corriente 12,5 Amp, el coeficiente de fricción estática es 0,65. Encontrar:
π 2π
F:4.47
b
L IdL
a
F:3.50
I
dL 0.49m
V
F:3.51
F
dl
F Fy
α
Fx
B
F:3.52
θ I R
B
R
F:3.51
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a-. Cómo debe estar orientado el campo magnético, para lograr que la barra se desplace hacia la derecha debido a la fuerza magnética que esta recibe.
b-.¿ Qué tenemos que hacer, para encontrar el valor del campo magnético mínimo para que la barra deslice?
Solución:
• Paso Nº1
La fuerza magnética sobre la barra viene dada: Fm = I (dL x B)
El “dL” “marca la dirección de la corriente
por la barra, vamos asumir que se
encuentra en el eje “Z” (saliendo de la
página) .
En el caso de la fuerza en el eje “X”,
quedando libre “y”, el campo se encuentra
en ese eje “y” , en sentido “-j”, para lograr
que la fuerza vaya en “x”. Ver figura 3.52.
• Paso Nº2
Para la segunda pregunta, como nos piden el campo mínimo, se deben
establecer otras condiciones para disminuir la fuerza roce ( fr), con la
finalidad de utilizar la menor
fuerza magnética para mover la
barra, por el hecho que lo
planteado en la paso Nº1,
representa un campo máximo y
genera una fuerza máxima (por
ser perpendiculares estos dos
vectores).
Produciendo un un gran trabajo
para vencer la fuerza roce y la
cual depende de la normal y esta
a su vez del peso (en estos tipos
de ejercicios está presente la
gravedad.
En cambio cuando se busca la fuerza sobre una carga en movimiento
no hay fuerza de gravedad). En resumen debemos buscar una forma
más sencilla es producir una fuerza magnética que tenga dos
componentes y así contrarrestar los efectos de la fuerza de roce y la
normal (recuerde en física I, que el disminuir la normal se disminuye
el contacto entre las superficies y por lo tanto la fuerza roce también
lo hará), entonces podemos dibujar una fuerza como la señalada en la
figura 3.52
• Paso Nº3
También es importante señalar que al generar una fuerza en ese
sentido, el campo magnético también sufre cambios en su sentido y
dirección, ya no esta solamente a lo largo del eje “y”, sino, que la
resultante de este campo forma un ángulo “θ” con respecto al eje “y”
(se encuentra en forma diagonal).
• Paso Nº4
Las condiciones de equilibrio (Recuerde que se necesita es el valor del
campo mínimo, por lo tanto la barra todavía está en equilibrio)
son : ΣFx = Fmx-fr = 0 ILB Sen Φ- μeN = 0 (1)
ΣFy = Fmy+N -W = 0→ ILBcos Φ+N –Mg =0 (2)
De la ecuación Nº1 despejamos la normal : N = [ILB Sen Φ]/ μe
Y sustituimos en la ecuación Nº3:
ILBCos Φ+ [ILB Sen Φ]/ μe –Mg =0 despejamos el campo
magnético:
B = (μe Mg)/ [μe ILCos Φ+ ILSen Φ] (3)
Ahora de esta ecuación, para obtener un valor mínimo del campo es
porque el denominador tiene un valor máximo (es muy grande), para
eso tenemos que derivar el denominador en función del ángulo.
d/dΦ = [μe cos Φ+ Sen Φ] =0
buscamos despejar “Φ”
y
Fm
dL
x z B
F:3.52
Y Fmx
Fmy Φ Fm
fr X
Z
B2
θ
F:3.53
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- μe Sen Φ+ Cos Φ] =0 →μe =cos Φ/ Sen Φ =CtgΦ
Φ=Ctg-1
(μe )
Luego sustituimo el valor del ángulo en la ecuación Nº3 y obtenemos el
valor mínimo del campo magnético
3.8-. Momento Dipolar Magnético (μ ) y Torque.
4.1-. Momento Dipolar Magnético: Cuando por una espira circula una
corriente “I”, se puede determinar el Momento dipolar magnético (μ)
Su magnitud viene dada: μ = N I A ( Amp-mts2). Ec: 28
Donde : N=número de vueltas de la espira, = corriente que transporta la
espira y A= área de la espira.
La energía potencial de la espira viene dada (magnitud)
Ep = μ .B Cos θ Ec. 29
Con respecto a la energía tenemos las siguientes consideraciones:
a-. Si el momento dipolar magnético y el campo magnético son paralelo, la energía es mínima Ep<0 y existe un equilibrio inestable.
b-. Si el momento dipolar y el campo magnético son perpendiculares, la
energía es igual a cero y está en un equilibrio estable. c-. Si el momento y el campo son antiparalelos ( 180º) la energía es positiva
y se encuentra en une equilibrio inestable. Para determinar la dirección y sentido ( “µ” es un vector), aplicamos la
regla de la mano derecha, “curve” los dedos de la mano derecha alrededor de la espira en el sentido de la corriente, el pulgar extendido de su mano derecha indica la dirección de” µ “.
Ejemplo Nº15: (Momento dipolar magnético)
Se posee la siguiente bobina circular, (ver figura 3.54) cuyo radio es de 5 cm, con 50 vueltas, por ella circula una corriente de 15 A, el plano de la bobina
forma un ángulo de 30º con un campo magnético uniforme de 0,150 tesla, encontrar: a-. Magnitud del momento bipolar magnético de la bobina. b., La energía potencial de la bobina.
Solución:
• Paso Nº1
μ = N I A
μ = 50x15Axπx5x10-2
μ = 5,89 A.m2
• Paso Nº2
Para la energía, tenemos que
encontrar el ángulo entre μ y el
campo, ver figura 3.55
Ep = μ B Cos60º = -0,442 J
3.9-. Torque sobre una espira:
Ahora cuando una espira se expone a la acción de un campo magnético, se puede determinar el torque sobre ella:
μ x B Ec: 30 = ح
Ejemplo Nº13: (Torque) Del ejemplo anterior, determinar el torque de la espira:
Solución:
• Paso Nº1
Aplicando la ecuación Nº 30, tenemos, que el torque queda
“Entrando” a la pagina y su magnitud es 0,765 =ح N.mts
B 30º
I
F:3.54
μ
60º
B
F:3.55
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Ejemplo Nº15 (Torque sobre una espira cuadrada) Se posee la siguiente espira cuadrada de lados “ 1 mt”, la espira es de una sola vuelta y circula una corriente de 10 A , el campo magnético tiene una magnitud de 2 tesla y forma un ángulo con el plano de la espira de 45º, tal como se muestra en la figura 3.56. ¿Qué tenemos que hacer con el ángulo entre el momento dipolar magnético y el campo magnético para mantener la magnitud del torque si?: a-. La corriente disminuye a 8 amp. b-. Si aumenta a 12 amp.
Solución:
• Paso Nº1
El torque original tiene una magnitud de:
10x1x2 Sen 45º =20 x0,70 =14,14 N.m = ح
• Paso Nº2
Si la corriente disminuye a 8 amp, tenemos: 14,14 = 8x1x2xSenΦ,
despejamos el ángulo Φ= sen-1 (14,14/16)
• Paso Nº3
Para esta parte se aplica el mismo procedimiento ángulo
Φ2= sen-1 (14,14/24)
3.9-. Mètodos para determinar el Campo Magnètico.
3.9.1-. Ley de Biot -Savart
Si un conductor (alambre metálico) transporta una corriente constante “I” ,
produce un campo magnético “B” alrededor de este conductor, si deseamos
encontrar el campo en un punto “p” ubicado a una distancia “r” del alambre el campo posee las siguientes propiedades , ver figura 3.56.
a-. El vector del campo siempre es perpendicular al plano donde se encuentran los vectores “dL” y “ř “.
b-. El vector “dL” siempre va en la dirección de la corriente del conductor.
c-. El vector “ř “denominado vector posición, va desde el conductor al punto
dónde se desea determinar el campo magnético. d-. En la medida que el punto se encuentre más alejado del conductor, el
campo magnético tiende a disminuir. Para la dirección y el sentido del campo se aplica la siguiente ecuación.
B = (I µo /4π) ∫( dL x ř )/ r3 Ec:31
Para su magnitud:
B = (I µo /4π) ∫( dL senθ )/ r2 Ec:32
r 2 = es la distancia entre el conductor y el punto dónde se desea encontrar el campo magnético. θ = ángulo entre los vectores “dL y ř “, ahora si deseamos encontrar la magnitud directamente de un conductor recto “finito” podemos emplear directamente la ecuación:
B =[ I µo /4πr] (Cosθ1-Cos θ2) Ec:33
r = es la menor distancia entre el conductor y el punto dónde se desea determinar el campo magnético. En el ejemplo Nº 14, se demostrará la ecuación Nº33. Nota: Se puede presentar el caso especial si al conductor es muy largo (infinito), en
este sentido la ecuación Nº33, se reduce:
B =[ I µo /2πr] Ec:34
z y x 45º B
F:3.56
p
ř
I dL
B
F:3.57
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Ejemplo Nº15 (Ley de Biot y Savart) a-. Encuentre el Campo magnético en un punto “p” localizado a una distancia “d” de un alambre largo (infinito) que transporta una corriente “I”.
Solución
• Paso Nº1
La ley de Biot y Savart es:
B = (I µo /4π) ∫( dL x ř )/ r3
Pero su magnitud es : B = ( Iµo /4π) ∫( dL Sen θ )/ r2
[1] (se tienen que relacionar las variables “x,r y θ”.
Senθ = d/r →r = d Cosec θ [2]
• Paso Nº2
Como el conductor se encuentra paralelo al aje “X”, dL =dx [3]
También podemos decir que Tang θ = d/x despejamos “x” y nos
queda: x = d arctagθ derivamos “x”, dx = d Cosec2θ dθ [4]
Sustituimos 4,3, y 2 en 1:
B = ( Iµo /4π) ∫(dCosecθ dθ Senθ )/ d2
Cosec2 θ
simplificando :
B =( Iµo /4π d) ∫(Senθ dθ ) { evaluamos desde θ1 hasta θ2}
B =[ I µo /4πd] (Cosθ1-Cos θ2), esta ecuación nos sirve para buscar el
campo magnético producido por tramos rectos.
Posibles casos de conductores rectos:
Caso Nº1: el conductor es de longitud “L” (finito), establecemos el sistema de referencia justamente en el centro (para dividirlo en dos partes iguales).ver figura 3.60.
Cosθ1 = (L/2) / (L2
/4 + d2)½
Cos θ2= 0 ( θ2= 90º)
Sustituimos y nos queda: B =[ I µo /4πd] ((L/2) / (L2
/4 + d2)½
Caso Nº2, el conductor es muy largo (infinito), entonces:
θ1= 0º y θ2=π B =[ I µo /4πd] [1-(-1)] =[ I µo /2πd]
Ejemplo Nº16 (Ley de Biot y Savart) Encontrar el campo magnético total en el punto “p”, ubicado justamente en el centro de los semicírculos de radios “a y b”. (ver figura 3.61)
Solución:
• Paso Nº1 Se recomienda dividir el
ejercicio por tramos, en tal
sentido tenemos: Tramo Nº1
(segmento recto) (ver figura
3.62)
Sen(180º)=0, por lo tanto
B1 = 0 tesla
● p
r φ d θ2
θ1 θ i
dl
x
F:3.58
P r d
θ1 θ2 L/2
F:3.60
2
b
4
a
I 3
p
1
Fig:3.54 F:3.61
dL1 ř1
F:3.62
20 Guías de Física II. IV UNIDAD DE FÌSICA II.(20%) Docente: Ing: Freddy Caballero. 2018
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• Paso Nº2
Tramo Nº3 (segmento recto) (ver
figura 3.63)
Sen(0º)=0, por lo tanto
B3 = 0 tesla
• Paso Nº3 Tramo Nº2 (semicírculo de radio
“b”), (ver figura 3.64), el “dL2” y
“ř2” forman 90º ,es decir :
Senθ = 1, la ecuación se reduce:
B2 = ( I µo /4π) ∫( dL )/ b2
En la figura 3.64, se indica la
dirección y sentido del campo.
Entrando a la página (-K), Finalmente:
dL = b dΦ , entonces:
B2 = ( I µo /4π) ∫( b dΦ )/ b2
{ integrando desde π a 0º, pero la integral colocamos “-“ porque la
corriente circula en sentido horario ).En forma vectorial nos queda:
B2 = - ( I µo /4b) ( K ) [Tesla]
En magnitud: B2 = ( I µo /4b) [tesla]
Pero también podemos aplicar la siguiente ecuación para encontrar el
campo magnético de tramos circulares::
B =[ I µo /8r] (Cosθ1-Cos θ2) [ǔ] Ec:35 dónde:
r= radio del conductor.
ǔ = vector unitario puede ser (± î o ±Ĵ o ± K)
θ1-= ángulo por donde “entra” la corriente en el conductor.
θ2 =ángulo por dónde” sale” la corriente en el conductor.En este sentido
nos queda:
B2 =[ I µo /8r] (Cos180º-Cos 0º) [K]
B2 =[ I µo /8r] (-1-1) [K]= [ I µo /4b] [ -K]
Paso Nº4 Tramo Nº4, aplicamos la ecuación 35 y
nos queda:
B4 =[ I µo /8a] (Cos0-Cos 180) [ǔ]
B4 =[ I µo /8a] (1- (-1)) [ǔ] →
B4 =[ I µo /4a] [ǔ] Tesla
Para el vector unitario, en la figura 3.65,
se observa que el campo “sale” de la hoja.
Por lo tanto es “K”.
Bt=[ I µo /4a] [K] -[ I µo /4b] [ K]
Ejemplo Nº17 (Ley de Biot y Savart) Dada la siguiente espira circular de radio “a”, transporta una corriente “I” (ver figura 3.66), encontrar:
a-.El campo magnético en el centro de la espira en magnitud, dirección y sentido.
Solución:
• Paso Nº1 La ecuación a utilizar es:
B = (iµo /4π) ∫( dl x ř )/ r3
El producto vectorial dL x ř ,
apunta hacia “abajo “ de la
hoja,(ver figura 3.67) por lo tanto
el campo magnético tiene esa
dirección y sentido (-k).
El ángulo entre dL y ř , es de 90º y la distancia entre el conductor y
el punto (centro de la espira) es el radio “a”, los límites van de 0º a
2π y dL =adΦ quedando la integral de la siguiente forma
dL2
ř2
P
B2
F:3.64
ř3 dL3
F:3.63
dL4
ř4
P Fig:3.57
B4
F:3.65
I p a
F:3.66
ř dL B Fig:3.59
F:3.67
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B = ( Iµo /4π a2
) ∫adΦ [k] =( Iµo /4π a2
) 2 π a [k]
Vector: B = ( I µo /2a) [k] Tesla Magnitud: B = ( I µo /2a) Tesla
• Paso Nº2
Si queremos aplicar la ecuación Nº35, debe sufrir una modificación
que es:
B =[ I µo /4r] (Cosθ1+Cos θ2) [ǔ] Ec:36
Sustituimos: B =[ I µo /4r] (Cos0º+Cos 360º) [k ] =[ I µo /2a] [k ]
3.10-. Ley de Ampere:
∫B dL = Ieµo Ec: 37
Se enuncia de la siguiente manera:,
la integral de línea de ” ∫B dL “
alrededor de cualquier trayectoria
cerrada es igual “ Ieµo “ , donde:
B = campo magnético que es
proporcional a la corriente Ie dL = es
el diferencial de longitud de la trayectoria circular, es decir
∫ dL = 2πL
Ie = corriente encerrada que no varía.
Para determinar el sentido del campo magnético, se coloca el dedo pulgar (mano derecha) en la dirección de la corriente y los dedos “cerrarlos” nos dan el sentido. Ver figura 3.68. La magnitud de “B” es la misma en cualquier punto de una misma trayectoria circular, debido a la simetría con respecto al alambre conductor.
Ejemplo Nº18(Ley de Ampere) Un alambre recto, de radio “a”, conduce una corriente “I” constante (ver figura 3.69), calcular el campo magnético aplicando la Ley de Ampere para y graficar el campo en función del radio del conductor: a-. r < a. b-. r>a
Solución:
• PASO Nº1: Para un r<a: la corriente
encerrada es parcial y se
determina empleando la
ecuación de densidad de
corriente (ver figura 3.70):
J = I /A, dónde A = πR2
Luego despejamos la corriente:
I =JA, derivamos
(corriente y área) dI = J dA
dI = J πR dR ( integramos, desde 0 hasta “r”,
que es dónde se encuentra encerrada la corriente deseada). I´ = J πr2
∫B dL = Ieµo = B1 2 πr =Ieµo (pero Ie =I´= J πr2)
Finalmente B1 =µo J πr2
/2 πr = µo J r/2 Tesla
• PASO Nº2:
Para r> a, la corriente encerrada es la total
∫B2 dL =μo Ie (pero Ie = I) , B2 = μo I / 2 πr Tesla
F:3.68
I
a
F:3.69
I r
a
F:3.70
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• PASO Nº3 En la figura 3.71, se muestra la
gráfica del campo en función al
radio, observe que el campo
aumenta en forma lineal hasta que
el radio “amperiano” aumenta
hasta el radio,“a”, que es la
condición que encierra la corriente
total, una vez que el radio “r” es
mayor al radio del conductor
siempre va encerrar la misma
corriente y por lo tanto el
denominador aumenta mientras el
numerador permanece constante. Ejemplo Nº19 (Ley de Ampere) Se posee el siguiente conductor, de radios “a y b”, donde a<b, una corriente I1 circula entrando a la
hoja , tal como muestra en la figura 3.72, aplicando la Ley de Ampere encontrar el campo magnético para un radio a<r<b si la densidad de corriente es: a-. Constante “J”. b-. J = Jo/r c-. J = Jo r/a
Solución:
• PASO Nº1:
Antes de resolver cada caso, es
importante señalar que la
corriente va estar circulando entre
los radios “a y b”, y que la
condición
de a<r<b representa una corriente parcial. (ver figura 4.70)
• PASO Nº2: Con la densidad constante: J = I /A, dónde A = πR
2
Nota: recuerde que el radio del área en forma general no es el
mismo de la “amperiana”. Luego despejamos la corriente: I =JA,
derivamos (corriente y área) dI = J dA
dI = J πR dR ( integramos, desde “a” hasta “r”, que es dónde se
encuentra encerrada la corriente deseada). I´ = J π(r2 -a2)
∫B dL = Ieµo = B1 2 πr =Ieµo (pero Ie =I´)
Finalmente: B1 =µo J (r2
-a2
) /2 r Tesla
• PASO Nº3. Con densidad J = Jo/r, realizamos el mismo procedimiento de la parte
anterior, pero con la diferencia que una vez que se deriva
sustituimos por lo que varía la densidad y luego integramos:
dI = ∫ Jo/R πR dR = ∫ Jo π dR ( integramos, desde “a” hasta “r”, que
es dónde se encuentra encerrada la corriente
deseada).
I´ = Jo π(r -a) ∫B dL = Ieµo = B1 2 πr =Ieµo (pero Ie =I´)
Finalmente: B2 =µo Jo (r -a) /2 r Tesla
• PASO Nº4. Con densidad J = Jor/a, realizamos el mismo procedimiento de la
parte anterior, pero con la diferencia que una vez que se
deriva sustituimos por lo que varía la densidad y luego
integramos:
dI = ∫ JoR/a πR dR = Jo /a π ∫ R2
dR ( integramos, desde “a” hasta “r”,
que es dónde se encuentra encerrada la corriente
deseada). I´ = Jo π(r3
–a3
) /3ª de las anteriores.
3.11-. Problemas Propuestos
3.11.1-.Fuerza Magnética entre dos polos.
B2
μo I / 2 πa
B≈r B≈1/ r
a r
F:3.71
a b
I
1 I1
a
b
F:3.72
b
a
r
Fig:3.65
F:3.73
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Caso 1
F F
Caso 2
F F
S N S N
N S N S
P-1
P-1
1 2
2
3
P-1
B4
P-2
P-2
L
I
a
→
B
P-5
P-3
B
P-3
Q1
I
Q2
P-4
Caso Nº1 : Q1
Q2
Caso Nº1 : Q1
Q2
1-. Dadas los siguientes casos, indique y explique cuál es la dirección de la fuerza correcta.
3.11.2-. Fuerza Magnética sobre una carga en movimiento.
2. Dadas las siguientes trayectorias
descritas por tres (3) cargas, el signo de cada una se desconoce, el campo magnético es perpendicular al plano de la hoja (saliendo de la hoja) encontrar el signo de cada carga.
3-. Se posee dos cargas tal como
se indica en el dibujo, encontrar para cada caso la dirección y sentido de la fuerza magnética sobre cada carga.
4-. Se posee el siguiente conductor, el
cual trasporta una corriente “I”, dos
cargas Q1 y Q2, se aproximan al conductor tal como se indica en la figura (P-4), encontrar en cada caso, la trayectoria que describe cada carga, en función a los datos dados: Caso Nº1: Q1 y Q2 >0 Caso Nº2: Q1 y Q2 < 0
3.11.3-. Fuerza Magnética
sobre un Conductor.
5-. Se posee el siguiente conductor el cual transporta una corriente “I” constante, encontrar para cada segmento la fuerza magnética.
Respuestas: Q1<0. Q2 =Neutra Q3 >0
Respuestas
Tramo superior: F= B dx (J) N
0 L
Tramo inferior: F= B dx (-J) N
0
Semicírculo: ( Integramos π/2→3π/2)
Fx = 2IaB (i)
Respuestas La carga positiva saliendo de la hoja y la negativa entrando a la hoja
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L P-6
I
B 5 A
P-6.1
-e
d
B2
P-8
E q
+ + + + + + + + + + + + +
B
B
P-8
ZB
X
y
6. Un alambre de longitud “L= 0,98 mts y masa M=0,25 kg, se encuentra suspendido por dos resortes idénticos tal como se muestra en el dibujo, encontrar: a-) Dirección y sentido del campo
magnético para generar una fuerza que permita que el resorte se alargue adicionalmente 8 cm.
b-). Magnitud del campo magnético si circula por el alambre 5 amp e inicialmente los resortes están alargados 10 cm.
7-. En la figura, se muestra un cubo, de lado
40 cm de cada lado, cuatro segmentos rectos de alambre, forman una espira cerrada que conduce una corriente “I” de 5 A en la dirección que se muestra. Un campo magnético de 0.020 T está en la dirección del eje “y” en la parte positiva, determinar:
a-. Magnitud y dirección de la fuerza.
Magnética en cada tramo
3.11..4-. Selector de Velocidad.
8-. Iones de carga “q”,
entran primero a un selector de velocidad, donde el campo magnético tiene un valor de 1x10-6 Tesla y el campo eléctrico tiene una magnitud 2x10-3 N/C, los iones (son cuatro), tienen las siguientes velocidades:
Q1= 1x103 m/s Q2=Q4 = 2x103 m/s Q3 = 4 x103 m/s, Si m1<m2<m3<m4, explicar: a-. Qué iones se desvían, cual o cuales siguen
en sin desviarse. b-. Una vez dentro del espectrómetro de masa
encontrar la trayectoria descrita y el valor del radio.
3.11.4-. Espectrómetro de Masa (Aplicaciones).
8-. Un haz de electrones de carga “-e” y masa “m”, con una energía cinética “K”, entran en una región donde existe un campo magnético uniforme “B”, que magnitud debe tener el campo para evitar que los electrones lleguen a la placa ubicada a una distancia “d” de la puerta.
Resp: a-) El campo entra en –k. b-) B = 2.04/(5x0,1)= 4 T
Resp: a-.Se desvián Q1 y Q3. b-. R4>R2 P-7.1
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B
q 1 y q2 p p1
P-9
V
A b
B r a b v Q
P-10
P H a I
a I θ
P b
P-7.13
I 2L L a
p a
P-7.14
9-. Dado el siguiente Espectrómetro de
Masa, donde q1=q2, las cargas son aceleradas a través de una diferencia de potencial V, donde m2=2m1 encontrar:
a-. Qué carga llega al punto p. b-. La relación m1/m2.
10-.Se posee un protón con una velocidad 2x107 m/seg. , describiendo una trayectoria semicircular (ver , el radio descrito tiene la siguiente longitud 4 cm., encontrar: a-. La distancia entre los puntos “a y b”. b-. Dirección, sentido y magnitud del
campo magnético. c-. El tiempo que tiene que emplear
cuando entra por el punto “a” y sale por el punto “b”.
3.11.5-. Efecto Hall.
11. Se tiene que Vx-Vy= 20 V, encontrar: a-. Signo de los portadores de
carga. b-. Campo Eléctrico de Hall.
3.11.6 -. Ley de Biot-Savart. (Método para encontrar el Campo
Magnético
12-. Dada la siguiente espira circular de radio “a”, la cual transporta una corriente I, encontrar el Campo Magnético en el punto “p”, ubicado a una distancia “H”, del centro de la espira.
13-. Dado el siguiente conductor , tal como se indica en el dibujo, aplicando la Ley de Biot y Savart encontrar el campo magnético total en el punto “p”.
14-. Dado el siguiente alambre largo,
como se indica en el dibujo, encuentre el campo magnético en el centro del círculo.
a-.q1
b-. m1/m2= (R21/R22) Rep: B = μI a2/[2(a2+H2) 3/2 [k]
B Portadores positivos
P-7.12
P-11
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P-7.19
I
b a
P-7.12
I1
I
2
a b c
P-7.20
z
L
d
a
X0
y x
I a I
L
L
P I
45º
I P-10
b
a
z
2L
I
L P
X y
P-7.17
15-. Dado el siguiente conductor, encontrar la dirección y sentido del campo magnético en el punto “p” 16-. Se posee el siguiente conductor, el cual transporta una corriente constante “I”, determinar: a-.Dirección y sentido del campo Magnético en el punto “p”. b-. El campo neto.
17-. Del siguiente conductor, determinar: a-. El campo neto en el punto “p”.
18-. Calcule la magnitud del momento dipolar magnético de la espira con corriente indicada en la figura.
3.11.7 -. Ley de Ampere. (Método para encontrar el Campo
Magnético
19-. Se posee el siguiente conductor de radios “a y b”, dónde a<b, la corriente circula entre esos dos radios (saliendo), Aplicando la Ley de Ampere, encontrar el Campo Magnético para un radio: I-. r<a II-. a<r<b. III-. r>b
20-. Aplicando la Ley de Ampere, encontrar el campo magnético para un radio: I-) r <a. II-) a<r <b III-) r >b
a-. B1 = µ Jr/ (2π ) Tesla
b-. B2 = µ JI1/ (2π r) Tesla
c-. B3 = µ JI1/ (2π r )-µ J(r2-b2)/ (2π r) T
P-7.15
P-7.16
P-7.18
a-. B1 =0 Tesla b-. B2 = µ J(r2-a2)/ (2π r) Tesla
c-. B3 =µ I / (2π r) Tesla
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Vice-Rectorado de Barquisimeto Sección de Física
B1
p
B2 B3
I
b
a
P-7.21
D
2R
R
I
P-7.22
21-. Se posee el siguiente conductor, en el cual circula una corriente I, el conductor tiene una parte hueca de radio “a”, encontrar el campo magnético para un radio igual a “b”. Sug: Buscar el campo para un conductor macizo de radio “R” con una corriente “I”, luego buscar el campo para un conductor de radio “a” con una corriente “I” y al final restar los campos. El radio
22-. Un cilindro largo de radio “a” tiene dos cavidades cilíndricas de radios “a/2” a lo largo de toda su longitud, una corriente “I” circula saliendo de la hoja, encontrar: a-. Dirección y sentido del campo
magnético en el punto “p” ubicado a una distancia “D” del eje del cilindro.
b-. Se puede decir que el campo neto en ese punto es B1-B2-B3, dónde B1 es el campo producido por el conductor de radio “a” y “B2 –B3” producidos por los conductores pequeños.
c-. La magnitud de cada campo y del neto en “P”.
BR= µI/(2πR2) {campo
para r=R}
Ba= µI/(2πa2) {campo para
r=a}
Bt= µI/(2π ) (1/R2- 1/a2) ,
sentido antihorario
Resp: parte “a” Resp: “b” : Si se puede afirmar. Resp: “c”: B1 = μI / 2πD , B2 = μ IR / 2π(D-R) y B2 = μ IR / 2π(D+R) Bt = B1-B2-B3