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�� La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el concepto deinterés.� Sabemos que el dinero que se deposita en una cuenta de ahorros genera

intereses y que, con el tiempo, el saldo será mayor que la suma de losdepósitos.

� Pedir un préstamo para comprar un automóvil significa que tendremosque pagar esa cantidad después de un tiempo más otra por concepto deintereses.

� El costo del dinero se establece y se mide mediante unatasa de interés,un porcentaje que se aplica y se suma periódicamente a una cantidad dedinero por un periodo determinado. Cuando se pide dinero prestado, elinterés que se paga es el cargo alprestatario por el uso de la propiedaddel prestamista; se presta o se invierte dinero, el interés obtenido es laganancia del prestamista por proveer un bien a otra persona. Se define elinterés como el costo de tener dinero disponible para su uso.

2.1 Interés: El costo del Dinero

�� ¿Le conviene comprar algo en este momento o ahorrar el dinero y comprarlo después?

He aquí un ejemplo sencillo de cómo su comportamiento de compra puedetenerdistintos resultados. Imagine que tiene $100 y desea comprar un refrigerador de $100para su dormitorio.

� Si lo compra ahora, terminará sin dinero. Pero si invierte su dinero con un interés anualdel 6%, en un año podrá comprar el refrigerador y le sobrarán $6. Desde luego, necesitapreguntarse si la ganancia financiera de $6 compensa el inconveniente de no tener elrefrigerador durante un año.

2.1.1 El valor del dinero en el Tiempo

Si el precio del refrigeradoraumenta a una tasa anual del8% a causa de la inflación,no tendrá suficiente dinero(le harán falta $2) paracomprar el refrigeradordentro de un año. En talcaso, probablemente leconvenga comprar elrefrigerador ahora.

Si la tasa de inflación es sólodel 4%, entonces le sobrarán$2 si compra el refrigeradordentro de un año. La tasa ala cual usted gana interesesdebe ser más alta que la tasade inflación para que lacompra a futuro tengasentido.

�� Este ejemplo ilustra que debemos relacionar lacapacidad de generar

ganancias y el poder adquisitivo con el concepto de tiempo.

� Podemos definir el principio del valor del dinero en el tiempo de la siguientemanera: el valor económico de una suma depende de cuándo se reciba. Ya queel dinero tiene tantocapacidad de generar gananciascomo poderadquisitivo con el paso del tiempo

�

2.2 Elementos de transacción que implican interés

• La cantidad inicial de dinero que se invierte o se solicita en préstamo en una transacción se llama capital.

• La tasa de interés

• Un periodo llamado periodo de capitalización determina la frecuencia con la que se calcula el interés.

• Un periodo especificado determina la duración de la transacción y, por ende, establece un cierto número de periodos de capitalización

• Un plan de ingresos o egresosnos da un patrón específico de flujo deefectivo en un periodo determinado

• Una cantidad futura de dinero (F) es el resultado de los efectosacumulativos de la tasa de interés a lo largo de varios periodos decapitalización.

�� Supongamos que usted solicita al banco un préstamo para educación

de $30,000, con una tasa de interés anual del 9%. Además, usted pagauna comisión de $300 por la tramitación de la solicitud.� El banco ofrece dos planes de pago, uno con pagos iguales realizados al

final de cada año por los próximos cinco años (plan de cuotas), y otro enel que se realiza un pago único después del periodo de cinco años delpréstamo (plan diferido). Estos planes de pago se resumen enla tabla.

Ejemplo de una transacción de intereses

Fin de año Cantidad prestada Pagos

Plan 1 Plan 2

Año 0 $ 30,000.00 $300.00 $300.00

Año 1 $7,712.77 0

Año 2 $7,712.77 0

Año 3 $7,712.77 0

Año 4 $7,712.77 0

Año 5 $7,712.77 $46,158.72

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�

En el plan 1

el capital, P (por la sigla en inglés de principal, que significa capital), es $30,000 y

la tasa de interés, i, es del 9%.

El periodo de capitalización, n, es un año y la duración de la transacción es de cinco años, lo que significa que

hay cinco periodos de capitalización (N = 5).

Si bien un año es un periodo común de capitalización, a menudo éste se calcula también con base en otros

intervalos, por ejemplo, mensual, trimestral o semestralmente. Por esta razón, utilizamos el término

periodo en vez de año cuando definimos la lista anterior de variables.

Los ingresos y egresos planeados a lo largo de la duración de esta transacción producen un patrón de

flujo de efectivo de cinco pagos iguales, A, de $7,712.77 cada uno, que deben pagarse a fin de año

duran te los años 1 al 5.

El plan 2

tiene la mayoría de los elementos del plan 1,

excepto que, en vez de cinco pagos iguales,

tenemos un periodo de gracia seguido de un

solo pago futuro, F, de $46,158.72.

�� Los problemas relacionados con el valor del dinero en el tiempo tienen la ventaja de poder

representarse de forma gráfica con undiagrama de flujo de efectivo. Los diagramas de flujorepresentan el tiempo mediante una línea horizontal marcada con el número de los periodosde capitalización especificados. Las flechas representanlos flujos de efectivo en puntosrelevantes en el tiempo. Las flechas hacia arriba representan flujos positivos (ingresos) y lasflechas hacia abajo representan flujos negativos (egresos).

� Nota: las flechas representanflujos netos de efectivo;se suman dos o ingresos o egresosregistrados al mismo tiempo y se muestran como una sola flecha.

Diagramas de Flujo de Efectivo.

Realizar gráfica

�� Los flujos de efectivo son las cantidades de dinero estimadas

para los proyectos futuros, u observadas para los sucesos queya tuvieron lugar en los proyectos.

� Todos los flujos de efectivo ocurren durante periodosespecíficos, como 1 mes, cada 6 meses, o 1 año.� El periodo más común es un año. Por ejemplo, un pago de

$10,000 hecho una vez en diciembre de cada año durante 5años es una serie de 5 flujos de salida de efectivo. Y larecepción estimada de $500 cada mes durante 2 años es unaserie de 24 flujos de entrada de efectivo.

� La ingeniería económica basa sus cálculos en el tiempo, montoy dirección de los flujos de efectivo.

�� Los flujos de entrada de efectivo son lasrecepciones, ganancias, ingresos y ahorros generadospor los proyectos y actividades de negocios. Unsigno positivo o más indica un flujo de entrada deefectivo.

� Los flujos de salida de efectivo son los costos,desembolsos, gastos e impuestos ocasionados por losproyectos y actividades de negocios. Un signonegativo o menos indica un flujo de salida.

�� Flujo Neto de Efectivo = flujos de entradas de

efectivo - flujos de salidas de efectivo

� FNE = I - E

�� El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy

importante en un análisis económico, en particular cuando la serie delflujo de efectivo es compleja.

� Se trata de una representación gráfica de los flujos de efectivotrazados sobre una escala de tiempo.

� El diagrama incluye los datos conocidos, los datos estimados y lainformación que se necesita. Es decir, una vez completado eldiagrama de flujo de efectivo, otra persona debe ser capaz deabordar el problema a partir de él.

Año 1 Año 5

0 1 2 3 4 5Escala de tiempo

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�

� La dirección de las flechas en el diagrama es importante paradiferenciar las entradas de las salidas.

� Una flecha dirigida hacia arriba indica un flujo de efectivopositivo; a la inversa, si apunta hacia abajo, denota un flujonegativo.

� Usaremos una flecha en negritas para indicar que se trata deun flujo desconocido y que debe calcularse.

� Por ejemplo, para calcular un valor futuro F en el año 5, sedibuja una flecha gruesa con negritas y la leyenda F = ? en elaño 5. En la parte superior del diagrama se indica la tasa deinterés. Se ilustra un flujo de entrada de efectivo al final delaño 1, flujos de salida iguales al final de los años 2 y 3, unatasa de interés de 4% anual, y el valor futuro desconocido, F,al cabo de 5 años. La flecha para el valor desconocido por logeneral se dibuja en dirección opuesta a las otras flechas delos flujos; sin embargo, son los cálculos de ingenieríaeconómica los que determinarán el signo real del valor F.

i = 4% anual F = ?

0 1 2 3 4 5

�� Antes de dibujar un diagrama de flujo de efectivo y colocar un signo en él,

es necesario determinar la perspectiva o punto de vista para que puedausarse un signo + o uno - y así efectuar correctamente el análisiseconómico.

� Suponga que una persona obtiene un préstamo de $8,500 de un banco paracomprar en efectivo un automóvil usado de $8,000 la próxima semana, yutiliza el resto para pagar un trabajo de pintura dos semanas después dehoy.

� Al dibujar un diagrama de flujo de efectivo pueden adoptarse diferentesperspectivas:� las de quien recibe el dinero� el banquero,� el vendedor de coches� el dueño del taller de pintura.

�

Ejercicios

� Cada año, Exxon-Mobil gasta cantidades de dinero importantesen sistemas mecánicos de seguridad en sus operacionesalrededor del mundo.

� Carla Ramos, ingeniera industrial para las operaciones que sellevan a cabo en México y América Central, programa gastos deun millón de dólares ahora y en cada uno de los siguientescuatro años, exclusivamente para el mejoramiento de válvulasindustriales de alivio de presión.� Elabore el diagrama de flujo de efectivo para determinar el

valor equivalente de dichos gastos al final del año 4 con uncosto del capital estimado para fondos destinados a laseguridad de 12% anual.

��Una ingeniera eléctrica quiere depositar unacantidad P ahora de modo que pueda retirar unacantidad anual igual de A1 = $2 000 por año durantelos primeros 5 años, comenzando en el año 1 despuésde realizado el depósito, y con un retiro anualdiferente de A2 = $3 000 anuales durante lossiguientes tres años.

� ¿Cómo sería el diagrama de flujo de efectivo si i =8.5% anual?

�� Una compañía arrendadora gastó $2 500 en un compresor de

aire nuevo hace siete años.

� Los ingresos anuales por renta del compresor han sido de $750.

� Los $100 gastados en mantenimiento el primer año seincrementaron cada año $25.

� La empresa planea vender en $150 el compresor al final delpróximo año.

� Elabore el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vistade la compañía e indique dónde se ubica el valor presente.

�� El dinero se puede prestar y liquidar de muchas formas, y también, puede

generar intereses de muchas maneras distintas. Sin embargo, normalmente, alfinal de cada periodo de capitalización, el interés generado sobreel capital secalcula de acuerdo con una tasa de interés determinada.

� Los dos esquemas para calcular este interés generado producen un:

2.1.3Metodos para calcular Intereses

INTERES SIMPLE

INTERES COMPUESTO

El análisis de ingeniería económica utiliza el esquema de interés compuestosolamente, ya que es el de mayor uso en el mundo real.

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�� El primer esquema considera el interés generado sólo sobre el

capital inicial durante cada periodo de capitalización. El interésgenerado durante cada periodo de capitalización no generaintereses adicionales en los periodos restantes,aunque usted nolo retire.

� Para un depósito deP dólares con una tasa de interés simple dei por N periodos, el interés total obtenido “I” sería:

I� �� �

La cantidad total disponible al final de N periodos, F, seria:F = P + I = P(l + iN).

Interés Simple�

� El interés generado en cada periodo se calcula con base en la cantidad total al final delperiodo anterior. Esta cantidad total incluye el capital original más el interésacumulado que se ha dejado en la cuenta.

� En este caso, usted está incrementando la cantidad del depósito mediante la cantidaddel interés ganado. En general, si usted depositara (invirtiera) P dólares a una tasa deinterés i, tendríaP + iP = P(1 + i) dólares al final de un periodo de capitalización. Sila cantidad entera (capital e interés) se reinvirtiera a la misma tasai por otro periodo,usted tendría, al final del segundo periodo.

P(1 + i) + i[P (1 + i)] = P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i)2.

� A continuación, vemos que el saldo después del tercer periodo esP(1+ i)2 + i[P (1 + i)2] = P(1 + i)3

� Este proceso de generación de intereses se repite y, despuésde N periodos, el valoracumulado total (saldo) F se habrá incrementado a

F = P(1 + i)N

Interés compuesto

�� Suponga que usted deposita $1,000 en una cuenta de ahorros

que paga intereses a una tasa del 8% anual. Suponga que noretira el interés generado al final de cada periodo (año), sinoque deja que se acumule,� a) ¿Cuánto tendría al final del tercer año con un interés simple?

� b)¿Cuánto tendría al final del tercer año con un interéscompuesto?

� Análisis del problema

� Gráfica de FNE

EJEMPLO 2.1 Interés simple contra interés compuesto

�� El comentario de que el dinero tiene un valor en el tiempo nos lleva a una

pregunta importante: Si recibir $100 hoy no es lo mismo que recibir $100 enel futuro,� ¿cómo medimos y comparamos flujos de efectivo diversos?� ¿Cómo sabemos, por ejemplo, si es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro

de 10 años, que tener $8,000 cada año durante los siguientes 10 años?

2.2 Equivalencia Económica

�� El factor central al decidir entre diferentes flujos de efectivo tiene que ver con

comparar su valor económico.� Esto sería muy fácil si, en la comparación, no necesitáramosconsiderar el valor del

dinero en el tiempo. Podríamos simplemente sumar los pagos individuales en un flujode efectivo.

� La equivalencia económica se refiere al hecho de que cualquier flujo de efectivo, ya seaun solo pago o una serie de pagos, puede convertirse en un flujo de efectivoequivalente en cualquier momento. Lo que es importante recordar sobre elvalorpresente de los flujos de efectivo futuros es que la suma actual es equivalente en valor alos flujos de efectivo futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el valor presentehoy, podría transformarlo en los futuros flujos de efectivosimplemente invirtiéndolo ala tasa de interés vigente, también conocida comotasa de descuento.

2.2.1 Definición y Cálculos Simples

SUMA ACTUAL

FUTUROS

SUMA ACTUAL DEL VALOR PRESENTE DE FLUJOS DE EFECTIVOS FUTUROS

VALOR AL DE LOS FLUJOS DE

EFECTIVO FUTUROS,

INVIRTIENDO i%

�� Suponga que le ofrecen la alternativa de recibir $2,007 al término

de cinco años o $1,500 hoy. No hay duda de que la suma de $2,007será pagada en su totalidad (es decir, no hay riesgo). Suponiendoque no necesitará el dinero en los próximos cinco años, usteddepositaría los $1,500 en una cuenta que pague un interés i%. ¿Quévalor de i haría que usted fuera indiferente a su elección entre$1,500 hoy y la promesa de $2,007 después de cinco años

EJEMPLO 2.2 Equivalencia

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�� Cuando se elige un punto en el tiempo en el que se comparan los valores de

flujos de efectivo alternativos, normalmente utilizamos el tiempo presente, loque nos da lo que llamamos el valor presente de los flujos de efectivo, o unpunto en el futuro lo que resulta en su valor futuro. La elección del punto enel tiempo a menudo depende de las circunstancias que rodean una decisión enparticular, aunque también puede hacerse a conveniencia. Por ejemplo, si seconoce el valor presente para las primeras dos de tres opciones, calcular elvalor presente de la tercera nos permitirá comparar las tres. Para una mayorcomprensión, considere el sig. ejemplo.

� Considere el conjunto de flujos de efectivo dado en la figura. Calcule lacantidad total an = 3 a un interés anual del 10%.

2.2.2 Los cálculos de equivalencia requieren una base de tiempo común para su

comparación

0 1 2 3 4 5

$200

$150$100 $120 $100

$80

�� Factor de cantidad compuesta

� Dada una suma presenteP invertida por N periodos de capitalización a una tasa de interési,¿qué suma se habrá acumulado al término de losN periodos? Probablemente notó deinmediato que esta descripción encaja en el caso que encontramos al principio cuandodescribíamos los intereses compuestos. Para despejarF (la cantidad futura), utilizamos laecuación

� A causa de su origen en los cálculos de interés compuesto, el factor (1 +i)N se conoce comofactor de cantidad compuesta.Al igual que el concepto de equivalencia, este factor es unode los fundamentos del análisis de ingeniería económica. Dado este factor, sepueden obtenertodas las demás fórmulas de interés importantes.

� El proceso para determinarF a menudo se conoce comoproceso de capitalización.

2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos

F = P(1 + i)N.

�� Las fórmulas de interés como la que se desarrolló en la ecuación

F = P(l + i)N, nos permiten sustituir los valores conocidos de unasituación específica en la ecuación y despejar la incógnita.

� Antes de que se desarrollara la calculadora manual, resolver estasecuaciones era muy tedioso.� Por ejemplo, imagine que necesita resolver a mano una ecuación con

un valor muy grande deN, como F = $20,000(1 + 0.12)15. Lasfórmulas más complejas requerían aún más cálculos. Para simplificarel proceso, se desarrollaron tablas de factores de interés compuesto.Estas tablas nos permiten encontrar el factor apropiado para una tasade interés dada y el número de periodos de capitalización.

Tablas de interés�

� Para especificar cómo usar las tablas de interés, también podemos expresar esefactor en una notación funcional como (F/P, i, N), que se lee como "Encontrar F,dados P, i y N". Este factor se conoce como el factor de cantidad compuesta parapagos únicos. Cuando incorporamos el factor de la tabla a la fórmula, ésta seexpresa de la siguiente manera:

F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N).

� Así, en el ejemplo anterior, donde temamos F = $20,000(1.12)15, ahora podemosescribir F = $20000(F/P, 12%, 15). El factor de la tabla nos indica utilizar la tabla del12% de interés y encontrar el factor en la columna F/P para N = 15.

Notación con factores

��Si tuviera $1,000 ahora y los invirtiera al 7% de interés

compuesto anual, ¿cuánto valdrían en 8 años (figura 2.8)?�

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

� Información:�Gráfico:�Determine: F.

EJEMPLO 2.4 Cantidades únicas: Determine F, dados P, i y N

��Encontrar el valor presente de una cantidad futura es

simplemente lo contrario a calcular el interés compuesto, yse conoce como elproceso de descuento.En la ecuaciónanterior, podemos ver que si necesitamos encontrar unasuma presenteP, dada la cantidad futuraF, simplementedespejamos

2.3.2 Factor del valor presente

P = F�

��� �= F 1 � � = F P/F, i, N

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��Un bono cupón cero, o simplemente bono cero, es unaconocida variante sobre el tema de los bonos paraalgunos inversionistas. ¿Cuál debe ser el precio para unbono cupón cero de ocho años con un valor nominal de$1,000 si los bonos cero similares están redituando uninterés anual del 6%?

�Dados: F = $1,000, i = 6% anual y N=8 años

�Determine: P.

EJEMPLO 2.5 Cantidades únicas: Determine P, dados F, i y N

�� A estas alturas, debe quedar claro que los procesos de capitalización y descuento

son recíprocos y que hemos estado tratando con una ecuación en dos formas:� Forma del valor futuro:

�F = P (1 + i) N� y

� Forma del valor presente:

� P = F (1 + i) -N� Existen cuatro variables en estas ecuaciones:P, F, N e i. Si usted conoce los valores

de tres de ellas, puede encontrar el valor de la cuarta. Es más, siempre le hemosdado la tasa de interés (i) y el número de años(N), además de P o F. No obstante,en muchas situaciones, necesitará despejari o N, como se muestra a continuación.

2.3.3 Soluciones para tiempo y tasas de interés

�

�EJEMPLO 2.6 Solución para i�Suponga que compra una acción en $10 y la vende en $20;

su ganancia es, por lo tanto, $10, Si eso ocurre dentro de un año, su tasa de interés de retorno es un impresionante 100% ($10/$10 = 1). Si pasan cinco años, ¿cuál sería la tasa de interés de retorno de su inversión?

�

�Usted acaba de comprar 100 acciones de General Electric a$30 cada una. Venderá las acciones cuando su valor demercado se duplique. Si espera que el precio de las acciones seincremente en un 12% anual, ¿cuánto tiempo piensa esperarantes de vender las acciones?

EJEMPLO 2.7 Cantidades únicas: Determine N, dados P, F e i

�

Serie de pagos desiguales

�� EJEMPLO 2.8 Opción de prepago (pagos anticipados) de colegiaturas� La opción de prepago de colegiaturas (OPC) que ofrecen muchas

universidades representa ahorros al poder evitar futuros incrementosa las colegiaturas. Al inscribirse al plan, usted paga todas lascolegiaturas que restan hasta el momento de graduarse y las cuotasrequeridas de acuerdo con las tarifas vigentes en el momento de lainscripción al plan. Las colegiaturas y cuotas (a excepción delalojamiento y la alimentación) para el año académico 2006-2007ascienden a $31,665 en la Universidad de Harvard. La colegiatura totalpara un estudiante de nuevo ingreso hasta el momento de sugraduación, de acuerdo con las tarifas vigentes, es de $126,660. Lacolegiatura, las cuotas, el alojamiento y la alimentación normalmentese incrementan cada año, pero es difícil predecir en cuánto, ya que loscostos dependen de las tendencias económicas futuras y lasprioridades institucionales. La siguiente tabla indica la colegiatura ylas cuotas requeridas desde 2002:

EJEMPLO 2.8 Opción de prepago (pagos anticipados) de colegiaturas

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�Año académico Colegiatura y cuotas Prepago requerido2002-03 $25,650 $102,6002003-04 $27,208 $108,8322004-05 $28,712 $114,8482005-06 $30,122 $120,4882006-07 $31,665 $126,660

� Suponga que usted se inscribió en la opción de prepago de colegiaturaspara el año académico 2003-2004. En 2007, al mirar hacia atrás cuatroaños hasta el momento de la inscripción y conociendo ahora con exactitudel monto real de las colegiaturas, ¿piensa usted que su decisión de pagarpor adelantado estuvo justificada en un sentido económico, "cuando eldinero ahorrado o invertido se podía incrementar" a una tasa de interésdel6%?

��A menudo nos encontramos con transacciones en las que

existe una serie uniforme de pagos. Los pagos de renta, lospagos de intereses sobre bonos y los pagos a plazoscomerciales se basan en series de pagos uniformes. Nuestrapreocupación es encontrar el valor presente equivalente (P) oel valor futuro(F) de una serie así.

2.5 Series de pagos iguales

�� Suponga que nos interesa la cantidad futura F de unfondo al cual contribuimos con A pesos cada periodoy sobre el cual ganamos un interés a una tasa i porperiodo.

� Las contribuciones se realizan al término de cadauno de los periodos N.

Factor de la cantidad compuesta (para series de pagos iguales): Determinar F, dados A, i y N

��Analizando el diagrama, vemos que si se invierteuna cantidad A al final de cada periodo durante Nperiodos, la cantidad de F al termino de los Nperiodos, será la suma de todas las cantidadescompuestas de cada depósito.

0 1 2 3 4 N-1 N

A

� � � 1 � �� � 1 � �� ⋯ � 1 � +A

� � �1 � � 1

�

� � � �/�, �,�

�� Suponga que hace una contribución anual de $3,000a una cuenta de ahorros durante 8 años. Si la cuentagenera el 5% de interés anual, ¿cuánto podrá retiraral termino de 10 años?

�Análisis:

� A=$3,000 N=8 años i=5% F=?

� Resolver con:

� Fórmula

� Excel, con pago, no VA.

� Tablas de factores

$3,000

F=?i = 5%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

��En el anterior el primer depósito de la serie de depósitos se

hizo al final del primer periodo y los siguientes depósitosrestantes se hicieron al final de cada periodo siguiente.Ahora suponga que todos los depósitos se hicieronalprincipio de cada periodo. ¿Cómo calcularía el saldo alfinal del quinto periodo?

Manejo de los desplazamientos de tiempo en una serie uniforme

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� �

Factor del fondo de amortización (para series de pagos iguales): Determinar A, dados F, i y N

� � ��

1 � � 1

� � � �/�, �,�

�� Usted desea crear un plan de ahorro para los estudios universitariosde su

hija. Ahora tiene 10 años de edad e ingresará a la universidad a los 18.

� Usted supone que cuando empiece la universidad, necesitará por lo menos$100,000 en el banco. ¿Cuánto necesita ahorrar cada año para así tener losfondos necesarios si la tasa de interés actual es del 7%? Suponga que serealizan depósitos cada fin de año.

� Análisis: F =$100,000 i=7% N= 8 años A=?

Plan de ahorro para la universidad: Determine A, dados F, N e i

�� Podemos determinar la cantidad de un pago periódico,A, si

conocemosP, i y N. Para relacionarP con A, recuerde la relaciónentre P y F en la ecuación:F = P(l + i)N. Al sustituir F en la ecuaciónpor P(1 + i)N, obtenernos:

Factor de recuperación de capital (factor de anualidad): Determine A, dados P, i y N

La parte entre corchetes se llamafactor de recuperación de capital paraseries de pagos iguales,o simplemente,factor de recuperaciónde capital, yse designa como(A/P, i, N). En finanzas este factorA/P se conoce como elfactor de anualidad.El factor de anualidad indica una serie de pagos de unacantidad fija o constante durante un número especificado de periodos.

�� Usted solicitó un préstamo de $21,061.82 para financiar susgastos de

educación del último año en la universidad. El préstamo se pagará encinco años, conlleva un interés del 6% anual y debe liquidarse en pagosanuales iguales durante los siguientes cinco años.

� Suponga que usted pidió el dinero a principios de su último año y queel primer plazo de pago se cumplirá un año después. Calcule lacantidad de los pagos anuales

Pago de un préstamo para educación: Determine A, dados P, i y N

�� Suponga, en el ejemplo� Suponga, en el ejemplo

anterior, que usted deseanegociar con el bancopara que se le difiera elprimer pago delpréstamo hasta el finaldel año 2.� (Pero todavía desea

realizar 5 pagos igualesal 6% de interés.)

� Si el banco quieregenerar la mismaganancia que en elejemplo,� ¿cuál debe ser el nuevo

pago anual?

Pagos diferidos de un préstamo

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�� ¿Cuánto tendría que invertir ahora para retirarA dólares al término de

cada uno de siguientes N periodos? Ahora nos enfrentamos justo a lasituación opuesta a la del fa de recuperación decapital para pagosiguales: conocemos A, pero debemos determinar P. Con el factor derecuperación de capital dado en la ecuación anterior, despejamosP paraobtener

Factor del valor presente: Determine P, dados Factor del valor presente: Determine P, dados A, i y N

� � �1 � � 1

� 1 � � A �/�, �, �

�A, i yN� Series uniformes: Determine P, dados A, i yN

� Recientemente, una pareja de los suburbios de Chicago ganó en lalotería multiestatal conocida como Powerball. El premio sehabíaacumulado durante varias semanas, por lo que era muy cuantioso. Loscompradores de boletos podían elegir entre una suma total de$104millones o un total de $198 millones a pagar en 25 años (o $7.92millones por año) si ganaban el premio mayor. La pareja ganadoraeligió la suma total. Desde un punto de vista estrictamente económico,¿la pareja eligió la opción más lucrativa?

� Dados: i= 8% anual, A = $7.92 millones y N = 25 años. Determine: P.

�� Considere los dos siguientes

planes de ahorro que ustedpodría comenzar a la edad de 21años:

� Opción 1: Ahorrar $2,000 al añopor 10 años. Al término de 10años, no ahorrar más, sinoinvertir la cantidad acumuladahasta alcanzar la edad de 65años. (Suponga que el primerdepósito se efectúa cuando ustedtenga 22.)

� Opción 2: No hacer nada losprimeros 10 años. A partir deentonces, empezar a ahorrar$2,000 cada año hasta llegar a los65 años. (Suponga que el primerdepósito se realiza al cumplir 32años.)

� Si usted pudiera invertir sudinero al 8% en el horizonte deplaneación, ¿cuál plan daríacomo resultado más dineroahorrado para cuando ustedtenga 65?

Comience a ahorrar dinero tan pronto como le sea posible: Serie compuesta que requiere los factores

(F/P, i, N) y (F/A, i, N)

�� Una perpetuidad es una serie de flujos de efectivo que continúa por siempre.

� Para ilustrar, considere un flujo perpetuo de $1,000 por año. Si la tasa de interés es del10% anual, ¿cuánto vale esta perpetuidad hoy?� La respuesta es $10,000. Para ver por qué, considere cuánto dinero tendría que depositar en

una cuenta bancaria que ofrece un interés del 10% anual para poder retirar $1,000 cada año porsiempre. Desde luego, si usted deposita $10,000, entonces al terminar el primer año tendría$11,000 en la cuenta. Usted retira $1,000, dejando $10,000 para el siguiente año. Como esevidente, si la tasa de interés se mantiene al 10% anual, no seacabará el capital, por lo quepodría continuar retirando $1,000 cada año por siempre.

Valor presente de perpetuidades

�

� Manejo de series con gradiente lineal� En ocasiones, los flujos de efectivo varían linealmente; es decir, aumentan

o disminuyen en una cantidad establecida, G, la cantidad de gradiente.Este tipo de series se conoce comoseries gradientes estrictas,como seindica en la figura.

Manejo de series con gradiente

Series con gradiente linealcomo series compuestasUn problema comúnrelacionado con las seriescon gradiente lineal incluyeun pago inicial durante elperiodo 1 que se incrementaen un factor G durantealgunos periodos de capi-talización.

�

Factor de valor presente: Gradiente lineal: Factor de valor presente: Gradiente lineal: Determine P, dados G, N e i

� ¿Cuánto tendría usted que depositar ahora para retirar las cantidades gradientes especificadas en la figura?

� Para encontrar una expresión para la cantidad presente P, aplicamos el factor del valor presente para pagos únicos a cada uno de los términos de la serie, de donde obtenemos

Escribaaquílaecuación.

� � (1 � � �� � 1

�� 1 �

� ( �/(, �, �

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��Usted solicitó un préstamo de $10,000 en un banco local,acordando que pagará el préstamo de acuerdo con un plan depagos escalonados. Si su primer pago se fija en $1,500, ¿cómosería el pago restante a una tasa de préstamo del 10% por cincoaños?

�Dados: P = $10,000, A, = $1,500, N = 5 años e i = 10%.

�Determine: G.

Creación de un esquema escalonado para la liquidación de un préstamo con series con gradiente lineal

�

Ejemplo

�Una persona que compró un automóvil espera que loscostos de mantenimiento sean de $150 al final delprimer año y que en los años siguientes aumenten arazón de $50. si la tasa de interés es de 8% y secapitaliza cada año. ¿cuál será el valor presente de estaserie de pagos durante un periodo de 6años.

0 1 2 3 4 5 6 P=?

150200

250300

350400

�

Ejemplo 2

�Una comercializadora vende computadoraspersonales:� se realiza un primer pago de $900 un mes después de la

fecha de adquisición, además de nueve pagos mensuales.

� Cada uno de los pagos disminuye $50 en comparación conel mes anterior.

� Si el interés que cobra es del 1% mensual, ¿cuál es el precioque se pagaría sí se comprará ahora?

�

Gradiente Aritmético F/A-G

�Determina la formula para obtener el valor futuroequivalente de un gradiente aritmético conocido,como:

�

Ejemplo

�Una persona deposita $100 en un banco al final delprimer mes y los depósitos sucesivos seincrementaron en $50 cada uno. Si el banco paga asus ahorradores un interés de 2% mensual, ¿Cuántohabrá acumulado esta persona en el banco en elmomento de hacer el sexto depósito?

�

Gradientes geométricos

�Algunas veces los flujos de caja cambian enporcentajes constantes en períodos consecutivos depago, en vez de aumentos constantes de dinero.

� Este tipo de flujo de caja, es llamado serie de flujosde tipo gradiente geométrico o series en escalera. Alos porcentajes constantes es a lo que se le conocecomo gradiente geométrico, esto se muestra en lasiguiente figura, donde A representa la cantidad dedinero en el año 1 y g representa al incrementoporcentual.

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�

0 1 2 3 4 n - 1 n

AA(1+j)

A(1+j)2

A(1+j)3

A(1+j)n-1

A(1+j)n-2