UNIDAD 8 FUNCIONES. 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. · Departamento de Matemáticas 1 Bloque IV: Análisis...
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IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 1 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
xy 2= 2 1
UNIDAD 8 FUNCIONES.
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas formas de expresar una “función”.
Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble.
Tabla de valores: Expresión analítica de la relación Gráfica: o fórmula matemática: xy 2= o bien: xxf 2)( = De este modo, 422)2( =⋅=f , 8)4(2)4( −=−⋅=−f … Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
Son distintas formas de expresar una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un ÚNICO valor de la variable y.
Al único valor de y que le corresponde a x se le llama imagen de x. Al valor de x cuya imagen es y, lo llamamos original de y o antiimagen de y.
En el ejemplo anterior: ⎩⎨⎧
⇒=9 es 18 de antiimagen La
18 es 9 deimagen La18)9(f
Una FUNCIÓN entre dos conjuntos numéricos A y B es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A, a lo sumo, un único elemento y de B.
x→ Variable independiente. y→Variable dependiente (depende de x). A→Conjunto inicial (donde toma valores la variable independiente). B→Conjunto final (donde toma valores la variable dependiente).
Dominio de una función: Conjunto de valores que toma la variable independiente x. Se denota por Dom(f) y es un subconjunto de A. También se llama campo de existencia de la función. Recorrido o imagen de una función: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Se denota por Rec(f) o también Im(f). Es un subconjunto del conjunto final B. Si el conjunto inicial y final de una función es ℜ , se llama función real de variable real. Se escribe:
)()(:
xfyxfDomf
=ℜ⎯→⎯
a ( ) ℜ⊂fDom
Nos ocuparemos exclusivamente de este tipo de funciones.
Ejemplo:
2)(
:)xxfx
fa=
ℜ⎯→⎯ℜ
a
[ )xxfx
fb
=
ℜ⎯→⎯∞+
)(
,0:)
a
Notación: ( )∞+=ℜ+ ,0 [ )∞+=ℜ+ ,00 ( )0,∞−=ℜ− ( ]0,0 ∞−=ℜ− ℜ=ℜ∗ \{ }0
Ejercicio: Dada la función ( ) .122 +−= xxxf a) Calcula la imagen de 2x = y 3.x −= b) Calcula la antiimagen de 4 y de 25.
Número (x) Su doble (y) -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 3 6
… … x 2x
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TIPOS DE FUNCIONES:
( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=→
+=→
=→
−=→
+
−=→
−+=→
−
4)(
32ln)(
2)(
72)(
12
23)(
272)(
3
3
2
xtgxfRICASTRIGONOMÉT
xxfASLOGARÍTMIC
xfLESEXPONENCIA
TESTRASCENDEN
xxfESIRRACIONAL
x
xxfIASFRACCIONAR
xxxfSPOLINÓMICA
RACIONALESSALGEBRAICA
FUNCIONES
x
A las funciones racionales fraccionarias se les llama simplemente racionales.
Podemos tener funciones como ( )x
exxfx
cos)4ln(
32 +−
= mezcla de varios tipos de trascendentes.
Recuerda: Una gráfica corresponde a una función cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la gráfica, a lo sumo, una sola vez. Sí es función No es función Sí es función No es función CÁLCULO DE DOMINIOS: Si la función viene dada por su expresión matemática es conveniente obtener su dominio para así saber dónde está definida. El dominio de una función debe estar formado por los valores de x para los que tiene sentido sustituir en su expresión analítica. En el cálculo de dominios debemos evitar los valores de x que: Anulan denominadores (división por cero).
Dan lugar a raíces de índice par de números negativos. Dan lugar a logaritmos de números no positivos.
Ejemplos: ( ) 2) 2 ++= xxxfa
( )x
xxfb 13) −=
( )732)
+−
=xxxfc
( ) ( )( )53)
−−=
xxxxfd
( )954) 2 −
−=
xxxfe
( )954) 2 +
−=
xxxff
( )127
74) 2 +−−
=xx
xxfg
( )64
125) 23
2
−+++−
=xxx
xxxfh
( )107
23) 24 +−+
=xx
xxfi
( )107
23)24 +−
+=
xxxxfj
( ) xxfk =)
( ) 1) −= xxfl
( )1
1)−
=x
xfm
( ) xxfn 23) −=
( )x
xxfñ2372)
−+
=
( ) 25) 2 −= xxfo
( ) 225) xxfp −=
( ) 25) 2 += xxfq
( ) 4 2 127) +−= xxxfr
( ) 3 2 127) +−= xxxfs
( )127
1)2 +−
=xx
xft
( )32
4)+−
=x
xxfu
( )xx
xxfv53) 2 −
−=
( ) ( )115ln) −= xxfw
( ) 9log) 2 −= xxfx
( )11ln)
−+
=xxxfy
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2. MONOTONÍA Y EXTREMOS. ACOTACIÓN. 2.1. MONOTONÍA.
• f es estrictamente creciente en un intervalo abierto ),,( ba si
para cualquier pareja de números reales ( )badc ,, ∈ se cumple que ( ) ( ).dfcfdcsi <⇒<
• f es estrictamente decreciente en un intervalo abierto
),,( ba si para cualquier pareja de números reales ( )badc ,, ∈ se cumple que ( ) ( ).dfcfdcsi >⇒<
• Si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente
en un intervalo abierto ),,( ba diremos que f es estrictamente monótona en ).,( ba
2.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.
• f tiene un máximo relativo (o local) en a si existe un
entorno de a , ( )rara +− , , en el que:
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
<⇒><⇒<
afxfaxsiafxfaxsi
• f tiene un mínimo relativo (o local) en a si existe un
entorno de a , ( )rara +− , , en el que:
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
>⇒>>⇒<
afxfaxsiafxfaxsi
• Si f presenta un máximo o un mínimo relativo en a
diremos que f presenta un extremo relativo en a .
• f tiene su máximo absoluto (o global) en a si: ( ) ( ) ( )fDomxafxf ∈∀≤
• f tiene su minino absoluto(o global) en a si: ( ) ( ) ( )fDomxxfaf ∈∀≤
• Si f presenta un máximo o un mínimo absoluto en a diremos que f presenta un extremo relativo en a .
Fíjate:
Podemos encontrar mínimos relativos con valor mayor que máximos relativos y viceversa. Un extremo absoluto puede alcanzarse en uno o varios puntos distintos o bien no alcanzarse.
Extremos relativos→Concepto local Extremos absolutos→Concepto global
2.3. FUNCIONES ACOTADAS.
• f está acotada superiormente si existe un número real M tal que:
( ) ( )fDomxMxf ∈∀≤
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• f está acotada inferiormente si existe un número real
N tal que: ( ) ( )fDomxxfN ∈∀≤
• f está acotada si lo está superior e inferiormente, es
decir, existen dos números reales M y N tales que:
( ) ( )fDomxMxfN ∈∀≤≤
Observa: En las figuras anteriores, la menor de las cotas superiores (llamada supremo) coincide con el máximo absoluto de la función. Del mismo modo, la mayor de las cotas inferiores (llamada ínfimo) coincide con el mínimo absoluto. Sin embargo, puede que una función esté acotada superiormente y/o inferiormente y sin embargo no tener máximo ni mínimo absolutos como en el siguiente ejemplo.
Cota superior: M = 1.8 Cota inferior: N = -1.8 Sin embargo no tiene extremos absolutos ni relativos.
3. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD.
3.1. FUNCIONES SIMÉTRICAS.
• f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) si:
( ) ( ) ( )fDomxxfxf ∈∀=−
Se dice que f es una función par.
• f es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0) si:
( ) ( ) ( )fDomxxfxf ∈∀−=−
Se dice que f es una función impar.
Ejemplo1: Estudia las simetrías de las siguientes funciones:
a) b) c)
Ejemplo2: Estudia, analíticamente, si estas funciones presentan algún tipo de simetría. ( ) 26) xxxfa −= ( ) xxxfb 2) 3 −= ( ) xxxfc 2) 5 += ( ) 23) xxxfd −=
-x x
f( -x) f( x)
-x x
f( x)
f( -x)
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3.2. FUNCIONES PERIÓDICAS. f es periódica de periodo T, si existe un número real T tal que:
( ) ( ) ( )fDomxxfTxf ∈∀=+ Fíjate: 2T, 3T… también son periodos de T. A T se le llama periodo principal.
4. OPERACIONES CON FUNCIONES. Dadas dos funciones f y g, se define: Suma de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=+∈∀
Diferencia de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf −=− ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=−∈∀ Producto de k ℜ∈ y f: ( )( ) ( )xfkxkf ⋅= ( ) ( )fDomkfDomx =∈∀
Producto de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf ⋅=⋅ ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=⋅∈∀
Cociente de f y g: ( ) ( )( )xgxfx
gf
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ( ) ( )gDomfDom
gfDomx ∩=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈∀ con ( ) 0≠xg
Ejemplo 1: Si ( ) 253 2 +−= xxxf y ( ) ,4+= xxg calcular:
gfa +) gfb −) fc 3) fd −) gfe ⋅) gff ) gfg 32) +
fh 1)
Ejemplo 2: Si ( )41
2 −+
=xxxf y ( ) ,3−= xxg calcular:
gfa +) gfb −) gfc ⋅) fd ⋅3) gfe) gff 35) −
gg 1) gh −)
5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Consideremos las funciones ( ) xxf = y ( )
xxg 1= .
16 A 16 le hemos aplicado f : ( ) 41616 ==f .
( ) xxf = A 4 le hemos aplicado g: ( ) .414 =g
4 ( ) xxg /1=
1/4 16 Pretendemos construir una nueva función que transforme 16 en 1/4 directamente:
( ) xxf = ( )( ) ( )x
xgxfg 1==⇒ ( )( )
41
16116 ==⇒ fg ( )( )
xxfg 1=o
Esta nueva función se representa por fg o y se denomina composición de f y g. 1/4 ( )( ) ( )( )xfgxfg =o ( ) ( ) ( ) ( ){ }gDomxffDomxfgDom ∈∈= /o Observación:
→fg o Se lee f compuesta con g. →gf o Se lee g compuesta con f.
En general, fggf oo ≠ , es decir, no cumple la propiedad conmutativa.
( ) ( )( ) ( )4141641616 ==⎯→⎯=⎯→⎯ gfgf gf
fg o
Esta función ( ) xxf cos= es periódica de periodo π2=T
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Ejemplo: Si ( ) xxxf 52 −= ( ) .xxg = a) Obtén ( )( )9fg o sin calcular la función .fg o
( )( ) ( )( )( )
( ) 6363699369
=====↑
gfgfgf
o
b) Calcula ( )( )9fg o obteniendo previamente .fg o
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxxfgxxxxgxfgxfg 555 222 −=⇒−=−== oo
( )( ) 6369599 2 ==⋅−=⇒ fg o c) Calcula .gf o
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxfxgfxgf 552
−=−===o Observa: fggf oo ≠
Ejercicio: Obtén gf o , fg o , ff o y gg o en los siguientes casos: a) ( ) 12 += xxf ( ) .3xxg = b) ( ) 14 += xxf ( ) .2xxg =
c) ( ) 12 += xxf ( ) .1
1−
=x
xg
d) ( ) 2+= xxf ( ) .1x
xg =
6. FUNCIÓN INVERSA. Dada la función ( ) 32 −= xxf busco otra función que “actúe al revés”. 4 5 ( ) 32 −= xxf ( ) ?1 =− xf 5 4 Para obtenerla seguimos los siguientes pasos:
1º) Escribo: 32 −= xy f
2º) Despejo x: 2
3+=
yx 1−f
3º) Cambio x por y y viceversa: 2
3+=
xy
4º)Cambio y por ( ):1 xf − ( )2
31 +=− xxf
A 1−f se le llama función inversa (o recíproca) de la función .f No todas las funciones tienen inversa. Únicamente las que son inyectivas.
Propiedad 1: Las gráficas de f y 1−f son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (Observa la gráfica del ejemplo anterior).
Propiedad 2: ( )( ) ( )( ) xxffxff == −− oo 11 . En este caso la composición es conmutativa.
En el ejemplo anterior:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxffxxxxfxffxff
xxffxxxxfxffxff
=⇒=//
=/+/−
=−==
=⇒=−+=−/+
/=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==
−−−−
−−−
oo
oo
1111
111
22
233232
3332
322
3
Recuerda: f inyectiva si
)()( yfxf = yx =⇒
Inyectiva
No inyectiva
( ) 32 −= xxf
4 5 ?¿ 1−f
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Ejemplo 1: Calcula 1−f en los siguientes casos y comprueba que iffff == −− 11 oo . a) ( ) 63 −= xxf
( ) 313
333
66
;666
+=⇒+=
+=⇒+=⇒−=− xxfxy
yxyxxy
Veamos que iffff == −− 11 oo
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) xxx
xfxffxff
xxx
xfxffxff
=/−/+=−+=
=+==
==/+/−=
=−==
−−
−−−
6666
6)(
66
6
33
311
3 33 3
3111
o
o
b) ( ) 52 −= xxf
c) ( )62
1+
=x
xf d) ( )
21
−+
=xxxf
e) ( ) 132 += xxf
Ejemplo 2: Si ( ) 2xxf = obtén, si es posible, 1−f .
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒=
−
−
xxf
xxf
xy
xy
yx
yxxy
1
12 ¿Cuál elegimos?
Esto ocurre porque f no es inyectiva. En este caso podemos descomponer f en dos tramos en los que sí lo es y tendrá su inversa respectiva en uno de ellos:
( ) 2xxf = en [ )+∞,0 ( ) xxf =⇒ −1
( ) 2xxf = en ( ]0,∞− ( ) xxf −=⇒ −1 Observa las gráficas en cada tramo:
Fíjate: ( ) ( ) abfbaf =⇒= −1
7. FUNCIONES ELEMENTALES. 7.1. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO. Son de la forma:
( ) nmxxf += →m Pendiente. →n Ordenada en el origen.
Gráfica: Recta que pasa por el punto ( ).,0 n Si ⇒> 0m Estrictamente creciente Si ⇒< 0m Estrictamente decreciente
f
f -1
No es una función
f
f -1
f
f
f -1
Recuerda: xxi =)( es la
función identidad.
( )n,0 ( )n,0
f(x) = mx+n
f(x) = mx+n
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En ambos casos ( ) ℜ=fDom , ( ) ℜ=fRec . No está acotada ni superior ni inferiormente.
Si ( ) mxxfn =⇒= 0 Función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráfica es una recta que pasa por ( ).0,0
Si ( ) nmxxfnm +=⇒≠≠ 0;0 Función afín. Si ( ) nxfm =⇒= 0 Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado).
Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por ( ).,0 n En este caso: ( ) ℜ=fDom ( ) { }nfRec = .
7.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS O POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO. Son de la forma: ( ) cbxaxxf ++= 2 con ℜ∈cba ,, 0≠a ( ) ℜ=fDom Gráfica: Parábola. Mayor valor de →a Más “estilizada” (cerrada) es la parábola. Recuerda:
Si ( )∪⇒> Convexaa 0 Si ( )∩⇒< Cóncavaa 0
Ejemplo: Representa la función ( ) 322 −−= xxxf . Estudia su dominio, recorrido, monotonía, extremos y acotación.
1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 ( ) ℜ=fomD 2º) Puntos de corte con los ejes:
Eje OX: ( )( )⎩
⎨⎧
−⇒−=⇒=
⇒=−−⇒=0,11
0,330320 2
QxPx
xxy
Eje OY: ( ) ( )3,0300 −⇒−=⇒= Rfx 3º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convexa)
;122
2==
−=
abxv ( ) ⇒−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 41
2f
abfyv ( )4,1 −V
( ) [ )∞+−= ,4fRec Estr. decreciente en ( );1,∞− Estr. creciente en ( ).,1 ∞+ Acotada inferiormente (N=-4), pero no superiormente.
7.3. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR. Función polinómica de grado n: ( ) 01
22
11 ... axaxaxaxaxf n
nn
n +++++= −− con ℜ∈ia .0≠na
Propiedades: • ( ) ℜ=fDom , ( )fRec depende de cada función. • Continua en .ℜ • A lo sumo corta n veces al eje de abscisas.
El resto de propiedades son específicas de cada función y se estudiarán en siguientes unidades.
Ejemplos de gráficas: Si 0>na Si 0<na n par n impar n par n impar
( )n,0 f(x) = n
f
f
f
f
f
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7.4. FUNCIONES RACIONALES. Son de la forma:
( ) ( )( )xQxPxf = con ( )xP , ( )xQ funciones polinómicas.
( ) ℜ=fDom \ ( ){ }0/ =ℜ∈ xQx . Ejemplos:
a) ( )41
2
3
−−
=xxxf ( ) ℜ=fDom \{ }2,2− b) ( )
11
2 +=
xxg ( ) [ )∞+=ℜ= + ,00gDom
( ) ℜ=fRec ( ) ( )∞+=+ℜ= ,0gRec Sus propiedades son diferentes para cada función.
CASO PARTICULAR: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Son de la forma:
( )xkxf = con ℜ∈k .0≠k
Gráfica: Hipérbola equilátera.
Ejemplos:
a) ( )x
xf 1= b) ( )
xxg 2= c) ( )
xxh 1−=
Observa: Si ⇒> 0k Ramas situadas en el primer y tercer cuadrante. Si ⇒< 0k Ramas situadas en el segundo y cuarto cuadrante.
Propiedades:
• ( ) ℜ=fDom \{ }0 , ( ) ℜ=fRec \{ }0 . • Si ⇒> 0k Estrictamente decreciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00, .
Si ⇒< 0k Estrictamente creciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00, . • No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada ni superior ni inferiormente. • Impar (simetría respecto al origen). • 0=y es una asíntota horizontal. • 0=x es una asíntota vertical.
f
g
f
g
h
• Puntos de la gráfica: ( ) ( )kPkf ,11 ⇒= ( ) ( )1,1 kPkf ⇒= ( ) ( )kPkf −−⇒−=− ,11( ) ( )1,1 −−⇒−=− kPkf
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También tienen como gráfica una hipérbola las funciones racionales del tipo:
( )dcxbax
xf++
= ( ) ℜ=fDom \{ }cd /− Asíntota vertical: cdx /−=
( ) ℜ=fRec \{ }ca / Asíntota horizontal: cay /= Aunque tendremos que tener en cuenta algunos casos como el ejemplo b).
Ejemplos:
a) ( )253
−−
=xx
xf
( ) ℜ=fDom \{ }2 ( ) ℜ=fRec \{ }3
Asíntota vertical: 2=x Asíntota horizontal: 3=y . Estrictamente decreciente en: ( ) ( )+∞∪∞− ,22, . No acotada ni superior ni inferiormente. No presenta extremos absolutos ni relativos. No es impar.
Fíjate: ( )2
13253
−+=
−−
=xx
xxf ¿Qué observas?
b) Dada la función ( )263
−−
=xx
xg ¿su gráfica es una hipérbola? ¿por qué?
7.5. FUNCIONES IRRACIONALES. Son de la forma: ( ) ( )n xgxf = con ( )xg polinómica o racional.
Si n es par ( ) ( ){ }0/)( ≥∈=⇒ xggDomxfDom Si n es impar ( ) ( )gDomfDom =⇒
Ejemplos:
a) ( ) xxf = ( ) [ )∞+=ℜ= + ,00fDom b) ( ) 3 1+= xxg ( ) ℜ=gDom
( ) [ )∞+=ℜ= + ,00fRec ( ) ℜ=gRec
7.6. FUNCIONES EXPONENCIALES. Son de la forma:
( ) xaxf = con ;ℜ∈a 0>a y 1≠a
Ejemplos:
a) ( ) xxf 2= y ( ) xxg 3= b) ( )x
xf ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
y ( )x
xg ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
31
x 0 1 4 9 16 f(x) 0 1 2 3 4
x -9 -2 -1 0 7 g(x) -2 -1 0 1 2
x -2 -1 0 1 2 3 x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) 4 2 1 1/2 1/4 1/8 g(x) 1/9 1/3 1 3 9 27 g(x) 9 3 1 1/3 1/9 1/27
f
f g
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Fíjate: Las gráficas de ( ) xaxf = y ( )x
axg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 son simétricas respecto al eje OY.
f
Propiedades:
• ( ) ℜ=fDom , ( ) ( )∞+= ,0fRec . • Su gráfica pasa por los puntos:
( )1,0P , es decir, ( ) .10 == oaf ( )aP ,1 , es decir, ( ) .1 1 aaf == ( )aP /1,1− , es decir, ( ) ./11 1 aaf ==− −
• Convexa en .ℜ • No tiene extremos absolutos ni relativos. • Está acotada inferiormente por N=0, pero no está acotada superiormente. • Si 1>a es estrictamente creciente en .ℜ
Si 10 << a es estrictamente decreciente en .ℜ • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en .ℜ • 0=y es una asíntota horizontal.
Una función exponencial muy especial:
( ) xexf = ←Función exponencial de base e
Recuerda que: ...7182818.2=e Pasa por:
( )1,0P ; ( )eP ,1 ; ( )eP /1,1− .
f(x) = 2xg(x) = (1/2)x
f(x)=(1/2)xf(x)=2xg(x)=3x
g(x)=(1/3)x
f(x ) = ex
a > 1 0 < a < 1
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7.7. FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Son de la forma:
( ) xxf alog= con ;ℜ∈a 0>a y 1≠a Ejemplos: a) ( ) xxf 2log= y ( ) xxg 3log= b) ( ) xxf
21log= y ( ) xxg
31log=
Fíjate: Las gráficas de ( ) xxf alog= y ( ) xxga1log= son simétricas respecto al eje OX.
Propiedades:
• ( ) ( )∞+= ,0fDom , ( ) ℜ=fcRe . • Su gráfica pasa por los puntos:
( )0,1P , es decir, ( ) 01log1 == af ( )1,aP , es decir, ( ) 1log == aaf a ( )1,/1 −aP , es decir, ( ) 1/1log/1 −== aaf a
• No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada, ni superior ni inferiormente. • Si 1>a es estrictamente creciente y cóncava en ( )∞+,0 .
Si 10 << a es estrictamente decreciente y convexa en ( )∞+,0 . • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en ( )∞+,0 . • 0=x es una asíntota vertical.
x 1 2 4 8 1/2 1/4 f(x) 0 1 2 3 -1 -2
x 1 2 4 8 1/2 1/4f(x) 0 -1 -2 -3 1 2
x 1 3 9 27 1/3 1/9 g(x) 0 1 2 3 -1 -2
x 1 3 9 27 1/3 1/9 g(x) 0 -1 -2 -3 1 2
g(x)=log3 x
f(x)=log2 x
f(x)=log1/2 x
g(x)=log1/3 x
f(x)=log1/2 x
g(x)=log2 x
0 < a < 1 a > 1
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Departamento de Matemáticas 13 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Observación: ( ) xaxf = y ( ) xxg alog= son funciones inversas. Por tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Una función logarítmica muy especial:
( ) xxf ln= ←Función logaritmo neperiano Recuerda que: xx elogln = Pasa por:
( )0,1P ; ( )1,eP ; ( )1,/1 −eP
7.8. FUNCIONES CIRCULARES Y SUS INVERSAS. ( ) xsenxf =
( ) xcosxf =
( ) xtgxf =
x 0 π /4 π /2 3π /4 π 3π /2 2π f(x) 0 2/2
1 2/2 0 -1 0
x 0 π /4 π /2 3π /4 π 3π /2 2π f(x) 1 2/2
0 - 2/2 -1 0 1
x 0 π /4 π /2 3π /4 π 5π /4 3π /2 7π /4 2π f(x) 0 1 ∃/ -1 0 1 ∃/ -1 0
Propiedades f(x) = sen x: • ;)( ℜ=fDom [ ]1,1)(Re −=fc . • Periódica con π2=T rad. • Monotonía en [ )π2,0 . Estr. creciente en:
( ) ( )πππ 2,2/32/,0 ∪ Estr. decreciente en:
( )2/3,2/ ππ
• Curvatura en [ )π2,0 .
Convexa en: ( )ππ 2,
Cóncava en: ( )π,0 • Extremos relativos y absolutos:
Máximo absoluto y relativo en: 2/π=x con valor ( ) 12/ =πf
Mínimo absoluto y relativo en: 2/3π=x con valor ( ) 12/3 −=πf
• Función impar. • Acotada. M=1; N=-1. • Continua
Estudia las propiedades de f(x)=cos x
f f
f(x)=ln x
f(x)=sen x
f(x)=cos x
g = f -1
g = f -1
a > 1 0 < a < 1
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Propiedades f(x) =tg x:
• ℜ=)( fDom \⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ Ζ∈+ kk /
2π
π
• ℜ=)( fRec . • Periódica con π=T rad. Estudia el resto de sus propiedades.
Análogamente se pueden obtener las gráficas de la funciones cosecante, secante y cotangente: ( ) xcosecxf = ( ) xsecxf =
( ) xcotgxf =
FUNCIONES ARCO: Son las inversas del seno, coseno y tangente (en el sentido de la composición de funciones) tomando intervalos en los que son inyectivas. Por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ( ) xarcsenxf = ( ) xarccosxf = ( ) xarctgxf =
( ) [ ];1,1−=fDom ( ) [ ]2
,2
ππ−=fRec ( ) [ ];1,1−=fDom ( ) [ ]π,0=fRec ( ) ;ℜ=fDom ( ) ( )2
,2
ππ−=fRec
f(x)=tg x
f
f
f(x)=arcsen x
f(x)=arccos x
g(x)= sen x
g(x)= tg x
g(x)= cos x
f(x)=arctg x
Observa las gráficas anteriores y estudia sus propiedades.
f
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7.9. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Están definidas por varias expresiones algebraicas.
Ejemplos: Representa estas funciones definidas a trozos.
a) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+−<≤−
<=
42412
1
xsixxsi
xsixxf
b) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<
≤++=
43401
0122
xsixxsi
xsixxxg
Primer trozo: Arco de parábola 1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 2º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: ( )0,110120 2 −⇒−=⇒=++⇒= Pxxxy ⇒( Coincide con el vértice).
Eje OY: ( ) ( )1,0100 Qgx ⇒=⇒= (Fin arco parábola). 3º) Vértice:
;122
2−=
−=
−=
abxv ( ) ⇒=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 01
2g
abgyv ( )0,1−V
c) ( )[ )[ ]( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
∈∈+−
−∈+=
7,343,012
0,312
xsixsixxxsix
xh
x f(x)=x x f(x)=-2 x f(x)=-x+2 -1 -1 1 -2 4 -2 1 1
4 -2
6 -4
x g(x) = 1 x g(x) = x-3 0 1 4 1 4 1
6 3
xxf =)( 2)( −=xf 2)( +−= xxf
1 4 ℜ=)( fDom
12)( 2 ++= xxxg 1)( =xg 3)( −= xxg
0 4 ℜ=)(gDom
[ )∞+= ,0)(gRec
( )1,)( ∞−=fRec
Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica y estudia su dominio y recorrido.
f
g
h
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OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: a) Función parte entera. Función parte entera E(x)
b) Función parte decimal. c) Función signo.
Ejercicio: Representa estas funciones expresándolas previamente como una función definida a trozos.
)32() −xSiga
Es inmediato que ⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
>
=
<−
=
<⇒<−
=⇒=−
>⇒>−
2/312/302/31
)(2/30322/30322/3032
xsixsixsi
xSigxxxxxx
)128() 2 +− xxSigb Comprueba que obtienes la gráfica del margen.
Dom(E)= ;ℜ Rec(E)= Z
E(x)
D(x) = x-E(x)
Sig(x )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤−−
−<≤−−
−<≤−−
=
...433322211100011
122233
...
)(
xsixsixsixsixsixsixsi
xE
Dom(D)= ℜ ; Rec(D)= [ )1,0 Periódica con T = 1
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<≤−
<≤−
<≤
<≤−+
−<≤−+
=
...32221110011
122
...
)(
xsixxsixxsixxsixxsix
xD
Dom(Sig)= ℜ ; Rec(Sig)= { }1,0,1−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=
<−
=
010001
)(xsixsixsi
xSig
Sig(2x-3)
Sig(x2-8x+12)
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7.10. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Se define la función valor absoluto como la función definida a trozos:
( )⎩⎨⎧
≥<−
==00
xsixxsix
xxf
Fíjate: Podemos definir la función signo como: xxxSig =)( si .0≠x
Ejemplo 1: Representa y expresa como función definida a trozos: ( ) 42) −= xxfa
Se representa: 42 −= xy . Corte con eje OX: (si no se ha obtenido en la tabla) ( )0,220420 Pxxy ⇒=⇒=−⇒= Como función a trozos queda:
( )⎩⎨⎧
≥−<+−
=242242
xsixxsix
xf
( ) 45) 2 +−= xxxfb
Se representa 452 +−= xxy 1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 2º) Puntos de corte con los ejes:
Eje OX: ( )( )⎩
⎨⎧
⇒=⇒=
⇒=+−⇒=0,44
0,110450 2
QxPx
xxy
Eje OY: ( )4,00 Rx ⇒= 3º) Vértice:
;5.225
2==
−=
abxv 25.245.255.2 2 −=+⋅−=vy
( )25.2,5.2 −⇒V
Como función a trozos queda: ( )⎩⎨⎧
<<−+−≥≤+−
=4145
41452
2
xsixxxóxsixx
xf
( ) 54) 2 ++−= xxxfc
Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica.
x f(x) = |2x-4 | 0 -4 3 2
f(x)=|x| ℜ=)( fDom
[ )∞+= ,0)( fRec
f(x)= |2x-4|
f(x)= |x2-5x+4|
;)( ℜ=fDom [ )∞+= ,0)( fRec
;)( ℜ=fDom [ )∞+= ,0)( fRec
f(x)= |-x2+4x+5|
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Ejemplo 2: Representa estas funciones y observa las simetrías que presentan algunos casos: ( ) xsenxfa =) ( ) xsenxfb =) ( ) xxfc cos) −= ( ) xtgxfd =) ( ) xxfe ln) = ( ) xxff ln) =
( ) xxfg ln) −= ( ) xexfh =) ( ) xexfi =) ( ) x
exfj−
=) ( ) xexfk −=) ( ) xexfl−
−=)
c) f(x) = -|cos x| Periódica con T = π
a) f(x) = |sen x| Periódica con T = π
e) f(x) = |ln x|
d ) f(x) = |tg x| Periódica con T = π
f) f(x) = ln|x| g) f(x) = -ln|x|
b) f(x) = sen |x| No periódica
¿Cuál es su dominio?
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Ejemplo 3: Expresar como una función definida a trozos y representar: a) ( ) xxxf =
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<−==
0
02
2
xsix
xsixxxxf
Ya que ⎩⎨⎧
≥<−
=00
xsixxsix
x
b) ( ) 33 −++= xxxg
;3333
033033
3⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
−≥+
−<−−=
≥++
<+−−=+
xsixxsix
xsixxsix
x ⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
≥−
<+−=
≥−−
<−+−=−
3333
033033
3xsixxsix
xsixxsix
x
h) f(x) = |ex| ¡Coincide con y = ex!
i) f(x) = e| x |
j) f(x) = e -| x |
k) f(x) = -e x l) f(x) = - e-|x|
f(x)= x|x|
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Por tanto:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<≤−
−<−
=
32336
32
xsixxsi
xsixxg ya que:
c) ( ) 312 +−−++= xxxxh . Comprueba que, en este caso, su gráfica es:
7.11. OTRAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. a) TRASLACIONES VERTICALES.
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
⇒>
⇒+
abajo”). (“hacia negativo sentidoen de gráfica laen unidades de verticalTraslación 0
arriba”). (“hacia positivo sentidoen de gráfica laen unidades de verticalTraslación 0
f kk
f kk
kxf
Ejemplos:
a) Observa las gráficas de la derecha obtenidas al trasladar la función f(x) = 2 x.
( ) ( ) ( ) 222 +=⇒+= xxgxfxg Traslación vertical de dos unidades hacia arriba.
( ) ( ) ( ) 121 −=⇒−= xxhxfxh Traslación vertical de una unidad hacia abajo.
3+x 3−x 3+x + 3−x
3−<x 3−− x 3+− x x2− 33 <≤− x 3+x 3+− x 6
3≥x 3+x 3−x x2
g(x) = 2 x + 2
f(x) = 2 x
h(x) = 2x - 1
g(x)= |x+3| + |x-3|
h(x)= |x+2| + |x-1| - |x+3|
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b) Observa ahora estas gráficas obtenidas por traslación de la función f(x) = sen x. ( ) ( ) ( ) ⇒+=⇒+= 22 xsenxgxfxg Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. ( ) ( ) ( ) ⇒−=⇒−= 33 xsenxhxfxh Traslación vertical de tres unidades hacia abajo.
b) TRASLACIONES HORIZONTALES.
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
⇒>
⇒+
derecha”). la (“hacia positivo sentidoen de gráfica laen unidades de horizontal Traslación 0
).izquierda” la (“hacia negativo sentidoen de gráfica laen unidades de horizontal Traslación 0
fkk
f kk
kxf
Ejemplos: a) Presta atención a estas gráficas obtenidas por traslación de f(x) = log2 x. ( ) ( ) ( ) ( )⇒−=⇒−= 1log1
2xxgxfxg Traslación horizontal de una unidad hacia la derecha.
( ) ( ) ( ) ( )⇒+=⇒+= 2log2
2xxhxfxh Traslación horizontal de dos unidades hacia la izquierda.
g(x) = sen x + 2
f(x) = sen x
h(x) = sen x - 3
g(x) = log2 (x - 1)
f(x) = log2 x
h(x) = log2( x+2)
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b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la función f(x) = sen x.
( ) ( ) ( ) ( )⇒+=⇒+= 2/2/ ππ xsenxgxfxg Traslación horizontal de π/2 unidades hacia la izquierda.
( ) ( ) ( ) ( )⇒−=⇒−= ππ xsenxhxfxh Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha.
Observa: ( ) ( ) xxsenxg cos2/ =+= π
c) DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OY.
( )⎩⎨⎧
⇒<<
⇒>⇒
OY. eje el sobre de gráfica la den Contracció 10OY. eje el sobre de gráfica la de Dilatación 1
fkSifkSi
xfk
Ejemplo: Presta atención a estas gráficas obtenidas por dilatación y contracción de
f(x) = sen x sobre el eje OY. ( ) ( )⇒= xfxg 2 Dilatación sobre el eje OY (se dilata “el doble”). ( ) ( )⇒= xfxh 3 Dilatación sobre el eje OY (se dilata “el triple”).
( ) ( )⇒= xfxi )2/1( Contracción sobre el eje OY (se contrae “a la mitad”).
Observa: • Los puntos de corte con el eje OX son los únicos que permanecen fijos y el periodo, en
este ejemplo T = 2π, se mantiene. • Si k < 0 se obtiene la función simétrica respecto al eje OX de la obtenida al representar
( )xfk .
x 0 π /2 π 3π /2 2π g(x)=2senx 0 2 0 -2 0 h(x)=3senx 0 3 0 -3 0
i(x)=(1/2)senx 0 1/2 0 -1/2 0
h(x) = sen (x-π) f(x) = sen x g(x) = sen (x + π/2 )
f(x) = sen x g(x) = 2sen x
h(x) = 3sen x
i(x) =(1/2)sen x
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Departamento de Matemáticas 23 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
d) DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OX.
( )⎩⎨⎧
⇒<<
⇒>⇒
OX. eje el sobre de gráfica la de Dilatación 10OX. eje el sobre de gráfica la den Contracció 1
fkSifkSi
kxf
Ejemplo: Fíjate en estas gráficas obtenidas por dilatación y contracción de f(x) = sen x
sobre el eje OX.
( ) ( ) ( ) ( )⇒=⇒= xsenxgxfxg 22 Contracción sobre el eje OX (se contrae “a la mitad”).
( ) ( ) ⇒=⇒= ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
221 xsenxhxfxh Dilatación sobre el eje OX (se dilata “el doble”).
Observa: En este caso los periodos sí han cambiado. Para hacer las representaciones gráficas anteriores hemos tenido en cuenta que:
( ) ( )xsenxg 2= Periodo: πππ =⇒=⇒= Txx 22
( ) 000002 ==⇒=⇒= sengxx
12442
2 ==⇒=⇒= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππππ
sengxx
022
2 ==⇒=⇒= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ πππ
π sengxx
12
34
34
32
32 −==⇒=⇒= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππππ
sengxx
( ) 0222 ==⇒=⇒= ππππ sengxx
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
2xsenxh
Periodo: πππ 4422
=⇒=⇒= Txx
( ) 000002
==⇒=⇒= senhxx
( ) 1222==⇒=⇒=
πππ
πsenhx
x
( ) 0222
==⇒=⇒= ππππ senhxx
( ) 12
333
23
2−==⇒=⇒=
πππ
πsenhx
x
( ) 024422
==⇒=⇒= ππππ senhxx
g(x) = sen2x f(x) = sen x h(x) = sen(x/2)