FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICAUNIDAD 6

6. 1 EXPRESION ES ALGEBRAICAS

6,2 OPERACION ES CON'! POLINOMIICIS

uNTvERSIDAD MARIANo cÁlvrz DE GUATEMALA

uNTvERS¡DAD MAR¡ANo eÁlvezFacultad de Arquitectura

Fundamentos de Matemáticaler, Semestre, Año 2015

6 EXPRESIONES ALGEBRAIGAS

Una expresión algebraica es un conjunto de variables, números y constantes

relacionados entre sl que permiten representar y describir en términos

matemáticos circunstancias observables de la vida real'

permite relacionar datos numéricos con cantidades desconocidas vinculando

ambos elementos con operaciones aritméticas como lo son la suma, la resta' la

multiplicación, la división y las potencias.

Las partes de una expresión algebraica son:

coeficlerda exPonente

ftg{* A*constanteI p"rü m'*'signo

El coeficiente es el número que acompaña a la incógnita, y cuando no está

escrito se asume que es "1'.

El signo es la dirección matemática de la expresión e indica si es superior o

inferior a cero, en otras palabras, el signo puede ser positivo o negativo, y

cuando no está escrito se asume que es "+"'

La parte literal, llamada también como *variable" representa la incógnita o

cantidad desconocida de la expresión.

El exponente es la cantidad a la cual está elevada Ia variable, y cuando no está

escrito se asume que es'1"'

La constante puede Ser un número, una letra, un símbolo específico que

representa una cantidad determinada o un conjunto específico de elementos.

Ejemplos de expresiones algebraicas son las que describen el área o volumen

de ciertas figuras geométricas:

Volumen de la esfera: 43 TT r3

Area total del cilindro:Z¡ r h + 2¡ ¡2

Longitud de una circunferencia: 2 rr r

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Ejercicio 21a) En la expresión algebraica que se encuentra abajo, coloque el nombre

de cada una de sus partes al lado de los elementos que la conforman'

+2x7 + 1

b) Relacione con una flecha cada uno de los enunciados de la izquierda

con su respectiva expresión algebraica de la derecha'

Eltriple de un número más 5 (3x)5 - 3

Eltriple de un número elevadoa la quinta potencia menos 3

La octava parte del cubo de un númeromenos eldoble de otro número

1/8 x3 -2y

3x+5

6.2 CLASIFICACÉN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Usualmente las expresiones algebraicas se clasifican en:

a) Monomiosb) Binomiosc) Trinomiosd) Polinomios

a) Monomios

Son expresiones algebraicas básicas que se caracterizan por su simpleza, al

solamente tener productos y exponentes entre sus coeficientes y literales:

3raYt z 7x2Z

b) Binomios:

Es una expresión algebraica compuesta por dos monomios:

100x\t'23

2x2 + 3xe 3¡s + 2x 4x3 + 89x

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c) Trinomios

Es una expresión algebraica compuesta por 3 monomios:

7X10+X5+X 56x8+2x3+45x 4x3 + 89x2* 15x

d) Polinomios

Es una expresión algebraica compuesta por máS de 3 monomios. Comúnmente

se denomina Polinomio alaexpresión algebraica contiene más de 2 monomios:

45x3 +23x2 +2x+7

Ejercicio 22

554x3 + 89x2 +23x+ 1

lndique si las expresiones algebraicas de abajo son Monomios, Binomios o

Trinómios (NOTÁ: para efecios de este ejercicio no utilice eltérmino polinomio).

?)x2=b) ¿z5s -c) +15 =d) yo=e) 3x3+¡=

Eiercicio 23Responda las preguntas siguientes:

á) ¿es una expresión aigebraica compuesta por más de 3 monomios?

O) ¿Son expresiones atgebraicas básicas que se caracterizan por su. iimpleza, al solamente tener productos y exponentes entre sus

coeficientes Y literales?c) ¿Es una expiesión algebraica compuesta por 3 monomios?

¿l ¿es una expresión algebraica compuesta por dos monomios?

6.3 MONOMIOS SEMEJANTES

Dos monomios son semejantes cuando ambos tienen la misma variable o

variables con los mismos exponentes:

10x- Yz -(x+y)=3x-x2+5x3=y2 + 2x2y2 - 5x2 =(2a -2b + 2c) =

3xaf es seme¡ante a 45xal

14X6f2 es seme¡ante a 23X612

0s)h)i)

i)

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Ejercicio 24Enciene en un círculo los monomios semejantes y únalos con una línea:

100a2bc

145f-y2

3x3t'22

It'*yz

234x§z

34azbc

6.4 LEY DE SIGNOS

Antes de operar con monomios es necesario repasar la ley de signos, la cual

es clave par a r ealizar cual q u ier proced i m i ento aritmético'

y':eV DE SIGNOS PARA SUMAR Y RESTAR:I

I stcruos TGUALES: Se suman y se copia el signo

l+q +5 =+9 -6'11 ='17¿I

II SI6NOS DIFERENTES: Se restan y se copia el signo del mayor.

L.o-u =-f -6+11 =+5

Itev DE srcNos pARA MuLTtPLtcAR Y DIVIDIR:

| ,,n*o, TGUALES: Da positivo (+)

| (4)(5) =+!s (-6X-11)= +66

III slOttos DIFERENTES: Da negativo (-)

(.tolt-ul =-20 (-o)(+11)=-66

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Ejercicio 25tnOique el signo resultante de las siguientes expresiones:

0 1414 =g) -a+b-(-a-b)=h) a+b-a¡) 14 -5 - (-14+5)j) -x145

6.5 SUiIIA DE i'IONOMIOS

para sumar un monomio se suman los coeficientes y se mantienen las mismas

variables o parte literal: axn + bxn = (a + b)xn

3x2Y+45x2Y=48*Y

NOTA: tomar en cuenta que únicamente pueden Sumarse los monomios

semejantes, si no los hay entonces la expresión se convierte en un polinomio.

a) (-x)y =b) -a(-b) =c) (-x)s =d) x2=e) -100/-10 =

Ejercicio 26

a) 2x2Y3z+3*Y3z=b) 22xs + 5x3 =c) 4x+3x=d) 56x2 +78x2=e) 100f+200f=

6.6 RESTA DE MONOMIOS

Deben restarse los coeficientes y se mantiene la misma parte literal:

axn_bxn=(a-b)xn

3ax\7+23x3Y=11x1

Hay que tomar en cuenta que únicamente pueden restarse los monomios

semejantes, si no lo son, la expresión se convierte en un polinomio.

Ejercicio 27

0 34x8-4x8=g) 56x - 45x =h) 345x6 - 89x6=i) 34xe - 89xe =j) 23x3 - 4x3=

0 56x+80x=g) 13# +25*=h) 34x5 + 67x5=i) 23rf + 78x7 =j) 13x3 + 95xs=

a\ 4x2y3z-3*y3z=b) 45x3 - 5x3 =

d) 50x - 4x=e) 45x2 -67x2=

ra.- rir''

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'.H+:6*",#}H}}ff,i,"=' M cler. Semestre, Año 2015

6.9 LEYES DE EXPONENTES PARA MULTIPLICAR Y DIVIDIR

previo al estudio de la multiplicación y la división de Polinomios, es necesario

repasar las leyes de los exponentes:

Cuando se multiplican monomios o polinomios deben copiarse las bases de las

literales (variables) ysumarse sus exponentes: X m X n = X m+n

En cambio, para dividir monomios o polinomios deberá copiarse las bases de

las literales y restarsus exponentes: Xm/Xn = Xm-n

Eiercicio 28

6.10 MULTIPLICAC|ÓN DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO

El producto de un monomio por un número se obtiene al multiplicar el

coeficiente del monomio por el número natural, manteniendo la misma literal:

a. bxny = (a' b) xn!

(2) (23x62) = 46y.oz

a) x8 x6=b) y6 lyo=c) as 3=d) w3lw2=e) x4 t'x5=

Ejercicio 29

a) 10 (12x2\ =b) 14 (2x22\ =c) 3 (5fzy) =d) a (3fY2z) =e) 5 (25f2) =

0 a6 bs lba=g) w7 lw4z=h)s"ls2=i) v4 v3=j) v I / vo =

0 4(7t'\=g) 2 (2321 =h) 2 (3Yz) =¡) 8 (4Y62) =j) 2 (&aozl =

6.1 1 MULTIPL¡CACIÓN ENTRE MONOMIOS

El producto de un monomio por otro monomio es la multiplicación de los

coeficientes de los monomios y la multiplicación de las partes literales tomando

en cuenta las propiedades de los exponentes.

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En este caso, al existir bases iguales, los exponentes se suman formando parte

del resultado finaljunto con los coeficientes de los monomios multiplicados:

axn.bxm=(a'b)x'

Sx3y2 x 4x5\2- 2OxBy4

Ejercicio 30

a) (4x2y3z\ ' (3t'22) =b) (2x3)'(5xs¡ =c) 2(12x3)' (4x) =d) 35 ' (2x2 y3z'¡ =e) 4(5x2y3z\ ' (2 yzzz¡ =

5(18x3y225) ' (6xlzz) =6(-2x3) ' (-5x) ' (-3xz¡ =(2f)' (20x2) =(4x3)' (5xs¡ =(2fl ' (7y2) =

0s)h)

i)

i)

6.12 COCIENTE DE MONOMIOS O DIVISIÓN DE MONOMIOS

Se obtiene al dividir los coeficientes de los monomios entre sí y operar las

partes literales tomando en cuenta las propiedades de los exponentes.

En este caso, al existir bases iguales, los exponentes se restan formando parte

del resultado finaljunto con los coeficientes de los monomios divididos entre sí:

axn / bxm = (a lblxn-'

20x!3 I SxsY = 4fY

Ejercicio 31

a)b)c)

d)

e)

(12x3)/(4x)= 02(18fy225) l(6xsYz2)= g)3(36xfu72a) l(12x2Yz)= h)8x3t'22 ¡2y;2y272 = i)+asb2c l -ab= j)

a10 b6c7 / ab6ca =_a3b2é ¡ -^s6zd =36aax3t'l-6?3xy=50x2y3 I 10x'f=10023y3 I 5*=

6.13 POTENCIA DE MONOMIOS

La potencia de monomios se obtiene al elevar cada una de las variables y

coeficientes al exponente indicado por la expresión algebraica.

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Al hacerlo debe aplicarse la ley de exponentes y se multiplica la potencia de la

literal por el exponente al cual está elevada la misma:

(aXn)t=am'Xn'm

(5xe)3 =$3 'Ylt=125x27

Ejercicio 32

a) (2x3)3:b) 2G3*)3:c) (3x2¡a:d) 50(-10x)3:e) (20x)5:

6.14 POL¡NOMIO

Un polinomio es un conjunto de monomios operados entre sí en cualquiera de

las operaciones aritméticas existentes:

ánxn * on-tXn'l 4... + o1X + ao

En donde n es un número natural, x es la variable o literal, án eS coeficiente y

ao es eltérmino indePendiente.

¿cuÁNgo UNA EXPRES$N ALGEBRAISA No Es PoLlNoMlo?

Una expresión algebraica no es polinomio cuando los exponentes son

fraccionarios, cuando los exponentes son negativos o cuando la expresión

algebraiCa es fraccionaria, eS decir, que SuS literales están ubicadas en el

numerador y denominador.

Ejercicio 33

lndique cuáles de las siguientes expresiones son polinomios

0 7(-3x2)3:g) (8x2f:h) 4(-2x)a:i) Q*uf :j) l2(-2x)7 =

a) 2/x +5x

b) x- 41x2+2c) 3x3 + ¡1tz * ,d) 4x2+3x+3e) 8x3+3x2+x+1

0 3x+3n¡ xuz- 1/x

h) x-2i) xl1 + 2OO

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Ejercicio 34

lndique a la par de cada elemento del polinomio, las partes que lo componen:

3x3 + 4x2 + 1Q2x+7

6.15 GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevado

uno de los términos del Polinomio:

Xa + 3x3 + 4x2 + 100 + 2000 Este polinomio es de Grado 4 o 4to grado.

Ejercicio 35: indique el grado de cada polinomio

a) x3+x2+x+1b) x2+ 2x+ 3c) 3x3+x2+x+1d) 7x2 +9x+8e) St'+3x3+8x2+x+300

f) 5x+3g) x2-9x+3h) v-2i) 7x - 8000

6.16 TIPOS DE POLINOMIOS:

POLINOMIO NULO: sus coeficientes son iguales a cero: 0x2 + 0x + 0

POLINOMIO GOMPLETO: posee todos los términos posibles, desde eltérmino

independiente hasta el de mayor grado: 5x3 + 4# + 3x + gaz + 12

POLINOMIO ORDENADO: está escrito en orden descendente según sus

exponentes: 4t' + 5x3 + 8x2 + 3x + 12

Ejercicio 36: lndique si

a\ 4x2 + 6x3 + 5x

b) 7x2 + 10x + 45c) 8x3 + 9x2 + 5x

d) 0x5 + 0x3 + 0x

e) 6x3 + 6x2 + 5x

los polinomios son ordenados, completos o nulos.

0s)h)¡)

i)

0x2+0x3+089t'+6x3+4x23¡+ + 6x3 + 7x2 + 45x+ 2g0x3+8x2+9x+512x3+6x2+5x+102

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