Unidad 3:Álgebra (SEGUNDA PARTE)
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Curso 2021 - 2022 MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 3: Álgebra(segunda parte)
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Unidad 3:Álgebra (SEGUNDA PARTE)
EJERCICIOS PROPUESTOS
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Ecuaciones
- Ecuaciones con fracciones algebraicas.
- Ecuaciones con radicales. - Ecuaciones exponenciales. - Ecuaciones logarítmicas.
Sistema de ecuaciones
- Resolución de sistemas de ecuaciones de cualquier tipo que puedan desembocar en ecuaciones de las nombradas.
- Método de Gauss para resolver sistemas lineales 33.
Inecuaciones
- Resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita.
- Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Resolución de problemas
- Traducción al lenguaje algebraico de problemas dados mediante enunciado.
- Planteamiento y resolución de problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
2. Resolver con destreza
ecuaciones de distintos
tipos y aplicarlas a la
resolución de
problemas.
2.2. Resuelve ecuaciones con radicales
y con la incógnita en el
denominador.
2.3. Se vale de la factorización como
recurso para resolver ecuaciones.
2.4. Resuelve ecuaciones
exponenciales y logarítmicas.
2.5. Plantea y resuelve problemas
mediante ecuaciones.
3. Resolver con destreza
sistemas de ecuaciones y
aplicarlos a la resolución
de problemas.
3.1. Resuelve sistemas con ecuaciones
de primer y segundo grados y los
interpreta gráficamente.
3.2. Resuelve sistemas lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas
mediante el método de Gauss.
3.3. Plantea y resuelve problemas
mediante sistemas de ecuaciones.
4. Interpretar y resolver
inecuaciones y sistemas
de inecuaciones.
4.1. Resuelve e interpreta gráficamente
inecuaciones y sistemas de
inecuaciones con una incógnita.
4.2. Resuelve sistemas de inecuaciones
lineales con dos incógnitas.
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SEGUNDA PARTE
EJERCICIOS PROPUESTOS (11 ejercicios propuestos como VOLUNTARIOS para entregar en el examen de evaluación, o de
recuperación DE LA PRIMERA EVALUACIÓN)
2.2. Resuelve ecuaciones con radicales y con la incógnita en el
denominador.
Seguimos con las ecuaciones. Ahora un poco más difíciles.
Este es un video donde paso a paso, muy lentamente, te ayudan a resolver estas complicadas
ecuaciones con raíces. Video 3 – 5 – a :https://www.youtube.com/watch?v=IOi1aC-TNNI
A continuación tienes a tu disposición otro interesante video para practicar. Igual que siempre,
intenta resolverlas tú antes que el profesor.
Video 3 – 5 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=0kImG9PkGO0
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Seguimos con ecuaciones con fracciones
cuando aparece alguna x en algún denominador.
El caso más sencillo es cuando la ecuación
consiste en una igualdad de fracciones.
Video 3 – 5 – b : https://www.youtube.com/watch?v=_dDxLkkLIWc
Cuando hay varias fracciones debemos utilizar el procedimiento de encontrar un múltiplo de
los denominadores (no necesariamente el m.c.m, cualquier otro múltiplo puede valer cómo sería
multiplicar todos los denominadores)
Video 3 – 5 – c : https://www.youtube.com/watch?v=i0lu5Qy3qag
2.3. Se vale de la factorización como recurso para resolver
ecuaciones.
Vamos a resolver ecuaciones polinómicas de grado
mayor o igual que tres.
Empezamos recordando la división de polinomios por
Ruffini.
Video 3 – 6 – a : https://www.youtube.com/watch?v=Rp3LEbCfNFs
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Habrás notado que hay polinomios que no tienen término independiente, y queda raro aplicarle
la regla de Ruffini. Preferimos sacar factor común x con el menor exponente. Aquí tienes un video
donde lo hacen así. Video 3 – 6 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=xmmCjeQzwW4
Comenzamos ya a resolver ecuaciones polinómicas por Ruffini.
Ejercicio 3 – 19.-
Resuelve en tu cuaderno todas las ecuaciones
que aparecen en este video:
Video 3 – 6 – c
:https://www.youtube.com/watch?v=UpaqvDrLB5o
Has comprobado que resolver ecuaciones polinómicas y extraer los factores de un polinomio
son dos cuestiones equivalentes.
Aquí tienes más ecuaciones donde debes sacar factor común como primer paso.
Pero antes te doy un video de ayuda $$$$
Ejercicio 3 – 20.-
i) Resuelve las ecuaciones que aparecen en el video: https://www.youtube.com/watch?v=xymfwDMXcP8
ii)
(Deberías sacar factor común la x elevada al menor exponente de los que aparecen)
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2.4. Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Si te han parecido complicadas las ecuaciones polinómicas prepárate que viene algo aún más
difícil. Comenzamos con ecuaciones exponenciales sencillas.
Video 3 – 7 – a :https://www.youtube.com/watch?v=tOgPG2xvFq0
Ejercicio 3 – 21.-
i) Unas primeras ecuaciones muy sencillas donde tienes que tomar logaritmo a la izquierda y a la
derecha del signo igual.
ii) (requetevoluntaria: sólo para valientes) Una ecuación un poquillo más complicada:
Ahora ecuaciones exponenciales enmarañadas donde hay que utilizar las propiedades de las potencias.
Para ayudarte a resolverlas cuentas con la ayuda de estos dos videos:
Video 3 – 7 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=35yTEZfJqaI
Video 3 – 7 – 2:https://www.youtube.com/watch?v=Ik3sr_bsaPI
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A estas alturas de curso ya conoces la relación tan estrecha que existen entre los exponentes y
los logaritmos. Aún hay ecuaciones más complicadas, pero no hay que asustarse. Si has llegado hasta
aquí tu nivel de intolerancia hacia las matemáticas se mantiene en niveles estables y no necesitas
tomarte ninguna dormidina.
Las ecuaciones logarítmicas más sencillas son aquellas en las que sólo aparece el logaritmo una
vez. Presta atención en el siguiente video a los dos primeros ejemplos.
Video 3 – 7 – d : https://www.youtube.com/watch?v=bro6HuSOWNw
Te pediría que te armes de ganas y prestes atención a las ecuaciones logarítmicas que aparecen
en estos tres videos, pero no me atrevo a pedírtelo.
Video 3 – 7 – e - 1 : https://www.youtube.com/watch?v=g9tfN-oiG4s
Video 3 – 7 – e - 2 :https://www.youtube.com/watch?v=pyVovtr9v9c
Video 3 – 7 – e - 3 :https://www.youtube.com/watch?v=KSfJ5Hsk4S0
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2.5. Plantea y resuelve problemas mediante ecuaciones.
¿Te has preguntado alguna vez para que sirven las ecuaciones?
Te recomiendo un artículo humorístico del diario elmundotoday:
http://www.elmundotoday.com/2017/10/el-valor-de-x-se-establece-en-5-de-una-vez-por-todas/
Hace más de seis mil años el hombre, como mono curioso que es, comenzó a jugar con los
números. Unos a otros comenzaron a hacerse preguntas del tipo: ¿qué número sumado con tres resulta
el doble de dicho número?
La respuesta parece fácil, pero si la formulamos de otra manera ya no: ¿cuántos números son
tales que sumados con una cifra concreta resulta el doble de dichos números?
Si has jugado alguna vez al sudoku entenderás el placer que obtienes como mono juguetón al
manipular los números. Quizás hayas jugado alguna vez a un juego similar y entiendas el gustirrinín
que provoca en el cerebro la manipulación de los números. Pues bien, ese mono, que todos aún somos,
jugando con los números se iba preguntando cada vez cuestiones más complicadas. Y ahí el juego con
números que se denomina aritmética derivó en el álgebra.
Un ejemplo. Uno pregunta a otro: ¿cuántos juanitos cuesta un kilo de patatas en Pekín? Al poco
rato pensando el otro le dice: dame una pista. Pues con esas pistas nació el lenguaje algebraico. Hay
ciertas frases que implican números que se transforman en ecuaciones.El primero le responde: es un
número menor de veinte. Esta pista se transforma en lenguaje algebraico en una inecuación. Y el
segundo después de pensarlo entiende que no es información suficiente. El primero le da otra pista: la
diferencia entre la mitad y la tercera parte de dicho número es uno. Esta frase sí se transforma en
lenguaje algebraico en una ecuación y el segundo puede adivinar dicho número. Un kilo de patatas
cuesta seis juanitos en Pekín.
Un poco caro, pero la respuesta es correcta. Aunque falsa pues con ese dinero se compran
muchos kilos de patatas en China. Pero la veracidad o no de la respuesta no es asunto de las
matemáticas sino la búsqueda de la solución a un problema planteado, real o no.
Después de esta introducción tan poco seria y rigurosa vamos a repasar eso del lenguaje
algebraico.
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Ejercicio 3 – 22.-
Te pido que resuelvas en tu cuaderno todos los ejemplos que aparecen en este video.
Video 3 – 8 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=WsShATttEqo
Te recomiendo otros videos donde se también se explica el lenguaje algebraico.
Video 3 – 8 – 3 : https://www.youtube.com/watch?v=zut8H1BaoFU (disculpa por el horror de
la música del principio, sáltate el primer minuto)
Video 3 – 8 – 4 : https://www.youtube.com/watch?v=kSs9aKhHqhA
Comenzamos ya a plantear problemas que se traducen en ecuaciones de primer grado.
Recordarás que aprendiste a resolver problemas de edades, porcentajes, mezclas, etc. Hay muchos, te
propongo unos cuantos.
Ejercicio 3 – 23.-
Te pido que resuelvas todos los problemas que aparecen en estos cuatro videos.
Video 3 – 8 – a – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=KyTyx6xAKrA
Video 3 – 8 – a – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=XG1bYAqSXbw
Video 3 – 8 – a – 3 : https://www.youtube.com/watch?v=OkbbEvCDpR0
Video 3 – 8 – a – 4 : https://www.youtube.com/watch?v=67UxofADpzg
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Para repasar para el examen te recomiendo que utilices el siguiente video. Copia en tu cuaderno
los enunciados y ve resolviendo los problemas antes que el profesor. Es un buen método de estudio,
como ya te he propuesto en anteriores ocasiones.
Video 3 – 8 – 4 : https://www.youtube.com/watch?v=vPvAskg_BEA&t=11s
Ahora plantearemos ecuaciones de segundo grado para resolver problemas.
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Ejercicio 3 – 24.-
Te pido que resuelvas todos los problemas que aparece en este video.
Video 3 – 8 – b : https://www.youtube.com/watch?v=lDYd8CrXPEo
3.1. Resuelve sistemas con ecuaciones de primer y segundo grados y los interpreta
gráficamente.
Las ecuaciones más sencillas son las ecuaciones lineales de primer grado. En ellas las variables
no aparecen multiplicadas ni divididas entre sí, sólo multiplicadas por un número real y luego sumadas
o restadas. Las incógnitas pueden ser x, y, z … y las ecuaciones lineales serían, por ejemplo:
No serían ecuaciones lineales las siguientes ecuaciones:
√
Si alguna de las incógnitas de una ecuación lineal está elevada a un exponente también se
denomina ecuación lineal:
En cursos anteriores has estudiado diferentes métodos para resolver las ecuaciones lineales de
dos incógnitas x, y.
En estos videos encontrarás los métodos de sustitución, igualación y reducción que son los tres
más habituales. Pero yo particularmente utilizo el de reducción-sustitución, es decir, averiguo una
incógnita por reducción y luego la otra por sustitución. Por eso tú también puedes combinarlos.
Video 3 – 9 – a - 1 : https://www.youtube.com/watch?v=Svy8ff_su08
Video 3 – 9 – a - 2 : https://www.youtube.com/watch?v=ohnnTwvl220
Video 3 – 9 – a - 3 : https://www.youtube.com/watch?v=U00csRqen0k
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Ejercicio 3 – 25.-
Ahora te toca a ti. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
{
{
; {
{
{
(en las ecuaciones que aparecen fracciones puedes transformarlas en números decimales, quizás
así te sea más sencillo resolverlas)
Un método interesante es aquél que interpreta las ecuaciones en sentido geométrico, y las
representa en un plano. Este video es interesante y en temas posteriores volveremos a él.
Video 3 – 9 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=DCNKYoGh8Fw
¿Os han gustado las explicaciones del profesor de Tuto Mate?
A mí me han parecido las mejores hasta el momento presente. Lástima que no tenga videos de
todo el temario de la asignatura. Con él te resultaría muy fácil aprender los contenidos de este curso.
Te animo a que le des las gracias pulsando en Me Gusta o escribiéndole un comentario en alguno de
sus videos.
Te puedes imaginar que resolver los sistemas
de ecuaciones lineales de segundo grado es algo más
complicado.
Este video te servirá de ayuda para el siguiente
ejercicio.
Video 3 – 9 – c
:https://www.youtube.com/watch?v=cYHmcDhPd7c
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3.2. Resuelve sistemas lineales de tres ecuaciones con tres
incógnitas mediante el método de Gauss.
En tu libro de texto aparece el método de Gauss para sistemas lineales. Con este nuevo
procedimiento también podemos resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Pero se suele utilizar cuando hay más ecuaciones y/o más incógnitas.
El próximo curso lo volveremos a estudiar. Por lo tanto, ahora me interesa sólo que lo
conozcas, ya lo aprenderás a utilizar bien el curso próximo.
Te dejo un par de videos de ayuda.
Video 3 – 12 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=RmAyeqeWTB8
Video 3 – 12 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=31TZU8vjN0U
3.5. Plantea y resuelve problemas mediante sistemas de
ecuaciones.
La utilidad de los sistemas de ecuaciones es clara: plantear y resolver problemas.
Ejercicio 3 – 26.-
Resuelve todos los problemas que aparece en este video.
Video 3 – 13 – a : https://www.youtube.com/watch?v=EKRDS9rh9KU
A veces en un problema encontramos más de dos incógnitas. Si los datos del problema se traducen a
ecuaciones lineales podemos resolverlo con el método de Gauss como en
el siguiente video.
Video 3 – 13 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=-Ip03K7hG44
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4.1. Resuelve e interpreta gráficamente inecuaciones y sistemas de
inecuaciones con una incógnita
Te pido que me averigües los dos números que acabo de escribir en una hoja y te doy un dato:
la suma de los dos números es menor que diez. Esa noticia que yo te he dado no se traduce en una
ecuación sino en una inecuación. Te puedo dar varios datos más que sean inecuaciones, y en todos
ellos aparecerá el significado de mayor o menor. Por ejemplo, el primer número es mayor que el
segundo. Pero cuidado, el siguiente dato sí es una ecuación lineal: el primer número es dos unidades
mayor que el segundo.
Cuando damos datos para resolver un problema y estos son inecuaciones puede que el
problema tenga varias soluciones. Por ejemplo: averigua dos números sabiendo que el primero es
mayor que el segundo, y que el doble del segundo es mayor que la mitad del primero.
Las inecuaciones se escribirían así:
Hay muchas soluciones como . Si lo
piensas hay demasiadas soluciones que son números enteros y muchísimas más que son números
reales.
Esta introducción tiene el sentido de alertarte de lo complicado que es trabajar con
inecuaciones. Espero que el siguientes video te ayude a comprender y manejar las inecuaciones.
Ejercicio 3 – 27.-
Resuelve las inecuaciones que aparecen en el video: Video 3 – 14 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=7WOdmpUw3Wk
En este otro video aparecen las inecuaciones de segundo grado.
Video 3 – 14 – b: https://www.youtube.com/watch?v=nr3X96nA8bY
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Al igual que pasaba con las ecuaciones podemos formar sistemas e intentar resolverlos.
Empecemos con sistemas de inecuaciones con una sola incógnita.
Video 3 – 14 – d : https://www.youtube.com/watch?v=ZuUaNOVRKVo
4.1. Resuelve sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
Por último acabamos el tema con los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Ejercicio 3 – 28.-
Resuelve el sistema de inecuaciones que aparece en el video: Video 3 – 15 – a : https://www.youtube.com/watch?v=6CUiVzgFfQk
No me lo puedo creer. Ya hemos acabado la unidad 3. Me ha parecido como casi todo un
curso de la ESO. Enhorabuena si has llegado hasta aquí.
Has visto videos de diferentes profesores. Esta variedad, espero que te haya animado a
buscar por ti mismo videos que te agraden más que los que yo te propongo. Hay profesores que
te caerán mejor y otros que te parecerá que explican bien. Tú eliges, pero yo te voy a seguir
recomendando videos que te sirvan de guía para hacer los ejercicios de lo que queda de curso.