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Propedéutico 2008 Facultad de Ciencias 1
Unidad 3Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Propedéutico 2008Dra. Ruth M. Aguilar Ponce
Facultad de CienciasDepartamento de Electrónica
Propedéutico 2008 Facultad de Ciencias 2
Sistema de Ecuaciones Lineales
• Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, x2, …, xn es un conjunto de ecuaciones de la forma
• Deseamos determinar si el conjunto de ecuaciones tiene solución
• La solución al sistema de ecuaciones es encontrar un conjunto de valores x1, x2, …, xn de tales que satisfagan cada ecuación
12211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
L
M
L
L
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Representación Matricial
• El sistema de ecuaciones puede ser representado por matrices de la siguiente manera
• El sistema es consistente si tiene una solución de lo contrario se le denomina inconsistente.
bxArr
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
xAMM
K
MOMM
K
L
r 2
1
2
1
21
22221
11211
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
• Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos: – m = n, es el más común, ya que el número de
ecuaciones es igual al número de incógnitas. – m < n, el número de ecuaciones es menor que el
de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.
– m > n, el número de ecuaciones es mayor que es de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. El sistema tiene al menos una solución.
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Condiciones para encontrar soluciones
x
y
x
y
x
y
Solución única Número infinito de Soluciones Sin Solución
• Tiene una solución única si el det(A) ≠ 0• No tiene solución o tiene un número infinito de
soluciones si el det(A) = 0
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Condiciones para encontrar soluciones
• Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y r = rango(A) entonces,
– El sistema es inconsistente si r < m
– El sistema tiene una solución única si r = min(n,m)
– El sistema tiene un número infinito de soluciones si
r < n y r ≤ m
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Condiciones para encontrar soluciones
• El sistema Ax = b puede ser resuelto si y solo si el vector b puede ser expresado como una combinación lineal de las columnas de A.
• Sea A una matriz de m × n . El sistema lineal Ax= bes consistente si y solo si el rango de la matriz aumentada (A|b) es igual al rango de A.
• Cuando el rango de A es igual a m, entonces el sistema Ax = b será consistente para todos los vectores en Rm.
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Forma Reducida de una Matriz
• Una matriz se encuentra en la forma reducida por renglones si cumple las siguientes condiciones– Si existen reglones cuyos elementos son todos cero,
entonces aparecen en la parte inferior de la matriz– El primer número diferente de cero en cualquier
renglón diferente de cero es 1– En cualquier renglón el 1 esta mas hacia la derecha
del 1 del renglón anterior. – Cualquier columna que contiene el primer 1 en un
renglón tiene ceros en el resto de sus elementos
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Forma reducida de una matriz
• El primer número diferente de cero en un renglón se llama pivote.
• Si la matriz solo cumple las tres primeras condiciones entonces la matriz esta en la forma escalonada
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100510321
000063105201
21005001
100010001
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Rango de la Matriz
• El rango de la matriz A de m × n es el número de renglones diferentes de cero en su forma reducida.
• El número de pivotes de una matriz reducida es igual al rango de la matriz A.
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Métodos para Solución de Sistema de Ecuaciones
• Se cuentan con dos métodos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales:– Eliminación de Gauss-Jordan
• Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma reducida
– Eliminación Gaussiana• Se reduce por renglón la matriz de coeficiente a la
forma escalonada. Se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas
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Operaciones elementales
• Ambos métodos utilizan las siguientes operaciones elementales para reducir la matriz de coeficientes:– Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente
de cero– Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón– Intercambiar dos renglones
• Si la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones elementales, entonces se dice que A y B son equivalentes por renglones.
• Cualquier matriz se puede reducir a forma escalonada o reducida mediante operaciones elementales.
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Matrices Elementales
• Una matriz E de n × n se llama matriz elemental si puede obtenerse a partir de aplicar una sola operación elemental a la matriz identidad.
• Una operación elemental en una matriz A se puede escribir como el producto EA, donde E es la matriz elemental correspondiente.
• Toda matriz elemental es invertible, y su inversa es una matriz del mismo tipo.
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Matrices Elementales
222 5100050001
5100010001
RRR =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
13133 3103010001
3100010001
RRRRR −=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
2332
010100001
100010001
PRR =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛↔
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Multiplicación
Permutación
Suma de un Múltiplo
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Matrices Elementales
• La transformación de una matriz A a la forma escalonada o reducida se puede expresar como el producto
• donde Ei es la matriz elemental correspondiente a la i-esima operación aplicada.
• Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.
AEEEm 12L
nEEEA L21=
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Factorización LU
• Sea A una matriz de n × n y sean E1,E2,…,Em las matrices elementales correspondientes a las operaciones requeridas (ninguna de ellas una permutación) para transformar A en una matriz triangular superior U, es decir
AEEEU mm 11L−=
LUUEEEA m == −−− 112
11 L
Entonces
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Factorización LU
• Suponga que se quiere resolver el sistema Ax = b donde A es invertible, entonces
• Ly = b puede ser resuelta por sustitución hacia delante.
• Ux = y puede ser resuelta por sustitución hacia atrás.
( ) byLxULxLUxArrrrr
====
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Factorización PA=LU
• En general, para cualquier matriz invertible de n × n existe una matriz de permutación P tal que PA = LU, donde L es triangular inferior con unos en la diagonal, y U es triangular superior.
• Notar que toda matriz de permutación es su propia inversa, y que si P es una matriz de permutación.
• Entonces, P se puede construir como el producto de todas las permutaciones que se realizan durante la transformación de A en U.
11 PPPP kk L−=
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Factorización LU y Determinantes
• Si una matriz cuadrada A tiene factorización LU tal que A = LU, donde L tiene unos en la diagonal y U es una matriz triangular superior, entonces
• Si P es una matriz de permutación (es decir, el producto de matrices elementales de permutación), entonces det P = ±1.
• Si A tiene factorización PA = LU, entonces det A = ±det U.
( ) ( ) ∏=
==n
iiiuUA
1
detdet
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Matriz Ortonormal
• Si Q es una matriz (cuadrada o rectangular), se dice que tiene columnas ortonormales si cumple con QQT=I.
• Si Q es cuadrada entonces Q-1 = QT
• La multiplicación por cualquier Q preserva magnitud, angulos y producto punto– Para cualquier vector x, – Producto interno– Angulo
( ) Iqqq
q
n
Tn
T
T
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
100
010001
212
1
L
MOMM
L
L
rL
rr
rM
r
r
xxQ rr=
( ) yxyQxQ TT rrrr=)(
( ) ( )yxyx
yQxQyQxQ TT
rr
rr
rr
rr
⋅
=⋅
=ϕcos
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Gram-Schmidt
• El proceso Gram-Schmidt toma n vectores independientes v1, v2, …, vn y obtiene n vectores ortonormales q1, q2, .., qn. En el paso j substrae de vjsus componentes en las direcciones q1, q2,..., qj-1que han sido establecidas.
• Entonces qj es normalizado
( ) ( ) ( ) 112211 −−−−−−= jjTjj
Tj
Tjj qvqqvqqvqvu rrr
Lrrrrrrrr
j
jj u
uq r
rr=
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Descomposición QR
• Sea A una matriz de m × n con columnas independientes, entonces A puede ser factorizada en,
• Donde Q es ortonormal y R es una matriz triangular superior e invertible.
( ) ( ) QRvqvqvqvqvqvq
qqqvvvAT
TT
TTT
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
33
3222
312111
321321
000
rr
rrrr
rrrrrr
rrrrrr
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Descomposición QR
• La descomposición QR simplifica el sistema de ecuaciones lineales
• Substitución hacia atrás es empleada para resolver el sistema.
( ) ( )
bQxR
bQRxRRxQRQR
bQRxQRQR
bAxAA
bxA
T
TTTTT
TT
TT
rr
rrr
rr
rr
rr
=
==
=
=
=
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Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo
• El sistema de ecuaciones Ax = b se llama homogéneo si b = 0.
• Un sistema homogéneo siempre tiene al menos una solución, que es la solución trivial x = 0.
• El sistema puede tener solución única (la trivial) o un número infinito de soluciones.
• Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene un número infinito de soluciones.
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Sistema Homogéneo Asociado
• Sea Ax = b un sistema de ecuaciones no homogéneo (es decir, con b ≠ 0). El sistema homogéneo asociado está dado por
Ax = 0
• Si x1 y x2 son soluciones de Ax = b, entonces su diferencia x1 - x2 es una solución del sistema homogéneo asociado.
• Dada una solución x del sistema no homogéneo, cualquier otra solución y de este sistema se puede obtener como y = x + h, donde h es una solución del sistema homogéneo asociado.
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Sistema Homogéneo
• Sea A una matriz de n × n. Suponga que el sistema Ax = b es consistente.
• Entonces tiene una solución única si y solo si el sistema homogéneo asociado Ax = 0 tiene solo la solución trivial
• El sistema homogéneo tiene solo la solución trivial si ρ(A) = n.
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Espacio Nulo
• Sea A una matriz de m × n. El conjunto de soluciones NA del sistema homogéneo Ax = 0 forma un espacio vectorial conocido como el espacio nulode A y se define como
• La dimensión del espacio nulo de una matriz A, denotado por ν(A)=dim(NA) y se conoce como la nulidad de A. Si NA={0} entonces ν(A)=0.
• Una matriz A de n × n es invertible si y solo si ν(A)=0.
{ } R 0: =∈= xAxN nA
r
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Imagen de una Matriz
• La imagen de una matriz A de m × n es el espacio generado por las columnas de A. La imagen se denota por imag A y se define como
• La imagen de A es un subespacio de Rm
• ρ(A) = dim imag A.
• ρ(A) + ν(A) = n
{ }nm xalgunaparayxAyAimag R R ∈=∈=rrrr :
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Imagen de una Matriz
• Sea RA el espacio generado por los renglones de A, entonces
• Sea A una matriz real. Entonces, todo vector en RA es ortogonal a todo vector en NA.
( ) ( ) ( )AAimagRA ρ== dimdim