Unidad 3 Funciones Vectoriales de Una Variable Real
-
Upload
noel-vicente-santy -
Category
Documents
-
view
332 -
download
3
description
Transcript of Unidad 3 Funciones Vectoriales de Una Variable Real
3
Funciones vectoriales de una variable real Clculo de varias variables
3. Funciones vectoriales de variable real
3.1 Definicin de funcin vectorial de una variable real, dominio y graficacinEn los captulos anteriores se estudiaron las diferentes formas de representar rectas, planos y superficies en el espacio, en esta seccin se estudiara la manera de representar curvas en el espacio. En la seccin 2.1 se graficaron curvas en el plano por medio de las ecuaciones paramtricasx = f (t ) y y = g (t )
de manera semejante la ecuacin de una curva en el espacio esta parametrizada por tres ecuaciones
x = f (t ), y = g (t ) y z = h ( t )(1)donde las coordenadas ( x,y,z ) muestran la posicin de la partcula en cualquier instante t. En cualquier posicin que se encuentre la partcula existe un vector y los puntos terminales de las representaciones de posicin de estos vectores determinan una curva recorrida por el punto mvil de la partcula, as que una funcin vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de nmeros reales y su contradominio es un conjunto de vectores.3.1 Definicin de funcin vectorialSi f, g y h son funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcin vectorial por medio de
r (t ) = f (t )i + g (t )j + h ( t )kdonde t es cualquier numero real del dominio comn de f, g y h. Ejemplo 1 Determinar el dominio de la funcin vectorial r (t ) =
Solucin: Si f (t ) = y g (t ) = , entonces el dominio de r es el conjunto de valores de t para los cuales f (t ) y g (t ) estn definidas. f (t ) esta definida para cualquier numero real excepto el cero y g (t ) esta definida para todo numero real menor o igual a cuatro, el dominio de r es .La ecuacin r (t ) = f (t )i + g (t )j + h ( t )k(2)se denomina ecuacin vectorial y describe a la curva C definida por las correspondientes ecuaciones paramtricas (1); as una curva puede quedar definida por una ecuacin vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramtricas. Figura 3.1.
Si es el vector de posicin r (t ), entonces cuando t varia, el punto extremo P describe la curva C.Ejemplo 2 Trazar la curva que tiene la ecuacin vectorial r (t ) = 2 cos t i + 2 sen t j + t k,
Solucin: Las ecuaciones paramtricas de la curva son
x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = tPara eliminar el parmetro de las dos primeras ecuaciones se elevan al cuadrado los dos miembros de estas ecuaciones y al sumar los miembros correspondientes se tienex2 + y2 = 4 cos2 t + 4 sen2 tx2 + y2 = 4 ( cos2 t + sen2 t )txyz
02
00
02
-2
0
0-2
2
0
02
-2
0
0-2
2
0
x2 + y2 = 4por lo tanto la hlice yace completamente en el cilindro circular de radio 4 con centro en el eje z. Figura 3.2.Cuando el valor de t aumenta, la curva se extiende hacia arriba en forma de espiral, a esta curva se le llama hlice circular.Una hlice tiene la ecuacin vectorial r (t ) = a cos t i + b sen t j + ct k de tal forma quex = a cos t, y = b sen t y z = ctdonde a, b y c son constantes diferentes de cero, si a = b, la curva es una hlice circular. Si a b la curva es una hlice contenida completamente en un cilindro elptico.Ejemplo 3 Trazar la curva que tiene la ecuacin vectorial
r (t ) = 3 cos t i + 2 sen t j + t k,
Solucin: Las ecuaciones paramtricas de la curva son
x = 3 cos t, y = 2 sen t, z = t Para eliminar el parmetro de las dos primeras ecuaciones se escribe
t y t al elevar al cuadrado y sumar se tiene
La curva C yace en el cilindro elptico de ecuacin
La figura 3.3 muestra el cilindro elptico y la tabla de valores de x, y y z para valores especficos de t.txyz
0
030
20
0-3
-20
03
0-3
Una cbica alabeada es una curva con parametrizacinx = a t y = b t 2 z = c t 3donde a, b y c son constantes diferentes de cero.Ejemplo 4 Sea trazar la curva para
Solucin: La curva tiene las ecuaciones paramtricas
, y
Como x, y y z son positivos, la curva se encuentra en el primer octante. Al eliminar t de las dos primeras ecuaciones se obtiene , que es la ecuacin de un cilindro que tiene como directriz una parbola en el plano xy y sus regladuras son paralelas al eje z (Figura 3.4). Al eliminar el parmetro de y , se obtiene , esta es la ecuacin de un cilindro con generatrices paralelas al eje y . Figura 3.5.
La cubica alabeada es la interseccin de los dos cilindros. La figura 3.6 muestra los dos cilindros y la cubica alabeada para .
Grficos de ecuaciones vectoriales con MathematicaEl programa Mathematica utiliza las ecuaciones paramtricas de la funcin vectorial para dibujar una curva alabeada de la ecuacin.
El comando para realizar grficos de funciones vectoriales determinadas por ecuaciones paramtricas es el siguiente
Siendo:
fx la funcin x = f ( t ),fy la funcin y = g ( t ),fz la funcin z= h( t ),{t,tmin,tmax} es el rango de valores mnimo y mximo de la variable t.Ejemplo 5 Trazar la curva que tiene por ecuacin vectorial para .
Solucin: La curva tiene las ecuaciones paramtricas
, y
Por lo tanto la sintaxis para trazar la grafica se escribe como
In[1]:= ParametricPlot3D[{t,t2,t3},{t,-2,2}]
Out[1]:=Graphics3DEsta grfica corresponde a la cubica alabeada que se trato en el ejemplo 4, se observa que la grafica muestra la curva descrita por la interseccin de los cilindros y .Ejemplo 6 Trazar con Mathematica la curva de la ecuacin vectorial
para .
Solucin: La curva tiene las ecuaciones paramtricas
t, y tIn[2]:= ParametricPlot3D[{Cos[4 t],t,Sin[4 t]},{t,0,2 }]
Out[2]:=Graphics3DEjercicios 3.1En cada uno de los ejercicios 1-10, dibujar la grfica de la curva trazada por el punto extremo del vector de posicin al variar segn se indica. Despus graficar con Mathematica.1. ,
2. , en
3. ,
4. ,
5. , en
6.,
7. , en
8. , en
9. ,
10. ,
___________________________________________________________________________3.2 Lmites y continuidadSi la funcin vectorial r(t) describe a la curva C, y esta contiene a los puntos y , las representaciones de los vectores r y a son respectivamente y . Si t se aproxima a a, el vector tiende a , es decir el punto P se aproxima al punto A a lo largo de la curva C. Figura 3.7.
3.2 Definicin de lmite de una funcin vectorialSea r (t) una funcin vectorial dada por
el lmite de cuando t tiende a a esta definido por
= + +
Si , , y existen.
Ejemplo 1 Si r (t) = + + , encontrar
Solucin: Al aplicar la definicin 3.1 se tiene
= + +
al usar el hecho de que
=
= + + 2 k
= i 32 j + 2 k3.3 Definicin de funcin vectorial contina en un nmeroUna funcin vectorial r es continua en un nmero a si1. r (a) existe2. existe3. = r (a)De la definicin anterior se concluye que una funcin vectorial es continua en el numero a si y solo si sus funciones componentes f, g y h son continuas en a.Ejemplo 2 Determinar los nmeros donde la funcin vectorial es continuar (t) = i +( t 1 ) j + k
Solucin: Puesto que t 2 esta definida para todos los nmeros reales , ln (t 1) esta definida nicamente cuando t > 1, y est definida en todo numero real diferente de 2, el dominio de r es .Si a es un numero del dominio de r, entonces
r (a ) = a 2 i + ln (a 1 ) j +
= i + j + kAs, r (t ) = r (a), y r es continua en a, as que, la funcin vectorial r es continua en cada nmero de su dominio.
Ejercicios 3.2
En los ejercicios 1-5 determinar el dominio de la funcin vectorial.
1.
2.
3.
4.
5.
En los ejercicios 6-10 calcular el lmite indicado si existe
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
___________________________________________________________________________
3.3 Derivacin de funciones vectoriales y sus propiedadesLa derivada r (t) de una funcin vectorial r (t) se define de la misma forma que una derivada de funcin real, en concreto,r( t ) =
(1)Siempre que dicho limite exista.
Entonces de acuerdo con la ecuacin (1) la derivada de r esta dada por
r( t ) =
=
=
EMBED Equation.DSMT4 al tomar el lmite de cada componente se tiener( t ) =
EMBED Equation.DSMT4 +
EMBED Equation.DSMT4 +
EMBED Equation.DSMT4 y as se llega a la conclusin del siguiente teorema3.1 TeoremaSi , donde f, g y h son derivables, entonces
El teorema 3.1 demuestra que la derivada de una funcin vectorial se obtiene derivando cada componente de r( t ).
Si r( t ) existe, se dice que r es derivable en t. Las derivadas tambin se escriben como sigue:
r( t ) = = Dt r(t ) =
Interpretacin geomtrica de la derivada vectorialSea, la funcin vectorial
donde f, g y h son funciones continuas y por lo tanto derivables y C es la curva determinada por .Si y son los vectores de posicin de y , respectivamente, entonces corresponde a , como se muestra en la figura 3.8.Si , entonces el vector , tiene la misma direccin que . Figura 3.9.
Si , el punto tiende a a lo largo de C, como el vector se encuentra en la recta secante que pasa por los puntos y , el vector debe acercarse al vector que se encuentra sobre la recta tangente a C en . Figura 3.10.
El vector , es tangente a la curva en el punto , este vector siempre tiene su punto inicial en y apunta en la direccin en la que se mueve el punto cuando aumenta. La recta tangente a en se define como la recta que pasa por y es paralela al vector tangente como se muestra en la figura 3.11.Ejemplo 1Si , graficar la curva determinada por y trazar los vectores correspondientes a y en
txy
000
1
1
2-44
3
9
4-6416
Solucin: Para construir la grfica se elimina el parmetro en
, y se obtiene
Esta ecuacin representa una parbola horizontal que abre hacia la izquierda. En la siguiente tabla aparecen las coordenadas de los puntos de que corresponden a valores de .
Se sustituye en para obtener el vector de posicin correspondiente a
Derivando se tiene
se sustituye en y se obtiene un vector con punto inicial en y punto final en , como se muestra en la figura 3.12.
Las derivadas de orden superior de funciones vectoriales se definen de manera semejante a las derivadas de orden superior para funciones reales. De este modo si f, g y h tienen segunda derivada entonces
(2)Ejemplo 2Calcular y de la funcin vectorial =
Solucin:
= 2 t i + 2 j
= 2 iCurva suave
La parametrizacin de la curva representada por la funcin vectorial
es suave en un inrvalo abierto I si ,y son continuas en I para todos los valores de en ese intervalo.
Ejemplo 3Encontrar los intervalos donde la curva dada por , , es suave.
Solucin: Empleando la regla de la potencia , se tiene que la derivada de la funcin vectorial es
En el intervalo cerrado los nicos valores de para los que son , entonces la curva es suave en los intervalos abiertos y , como se muestra en la figura 3.13.
La curva de la figura 3.13 deja de ser suave en los puntos donde tiene un cambio brusco de direccin, estos puntos se llaman cspides o nodos.3. 2 Teorema Si r1 y r2 son funciones vectoriales derivables, k es un escalar y es una funcin de valor real. Entonces las propiedades de la derivada vectorial son1. [r1 (t ) + r2 (t )] = r1 (t ) + r2 (t )2. [ k r1 (t )] = k r1 (t )3.
4. [r1 (t ) r2 (t )] = r1 (t ) r2 (t ) + r1 (t ) r2 (t)5. [r1 (t ) r2 (t )] = r1 (t ) r2 (t ) + r1 (t ) r2 (t )6. Regla de la cadenaEn la propiedad 4 del teorema 3.2 se trata a la derivada del producto cruz de manera similar a la derivada del producto de dos funciones reales; sin embargo, es importante mantener el orden el que aparecen r1 y r2 debido a que el producto o cruz no es conmutativo.Ejemplo 4Dadas las funciones vectoriales y , calcular a) [r1 (t ) r2 (t )] y b) [r1 (t ) r2 (t )]
Solucin: y
a) Segn la propiedad 4 del teorema 3.2 de esta seccin
b) De acuerdo con la propiedad 5 del teorema 2
Al utilizar la definicin 1.6 para producto vectorial de la seccin 1.3 se tiene
eliminando parntesis y simplificando se tiene
Ejemplo 5Encontrar las ecuaciones paramtricas para la recta tangente a la hlice circular cuyas ecuaciones paramtricas son
, y en
Solucin: La funcin vectorial de la hlice es por lo tanto
al sustituir el valor del parmetro en se tiene
que es tangente a la hlice en el punto cuyo vector de posicin es
esto es , de modo que por las ecuaciones (4) de la seccin 1.6, las ecuaciones paramtricas de la recta son
la grfica de esta ecuacin se muestra en la figura 3.14.Ejercicios 3.3En los ejercicios 1-5 calcular y , para la funcin vectorial indicada.1.
2.
3.
4.
5.
En los ejercicios 6-8 dibujar con Mathematica la curva descrita por , y trazar para el valor indicado de .6. ,
7. ,
8. ,
En los ejercicios 9 y 10 obtener ecuaciones paramtricas de la recta tangente a la curva dada en el valor indicado de .
9. , y ,
10. , y ,
___________________________________________________________________________3.4 Integracin de funciones vectorialesLa integral o antiderivada de una funcin vectorial se define de la misma forma que las funciones de variable real.Si es la funcin vectorial determinada por
entonces la integral indefinida de es
(1)Si se calcula la derivada en los dos miembros de la ecuacin (1) con respecto a t, se tiene
por cada integral indefinida del lado derecho de la ecuacin (1) se obtiene una constante escalar, as que la integral indefinida de es otro vector tal que .Ejemplo 1Obtener el vector para el cual
Solucin: Si , entonces r (t) = es decir
r (t) =
al utilizar la regla de la cadena de la potencia en cada integral se tiene
en donde
c = c1 i+c2 j+c3 kEjemplo 2
Obtener la integral del vector
Solucin:
=
la primer integral es resuelta por la regla de la potencia para llegar a
la segunda integral se resuelve por el mtodo de sustitucin al hacer
y
se tiene
finalmente se utiliza la integracin por partes en la tercer integral
y
se aplica nuevamente la integracin por partes en la integral anterior
y
=
as que
=++ + cIntegrales definidas de funciones vectoriales3.4 Definicin Si . La integral definida de hasta b de r es
siempre que f, g y h sean integrables en el intervalo cerrado .El teorema fundamental del clculo, para funciones vectoriales toma la forma siguiente3.3 Teorema Si es una antiderivada de en , entonces
EMBED Equation.DSMT4 Ejemplo 3Evaluar la integral
Solucin: Al separar la integral se obtiene
=Las dos primeras integrales se calculan de forma directa usando las formulas bsicas de integracin, la tercer integral se resuelve por sustitucin y se obtiene
evaluando
=
Ejemplo 4Obtener r (t) si r(t) = y r (0) = 2i 3j + k
Solucin:
se sustituye t = 0 en la ultima expresin y se tiene
r (0) =
r (0) =
como r (0) = 2i 3j + k entonces
2i 3j + k =
Al igualar coeficientes se llega a
= 2
= -3
= 1
en consecuencia
r (t) =
Ejercicios 3.4En los ejercicios 1-6 evaluar la integral indicada.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Determinar si y
8. Encontrar si , y
___________________________________________________________________________
3.5 Longitud de arco
En la seccin 2.4 se defini la longitud de una curva plana cuyas ecuaciones paramtricas
son y donde y g son continuas en el intervalo y se llego a la frmula
=
(1)
La longitud de arco de una curva en el espacio se define de la misma manera que la longitud de arco de una curva plana.
Si C es una curva con ecuaciones paramtricas
, y
entonces tiene la ecuacin vectorial
y si f, g y h son continuas en el intervalo cerrado , entonces se puede demostrar que la longitud de arco de la curva C es
=
(2)3. 4 TeoremaSi C es una curva cuya ecuacin vectorial es y si f, g y h son continuas en el intervalo cerrado . Si L unidades es la longitud de arco de la curva C desde el punto hasta el punto , entonces
Ejemplo 1Calcular la longitud de arco de la hlice circular del ejemplo 2 de la seccin 3.1, desde t = 0 hasta 2
Solucin: En la seccin 3.1 se dibujo la hlice de este ejemplo, en la seccin 3.3 se derivo la ecuacin por lo que
r(t) =
as del teorema 4 se tiene
=
=
=
=
Ejemplo 2Encontrar la longitud de la curva que tiene como ecuaciones paramtricas, x = t, y = , z = , entre los puntos (0,0,0) y .
Solucin: La figura 3.15 muestra la curva, como x = t, se toma t en el intervalo . La longitud de arco correspondiente a dicho intervalo ser
=
al evaluar la integral anterior se tiene =
=
Si es una curva suave por partes, dada por la funcin vectorial , donde y al menos una de las funciones f, g, h es biunvoca en , la funcin de longitud de arco esta dada por
(3)Entonces, es la longitud entre y . Si se derivan ambos miembros de la ecuacin (3) usando la primera parte del teorema fundamental de clculo se tiene
(4)
Ejercicios 3.5
En los ejercicios 1-4 calcular la longitud exacta del arco en el intervalo indicado de la ecuacin vectorial dada.1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
___________________________________________________________________________
3.6 Vector tangente, normal y binormalVector tangente unitarioSi es una curva suave en el espacio descrita por , entonces es un vector tangente a . Si en un punto de la curva .3.5 Definicin de vector unitario tangente
El vector unitario tangente de en se define como
, en la direccin de .Puesto que es un vector unitario, es decir para toda , si es derivable entonces es ortogonal a por consiguiente si , entonces por la propiedad 1 del producto vectorial de la seccin 1.3
al diferenciar los dos miembros de la ultima ecuacin con respecto a y al aplicar la propiedad 2 del teorema 3.2 de la seccin 3.3
Ya que el producto punto
= 0 se concluye que y son ortogonales.3.6 Definicin de vector normal unitario Si es el vector tangente unitario de la curva en , el vector normal unitario, denotado por , el vector unitario en la direccin de , esto es
Si un punto se mueve a lo largo de la curva el vector apunta en la direccin en la que el punto se mueve cuando aumenta, mientras que el vector es ortogonal a y seala la direccin hacia la que gira la curva, es decir el lado cncavo de . Figura 3.16.
Ejemplo 1La curva plana C esta determinada por , encontrar los vectores unitarios tangente y normal , trazar la curva C y representar grficamente y
Solucin: Ya que , entonces
,
de modo que
=
=
se calcula al hacer uso de la ecuacin (1)
al derivar las componentes de se tiene
se calcula la magnitud de
al hacer uso de la definicin 3.5 se calcula el vector normal unitario
=
se evalan los vectores y
, y
Si , entonces , as que los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto como se muestra en la figura 3.17.
Ejemplo 2Sea la curva plana determinada por , encontrar los vectores unitarios tangente y normal y , trazar la curva y representar grficamente y .
Solucin: Por la definicin 4 con y
se derivan las componentes de , se usa la frmula de la derivada para cocientes y se calcula la derivada de la componente i.
=
=
=
=
ahora se deriva la componente j
=
as se tiene
y
Por la definicin 3.5 y simplificando se tiene
se evalan los vectores y
, entonces los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto como se muestra en la figura 3.18.
Ejemplo 3
Encontrar los vectores normal y tangente unitario para la hlice , trazar la curva y representar grficamente y .
Solucin: Al derivar y calcular , se tiene
por la definicin 3.4 el vector tangente unitario esta dado por
al derivar y calcular , se tiene
por la definicin 3.5 el vector normal unitario es
se evalan los vectores y
Como , entonces los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto como se indica en la figura 3.19
El vector normal unitario de la hlice es siempre paralelo al plano xz y apunta hacia el eje y, ya que este eje esta en el centro del cilindro.Vector binormal unitarioExiste un tercer vector unitario que es perpendicular a los vectores tangentes unitario y normal unitario , este tercer vector se denomina vector binormal y esta dado por . Figura 3.20.
Los tres vectores , y forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales, el plano determinado por los vectores T y N en un punto P de la curva C se llama plano osculador, el plano formado por los vectores N y B se denomina plano normal de en . Este plano esta formado por todas las rectas ortogonales al vector tangente T, mientras que el plano determinado por T y B es el plano rectificador, estos planos se muestran en la figura 3.21.
Ejemplo 4Encontrar los vectores tangente, normal y binormal para la hlice , en .
Solucin: Puesto que
El vector tangente unitario es
Se calcula y su magnitud
El vector normal unitario es
Ahora se calcula el vector binormal unitario
=
=
La grafica es la hlice circular del ejemplo 2 de la seccin 3.1. A continuacin se evalan los vectores unitarios , y en t = 2
Al realizar el producto punto entre los vectores unitarios se puede comprobar que los vectores T, N y B son ortogonales entre si.
Ejemplo 5
Encontrar las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de la hlice del ejemplo 4 en el punto
Solucin: El plano normal en tiene vector normal , por el teorema 3 de la seccin 1.6, la ecuacin del plano normal es
El plano osculador en contiene a los vectores y , del ejemplo 4 se tiene
y la ecuacin del plano osculador es
Ejercicios 3.6En los ejercicios 1-4 determinar el vector tangente unitario de la funcin de posicin indicada.
1. ,
2. ,
3. ,
4. , En los ejercicios 5 y 6 graficar la curva de la funcin vectorial con Mathematica, calcular y las ecuaciones paramtricas de la recta tangente en el punto indicado y graficar la tangente.
5. ,
6. ,
En los ejercicios 7-10 encontrar el y para la partcula que se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la funcin .
7.
8.
9.
10.
En los ejercicios 11 y 12 trazar la grafica de la funcin vectorial con Mathematica y encontrar , y .11. ,
12. ,
___________________________________________________________________________3.7 Curvatura
La curvatura es la magnitud de la razn de cambio del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco .
Sea una curva plana, donde es un punto fijo de la curva y un punto cualquiera, as es la longitud de arco que va desde hasta . Figura 3.22.
Las ecuaciones paramtricas de son
, para
Entonces a cada valor del parmetro le corresponde un punto en la curva .En la figura 3.23 se observa que el vector de posicin es .
Al derivar se obtiene un vector tangente a en . Figura 3.24.
(1)
Se designa como el ngulo de inclinacin de como se muestra en la figura 3.25.
el ngulo es una funcin de la longitud de arco porque y son funciones de . As el vector tangente se puede escribir como
(2)
la magnitud del vector tangente es
(3)
Por lo que es un vector unitario , este vector esta expresado como una funcin del parmetro de longitud de arco , entonces la razn con la que cambia se calcula mediante la derivada
y ,
en la ultima ecuacin se sustituye por la unidad de acuerdo con la ecuacin (3) y se obtiene .
3.6 Definicin de curvatura
La curvatura se representa mediante la letra griega minscula kappa y se define como
esta expresin aplica para curvas suaves en V2 y V3.Es mas sencillo calcular la curvatura si esta se expresa en trminos del parmetro , de la regla de la cadena para derivadas de funciones vectoriales (teorema 3.2, propiedad 5 de la seccin 3.3) se tiene
y ,
de la ecuacin (4) de la seccin 3.5
de modo que la curvatura esta determinada por
(4)Ejemplo 1Calcular la curvatura de la curva que tiene la ecuacin vectorial
Solucin:
de modo que
al usar la ecuacin (3)
al trabajar con funciones vectoriales algebraicas es complicado en algunas ocasiones calcular la curvatura. As que resulta ms sencillo utilizar el siguiente teorema.
3.5 Teorema
Si determina a una curva , entonces la curvatura de es
Demostracin:
Como y , se tiene
de modo que la regla del producto (teorema 3.2 seccin 3.3), se tiene
al usar el hecho de que (propiedad 6 del producto vectorial seccin 1.3), se llega a
ahora 1 para toda , de modo que y , as que el teorema 1.2 de la seccin 1.3
Entonces
y
Ejemplo 2Encontrar la curvatura de la curva determinada por la funcin vectorial , en un punto general y en el punto .
Solucin:
entonces
y =
al emplear el teorema 3.5 se tiene
Ejercicios 3.7En los ejercicios 1-4 encontrar la curvatura de la curva plana en el valor indicado del parmetro.1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
En los ejercicios 5-10 encontrar la curvatura de la curva.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
0
r ( t )
P ( f (t ),g (t ),h ( t ) )
z
y
x
Figura 3.1
Curva C en el espacio tridimensional
(2,0,0)
(2,0,2 EMBED Equation.DSMT4 )
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
(2,0,4 EMBED Equation.DSMT4 )
Figura 3.2
Hlice circular y tabla de valores
Figura 3.3
Figura 3.4
Curva EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.5
Curva EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.6
Interseccin de las curvas EMBED Equation.DSMT4 y EMBED Equation.DSMT4
C
a
0
r ( t )
EMBED Equation.DSMT4
z
y
x
Figura 3.7
EMBED Equation.DSMT4
r ( EMBED Equation.DSMT4 )
r ( t )
Figura 3.8
Q
P
0
z
x
x
y
r ( EMBED Equation.DSMT4 ) - r ( t )
EMBED Equation.DSMT4
r ( EMBED Equation.DSMT4 )
r ( t )
Q
P
0
z
x
x
y
r ( EMBED Equation.DSMT4 ) - r ( t )
Figura 3.9
EMBED Equation.DSMT4
r ( EMBED Equation.DSMT4 )
r ( t )
Q
P
0
z
x
x
y
Figura 10
Recta tangente
EMBED Equation.DSMT4
r ( t )
P
0
z
x
x
y
Figura 3.11
Recta tangente
r (2)
P
r (2)
Figura 3.12
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.13
La curva deja de ser suave
en los puntos de interseccin con los ejes.
(2,0,0)
(2,0,2 EMBED Equation.DSMT4 )
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
(2,0,4 EMBED Equation.DSMT4 )
Figura 3.14
Hlice circular y recta tangente en el punto P (2,0, 2 EMBED Equation.DSMT4 )
Figura 3.15
Longitud EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
t=0
t=1
t=3/2
t=2
C
T ( t )
N ( t )
r ( t )
r ( t )
P
0
z
x
x
y
Figura 3.16
T(t)
N(t)
Figura 3.17
Grfica de la curva EMBED Equation.DSMT4
El vector T(t) apunta en la direccin que se mueve el punto mientras que N(t)
seala la direccin hacia donde gira la curva.
Figura 3.18
Grfica de la curva EMBED Equation.DSMT4
y sus vectores tangente unitario y normal unitario.
r(-1)
N(-1)
T(-1)
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.19
P
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.20
Los vectores unitarios T, N y B
son mutuamente ortogonales.
x
y
z
0
T
N
Plano rectificador
Plano normal
Plano osculador
B
Figura 3.21
Nombre de los tres planos
determinados por T, N y B
O
x
y
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.22
EMBED Equation.DSMT4 es la longitud de arco EMBED Equation.DSMT4
O
x
y
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.23
EMBED Equation.DSMT4
r(s)
r(s)
O
x
y
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Figura 3.24
EMBED Equation.DSMT4
T
EMBED Equation.DSMT4
r(s)
Figura 3.25
EMBED Equation.DSMT4 es el ngulo de inclinacin del vector tangente EMBED Equation.DSMT4
T
O
x
y
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
132133
_1291912738.unknown
_1292059389.unknown
_1306752776.unknown
_1306787716.unknown
_1306791009.unknown
_1306822407.unknown
_1306825745.unknown
_1306826063.unknown
_1437551643.unknown
_1437551679.unknown
_1437552047.unknown
_1437551737.unknown
_1437551669.unknown
_1437551600.unknown
_1437551615.unknown
_1306826214.unknown
_1306826391.unknown
_1437551582.unknown
_1306826309.unknown
_1306826162.unknown
_1306825884.unknown
_1306825920.unknown
_1306826035.unknown
_1306825909.unknown
_1306825824.unknown
_1306825870.unknown
_1306825817.unknown
_1306823378.unknown
_1306824029.unknown
_1306824215.unknown
_1306825732.unknown
_1306824115.unknown
_1306823543.unknown
_1306824011.unknown
_1306823529.unknown
_1306822592.unknown
_1306822633.unknown
_1306822643.unknown
_1306822613.unknown
_1306822487.unknown
_1306822553.unknown
_1306822480.unknown
_1306820194.unknown
_1306822110.unknown
_1306822246.unknown
_1306822390.unknown
_1306822398.unknown
_1306822376.unknown
_1306822169.unknown
_1306822188.unknown
_1306822133.unknown
_1306820447.unknown
_1306822026.unknown
_1306822060.unknown
_1306821884.unknown
_1306820317.unknown
_1306820438.unknown
_1306820303.unknown
_1306792824.unknown
_1306793255.unknown
_1306820147.unknown
_1306820183.unknown
_1306820129.unknown
_1306792952.unknown
_1306793044.unknown
_1306793060.unknown
_1306792938.unknown
_1306791248.unknown
_1306792721.unknown
_1306792799.unknown
_1306792712.unknown
_1306791231.unknown
_1306791241.unknown
_1306791068.unknown
_1306788955.unknown
_1306790750.unknown
_1306790789.unknown
_1306790915.unknown
_1306790771.unknown
_1306790780.unknown
_1306790757.unknown
_1306789059.unknown
_1306789089.unknown
_1306790740.unknown
_1306789074.unknown
_1306788984.unknown
_1306789050.unknown
_1306788964.unknown
_1306788484.unknown
_1306788633.unknown
_1306788736.unknown
_1306788946.unknown
_1306788728.unknown
_1306788518.unknown
_1306788617.unknown
_1306788168.unknown
_1306788293.unknown
_1306788316.unknown
_1306788333.unknown
_1306788180.unknown
_1306788147.unknown
_1306788160.unknown
_1306788138.unknown
_1306753670.unknown
_1306785901.unknown
_1306785983.unknown
_1306786026.unknown
_1306787709.unknown
_1306786000.unknown
_1306785944.unknown
_1306785958.unknown
_1306785923.unknown
_1306785107.unknown
_1306785820.unknown
_1306785882.unknown
_1306785204.unknown
_1306784927.unknown
_1306785009.unknown
_1306784845.unknown
_1306753042.unknown
_1306753391.unknown
_1306753567.unknown
_1306753586.unknown
_1306753463.unknown
_1306753276.unknown
_1306753341.unknown
_1306753210.unknown
_1306752963.unknown
_1306752972.unknown
_1306753011.unknown
_1306752832.unknown
_1306752841.unknown
_1292243187.unknown
_1292334814.unknown
_1292452181.unknown
_1292506072.unknown
_1292579362.unknown
_1292611672.unknown
_1292613230.unknown
_1292615022.unknown
_1306752165.unknown
_1306752602.unknown
_1306752620.unknown
_1306752184.unknown
_1292615447.unknown
_1306712307.unknown
_1306752104.unknown
_1292615692.unknown
_1292615190.unknown
_1292614614.unknown
_1292614850.unknown
_1292614603.unknown
_1292612884.unknown
_1292613176.unknown
_1292613208.unknown
_1292613002.unknown
_1292612618.unknown
_1292612729.unknown
_1292612489.unknown
_1292611526.unknown
_1292611570.unknown
_1292611581.unknown
_1292611549.unknown
_1292579404.unknown
_1292611327.unknown
_1292579381.unknown
_1292507413.unknown
_1292579268.unknown
_1292579316.unknown
_1292579340.unknown
_1292579296.unknown
_1292507610.unknown
_1292507767.unknown
_1292578472.unknown
_1292507524.unknown
_1292506544.unknown
_1292506837.unknown
_1292507128.unknown
_1292506654.unknown
_1292506317.unknown
_1292506415.unknown
_1292506105.unknown
_1292499143.unknown
_1292500387.unknown
_1292505722.unknown
_1292505884.unknown
_1292506001.unknown
_1292505750.unknown
_1292505257.unknown
_1292505697.unknown
_1292501916.unknown
_1292504231.unknown
_1292500456.unknown
_1292501630.unknown
_1292499365.unknown
_1292499681.unknown
_1292500377.unknown
_1292500157.unknown
_1292499476.unknown
_1292499645.unknown
_1292499273.unknown
_1292499305.unknown
_1292499249.unknown
_1292493798.unknown
_1292497359.unknown
_1292498177.unknown
_1292498577.unknown
_1292497372.unknown
_1292497984.unknown
_1292493885.unknown
_1292493962.unknown
_1292497335.unknown
_1292493926.unknown
_1292493861.unknown
_1292452474.unknown
_1292493774.unknown
_1292452561.unknown
_1292493746.unknown
_1292452293.unknown
_1292452387.unknown
_1292452190.unknown
_1292442599.unknown
_1292451116.unknown
_1292451561.unknown
_1292451908.unknown
_1292452138.unknown
_1292452159.unknown
_1292452080.unknown
_1292451720.unknown
_1292451844.unknown
_1292451597.unknown
_1292451321.unknown
_1292451458.unknown
_1292451512.unknown
_1292451385.unknown
_1292451208.unknown
_1292451255.unknown
_1292451160.unknown
_1292450709.unknown
_1292450874.unknown
_1292451044.unknown
_1292451091.unknown
_1292450928.unknown
_1292450799.unknown
_1292450834.unknown
_1292450757.unknown
_1292442985.unknown
_1292444528.unknown
_1292447225.unknown
_1292447237.unknown
_1292445893.unknown
_1292445970.unknown
_1292445802.unknown
_1292444375.unknown
_1292444500.unknown
_1292443062.unknown
_1292442725.unknown
_1292442792.unknown
_1292442608.unknown
_1292440968.unknown
_1292441703.unknown
_1292442134.unknown
_1292442284.unknown
_1292442548.unknown
_1292442220.unknown
_1292441961.unknown
_1292441996.unknown
_1292441934.unknown
_1292441493.unknown
_1292441584.unknown
_1292441640.unknown
_1292441522.unknown
_1292441046.unknown
_1292441064.unknown
_1292440991.unknown
_1292336354.unknown
_1292336712.unknown
_1292336817.unknown
_1292336875.unknown
_1292336742.unknown
_1292336616.unknown
_1292336634.unknown
_1292336555.unknown
_1292335571.unknown
_1292336106.unknown
_1292336280.unknown
_1292335651.unknown
_1292335129.unknown
_1292335353.unknown
_1292335003.unknown
_1292327472.unknown
_1292329171.unknown
_1292333080.unknown
_1292334070.unknown
_1292334144.unknown
_1292334677.unknown
_1292334117.unknown
_1292333169.unknown
_1292333241.unknown
_1292333093.unknown
_1292333009.unknown
_1292333026.unknown
_1292329602.unknown
_1292331809.unknown
_1292332230.unknown
_1292332559.unknown
_1292329719.unknown
_1292329518.unknown
_1292328445.unknown
_1292328857.unknown
_1292328976.unknown
_1292329103.unknown
_1292328866.unknown
_1292328953.unknown
_1292328584.unknown
_1292328749.unknown
_1292328816.unknown
_1292328826.unknown
_1292328775.unknown
_1292328608.unknown
_1292328515.unknown
_1292327899.unknown
_1292328301.unknown
_1292328427.unknown
_1292328181.unknown
_1292327555.unknown
_1292327824.unknown
_1292327504.unknown
_1292243800.unknown
_1292327065.unknown
_1292327275.unknown
_1292327398.unknown
_1292327433.unknown
_1292327348.unknown
_1292327143.unknown
_1292327198.unknown
_1292327075.unknown
_1292244336.unknown
_1292244442.unknown
_1292326835.unknown
_1292244401.unknown
_1292243891.unknown
_1292244206.unknown
_1292244269.unknown
_1292243812.unknown
_1292243557.unknown
_1292243577.unknown
_1292243631.unknown
_1292243665.unknown
_1292243572.unknown
_1292243302.unknown
_1292243348.unknown
_1292243518.unknown
_1292243337.unknown
_1292243242.unknown
_1292243213.unknown
_1292243228.unknown
_1292064807.unknown
_1292084422.unknown
_1292235713.unknown
_1292242720.unknown
_1292242950.unknown
_1292243060.unknown
_1292242752.unknown
_1292235814.unknown
_1292236160.unknown
_1292235782.unknown
_1292085750.unknown
_1292235233.unknown
_1292235342.unknown
_1292086053.unknown
_1292086088.unknown
_1292085792.unknown
_1292085664.unknown
_1292085727.unknown
_1292085618.unknown
_1292082536.unknown
_1292083195.unknown
_1292084048.unknown
_1292084322.unknown
_1292083912.unknown
_1292082795.unknown
_1292083051.unknown
_1292082560.unknown
_1292082250.unknown
_1292082343.unknown
_1292082350.unknown
_1292082328.unknown
_1292065040.unknown
_1292082214.unknown
_1292064938.unknown
_1292065026.unknown
_1292059983.unknown
_1292063641.unknown
_1292064454.unknown
_1292064504.unknown
_1292064734.unknown
_1292064491.unknown
_1292064119.unknown
_1292064388.unknown
_1292064020.unknown
_1292061524.unknown
_1292061899.unknown
_1292063623.unknown
_1292061933.unknown
_1292061706.unknown
_1292060023.unknown
_1292061117.unknown
_1292060982.unknown
_1292060004.unknown
_1292059566.unknown
_1292059787.unknown
_1292059906.unknown
_1292059722.unknown
_1292059419.unknown
_1292059475.unknown
_1292059398.unknown
_1291974447.unknown
_1291979050.unknown
_1291981079.unknown
_1292053657.unknown
_1292053708.unknown
_1292059299.unknown
_1292059344.unknown
_1292053677.unknown
_1292053449.unknown
_1292053542.unknown
_1292053437.unknown
_1291980521.unknown
_1291980791.unknown
_1291980954.unknown
_1291980641.unknown
_1291979491.unknown
_1291979557.unknown
_1291979105.unknown
_1291975581.unknown
_1291977898.unknown
_1291978294.unknown
_1291978580.unknown
_1291978002.unknown
_1291976541.unknown
_1291977265.unknown
_1291977356.unknown
_1291977385.unknown
_1291977323.unknown
_1291976606.unknown
_1291976439.unknown
_1291975129.unknown
_1291975441.unknown
_1291975477.unknown
_1291975355.unknown
_1291974944.unknown
_1291974983.unknown
_1291974476.unknown
_1291973100.unknown
_1291973804.unknown
_1291974000.unknown
_1291974416.unknown
_1291974431.unknown
_1291974360.unknown
_1291973904.unknown
_1291973924.unknown
_1291973411.unknown
_1291973463.unknown
_1291973497.unknown
_1291973429.unknown
_1291973305.unknown
_1291973378.unknown
_1291973158.unknown
_1291914203.unknown
_1291914524.unknown
_1291915031.unknown
_1291915065.unknown
_1291915010.unknown
_1291914411.unknown
_1291914498.unknown
_1291914359.unknown
_1291913598.unknown
_1291913642.unknown
_1291913661.unknown
_1291913626.unknown
_1291913556.unknown
_1291913580.unknown
_1291912773.unknown
_1291913297.unknown
_1208088528.unknown
_1273849972.unknown
_1291909609.unknown
_1291912405.unknown
_1291912503.unknown
_1291912590.unknown
_1291912718.unknown
_1291912553.unknown
_1291912456.unknown
_1291912478.unknown
_1291912430.unknown
_1291910693.unknown
_1291911487.unknown
_1291911571.unknown
_1291911350.unknown
_1291911369.unknown
_1291911385.unknown
_1291910724.unknown
_1291909929.unknown
_1291910039.unknown
_1291910504.unknown
_1291909995.unknown
_1291909844.unknown
_1291909866.unknown
_1291909732.unknown
_1273945403.unknown
_1291805169.unknown
_1291908364.unknown
_1291908921.unknown
_1291909000.unknown
_1291908773.unknown
_1291908100.unknown
_1291908234.unknown
_1291806626.unknown
_1291804515.unknown
_1291804571.unknown
_1291804580.unknown
_1291804547.unknown
_1273946114.unknown
_1291804484.unknown
_1291804423.unknown
_1273946071.unknown
_1273945542.unknown
_1273859692.unknown
_1273945293.unknown
_1273945346.unknown
_1273945392.unknown
_1273945314.unknown
_1273945151.unknown
_1273945225.unknown
_1273859731.unknown
_1273855885.unknown
_1273859563.unknown
_1273859665.unknown
_1273855913.unknown
_1273849984.unknown
_1273855265.unknown
_1208983760.unknown
_1214766081.unknown
_1273840371.unknown
_1273844067.unknown
_1273844107.unknown
_1273843461.unknown
_1273843529.unknown
_1273843750.unknown
_1273843493.unknown
_1273842983.unknown
_1273840033.unknown
_1273840315.unknown
_1273840354.unknown
_1273840075.unknown
_1214766573.unknown
_1214770049.unknown
_1273521342.unknown
_1273521709.unknown
_1214770329.unknown
_1214770813.unknown
_1214768108.unknown
_1214768500.unknown
_1214766857.unknown
_1212934852.unknown
_1214763618.unknown
_1214763930.unknown
_1214764029.unknown
_1214764047.unknown
_1214764063.unknown
_1214763985.unknown
_1214763664.unknown
_1212939728.unknown
_1214756354.unknown
_1212939623.unknown
_1212833579.unknown
_1212934662.unknown
_1212934801.unknown
_1212933802.unknown
_1212833678.unknown
_1212836850.unknown
_1212833533.unknown
_1212833568.unknown
_1212833524.unknown
_1208636266.unknown
_1208981361.unknown
_1208982635.unknown
_1208983230.unknown
_1208983596.unknown
_1208982899.unknown
_1208981635.unknown
_1208981862.unknown
_1208981420.unknown
_1208637508.unknown
_1208688774.unknown
_1208690502.unknown
_1208637616.unknown
_1208636886.unknown
_1208636981.unknown
_1208636591.unknown
_1208631510.unknown
_1208635605.unknown
_1208636216.unknown
_1208636244.unknown
_1208635981.unknown
_1208635223.unknown
_1208635400.unknown
_1208635192.unknown
_1208631001.unknown
_1208631077.unknown
_1208631247.unknown
_1208631046.unknown
_1208630689.unknown
_1208630855.unknown
_1208629843.unknown
_1194035350.unknown
_1198600836.unknown
_1208032088.unknown
_1208033248.unknown
_1208087497.unknown
_1208088355.unknown
_1208033952.unknown
_1208032540.unknown
_1208033044.unknown
_1208032104.unknown
_1208016453.unknown
_1208031761.unknown
_1208031926.unknown
_1208032006.unknown
_1208031811.unknown
_1208030541.unknown
_1208031725.unknown
_1208030939.unknown
_1208030493.unknown
_1208014580.unknown
_1208016263.unknown
_1208013919.unknown
_1196889574.unknown
_1197390062.unknown
_1197390153.unknown
_1198598907.unknown
_1198600765.unknown
_1197390455.unknown
_1197390461.unknown
_1197390360.unknown
_1196890778.unknown
_1197299617.unknown
_1197388056.unknown
_1197387017.unknown
_1196892355.unknown
_1196892201.unknown
_1196890544.unknown
_1196890754.unknown
_1196890306.unknown
_1196888506.unknown
_1196888983.unknown
_1194035637.unknown
_1196886566.unknown
_1194035491.unknown
_1185798021.unknown
_1194029880.unknown
_1194032459.unknown
_1194034721.unknown
_1194035244.unknown
_1194032572.unknown
_1194029932.unknown
_1194032383.unknown
_1194029909.unknown
_1194029280.unknown
_1194029581.unknown
_1194029780.unknown
_1194029527.unknown
_1185798044.unknown
_1185798057.unknown
_1185798031.unknown
_1185794352.unknown
_1185795946.unknown
_1185797483.unknown
_1185798011.unknown
_1185796193.unknown
_1185794385.unknown
_1185794408.unknown
_1185794366.unknown
_1185709004.unknown
_1185794299.unknown
_1185794334.unknown
_1185794238.unknown
_1185794284.unknown
_1185792812.unknown
_1185792969.unknown
_1185792756.unknown
_1185707243.unknown
_1185708460.unknown
_1185707182.unknown