UNIDAD 3 FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES “Matrices” Dr. Daniel Tapia Sánchez.
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UNIDAD 3
FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES
“Matrices”
Dr. Daniel Tapia Sánchez
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Estos son los temas que estudiaremos:
3.7 Conceptos básicos de matrices
3.7.1 Concepto de matriz e igualdad de matrices
3.8 Operaciones con matrices
3.8.1 Suma
3.8.2 Producto
3.8.3 Potencia
3.7.2 Clasificación de matrices según sus elementos
3.7.3 Clasificación de matrices según su forma
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Dimensión de la matriz nm
2ª columna
3ª fila
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.
èçççççæ
ø÷÷÷÷÷ö a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn
= (aij )
3.6 Concepto de matriz e Igualdad de matrices
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Matriz: Ejemplo
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden agrupar en una matriz
2 1 1
1 1 1
1 1 0
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Expresión matricial: ejemplo
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = èççæ
ø÷÷ö 2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A * = èççæ
ø÷÷ö 2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial: èççæ
ø÷÷ö 2 5 –3
1 –4 1 èççæ
ø÷÷ö x
y z
= èççæ
ø÷÷ö 1
– 2
2 z 4y - x
1z3y5x2El sistema
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3.6.2 Clasificación de matrices según sus elementos
Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.
Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.
Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.
Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.
Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.
33
000
000
000
O
23
00
00
00
O
400
320
631
T
100
030
002
D
100
010
001
I3
200
020
002
A
453
023
001
T
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1 2 4
2 3 5
4 5 -1
0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
· Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )
· Matriz columna: A = èççæ
ø÷÷ö 2
4 6
jiij aa =
Diagonalsecundaria Diagonal
principal
· Matriz cuadrada: A= èççæ
ø÷÷ö 1 3 5
2 4 6 1 1 1
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:
• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:
3.6.3 Clasificación de matrices: Forma
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3.7.1 Suma de matrices
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (aij ) + (bij ) = èççæ
ø÷÷ö a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
+ èççæ
ø÷÷ö b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34
=
= èççæ
ø÷÷ö a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )
3.7 Operaciones con matrices
Es decir, se suman los elementos de ambas matrices que estén en la misma posición.
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Propiedades de la adición de matrices
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + O = O + A = A donde O es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = O
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.
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Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
3.7.2 Producto de un número por una matriz
k . A = k . (aij) = k·èççæ
ø÷÷ö a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
= èççæ
ø÷÷ö ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33
= (kaij)
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Propiedades suma y producto por un número
• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro: 1 · A = A
• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
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3.7.3 Producto de matrices
es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1
. b1j + ai2. b2j + ... + ain
. bnj
El producto de la matriz
A = (a ij) =
èççççæ
ø÷÷÷÷ö
a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn
por la matriz
B = (b ij) =
÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
......
..........
......
......
......
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Ejemplo: producto de matrices
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3 . (bij)3,3 =
productoposible
(cij) 2, 3
A · B = èççæ
ø÷÷ö 2 1 –1
3 –2 0 .
èççæ
ø÷÷ö 1 2 0
1 0 –3 0 1 –2
= èççæ
ø÷÷ö 3 3 –1
1 6 6
1. El producto de A = èçæ
ø÷ö 2 1 –1
3 –2 0 por la matriz B = èçæ
ø÷ö 1 2 0
1 0 –3 0 1 –2
de A por cada columna de B.
multiplicando cada fila
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¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n . (bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.
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Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.
A . (B . C) = (A . B) . C
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
A . (B + C) = A . B + A . C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.
(A + B) . C = A . C + B . C
las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
II. Elemento neutro. Si A es una matriz mxn, y
Im = ÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
1......000
..........
0......100
0......010
0......001
e In =
èçççæ
ø÷÷÷ö
1 0 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0 0 0 1 ...... 0 .. .. .. .. .. 0 0 0 ...... 1
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Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado.
II. Si A . B = O entonces no siempre ocurre que A = O ó B = O.
III. Si A . C = B . C y C O, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
Ejemplo: Aunque èççæ
ø÷÷ö 0 2
0 0 . èççæ
ø÷÷ö 0 –3
0 0 = èççæ
ø÷÷ö 0 0
0 0 ninguno de los factores que
forman el producto es la matriz nula.
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3.7.4 Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.
An = A . A . ........... . An veces
Ejemplo:÷÷ø
öççè
æ=
10
11A ÷÷
ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ=×=
10
21
10
11
10
11AAA2
÷÷ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ=×=
10
31
10
21
10
11AAA 23 ÷÷
ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ×÷÷
ø
öççè
æ=×=×××=
10
41
10
31
10
11AAAAAAA 34
÷÷ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ -÷÷ø
öççè
æ=×==
10
1
10
11
10
11AAAAA 1-
veces-
nnn
n
n
321 L