Unidad 2. Grafos y rboles

Presentacin de la unidad

En esta unidad te proporcionamos una introduccin formal a grafos y rboles. Estos temas son de fcil comprensin y sus conceptos se ilustran fcilmente con dibujos. Aunque la exposicin del tema con frecuencia sea intuitiva, no es descuidada, a lo largo de esta unidad se va introduciendo la rigurosidad matemtica. Sin embargo, se trat de desarrollar esta unidad de manera sencilla para adquirir prctica y sensibilidad hacia el tipo de problemas relacionados con las matemticas discretas.En la presente unidad te describiremos qu es y para qu es til un grafo y un rbol, as como sus caractersticas; de la misma manera describiremos a los caminos y circuitos.

Propsito de la unidad

El propsito de esta unidad es presentarte una parte de las matemticas discretas que tiene que ver con la representacin de situaciones o procesos mediante dibujos o diagramas para proporcionar informacin que permita un mayor anlisis.

Competencia especfica

Construir modelos de grafos para esquematizar conjuntos de datos relacionando estructuras mediante la teora de grafos y rboles.

2.1. Grafos

Muchas situaciones de la vida real pueden ser esquematizadas por medio de diagramas construidos por puntos (vrtices o nodos) y lneas (aristas o arcos) que conectan algunos pares de vrtices, aunque eventualmente alguna lnea puede unir un vrtice consigo mismo.Estos esquemas, que facilitan la comprensin del problema a resolver, aparecen frecuentemente en disciplinas dispares y bajo nombres diversos, a saber: redes (en ingeniera y economa), sociogramas (en psicologa), organigramas (en economa y planificacin), as como diagramas de flujo (en programacin).

A la teora que se ocupa del estudio de estos diagramas o esquemas se le conoce como teora de grafos.

2.1. Grafos

Como ya se mencion, los grafos estn formados por vrtices que se unen entre s mediante aristas, tal como se ilustra en la figura Grafo. Por tanto, una definicin matemtica de grafo debe basarse en el conjunto de vrtices y en el conjunto de aristas. Toda arista est asociada con dos vrtices, esto es, existe una correspondencia entre las aristas y los pares de vrtices. A continuacin te damos la definicin formal de grafo.

Definicin: Un Grafo G =(N, A, f) consta de un conjunto no vaco N denominado conjunto de vrtices del grafo, un conjunto A de aristas del grafo y una correspondencia f del conjunto de aristas A en un conjunto de pares ordenados o desordenados de N. Si una arista se corresponde con un par ordenado, entonces se dice que es una arista dirigida; en caso contrario, se denomina arista no dirigida.

La definicin de grafo implica que a toda arista del grafo G se le puede asociar una pareja ordenada o desordenada de vrtices del grafo. Si una arista e A est asociada de esta forma con un par ordenado (u, v) o con un par desordenado {u, v}, en donde u, v N, entonces se dice que la arista e conecta los vrtices u y v. Se supondr que tanto el conjunto A como el conjunto N de un grafo son finitos. Con frecuencia es conveniente escribir los grafos en una forma abreviada G =(N, A), o bien simplemente como G. En el primer caso, cada arista se representa directamente como el par con el cual se corresponde, lo cual obvia la necesidad de especificar f si f es una correspondencia uno a uno.La definicin de un grafo no contiene referencias de las longitudes o formas y posiciones de las aristas que puedan conectar pares de vrtices, y tampoco estipula ningn orden de las posiciones de los vrtices. Por tanto, para unPartes de un grafoComo lo mencionamos en la seccin anterior, un grafo est compuesto por puntos (tambin llamados vrtices o nodos) y lneas (tambin llamadas aristas o arcos) que conectan algunos pares de vrtices. Una parte importante de los grafos son las etiquetas, que identifican a las aristas y los vrtices.

En lo sucesivo utilizaremos los nombres de Vrtices para referirnos a los puntos y Aristas para referirnos a las lneas.

grafo dado no existe un nico diagrama que represente al grafo, y puede ocurrir que dos diagramas que tengan un aspecto diferente entre s representen un mismo grafo.

Durante el estudio de la unidad, te proporcionaremos informacin precisa de algunos trminos usados en la definicin previa, para su mejor comprensin y estudio.

Clasificacin de un grafo

Dirigidos: Si las aristas tienen un sentido concreto, lo cual se indica mediante una cabeza de flecha, entonces se dice que es un grafo dirigido o dgrafo. No-dirigidos: En este tipo de grafos las aristas no tienen un sentido. Mixto: Cuando en un grafo existen aristas dirigidas y aristas no-dirigidas. Ejemplo: En la siguiente figura se muestra un ejemplo de grafo dirigido (a), y un ejemplo de grafo no-dirigido (b).

Grafo (a) dirigido y (b) no-dirigido.Una arista de un grafo que conecte un vrtice o nodo consigo mismo se denominar bucle o lazo. La direccin de un bucle no es significativa; por tanto, se puede considerar como una arista dirigida o como una arista no-dirigida. Existen grafos que tienen ms de una arista entre pares de nodos, estas aristas se denominan arista paralela. En el caso de aristas dirigidas, las aristas entre una pareja de vrtices que tienen sentidos opuestos no se consideran paralelas.

Todo grafo que contenga aristas paralelas se denominar multgrafo. Para este caso, la notacin abreviada G = (N, A) no basta para representar los multgrafos, y se necesita la notacin completa G = (N, A, f). Por otra parte, si no hay ms de una arista entre pares de nodos, entonces el grafo se denomina grafo sencillo.

Antes de continuar, describiremos algunas definiciones de teora de grafos que te ayudarn a la comprensin y estudio de este tema en las secciones posteriores. Definiciones: Los pares de vrtices que estn conectados por una arista dentro de un grafo se denominan vrtices adyacentes. En un grafo, un vrtice que no sea adyacente a ningn otro vrtice se denominar vrtice aislado. Un grafo que contenga solamente nodos aislados se denominar grafo nulo. Entonces, el conjunto de aristas, A, de un grafo nulo est vaco. Los grafos en los que cada arista tiene asignado un peso se denominan grafos ponderados. Un grafo no dirigido es conexo si para cualquier pareja de vrtices del grafo se puede llegar hasta el otro vrtice partiendo de cualquiera de ellos. Definicin: En un grafo dirigido, para todo vrtice v el nmero de aristas que tienen a v como vrtice inicial se denomina grado de entrada del vrtice v. El nmero de aristas que tienen a v como vrtice terminal se denomina grado de salida, y la suma de ambos es lo que se denomina grado total del vrtice v. El grado total de un vrtice v, (v), es el nmero de aristas dirigidas o no-dirigidas incidentes en v. El grado total de un vrtice aislado es 0, y el de un vrtice con bucle y sin otras aristas que incidan en l es 2.

Definicin: Sea N(H) el conjunto de vrtices de un grafo H, y sea N(G) el conjunto de vrtices de un grafo G tales que N(H) N(G). Si adems toda arista de H es tambin una arista de G, entonces se dice que el grafo H es un Subgrafo del grafo G, y esto se expresa en la forma H G. En la figura Grafo y algunos de sus subgrafos, los grafos de la parte (b) son subgrafos de la parte (a).

Tambin, se dice que un grafo G = (N, A) es completo si todos sus vrtices son adyacentes a todos los vrtices del grafo, es decir, existe una arista entre cada par de vrtices distintos. Los grafos completos de n vrtices se denotan en la forma Kn. La figura Grafos completos del 1 al 5 muestra los cinco primeros grafos completos.

Un tipo de grafo sencillo es el bipartito. Un grafo G = (N, A) se denomina grafo bipartito si el conjunto de vrtices N se puede separar en dos subconjuntos V1 y V2 de modo que cada arista en A sea incidente en un vrtice de V1 y en un vrtice de V2. Dicho de otro modo, que no haya dos vrtices de V1 que sean adyacentes, ni tampoco dos vrtices de V2 que sean adyacentes.

El grafo ilustrado en la figura Grafo (a) es un grafo bipartito, ya que los dos subconjuntos disjuntos de vrtices son V1 = {v1, v2} y V2 = {v3, v4, v5}, cada arista es incidente en un vrtice de V1 y un vrtice de V2. Por el contrario, la figura (b) no es un grafo bipartito, puesto que no es posible descomponer el conjunto N en dos subconjuntos disjuntos no vacos.

En qu reas del mbito cientfico se pueden aplicar los grafos? Ser posible hacer grafos del funcionamiento del cuerpo humano? Ser posible hacer grafos de tu rutina diaria? Representacin de grafos En muchos casos, como por ejemplo, al utilizar una computadora para analizar un grafo, es necesaria una representacin ms formal. La representacin ms formal de un grafo es mediante su matriz de adyacencia, o mediante su matriz de incidencia.

Para obtener la matriz de adyacencia, considerando el grafo de la figura mostrada. Primero se debe elegir un orden para los vrtices, por ejemplo: a, b, c, d, e. Posteriormente, construir una matriz y etiquetar los renglones y las columnas con los vrtices ordenados. La entrada en esta matriz es un 1 si los vrtices del rengln y la columna son adyacentes y 0 en caso contrario.

Figura a). Representacin de un grafo.

La matriz de adyacencia del grafo de la figura anterior es la que se presenta en seguida: Observa que se puede obtener el grado de un vrtice v en un grafo sencillo sumando el rengln v o columna v en la matriz de adyacencia. Ejemplo: el grado total del vrtice b es 3.

Adems, aunque la matriz de adyacencia permite representar bucles, no permite representar aristas paralelas; sin embargo, si modificamos la definicin de una matriz de adyacencia para que sta pueda contener enteros no negativos arbitrarios, podemos representar las aristas paralelas. En la matriz de adyacencia modificada, interpretamos la entrada ij-sima especificando el nmero de aristas entre i y j.Considerando el grafo de la figura b) para obtener la matriz de adyacencia, siguiendo la metodologa del ejemplo anterior, la matriz de adyacencia es la que se muestra como A.

Figura b). Representacin de un grafo.Utilizando el ejemplo previo, se mostrar que si A es la matriz de adyacencia de un grafo sencillo G, las potencias de A, A, A2, A3,, cuentan el nmero de caminos de diversas longitudes. Ms precisamente, si los vrtices de G se etiquetan 1, 2,, la entrada ij-sima en la matriz An es igual al nmero de caminos de i a j de longitud n. Por ejemplo, supn que se obtiene el cuadrado de la matriz A del ejemplo de la figura b).

Al considerar la entrada del rengln a, columna c en A2, obtenida al multiplicar por pares las entradas del rengln a por las entradas de la columna c de la matriz A y sumando:

La nica forma en que un producto distinto de cero podra aparecer en esta suma es cuando ambas entradas por multiplicar son iguales. En este ejemplo la suma es 2 pues existen dos caminos de longitud 2 de a a c. (a, b, c) y (a, d, c) En general, la entrada en el rengln x y la columna y de la matriz A2 es el nmero de caminos de longitud 2 del vrtice x al vrtice y. Las entradas de la diagonal de A2 proporcionan los grados de los vrtices (cuando el grafo es sencillo). Considerando el vrtice c en el ejemplo de la figura b) el grado de c es 3 pues c es incidente en las tres aristas (c, b), (c, d), (c, e). Pero cada una de estas aristas se puede convertir en un camino de longitud 2 de c a c. (c, b, c), (c, d, c) y (c, e, c) Teorema: Si A es la matriz de adyacencia de un grafo sencillo, la entrada ij-sima de An es igual al nmero de caminos de longitud n del vrtice i al vrtice j, n = 1, 2,

Otra manera de representar un grafo es mediante la matriz de incidencia. Para obtener la matriz de incidencia, considera el grafo de la figura c). Primero se debe construir una matriz y etiquetar los renglones con los vrtices y las columnas con las aristas en algn orden arbitrario. La entrada del rengln v y la columna e es 1 si e es incidente en v y 0 en caso contrario.

Figura c). Representacin de un grafo.La matriz de incidencia del grafo de la figura c) es la que a continuacin se da:

La matriz de incidencia permite representar las aristas paralelas y los bucles. La columna como e7 representa un bucle. Observa que en un grafo sin bucles, cada columna tiene dos unos y que la suma de los elementos de un rengln proporciona el grado del vrtice identificado con ese rengln. Las aristas paralelas en este ejemplo son e1 y e2.A continuacion te presentamos algunos ejemplos complementarios de esta seccin.Descarga el siguiente documento para conocerlos.Da clic en el icono para descargar el archivo

Ejemplos complementarios de la seccin Problema: elabora un grafo que represente un mapa de carreteras y ciudades, considera 5 ciudades (A, B, C, D, E), con las siguientes caractersticas: 1) hay dos rutas que unen las ciudades A y B, 2) no existe una ruta entre A y D, 3) existe un camino que pasa por B, C y D, 4) la ciudad E est aislada. Solucin: una posible solucin al ejercicio, es la que se muestra en la Figura 1. Se usa un grafo no dirigido puesto que el problema no plantea alguna direccin para alguna carretera. Las aristas representan a las carreteras y los vrtices representan a las ciudades. Para cumplir con el requisito 1), se usan aristas paralelas.

Figura 1. Grafo representando un mapa de carreteras y ciudades

Problema: la Figura 2 a) muestra una parte del plano de una ciudad, en el cual las flechas denotan calles de direccin nica. Elabora un grafo que represente esta parte del plano. Este grafo puede ser til para los servicios de emergencia pblicos, como los bomberos y la polica. Solucin: segn el plano, existen calles con direccin nica y otras que no, por lo tanto, el tipo de grafo requerido es mixto. Para este caso, las aristas representarn a las calles y los vrtices representarn las esquinas o intersecciones entre calles. El grafo obtenido es el que se muestra en la Figura 2 (b).

Figura 2. Representacin grfica del sistema de calles de una ciudad.Actividad 2. Solucin de problemas mediante la representacin de grafos

Esta actividad tiene como fin que construyas un grafo mediante el siguiente planteamiento: Karla, Manuel, Juan, Mnica, Eliangel e Iliana, van a subir a un juego mecnico en forma circular, se sabe que: Karla conoce a Juan y a Mnica Manuel conoce a Juan y a Eliangel Iliana conoce a Eliangel y a Mnica Es posible sentarlos de forma que las personas que estn sentadas juntas se conozcan? 1. Construye un grafo donde se represente la solucin del planteamiento. Menciona el nmero de vrtices del grafo que construiste. 2. Guarda tu documento en un archivo .doc con el nombre MDI_U2_A2_XXYZ y envalo a tu Facilitador(a) a travs de la seccin de Tareas.