Unidad 1. Integración compleja
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Matemáticas
Variable compleja II
6° Semestre
Unidad 1. Integración compleja
Clave:
05143632
Universidad Abierta y a Distancia de México
Variable compleja II
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Índice Unidad 1. Integración compleja .................................................................................................................3
Presentación de la unidad ...........................................................................................................................3
Competencia específica ...............................................................................................................................4
Logros ...........................................................................................................................................................4
1.1. Fundamentos .........................................................................................................................................4
1.1.1. Definiciones .................................................................................................................................... 5
1.1.2. Propiedades .................................................................................................................................... 8
1.2. Tipos de integrales complejas ........................................................................................................... 11
1.2.1. Integral de línea ........................................................................................................................... 11
1.2.2. Integral de contorno .................................................................................................................... 14
1.2.3. Integral de funciones elementales .............................................................................................. 17
1.3. Deformación ....................................................................................................................................... 19
1.3.1. Deformación (arcos y curvas) ..................................................................................................... 19
1.3.2. Teorema de la homotopía (deformación) .................................................................................. 22
Cierre de la unidad ................................................................................................................................... 26
Para saber más .......................................................................................................................................... 26
Fuentes de consulta ................................................................................................................................... 27
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Unidad 1. Integración compleja
Presentación de la unidad
Dentro de las aplicaciones del análisis complejo, la integración y la teoría relacionada a ésta, se
encuentra el resolver problemas de integración de funciones holomorfas mediante las
herramientas apropiadas.
Por lo anterior, durante esta unidad se abordarán tres subtemas: Fundamentos (definiciones y
propiedades), Tipos de integrales complejas (línea, contorno y elementales) y Deformación
(aplicación del teorema de la homotopía).
El primer subtema muestra la definición y propiedades de la integral de variable compleja, para
facilitar su clasificación y la solución de problemas.
El segundo subtema corresponde a los diferentes tipos de integrales de variable compleja, se
retoman resultados de otras asignaturas (Cálculo de varias variables I y II, Variable compleja I)
que se adaptan al análisis complejo. Todo encaminado a facilitar la solución de problemas que
involucran integrales de variable compleja.
Finalmente, en el tercer subtema se estudia la teoría del análisis complejo para plantear el
teorema de la homotopía con el fin de resolver integrales complejas de arcos y curvas.
Para una mayor claridad, a lo largo de la unidad se presentan en diferente fondo de color las
definiciones, teoremas, propiedades y ejemplos.
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Competencia específica
Utilizar la definición y propiedades de la integración compleja para resolver problemas
relacionados con la integral utilizando los tipos de integrales complejas y sus teoremas.
Logros
• Aplicar las propiedades y teoremas de la integración compleja para resolver problemas
de los diferentes tipos de integrales de funciones holomorfas.
• Aplicar el teorema de la homotopía (deformación) para resolver integrales de curva y
arco de variable compleja.
1.1. Fundamentos
Se define la integral de variable compleja como una integral de línea, pero con términos
complejos porque las funciones complejas se integran sobre curvas.
A lo largo del tema, mediante los subtemas, se presentan algunos de los teoremas del análisis
complejo para resolver integrales de funciones holomorfas (línea, contorno y elementales);
además de retomarse algunos resultados para trayectorias que estudiaste durante la asignatura
de Cálculo de varias variables II.
Debes tener presente los conceptos de continuidad, límite, teoremas y propiedades para
integrales de varias variables, cambio en los límites de integración, derivadas de n-ésimo orden,
¿Qué es la integral de variable compleja?
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derivadas parciales, funciones lineales y conocimientos sólidos de geometría analítica y variable
compleja I.
A lo largo de la asignatura asumiremos que las funciones son holomorfas, es decir diferenciables
en todo punto de un subconjunto abierto 𝐴 ⊂ ℂ. También recuerda que puedes utilizar las
propiedades y teoremas aplicables a dichas funciones.
1.1.1. Definiciones
Antes de iniciar con la definición formal de integral de variable compleja, es necesario conocer
algunos resultados para comprender mejor el tema.
Cuándo nos referimos a una curva, también podemos llamarle contorno o trayectoria
Definición:
Una curva suave (Imagen A) es una función continua 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ de clase 𝐶1 tal que su
derivada es diferente de cero.
Una curva suave a pedazos (Imagen B) es una función continua a pedazos 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ
Si una curva no es suave o suave a pedazos, entonces se llamará discontinua (Imagen C).
Clase 𝐶1 significa que tiene sus primeras derivadas parciales continuas
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Curvas simples continuas y a pedazos
Definición:
Sea 𝑓(𝑧): 𝐷𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua sobre 𝐷𝑓 , y la curva 𝜎: = [𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1. La integral de
variable compleja se define como:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= lim𝑛→∞
∑ 𝐹(𝑧𝑘)
𝑛
𝑘=1
∆𝑧𝑘
Dónde:
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑧𝑘 es un punto arbitrario de la curva de la forma 𝑧𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑦𝑘
∆𝑧𝑘 = ∆𝑥𝑘 + 𝑖∆𝑦𝑘 = (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1) + 𝑖(𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1)
Al definir de este modo la integral, su valor dependerá de los límites de integración y de la curva
sobre la que se define la función a integrar.
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Construcción de la definición formal de integral de variable compleja
Ahora sabes que la integración de funciones holomorfas se refiere a la suma de las longitudes
de una función, sobre una curva.
Ejemplo:
Calcula la integral de 𝑓(𝑧) = 𝑧, sobre la curva 𝑦 = 𝑥2, que inicia en el punto 𝑧0 = 0 + 𝑖0 y
termina en el punto 𝑧1 = 1 + 𝑖, utilizando la definición formal de integral de variable compleja.
Solución: Identifica los elementos que forman ∆𝑧 (punto inicial y final) y calcúlalo. Sustituye los
valores de 𝑧0, 𝑧1 en (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1) + 𝑖(𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1) para obtener que ∆𝑧1 = (1 − 0) + 𝑖(1 − 0) =
1 + 𝑖. Toma en cuenta que sólo estas sustituyendo valores de los puntos 𝑧0, 𝑧1 .
Selecciona un punto cualquiera (puedes tomar un punto conocido, por ejemplo 𝑧1 ) de la curva
𝑦 = 𝑥2; obtén el punto medio de dicho punto (no olvides la igualdad que te proporciona la
curva 𝑦 = 𝑥2 porque de ahí obtendrás el valor de 𝑓(𝑧1)) y evalúalo en 𝑓(𝑧), es decir:
𝑓(𝑧1) = 𝑓 (1
2+
1
4𝑖) =
1
2+
1
4𝑖, ya que 𝑓(𝑧) = 𝑧.
Ahora sustituye el valor de ∆𝑧 𝑦 𝑓(𝑧1) en ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= lim𝑛→∞
∑ 𝐹(𝑧𝑘)𝑛𝑘=1 ∆𝑧𝑘. En este caso debes
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tomar un solo punto, por lo tanto
∫ 𝑧𝑑𝑧 =1+𝑖
0+𝑖0𝑓(𝑧1)∆𝑧1 = (
1
2+
1
4𝑖) (1 + 𝑖) ≈
1
4+
3
4𝑖
Recuerda que es un valor aproximado, en el siguiente subtema podrás evaluar la integral con
métodos más exactos.
Punto medio entre los puntos inicial y final
1.1.2. Propiedades
Es posible calcular la integral compleja sin utilizar la definición formal, a través del siguiente
resultado, que utiliza un cambio de variable para definir la integral.
Definición:
Una curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ es una función en el plano complejo que utiliza la
parametrización:
𝑥 = 𝑢(𝑡); 𝑦 = 𝑣(𝑡)
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Las funciones 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑣(𝑡) son continuas y describen a la función de variable compleja
𝑧 = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) tal que 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
Proposición:
Sea 𝑓(𝑡): 𝐷𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua sobre 𝐷𝑓, la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ de clase 𝐶1 y las funciones
𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡) de variable real continuas, con 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Entonces
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑢(𝑡)𝑏
𝑎
𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑣(𝑡)𝑏
𝑎
𝑑𝑡𝑏
𝑎
Ya que 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡)
La propiedad anterior te permite calcular integrales de variable compleja con las mismas
propiedades (suma, producto y linealidad) que utilizaste con integrales de variable real.
Ejemplo:
Evalúa la integral ∫ (1 + 2𝑡𝑖)2𝑑𝑡1
0 a partir de la definición anterior.
Solución: Realiza las operaciones necesarias para simplificar la función a integrar
(1 + 2𝑡𝑖)2 = 1 − 4𝑡 + 4𝑡𝑖
Escribe nuevamente la integral con el resultado que obtuviste al realizar el paso anterior.
∫ (1 − 4𝑡 + 4𝑡𝑖)𝑑𝑡1
0.
Resuelve como integrales de variable real.
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∫ (1 − 4𝑡 + 4𝑡𝑖)𝑑𝑡1
0= 𝑅𝑒 ∫ (1 − 4𝑡)𝑑𝑡 + 𝐼𝑚 ∫ (4𝑡𝑖)𝑑𝑡 = −1 + 2𝑖
1
0
1
0.
Asume en cada uno de los siguientes enunciados que 𝑓(𝑡) es continua y holomorfa sobre
curvas tales que 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ es de clase 𝐶1.
Propiedades:
1. ∫ 𝑘𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 para 𝑘 ∈ ℂ con 𝑘 constante
2. ∫ [𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)]𝑑𝑡 =𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
3. ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎= − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
𝑏
4. ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑐
𝑎+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑐, para [𝑎, 𝑐] ∪ [𝑐, 𝑏].
Ejemplo:
Sea 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡), demuestra la siguiente igualdad a partir de las propiedades anteriores,
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
−𝑎= 2 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Solución: Analiza la información que proporciona el problema, en este caso la igualdad define
una propiedad particular de la función. Ya que 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡), implica que 𝑓 es una función par.
Es preferible que elijas una de las integrales de la igualdad (derecha o izquierda), para poder
deducir la otra. Toma ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
−𝑎 y aplica las definiciones y propiedades que aprendiste de
funciones impares de variable real y las que proporciona el ejemplo.
Por hipótesis 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡) es par , ya que la función está definida [−𝑎, 𝑎], reescríbelo como:
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[−𝑎, 𝑎] = [−𝑎, 0] ∪ [0, 𝑎].
Ahora aplica la propiedad 4 y escribe la integral ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
−𝑎= ∫ 𝑓(−𝑡)𝑑𝑡
0
−𝑎+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
0,
observa que ∫ 𝑓(−𝑡)𝑑𝑡0
−𝑎= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
0 por ser 𝑓 par, sustituye nuevamente en la integral de la
derecha.
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
−𝑎
= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
0
+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
0
Aplica las propiedades 1 y 2 para concluir la demostración.
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
−𝑎
= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
0
+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
0
= 2 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎
0
1.2. Tipos de integrales complejas
Ahora que hemos revisado y aprendido las definiciones y propiedades básicas para resolver
integrales complejas, estudiarás cómo aplicarlas en integrales de línea, contorno y elementales,
que es una relación con los temas revisados en la asignatura de Cálculo de varias variables II.
Los principios, leyes y teorías que se revisaron en la asignatura mencionada, se representan en
los siguientes subtemas, pero enfocados a los números complejos y dentro del plano complejo.
1.2.1. Integral de línea
La integral de línea compleja se calcula utilizando una función holomorfa sobre una curva en el
plano complejo, el procedimiento es análogo al de las integrales de línea de variable real y sus
mismas propiedades.
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Teorema:
Sean 𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua y holomorfa, la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1 y 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,
tales que
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝑖𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))
𝑧′(𝑡) =𝑑𝑧
𝑑𝑡=
𝑑𝑢
𝑑𝑡+ 𝑖
𝑑𝑣
𝑑𝑡,
Satisfacen la igualdad que corresponde a la integral de línea con variable compleja:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
El valor de la integral no se afecta si la función es continua por pedazos (trozos).
Al resultado anterior se le llama teorema de cambio de variable porque construyen la integral
de línea tomando particiones de un subconjunto de ℂ, para después usarla como una propiedad
de las integrales de variable compleja.
Ejemplo:
Calcula la integral de línea de 𝑓(𝑧) =1
𝑧 , sobre el semicírculo superior cuyos puntos inicial y
final son 𝑧0 = 1, 𝑧1 = −1, respectivamente.
Solución:
1. Identifica los elementos que necesitas para resolver la integral:
a) La parametrización de la curva sobre la cual se encuentra nuestra función 𝑓(𝑧) y los nuevos
puntos de inicio y final de 𝜎. En este caso, es conveniente utilizar 𝜎(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 en el intervalo 0 ≤
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𝑡 ≤ 𝜋
b) Evalúa su composición 𝑓𝜎 y su derivada
𝑓(𝜎(𝑡)) =1
𝑒𝑖𝑡 ; 𝜎′(𝑡) = 𝑖𝑒𝑖𝑡
c) Calcula los límites de integración para la integral a resolver. Ya que 𝑧0 = 1, 𝑧1 = −1,
entonces 𝑧0 = 0, 𝑧1 = 𝜋.
2. Utiliza la fórmula ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎 y sustituye todos los datos que tienes.
∫1
𝑒𝑖𝑡(𝑖𝑒𝑖𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑖𝑑𝑡 = 𝑖𝜋
𝜋
0
𝜋
0
Recuerda el tema parametrización de funciones de varias variables para resolver
correctamente este tipo de integrales.
Propiedades:
Sea 𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua y holomorfa, la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1. Los siguientes
enunciados son verdaderos:
1. ∫ 𝑧0𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝑧0 ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= 𝑧0 ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎𝜎, donde 𝑧0 es una constante
compleja.
2. ∫ [𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)]𝑑𝑧 =𝜎
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
+ ∫ 𝑔(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎+
∫ 𝑔(𝑧(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎.
3. ∫ −𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= − ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= − ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑎
𝑏.
4. . ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1
+ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎2
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑐
𝑎+ ∫ 𝑔(𝑧(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑐,
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donde 𝜎 = 𝜎1 ∪ 𝜎2 = [𝑎, 𝑐] ∪ [𝑐, 𝑏].
5. |∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
| ≤ 𝑁 ∫ |𝑧′(𝑡)|𝑑𝑡𝑏
𝑎, con 𝑁 ∈ ℕ.
Recuerda que ∫ |𝑧′(𝑡)|𝑑𝑡𝑏
𝑎 es la longitud de curva de 𝑓(𝑧)
1.2.2. Integral de contorno
La integral de contorno es la integral de línea compleja, la cual ya aprendiste a calcular en el
subtema anterior. Ahora se definen los tipos de curva (parametrizaciones) que estarás
utilizando durante la presente unidad.
Definiciones:
1. Una curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ se dice simple, si ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ [𝑎, 𝑏] con 𝑐 ≠ 𝑑, se cumple que
𝜎(𝑐) ≠ 𝜎(𝑏) con, es decir que la curva no se corta a sí misma.
2. La curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ se dice contorno cerrado simple, si 𝜎(𝑎) = 𝜎(𝑏). Es decir se
intersecta a sí misma en sus puntos extremos. Observa que 𝜎 encierra un área llamada
contorno acotado 𝐷𝜎. Cuando una curva se corta así misma en uno o varios puntos se llamarán
a dicha área contorno cerrado no simple 𝐷𝜏. La parte exterior de la curva 𝜎 se llama contorno
no acotado.
Observación
Es válido que una curva 𝜎 se recorra en sentido contrario al original, lo cual se denota como
– 𝜎. No olvides que en este caso el punto inicial de 𝜎 ahora será el punto final y viceversa.
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Contorno formado por una curva (acotado y no acotado)
Para no caer en confusiones cada que se mencione la trayectoria de una integral se mencionará
el sentido (dirección) de la misma.
Definición:
Sea 𝑓(𝑧) holomorfa, y la reparametrización de una curva simple 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ, se define
en términos de integrales complejas como:
− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝜎
Gráficamente se interpreta como se muestra a continuación:
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Reparametrización de curva cambiando el sentido de su dirección
Ejemplo:
Evalúa la integral ∫1
𝑒𝑖𝑡 (𝑖𝑒𝑖𝑡)𝑑𝑡 = 𝑖𝜋𝜋
0, invirtiendo el sentido de la curva 𝜎(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.
Solución: La función a integral es 1
𝑧 sobre el semicírculo unitario. La intención del ejemplo es
que compruebes que el valor de la integral cambia si se cambia la curva. Sea 𝜎1(𝑡) = 𝑒−𝑖𝑡 (la
parte de abajo del semicírculo unitario) reparametrización de 𝜎.
∫ 𝑒𝑖𝑡(−𝑖𝑒−𝑖𝑡)𝑑𝑡 = 𝑖 ∫ 𝑑𝑡𝜋
0
𝜋
0
= −𝑖𝜋
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1.2.3. Integral de funciones elementales
Durante la asignatura de Variable compleja I aprendiste la teoría de funciones elementales
(definición, propiedades, continuidad, límite y derivada), ahora complementarás esos
conocimientos para calcular las integrales de dichas funciones.
Así como algunas de las integrales de variable real tienen una función primitiva, las integrales
complejas bajo ciertas condiciones satisfacen un resultado análogo.
Teorema:
Sean 𝑓: 𝐷 → ℂ continua y holomorfa, la curva 𝜎:[𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1, tales que existe otra
función 𝐹: 𝐷′ → ℂ, continua y holomorfa tal que 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧) ∀𝑧 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓. Entonces se cumple
la siguiente igualdad:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= 𝐹(𝜎(𝑏)) − 𝐹(𝜎(𝑎)).
Demostración:
Ya que 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧) ∀𝑧 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 por hipótesis, entonces reescribimos a
𝐹′(𝑧) = 𝑢′(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣′(𝑥, 𝑦)
Por lo tanto ∫ 𝐹′(𝑧)𝑑𝑧 =𝑏
𝑎∫ 𝐹(𝜎(𝑡))
𝑏
𝑎𝜎′(𝑡)𝑑𝑡 =
= ∫ 𝑢′𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑣′(𝑡)𝑑𝑡 = [𝑢(𝑏) + 𝑖𝑣(𝑏)] − [𝑢(𝑎) − 𝑖𝑣(𝑎)] =𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝐹(𝜎(𝑏)) − 𝐹(𝜎(𝑎))
Lo que prueba el teorema.
Observaciones:
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• También encontrarás el resultado anterior como el Teorema fundamental de integrales
de variable compleja.
• Si la curva es cerrada, entonces 𝐹(𝜎(𝑏)) − 𝐹(𝜎(𝑎)) = 0.
Ejemplo:
Encuentra una función 𝐹 para la integral ∫ 2𝑧𝑑𝑧1
0, que satisfaga la proposición anterior.
Solución:
1. Identifica 𝑓(𝑧) = 2𝑧, recordando reglas de integración en ℝ, una primitiva (antiderivada) de
∫ 2𝑧𝑑𝑧1
0 es: 𝐹(𝑥) = 𝑧2.
2. Evalúa la integral, aplicando la proposición anterior, ya que 𝑧0 = 0, 𝑧1 = 1, entonces:
∫ 2𝑧𝑑𝑧 = 𝐹(𝑧1) − 𝐹(𝑧0) = 1 − 0 = 11
0.
Recuerda que las funciones elementales son funciones que se forman usando las propiedades
de las funciones complejas (suma, producto, cociente etc. de funciones) en la unidad dos
podrás integrar funciones compuestas (composición de funciones elementales holomorfas) con
la ayuda del teorema de Cauchy-Goursat.
Ejemplos:
1. Encuentra el valor de la integral de la función f(z) = eitdt, de tal forma que sus puntos inicial
y final son z0 = 0, z1 =π
4.
Solución: En este caso ya no es necesario encontrar una parametrización de la curva, porque
nos la proporciona implícitamente el ejercicio, pero es importante que reescribas la función
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para facilitar el cálculo de la integral.
Reescribe la función 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑖𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑡 y sustituye en la integral para resolverla.
∫ (cost + isent )dt = ∫ costdt
π4
0
+ ∫ isentdt
π4
0
= sent|0
π4 + i(−cost)|
0
π4
π4
0
=1
2(√2 + i(2 − √2))
2. Cuál es el valor de la integral de la función 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)−1, cuya parametrización está
definida como 𝜎(𝑡) = 𝑟𝑒2𝑖𝜋𝑡 + 𝑎, con 𝑡 ∈ [0, 𝑛], 𝑛 ∈ ℕ.
Solución: El ejercicio te proporciona la parametrización, los puntos inicial y final z0 = 0, z1 = n.
Sustituye los datos y resuelve como si fuera una integral de línea compleja.
f(σ(t)) = ((re2iπt + a) − a)−1 = (re2iπt)−1
σ′(t) = 2iπt(re2iπt)
∫ (re2iπt)−1[2iπt(re2iπt)]dt = ∫ idz = 2iπnn
0
n
0
1.3. Deformación
La deformación es un resultado previo al teorema de Cauchy-Goursat, se utiliza para el estudio
de funciones que no son holomorfas en algún punto de su dominio. Un ejemplo conocido es la
función 1
𝑧 , que no es holomorfa en 𝑧 = 0. A estos puntos donde una función deja de ser
holomorfa se les llama singularidades, las cuales pueden ser “cubiertas” al ir transformando una
parametrización dada en otra que facilite el cálculo de la integral.
1.3.1. Deformación (arcos y curvas)
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En el subtema 1.2.1. Integral de línea revisaste la definición de la integral de línea compleja
sobre una curva, ahora bien, en esta sección se definirán las herramientas necesarias para la
solución de casos específicos sobre curvas.
Definiciones:
1. Un arco simple es una función 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ, de clase 𝐶1 tal que 𝜎 es continuo sobre el
dominio.
2. Para la función continua 𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⊂ ℂ → ℂ holomorfa, y la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ de
clase 𝐶1; ∃ 𝑁 ∈ ℕ tal que ∀ 𝑧 ∈ 𝜎, se satisface la siguiente igualdad:
|𝑓(𝑧)| ≤ 𝑁
Bajo las condiciones anteriores la siguiente igualdad es verdadera.
|∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
| ≤ 𝑁 ∫ |𝜎(𝑡)|𝑑𝑡𝑏
𝑎, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
La integral de la izquierda es la longitud de curva que estudiaste en la asignatura de Cálculo de
varias variables II.
La siguiente proposición es un resultado que te permitirá reparametrizar curvas.
Proposición:
Sean 𝛾: [𝑐, 𝑑] ⊂ ℝ → ℂ y 𝜎: [𝑐, 𝑑] ⊂ ℝ → ℂ de clase 𝐶1, 𝑓 función holomorfa sobre un
conjunto abierto tal que 𝐼𝑚𝑔(𝜎) = 𝛾 , entonces se satisface:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝛾𝜎
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Demostración:
Por hipótesis sabes que 𝜎 es de clase 𝐶1, es conveniente que escribas la integral
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
Sea 𝑠 = 𝜏(𝑡), tal que 𝑠 = 𝑎′ cuando 𝑡 = 𝑎, 𝑦 𝑠 = 𝑏′ cuando 𝑡 = 𝑏. Aplica la regla de la cadena
a 𝜎 para obtener:
∫ 𝑓(𝜎(𝑡))𝜎′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝛾(𝜏(𝑡)))𝜏′(𝑡)𝑑𝜏
𝑑𝑡𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝛾(𝑠))𝛾′(𝑠)𝑑𝑠𝑏
𝑎
Y con esto se prueba la proposición.
Independencia de trayectoria de curvas homotópicas
Ejemplo:
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Calcula la integral ∫1
𝑧𝑑𝑧
𝑖
1 sobre la curva 𝑥4 + 𝑦4 − 1 = 0 en la parte positiva del plano 𝑥𝑦.
Solución: Al realizar la sustitución de la curva en 𝑓, la integral a resolver se dificulta.
∫ ∫𝑑𝑥𝑑𝑦
√𝑥4 − 14
+ 𝑖(√𝑦4 − 14
)
1
0
1
0
Grafica la curva para identificar qué curva puedes utilizar para facilitar el cálculo de la integral.
En este caso, es conveniente que la curva sea |𝑧| = 1 con 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋
2, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔𝑧. Aplica el
cambio de variable 𝜎(𝜃) = 𝑒𝑖𝜃 y sustituye en la integral original.
∫1
𝑒𝑖𝜃
𝜋2
0
(𝑖𝑒𝑖𝜃)𝑑𝜃 = ∫ 𝑖𝑑𝜃
𝜋2
0
=𝑖𝜋
2
1.3.2. Teorema de la homotopía (deformación)
La homotopía se refiere a la deformación sin romper, cómo transformar una curva en otra a
través del teorema que nos compete, para facilitar el cálculo de la función a integrar.
Definición:
Variable compleja II
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Una curva cerrada simple sobre una región 𝐴 ⊂ ℂ se dice homotópica, si puede deformarse
continuamente hasta formar una nueva curva, de tal manera que sea continua en 𝐴 ⊂ ℂ.
Otra forma de definir una curva homotópica, es la existencia de una función 𝑔: [0,1]𝑋[0,1] → ℂ
que satisface las siguientes condiciones:
1. 𝑔(0, 𝑡) = 𝜎0 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
2. 𝑔(1, 𝑡) = 𝜎1 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
3. 𝑔(𝑠, 0) = 𝑧0 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1; 𝑧0, 𝑧1 ∈ ℂ
4. 𝑔(𝑠, 1) = 𝑧1 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1
Ejemplo:
Sean 𝜎0 = 𝑡(1 + 𝑖), 𝜎1 = 𝑡(1 + 𝑖𝑡), verifica que 𝜎0 es homotópica, si 𝑔(𝑠, 𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡1+𝑠.
Sustituye los datos que te proporciona el ejemplo
1. 𝑔(0, 𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡 = 𝜎0 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
2. 𝑔(1, 𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡2 = 𝜎1 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
3. 𝑔(𝑠, 0) = 0 = 𝑧0 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1; 0, 1 + 𝑖 ∈ ℂ
4. 𝑔(𝑠, 1) = 1 + 𝑖 = 𝑧1 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1
Ya que satisface la definición, por lo tanto 𝜎0 es homotópica.
Para demostrar el teorema de la homotopía, es necesario plantear el siguiente resultado.
Teorema:
Para 𝑓(𝑧) función holomorfa, cuya derivada es continua sobre 𝜎 (sobre y en el interior de su
contorno) curva cerrada simple, se cumple la siguiente igualdad:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0𝜎
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Demostración:
Sea 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣, entonces por la linealidad de la integral
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ (𝑢𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑦)𝜎
+ 𝑖 ∫(𝑢𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑥)
𝜎𝜎
Aplicamos el teorema de Green a las integrales de la derecha para obtener:
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∬ [− (𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦)]
𝜎
𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑖 ∬ [𝜕𝑢
𝜕𝑥−
𝜕𝑣
𝜕𝑦]
𝜎
𝑑𝑥𝑑𝑦
Ya que 𝑓 es holomorfa y con 𝑓′ continua, implica que satisface las condiciones del teorema de
Cauchy-Riemann, por lo tanto:
𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 0 y
𝜕𝑢
𝜕𝑥−
𝜕𝑣
𝜕𝑦= 0
Al sustituir en la integral anterior se tiene la igualdad:
∬ [− (𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦)]
𝜎𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑖 ∬ [
𝜕𝑢
𝜕𝑥−
𝜕𝑣
𝜕𝑦]
𝜎𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝜎.
Algunos autores como J. E. Marsden (1996) nombran al teorema anterior Versión simple del
Teorema de Cauchy.
Teorema de la homotopía (deformación):
Si 𝑓(𝑧) es holomorfa sobre dos curvas cerradas simples homotópicas 𝜎1, 𝜎2, entonces las
integrales de línea de 𝑓 alrededor de dichas curvas tienen el mismo valor, siempre que una de
las curvas se obtenga por deformaciones continuas de la otra sin pasar por alguna singularidad
de 𝑓.
∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1
= ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎2
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Demostración:
Sean 𝜎 = 𝜎0 + �̃� y 𝜎 = 𝜎1 + 𝜎0 − �̃� − 𝜎0 por hipótesis dichas curvas son homotópicas, y en
particular holomorfas en el interior del 𝐷𝑜𝑚𝑓, por lo tanto satisfacen las condiciones del
teorema anterior.
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1+𝜎0−�̃�−𝜎0
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1
+ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎0
− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧�̃�
− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎0
= 0
Es decir:
∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎
= ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧�̃�
Para demostrar el teorema anterior se necesitan aplicar resultados que involucran el teorema
de Cauchy-Goursat.
Ejemplo:
Sea 𝑓(𝑧) =1
𝑧 y la curva 𝜎 cerrada simple (no es un círculo), con 0 ∈ 𝜎.
Solución: El valor de la integral de 𝑓 es 2𝑖𝜋.
Por el teorema de la homotopía es posible encontrar otra curva �̃� = |𝑧| = 𝑎 > 0 tal que �̃� está
en el interior de 𝜎. Al realizar el cambio de variable el círculo (�̃�(𝑡) = 𝑎𝑒𝑖𝑡) de radio 𝑎 con
centro en el origen, se tiene que:
∫1
𝑧
2𝜋
0
𝑑𝑧 = 2𝑖𝜋
La siguiente imagen te proporcionará una mejor idea de las curvas.
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Recuerda 𝑓(𝑧) =1
𝑧 es holomorfa, si su dominio no contiene al cero.
En la siguiente unidad retomarás estos resultados para resolver problemas específicos por
medio del a fórmula de Cauchy.
Cierre de la unidad
Has concluido la primera unidad de la asignatura. A lo largo de ésta se abordaron cálculos de
integrales de variable compleja, a través del uso de teoremas y propiedades. Ahora sabes que
estas integrales tienen aplicación en la ingeniería, la física y otras ramas del conocimiento.
Es aconsejable que revises nuevamente la unidad en caso de que lo que se acaba de mencionar
no te sea familiar, o no los recuerdes; de no ser éste tu caso, has concluido la unidad, por lo que
puedes ingresar a la Unidad 2. Análisis complejo, en la que se revisarán los cálculos de integrales
a partir del teorema de Cauchy-Goursat y sus diferentes aplicaciones, en diferentes contextos.
Para saber más
Para comprobar los resultados de los ejemplos y ejercicios presentados durante la unidad, te
propongo utilizar el programa Wolfram. Puedes acceder a ella desde el siguiente link
http://www.wolframalpha.com
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Fuentes de consulta
• Marsden J. E.& Hoffman M. J. (1996) “Análisis básico de Variable Compleja”. México
Editorial Trillas.
• Lang, S.. (1999). Complex Analysis.(4a Edición) New York. Editorial Springer
• Churchill, R. V. (1996). Variable Compleja y sus aplicaciones. (México), Editorial Trillas