Unidad 1 Algebra Superior.conj Num yEsp. Vect. RosaDePena
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Algebra Superior
Rosa De Pena
Conjuntos Numéricos Espacio Vectorial
Unidad - 1
Índice
1.1 Conjuntos Numéricos ......................................................... 1
1.2 Propiedades De Los Numeros Reales ............................ 5
1.3 Definición de Campo Numérico ...................................... 11
1.4 Definición de Vector ......................................................... 15
1.5 El conjunto Rn es una generalización de R
2, .................. 17
1.6 Vector Cero o Vector Nulo. ............................................ 17
1.7 Demostrar que Rn define un Espacio Vectorial ............ 18
1.8 Igualdad de Vectores ......................................................... 19
1.9 Vector Opuesto de un Vector Dado ................................. 20
1.10 Operaciones con Vectores .............................................. 20
1.10.1 Suma o Adición ......................................................... 20
1.10.2 Diferencia ................................................................... 20
1.10.3 Producto de un Vector por un Escalar K ................ 21
1.10.4 Producto Escalar o Producto Interno o Producto Punto
............................................................................................... 21
1.11 Definición de Vector Asociado ....................................... 22
1.12 Norma, Longitud o Tamaño de un Vector .................... 24
1.13 Angulo entre dos Vectores ............................................ 26
1.14 Vector Unitario con el mismo sentido de un vector dado
................................................................................................... 27
BILIOGRAFIA CONSULTADA .............................................. 28
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1.1 Conjuntos Numéricos
Los conjuntos numéricos fueron estudiados en cursos anteriores. Sin embargo, exponemos
a continuación algunos conceptos breves sobre los mismos.
El ser humano aprendió a contar antes de aprender a escribir, como lo hicimos la mayor parte
de nosotros. Los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } entraron a nuestro vocabulario
antes de ir a la escuela. Estos números, resultado de la más elemental y primera operación
matemática realizada por el hombre, vienen a satisfacer la necesidad de cuantificar (contar y
ordenar).
Se representan los Números Naturales como: N= { 0, 1, 2, 3, 4, .... }
Al referirnos a las propiedades del Conjunto de los Números Naturales podemos decir:
1. Es ordenado. Esto significa que entre sus elementos podemos establecer la relación de
menor/mayor que ( <, > ) .
2. A todo número natural siempre le sigue un número natural.
3. Es ilimitado, en el sentido de que no hay un último número natural
4. Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.
Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A es una función
AxA A . Es una relación que asigna a determinadas parejas del conjunto AxA un
elemento único de A. Una operación interna en un conjunto no vacío A, es una aplicación
en AxA A. Una operación binaria puede ser unaria, binaria, ternaria…
En el Conjunto de los Números Naturales N se les llama Operaciones Naturales a aquellas
que son internas en dicho conjunto. Las operaciones naturales son la suma (+) y la
multiplicación (x). Son operaciones binarias en N porque operan sobre dos números naturales
cualesquiera y cerradas porque al operar con números naturales, el resultado es siempre un
número natural.
Al usar una calculadora debemos seguir una secuencia específica para realizar las operaciones
de suma y de multiplicación.
Ejemplos.
1 + 3 = 4 En este caso 1, 3 son sumandos y 4 es la suma o total.
8 + 20 = 28 Para este ejemplo 8, 20 son sumandos y 28 es la suma o total.
2(3) = 6 En la operación planteada 2, 3 son factores y 6 es el producto.
8(20) = 160 Para este ejemplo 8, 20 son factores y 160 es el producto.
Sin embargo, al plantear la operación de Sustracción con los números naturales encontramos
que no siempre la sustracción entre dos números naturales es otro número natural, tal como
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ocurre cuando en una sustracción [a – b] el minuendo “a” es menor que el sustraendo “b”.
Enfrentándose a este problema, los matemáticos se vieron en la necesidad de ampliar el
concepto de números naturales, inventándose una colección de números nuevos
= { ... ,4, 3, 2, 1}, llamados Enteros Negativos.
Los Enteros Negativos junto con los Números Naturales forman el conjunto de los Números
Enteros .
Así,
= { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Entre las propiedades del Conjunto de los Números Enteros Z podemos señalar:
a) Es un conjunto ordenado e ilimitado en ambos sentidos.
b) Entre dos números enteros consecutivos no existen otros números enteros.
c) A todo número entero antecede siempre otro número entero.
d) A todo número entero le sigue otro número entero.
e) No hay un primer ni un último número entero.
En la escritura de un número entero identificamos dos partes:
1) Su sentido que será positivo (+) o negativo (-), exceptuando el cero, al cual no se le
atribuye sentido alguno.
2) Su módulo o valor absoluto, el cual queda definido de la siguiente forma:
a = a , si a > 0 ó a = 0
a= - a , si a < 0
La suma, la resta y la multiplicación son operaciones internas en , por lo que se les llama
Operaciones Enteras.
Ejemplos
3 - 5 = - 2 En este caso 3 es el minuendo, 5 es el sustraendo y -2 resto o
diferencia.
2 x ( - 4 ) = - 8
Entre tanto, veamos que a pesar de su belleza y utilidad, los números enteros padecen de un
serio defecto: no siempre el cociente entre dos números enteros es otro número entero. Al
plantear en el conjunto , la división de un entero entre un entero distinto de cero puede
resultar otro entero, o por el contrario, una “expresión fraccionaria”. Para que esta última
tenga sentido, es necesario agrandar nuestro sistema de numeración. Este nuevo número que
amplia el conjunto y hace posible la división de q
p siendo q 0 , lo llamaremos
Número Racional y podemos definirlo como aquel que se expresa como el cociente entre
dos números enteros.
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El Conjunto de los Números Racionales lo llamaremos Q. Cuando un número racional se
presenta como el cociente indicado entre dos números enteros, se dice que está en la forma
fraccionaria. Si en cambio se realiza la división decimal indicada, al cociente obtenido le
llamaremos forma o expresión decimal.
Al hallar la expresión decimal de un número racional puede ocurrir que la división sea exacta
o que no lo sea, apareciendo en el cociente a partir del punto decimal, una cifra o un ciclo de
cifras que se repiten periódicamente, originándose dos casos: periódicos puros y periódicos
mixtos.
Ejemplos
Decimal exacto: a) 75.04
3 b) 875.0
8
7
Decimal periódico puro: a) ...666.06
1 b) ...090909.0
11
1 c) ...3131.2
99
229
Decimal periódico mixto: a) ...42323.0990
419
Al efectuar la división: 4
36
4
27 27 = (4)(6) +3
27 es el dividendo, 4 es el divisor , 6 es el cociente y 3 es el resto.
La división es exacta cuando el resto es cero. Decimos que es inexacta cuando el resto
no es cero.
El conjunto de los Números Racionales Q incluye al conjunto de los Números Enteros y el
conjunto de los Números Fraccionarios.
El conjunto de los Números Racionales es ordenado e ilimitado. No existe un primer ni un
último número racional. En el conjunto Q no existen elementos consecutivos, ya que entre
dos números racionales cualesquiera pueden intercalarse infinitos números racionales. Esta
propiedad se conoce como Densidad del Conjunto de los Números Racionales.
Existen otros números que no pertenecen al conjunto de los Números Racionales. Estos
números que no pueden expresarse por el cociente entre dos enteros o que expresados en
forma de fracción tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente son
los llamados Números Irracionales (Q’).
Un Número Irracional es un número decimal de infinitas cifras no periódicas.
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Ejemplos
Indicamos a continuación elementos de Q’:
2 = 1.414213562... 5 = 2.2360679... 3 7 = 1.912931183... 5 17 =1.762340348... log 2 = 0. 3010299957...
sen 70º = 0. 9396926207859... = 3.14159...
La unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales forman el conjunto de los
Números Reales (R). Simbólicamente se expresa así:
R = Q U Q’
Un número real es una expresión decimal infinita, la cual podemos hacer corresponder con
un punto de una recta numérica. Esa correspondencia biunívoca entre los números reales y los
puntos de una recta numérica, llamada por esta razón eje real, se atribuye al matemático
francés René Descartes.
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1.2 Propiedades De Los Numeros Reales
La suma, resta, multiplicación y la división [p /q siendo q0] son operaciones internas en el
conjunto de los Números Reales.
En el conjunto R no existen elementos consecutivos, ya que entre dos números reales
cualesquiera pueden intercalarse infinitos números reales (Propiedad de densidad del
conjunto de los números reales).
Resumiremos a continuación las propiedades de las operaciones o de la aritmética de los
números reales, en donde las letras a, b, c se pueden sustituir por números reales
arbitrarios:
A) Adición. A.1) a+b es un número real único. Ley Uniforme (Operación Interna).
R es cerrado para la adición.
A.2) (a + b) + c = a + (b + c) Ley Asociativa.
A.3) a + 0 = 0 + a = a Ley de la Identidad
El elemento neutro de la operación interna Suma en R es el cero
(Elemento Neutro Aditivo)
A.4) a + (-a) = (-a) + a = 0 Ley del Opuesto (Inverso Aditivo)
A.5) a + b = b + a Ley Conmutativa
B) Multiplicación.
B.1) a x b es un número real único. Ley Uniforme (Operación Interna).
R es cerrado para la multiplicación.
B.2) (a x b) x c = a x (b x c) Ley Asociativa.
B.3) a x 1 = 1 x a = a Ley de la Identidad.
El elemento neutro de la operación interna multiplicación en R es el uno (1).
El uno (1) es el elemento neutro multiplicativo.
B.4) a
a
1= 1
1
a
a para a 0 Ley del Recíproco
(Inverso Multiplicativo)
B.5) a x b = b x a Ley Conmutativa.
B.6) a x (b+c) = a x b + a x c Ley Distributiva de la Multiplicación
con relación a la Adición.
La resta y la división no son operaciones conmutativas ni asociativas.
Debemos recordar que:
La operación de:
Resta origina los números negativos.
División origina los números fraccionarios.
Radicación de índice par y cantidad subradical negativa da origen a los números
imaginarios.
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Regla de los signos en el producto de dos números reales:
(+) (+) = +
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -
Hay, entretanto, muchos problemas que no se pueden resolver con el uso solamente de los
números reales. Tal es la situación que se presenta al enfrentarse a ecuaciones sencillas como
x2 + a = 0, en donde hágase lo que se haga, nunca se podría resolver dentro del conjunto de
números reales. Las potencias de exponentes irracionales, los logaritmos de números
negativos y la correspondencia entre números y los puntos del plano. Fue el matemático
Carlos Federico Gauss que designó a estos números por complejos y los represento en los
ejes cartesianos. Hamilton desarrolla la teoría de números complejos a través del
concepto de par ordenado. J. R. Argand hace la representación de complejos como
coordenadas polares.
Con el objeto de poder manejar tales situaciones se introduce ó se crea el nuevo símbolo i =
1 , llamado unidad imaginaria, el cual satisface i 2 = -1.
A partir de la introducción de la unidad imaginaria, también se crean expresiones de la forma:
a + bi , en donde “a” y “b” son números reales, llamándoseles Números Complejos.
Decimos que “a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria de: a + bi .
Los Números Complejos constituyen una ampliación genuina de los Números Reales. Estos
incluyen a los números reales, ya que todo número real “a” se puede escribir como a + 0i .
También los Números Complejos (a + bi) se presentan como imaginarios puros, cuando “a =
0”, resultando: 0+ bi, donde “b” es cualquier número real. Un numero complejo es un par ordenado(a, b) de números reales que cumplen con la
condición de:
Igualdad [ (a, b) = (c, d) ] [ ( a = c) ( b = d)]
Suma [ (a, b) + (c, d) ] = ( [ a + c] , [ b + d] )
Multiplicación [ (a, b)(c, d) ] = ( [ a c-bd ] , [ ad+ bc] )
Propiedades que se verifican en el conjunto de los Números Complejos:
Es infinito.
No posee primer elemento
No es ordenado. La relación de menor o mayor que no puede ser establecida entre
números complejos.
No se les puede atribuir ningún signo.
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Distintas formas de representación de un número complejo:
a) Par ordenado : (a, b)
b) Binómica : a + bi
c) Modulo argumental o polar : P
d) Trigonometrica : P ( cos + i sen )
Relaciones entre los números complejos:
Complejos iguales.
En la forma de par ordenado o binomica cuando a partir de dos complejos dados sus
componentes correspondientes son iguales.
En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos
difieren en 360 0 , o un múltiplo de este valor.
Complejos opuestos.
En la forma de par ordenado o binomica cuando sus componentes poseen el mismo
valor absoluto y difieren en signos.
En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos
difieren en 180 0 , o un múltiplo de este valor.
Complejos conjugados.
En la forma de par ordenado o binomica cuando sus componentes se diferencian
únicamente en el signo de la segunda componente.
En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos
suman 360 0 , o un múltiplo de este valor.
Operaciones con Números Complejos.
Adición: ( a + bi ) + ( c +di ) = ( a + c) + ( b + d)i
Diferencia: ( a + bi ) - ( c +di ) = ( a - c) + ( b - d)i
Multiplicación: ( a + bi ) ( c + di ) =
(a)(c) + (a) (di) + (bi )( c) + (bi )( di) = (ac-bd, (ad+bc)i)
Division: ( a + bi ) ( c + di ) =
22
)(
))(())(()()(
))(()()()(
))((
))((
dc
ibcadbdac
didicdidiccc
dibicbidiaca
dicdic
dicbia
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Potenciación:
Se realiza atendiendo al desarrollo del binomio de Newton.
i = 1 12 i ii 3 14 i ii 5 . . .
Radicación: n bia
Conversión de una forma de número complejo a otra.
a) (a, b) = a + bi = P = P ( cos + i sen )
En los ejemplos que se incluyen más abajo se repasan algunas operaciones con números
complejos.
Ejemplos
Efectuar con los números complejos ( 4+5i ) y (6-8i ) las operaciones de:
1) Adición (+) :
( 4+5i ) + ( 6 – 8i ) = ( 4+6) + ( 5i -8i ) = 10 – 3i
2) Diferencia (-) :
( 4+5i ) - ( 6 – 8i ) = (4+5i) + (-6 +8i) = ( 4- 6) + (5i +8i) = -2 + 13i
3) Multiplicación(x) :
( 4+5i ) ( 6 – 8i ) = (4)(6) + (4) (- 8i) + (5i )( 6) + (5i )( - 8i ) = 24-32i+30i+40 = 64 – 2i
4) División () :
( 4+5i ) ( 6 – 8i ) =
100
6216
64484836
40303224
)8)(8()6)(8()8(6)6(6
)8)(5()6(5)8(4)6(4
)86)(86(
)86)(54( i
ii
ii
iiii
iiii
ii
ii
=
- 25
4+
50
31i
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¿Qué es Algebra?
Algunos matemáticos se refieren al álgebra como una aritmética generalizada que
trabaja con cantidades consideradas de la manera más general posible.
En aritmética las cantidades están representadas por números o valores determinados. En
álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las
cuales pueden representar o tomar cualquier valor.
Ejemplos: Aritmética: a) 12 + 5 b) 36
5 c) (13)(20)
Algebra: a) x + y b) n
m c) a . b
Formulación de frases en notación algebraica.
1) Un número más un tercio de otro número.
x +3
y
2) El área de un triángulo cuya altura es 5
1 de la longitud de su base.
A = 2
bh =
10252
5
122 xx
xx
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Exprese la frase con una ecuación algebraica en “x”, y después resuelva para “x”.
1) Un rectángulo tiene x metros de ancho. La longitud del rectángulo es 3 metros mayor
que su ancho y su perímetro es de 48 metros. Encuéntrese x.
P = 2A+ 2L = 2x + 2 (x + 3) = 48
2x + 2x + 6 = 48
4x = 48 – 6 = 42 x = 2
21
4
42
Prueba: 2
2
21+ 2
3
2
21 = 21 + 21 + 6 = 48
2) Dos círculos tangentes de 10 pies de radio están inscritos en un rectángulo (el rectángulo
encaja perfectamente alrededor del ocho formado por los círculos). Encuéntrese el área de la
parte del rectángulo exterior a los dos círculos.
Area del rectángulo = A r = BH = ( 4r ) ( 2r ) = 8 r2
Area del círculo = A c = r2
= (10)2
A = Ar – 2Ac = 8( 10 )2 – 2 ( 10 )
2 = 100 ( 8 - 2 ) =200(4 - )
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1.3 Definición de Campo Numérico
Sea K un conjunto no vacío, entre cuyos elementos se definen dos operaciones internas
llamadas suma y multiplicación. Diremos que K es un campo si satisface las siguientes
condiciones:
1) x, y K , entonces: (x + y) K . Clausura para la adición.
2) x, y , z K : (x + y) + z = x + (y + z) Ley asociativa de la adición.
3) eK, x K : x + e = e + x = x Neutro aditivo.
4) x K, ( -x ) K : x + (-x) = (-x) + x = e . Inverso aditivo.
5) x , y K : x + y = y + x . Ley conmutativa de la adición.
6) x , y K : x y K . Clausura para el producto.
7) x , y , Z K : (x y) Z = x (y Z) . Ley asociativa del producto.
8) e K , x K : e x = x e = x . Neutro multiplicativo.
9) x e , ( x –1
) K : x (x –1
) = (x –1
) x = e . Recíproco.
10) x , y : x y = y x . Conmutativa del producto.
11) x , y , Z : x (y + Z) = x y + x Z. Distributiva del producto
respecto a la adición.
Los elementos de K también se llamarán números o bien se llamarán escalares.
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Espacio Vectorial
Un espacio vectorial V sobre el campo K es un conjunto de objetos, llamados
vectores, que junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar,
satisfacen las propiedades siguientes:
Sean u, v, w V a, b, c K
1) u, v: (u + v) V La suma es una operación interna de V
2) u, v: (u + v) = (v + u) Ley Conmutativa de la suma
3) u, v , w: (u + v) + w = u + (v +w) Ley Asociativa de la suma
4) u V, Existe un elemento de V denotado por 0,
tal que 0 + u = u + 0 = u Neutro aditivo
5) u V, existe un elemento (– u ) V tal que u + (-u) = 0 .
Opuesto aditivo.
6) u V , a K : a( u) V , La multiplicación por un escalar es una
operación interna de V.
7) v V , a, b K : (a b) v = a (b v) = b (av) Ley asociativa de la multiplicación
de escalares por un vector. Uniforme.
8) c K , u,v v :c (u +v) = cu +cv Ley distributiva de la suma de vectores
respecto a la multiplicación por un
escalar.
9) a, b K , v V : v (a + b) = va + v b . Ley distributiva del producto de un
vector respecto a la adición de
escalares.
10) u V se tiene que 1 K: 1. u = u . 1 = u . Unidad Escalar.
Entonces (V, K) se llama un espacio vectorial, y a todo elemento de V se identifica como
vector.
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Sub-espacio Vectorial
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K, respecto a las operaciones de suma
y multiplicación, podemos decir que U define un subespacio vectorial, cuando sea U
no vacío, y además UV, en donde se cumpla:
1) u , v U : (u + v) U
2) u U, a K: ua U
3) 0 U
Ejemplo de Sub-espacio Vectorial
Pruebe si RyRxxyyxU ;6/, define un subespacio vectorial en 2R
1. Como 1x R, 1y R; siendo 1y = 6 1x entonces ( 1x , 1y ) 2R
^ 2x R, 2y R; siendo 2y = 6 2x entonces ( 2x , 2y ) 2R
1y + 2y = 6 1x +6 2x = 6( 1x + 2x ) = 2R
Entonces : 3y = 6 3x entonces ( 3x , 3y ) 2R
2. 1y R, a K: a 1y =6a 1x ; (a 1x ,a 1y ) = a( 1x , 1y ) 2R
3. Como 0 R, x= 0, y = 6(0) = 0 , entonces (x, y) = (0,0 ) 2R
Como se verifican los tres requerimientos de la definición, entonces U define un
subespacio vectorial.
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Definición de puntos en un espacio n-dimensional
Se puede emplear un número para representar un punto sobre una recta, una vez que se ha
seleccionado la unidad de longitud.
0 x
Sistema de coordenadas rectangulares.
Un punto del plano esta asociado a un par ordenado (x, y) donde x corresponde a la
abscisa, y es la ordenada.
Para ubicar un par ordenado en el plano nos referimos a dos ejes normales entre si que
se cortan en un punto denominado origen de coordenadas, que ubica signos a cada
semirrecta referidos a partir del origen de coordenadas. Este sistema se identifica como
sistema de coordenada cartesiana. Define los planos cartesianos.
Para representar un punto en el plano podemos usar un par de números (x, y):
Y . (x, y)
X
Un punto en el espacio se representa mediante una terna de números (x, y, z):
Z . (x, y, z)
X
Y
En el espacio n-dimensional, un punto se define a partir de n– upla ordenada de números:
( x1, x2, x3, ... , xn )
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1.4 Definición de Vector
Si bien el concepto de vector es de índole geométrica y ha nacido de la Física, también
presenta un aspecto aritmético – algebraico de gran importancia por su aplicación en lo
que se llama el Algebra Lineal. Podemos considerar que cualquier elemento de un espacio
vectorial es un Vector.
Los elementos que definen a un vector son: Módulo, dirección y sentido.
Vectores en el Plano
Un vector es un segmento dirigido o flecha, por ejemplo OA, que tiene su origen en el
origen del sistema de coordenadas cartesianas, y su extremo (punta de la flecha ) en
cualquier punto del plano.
Y
A
a2
X
a1
Esto es lo que en Física se llama un vector aplicado en el origen. Aquí sólo nos interesan éstos
(vectores cuyo origen coincide con el origen del sistema coordenado) por la significación
algebraica que poseen.
Matemáticamente, identificamos un vector por su punto final, esto es, llamamos al par
ordenado (a1, a2) de números reales un vector.
Llamaremos R2 al conjunto formado por todos los pares ordenados ( a1, a2 ) de números
reales.
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Siendo R = Conjunto de los Reales
R R = R2 = { (x, y) / x, y R }
A los elementos de R2 le llamamos vectores en R
2.
Así a cada elemento de R2 le corresponde un punto del plano, e inversamente, a cada
punto del plano se le puede asignar un vector cuyo origen esté en el origen de coordenadas
(0,0).
Vectores en el Espacio
Un vector, así como se ha definido en el plano, también podemos definirlo en el espacio
tridimensional. En este caso, para describir uno cualquiera de éllos necesitamos tres
números
(a1 , a2 , a3)
X3
A (a1, a2, a3)
X2
X1
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Como se ha convenido en que todos los vectores comienzan ( o tienen su origen) en el
origen del sistema coordenado, nótese que al especificar el punto (a1, a2, a3) , o sea el
extremo, hemos caracterizado completamente el vector A.
Así queda establecida una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los puntos del
espacio y el de todos los vectores que parten del origen.
RxRxR = R3 = { (x,y,z) / x,y,z R }
A los elementos de R3
le llamamos vectores en R3.
A cada elemento de R3
le corresponde un punto del espacio, e inversamente, a cada punto
del espacio se le puede asignar un vector de origen en el origen de coordenadas (0,0,0).
Asi sucesivamente, ...
RxRxRx ... xR = Rn
= { ( x1 , x2 , x3 , ... xn ) / x1 , x2 , x3 , ... xn R
n }
A los elementos de Rn le llamamos vectores en R
n.
A los números reales x i, se les llama componentes del vector.
1.5 El conjunto Rn es una generalización de R
2, pues en vez de estar conformado por
pares ordenados de números reales, lo forman todas las n-uplas ordenadas de números reales. Cada énupla
ordenada es un vector de ”n” componentes definido en Rn.
Hablando de Rn, debemos destacar de que para un n 3 , ya se pierde toda intuición
geométrica y nuestros razonamientos se harán por vía puramente algebraica; no obstante lo
cual es útil conservar en algunas cuestiones el lenguaje geométrico, aún cuando esté
desprovisto de toda significación concreta.
1.6 Vector Cero o Vector Nulo. Es el que tiene todas sus componentes iguales a cero.
En R2 es aquel cuyas coordenadas son (0,0)
R3 = (0, 0, 0)
R4 = (0, 0, 0, 0)
.
.
.
Rn = (0,0, . . . ,0) hasta “n” componentes
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Vector unidad. Un vector unidad Ei Rn
es aquel cuya i-ésima componente es igual a la
unidad y las demás componentes son cero.
Ejemplo: En R2 : E1 = (1,0) E2 = (0,1)
R3 : E1 = (1,0,0) E3 = (0,1,0) E3 = (0,0,1)
Rn: E1 = (1,0,0, … ,0) E2 = (0,1,0, ... ,0) En = (0,0, ... ,1)
Vector localizado. Es un vector cuyos extremos inicial y final son conocidos.
Si nxxxP ,...,, 211 , nyyyP ,...,, 212 son los extremos de un vector, entonces,
El vector nn xyxyxyPP ,...,, 221121 es un vector localizado.
1.7 Demostrar que Rn define un Espacio Vectorial
Sean A = (a1, a2, ..., an) Rn
B = (b1, b2, ..., bn) Rn
C = (c1, c2, ..., cn) Rn
K, K1, K2 escalares.
Para que Rn defina un espacio vectorial debe satisfacer la definición, por lo tanto:
1) A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) (A + B) Rn
Ley Uniforme
2) A + B = B + A Ley Conmutativa.
(a1, a2, ... , an) + (b1, b2, ... , bn) = (b1, b2, ... , bn) + (a1, a2, ... , an)
(a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ... , bn + an)
Se verifica la propiedad conmutativa de la suma.
3) (A + B) + C = A + (B + C) Ley Asociativa
(A + B) + C = (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) + (c1, c2, ... , cn) = (a1, + b1 +c1 , ... , an + bn + cn)
A + (B + C) = (a1, a2, ... , an) + (b1 + c1, b2 + c2, ... , bn + cn) =
= (a1 + b1 + c1, a2 +b2 +c2, ... , an + bn + cn) La propiedad asociativa de la suma se
verifica.
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4) 0 + A = A + 0 = A Ley de la Identidad. Existencia del neutro
aditivo
(0,0, ... , 0) + (a1, a2, ... , an) = (a1, a2, ... , an) Rn
5) A + (-A) = 0 Ley del Opuesto. Existencia del opuesto
aditivo
(a1, a2, ... , an) + (-a1, -a2, ... , -an) = (a1 – a1, a2 – a2 , ... , an – an) = 0
6) kA = k (a1, a2, ... , an) = (ka1, ka2, ... , kan) kA Rn
Ley Uniforme
7) (k1 k2) A = k1 (k2A) Propiedad asociativa de la multiplicación de escalares por un
elemento del espacio.
(k1 k2 a1, k1 k2 a2, ... , k1 k2 an) = k1 (k2 a1, k2 a2, ... , k2 an)
(k1 k2 a1, k1 k2 a2, ... , k1 k2 an)
8) k(A + B) = kA + kB Propiedad distributiva del producto de un escalar K respecto
a la adición de elementos del espacio.
k(a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) = (k(a1 + b1), k(a2 + b2), ... , k(an + bn))
(ka1, ka2, ... , kan) + (kb1, kb2, ... , kbn) = (k(a1 +b1), k(a2 + b2), ... , k(an + bn))
9) (k1 + k2) A = k1A + k2A Propiedad distributiva de un elemento del espacio
respecto a la adición de escalares.
((k1 + k2) a1, (k1 + k2) a2, ... , (k1 + k2) an) =
k1 (a1, a2, ... , an) + k2 (a1, a2, ... , an) =
(k1a1, k1a2, ... , k1an) + (k2a1, k2a2, ... , k2an) =
((k1 + k2) a1, (k1 + k2) a2, ... , (k1 + k2) an)
10) 1A = A 1 = unidad Ley de la Identidad. Existencia del neutro
multiplicativo.
Al verificarse todas las condiciones requeridas para un espacio vectorial, podemos afirmar
que Rn
define un espacio vectorial.
1.8 Igualdad de Vectores
Sean A = (a1, a2, a3, ... , an) y B = (b1, b2, b3, ... , bn) Rn
[ A = B ] [ a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3 ... an = bn ]
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Propiedades Básicas de la Igualdad de Vectores definidos en Rn
Reflexiva A = A
Simétrica A = B entonces B = A
Transitiva Si A = B B = C entonces A = C
1.9 Vector Opuesto de un Vector Dado
Sea B = (b1, b2, .. . , bn) un vector conocido, luego el Vector Opuesto de B será:
-B = (-b1, -b2, ... , -bn)
1.10 Operaciones con Vectores
Sean A = (a1, a2, ... , an) B = (b1, b2, ... , bn)
1.10.1 Suma o Adición
A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn)
1.10.2 Diferencia
A – B = (a1 – b1, a2 – b2, ..., an – bn)
Propiedades de la Adición de Vectores
Conmutativa A + B = B + A
Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)
Del Cero A + 0 = A
Del Opuesto A + (-A) = 0
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1.10.3 Producto de un Vector por un Escalar K
KA = K (a1, a 2,... ,an) = ( Ka1, Ka2, ... , Kan )
1.10.4 Producto Escalar o Producto Interno o Producto Punto
Sean A = ( a1, a2, ... , an ) Rn
B = ( b1, b2, ... , bn ) Rn
nni
ni
i
i babababaBA
...2211
1
Llamaremos Producto Interno BA al escalar que se obtiene al efectuar la
sumatoria de los productos de las componentes correspondientes de los vectores.
El producto escalar es un número, no un vector. No está definido entre vectores con
diferentes números de componentes.
Ejemplos:
1) A = (1, 3, -2) B = (-1, 4, -3)
AB = 1 (-1) + 3 (4) + (-2)(-3) = -1 + 12 + 6 = 17
2) M = (2, - 1, 5, 3) N = ( 3, 3, -2, 5)
(2, - 1, 5, 3) ( 3, 3, -2, 5) = 2(3) + (-1)(3) + 5(-2) +3(5) = 6 – 3 – 10 +15 = 8
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Las propiedades básicas del producto escalar en Rn
son las siguientes:
Sean A, B, C vectores en Rn
y K un escalar ( K R )
A B = BA
( A + B) C = AC + BC
A (kB) = k (A B)
A A = A2
0 y A A = 0 si y solo si A = 0
1.11 Definición de Vector Asociado
Se dice que dos vectores A y B son vectores asociados si existe un escalar K0, tal que se
satisface que k A = B
Ejemplo
Dado el vector A = (1, 2,-3) , determine un vector B asociado al vector A conocido,
si k = 3
B = 3 (1, 2, -3) = (3, 6, -9)
Propiedades de la multiplicación de un vector por un escalar
1. Conmutativa k A = A k
2. De la unidad 1A = A
3. Asociativa respecto a escalares ( k1 k2)A = k1 (k2A)
4. Distributiva respecto de los escalares (k1 + k2) A=k 1 A + k2 A
5. Distributiva respecto de los vectores k(A + B) = kA + kB
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Ejemplos
Efectúe las operaciones indicadas con los vectores dados en cada caso:
1) A = (1, 2) B = (-3,5) A + B = (-2,7)
2) A = (-1, , 3) B = ( 2 , 7, -2) A + B = ( 2 – 1, + 7, 1)
3) A = (2, -1, 5) K = 7 KA = (14, -7, 35)
4) Si A = (2, -1, 3) B = (4, 3, -5) Calcular: A – 2B =
A-2B = (2, -1, 3) – 2(4, 3, - 5) = (2, -1, 3) + (-8, -6, 10) = (-6, -7, 13)
5) Encuentre el vector X R3, tal que 3A + 2X = 5B, si A = (2, 3, -1) , B = (-1, 2, 4)
2X = 5B – 3A
X =2
1[5B – 3A] =
2
1[ 5( -1,2,4) – 3( 2,3, - 1) ] =
2
1 [(-5, 10, 20) + (-6, -9 , 3)]
X =2
1 [(-11, 1, 23)] =
2
23,
2
1,
2
11
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1.12 Norma, Longitud o Tamaño de un Vector
Se le llama así a la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las
componentes de dicho vector.
Si A = ( a1 , a 2 , ... , a n )
222
2
1
2
1
...//// n
n
i
i aaaaAAA
Ejemplos:
A = (1,2) 54121//// 22 A
2) B = (-1,2,3) 14941321//// 222B
3) C = ( -2, 1, 0, 6 , - 5 )
253601456012////22222
C = 66
Propiedades
//A// O No negatividad
//A + B// //A// + //B// Desigualdad triangular.
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Ejemplos
1) Probar la desigualdad triangular, si A= ( 4, 3 ) B = ( 6, 0 )
52591634//// 22 A
63603606//// 22 B
// A // + // B // = 11
A+ B = ( 4+ 6, 3+ 0 ) = (10, 3)
// A+B // = 1099100310 22
11109
2) Para C = ( -1, -2, -4 ) D = ( -1, 2,3)
Probaremos las propiedades: a) No Negatividad
b) Desigualdad Triangular
No Negatividad :
/ C // = C . C = 211641421222
021
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Desigualdad Triangular:
14941321//// 222D
1421//////// DC
C + D = ( -1-1, -2+2, - 4+3 ) = ( - 2, 0, -1)
5104102////222
DC
// C + D // < // C // + // D //
14215 Desigualdad Triangular
Otra Definición de Producto Escalar
AB = //A// //B// cos donde es el ángulo que forman BA
= 00 cos 00 = 1
AB = //A// //B// BA son paralelos.
= 90 cos 90 = 0
AB = //A// //B// 0 BA = 0 BA son perpendiculares
1.13 Angulo entre dos Vectores
Si A = (a1, a2, ... , an) B = (b1, b2, ... , bn)
AB = //A// //B// cos
////////arccos
BA
BA
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Ejemplos
Calcular el ángulo entre A y B siendo:
1) A = ( 2, -1 , 3 ) B = ( 4, 3, -5 )
5014
10
25916914
1538
534312
533142
////////cos
222222
BA
BA
= 112.20o
1.14 Vector Unitario con el mismo sentido de un vector dado
M es un Vector Unitario con el sentido de A si:
kAAA
M ////
1 donde
////
1
Ak
Ejemplo
Hallar un vector M unitario con el sentido de A = ( 1, 2,-3)
14
3,
14
2,
14
13,2,1
14
13,2,1
941
13,2,1
321
1
222M
Comprobación:
1
14
14
14
9
14
4
14
1
14
3
14
2
14
1////
222
M
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Unidad - 1
BILIOGRAFIA CONSULTADA
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.
Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición). México: Pearson.
Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A. Báez Veras, José Justo;De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas. (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.
Direcciones Electrónicas:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales.html
http://es.wikiversity.org/wiki/Principales_conjuntos_num%C3%A9ricos
http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conjuntos_numericos.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial