73

UNICITA E RE(BOLARITA DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

PER UNA EQUAZIONE DIFFERENZIALE ASTRATTA

DEL SECONDO ORDINE

di Mario Marino (*)

SUMMARY. V and H are Hilbert spaces with VCH, V dense in H and j : V.+H conti- nuous. V* is the (anti)dual space of V. In this paper we give uniqueness and regularization theorems for the solution of the Cauchy problem A (t) u (tl H- B(t) u" (t) "Jr- (Cu' (t))' ~- f(t), u(O)-~Cu'(O)=O, O<---t~T, where A(t)~-Q-FR(t), QEZ~(V, V*), R(t)EC~ ([0, T], .P(V, H)), B(t)E C~ ([0, T], ~(H, H)), CE.~(H, H) and f(t)EHS(O, T; H)-[-H~+~ T; V*) with 0<0<=.

In un precedente lavoro [8] ho stabilito risultati di regolarit/~ della soluzione

del problema di Cauchy:

l A(t)u(t) -F- Ftu'(t) -F- u"(t) -~ f(t), 0~< t~< T,

u (o ) = u' (o) = o

ore A(t) ~ un operatore non limitato in uno spazio di Hilbert H, I~ un numero

complesso ed f ( t ) E H e ( 0 , T; H) (i) con 0 < 0 < 1.

Recentemente questo risultato ~ stato da me ritrovato ([9]) con un metodo

diverso (che consente tra I'altro di migliorare le ipotesi fatte in [8] sulla "pa r te

principale" della forma sesquilineare a(t; u, v)). In questa Nota prendo in considerazione una equazione differenziale lineare

del secondo ordine pifl generale di quella esaminata in [8] e, dopo aver provato

un teorema di unicit/~ per la soluzione del corrispondente problema di Cauchy,

stabilisco risultati di regolarit~ che generalizzano quelli di [8].

(*) Lavoro eseguito nell'ambito del O. N. A. F. A. del C. N. R.. (~) Per le notazioni cfr. il n. 1.

7 4 . A ~ o MAR|NO

1. Siano V ed /4 due spazi di Hilber[ complessi e separabili con V contenuto

in H algebricamente e topologicamente, V denso in H. Si identifichi H a d H* (')

(nel senso del teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali antilineari e continui sugli spazi di Hilbert); segue allora:

V C H ~ H ~ C V * ; H denso in V*.

Si indicherfi con ( . , - ) l'antidualit/l tra V* e V; e con (-, .) e i'I (rispettiva-

mente con ((., .)) e ]I'II; rispettivamente con ((., .)). e [I'I!,) il prodotto scalare e la norma i n / 4 (rispettivamente in V; rispettivamente in V*). Si osservi che si avr~:

(1.1) (h, v ) = ( h , v) V h E H , v v E V (8).

Detto ora T u n nurnero reale positivo, per ogni tE[0, T] supporr6 assegnati una forma sesquilineare su VXV: a(t; u, v) e due operatori: B(t)EZ?(H, V*) (4),

C(t)EZ?(H, H); valgano le ipotesi seguenti (cfr. J. L. Lions [6] e C. Baiocchi [1]):

(1.2) a(t; u, v ) = q ( t ; u, v )+r ( t ; u, v) (q "parte principale", r "resto" di a).

(1.3)

Per tE[0, T], q(t; u, v) d una forma sesquilineare continua su V X V ;

per u, vEV la funzione t~ .q( t ; u, v)ECX([0, T]);

q(t; u, v ) = q ( t ; v, u), v t E [ 0 , T], v u , vEV;

esistono due costanti v > 0 e Z ~ 0 tali che

q(t; v, v)+Xlvl'> llv[I vt6[0, r] , vv V.

(1.4) Per u, v E V la funzione t-~r(t; u, v)6C~ TJ);

esiste una costante ct > 0 tale che

Jr(t; u, v)l ~< ct Ilull Ivl, v t6[o, T1, v u, vr

(2) Se K ~ uno spazio di Hilbert, K* denota l'antiduale (forte) di K.

(3) Essendo l'iniezione di V in H continua, esiste una costante positiva ~ tale da aversi,

per ogni u E V : lul < ~llull.

La (1.1) ~ conseguenza della definizione di immersione di H in V*.

(*) Se s~, c~ sono spazi vettoriali topologici con .~ (~, ~) si indica Io spazio delle appli-

cazioni lineari continue di ~ in ~ ; se ~ e ~ sono spazi di Banach .~(~, ~) risulta uno

spazio di Banach rispetto alla norma:

II~:ll~(~,~) = supl[] ~a][~; aE~, Ilall~ -< 1].

UNI{~I'A I ]IIGOL~RITA DII~LLA flOLUZIOI~II~ D]~L PllOBLEMA Dl CAUCIlY, ETC. 7 5

(! .5)

Per h E H, v E V l a funzione t-~ (B (t) h, v) E C O ([0, T]) ;

esiste una costante c'2 > 0 tale che

IRe<n(t)v, v>l~<c'~lvl ~, vtE[0, T], vv~V.

(~ .6)

C(t) ~ hermitiano > O;

per g, h E H la funzione t-~(C(t)g, h)ECl([0, T]);

esiste una costante c8 > 0 tale che

(C(t)h, h) >~ c~lhl ~, v t~[0, Z], v hC/-t.

Prolungate, ora, le funzioni q(t; u, v), r(t; u, v), B(t), C(t) su ]--c~, T] con q(0; u, v), r(0; u, v), B(0) e C(0) in ]-- co, 0[ (5), prenderemo in esame il

PROBLEMA (A). Fissata una funzione f ( t ) tale cite:

(1.7) f ( t )EL2( - -oo , T; V*) (6), / ( t ) = 0 per t < 0 ,

trovare una funzione u (t) E L ~ (-- oo, T; V) tale che

u ' ( 0 E L ~ ( - - c o , T; H), u ( t ) = 0 per t < 0 e

aft; ~ , T), v vEV, d (C(t)u'(t), v ) = ( f ( 0 , v> in cD'(_ u (0, v) + (u" (0, B*(O v) + d (

ore B*(0E.~(V, H) ~ l'operatore trasposto cli B(t).

Detti Q(t) ed R(t) gli operatori associati alle forme sesquilineari q( t ; . , .)

r ( t ; . , .) (7), si verifica facilmente che il problema (A) ~ equivalente al

PROBLE/ViA (A bis). Nella ipotesi del problema (A) trovare una funzione

u(t) EL ~ ( - o o , T; V) tale che

u'(t)EL~(-- c~, T; H), u(0 = 0 per t < 0 e

Q(t)u(t) + R(t)u(t) + B(t)u" (t) + (C(Ou" (t))" = f(t) in @'(- - oo, T; V*).

(~) i prolungamenti di q(t; u, v), r(t; u, v), B(t) e C(t) verranno ancora d en o ta t i con gli stessi simboli. Porremo, poi, a( t ; u, v ) = q(t; u, v ) + r(t; u, v) per tE ] - - c~, 0[, u, vEV.

{6) Cfr.: [8], nora (l).

{7) Risuita: Q(t)EZ?(V, V*), R(t)E~?(V, H), (Q(t)tt, v> ----q(t; u, v), (R{t)u, v ) = r ( t ; u, v),

VtE[0, T], VU, vEV (cir. [3], pag. 38).

76 MARIO M/tRINO

Sotto ipotesi su f pifJ restriltive della (1.7) 6 noto un teorema di esistenza di soluzioni del problema (A); precisamente (cfr. C. Baiocchi [1]) vale il seguente

TFOREMA (1.1) (di esistenza). Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6), se inoltre

(1.8) /(t)~L"(--~, T; H) q - H ~ ( - - c ~ , T; V*) (s), f ( t ) = 0 per t < 0

il problema (A) (ovvero il problema (A bts)) ammette soluzioni.

2. Sostituiamo I'ipotesi fatta nel numero precedente sull 'operatore B(t) con la seguente (pifi restrittiva):

I B(t)E.t2(H, n), v tE[0, T]; (2.1)

t per g, h E H ta funzione t -~ (B (t)g, h) E C ~ ([0, T]) (0)

e dimostriamo il

TEOREMA (2.1). Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (!.6), se vale la (1.8), il problema (A) ammette una ed una sola soluzione u(t). Tale soluzione, eventual-

mente corretta su un insieme di misura nulla, d fortemente continua in V, u" (t)

fortemente continua in H ed ancora si ha:

u (0) = u" (0) = o,

(2.2) sup Ilu(t)ll-F sup lu'(t)[ ~< costllfllt.,~-=,r;m+n,c_.o,r;v.>. O~=t< T O-~ t :~ T

Cominciamo con il provare il seguente

TI~OREMA (2.2) (di unicitd). Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (!.4), (2.1), (1.6) il problema (A) ammette at pi~t una soluzione.

(s) Se I~tl~=,,,,...., sono n spazi di Banach tutti contenuti in uno stesso spazio vettoriale topoiogico _~, con -~t @ - ~ q - " " - q - s~,, si indica 1o spaz io:

~ a i �9 aE M; H a~E ~t(i 1, 2 . . . . . n): a-----~=

Tale spazio risulta di Banach rispetto alia norma:

l ~ l ]]adls~l ' f t l a l l ~ i + . ~ + . . . + . ~ , ' = inf " atE aZl, ~ at---- a . I=1

(~) L'ipotesi (2.1) implica l'esistenza di una costante c~ > 0 tale che IIB(tl[le~H,m < c,, v t~ [o, r l .

UNICITA 'It RIIGOLARrr.~ DBLLA 8OLUZIONB DEL PuOBLEMA DI CAUCHYj ETC. 77

La dimostrazione del teorema (2.2) verrh sviluppata come segue. In un primo momento proveremo che:

(2.3) Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), se u(t) ~ una eventuale solu- zione del problema (A), la restrizione di u(O a [0, T] ~ soluzione del

�9 PROBLnMA (B). Fissata una funzione f(t)EL'(O, T; V*), trovare una funzione u(t)EL~(O, T; V)AH~(0 , T; H) tale the

C(t)u'(t) (40) appartenga a C~ T]; V*) e

(2.4) Q ( t ) u ( t ) + R ( t ) u ( O + B ( t ) u ' ( t ) + ( C ( O u ' ( t ) ) ' = f ( t ) in 0"(0, T; V*),

u(0) = C(O)u'(o) = o (").

(con termine nolo uguale a f t[0, T])"

Verr/i poi dimostrato the

(2.5) Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), se inoltre ~ f(t)~L~(O, T; H ) + + H ~ (0, T; V*) il problema (B) ammette una ed una sola soluzione.

II teorema (2.2) segue allora in modo ovvio dalle proposizioni (2.3) e (2.5).

Dimostrazione della (2.3). Sia u(0 una eventuale soluzione del problema (A); risulta (tenendo conto dell'equivalenza tra i problemi (A) e (A his)):

u(t)EL~(--oo, T; V ) GH~( - -oo , T; H), u(t) = 0 per t ~ O (2.6)

e

(2.7) Q ( O u ( O + R ( t ) u ( t ) + B ( t ) u ' ( t ) + ( C ( t ) u ' ( O ) ' = f ( O in O ' ( - -oo , T; V*).

Dalla (2.6) segue allora : u i[0, T] ~ L~ (0, T; V) FI H t (0, T; H) e u (0) = 0 (err. [6],

pag. 150); mentre dalla (2.7) si deduce, essendo f ( t ) - - Q ( 0 u ( 0 - - R ( t ) u ( t ) - - - - B(Ou" (O~L'( - - 0% T; v*):

(2.8) (C(t)u'(O)" ~L'-(-- o% T; V*).

D'altra parle, le (2.6) e (1.6) implicano:

(2.9) C(Ou'(t)~L*(--oo, T; H).

(t0) Eventualmente corret ta su un ins ieme di misura nulla.

(u) Se A ~ un sot to ins ieme di .~ e T u n a t rasformazione definita sn s~, r A denota la

res t r iz ione di T a d A.

78 MARIO MAR1NO

Dalle (2.8) e (2.9) segue c h e l a funzione C(t)u'(t) (io) appartiene allo spazio C ~ T]; V*), essendo inoltre C( t )u ' ( t )=0 per t < 0 , risulta C(0)u'(0)----0.

Si ha dunque

u[[0, T]EL*(0, T; V) fqHi(0, T; H), C(t)(u(t)l[o, Tj)'EC~ T1; V*),

u (o) --- C(O) u' (o) = o.

Infine dalla (2.7) segue the la funzione ul[0, T] verifica la (2.4) in c2)'(0, T; V*).

Dimostrazione della (2.5). Per provare la proposizione (2.5) ci serviremo di un risultato di C. Baiocchi [2]. La formulazione astratta 6 la seguente.

Siano Y, Z due spazi di Banach, ~ uno spazio vettoriale topologico con

Z C ~ (con immersione continua); sia, poi, c~ un operatore in ./2(Y, 2).

Si ponga :

170 : {yEY; ~ y E Z ) ; Ilyl[~o = Ilyllv + [l~:yllz.

Si vorr~ ora risolvere l'equazione q~y = z con z assegnato in Z. Saranno aiiora utili criteri che assicurino la validit/l della relazione:

(2.10) ~[17o dun isomorflsmo suriettivo eli 17o su Z.

Noi faremo uso del seguente criterio (cfr. C. Baiocchi [2], teorema 3.2):

TEOREMA (2.3). Sia X una variet~ di 17o; condizione necessaria e sufficiente

affinch~ valgano la (2.10) e la relazione

X ~ denso in 17o

che esista un operatore ~ 622(y, Z) tale che:

esiste una costante k tale che, v x 6 X, V ~ 6 [0, 1] :

(2.11) IIxlIy ~< tc I['~ x + ~ x l l ~

(k indipendente cla x E X, ~ E [0, 1]) ;

(2.12) ( ~ - [ - ~ ) ( X ) ~ denso in Z;

t esiste almeno uno ~o E [0, 1] tale che l'equazione

(2.13) ~ y @ ~o~y = 0 ammette in Y la sola soluzione y : O.

UNICITA E RECOLARITA DELL& 8OLUZIONE DEL PROBLRM A DI CAUCHY, ETC. 79

Inoltre, se valgono le (2.11), (2.12), (2.13), si ha:

t per ogni ~ E [0, 1] (~ + ~&)117,o ~ un isomorfismo

suriettivo di tro su Z.

Poniamo, ora :

Y = {uEL*(O, T; V)NH'(O, T; H); Cu'EC~ T]; V*)};

z = [L~(0, T; H) + W', ' (0, T; V*)l • {0} • 101 ('~);

= @ ' ( 0 , T ; V * ) X H X V * ;

~tt ~ [Q(t)u(t)+R(t)u(t)+B(t)u" (t)+(C(t)u" (t))'; u(0); C(O)u" (O)}

x = {u~ c~([o, r ] ; v ) ; u(o) = u '(o) = ot;

(2.14) ~u ~-l-- R(t)u(t)--B(t)u'(t)--C'(t)u'(O--f[o'(~)u(~)a~; 0; o t

Sono evidenti le relazioni:

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

I Y ~ uno spazio di Banach con la norma seguente:

]lu]]r = iiul]v(o,r;v, + ltui}H,(o,r,m + ]ICu']lc~([o.ri;v.~;

I Z ~ uno spazio di Banach con la norma seguente:

Illf; o; olllz = Ilflb(o,r,~)§

X ~ una variet~t di I2o; Z C ~ ;

~:~.e(V, ~) ; ~ . e ( V , Z).

v uEY;

v u~Y.

(l~) Se K ~ uno spazio di Hilbert, Lp(0, T; K), l<_~p < + 0 % denota 1o spazio delle

(classi di) funzioni v(t) definite (quasi ovunque) in [0, T] a valori in K, misurabili (Iortemente,

a valori in K) e tall che l a quantit~ I[V[[LP(O,T;IO= (fT[[v(t)[~dt) lip sia finita.

Ws'D(0, T; K), s intero positivo, denota 1o spazio [yELP(0, T; K); v(J'ELP(0, T; K),

j = 1 , 2 . . . . . sl. L o~ (0, T; K) denota, invece, Io spazio delle (classi dt) funzioni v(t) definite (quasi ovun-

que) in [0, T] a valori in K, misurabili e tali c h e l a quantit/t IlVllL| ( 0 , r ; x ) = supess lily (t)llK; rE[0, T][ sia finita.

W "'| (0, T; K), s intero positivo, denota, infine, lo spazio IvEL | (0, T; K); v~ | (0, T; K)�94

/ = 1 , 2 . . . . . s I.

80 , - , too ,,ARmo

Nel n. 3 saranno dimostrati i seguenti lemmi:

LEMMA (2.1). Nelle ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6) esiste una costante k

(indipendente cla uEX e da ~E[0, 1]) tale che per ogni uEX e per ogni ~6[0, 1]

valga la relazione :

(2 .19) Ilullv kll :u + allz.

LEMMA (2.2). Nelle ipotesi (1.3), (1.6)

(~ + ~)(X) ~ denso in Z.

LEMMA (2.3). Nelle ipotesi (!.3), (1.6), se yEY verifica ~ y + & y = 0 si ha y=O.

Supponendo ora dimostrati i lemmi (2.1), (2.2) e (2.3) proviamo la propo-

sizione (2.5).

Orazie alle (2.15), (2.16), (2.17), (2.18) si ~ nella situazione esposta all'inizio

di questa dimostrazione; ed i lemmi (2.1), (2.2) e (2.3) danno esattamente la (2.11), la (2.12) e la (2.13) con ~ o = 1 (rispetio alia scelta di & fatta in (2.14)) .

Ne segue la proposizione (2.5) grazie al teorema (2.3).

Siamo adesso in grado di provare il teorema (2.1). Nelle ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), (!.8), i teoremi (1.1) e (2.2) assicurano l'esistenza e l'unicith

della soluzione del problema (A). Per quel che riguarda l'appartenenza della soluzione allo spazio CO(] - co, T]; V)N C~(] - co, T]; H) e la maggiorazione

(2.2) baster~ procedere come segue.

Fissata f ( t )EL~(- -oo , T; H ) + H l ( - - c o , T; V*), f ( t ) : 0 per t < 0 , il

teorema 4.4 di [3] ci assicura i'esistenza di una ed una sola u(t)EC~ T]; V)f~

N C t([0, T]; H), tale che:

Q(0u ( t ) + R(t)u(O + B(t)u ' ( t ) + (C(t)a ' ( t )) ' = f( t) in c3"(0, T; V*)

(2.20) u (0) = C(0) u' (0) = 0 (,8),

verificante la maggiorazione:

(2.21) sup Ilu(t)ll + sup lu'(t)l--.< costUIIvr �9 O ~ t ~ T O ~ t ~ T

(13) Facendo uso deil'ultima delle ipotesi (I.6) (con t = O , h=u' (O)) , dalla condizione C(O)u'(O)=O si deduce: u'(O)=O.

U N I C F F & E REC, O L ~ I T A D E L L A 8 O L U Z I O N E D E L P R O B L E M A D I C A U C H Y ~ EI 'C . 81

Ora dalla inclusione C~ T]; V)N Cl([0, T]; H ) C Y (t4), si deduce che u (0

pure soluzione del problema (B) (con termine noto uguale a f[[0, T]); anzi,

in virtfl della proposizione (2.5), u(t) ~ l'unica soluzione del problema (B) (con

termine noto uguale a fl[0, T])" D'altra parle, detta u(t) ia soluzione del problema (A) (la cui esistenza ed

unicit/t ~ assicurata dai teoremi (i.1) e (2.2)), in virtf~ della proposizione (2.3),

si ha :

u(t) = t o per t < 0 (2.22)

u(t) per 0 ~ < t < T .

Dalla (2.22), nonch~ dalla relazione u(t)EC~ T]; V)NC~([0, T]; H) e dalla

(2.20) (vedi anche la nota 0~)), si deduce:

u ( t ) E C ~ r J ; V ) ( 3 C ' ( ] - - oo, T]; H ) ;

la (2.21) d/t, invece:

sup llu(t)[[-Jr- sup l u' (t) i ~ cost [tfllL*tO, r;m+n,to, r;v.)" I < T I < T

Da quest'ultima disuguaglianza si ricava la (2.2).

Ii teorema (2.1) ~ cosl completamente dimostrato.

Osservazione (2.1). Nelle ipotesi di [10], pp. 224-225, il teorema (2.1)

assicura la forte continuit/t in V della funzione u(t) di cui al teorema 1 di [10]

(con u0 : ui : 0) e la forte continuit/t in H di u'(t). Si 6 cosl riottenuto l'ultimo

risultato enunciato nel teorema 2 di [10] senza far uso della relazione (2) di [10].

(~4) Per provare che 1o spazio C0([0, T]; V)NCI([0, T]; H) ~ contenuto algebricamente in Y baster~t far vedere che se uECO([0, T]; V)NCI([0, T]; H) si ha anche: Cu'EC~ T];H).

Dalle (1.6) discendono le maggiorazioni:

:,C(t)g <~K~lgi vtC[0, T], vgEH;

[C(t)g--C(~)gl_< k., 't--~llg vt,~C[0, T], v gEH.

Facendo uso di queste disuguaglianze si deduce:

IC(t)u'(t)--C(~)u'(g)l<---k,[u'(t)--u'(~)[+k,!t--~[iu'(~)l, V t, ~E[0, T]

e da qui segue I'appartenenza di Cu" allo spazio C~ T]; H). Si pub infiue verificare immediatamente che l'immersione di C~ T]; V)C1C t ([0, T]; H)

in Y ~ continua.

6 - R e n d . C i r c . M a t e m . P a l e r m o - S e r i e II - T o m o X X V i l - A n n o 19"/8

8 2 MARIO MAI~NO

3. Scopo di questo numero ~ quello di dimostrare i lemmi (2.1), (2.2) e (2.3).

Cominciamo con la dimostrazione del lemma (2.1).

Nelle ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), dal teorema 4.1 di [3] (~) si

deduce che esiste una costante k* (indipendente da u(t)ECa([O, T]; V) e da

~E[0, 1]) tale che valga la relazione:

sup Ilu(t)ll + sup !u'(t)l O ~ t ~ T O~t< T

-.< g*lllu(O)ll + c(o)u'(O)l + c(t)u'(t) + Q(t)u(t) +

+ ( i - - ~) [R (t) u (t) + B (t) u' (t) + C ' (t) u' (t)] - -

- ~ f ' Q ' ( ~ ) u ( ~ ) a ~ Lt(O,T;H)+Wt,I(O,T;V=,)~ 7 Jo

v ~E[O, 11, v u(t)EC3([O, T]; V);

in particolare per ogni uEX e per ogni ~E[0, 1], risulta:

(3.1)

sup Ilu(011-t- sup lu'(t)l O<t < T O<t < T

._<k* C(t)u"(t) + Q(t)u(t) +

+ (1--~)[R(t)u(t) + B(t)u'(t) + C'(t)u'(t)]--

~ (' Q'(~)u('Oa~ Jo J L 1 (O,T; 1"1) + WI'I(O,T;V *)

Ora essendo C O ([0, T]; V) I'q C ~ ([0, T]; H) C Y algebricamente e topologica-

mente (~4), risulta:

(3.2) Ilull~Y'l sup llu(t)lf+ sup lu'(0l}, vucC~ T]; V) NCr T]; H), 0 ~ t < T 0 -~ t~ T

y* indipendente da u.

{is) Ore si ~ posto to----O.

UNICITA E REC, OLARITJL DELLA SOLUZ][ONIg DEL PROBLEMA DI CAUCHYj ETC. 83

Dalle (3.1), (3.2) si deduce allora:

Ilull~ ~ ~r* k* !'.c(t)." (t) + Q (t) u (t) +

+ (1 - ~)[A' ( t ) . (t) + B (t) ." (t) + C' (t) . ' (t)] - -

__f' ~ 0

che ~ appunto la (2.19).

t Q ' ( ~ ) u ( ~ ) a ~ l , ,, T . ' ,L ( O , T ; H ) + W ' (0, ; V )

v uEx, v ~E[o, I]

Passiamo ora alia dimostrazione del lemma (2.2); premettiamo il seguente

LEMMA (3.1). Nelle ipotesi (1.3), (1.6), siano assegnati v (t), v o tali che:

v(t)EL~(O, T; V)NW"~~ T; H) (~); voEV

e si supponga che per ogni u (t)EX si abbia :

~ T

Jo (Q(t)u'(t) + (C(t)u"(t))', v(t)>dt -}- <C(0)u"(0), Vo> = 0.

Allora si ha v(t) =-- 0, v o : 0.

ll lemma (3.1) si dimostra usando la tecnica seguita da C. Baiocchi in [3]

per provare il lemma 4.2.

Grazie al lemma (3.1), usando la stessa tecnica adoperata da C. Baiocchi

in [3] per provare il teorema 4.2, si perviene facilmente al lemma (2.2).

II lemma (2.3) si dimostra, infine, usando il metodo esposto in [3], pag. 70,

n. 4.6; tenendo presente che una relazione simile alia (4.30) di [3] si pub ottenere

nel nostro caso usando una tecnica analoga a quella seguita da J. L. Lions [6]

nella dimostrazione del teorema 2.1 del Cap. VIII (cfr. anche [7], Vol. I,

pp. 290-291).

4. Siano V, H una coppia di spazi di Hilbert come nel n. 1, a(t; u, v),

tER, una forma sesquilineare su V X V e B (t), C, tER, due operatori di .~(H, H).

Siano verificate le seguenti ipotesi:

(4.1) a(t; u, v) = q(u, v) + r(t; u, v), v tER, v u, vEV.

84 MARIO MARINO

(4.2)

(4.3) I

(4.4)

(4.5)

(4.6)

q(u, v) d u n a forma sesquilineare continua su V X V;

q(u, v ) = q ( v , u), v u , v E V ;

esiste una costante v > 0 tale che

q(v, v) =>~ vtlvll', v veV.

Per u, v E V ia fanzione t -~ r ( t ; u, v)EC~

esiste una costante c~ > 0 tale che

Ir(t; u, v)l-.<c, llalllv!, V t E ~ , Vu, vEV.

Per g, h E H la funzione t - ~ ( B ( t ) g , h)EC~

esiste ana costante c, > 0 tale che

IlB(t)llzCn.m ~< c~, v t~,~.

C d hermitiano > 0;

esiste una costante c 3 > 0 talr che

(Ch, h)>lc31h] ~, v h E H .

Esistono tre costanti N > O, Nt > O e = con 0 < ~ < 1 tali che

Ir(t'; u, v ) - - r ( t " ; u, v) I ~<NIr-t"J'llulllvJ, v t', t"ER, v u, vEV,

I (BW)- BW'))gI---<N,I'~'--'~'I"Igl, v "C'~"ER, v g E H .

In questo numero prenderemo in esame il seguente

PROBLEMA (C). Fissafi an numero reale positivo T

tale che:

(4.7)

tro vare

t < O e

(4.8)

e una funzione G (t)

G (t) E L 2 (R; V*), G (t) = 0 per t < 0,

una funzione U(0EL2(R; V) tale che U'(t)EL2(,~; H), U ( 0 = 0 per

a(t; U(t), v) + v((B(0 + yC) U(0, v) + ((B(0 + 2~,C) U'(t), v) +

+ ff--~(CU'(t), v )= (G(t), v) in ~'(R), v PEV. tl l

U~IICITA E REGOLARIT& DELLA SOLUZIONE DBL PROBLEMA DI CAUCHY, ETC. 8 5

Sussiste il seguente

LEMMA (4.1). Sotto le ipotesi (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5), (4.7), se

1 cl + c~ c= + c 3 Y = c--~- max 2 ~ '

se infine d

G(0E L z(R; H) + [GzIGz(t) EH ~(R; V*); sup (sprt G~) < + co} (t8)

il problema (C) ammette una soluzione ed una sola. Per tale soluzione sussiste

una formula di maggiorazione del tipo

jR ( l lU(t) l l * + IU'(t)[~)clt ~<

2 2 . -_< c (~, v, ci, e2, ca)inf Ill Gill,,,R;n, + II G~lln,(R,v.), (4.0) G, EL~(R; H), G2EH'(R; V*), G , + G ~ = G ,

sup (sprt Gz) < + co I.

Dimostrazione. Consideriamo il problema (C) con G ( t ) = 0 in R e sia U(t) una sua eventuale soluzione. Comunque si fissi T con 0 < T < + co, la restri-

zione di U(0 a ] - - c o , T[ ~ nulla per il teorema (2.2). Da cib segue la unicit/t

della soluzione del problema (C). Per provare I'esistenza di soluzioni del problema (C) useremo una tecnica

dovuta a Treves [11] modificandola lievemente.

Siano :

F = lu]e-Vtu(OEL2(O, co; V); e-~tu'(t)EL2(O, co; H) ; u ( O ) = 0};

= l~!e-~tcp(t)EL~(O, co; V); e-Vt~'( t)EL'(O, co; V);

~0" (t) E L ~ (0, co; H) ; q~ (0) = 01 ; e-W

/? Ilul}~- = ( l le-~'u(t) l l '+ le-~tu'(t)l=)dt; {l~{l~ = I{~ll~- + 1r

~(u, ~ ) = f= ~0 la (t; e-~' u (t), e-~' ~' (t)) + (e-~' u" (t),

B* (0 e-~' ~" (t)) - - (C u" (0, (e-~' r a t, uEF, cpE~;

0 6} sprt G~ -~ supporto di G2 (t).

8~ llARIO MAIIINO

scelte, infine, due funzioni G,(t) e Gz(t) tali che

G,(t)EL2(R; H), G,( t )EH'(R; V*), G,-q- G2=G,

poniamo :

/o (4.10) L(~) = (G,(O, e - " ~ ' ( O ) a t + o

1 C C s = - - max Si dimostra (cir. Lions [6]) che per T c3

sup (sprt O2) < + oo,

<O.z (t), e -vt ~' (t)> d t, q~ E ~.

- - , c2 q- c31, risulta : )

v ~pE~;

la (4.10) definisce inoltre una forma antilineare continua su ~ . Ne segue, grazie

ad un teorema di Lions ([6], teor. 1.1, pag. 37), che esiste un elemento u EF tale che

(4.11)

e

(4.12)

E(u , ~o) = t. (~), v ~ e

2 III I. lI~

ove li[Llil ~ la norma dt L, cio~

Posto , ora :

IIILI!I = sup l lL(~)I , ~P~O, IlcPll~ ~ 11.

U (t) = e - r t u (t)

u ( t ) = o

/o' ~(O= v e ~O(a) da

per t ~ 0 ,

per t < 0

(0 ( t )EQ (/?), v5 V),

la (4.11) d/t :

fo={a(t; U(t), v) + T((B(t ) + TC)U(t), v) + ((B(t) + 2rC)U'(t) , v)lO(t)dt--

fo fo - - (C U' (t), v) 0' (t) d t = (O, (t), v) 0 ([) d t + <O, (t), v> 0 (t) d t -----

f0 ~ = <o (t), v> o (t) d t

UNIcrrA E REGOLAHIT*~ DELLA $OLUZIONE DBL PROBLKM& DI CAUCHY, ETC. 8 7

da cui segue che U(t) ~ soluzione del problema (C). Facendo, poi, uso della

(4.12) si prova che U(t) soddisfa la maggiorazione:

(4.13) I f~ (llU(Oll = -t-iu'(t)',)at <

i ~ < 16y ~ !3~ =

Ripetiamo ora la dimostrazione fatta per provare l'esistenza di soluzioni

del problema (C) lasciando invariati gli spazi F e �9 e la

assumendo

L(~) = Jo=((3, (t), e-V'~ ' (t))dt + fo~(O~(t), e-~'~" (t))dt

6 , (t) ~ L 2 ( a ; a ) ,

O, (t) "Jr- d, (t) = G (t),

Si deduce, ancora una volta grazie al teorema !.1, pag. 37

esiste un elemento u E F tale che

Posto, al solito,

r i s u l t a :

O~ (t) E/4, (,~; v*),

sup (sprt (32) < + co.

E(h, ~) = s

t l h l p ~ 2 t l l L ,.:.

0 (t) : e -re ~z (t)

O(t) = o

(4.14)

forma E(u, ~p) e

(---L(~)), ,p~;

di [6], che

v ~ p E r

per t >~ O,

per t < O,

U(t) ~ soluzione del problema (C) (con termine noto uguale a G(t))

fR (110(011~ + fO'(t)l*)czt <

1672 ~ = - 2 ~< - -7 - (3 + 2D~v~)III ,IIL,(R-m + llO~ll.,<R;v.)}. (~3

8 8 , , ~ o ~ . s m o

La (4.14), in virtfa delia unicit& della soluzione del problema (C), si pu6 scrivere

sostituendo nel suo primo membro U(t) e 0 ' ( t ) con U(t) e U'(t) rispettivamente.

Si ottiene cosi una maggiorazione analoga alla (4.13) ove al secondo membro

figurano in luogo delle norme di G~ e di G~ le norme di G~ e di G~. La (4.9) segue ailora in modo ovvio.

1 max c2 q- c3 LEMMA (4.2). So#to le ipotesi ~-,.lf~4.7p, se "r = c~ , se

infine

G(t) ~ H~ H) -+- {G~l G~(t) EH ~+~ (R; V*); sup (sprt G~) < q-- c~t, 0 < 0 < ~,

la soluzione U(O det problema (C) appartiene a Hs(R; V)AH~+8(R; H) e si ha

la maggiorazione :

fR iiU(t)ll~at + fRah f~ I IU( t q - h ) - - o d t + f l ~I~+~ IO(~)l~a~ ~<

-.< c([~, v, ct, c~, c~, N, Nt, ~, 0)inf IIIGtlI~otR;n ~ + IIG~ll~+0tt~; v,);

Gf~H~ H), G,zEH~+~ V*); G I + G z = G ;

sup (sprt G~) < q- oo I.

Dimostrazione. Dal lemma (4.1) segue che, helle ipotesi formulate per G(t), q(u, v), r(t; tt, v), B(t), C, il problema (C) ha una ed una sola soluzione U(t)6

EL2(R; V) N H~(/?; H), U(t) ~ 0 per t < 0, la quale verifica la maggiorazione

f~ ( IIU (t)tr ~ + IU'(t)l~)dt ._<

-..< c ([~, v, ct, c2, c3) inf tlIC~llvc~,.)2 + II ~ll.lcR,2 v.~;

G~EH ~(R; H), G2EH ~+~ V*); G ~ + G ~ = G ,

sup (sprt G~) < q- oo I da cui segue"

L ":~ 10 ('0l~ d'c-_< c (13, v, c,, c2, cs)inf lllC, ll~=(R~.) + 11o~11~,(~, v.>;

GiEH ~ (R; H), G~EH ~+~ (R; V*); Gt-+- G~----- G,

sup (sprt G~) < + co I.

UNICITA E RECOLARITA DELLA 8OLUZIONE DBDL PROBLEMA DI CAUCHY, BTC. 89

Fissato ora h E[--1, 0], dalla equazione (4.8) si ottiene QT):

q(x, U(t), v) § (RI (t)~, U(t), v) § (B, (t)~, U" (t), v) § d~(C-% U" (t), v) =

(4.15) _~ (za G (t) - - (R (t § h) - - R (t)) U (t § h) - - 7 (B (t § h) - - B (0) U ( t § - -

- - (B (t § h) - - B (t)) U' (t § h), v),

vvEV, con R t ( t ) = R ( t ) + T B ( t ) + y zC (is), B , ( t ) = B ( t ) + 2yC.

Dalla (4.15) si deduce chela funzione "c~U(t) (hE [ - -1, 0]) ~ soluzione del problema (C) con il termine noto uguale a "ch G ( O - - ( R ( t + h ) - - R ( t ) ) U ( t + h ) -

- - T (B (t + h) - - B (0) U( t + h) -- (B (t + h) - - B (t)) U" (t + h), la (4.9) d~ allora la seguente disuguaglianza

(4.16)

L ,l!c,U(t)ll~dt -4- ~'~ "r U(~)l=d~

~<c(~, v, c,, c~, cs)fR ll,~ G, (t)[ ~ -4-ji,~ G~(t)II ~. § il,~ G;(t),l. = -I-

+ [(R(t + h) -- R(t)) U(t + h)l ~ +

§ I (B(t § h) - - B ( t ) ) U ( t § h)l ~ §

§ ](B(t § - - B ( t ) ) U ' ( t § h)l* I dt ,

valida per ogni

G t~H ~ H), G~EH ~+~ V*), G~§ sup (spa G 0 < §

Per acquisire il lemma (4.2) baster& ora, partendo dalla (4.16), procedere

in modo perfettamente analogo a quanto fatto da M. Marino nella dimostrazione

del lemma (2.3) di [8] (cfr. anche S. Campanato: [4], pp. 118-119 e [5]).

(~7) Se g(t) ~ una funzione definita su R a vaiori in V*, con "chg(t) si indicher/l la difle-

renza g(t q- k) -- g(t), kER. (is) R(t), tER, denota I'operatore assoc iato alia forma sesquilineare r(t; u, v). Risulta:

R(t)~(V, H), (R(t)u, v)=r( t ; u, v), V t~R, V u, vEV.

~ 0 MARIO MARINO

5. Siano: V e H i due spazi di Hilbert di cui al n. 1, 0 < T ~ + c o ,

a(t; u, v), tfi[0, T], una forma sesquil ineare su V X V e B(t), C, tfi[0, T], due

operatori di ~ ( H , H). Siano verificate, oltre alle (1.2), (1.4), (2.1), (4.5), le

seguenti ipotesi :

q(t; u, v ) : - q ( u , v), v t E[O, T], V u, v E V ;

q(u, v) ~ una forma sesquitineare continua su V>( V;

(5.1) q(u, v) = q(v, u), V u, vEV;

esiste una costante v > 0 tale che (~)

q(v, v)>~ ~llvll ~, v v~v.

Esistono tre costanti N > O, N~ > O e ~ con 0 < ~ < 1 tall che

(5.2) Ir(t '; u, v ) - - r ( t ' ; u, v ) l ~ < N I t ' - r ' l ~ l L u I l l v l , v t ' , t " E [ 0 , T], v u , vEV,

i ( B ( ~ ' ) - - B(r ~< N~I~'-- x'l~[gl, w ~', z"E[0, T], vgEH.

Si dimostra il seguente

TEOREMA (5.1). Se valgono le ipotesi (1.2), (1.4), (2.1), (4.5), (5.1), (5.2)

e se f ( t ) E H ~ T; H) W H ~ + ~ T; V*), f ( t ) = O per t < O con

0 < 0 < ~ , allom la soluzione u(t) del problema (A) appartiene a H ~ T; V)(1

MH~+~ - ~ , T; H) e si ha la maggiorazione:

(5.3)

~ ~ ~y Ilu(t) _ u(~)ll ~ ~ I]u(t)lI=dt + dt It El '+=~ dE + lu'(t)l=dt + t a o o o o o ~ o o

+/L" f , , 20 < c([~, v, c~, c~ c8 N, Nt , ~, 0, T) r [ f J lz (-~,r;z)+H1+o(-~,r;v,).

(19) I~ ben noto, hello studio del problema (A), chese ~ verificata l'ultima delle condizioni (1.3) non ~ restrittivo supporre 7. = 0 perch~ basta porre u(t) = e 1/(-i~8)t w(t) per ricondursi ad un analogo problema (per la funzione w(t)) in cui al posto della forma q(u, v)figura 1/a- q(u, v) = q(u, v) + ~(Cu, v), al posto di r(t; u, v) figura r'(t; u, v)=r(t; u, V)-~ ~ (u, B*(t)v) e

al posto di B(t) figura l'operatore B(t)-t-2 C

UNICITA E REC.OLARITA DELLA flOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHTj ETC. 91

Dimostrazione. Prolunghiamo t -~r(t; u, v) da [0, T] a R con r(0; u, v)

in ] - - o% 0[ e con r(T; u, v) in ]T, -]--c~[, analogo prolungamento si far/l di

t-~(B(t)g, h); questi prolungamenti (che continueremo a indicare con r(t; u, v)

e con (B(t)g, h)) soddisfano chiaramente le ipotesi (4.3), (4.4), (4.6). Definiamo

a(t; u, v) per tER- - [0 , T] ponendo:

a(t; u, v ) = q(u, v ) + r(t; u, v), t e l ? - [0, T], u, vEV.

Scelte ora ad arbitrio due funzioni f~EHe(--oo, T; H) ed f2EHi+~ T; V*)

tall che f t + f~ = f, mediante le posizioni:

] l (t) = i A (t) + h (t) se t < T

f~(2T--t)-l--h(2T--t) se t> T

]~(t) = t A(t)--h(t) se t ~ < T

3f~(2T--t)--2f~(aT--2t)--3h(2T--t)+2h(3T--2t) se t > T

h(t) = l A( t ) se t < 0

3 A ( - t ) - - 2 A ( - - 2 t ) se O < t < T

restano definite q. or. in /? due nuove funzioni .~ ed f~ verificanti le seguenti

condizioni (2o):

ft(t) + f~(t) = f ( t ) per t < T;

( t ) = f 2 ( t ) = 0 per t < 0 e per t > 2 T ;

e-rt fq EHe(R; H); e-~t f~EH'+'(R; V*);

(5.4) I -_~ c(v, 2 9 c~, c~, c~, o, T)IIIAII. r + il/eIl~x+o(--~,r; v,~l (%.

(=o) Vedi: [7], Vol. I, Cap. I, n. 2 e [8], lemma (2.4).

(~i) La costante che figura al secondo membro della (5.4) non dipende dalla scelta d i f i

e di f~.

92 MAR]O MARINO

I 2 2 - 1 max c ,q -c 3 II problema (C) con G (t) : e-Ytfi (t) + e-Ytf~ (t) e con "r = c-~- 2 v '

-t-c31 ammette, in virtfa del lemma (4.1), una soluzione ed una sola U(t). C2 J

Facendo, poi, uso del lemma (4.2), risulta: U(t)EH~ V)NH~+e(R; H) e vale la maggiorazione:

(5.5) fR [IU(t)i['Zdt "+" f~ dhj'R [IU(t-+-h)--U(t)ll= Ih['+~0 a t + f R I~!~+"[0(~)'a~ ~<

~< c(D, v, c,, c~, c=, N, g,, =, 0)I'[e-~',~l'~o{R;m-F Ile-v%li~,+0{R;v.,].

Da qui segue che la restrizione di U(t) a ] - -o% T] appartiene a H ~ co, T; V)CI

CIH t + ~ o% T; H) e si ha, per la (5.5) (vedi, anche, la (2.1) di [4]):

(5.6)

f T_= j lrdt /o r [IU(t)- U(F')I[= d~ -+- l for ]]u(t)l[~ dt-}- I] U(t)[I ~dt -F It -- ~.,+~o -~ t~o

+ f'_: l , ' . , ) l ' , , + fo'"fo" . " i t _~ l ,+= 0 d~-t- O f 0 IU'(t)l= t~ e d t --.<

c(!3, ~, c,, c~, c~, N, N,, =, O)Ille-~'j~II~0r , + - ~ ' - = lie AII.,§162 w.~l-

Consideriamo, adesso, la funzione

( 5 . 7 ) u ( t ) = e ~t U (t), t E R

e proviamo the la sua restrizione a ] - - o % T] (che continueremo ancora ad

indicare con u (t)) 6 l 'unica soluzione del problema (A). Proveremo, inoltre,

che u ( t ) E H I ( - - co, T; V ) C I H t + ~ oo, T; H) e che vale la (5.3).

Le condizioni u(t)EL2(--oo, T; V)CIHl(--oo, T; H), u (0 = 0 per t < 0

seguono subito dalla definizione (5.7) di u(t). Si ha, poi, sempre per la (5.7)

(5.8) = eVt la(t

d a(t; u(t), v ) + (u'(t), B*(t)v) +-~t (Cu'(t), v ) =

; U(O, v) + 'l((B(t) + TC)U(t), v) + ((B(t) +

+ 2TC)U'(t), v)- l- f f~-(CU'(t) ,v)l=

= e ~' (,e-rift (t) Jr- e-V'A(t), v), v vEV.

UNICIT~ e RECOLARIT& DELLA 8OLUZIONJ~ DEL PEOBLWMA DI CAUCHY, ETC. 93

Dalla (5.8), essendo /a (0 + / , ( t ) = f ( O per t < T , si deduce subito che u (0 soluzione del problema (A). u(t) ~, inoltre, l 'unica soluzione del problema (A)

in virtfa del teorema (2.2).

Per provare, infine, l 'appartenenza di u(t) allo spazio H ~ ( - - co, T; V)fq

A H t + ~ T; H) e la (5.3) baster~t osservare che sommando le (3.8), (3.9),

t ' ' I 1 max c, + c, (3.12), (3.15) di [8] con 1" = c-~ 2v , c2q-c3 , si ha:

f'-L Ilu(t)l[2dt -+- fL dtf'-L l l ~ I t ) - u(~)i i ' r _ ~1,+,, o d ~ + f ' _ = l u ' ( t ) l ' a t +

f r__oo lu" (t) -- u" (~)[~ + f'_.~at I t - eJ'+" ae ..<

l /o fo, II~,,)-~<~),, ~<cO, v, c,, c,, c, O, T) IlU(t)ll2dt-+ - I t -

+ --0,,, ~<o~l'~o + f L I ~' (,>l',, + t~ o d t . _

fo fo r IU'(t) - U'(~)i ~ + . rdt It-- ~l ' + " 1 foriU'(t)[z I cl ~ -+- y t~ o d t

da cui, facendo uso delle (5.6) e (5.4), segue:

(5.9)

fr__ Iiu(t)[[ ~dt + f L dt f L I l u ( t ) - u(~)!l ~ r . _ I t - - ~ l , + ~o d ~ + f ~ = ' ~ u ' ( t ) i ~ d t +

r r l u" (t) - u" (~,)1' +f'_atf' t t - ~ i *+" a~-_<

~<cO, v, c,, c,, c,, N, g , , ~, O, z)I[[f,I ne(_,~,r,m + IlLll.,.o(-~.,r;v.)l'.

La (5.3) si deduce ora dalla (5.9), data l'arbitrariet/~ della scelta di fl e di

A (con A E H ~ - co, T; H), A~H~§176 - co, T; V*), A + A = f ) ed essendo la

costante del secondo membro della (5.9) indipendente da fl e da f2.

94 MARIO MARINO

BIBLIOORAFIA

11] Baiocchi C., Teoremi di esistenza e regolaritd per certe classi di equazionl differenziali

astratte, Ann. di Matematica pura e appl., (4) 72 (1966), 395-417. [2] Baiocchi C., Un criterto di risolubililt~ di equaztoni lineari tra spazi di Banach, Rend.

lstituto Lombardo, (A) I00 (1966), g36-g50.

[3] Baiocchi C., Soluzioni ordinarie e generaltzzate del problema di Cauchy per equazioni

dtfferenziali astratte ltneari del secondo ordine in spazi di Htlbert, Ricerche di Mate- matica, 16 (1967), 27-95.

[4] Campanato S., Un risultato di regolaritd della soluzione del problema di Cauchy per

equazloni differenziali del I a ordine in spazl dt Hilbert, Boll. Un. Mat. Ital., (4) 6 (1972), !!2-121.

[5] Campanato S., Una osservazione alia ?Cola : " Un risultato di regolaritd della soluzione

del problema di Cauchy per equazioni differenziali del I ~ ordine in spazi di Hllbert ",

Boll. Un. Mat. Ital., (4) 6 (1972), 131-133. [6] Lions J. L., Equations diff~rentielles op~rationnelles et probl~mes aux Itmites, Springer-

Verlag, Berlin, 1961. [7] Lions J. L. et Mangenes E., Probldmes aux limites non homog~nes et applications, Dunod,

Paris, 1968.

[8] Marino M., Un risultato di regolaritd della soluzione del problema di Cauchy per certe

equazioni differenziali del secondo ordine in spazi dl Hilbert, Ricerche di Matematica, 24 (1975), 152-171.

[9] Marino M., Nuovi contrlbuti alia regolarizzazione della soluztone del problema dl Cauchy

per certe equazioni differenzialt del secondo ordine in spazt di Hilbert, in corso di stampa su Le Matematiche.

[10] Torelli O., Un complemento ad un teorema di J. L. Lions sulle equazioni dtfferenztali

astratie del secondo ordine, Rend. Sere. Mat. Padova, 34 (1964), 224-241. [11] Treves F., Relations de domination entre opkrateurs diffdrentleis, Acta Math., 101 (1959),

1-139.

Pervenuto il 5 novembre 19/7

Semlaarlo Matemattco dell'Untversil~

corso Italia, 55 - 95129 Catania