Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean -...
-
Upload
nguyenkhanh -
Category
Documents
-
view
292 -
download
0
Transcript of Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean -...
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Ungkapan Boolean
dan
Aljabar Boolean
Ungkapan Boolean Ungkapan Boolean terdiri dari
Literal – variabel dan komplemennya
Operasi Logika
Contoh
F = A.B'.C + A'.B.C' + A.B.C + A'.B'.C'
F = (A+B+C').(A'+B'+C).(A+B+C)
F = A.B'.C' + A.(B.C' + B'.C)
literals logic operations
Ungkapan Boolean
Ungkapan Boolean dinyatakan menggunakan jaringan (atau
kombinasi) dari gerbang logik.
Setiap gerbang logik mengimplementasikan satu operasi
logik dalam ungkapan Boolean.
Setiap masukan ke gerbang logik mewakili satu literal
dalam ungkapan Boolean
f
x 1
x 2
Operasi logikliteral
Ungkapan Boolean
Ungkapan Boolean ditentukan melalui
Mensubstitusi 0 atau 1 untuk setiap literal
Menghitung nilai logika dari ungkapan
Tabel kebenaran menentukan nilai ungkapan Boolean untuk
setiap kombinasi variabel ungkapan Boolean.
Untuk setiap n-variabel ungkapan Boolean, tabel kebenaran
mempunyai 2n baris (satu untuk setiap kombinasi).
Ungkapan Boolean
Contoh:
Tentukan ungkapan Boolean untuk setiap kombinasi masukan
menggunakan tabel kebenaran.
F(A,B,C) = A'.B'.C + A.B'.C'
Ungkapan Boolean
Dua ungkapan Boolean sama jika mempunyai nilai yang sama
untuk setiap kombinasi variabel dalam ungkapan Boolean.
F1
= (A + B)'
F2
= A'.B'
Bagaimana membuktikan bahwa dua ungkapan Boolean itu
sama?
Tabel kebenaran
Aljabar Boolean
Ungkapan Boolean
Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa dua ungkapan
Boolean itu sama.
F1
= (A + B)'
F2
= A'.B'
Aljabar Boolean
George Boole mengembangkan deskripsi aljabar untuk proses yang
melibatkan logika dan penalaran.
Kemudian dikenal sebagai Aljabar Boolean
Claude Shannon kemudian mendemonstrasikan bahwa Aljabar
Boolean dapat digunakan untuk mendeskripsikan rangkaian
pensaklaran.
Rangkaian pensaklaran dibuat dari piranti yang mensaklar antara
dua keadaan (0 dan 1).
Aljabar pensaklaran merupakan kasus khusus Aljabar Boolean
yang semuanya mempunyai variabel yang hanya mempunyai dua
nilai yang berbeda.
Aljabar Boolean merupakan tool yang efektif untuk menganalisa
dan merancang rangkaian logik.
Teorema dan hukum dasar
Commutative Law A + B = B + A A.B = B.A
Associative Law A + (B + C) = (A + B) + C A . (B . C) = (A . B) . C
Distributive Law A.(B + C) = AB + AC A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Null Elements A + 1 = 1 A . 0 = 0
Identity A + 0 = A A . 1 = A
A + A = A A . A = A
Complement A + A' = 1 A . A' = 0
Involution A'' = A
Absorption (Covering) A + AB = A A . (A + B) = A
Simplification A + A'B = A + B A . (A' + B) = A . B
DeMorgan's Rule (A + B)' = A'.B' (A . B)' = A' + B'
Logic Adjacency (Combining) AB + AB' = A (A + B) . (A + B') = A
Consensus AB + BC + A'C = AB + A'C (A + B) . (B + C) . (A' + C) = (A + B) . (A' + C)
Idempotence
Hukum Distributif
A.(B + C) = AB + AC
F = WX.(Y + Z)
F = WXY + WXZ
G = B'.(AC + AD)
G = AB'C + AB'D
H = A.(W'X + WX' + YZ)
H = AW'X + AWX' + AYZ
A + (B.C) = (A + B).(A + C)
F = WX + (Y.Z)
F = (WX + Y).(WX + Z)
G = B' + (A.C.D)
G = (B' + A).(B' + C).(B' + D)
H = A + ( (W'X).(WX') )
H = (A + W'X).(A + WX')
Absorpsi (Covering)
A + AB = A
F = A'BC + A'
F = A'
G = XYZ + XY'Z + X'Y'Z' + XZ
G = XYZ + XZ + X'Y'Z'
G = XZ + X'Y'Z'
H = D + DE + DEF
H = D
A.(A + B) = A
F = A'.(A' + BC)
F = A'
G = XZ.(XZ + Y + Y')
G = XZ.(XZ + Y)
G = XZ
H = D.(D + E + EF)
H = D
Penyederhanaan
A + A'B = A + B
F = (AB + C).(B'D + C'E') + (AB + C)'
F = B'D + C'E' + (AB + C)'
A.(A' + B) = A . B
G = (X + Y).( (X + Y)' + (WZ) )
G = (X + Y) + WZ
Komplemen
A + A' = 1
F = ABC'D + ABCD
F = ABD.(C' + C)
F = ABD
A . A' = 0
G = (A + B + C + D).(A + B' + C + D)
G = (A + C + D) + (B . B')
G = A + C + D
Aljabar Boolean
Contoh:
Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean
berikut.
F(A,B,C) = A'.B.C + A.B'.C + A.B.C
Boolean Algebra
Contoh:
Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean
berikut.
F(A,B,C) = (A'+B'+C').(A'+B+C').(A+B'+C')
Hukum DeMorgan
Dapat dinyatakan sebagai berikut:
Komplemen produk (AND) adalah penjumlahan (OR) dari
komplemen.
(X.Y)' = X' + Y'
Komplemen penjumlahan (OR) merupakan produk (AND)
dari komplemen.
(X + Y)' = X' . Y'
Mudah diturunkan sampai n variabel.
Dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran.
Bukti hukum DeMorgan
(X . Y)' = X' + Y'
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1 x 2 + = (a)
x 1 x 2 + x 1 x 2 = (b)
Teorema DeMorgan
Urgensi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean digunakan untuk menyederhanakan ungkapan
Boolean.
– Melalui aplikasi hukum dan teorema yang telah dijelaskan
Ungkapan penyederhanaan mengarahkan pada realisasi rangkaian
sederhana, yang biasanya menurunkan biaya, area yang diperlukan
dan daya yang dikonsumsi.
Tujuan perancang rangkaian digital adalah untuk mendesain dan
merealisasikan rangkaian digital yang optimal.
Penyederhanaan Aljabar
Alasan penyederhanaan ungkapan Boolean:
– Menurunkan biaya terkait dengan realisasi ungkapan Boolean
menggunakan gerbang logik.
– Menurunkan area (misal silikon) yang diperlukan untuk
pembuatan fungsi pensaklaran.
– Menurunkan konsumsi daya rangkaian.
Biasanya, tidak ada cara yang mudah untuk menentukan ungkapan
Boolean yang telah disederhanakan menjadi jumlah minimum
literal atau term.
– Tidak ada solusi unik
Penyederhanaan Aljabar
Ungkapan Boolean (atau pensaklaran) dapat disederhanakan
menggunakan metode berikut:
1. Perkalian
2. Pemfaktoran
3. Menkombinasi term
4. Menghilangkan term
5. Menghilangkan literal
6. Menambah term redundan
Tidak ada tool lain yang dapat digunakan untuk menyederhanakan ungkapan Boolean,
dan dinamakan peta Karnaugh.
Sekian untuk hari ini