undkurs Gr - users.abo.fiusers.abo.fi/tfredman/SigBe/SigBe_2018.pdf · bärlig oum för...

Grundkurs i Signalbehandling

Föreläsningsmaterial

Hannu Toivonen

redigerat av

Tom Fredman

Fakulteten för naturvetenskaper o h

teknik, Åbo Akademi

2018

1

Dessa föreläsningsante kningar är avsedda för kursen Grundkurs i Signalbe-

handling (5 sp. ECTS) för studerande vid Fakulteten för Naturvetenskaper

o h Teknik, Åbo Akademi.

Materialet är en redigering av motsvarande kompendium från 1999 av Prof.

Hannu Toivonen.

Åbo, de ember 2018,

Innehåll

1 Inledning 1

1.1 Varför studera signalbehandling? . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Signaler o h system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Matematisk representation av signaler . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Matematisk representation av system . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Analog o h digital signalbehandling . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Ett exempel: radar för avståndsmätning i bilar . . . . . . . . . 8

1.7 Ett exempel till: lagring av audiosignaler på CD-skiva . . . . . 10

1.8 Viktiga signalbehandlingsoperationer . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Signaler några grundbegrepp 17

2.1 Signaltransformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Kompression av data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Beräkning av utsignalen från ett linjärt system . . . . . 20

2.1.3 Tolkning av signaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Signalnormer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Den komplexa exponentialfunktionen . . . . . . . . . . 26

3 Analys av signaler i frekvensplanet 29

3.0.1 Beskrivning av signaler i frekvensplanet . . . . . . . . . 29

3.1 Representation av sinusformade signaler . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Sinusformade signaler o h modulering . . . . . . . . . . 37

3.2 Periodiska kontinuerliga signaler . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1 Härledning av Fourierseriens koe ienter . . . . . . . . 47

3.2.2 Fourierserien med komplexa exponentialfunktioner . . . 48

3.2.3 Energin hos periodiska signaler. . . . . . . . . . . . . . 55

3

4 INNEHÅLL

3.3 I ke-periodiska kontinuerliga signaler . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Parsevals formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.2 Samband med Lapla etransformen. . . . . . . . . . . . 64

3.3.3 Frekvensinnehållet hos olika signaler. . . . . . . . . . . 65

4 Fouriertransformen av diskreta signaler 67

4.1 Periodiska diskreta signaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.1 Parsevals formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2 I ke-periodiska diskreta signaler . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1 Parsevals formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Den diskreta Fouriertransformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Egenskaper hos DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Den snabba Fouriertransformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.1 Den inversa snabba Fouriertransformen . . . . . . . . . 86

4.4.2 Modiering för generella sekvenslängder N . . . . . . . 86

4.4.3 De imering i frekvens FFT . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4.4 Ett exempel OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Andra transformer 91

5.1 Den diskreta osinustransformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Walsh- o h Hadamardtransformerna . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Gabortransformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Krusningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 Signaler i två dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.6 Bildkomprimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6 Diskret representation 99

6.1 Sampling av signaler o h aliaseekten . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Shannons samplingsteorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Praktisk A/D- o h D/A-omvandling . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3.1 Praktisk A/D-omvandling . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3.2 Praktisk digital-till-analog omvandling . . . . . . . . . 117

6.3.3 Tillämpningar på digital kommunikation . . . . . . . . 122

7 Diskreta signaler o h system 129

7.1 Linjära tidsinvarianta system . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2 z-transformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3 Diskreta överföringsoperatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

INNEHÅLL 5

7.4 Stabiliteten hos linjära diskreta system . . . . . . . . . . . . . 138

7.5 Invertering av z-transformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8 Syntes av digitala lter 147

8.1 Digitala lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.1.1 Klassi ering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.2 Filterspe ikationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.2.1 Ideala lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.2.2 Linjär fasförskjutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2.3 Reella lågpass, bandpass- o h högpasslter . . . . . . . 158

8.2.4 Frekvenstransformationer . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.3 Syntes av lter med ändligt impulssvar . . . . . . . . . . . . . 161

8.3.1 Faslinjära FIR lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.3.2 Syntes baserad på fönsterfunktioner . . . . . . . . . . . 165

8.3.3 Frekvenssampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.3.4 Syntes baserad på optimering av lterkoe ienter . . . 175

8.4 Syntes av lter med oändligt impulssvar . . . . . . . . . . . . 178

8.4.1 Pla ering av poler o h nollställen . . . . . . . . . . . . 179

8.4.2 Metoder baserade på diskretisering av analoga lter-

prototyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.4.3 Syntes baserad på minstakvadratoptimering av lter-

koe ienterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9 Implementering av digitala lter 191

9.1 Strukturer för system med ändligt impulssvar . . . . . . . . . 192

9.1.1 Direkt realisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.1.2 Kaskadstrukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.1.3 Andra strukturer för FIR system . . . . . . . . . . . . 193

9.2 Strukturer för system med oändligt impulssvar . . . . . . . . . 193

9.2.1 Direkt realisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.2.2 Kaskadstrukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.2.3 Parallellstrukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6 INNEHÅLL

Kapitel 1

Inledning

1.1 Varför studera signalbehandling?

Signalbehandlingens roll i modern informationsteknologi blir allt viktigare.

Digitaliseringen, med IoT (= Internet of Things), maskininlärning o h olika

AI (Arti iell Intelligens)-tillämpningar som datoriserad vision o h detekte-

ring har på senare år gått framåt my ket ta k vare eektiva signalbehand-

lingsalgoritmer. Exempelvis trenden mot autonoma transportmedel innebär

kraftigt ökad användning av sensorer o h insamling av data. Signalerna in-

nehållande dessa datamängder måste, för att kunna utnyttjas eektivt, be-

handlas på ett ändamålsenligt sätt. Ofta är just framstegen inom den digitala

signalbehandlingen här en kritisk komponent, som möjliggör dessa teknologi-

er. Den bakomliggande matematiken för digital signalbehandling är etablerad

sedan länge, men dessvärre kanske inte mera lika viktig inom utbildningspro-

grammen för ingenjörer o h teknologie magistrar vid universiteten. I många

fall är det framställningen av kompakta o h billiga sensorer i kombination

med eektiva inbyggda system som har introdu erat signalbehandlingen i

många tillämpningar.

En ingenjör eller teknologie magister som vill främja sin konkurrenskraft

på arbetsmarknaden gör alltså klokt i att satsa brett på att behärska olika

signalbehandlingsmetodiker o h dessas implementering för olika tillämpning-

ar.

1

2 KAPITEL 1. INLEDNING

1.2 Signaler o h system

Temat för denna kurs är signaler o h system. En kvantitativ behandling

av signaler o h system o h deras växelverkan utgör grunden för den del av

informationstekniken som består av manipulering, lagring o h överföring av

information, som representeras i form av signaler.

En signal denieras som något som innehåller information. Informationen

kan bestå av variationer hos en fysikalisk storhet som kan manipuleras med

hjälp av fysikaliska pro esser. Exempel på signaler är

- audiosignaler, såsom i telefoni, MP3-spelare m.m.

- video- o h bildsignaler

- biologiska signaler, såsom elektrokardiogram (EKG), elektroen efalo-

gram (EEG), m.m.

Signaler kan representeras på era olika sätt. Exempelvis är en audiosignal

ursprungligen en akustisk signal (ljud, eller try kvariationer i luften), men

kan konverteras till en elektrisk signal med en mikrofon, eller representeras

med hjälp av variationer hos de magnetiska egenskaperna i ett magnetband,

eller i form av en sekvens av tal såsom i en ljudl. Alla dessa olika represen-

tationer av signalen kan med hjälp av en högtalare konverteras tillbaka till

en akustisk signal.

Med ett system avses i detta sammanhang något som transformerar en

signal till en annan signal eller till en annan signalrepresentation. System i

denna mening är således komponenter som manipulerar, transformerar, lag-

rar eller överför signaler. Exempel på system är t.ex. de komponenter i en

mobiltelefon som transformerar en akustisk (ljud)signal till en elektrisk sig-

nal, ltrerar bort ointressanta, men störande, höga frekvenser i den elektriska

signalen, o h därefter transformerar den elekriska signalen till digital form.

Signaler beskrivs på ett naturligt sätt i form av matematiska funktioner.

System representeras därvid av operatorer som transformerar funktioner (sig-

naler) till andra funktioner (signaler). Den matematiska beskrivningen av sig-

naler o h system är därför oumbärlig för förståelsen av pro esser där signaler

o h system ingår.

Teorin för signaler o h system brukar ofta gå under begreppet signalbe-

handling (eng. signal pro essing, . signaalinkäsittely). Viktiga tillämpnings-

områden för signalbehandling är t.ex.:

1.3. MATEMATISK REPRESENTATION AV SIGNALER 3

- audiotillämpningar (telefoni, MP3, taligenkänning o h -syntes m.m.)

- bildbehandling (digital kamera, förbättring av suddiga bilder m.m.)

- telekommunikation (telefoni, all slags signalöverföring)

- medi inska tillämpningar (analys av EKG o h EEG, tomogra m.m.)

- mätteknik (behandling o h tolkning av mätdata, m.m.)

- reglering o h automation (behandling av mätdata för reglerändamål,

tillämpning av digital signalbehandling för reglering av snabba pro es-

ser som kräver stor datorkapa itet, m.m.)

Förutom i direkt tekniska tillämpningar, så har avan erad signalbehand-

lingsteknik revolutionerat era grundforskningområden. Som ett exempel må

nämnas introduktionen av adaptiv optik i teleskop, som möjliggör kompen-

sation av de störningar som förorsakas av atmosfärisk turbulens. Kompen-

sationen kan göras i reell tid med hjälp av digitala signalbehandlingssystem.

Detta har medfört att teleskop på markytan idag kan göras konkurrenskraf-

tiga med teleskop pla erade i rymden, något som ännu för några år sedan

var orealistiskt.

1.3 Matematisk representation av signaler

Såsom tidigare konstaterades, så kan en signal fysikaliskt ha olika represen-

tationsformer, såsom akustisk, elektrisk, magnetisk m.m. Det väsentliga hos

en signal är emellertid den information den innehåller. Denna är oberoende

av den fysikaliska representationsformen, o h består av signalens variationer

som funktion av tiden (såsom i en akustisk eller elektrisk representation)

eller av en rumskoordinat (såsom i ett magnetband eller en CD-skiva). Des-

sa variationer kan representeras matematiskt som en funktion x(t) av en

oberoende variabel t. Vanligen tänker man sig signaler som funktioner av

tiden t, även om den fysikaliska representationen i vissa tillämpningar kan

hänföra sig till en rumskoordinat, vilket t.ex. är fallet i bildbehandling. Det

är naturligt att representera signaler som beskriver informationen i en bild

som 2-dimensionella funktioner x(s,t), där s o h t är koordinater i ett två-dimensionellt koordinatsystem.


Klassi ering av signaler

Fysikaliska signaler är nästan uteslutande kontinuerliga o h kan represente-

ras i form av en kontinuerlig funktion x(t) av en kontinuerlig variabel t. Enakustisk signal består således av de kontinuerliga try kvariationerna p(t) i

luften, som av örat uppfattas som ljud. En akustisk signal kan i en mikrofon

transformeras till en kontinuerligt varierande elektrisk signal. Med en kon-

tinuerlig eller analog signal x(t) avses en signal som är denierad för alla

tider t i ett intervall t1 ≤ t ≤ t2, o h som kan anta alla värden i ett intervall,

a ≤ x(t) ≤ b.Då en signal skall bearbetas med hjälp av en dator bör den represen-

teras i form av en sekvens tal. En sådan sekvens kallas för diskret signal.

Matematiskt karakteriseras en diskret signal xd som en talsekvens,

xd(k) = . . . , xd(−2), xd(−1), xd(0), xd(1), xd(2), . . . . (1.3.1)

En diskret signal x (kTs) som fås genom att avläsa en analog signal x(t)vid de diskreta tidpunkterna kTs, k = . . . ,−1, 0, 1, . . ., kallas samplad sig-

nal. Tiden Ts är samplingstiden. Liksom analoga signaler kan diskreta o h

samplade signaler anta alla värden i ett intervall, a ≤ xd(k) ≤ b.Då en signal behandlas med hjälp av en dator kan den inte längre anta

vilket som helst värde, utan representeras digitalt, så att den kan anta endast

2B nivåer. En diskret signal som kvantiserats till ett ändligt antal nivåer kallas

digital signal.

1.4 Matematisk representation av system

Ett system transformerar en signal x(t) till en annan signal y(t) (gur 1.1).System representeras fysikaliskt av olika fysikaliska pro esser som påverkar en

signal. Ett system kan t.ex. bestå av en elektronisk krets eller komponent som

förändrar egenskaperna hos en elektrisk signal, eller en kommunikationskanal

som förvränger en överförd signal.

Matematiskt kan ett system representeras av en avbildning G av signalen

x(t) till signalen y(t), så att y(t) vid varje tidpunkt t är en funktion av

signalen x. Signalen x(t) kallas systemets insignal o h y(t) dess utsignal. Ettstatiskt system karakteriseras av att utsignalens värde y(t) är en funktion

endast av insignalens värde x(t) vid tiden t,

y(t) = F (x(t)) . (1.4.1)

1.4. MATEMATISK REPRESENTATION AV SYSTEM 5

Ett statiskt system är ekvivalent med en variabeltransformation o h är gans-

ka trivialt ur signalbehandlingens synpunkt. Mera intressant är dynamiska

system, där utsignalen y(t) vid varje tidpunkt t är en funktion av insignalen

x o kså vid andra tidpunkter,

y(t) = (Gx) (t) . (1.4.2)

Jämför gur 1.1. Utsignalen y(t) hos ett dynamiskt system är således en funk-

tion o kså av tidigare insignaler till systemet. Denna förmåga att minnas

tidigare insignaler gör att dynamiska system har ett my ket mera kompli e-

rat o h intressantare beteende än statiska system. System med kontinuerliga

in- o h utsignaler kallas kontinuerliga system. Kontinuerliga dynamiska sy-

stem beskrivs i allmänhet med hjälp av dierentialekvationer. Ett system

G yx

Figur 1.1: Ett system.

med en diskret insignal x(k) o h en diskret utsignal y(k) representeras

på analogt sätt matematiskt av en avbildning G av signalen x(k), så att

y(n) ges som en funktion av sekvensen x(k). Ett system med diskreta in-

o h utsignaler kallas ett diskret system. Ett diskret statiskt system beskrivs

i analogi med det kontinuerliga fallet av ett statiskt samband,

y(n) = F (x(n)) , (1.4.3)

medan ett dynamiskt diskret system beskrivs av

y(n) = (G x(k)) (n) . (1.4.4)

Diskreta dynamiska system beskrivs i regel med hjälp av dierensekvationer.

Digitala system är diskreta system som har digitala in- o h utsignaler o h

som implementeras digitalt. I signalbehandlingsproblem ingår vanligen två

typer av system. De fysikaliska pro esserna är så gott som alltid kontinuerli-

ga till sin karaktär, o h bör därför modelleras matematiskt som kontinuerli-

ga system. Signalbehandlingsoperationer implementeras nuförtiden däremot

nästan uteslutande digitalt. Därför är de system som står för signalbehand-

lingen diskreta eller digitala system.


1.5 Analog o h digital signalbehandling

Analoga signaler representeras av en fysikalisk storhet, ofta av en elektrisk

sådan. I analog signalbehandling bör implementeringen utföras med hjälp av

lämplig hårdvara, såsom olika typer av elektriska kretsar.

Tidigare utfördes digitala signalbehandlingsoperationer ofta i hårdvara,

med digitalelektronik o h logiska kretsar. En viktig skillnad mellan analog

o h digital signalbehandling är do k det faktum att digitala signalbehand-

lingsoperationer består av numeriska manipulationer av diskreta sekvenser.

Dylika manipulationer kan i praktiken utföras my ket eektivt med hjälp av

datorer. Signalbehandling som utförs numeriskt med hjälp av datorer kal-

las digital signalbehandling (eng. Digital Signal Pro essing, DSP). De signa-

x F

xfA/D

xdDSP

ydD/A

y H ya

Figur 1.2: Digitalt signalbehandlingssystem.

ler som man önskar manipulera med ett digitalt signalbehandlingssystem är

fortfarande vanligen kontinuerliga, såsom audiosignaler (jämför diskussionen

ovan). Ett typiskt digitalt signalbehandlingssystem (gur 1.2) består därför,

förutom av en pro essor, av en analog-till-digital omvandlare (A/D omvand-

lare), som samplar den kontinuerliga signalen xf (t), samt en digital-till-analogomvandlare (D/A omvandlare), som bildar en kontinuerlig signal y(t) frånden digitala signalen yd(k) från pro essorn. Dessutom behövs ett analogt

lågpasslter F , som före analog-till-digital omvandlingen ltrerar bort såda-

na höga frekvenser i signalen x(t), som inte kan representeras i den samplade

signalen, samt ett lågpasslter H efter D/A-omvandlaren, med vilket den

analoga signalen ya ges önskade egenskaper genom att interpolera signalen

mellan samplingstidpunkterna.

Digital signalbehandling gör det möjligt att implementera algoritmer som

i praktiken inte kan realiseras analogt. Det faktum att algoritmerna imple-

menteras med hjälp av mjukvara i form av numeriska beräkningar medför att

även my ket kompli erade metoder kan implementeras relativt enkelt. Det-

ta kan jämföras med analog signalbehandling, som bör implementeras med

hjälp hårdvara i form av elektroniska kretsar. Detta gör givetvis t.ex. modi-

eringen av algoritmerna my ket arbetsdrygare. Analog implementering av

1.5. ANALOG OCH DIGITAL SIGNALBEHANDLING 7

mera kompli erade metoder begränsas dessutom av toleranserna hos enskil-

da elektroniska komponenter, vilket däremot inte utgör något problem vid

en digital implementering. Flera avan erade signalbehandlingsproblem kan i

praktiken lösas endast med hjälp av digital signalbehandling. Ett klassiskt

exempel är lagringen av audiosignaler på en CD-skiva (jämför avsnitt 1.7).

Ett annat exempel där digitala metoder är oumbärliga är avan erad bildbe-

handling.

Digital signalbehandling har o kså ett antal na kdelar. I tillämpningar

där man manipulerar en kontinuerlig signal bör systemet förses med A/D

o h D/A omvandlare (gur 1.2). Konversionshastigheterna hos existerande

A/D o h D/A omvandlare är begränsade. Detta sätter en övre gräns för hur

snabbt varierande signaler som kan behandlas. För t.ex. audiotillämpningar

är hastigheterna do k helt tillrä kliga.

En fundamental begränsning hos digital signalbehandling förorsakas av

det faktum att information alltid går förlorad då en kontinuerlig, fysikalisk

signal representeras i diskret eller digital form. För det första är det generellt

inte möjligt att exakt representera en kontinuerlig signal i form av en diskret

sekvens (eftersom en kontinuerlig signal ju beskrivs av ett oändligt antal

signalvärden, i motsats till en diskret signal som består av en sekvens av tal).

Ett kvantitativt svar på vilka kontinuerliga signaler som kan representeras i

form av en diskret sekvens ges av samplingsteoremet. En annan begränsande

faktor vid digital signalbehandling utgörs av de kvantiseringsfel som uppstår

på grund av ändlig ordlängd. Båda dessa begränsningar bör beaktas då man

planerar digitala signalbehandlingssystem.

Digital signalbehandling som skall utföras i realtid kräver eektiva pro es-

sorer. Det har för detta ändamål utve klats spe iellt för digital signalbehand-

ling anpassade pro essorer, s.k. digitala signalpro essorer, eng. digital signal

pro essors (DSP). Dessa har en arkitektur som är spe iellt optimerad för

typiska signalbehandlingsoperationer, såsom beräkningen av utsignalen från

ett digitalt lter eller beräkning av Fouriertransformen. Det nns o kså ap-

plikationsspe ika pro essorer för olika signalbehandlingstillämpningar. Ett

viktigt gränsområde mellan signalbehandling o h datorteknik är planeringen

av arkitekturer för digitala signalpro essorer.

Digitala signalpro essorer brukar förutom själva pro essorn o kså vara

försedda med A/D- o h D/A-omvandlare samt de analoga lter som behövs

före o h efter omvandlingarna, jämför gur 1.2. Dessutom skall samplingsti-

den enkelt kunna spe i eras.


1.6 Ett exempel: radar för avståndsmätning i

bilar

Idén bakom begreppet radar (= RAdio Dete tion And Ranging) härstam-

mar från experiment o h studier av reekterade elektromagnetiska vågor som

utfördes av Hertz o h Hülsmeyer samt Tesla o h Mar oni kring början av

1900-talet. I moderna bilar nns förutom ett ertal olika radarsystem för

olika applikationer även system som baserar sig på lidar (= LIgth Dete tion

And Ranging), ultraljud o h kamerateknik. Ändamålet med dessa s.k. föra-

rassistentsystem är att genom förebyggande o h kompenserande av mänskliga

misstag befrämja traksäkerheten samt göra körningen mindre stressande. I

framtiden anses dessutom utve klingen av systemen göra det praktiskt möj-

ligt med autonomt körande fordon i traken. Radar för avståndsmätning

Figur 1.3: Olika typer av radar för detektering av hinder vid bilkörning. Från

artikeln

2

.

nns i de esta moderna person- o h lastfordon o h används i regel som en

del i ett större system för att detektera hinder i fordonets körriktning. Detta

görs i praktiken genom att behandla de från objektet reekterade elektro-

magnetiska vågorna, radarekot, så att en skattning erhålls av avståndet från

fordonet till hindret. Själva mätningen utförs med modern halvledarteknik

för s.k. mm-vågor med frekvenser i området 24 GHz till 77 GHz så att man

från signalen skattar tiden det tar för den elektromagnetiska vågen att röra

sig från sändaren till målet (hindret) o h därifrån tillbaka till detektorn. Låt

avståndet till målet vara R. Då kommer tiden τ från sändning till vågens eko

1.6. ETT EXEMPEL: RADAR FÖR AVSTÅNDSMÄTNING I BILAR 9

Figur 1.4: Prin ipen för radardetektering av framförkörande fordon med puls-

formig kontinuerlig-våg-radar. Från artikeln

2.

från målet att ges av cτ = 2R, där c är ljushastigheten. Således, om man kan

skatta τ ≈ τ fås en skattning av avståndet R. För att få referenspunkter i

tiden för när den detekterade elektromagnetiska vågen lämnat sändaren an-

vänds pulsmodulerade kontinuerliga vågor, som består av vågpulser avbrutna

av tysta perioder som är tillrä kligt långa för att utsända pulser ska hinna

reekteras innan följande puls sänds ut. I idealiserad form kan man då ut-

try ka den detekterade signalen x o h den utsända signalen s, som funktioner

av tiden t med sambandet

x(t) = αs(t− τ) + ωt , (1.6.1)

där α ∈ C är en tal som beskriver antennförstärkningen, rörelseförluster

o h målets strålningstvärsnitt (bestäms av dess form o h material). Termen

ω antas vara vitt brus. Vi önskar nu estimera τ då vi känner till signalen

s(t) fullständigt. Detta kan göras med ett lter som beräknar korrelationen

mellan den utsända signalen s o h den reekterade signalen x enligt:

y(τ) =

∫ ∞

−∞x(t)s∗(t− τ) dt . (1.6.2)

Den s.k. maximum-likelihood-skattningen av τ fås då som maximistället för

absolutbeloppet |y(τ)|, d.v.s.

τ = argmaxτ

|y(τ)| . (1.6.3)

2

Patole, S. et. al: Automotive Radars - A review of signal pro essing te hniques. IEEE

Signal Pro essing Magazine, pp. 22-35. Mar h 2017.


Förutom detta bör man beakta estimeringsfelet p.g.a. bruset, man bör ha nå-

got lämpligt kriterium för att avgöra om det överhuvudtaget nns radarekon

i den mottagna signalen o h man bör ha en metod för att hantera multipla

radarekon från närliggande hinder. Mer om dessa detaljer nns i den iterade

artikeln o h litteraturen om radarteknologi för vägfordon.

1.7 Ett exempel till: lagring av audiosignaler

på CD-skiva

Ett välkänt exempel på avan erad digital signalbehandling är lagringen av

audiosignaler på CD-skivor. Denna tillämpning har inte varit möjlig att re-

alisera med hjälp av hårdvarubaserade metoder, utan eektiva digitala sig-

nalpro essorer har varit en förutsättning för att kunna banda audiosignaler

digitalt på CD-skivor.

På en CD-skiva nns informationen lagrad i digital form i form av punk-

ter som kan avläsas optiskt med en laserstråle. Den uppnådda lagringstät-

heten är 106 bitarmm2 .

Ett my ket förenklat blo kshema som visar manipulationerna vid band-

ning av en audiosignal på en CD består av följande komponenter (se gurerna

1.28 o h 1.29 i Ifea hor o h Jervis (1993)):

Den akustiska signalen överförs till en elektrisk signal i en mikrofon. (I

praktiken har man två parallella signaler motsvarande två kanaler.)

Den analoga signalen lågpassltreras för att elimera högfrekventa kom-

ponenter som ej kan representeras av en diskret signal med den valda

samplingsfrekvensen.

Den lågpassltrerade signalen samplas med en A/D omvandlare. Samp-

lingsfrekvensen är 44,1 kHz. Detta kan jämföras med den högsta fre-

kvens det mänkliga örat uppfattar, som är a 20 kHz. Enligt samp-

lingsteoremet kan en diskret signal korrekt beskriva frekvenser upp till

halva samplingsfrekvensen; i detta fall är halva samplingsfrekvensen

44,12

= 22,05 > 20 kHz. Varje signalvärde representeras efter A/D-

omvandlingen med hjälp av 16 bitar.

Den digitala signalen, bestående av en bit-sekvens, kodas med en fel-

tolerant kod. Målsättningen med dylika koder är att införa redundans

1.8. VIKTIGA SIGNALBEHANDLINGSOPERATIONER 11

i signalen så att den ursprungliga signalen skall kunna återskapas trots

fel vid signalöverföring o h/eller lagring. Optimala metoder att införa

denna redundans så att en given feltolerans uppnås möjligast eektivt

(få redundanta bitar) ges av Hamming- o h Reed-Solomon-koder. Alla

CD-skivsystem har en tvåstegs Reed-Solomon-kod som kan rekonstru-

era den ursprungliga signalen trots felsekvenser som kan vara upp till

4000 steg långa.

Lagring av den digitala signalen på en CD-skiva.

Reproduktion av audiosignalen på en CD-skiva består i sin tur av följande

moment:

Läsning av digital signal med hjälp av laserstråle.

Dekodning av den kodade signalen o h rekonstruktion (inklusive fel-

korrigering) av ursprunglig digital signal.

Den digitala signalen översamplas, så att en ny digital signal med samp-

lingsfrekvensen 176,4 kHz (= 4 × 44,1 kHz) bildas. Orsaken till detta

är att konstruktionen av en analog signal från den med frekvensen

44,1 kHz samplade digitala signalen skulle kräva ett analogt lter med

my ket strikta spe ikationer för att med tillrä klig noggrannhet re-

konstruera den ursprungliga audiosignalen.

Den översamplade digitala signalen transformeras med en D/A om-

vandlare o h ett efterföljande analogt lågpasslter till en analog signal

som med tillrä klig noggrannhet rekonstruerar den ursprungliga audi-

osignalen. Ta k vare den ökade samplingsfrekvensen hos den digitala

signalen kan det analoga lågpassltrets spe ikationer göras mindre

strikta.

1.8 Viktiga signalbehandlingsoperationer

Vi skall här sammanfatta några av de viktigaste problemställningarna o h

operationerna i signalbehandling. En god förståelse av dessa problemställ-

ningar är en förutsättning för att kunna lösa i praktiken förekommande sig-

nalbehandlingsproblem.


Fourieranalys

Ett alternativ till en signals representation som en funktion x(t) i tidsplanetär att beskriva signalens frekvensinnehåll i form av en funktion X(ω) av fre-

kvensen ω. Det visar sig att era signalbehandlingsproblem är naturligare o h

enklare att analysera o h lösa i frekvensplanet än i tidsplanet. Matematiskt

denieras frekvensplansrepresentationen X(ω) som Fouriertransformen av

funktionen x(t). Beräkningen av Fouriertransformen av en signal är en viktig

signalbehandlingsoperation. Standardalgoritmen för eektiv beräkning Fou-

riertransformer är den s.k. snabba Fouriertransformen.

Syntes o h implementering av lter

Ett lter är ett system som manipulerar en signal x(t) o h transformerar

den till en annan signal y(t). Systemet G i gur 1.1 är ett lter. Syntes av

lter består av att konstruera ett lter så att den bildade signalen y(t) hargivna egenskaper. En typisk problemställning är t.ex. att eliminera brus från

en signal för att ur denna extrahera en ursprunglig brusfri signal. Detta kan

göras genom att konstruera ett lter som spärrar de frekvenser som bruset

består av. En annan problemställning är implementeringen av lter. Det är

härvid viktigt att lterekvationerna utförs möjligast eektivt. Digitala sig-

nalpro essorer har en arkitektur som stöder en eektiv numerisk exekvering

av lterekvationer.

Signaltransformer

Vid överföring eller lagring av signaler är det ofta viktigt att minimera mäng-

den av data för ökad överförings- eller lagringskapa itet. Detta förutsätter att

signalerna beskrivs i en kompakt form. För att uppnå detta tillämpas olika

signaltransformer, i vilka signalen representeras med hjälp av olika funktions-

klasser. Om funktionsklassen är vald så att den är representativ i avseende

å den aktuella signalen, så kan signalen representeras på ett my ket ekono-

miskt sätt med en datamängd som är betydligt mindre än den mängd data

som den ursprungliga signalen kräver. Den ovan nämnda Fouriertransformen

är en sådan transform, där funktionsklassen består av periodiska sinus- o h

osinusfunktioner. Det nns emellertid en mängd andra viktiga signaltrans-

former. En spe iellt eektiv transform för signalkompression baserar sig på

1.8. VIKTIGA SIGNALBEHANDLINGSOPERATIONER 13

s.k. krusningar (eng. wavelets). Teorin för wavelet-transformen är rätt avan-

erad o h den har fulländats först rätt nyligen.

Det kan vara skäl att påpeka att den typ av signalkompression som här

avses baserar sig på inherenta egenskaper hos signalen representerad i form av

en funktion x(t) eller en sekvens xd(k). Då signalen representeras med hjälp

av sina dominerande komponenter går vanligen en del information förlorad.

Denna komprimeringsmetod skall ej förväxlas med de förlustfria metoder

som används för att komprimera bitsekvenser, s.k. Lempel-Ziv-kodning, som

utnyttjar upprepningar av delsekvenser. Förlustfri kodning tillämpas först på

den komprimerade signalen.

Modulering

Vid överföring av signaler representeras signalerna sällan i sin ursprungli-

ga form, utan i stället moduleras de på olika sätt. Om t.ex. audiosignaler

skulle överföras på samma kanal utan modulering skulle endast en signal i

gången kunna sändas, eftersom de olika signalerna inte skulle kunna skiljas

åt på mottagarsidan. Med modulering däremot är det möjligt att samtidigt

sända era signaler över samma kanal utan förväxling av signalerna. Detta

åstadkommes genom att låta signalen inverka på någon egenskap hos var sin

bärvåg. Dessa är högfrekventa signaler, som är väl separerade från varandra

t.ex. genom att de upptar olika frekvensband eller tilldelas olika andelar av

en tidsperiod. Ett ertal olika moduleringsmetoder har utve klats såväl för

analog som digital signalöverföring.

Kodning

Kodning används bl.a. för att uppnå feltolerans vid signalöverföring o h lag-

ring. Målsättningen vid felkorrigerande kodning är att kunna rekonstruera

den ursprungliga signalen trots fel vid överföring eller lagring av signalen.

Detta uppnås genom att införa redundans i signalen. En feltolerant kod ge-

nererar därför oundvikligen en kodad signal som är längre än den okodade

signalen. Ett trivialt sätt vore att upprepa varje signalvärde i en diskret sig-

nal ett antal gånger, varvid enstaka fel lätt kunde upptä kas o h elimineras.

Det nns emellertid betydligt eektivare kodningsmetoder, i vilka den kodade

signalen kan göras möjligast kort samtidigt som en given felkorrigeringskapa-

itet garanteras. Dessa är de s.k. Hamming-koderna (för bit-sekvenser) o h


Reed-Solomon-koderna (för i ke-binära sekvenser). Alla CD-system för audi-

otillämpningar utnyttjar t.ex. en eektiv felkorrigerande kod av denna typ

(jämför avsnitt 1.7).

Kodning är ett my ket omfattande problemområde med egna teorier o h

metoder. Även om kodningsproblem uppstår i era signalbehandlingstillämp-

ningar, så är teorin för kodning närmare besläktad med allmän informations-

teori o h kommunikationsteori.

Det skulle kräva era års studier att ens ytligt bekanta sig med alla de spe-

ialmetoder som tillämpas inom modern signalbehandlingsteknik. Ly kligtvis

baserar sig huvuddelen av metoderna på ett begränsat antal fundamentala

prin iper, som rä ker till för att förstå o h tillämpa metoderna. Målsättning-

en med denna kurs är att i en kompakt form ge de baskunskaper som behövs

för att förstå de viktigaste inom signalbehandling förekommande problem-

ställningarna.

1.9 Litteratur

Det nns en mängd utmärkta lärobö ker i signalbehandling. Klassiker inom

området är bl.a. Rabiner o h Gold (1975), Oppenheim o h Willsky (1983)

o h Oppenheim o h S hafer (1975). Exempel på nyare bö ker är Proakis

o h Manolakis (1996), Ifea hor o h Jervis (1993), Smith (2003) samt Tan

(2008). Av dessa är Ifea hor o h Jervis (1993) mera praktisk, o h diskuterar

bl.a. kommersiella digitala signalpro essorer o h deras arkitekturer. Denna

kurs baserar sig närmast på valda delar av Ifea hor o h Jervis (1993) samt

Proakis o h Manolakis (1996). En tillämpad infallsvinkel ges i kompendiet

Pedersen et. al (2006).

Svenskspråkiga introduktioner till signalbehandling ges av Svärdström

(1987) samt Gustafsson, Ljung o h Millnert (2000). Harnefors, Holmberg o h

Lundqvist (2004) ger en bred introduktion till signaler o h system, inklusive

grunderna för signalbehandling o h reglersystem.

Litteraturförte kning

[1 F. Gustafsson, L. Ljung o h M. Millnert. Signalbehandling. Studentlit-

teratur, Lund, 2000.

[2 L. Harnefors, J. Holmberg o h J. Lundqvist. Signaler o h system med

tillämpningar. Studentlitteratur, Lund, 2004.

[3 E. C. Ifea hor and B. W. Jervis. Digital Signal Pro essing - A Pra ti al

Approa h. 2nd ed., Addison-Wesley, 2001.

[4 A. V. Oppenheim and R.W. S hafer. Digital Signal Pro essing. Prenti e-

Hall, 1975.

[5 A. V. Oppenheim and A. S. Willsky. Signals and Systems. Prenti e-Hall,

1983.

[6 S. B. Pedersen, J. A. Jensen, B. Guldbrandsen o h K.-Å. Henneberg.

Noter til 31610 Anvendt signalbehandling. Te hni al University of Den-

mark, 2006.

[7 J. G. Proakis and D. G. Manolakis. Digital Signal Pro essing. Prin iples,

Algorithms and Appli ations. Prenti e-Hall, 1996.

[8 L. R. Rabiner and B. Gold. Theory and Appli ation of Digital Signal

Pro essing. Prenti e-Hall, 1975.

[9 S. W. Smith. Digital Signal Pro essing. A Pra ti al Guide for Engineers

and S ientists. Newnes, 2003.

[10 A. Svärdström Tillämpad signalanalys. Studentlitteratur, 1987.

[11 Li Tan. Digital Signal Pro essing - Fundamentals and Appli ations. A -

ademi Press / Elsevier, Burlington, MA 01803, USA, 2008.

15

16 LITTERATURFÖRTECKNING

Kapitel 2

Signaler några grundbegrepp

I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp ur analysen av signaler.

För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta

ett enkelt exempel på ett typiskt signalrekonstruktionsproblem.

Exempel 2.0.1. I gur 2.1 är x(t) en signal som överförs över en kanal

(t.ex. en telefonlinje), varvid den vid mottagaren blir förvrängd av syste-

met F , som representerar överföringskanalen. Dessutom påverkas signalen

av ett brus e, som kommer in under överföringen. Vi önskar på basen av den

mottagna signalen y(t) rekonstruera den ursprungliga signalen så väl som

möjligt. För rekonstruktionen manipuleras signalen y med ett signalbehand-

lingssystem H. Problemet är att konstruera H så att felet x− xr mellan den

ursprungliga signalen x o h den rekonstruerade signalen xr är möjligast litet.

Systemet H kan givetvis vara ett digitalt signalbehandlingssystem av den typ

som visas i gur 1.2, varvid den inkluderar A/D- o h D/A-omvandlare, samt

erforderliga analoga lter. Systemet F antas däremot bestå av ett fysikaliskt

system, o h är därför kontinuerligt. För att signalrekonstruktionsproblemet

skall vara meningsfullt, bör man givetvis ha någon form av information om

F ++

e

zx y H xr

Figur 2.1: Signalrekonstruktion.

17

18 KAPITEL 2. SIGNALER NÅGRA GRUNDBEGREPP

de ingående systemen (i detta fall F ), o h signalerna. Systemet F kan be-

stämmas genom matematisk modellering av den aktuella fysikaliska pro essen

i överföringskanalen eller genom att utföra identieringsexperiment. Det är

därför realistiskt att anta att systemet F är känt. Om bruset e vore noll, så

skulle y = z gälla, o h exakt rekonstruktion skulle uppnås med xr = F−1y,förutsatt att systemet F har en invers som kan realiseras i praktiken.

I praktiken nns det alltid bruskällor som påverkar signaler. I motsats till

systemet F , vars inverkan på signalen kan antas vara känd, så kan bruset einte direkt mätas; det enda man har tillgång till är den utkommande signalen

y = z + e.Hur skall då den ursprungliga signalen x kunna bestämmas? Observe-

ra att y består av två komponenter: signalkomponenten z = Fx o h stör-

ningskomponenten e. Problemet är således ekvivalent med att separera de två

komponenterna från varandra. För att kunna göra detta måste signalkompo-

nenten z o h bruset e ha egenskaper som i något avseende är olika o h gör det

möjligt att skilja komponenterna åt. Ly kligtvis är detta ofta fallet. En audio-

signal t.ex. innnehåller frekvenskomponenter under 20 kHz, medan brus ofta

innehåller komponenter av högre frekvenser. En metod att skilja de två kom-

ponenterna åt kunde således bestå av att undersöka frekvenskomponenterna

hos signalen y.

Exempel 2.0.1 illustrerar behovet av att representera signaler i en form

som t.ex. möjliggör separering av olika signalkomponenter. Detta kan kvanti-

tativt utföras med hjälp av olika signaltransformer. I exemplet skulle rekon-

struktionsfelet x − xr göras möjligast litet. Felet kan emellertid göras litet

på många olika sätt. Vid syntes av ett signalbehandlingssystem måste man

besluta sig för ett kvantitativt mått för storleken hos felet x − xr. Sådana

kvantitativa mått ges av signalnormer.

2.1 Signaltransformer

Signaler representeras matematiskt som funktioner x(t) av tiden (analoga

signaler) eller som sekvenser x(k), k = . . . ,− 1,0,1, . . . (diskreta signaler).

Det visar sig att era problemställningar o h manipulationer kan förenklas

avsevärt om signalen i stället för att representeras som en funktion av tiden

(t respektive k) anges med hjälp av utve klingar av givna funktioner, d.v.s.

x(t) =∑

i

ciϕi(t) , (2.1.1)

2.1. SIGNALTRANSFORMER 19

respektive

x(k) =∑

i

ciϕi(k) , k = . . . ,−1, 0, 1, . . . (2.1.2)

Om funktionsmängden ϕi är tillrä kligt generell, kan koe ienterna ci väl-jas så att likheterna (2.1.1) respektive (2.1.2) gäller för en bred klass av funk-

tioner. Funktionen x(t) (respektive x(k)) kan i så fall representeras med

hjälp av sekvensen ci = c0,c1, . . .. Sekvensen ci sägs vara en transform

av signalen x, o h funktionerna ϕi i utve klingen är s.k. basfunktioner.

Den praktiska betydelsen hos dylika transformer är att representera signa-

len i en form som förenklar olika signalbehandlingsoperationer eller tolkning

av signalen. Transformer är viktiga i era sammanhang:

2.1.1 Kompression av data

Antag att vi har en diskret signal medN = 1000 punkter, x(0), x(1), . . . , x(N−1). Det kan synas som ett naturligt sätt att representera signalen i form av

talen i sekvensen, x(k)N−1k=0 . Emellertid är denna representation inte natur-

ligare än andra. Observera att om vi denierar pulsfunktionerna

ϕi(k) =

1 , k = i ,0 , k 6= i ,

(2.1.3)

så kan sekvensen skrivas i formen

x(k) =∑

i

x(i)ϕi(k) , k = 0, 1, . . . , N − 1 . (2.1.4)

I denna representation är alltså koe ienterna ci = x(i) o h det krävs N =1000 koe ienter för att representera signalen. Men valet av pulsfunktionerna

(2.1.3) är inte naturligare än något annat val av funktioner ϕi i utve klingen.

Tvärtom kan något annat val funktionerna visa sig bättre. Om man t.ex. vet

att signalen har genererats så att x(k) kan anges som en kombination av

andragradspolynom, så att

x(k) = c0 + c1k + c2k2 , k = 0, 1, . . . , N − 1 , (2.1.5)

så vore det naturligt att välja basfunktionerna

[φ0(k) = 1 , φ1(k) = k , φ2(k) = k2

], (2.1.6)


varvid hela sekvensen kan representeras med hjälp av de tre parametrarna

c0, c1 o h c2 i formen

[x(k) = c0φ0(k) + c1φ1(k) + c2φ2(k) , k = 0, 1, . . . , N ] . (2.1.7)

Detta möjliggör en avsevärd komprimering av den ursprungliga datamängden

bestående av N = 1000 tal.

I många sammanhang har man signaler som består av periodiska kompo-

nenter som kan uttry kas med hjälp av trigonometriska (sinus- o h osinus-)

funktioner. Rena toner i audiosignaler är t.ex. sinusformade signaler. I såda-

na fall är det naturligt att utve kla signalen med sinus- o h osinusfunktioner

som basfunktioner.

2.1.2 Beräkning av utsignalen från ett linjärt system

Beräkningen av utsignalen y(t) från ett linjärt system eller lter med insig-

nalen x(t) är en numeriskt krävande operation. Man vet emellertid att om

insignalen är en sinusformad signal, sin (ωt), så är utsignalen en annan si-

nusformad signal med samma frekvens ω, men i allmänhet med en annan

amplitud o h fas, y(t) = A sin (ωt+ φ). Beräkningen av utsignalen blir där-

för trivial om man representerar signalen x(t) med hjälp av en utve klingen

av formen (2.1.1) där basfunktionerna ϕi(t) är sinus- o h osinusfunktioner.

Det är således naturligt att karakterisera system med avseende å deras ef-

fekt på de olika frekvenskomponenterna hos en signal. Man talar således om

lågpasslter, högpasslter, bandpasslter, lter med linjär fasförskjutning,

o.s.v.

Observera att om systemet F i exempel 2.0.1 är linjärt, så kan signalen

x inte innehålla andra frekvenser än de som nns i z. Systemet dämpar,

förstärker o h fasförskjuter de olika frekvenserna på olika sätt, men blandar

ej ihop skilda frekvenser.

Anmärkning 2.1.1. Betrakta en slags generaliserad funktion, med egenska-

perna

δ(t) =

∞ , t = 0 ,0 , t 6= 0 .

(2.1.8)

∫ b

a

δ(t) dt =

1 , 0 ∈ [a,b] , −∞ ≤ a < b ≤ ∞ ,0 , 0 6∈ [a,b] .

(2.1.9)

2.1. SIGNALTRANSFORMER 21

Det är alltså frågan om en impuls. Då kan man deniera impulssvaret hos ett

linjärt tidsinvariant system P som h(t) = P [δ(t)] o h en godty klig insignal

till detta system kan uttry kas

x(t) =

∫ ∞

−∞x (τ) δ (t− τ) dτ . (2.1.10)

delta-impulsen plo kar alltså ut integrandfunktionens värde i nollstället

till impulsfunktionens argument. Det linjära systemets utsignal för denna

allmänna insignal blir således

y(t) = P [x(t)] = P

[∫ ∞

−∞x (τ) δ (t− τ) dτ

]

(2.1.11)

=

∫ ∞

−∞x (τ)P [δ (t− τ)] dτ (2.1.12)

=

∫ ∞

−∞x (τ) h (t− τ) dτ =

∫ ∞

−∞x (t− τ) h (τ) dτ . (2.1.13)

Integralen i högra ledet ovan brukar kallas konvolutionen av x(t) o h h(t)o h bete knas (x∗h)(t). Systemets utsignal bestäms således entydigt av dess

impulssvar konvoluerat med insignalen. Det visar sig, att dessa funktioners

Fouriertransformer följer det enkla sambandet

Y (ω) = H (ω)X (ω) . (2.1.14)

Överföringsoperatorn H (ω) är impulssvarets Fouriertransform. Konvolution

i tidsrummet motsvarar alltså multiplikation i frekvensrummet. Detta gäller

även omvänt, så att konvolution i frekvensrummet motsvarar multiplikation

i tidsrummet. Således har vi, för Fouriertransformen av x(t) · h(t), att:

F (x · h) (ω) = (H ∗X) (ω) . (2.1.15)

2.1.3 Tolkning av signaler

Utve klingar av formen (2.1.1) o h (2.1.2) kan o kså utnyttjas för att förenkla

tolkningen av signaler. Det är t.ex. vanligt med periodiska komponenter i sig-

naler. Sådana kan vara svåra att uppfatta i tidsfunktionen x(t) eller x(k).Om signalen utve klas med hjälp av sinus- o h osinusfunktioner, framträder


periodiska komponenter i signalen klart i form av stora värden för de koe-

ienter ci i utve klingen som motsvarar sinus- o h osinusfunktioner med den

aktuella perioden.

I exempel 2.0.1 kan en transform av signalen y i periodiska funktioner möj-

liggöra en separering av komponenterna z o h e, ty den intressanta signalen

z är i allmänhet en lågfrekvent signal, medan bruset e ofta är högfrekvent.

Signalen z beskrivs således av lågfrekventa periodiska signaler o h e beskrivsav högfrekventa periodiska signaler.

Det nns många olika sätt att utve kla en signal med hjälp av basfunktio-

ner, men det överlägset viktigaste är den som utnyttjar periodiska sinus- o h

osinusfunktioner. Såsom framgått ur diskussionen ovan förenklar en sådan

utve kling analysen av ett lters inverkan på olika signaler, o h är ett oum-

bärligt verktyg vid syntes av lter. Analysen av en funktions utve kling med

hjälp av sinus- o h osinusfunktioner kallas frekvensanalys eller Fourierana-

lys. En sådan utve kling beskriver direkt frekvensinnehållet hos en signal.

Frekvensanalys beskrivs mera detaljerat i kapitel 3.

2.2 Signalnormer

I exempel 2.0.1 var problemet att rekonstruera signalen x ur den mottagna

signalen y = z + e. En signal xr skall alltså beräknas ur y, som approxime-

rar signalen x, dvs rekonstruktionsfelet x − xr är möjligast litet. Det nns

emellertid era sätt att mäta storleken hos en signal x − xr, o h resultatet

är beroende av hur signalens storlek denieras.

Vid en matematisk representation av en signal x som en funktion x(t) ärdet naturligt att deniera signalens storlek med hjälp av en norm denierad

för funktionen x(t). Normer bete knas med ‖x‖. De inom signalbehandling

vanligaste o h mest användbara normerna är Lp-normerna, som denieras

för kontinuerliga signaler enligt

‖x‖p =(∫

|x(t)|p dt) 1

p

, p = 1, 2, . . . (2.2.1)

o h (för p = ∞)

‖x‖∞ = supt

|x(t)| . (2.2.2)

Lp-normerna karakteriseras av talet p; för små värden på p påverkar alla

signalvärden x(t) relativt jämnt till normens storlek, medan stora värden på

2.2. SIGNALNORMER 23

p ger ökad vikt åt stora signalvärden, med fallet p = ∞ som extremfall.

1

Ett viktigt spe ialfall av Lp-normer är L1-normen,

‖x‖1 =∫

|x(t)| dt , (2.2.3)

samt L2-normen,

‖x‖2 =(∫

|x(t)|2 dt) 1

2

. (2.2.4)

I synnerhet L2-normen är användbar inom signalbehandlingen. Den visar sig

vara enkel att beräkna o h har ett antal spe iella egenskaper som gör den

attraktiv. L2-normen bevaras t.ex. vid Fouriertransformen, dvs en signal x(t)o h dess Fouriertransform X (ω) har samma L2-norm (jämför Parsevals for-

mel, avsnitt 3.2.3 o h 3.3.1). Detta gör normen enkel att utnyttja i samband

med frekvensanalytiska metoder. L2-normen har o kså en naturlig fysikalisk

tolkning som energin hos en signal. Detta beror på att den energi E(i) somt.ex. elektrisk ström i(t) förbrukar i ett motstånd R är proportionell mot

integralen av strömmens (eller spänningens) kvadrat, E(i) = R‖i‖22.För diskreta signaler x(n) denieras på ett analogt sätt lp-normerna,

‖x‖p =(∑

n

|x(n)|p) 1

p, p = 1, 2, . . . , (2.2.5)

o h (för p = ∞)

‖x‖∞ = maxn

|x(n)| . (2.2.6)

Ett viktigt spe ialfall av lp-normerna är l1-normen,

‖x‖1 =∑

n

|x(n)| , (2.2.7)

samt l2-normen,

‖x‖2 =(∑

|x(n)|2) 1

2. (2.2.8)

I analogi med det kontinuerliga fallet bevaras l2-normen vid Fouriertransfor-

men, (jämför avsnitt 4.1.1 o h 4.2.1).

1sup bet knar här den s.k. minsta övre gränsen, som kan vara lika med maximivärdet

ifall detta tillhör värdemängden för funktionen |x(t)|. Man kan o kså ha en situation där

den minsta övre gränsen inte tillhör denna värdemängd. Exempelvis för x(t) = 1 − e−t,

t > 0 har vi supt|x(t)| = 1, trots att funktionen inte antar värdet 1 i någon punkt.


θ

x

y

z = x+ jy

|z|

Im(z)

Re(z)

Figur 2.2: Det komplexa talet z = x+ jy i det komplexa talplanet.

2.3 Komplexa tal

För åskådlighetens skull ger vi en kort sammanfattning över de samband

mellan komplexa tal, trigonometriska funktioner o h komplexa exponential-

funktionen som utnyttjas inom signalbehandling.

Betrakta ett komplext tal

z = x+ jy , (2.3.1)

där j =√−1. De komplexa talen kan representeras med hjälp av det kom-

plexa talplanet, som består av en reell talaxel o h en imaginär talaxel, se

gur 2.2. Det komplexa talet z motsvarar då en punkt med koordinaterna

(x,y) i det komplexa talplanet (gur 2.2). Talets magnitud eller absoluta be-

lopp |z| denieras som avståndet från origo till punkten (x,y). Från guren 2.2fås med Pythagoras sats

|z| =√

x2 + y2 . (2.3.2)

Om man bete knar vinkeln mellan den reella talaxeln o h vektorn från origo

till punkten (x,y) med θ, fås med välbekanta trigonometriska samband

x = |z| cos θ , (2.3.3)

y = |z| sin θ . (2.3.4)

Kombineras (2.3.1) o h (2.3.4) får man

z = |z| (cos θ + j sin θ) . (2.3.5)

2.3. KOMPLEXA TAL 25

Vi skall nedan visa att den komplexa faktorn i uttry ket (2.3.5) på ett be-

kvämt sätt kan karakteriseras med hjälp av den komplexa exponentialfunk-

tionen genom att utnyttja Eulers formel:

ejθ = cos θ + j sin θ . (2.3.6)

Från (2.3.5) o h (2.3.6) fås uttry ket

z = |z|ejθ , θ = arg z . (2.3.7)

Representationen (2.3.7) eller (2.3.5), av det komplexa talet z, kallas polärform.

Den polära formen uttry ker det komplexa talet z med hjälp av dess

absoluta belopp |z| o h vinkeln θ. Vinkeln θ brukar kallas det komplexa

talets argument, o h bete knas

θ = arg z . (2.3.8)

Argumentet hos ett komplext tal kan bestämmas som funktion av de reella

o h imaginära komponenterna genom att utnyttja sambandet (2.3.4), från

vilket det följer att θ satiserar

tan θ =y

x. (2.3.9)

Eftersom tangent-funktionen har perioden π (d.v.s. tan θ = tan (θ + π)),denierar (2.3.9) vinkeln θ endast i ett intervall av bredden π, vanligen−π

2< θ < π

2. För att deniera punkten (x,y) bör emellertid argumentet

θ kunna bestämmas entydigt i ett intervall av bredden 2π, t.ex. 0 ≤ θ < 2π.Spe iellt gäller till exempel, att tan θ hos punkterna (x,y) o h (−x, − y)har samma värde, eftersom

yx= −y

−x. För att bestämma argumentet θ enty-

digt, bör (2.3.9) kompletteras med information om i vilken kvadrant punkten

(x,y) är. Om arctan-funktionen denieras så att den antar värden i intervallet(−π

2, π2

), får vi således

θ = arctan(y

x

)

, x ≥ 0 , (2.3.10)

= arctan(y

x+ π)

, x < 0 . (2.3.11)

Det komplexa konjugatet z∗ till z = x+ jy deneras som

z∗ = x− jy . (2.3.12)


Ur denitionen följer att |z∗| = |z| o h arg z∗ = − arg z (jmf. gur 2.2). Det

följer att det kompexa konjugatet till z = |z|ejθ har den polära formen

z∗ = |z|e−jθ , −θ = arg z∗ . (2.3.13)

2.3.1 Den komplexa exponentialfunktionen

Sambandet (2.3.6) mellan de trigonometriska funktionerna o h den komplexa

exponentialfunktionen kan härledas på följande sätt: Observera att de trigo-

nometriska funktionerna kan Taylor-serieutve klas enligt

cos θ = 1− 1

2!θ2 +

1

4!θ4 − · · ·+ (−1)k

1

(2k)!θ2k + · · · , (2.3.14)

sin θ = θ − 1

3!θ3 +

1

5!θ5 − · · ·+ (−1)k

1

(2k + 1)!θ2k+1 + · · · (2.3.15)

Det följer att

cos θ + j sin θ = 1− 1

2!θ2 +

1

4!θ4 − · · ·+ (−1)k

1

(2k)!θ2k + · · ·

+ j

(

θ − 1

3!θ3 +

1

5!θ5 − · · ·+ (−1)k

1

(2k + 1)!θ2k+1 + · · ·

)

= 1 + jθ +1

2!(jθ)2 +

1

3!(jθ)3 +

1

4!(jθ)4 +

1

5!(jθ)5 + · · ·

(2.3.16)

å andra sidan ger en Taylor-serieutve kling av den komplexa exponential-

funktionen ejθ,

ejθ = 1 + jθ +1

2!(jθ)2 +

1

3!(jθ)3 +

1

4!(jθ)4 +

1

5!(jθ)5 + · · · (2.3.17)

Vi har således visat, att

ejθ = cos θ + j sin θ (2.3.18)

Detta samband mellan den komplexa exponentialfunktionen o h de trigono-

metriska funktionerna kallas Eulers formel. Omvänt kan de trigonometriska

funktionerna cos θ o h sin θ uttry kas med hjälp av av den komplexa expo-

nentialfunktionen. Detta åstadkoms genom att observera att

e−jθ = cos (−θ) + j sin (−θ) = cos θ − j sin θ . (2.3.19)

2.3. KOMPLEXA TAL 27

θ

z = −1 = ej(π+2πn)z = 1 = ej2πn

z = −j = ej(3π2+2πn)

z = j = ej(π2+2πn)

z = ejθ

O

1

Re(z)

Im(z)

Figur 2.3: Den komplexa exponentialfunktionen z = ejθ i det komplexa tal-

planet.

Addition o h subtraktion av (2.3.18) o h (2.3.19) samt lösning i avseende å

cos θ respektive sin θ ger de inversa sambanden

cos θ =ejθ + e−jθ

2, (2.3.20)

sin θ =ejθ − e−jθ

2j. (2.3.21)

Vi skall ännu notera några nyttiga egenskaper hos den komplexa exponenti-

alfunktionen ejθ. Från (2.3.18) följer

|ejθ| =√

cos2 θ + sin2 θ = 1 , (2.3.22)

arg ejθ = θ . (2.3.23)

Den komplexa exponentialfunktionen denierar således alla de komplexa tal

som ligger på enhets irkeln i det komplexa talpanet, jmf. gur 2.3. Spe iellt


gäller att

ej·0 = 1 , (2.3.24)

ejπ2 = j , (2.3.25)

ejπ = −1 , (2.3.26)

ej3π2 = −j . (2.3.27)

Eftersom sinus- o h osinusfunktionerna, o h därmed även ejθ, är periodiskamed perioden 2π, gäller dessutom

ej2πn = 1 , (2.3.28)

ej(π2+2πn) = j , (2.3.29)

ej(π+2πn) = −1 , (2.3.30)

ej(3π2+2πn) = −j , (2.3.31)

där n är ett godty kligt heltal, n = 0,±1,±2, . . ..

Kapitel 3

Analys av signaler i

frekvensplanet

Sinusformade signaler av formen x(t) = cos (ωt+ φ) o h x(t) = sin (ωt+ φ)spelar en entral roll inom signalbehandling samt teorin för signaler o h sy-

stem. Orsaken till detta är följande spe iella egenskaper hos sinusformade

signaler:

Linjära dynamiska system påverkar endast amplitud o h fas hos sinus-

formade signaler, men inte frekvensen

signaler kan skrivas som linjära kombinationer av sina frekvenskompo-

nenter

vågor, såsom elektromagnetisk strålning, består av sinusformade kom-

ponenter

Ur de två första egenskaperna följer att det är bekvämt att karakterisera

egenskaperna hos linjära dynamiska system o h lter med frekvenssvaret,

som beskriver hur systemet påverkar signalens olika frekvenskomponenter. Ut

den tredje egenskapen följer att sinusformade signaler o h deras manipulation

spelar en entral roll inom såväl analog som digital telekommunikation.

3.0.1 Beskrivning av signaler i frekvensplanet

Ett av de viktigaste problemen inom signalbehandling består av att uttry ka

en signal med hjälp av sina frekvenskomponenter. Vi har i avsnitt 2.1 antytt

29

30 KAPITEL 3. ANALYS AV SIGNALER I FREKVENSPLANET

några av de tillämpningar som en sådan uppdelning kan ha. Uppdelningen

av en signal i frekvenskomponenter är analog med den uppdelning av ljus i

olika frekvenskomponenter som sker i ett prisma. Funktionen hos ett prisma

baserar sig på att vitt ljus är sammansatt av elektromagnetisk strålning av

olika frekvenser, vilka i prismat bryts med olika vinklar. I fysiken kallar man

det band av ljus av olika färger som fås för spektrum. I analogi härmed talar

man inom signalbehandling om frekvensanalys eller spektralanalys när man

analyserar frekvensinnehållet i signaler.

Frekvensutve kling av en signal är ett spe ialfall av (2.1.1), där basfunk-

tionerna utgörs av sinusformade funktioner. En signal som kan utve klas med

hjälp av en diskret mängd periodiska funktioner med (vinkel)frekvenserna

ωi,x(t) =

∑

i

[a (ωi) cos (ωit) + b (ωi) sin (ωit)] , (3.0.1)

sägs ha ett diskret spektrum, som karakteriseras av frekvenserna ωi o h

funktionerna a (ωi), b (ωi). De esta signaler kräver emellertid ett kontinuum

av frekvenser för att fullständigt kunna karakteriseras, o h har således en

representation av formen

x(t) =

∫

[a (ω) cos (ωt) + b (ω) sin (ωt)] dω . (3.0.2)

I detta fall sägs signalen ha ett kontinuerligt spektrum, som karakteriseras av

funktionerna a (ω), b (ω).Enligt representationerna (3.0.1) eller (3.0.2) kan signalen x(t) entydigt

representeras med hjälp av funktioner a (ω) o h b (ω) av frekvensen. Des-

sa funktioner utgör i matematisk mening Fouriertransformen av funktionen

x(t). Analysen av en funktions utve kling i periodiska sinusformade funk-

tioner kallas därför även Fourieranalys. En sådan utve kling anger direkt

frekvensinnehållet hos en signal.

Fourieranalys går tillbaka till Jean Baptiste Fourier (fransk matemati-

ker, 17681830), som införde metoden att utve kla funktioner med hjälp av

trigonometriska funktioner för analys av värmeledningsproblem.

Beroende på signalens egenskaper kan vi särskilja mellan ett antal olika

fall:

Kontinuerliga periodiska signaler har ett diskret spektrum o h kan ut-

ve klas i en Fourierserie (trigonometrisk serie) som en summa av sinus-

o h osinusfunktioner.

3.1. REPRESENTATION AV SINUSFORMADE SIGNALER 31

0 T

2T

3T

22T

0

−A

A

Figur 3.1: Signalen A cos (ωt). Sambandet mellan signalens period T o h

frekvensen f ges av T = 1f, där ω = 2πf .

Kontinuerliga i ke-periodiska signaler har ett kontinuerligt spektrum

o h kan utve klas i en Fourierintegral som en integral av sinus- o h

osinusfunktioner.

Diskreta periodiska signaler har ett diskret spektrum o h kan utve klas

i en Fourierserie som en summa av sinus- o h osinusfunktioner.

Diskreta i ke-periodiska signaler har ett kontinuerligt spektrum o h

kan utve klas i en Fourierintegral som en integral av sinus- o h osi-

nusfunktioner.

Alla dessa fall är viktiga, o h kommer att behandlas. I detta kapitel behand-

las Fouriertransformer av kontinuerliga signaler, medan diskreta signaler be-

handlas i kapitel 4.

3.1 Representation av sinusformade signaler

Vi skall i detta avsnitt betrakta olika sätt att representera periodiska sinus-

formade signaler. En periodisk sinusformad signal kan skrivas på ett antal

olika sätt, o h det är viktigt att förstå sambanden mellan de olika represen-

tationssätten.


Beskrivning med hjälp av amplitud o h fasförskjutning

Ett naturligt sätt att skriva en sinusformad signal x0(t) är

x0(t) = A cos (ω0t + φ) . (3.1.1)

Signalen karakteriseras av vinkelfrekvensen ω0, fasen φ o h amplituden A.

ω0 är signalens vinkelfrekvens (radianer/tidsenhet). Signalens frekvens

är f0 = ω0

2π, som anger antalet periodiska svängningar per tidsenhet.

Om tiden anges i sekunder har f0 enheten

1s= Hz (Hertz). Perioden

hos x0(t) är T0 =1f0

= 2πω0. T0 är det minsta positiva tal, för vilket gäller

x0 (t+ T0) = x0(t), alla t. Från denitionerna på f0 o h T0 följer, att

signalen x0(t) kan skrivas i formen

x0(t) = A cos (2πf0t+ φ) = A cos

(2π

T0t+ φ

)

. (3.1.2)

φ kallas signalens fasförskjutning, o h anges i radianer. Fasförskjut-

ningen denierar var i perioden signalen benner sig vid tiden t = 0,ty x0(0) = A cos (φ). För en signal som består av en ren sinusformad

signal kan fasförskjutningen alltid göras till noll genom en translation

av tiden, ty

x0(t) = A cos

(

ω0

(

t+φ

ω0

))

= A cos (ω0t′) , t′ = t+

φ

ω0

. (3.1.3)

Det följer att den absoluta fasförskjutningen i allmänhet saknar be-

tydelse, eftersom det inte spelar någon roll var vi sätter tidpunkten

t = 0. För funktioner som består av era frekvenskomponenter kan

fasförskjutningarna hos alla frekvenser emellertid ej samtidigt göras till

noll genom translation av tiden. Däremot bevarar tidstranslationer de

olika frekvenskomponenternas relativa fasförskjutningar i förhållande

till varandra.

Observera att det från de trigonometriska funktionernas egenskaper

följer att en signal angiven med hjälp av osinusfunktionen kan anges i

form av en sinusfunktion med en annan fasförskjutning, ty

x0(t) = A cos (ω0t+ φ) = A sin(

ω0t+ φ+π

2

)

. (3.1.4)

Amplituden A är en skalningsfaktor som bestämmer signalens storlek.

Sinus- o h osinusfunktionerna os illerar mellan −1 o h +1. Signalenx0(t) os illerar således mellan −A o h A.


Beskrivning med hjälp av sinus- o h osinuskomponent

Genom att utnyttja det trigonometriska sambandet

cos (θ1 + θ2) = cos (θ1) cos (θ2)− sin (θ1) sin (θ2) , (3.1.5)

kan signalen x0 i (3.1.1) skrivas i formen

x0(t) = a cos (ω0t) + b sin (ω0t) , (3.1.6)

där

a = A cos (φ) , b = −A sin (φ) . (3.1.7)

Representationen (3.1.6) delar upp signalen x0(t) i en jämn komponent xa =a cos (ω0t) o h en udda komponent xb = b sin (ω0t), där den jämna kom-

ponenten satiserar xa(t) = xa(−t) o h den udda komponenten satiserar

xb(t) = −xb(−t).

Beskrivning med hjälp av komplexa exponentialfunktio-

nen

Den trigonometriska funktionen x0(t) kan uttry kas i en form som i era sam-

manhang visar sig vara bekvämare än (3.1.1) eller (3.1.6) genom att tillämpa

Eulers formel mellan de trigonometriska funktionerna o h den komplexa ex-

ponentialfunktionen,

ejθ = cos θ + j sin θ , j =√−1 . (3.1.8)

Ekvationen (3.1.8) denerar ett entydigt samband mellan de trigonometriska

funktionerna cos θ o h sin θ o h den komplexvärda exponentialfunktionen ejθ.Ur (3.1.8) får vi de inversa sambanden

cos θ =ejθ + e−jθ

2, (3.1.9)

sin θ =ejθ − e−jθ

2j. (3.1.10)

Genom att tillämpa Eulers formel kan signalen x0(t) skrivas i formen

x0(t) = A cos (ω0t+ φ)

=A

2

(ej(ω0t+φ) + e−j(ω0t+φ)

)

=A

2

(ejφejω0t + e−jφe−jω0t

).

(3.1.11)


Vi får således

x0(t) = cejω0t + c∗e−jω0t , (3.1.12)

där

c =A

2ejφ =

A

2[cosφ+ j sinφ] (3.1.13)

o h c∗ anger komplexa konjugatet till c; c∗ = A2e−jφ = A

2[cosφ− j sin φ].

Sambandet mellan beskrivningarna (3.1.6) o h (3.1.12) fås genom att ut-

nyttja (3.1.7), vilket ger

c =a− jb

2, c∗ =

a + jb

2. (3.1.14)

Observera att koe ienten c i beskrivningen (3.1.12) i allmänhet är ett kom-

plext tal. Koe ienten c är reell endast för jämna signaler, o h rent imaginär

för udda signaler. Dessutom uttry ker (3.1.12) signalen med hjälp av två

frekvenser: en positiv frekvens ω0 samt en negativ frekvens −ω0. Observe-

ra emellertid att de båda termerna i (3.1.12) är beroende av varandra, ty

c∗e−jω0t = [cejω0t]∗. Ekvation (3.1.12) kan således o kså uttry kas med hjälp

av den reella delen i formen

x0(t) = 2Re[cejω0t

]. (3.1.15)

Beskrivningen av en periodisk sinusformad funktion med hjälp av komplexa

exponentialfunktionen kan förefalla onödigt besvärlig. Det visar sig emelle-

rid att era operationer kan formuleras betydligt enklare om man använder

beskrivningen (3.1.12). Frekvensanalytiska metoder brukar därför nästan ute-

slutande formuleras utgående från en beskrivning baserad på den komplexa

exponentialfunktionen. Omman använder sig av komplex aritmetik kan detta

utnyttjas direkt i de numeriska beräkningarna.

Övning 3.1.1. (a) Härled sambanden (3.1.9) o h (3.1.10) från (3.1.8).

(b) Upprita funktionen ejθ i det komplexa talplanet för olika värden på θ.

( ) Uttry k ett komplext tal z = x+jy med hjälp av talets absoluta belopp

o h den komplexa exponentialfunktionen.

Exempel 3.1.1. Musikaliska toner är exempel på sinusformade akustiska

signaler bestående av en enda frekvens. Exempelvis tangentbordet på ett pia-

no har 88 tangenter, som genererar var sin ton motsvarande olika frekven-

ser. Enligt konvention ligger ljudet från tangent nummer 49 vid frekven-

sen 440 Hz. Frekvensförhållandet för två närbelägna tangenter är konstant.


0 2 4 6 8

-1

-0,5

0

0,5

1

0 2 4 6 8

-1

-0,5

0

0,5

1

Figur 3.2: Signalen x0(t) = cos (ω0t + φ) (övre diagrammet) samt dess

osinus- o h sinuskomponenter enligt uppdelningen x0(t) = a cos (ω0t) +b sin (ω0t) (nedre diagrammet).

Tonerna är uppdelade i oktaver, där en oktav motsvarar en fördubbling av

frekvensen. Inom varje oktav har man tolv tangenter. Frekvensförhållandet

mellan två tangenter är således 2112 = 1,0595.

I följande exempel illustreras sambandet mellan olika representationer av

sinusformade signaler.

Exempel 3.1.2. I gurens 3.2 övre diagram visas den sinusformade signalen

x0(t) = cos (ω0t+ φ) (3.1.16)

med amplituden A = 1 o h perioden T0 = 10 s. Frekvensen är således f0 =1T0

= 0,1 Hz med motsvarande vinkelfrekvens ω0 = 2πf0 = 0,2π rads. Vi kan

bestämma fasförskjutningen φ genom att notera, att osinusfunktionen når

sitt maximum enligt cos (0) = 1. Detta ger ω0t + φ = 0 o h då guren 3.2

visar att x0(t) har sitt maximum vid t = 2 fås

ω0 · 2 s + φ = 0 ⇔ φ = −2ω0 = −0,4 π rad = −72 . (3.1.17)


Å andra sidan kan vi tolka signalen x0(t) som en tidsförskjuten osinussignal

med ekvivalent fasförskjutning θ

x0(t) = cos [ω0 (t− 2)] = cos

[

ω0

(

t+φ

ω0

)]

, (3.1.18)

vilket ävenledes ger φ = −2ω0. Om vi gör en uppdelning i sinus- o h osinus-

komponenter enligt ekvation (3.1.6) med beaktande av 3.1.7 fås

a = cos (φ) = cos (−0,4π) ≈ 0,3090 , b = sin (φ) = sin (−0,4π) ≈ −0,9511 .(3.1.19)

Signalen kan således skrivas i formen

x0(t) ≈ 0,3090 cos (ω0t)− 0,9511 sin (ω0t) . (3.1.20)

Figurens 3.2 nedre diagram visar komponenterna i uppdelningen ovan. Vår

sinusformade signal kan även representeras med hjälp av komplexa exponen-

tialfunktionen (3.1.12). Då ger (3.1.13)

c =1

2[cos (φ) + j sin (φ)] ≈ 0,1545− 0,4755j . (3.1.21)

Signalen uttry kt med komplexa exponentialfunktionen (3.1.12) tar alltså for-

men

x0(t) = (0,1545− 0,4755j) ejω0t + (0,1545 + 0,4755j) e−jω0t . (3.1.22)

Kopplingen mellan representationen (3.1.22) o h (3.1.20) ges av Eulers for-

mel (3.1.8), som medför att de båda representationerna är ekvivalenta. I prak-

tiken är nästan alla typer av beräkningar enklare att utföra med användning

av komplexa exponentialfunktioner än med osinus- o h sinusfunktioner.

Komplexa exponentialfunktionen är ett viktigt verktyg för att analysera

hur linjära tidsinvarianta system förstärker o h fasförskjuter olika frekvenser

hos insignalen.

Exempel 3.1.3. En insignal x(t) = cos (ωt) till en kommunikationskanal

ger upphov till utsignalen

y(t) = H (x(t)) = x(t) + rx(x− τ) , 0 < r < 1 . (3.1.23)

Vi kan alltså konstatera att systemet (kommunikationskanalen) dels sänder

insignalen vidare (första termen i utsignalen) o h dels dämpar samt fördröjer


den (andra termen). En allmän metod för att analysera hur linjära tidsinva-

rianta system påverkar en insignal med viss frekvens bygger på idén med att

låta systemet påverka den komplexa funktionen ejω. För kommunikationska-

nalens del kan man visa, att utsignalen även kan skrivas i formen

y(t) =∣∣H(ejω)∣∣ cos

(ωt+ arg

(H(ejω)))

, (3.1.24)

där beloppet |H (ejω)| anger hur my ket frekvenskomponenten ω förstärks

(ifall beloppet är större än ett) eller dämpas (ifall beloppet är mindre än ett)

o h argumentet (vinkeln) arg (H (ejω)) anger hur my ket frekvenskomponen-

ten fasförskjuts. Funktionen H (ejω) brukar kallas systemets frekvenssvar.

3.1.1 Sinusformade signaler o h modulering

Elektromagnetisk strålning bestar av sinusformade vågor, o h signalöverfö-

ring utförs därför i praktiken genom att låta signalen modiera en sinus-

formad bärvag, som kan sändas till mottagaren. Sådan modiering kallas

modulering.

Inom analog teknik används amplitudmodulering (AM), frekvensmodule-

ring (FM) o h fasmodulering (PM), där amplituden, frekvensen respektive

fasen hos en sinusformad signal modieras.

Följande övning demonstrerar prin ipen hos amplitudmodulering av en

analog signal.

Övning 3.1.2. Bestäm vilka frekvenser som ingår i signalen

x(t) = v(t) cos (2πfct) , (3.1.25)

där fc = 200 Hz o h v(t) = 5 + 2 cos (2πf∆t), f∆ = 20 Hz. Se gur 3.3.

Övning 3.1.2 visar att då en högfrekvent sinusformad signal med frekven-

sen fc multipli eras med en lågfrekvent signal med frekvensen f∆ så har

produkten komponenter vid frekvenserna fc ± f∆. Detta utnyttjas vid amp-

litudmodulering (AM) av radiosignaler. Cosinusfunktionen i (3.1.25) kallas

bärvåg, som moduleras av den lågfrekventa signalen v(t). Den lågfrekven-

ta signalens v(t) frekvensband kallas basband. Genom moduleringen kom-

mer ett basband i intervallet −fmax ≤ f∆ ≤ fmax att nnas i intervalllet

fc−fmax ≤ fc+f∆ ≤ fc+fmax. Moduleringen möjliggör samtidig överföring

av era lågfrekventa signaler, som annars skulle interferera med varandra,

genom att låta dem modulera bärvågor av olika frekvenser.


0 0,02 0,04 0,06 0,08

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0,02 0,04 0,06 0,08

-6

-4

-2

0

2

4

6

Figur 3.3: Signalerna i övning 3.1.2. Det övre diagrammet visar signalen v(t)(övre kurvan) o h bärvågen cos (2πfct) (nedre kurvan). Det nedre diagram-

met visar signalen x(t). Den högfrekventa bärvågens amplitud beror av den

lågfrekventa signalen v(t)


× Kanal + × HLP

sb(t)

cos (2πfct)

Brus e(t)

cos (2πfct)

x(t) y(t) y(t) yb(t)

Figur 3.4: Trådlöst kommunikationssystem med amplitudmodulering.

Trådlösa kommunikationssystem

Figur 3.4 visar ett blo ks hema över ett typiskt trådlöst kommunikationssy-

stem där basbandssignalen sb(t) överförs genom modulering med en bärvåg

av frekvensen fc. Om basbandssignalen består av frekvenskomponenten fb,består den modulerade signalen

x(t) = sb(t) cos (2πfct) (3.1.26)

av frekvenserna fc ± fb (se övning 3.1.2). Den modulerade signalen påverkas

vid överföringen till sin amplitud o h fas, vilket beskrivs med systemblo ket

Kanal i guren 3.4. Därtill påverkas signalen i regel av brus orsakat av t.ex.

andra interfererande signaler o h väderleksförhållanden.

Den mottagna signalen y(t) har alltså i praktiken förändrad amplitud o h

fas, men samma frekvens, d.v.s. den utsända signalen x(t) ovan mottas som

y(t) = A cos [2π (fc − fb) t+ φ] + A cos [2π (fc + fb) t + φ] + e(t) , (3.1.27)

där e(t) bete knar brus. Fasförskjutningen φ i förhållande till den utsända sig-

nalen bör här vara känd för att man skall kunna tolka den mottagna signalen

korrekt. I praktiken kan den bestämmas genom att sända en överenskommen

testsignal med känd fasförskjutning. En annan metod är dierentiell fasmo-

dulering, där signalen kodas i fasförändringarna i stället för fasens absoluta

värde. Vid binär dierentiell PSK (= Phase-Shift Keying) kan symbolen 1

representeras av en förändring i fasen med vinkeln π, medan symbolen 0

motsvaras av en utebliven fasförändring.


Den mottagna signalen kan demoduleras tillbaka till basbandet genom

multiplikation av med bärvågssignalen cos (2πfct) enligt

y(t) = y(t) cos (2πfct) , (3.1.28)

vilken i analogi med resultatet i övning 3.1.2 har frekvenskomponenter vid

basbandsfrekvensen fb samt högfrekventa komponenter kring frekvensen 2fc.Därför bör den demoduleraden signalen före fortsatt behandling ltreras med

ett lågpasslter HLP , som spärrar dessa högfrekventa komponenter. Se gu-

ren 3.4.

Digital modulering

Digital signalöverföring utförs analogt genom modulering av amplitud, fre-

kvens eller fas hos en sinusformad signal. I motsats till analog signalöverfö-

ring, där signalen varierar kontinuerligt som funktion av tiden, är signalen vid

digital överföring diskret både till sin storlek (0 eller 1) o h tidsberoende

(0 övergår till 1 o h vi e versa).

Den vanligaste moduleringsmetoden är här fasmodulering (PSK), där fa-

sen hos en bärvåg moduleras. Vid binär PSK (BPSK) representeras tillstån-

den 0 o h 1 med signalerna

s0(t) = cos (2πfbt) , (3.1.29)

s1(t) = cos (2πfbt + π) = − cos (2πfbt) . (3.1.30)

Då kan t.ex. den den digitala signalen 0, 1 överföras genom att sända bas-

bandssignalen

sb(t) =

cos (2πfbt) , 0 ≤ t < Tb ,cos (2πfbt+ π) , Tb ≤ t < 2Tb ,

(3.1.31)

se gur 3.5. Tidsintervallet Tb bestämmer överföringshastigheten (T−1b bitar

per sekund) o h bör vara tillrä kligt långt för att mottagaren skall kunna

bestämma fasen. Det beror av bärvågens frekvens fc o h av förhållandet

mellan signal o h brus.

Vid binär fasmodulering enligt ovan används två faslägen, varvid en bit

kan sändas åt gången. Med fyra symmetriska faslägen

π4,

3π4,

5π4o h

7π4(4-PSK

eller Quadrature PSK QPSK) kan två bitar sändas i taget. De fyra faslägena

motsvarar då bitkombinationerna 00, 01, 10 o h 11. På samma sätt kan man


0

0 1

0 Tb 2Tb

Figur 3.5: Digital modulering med BPSK (Binary Phase-Shift-Keying)

med åtta möjliga faslägen sända tre bitar åt gången. Med åtta faslägen är

skillnaden mellan två närliggande faser

π4. Med 16 faslägen (motsvarande fyra

bitar) blir fasskillnaderna

π8o h det är klart att det blir svårare att bestämma

den korrekta fasen vid mottagaren då antalet faslägen ökas. Därför är åtta

faslägen det största i praktiken använda vid fasmodulering.

Överföringskapa iteten kan ökas om man förutom fasen o kså modulerar

amplituden. Då kan två symboler med närliggande, eller t.o.m. samma faser,

separeras om de skiljer sig till amplituden. Denna moduleringsmetod kallas

QAM (Quadrature Amplitude Modulation). Vanliga QAM moduleringslä-

gen är 16-QAM o h 64-QAM med 16 respektive 64 olika kombinationer av

amplitud o h fas, vilket möjliggör sändning av fyra (24 = 16) respektive

(26 = 64) sex bitar.

Modulering med enkelt sidband

En na kdel med amplitudmoduleringen ovan är att den upptar en större

bandbredd (frekvensintervall) av kommunikationskanalen än den ursprungli-

ga basbandssignalen. Om basbandssignalen har frekvenskomponenter enligt

0 ≤ fb ≤ fmaxb , så får den modulerade signalen frekvenser fc − fmax

b ≤ f ≤fc + fmax

b o h bandbredden blir 2fmaxb . Enligt övning 3.1.2 är komponenter-

na vid frekvenserna fc ± fb relaterade o h det borde därför vara möjligt att

få en modulerad signal med bandbredden fmaxb . En metod för detta kallas

modulering med enkelt sidband (SSB = Single Side Band) o h används för

eektivare utnyttjande av bandbredden bl.a. i tvåvägsradio (SSB radio).


Det nns era metoder för SSB modulering. Betrakta följande exempel,

där den symbol som signalen skall överföra representeras med fasen φb hos

en sinusvåg. Denna sinusvåg väljer vi då att modulera enligt

x(t) = cos (2πfbt + φb) cos (2πfct)− cos(

2πfbt+ φb −π

2

)

cos(

2πfct−π

2

)

= cos (2πfbt + φb) cos (2πfct)− sin (2πfbt+ φb) sin (2πfct) .(3.1.32)

Tillämpas nu de trigonometriska sambanden

cos (α) cos (β) =1

2cos (α− β) +

1

2cos (α + β) , (3.1.33)

sin (α) sin (β) =1

2cos (α− β)− 1

2cos (α + β) , (3.1.34)

fås

x(t) = cos [2π (fc + fb) t+ φb] . (3.1.35)

Vi konstaterar nu att frekvenskomponenten fc− fb försvinner o h att endast

komponenten fc + fb krävs för att överföra informationen om fasen. Den här

idén kan generaliseras till en allmän (i ke-sinusformad) basbandssignal sb(t)o h leder då till en mera kompli erad implementering, eftersom det då behövs

två versioner ( osinus o h sinus) av basbandssignalen. Detta kan ordnas med

utnyttjande av den s.k. Hilberttransformen

1

Övning 3.1.3. Visa, att Hilberttransformen av en udda funktion är jämn

1

Linjär operator som av en reellvärd funktion u (τ) produ erar en annan reellvärd

funktion u(t) = (Hu (τ)) (t) med den oegentliga integralen

u(t) = (Hu (τ)) (t) =1

π

∫∞

−∞

u (τ)

t− τdτ .

En allmän o h användbar egenskap hos denna operator är att den åstadkommer en fas-

förändring om

π

2för varje Fourierkomponent (sinus- o h osinusfunktionerna som in-

går i Fourierserien) hos en funktion. Därmed gäller det t.ex. att (H cos (2πfτ)) (t) =cos(2πft− π

2

). Man kan, något förenklat, uttry ka en allmän basbandssignal som reella

delen av den komplexa funktionen

sb(t) = Re sb(t) + jsb(t) .

Det kan då visas, att x(t) = sb(t) cos (2πfct) − sb(t) sin (2πfct), jämför med spe ialfallet

ovan.


samt att Hilberttransformen av en jämn funktion är udda, d.v.s.

u (−τ) = −u (τ) ⇒ (Hu (τ)) (−t) = (Hu (τ)) (t) , (3.1.36)

u (−τ) = u (τ) ⇒ (Hu (τ)) (−t) = − (Hu (τ)) (t) . (3.1.37)

Vid manipulationerna av den oegentliga transformintegralen får man anta,

att integralerna existerar.

Ledning: Spjälk upp transformen i två integraler på olika sidor om origo

o h gör substitutionen a = −τ .

(Hu (τ)) (t) =1

π

∫ 0

−∞

u (τ)

t− τdτ +

1

π

∫ ∞

0

u (τ)

t− τdτ

=1

π

∫ ∞

0

u (−a)

t+ ada+

1

π

∫ 0

−∞

u (−a)

t + ada .

Frekvensmodulering

En viktig moduleringsmetod för analoga signaler är frekvensmodulering (FM),

som används främst inom radiokommunikation för att överföra signaler som

beskriver tal, musik et . Frekvensmodulering innebär att en bärvåg (en ton

eller en radiovåg) återspeglar hur signalen ändras genom att bärvågens fre-

kvens ändras i takt med signalstyrkan.

Motorljudet från en båt eller ett propellerygplan kan förenklat ses som

en ton som varierar med gaspådraget. Denna ton är i prin ip en bärvåg som

frekvensmoduleras med information om gasreglagets läge. En baston betyder

litet gaspådrag o h en diskantton betyder stort pådrag. Genom att lyssna på

tonhöjden o h dess förändringar kan man även på långt avstånd förstå hur

gasreglaget hanteras.

En högtalare är en pappersstrut som vibrerar för att skapa ljudvågor.

När vi lyssnar på en FM-radiosändare, tar vi emot en radiobärvåg som styr

högtalarens rörelser genom små frekvensändringar. När bärvågens frekvens

blir högre än vanligt skjuts högtalarens pappersstrut framåt, o h när fre-

kvensen blir lägre än vanligt dras struten bakåt. På så sätt följer struten

slaviskt bärvågens frekvensändringar o h återskapar därmed den ljudsignal

som sändaren vill förmedla.


Om basbandssignalen sb(t) frekvensmoduleras med bärvågen cos (2πfct)har man den modulerade signalen

x(t) = cos

[

2π

∫ t

0

fc + f∆sb (τ) dτ

]

= cos

[

2πfct + 2πf∆

∫ t

0

sb (τ) dτ

]

,

(3.1.38)

där f∆ bete knar den maximala avvikelsen (i en riktning) från bärvågsfre-

kvensen fc.

Övning 3.1.4. Diskutera hur en FM-modulerad signal rent matematiskt

kunde demoduleras, d.v.s. hur man ur (3.1.38) kunde beräkna basbandssig-

nalen sb(t).

3.2 Periodiska kontinuerliga signaler

I detta avsnitt betraktar vi en kontinuerlig signal x(t) som är periodisk med

perioden T0, så att

x(t) = x (t+ T0) , ∀t . (3.2.1)

Då man uttry ker den periodiska funktionen x(t) med hjälp av sinus- o h

osinusfunktioner, så är de enda funktioner som kan ingå i utve klingen så-

dana som o kså är periodiska med perioden T0. En sinusfunktion sin (ωt) =sin (2πft) ( osinusfunktion cos (ωt) = cos (2πft)) med vinkelfrekvensen ω =2πf är periodisk med perioden

1f= 2π

ω. De enda trigonometriska funktio-

ner som kan ingå i en utve kling av x(t) är således av typen sin(

2πntT0

)

o h

cos(

2πntT0

)

, n = 1,2, . . .. Dessa är periodiska med perioderna

T0

n, o h därmed

även periodiska med perioden T0.

Man kan visa, att en periodisk funktion x(t) som uppfyller (3.2.1) under

milda villkor (såsom kontinuitet) kan skrivas i formen

x(t) = a0 +∞∑

n=1

an cos

(2πn

T0t

)

+∞∑

n=1

bn sin

(2πn

T0t

)

. (3.2.2)

Utve klingen (3.2.2) är en trigonometrisk serie eller Fourierserie.

Genom att införa vinkelfrekvensen

ω0 =2π

T0, (3.2.3)

3.2. PERIODISKA KONTINUERLIGA SIGNALER 45

kan (3.2.2) skrivas

x(t) = a0 +∞∑

n=1

an cos (nω0t) +∞∑

n=1

bn sin (nω0t) . (3.2.4)

Frekvensen ω0 kallas den periodiska signalens grundfrekvens (eng. fundamen-

tal frequen y) angiven i radianer per tidsenhet. Grundfrekvensen angiven i

svängningar per tidsenhet är f0 = 1T0

= ω0

2π. Om tiden anges i sekunder

har f0 enheten Hertz (Hz). Ekvation (3.2.4) visar att en periodisk signal

kan utve klas i trigonometriska sinusformade funktioner med grundfrekven-

sen ω0 (= 2πf0) o h dess heltalsmultipler nω0 (= n2πf0). Heltalsmultiplernaωn = nω0 (fn = nf0) kallas harmoniska frekvenser, o h de olika frekvens-

komponenterna i utve klingen (3.2.4) kallas signalens harmoniska kompo-

nenter.

Koe ienterna an o h bn i utve klingen (3.2.4) ges av

a0 =1

T0

∫ T0

0

x(t) dt , (3.2.5)

an =2

T0

∫ T0

0

x(t) cos (nω0t) dt , (3.2.6)

bn =2

T0

∫ T0

0

x(t) sin (nω0t) dt . (3.2.7)

Dessa formler kan visas enligt nedan. Inledningsvis skall vi do k utnyttja den

trigonometriska formeln

cos (α) cos (β) =1

2cos (α− β) +

1

2cos (α + β) , (3.2.8)

för att beräkna integralen

Imn =

∫ T0

0

cos (mω0t) cos (nω0t) dt , (3.2.9)


Imnm=n=0= T0 ,

m6=n=

1

2

∫ T0

0

cos [(m− n)ω0t] dt+1

2

∫ T0

0

cos [(m+ n)ω0t] dt

=1

2(m− n)ω0

T0/

0

sin [(m− n)ω0t] +1

2(m+ n)ω0

T0/

0

sin [(m+ n)ω0t]

=T0 sin [2π(m− n)]

4π(m− n)+

T0 sin [2π(m+ n)]

4π(m+ n)

=T0 sin [2π(m− n)]

4π(m− n)+

T0 sin [2π(m+ n)]

4π(m+ n)= 0 ,

m=n 6=0=

1

2

∫ T0

0

dt +1

2

∫ T0

0

cos [(m+ n)ω0t] dt

=T0

2+

1

2(m+ n)ω0

T0/

0

sin [(m+ n)ω0t] =T0

2.

(3.2.10)

Övning 3.2.1. Veriera integralerna

∫ T0

0

sin (mω0t) cos (nω0t) dt = 0 , ∀m,n ∈ Z+ , (3.2.11)

∫ T0

0

sin (mω0t) sin (nω0t) dt =

0 , m = n = 0 ,T0

2, m = n 6= 0 ,

0 , m 6= n .. (3.2.12)


3.2.1 Härledning av Fourierseriens koe ienter

Integration av (3.2.4) över en period T0, med antagandet att seriernas kon-

vergens tillåter att integreringen av serierna sker termvis, ger

∫ T0

0

x(t) dt =

∫ T0

0

a0 dt+

∞∑

n=1

∫ T0

0

an cos (nω0t) dt+

∞∑

n=1

∫ T0

0

bn sin (nω0t) dt .

(3.2.13)

Här har vi för integralerna

∫ T0

0

a0 dt =

T0/

0

a0 = a0T0 , (3.2.14)

∫ T0

0

an cos (nω0t) dt =

T0/

0

annω0

sin (nω0t) =annω0

sin (nω0T0)︸︷︷︸

sin (2πn)

= 0 , n > 0 ,

(3.2.15)

∫ T0

0

an sin (nω0t) dt = −T0/

0

annω0

cos (nω0t) =annω0

(1− cos (nω0T0))︸︷︷︸

1−cos (2πn)

= 0 , n > 0 ,

(3.2.16)

så att

∫ T0

0

x(t) dt =

∫ T0

0

a0 dt = a0T0 , (3.2.17)

varur uttry ket för a0 följer.

Koe ienterna am, m = 1,2, . . ., fås genom att multipli era (3.2.4) med

cos (mω0t) o h integrera över en period T0, vi antar att seriernas konvergens


tillåter termvis integrering,

∫ T0

0

x(t) cos (mω0t) dt = a0

=0︷︸︸︷∫ T0

0

cos (mω0t) dt+∞∑

n=1

an

∫ T0

0

cos (mω0t) cos (nω0t) dt

+

∞∑

n=1

bn

∫ T0

0

cos (mω0t) sin (nω0t) dt

= am

=T02

︷︸︸︷∫ T0

0

cos2 (mω0t) dt+bm

=0︷︸︸︷∫ T0

0

cos (mω0t) sin (mω0t) dt

+

∞∑

m6=n=1

an

=0︷︸︸︷∫ T0

0

cos (mω0t) cos (nω0t) dt

+∞∑

m6=n=1

bn

=0︷︸︸︷∫ T0

0

cos (mω0t) sin (nω0t) dt =amT0

2⇒

am =2

T0

∫ T0

0

x(t) cos (mω0t) dt

(3.2.18)

Övning 3.2.2. multipli era (3.2.4) med sin (mω0t) o h integrera över en

period T0 så att koe ienterna (3.2.7) fås.

3.2.2 Fourierserien med komplexa exponentialfunktio-

ner

Från avsnitt 3.1 har vi att termerna för olika n i utve klingen (3.2.4) kan

uttry kas med hjälp av den komplexa exponentialfunktionen. Genom att in-

trodu era sambanden (3.1.9), (3.1.10) i serien (3.2.4) fås

x(t) =

∞∑

n=−∞cne

jnω0t , (3.2.19)


där koe ienterna ges av sambandet (3.1.14),

cn =1

2(an − jbn) , n = 1, 2, . . . (3.2.20)

c−n =1

2(an + jbn) , n = 1, 2, . . . (3.2.21)

c0 = a0 . (3.2.22)

Koe ienterna cn i utve klingen (3.2.19) kan även enkelt bestämmas direkt

enligt följande. Multiplikation av (3.2.19) med e−jmω0to h integration över

en period ger, med antagande om att seriens konvergens tillåter termvis in-

tegrering,

∫ T0

0

x(t)e−jmω0t dt =∞∑

m6=n=−∞

∫ T0

0

cnej(n−m)ω0t dt +

∫ T0

0

cmej(m−m)ω0t dt

=∞∑

m6=n=−∞

cnj(n−m)ω0

T0/

0

ej(n−m)ω0t + cm

T0/

0

=

∞∑

m6=n=−∞

cnj(n−m)ω0

(

e2πj(n−m)︸︷︷︸

=1

−1

)

+ cmT0 = cmT0 ⇒

(3.2.23)

cm =1

T0

∫ T0

0

x(t)e−jmω0t dt

=1

T0

∫ T0

0

x(t) [cos (mω0t) + j sin (mω0t)] dt

=

12

2T0

∫ T0

0x(t) cos (|m|ω0t) dt− 1

2j 2T0

∫ T0

0x(t) sin (|m|ω0t) dt , m < 0 ,

1T0

∫ T0

0x(t) dt , m = 0 ,

12

2T0

∫ T0

0x(t) cos (mω0t) dt+

12j 2T0

∫ T0

0x(t) sin (mω0t) dt , m > 0 .

(3.2.24)

Den sista likheten i (3.2.24) ger sambanden (3.2.20), (3.2.21) o h (3.2.22). Vi

har således resultatet


Denition 3.2.1. Fourierserien av kontinuerlig periodisk funktion.

En periodisk funktion x(t) med perioden T0 kan uttry kas med hjälp av

serieutve klingen

x(t) =

∞∑

n=−∞cne

jnω0t , (3.2.25)

där

cn =1

T0

∫ T0

0

x(t)e−jnω0t dt , n = 0,±1,±2, . . . (3.2.26)

o h ω0 =2πT0.

Utve klingen (3.2.25) kallas liksom den i (3.2.2) Fourierserie.

Anmärkning 3.2.1. Observera att koe ienterna cn i serieutve klingen (3.2.25)i allmänhet är komplexvärda, eftersom exponentialfunktionen e−jnω0t

i inte-

gralen (3.2.26) är komplexvärd. Sambandet (3.2.20)(3.2.22) mellan cn o h

koe ienterna i utve klingen (3.2.4) visar att koe ienterna cn är reella en-

dast om koe ienterna bn försvinner. Så är fallet för en jämn signal, för vilken

x(−t) = x(t), jämför (3.2.4).

Sambandet (3.2.20)(3.2.22) visar o kså att koe ienterna cn för positivao h negativa n är beroende av varandra; c−n är komplexa konjugatet av cn.Jämför diskussionen i avsnitt 3.1.

Anmärkning 3.2.2. Integralen i uttry ket (3.2.26) för cn kan ersättas med

en integral över ett godty kligt intervall av periodens längd T0. Eftersom

x(t)e−jnω0tär periodisk med perioden T0, följer att integralen från 0 till T0

är lika med integralen från τ till T0 + τ , varur följer

∫ T0

0

x(t)e−jnω0t dt =

∫ T0+τ

τ

x(t)e−jnω0t dt , ∀τ . (3.2.27)

En i litteraturen ofta använd alternativ formel för koe ienterna i Fourier-

serien är

cn =1

T0

∫ T02

−T02

x(t)e−jnω0t dt , n = 0,±1,±2, . . . (3.2.28)

I denna formel sker integrationen symmetriskt runt t = 0, vilket visar sigspe iellt bekvämt i vissa tillämpningar.


0

1

0−T0

4

T0

4

x(t)

-5 0 5

-0,2

0

n

cn1

2

1

π

− 1

3π

1

5π

Figur 3.6: Till vänster fyrkantsvågen x(t) i exempel 3.2.1 samt dess Fourier-

seriekoe ienter cn (till höger).

Exempel 3.2.1. Som exempel på Fourierserier betraktar vi en periodisk fyr-

kantsvåg med perioden T0 som i intervallet −T0

2≤ t < T0

2denieras av

x(t) =

0 , −T0

2≤ t < −T0

4,

1 , −T0

4≤ t < T0

4,

0 , T0

4≤ t < T0

2.

(3.2.29)

Se gur 3.6. Observera att funktionen är jämn, varför Fourierseriekoe ienter-

na är reella. Koe ienterna beräknas bekvämast ur ekvation (3.2.28). För


n 6= 0 får vi med beaktande av att ω0 =2πT0,

cn =1

T0

∫ T02

−T02

x(t)e−jnω0t dt =1

T0

∫ T04

−T04

1 · e−jnω0t dt

=1

T0

T04/

−T04

e−jnω0t

−jnω0

=1

−jnω0T0

[

e−jnω0T04 − ejnω0

T04

]

=j

2πn

[e−jnπ

2 − ejnπ2

]= − j

2πn2j sin

(

nπ

2

)

=sin(nπ

2

)

nπ,

(3.2.30)

o h för n = 0 fås

c0 =1

T0

∫ T02

−T02

x(t) dt =1

T0

∫ T04

−T04

1 dt =1

2. (3.2.31)

Då sin(nπ

2

)är noll för jämna n, o h lika med +1 för n = . . . , − 3,1,5, . . .

o h −1 för n = . . . ,− 1,3,7, . . . fås

cn = 0 , n = ±2,±4, . . . (3.2.32)

o h

c1 = c−1 =1

π, c3 = c−3 = − 1

3π, c5 = c−5 =

1

5π, · · · ,

c2m+1 = c−(2m+1) =(−1)m

π(2m+ 1).

(3.2.33)

Genom att utnyttja det faktum att c−n = cn o h att endast koeenterna för

udda n av typen n = 2m + 1 är olika noll, kan Fourierserieutve klingen för


fyrkantsvågen skrivas i formen

x(t) =

∞∑

n=−∞cne

jnω0t = c0 +

∞∑

n=1

cnejnω0t + c−ne

−jnω0t

= c0 +

∞∑

n=1

cn(ejnω0t + e−jnω0t

)= c0 +

∞∑

n=1

cn2 cos (nω0t)

= c0 +∞∑

m=0

c2m+12 cos [(2m+ 1)ω0t] =1

2+

2

π

∞∑

m=0

(−1)m

2m+ 1cos ((2m+ 1)ω0t) .

(3.2.34)

Inverkan av antalet termer som beaktas i serien (3.2.34) på summafunktionen

kan undersökas genom att beräkna den trunkerade serien

xN (t) =N∑

n=−N

cnejnω0t =

1

2+

2

π

M∑

m=0

(−1)m

2m+ 1cos ((2m+ 1)ω0t) , (3.2.35)

för olika N = 2M + 1. Jämför gur 3.7.

Anmärkning 3.2.3. Fyrkantsvågen i exempel 3.2.1 är diskontinuerlig vid ti-

derna ±T0

4, medan den trunkerade Fourierserieutve klingen i (3.2.35) är kon-

tinuerlig. Det visar sig att Fourierserien beter sig på ett spe iellt sätt vid dis-

kontinuitetspunkter, så att då allt er termer tas med i summan, så skjuter

Fouriersumman över respektive under funktionens värde just vid diskontinui-

ten (jämför gur (3.7)). överskjutningen blir begränsad till ett allt smalare

intervall då antalet termer N i summan (3.2.35) ökas, men den försvinner

ej. Överskjutningens storlek är i gränsfallet N → ∞ a 8,95 pro ent av dis-

kontinuitetens storlek. Detta fenomen kallas Gibbs fenomen (efter J. Willard

Gibbs, amerikansk fysiker 18391903).

Anmärkning 3.2.4. Storleken av Fourierkoe ienterna hos fyrkantsvågen är

(för udda n) proportionell mot

1n, o h avtar således relativt långsamt med

ökande n. Exempelvis |c101| är endast a 2 % mindre än |c99|. Då |cn| angerinnehållet av frekvenskomponenten nω0 = n2πf0, innebär detta att signa-

lens frekvensinnehåll är fördelad över ett stort frekvensområde. Generellt har

signaler som innehåller plötsliga variationer ett spektrum som minskar i pro-

portion mot frekvensens invers

1f. Den utbredda formen hos spektret gör att

diskontinuiteter i audiosignaler är störande o h uppfattas som ett knäppande

ljud.


Figur 3.7: Trunkerade Fourierserier xN (t) av fyrkantsvågen (3.2.29) för N =1, 3, 7, 19, 39 o h 79.

Fourierseriekoe ienterna cn i exempel 3.2.1 var reella, eftersom funktio-

nen var jämn. Om funktionen förskjuts i tiden så, att den nya funktionen

ej längre är jämn, förväntar man sig att koe ienterna blir komplexvär-

da. Inverkan av en tidsförskjutning på Fourierseriekoe ienterna kan enkelt

härledas från denitionen (3.2.26). Deniera den tidsförskjutna funktionen


xτ (t) = x (t− τ). För xτ fås då Fourierseriekoe ienterna

cn(τ) =1

T0

∫ T0

0

xτ (t)e−jnω0t dt

=1

T0

∫ T0

0

x (t− τ) e−jnω0t dt , r = t− τ

=1

T0

∫ T0−τ

−τ

x (r) e−jnω0(r+τ) dr

=e−jnω0τ

T0

∫ T0−τ

−τ

x (r) e−jnω0r dr , se anmärkning 3.2.2 ,

=e−jnω0τ

T0

∫ T0

0

x (r) e−jnω0r dr = cne−jnω0τ ,

(3.2.36)

vilket således denierar sambandet mellan Fourierseriekoe ienterna cn hos

funktionen x(t) o h koe ienterna cn(τ) hos den tidsförskjutna funktionen

x(t− τ).

Övning 3.2.3. Bestäm Fourierseriekoe ienterna hos en fyrkantsvåg med

perioden T0 som i intervallet 0 ≤ t < T0 denieras av

x1(t) =

1 , 0 ≤ t < T0

2,

0 , T0

2≤ t < T0 .

(3.2.37)

3.2.3 Energin hos periodiska signaler.

De i avsnitt 2.2 introdu erade Lp-normerna är för p < ∞ ej denierade för

periodiska signaler, eftersom de i normerna ingående integralerna är oändliga

för en periodisk signal. Normerna kan emellertid på ett naturligt generaliseras

för periodiska signaler genom att begränsa integralerna till en period.

Energin hos en periodisk signal x(t) denieras som det genomsnittliga

värdet av signalens kvadrat under en period,

P (x) =1

T0

∫ T0

0

|x(t)|2 dt . (3.2.38)

Det nns ett bekvämt samband mellan koe ienterna cn i Fourierserie-

utve klingen o h energin hos en periodisk signal. Låt x∗bete kna komplexa


konjugatet av x. Vi får, med antagande av att seriens konvergens tillåter

termvis integrering,

P (x) =1

T0

∫ T0

0

|x(t)|2 dt

=1

T0

∫ T0

0

x(t)x∗(t) dt

=1

T0

∫ T0

0

x(t)

[ ∞∑

n=−∞cne

jnω0t

]∗

dt

=1

T0

∫ T0

0

x(t)

[ ∞∑

n=−∞c∗ne

−jnω0t

]

dt

=

∞∑

n=−∞c∗n

[1

T0

∫ T0

0

x(t)e−jnω0t dt

]

=

∞∑

n=−∞c∗ncn =

∞∑

n=−∞|cn|2 .

(3.2.39)

Vi har alltså sambandet

P (x) =1

T0

∫ T0

0

|x(t)|2 dt =∞∑

n=−∞|cn|2 , (3.2.40)

för energin hos en periodisk signal. Detta samband mellan en signals energi i

tidsplanet o h frekvensplanet kallas Parsevals formel (Mar Antoine Parseval

des Chenes, fransk matematiker (17551836)). Motsvarande relation existerar

o kså för i ke-periodiska signaler samt i det diskreta fallet (jämför nedan).

En viktig tillämpning av Parsevals formel är uppskattningen av felet

som görs då Fourierserien (den oändliga summan i Fourierserieutve klingen)

(3.2.25) trunkeras. Betrakta den trunkerade serien (summan)

xN (t) =

N∑

n=−N

cnejnω0t . (3.2.41)

Vi har

x(t)− xN (t) =∑

|n|>N

cnejnω0t

(3.2.42)

3.3. ICKE-PERIODISKA KONTINUERLIGA SIGNALER 57

o h enligt Parsevals formel gäller

1

T0

∫ T0

0

|x(t)− xN(t)|2 dt =∑

|n|>N

|cn|2 . (3.2.43)

Felets kvadratintegral över en period ges alltså direkt som summan av kvadra-

terna på de Fourierseriekoe ienter som försummats.

Exempel 3.2.2. Vi skall illustrera Parsevals formel för fyrkantsvågen i ex-

empel 3.2.1. Den genomsnittliga energin hos funktionen (3.2.29) över en pe-

riod är

P (x) =1

T0

∫ T02

−T02

|x(t)|2 dt =1

T0

∫ T04

−T04

1 dt =1

T0

T0

2=

1

2, (3.2.44)

å andra sidan har vi

∞∑

n=−∞|cn|2 = c20 + 2

(c21 + c23 + c25 + · · ·

)

=1

4+

2

π2

(

1 +1

32+

1

52+ · · ·

) (3.2.45)

Här kan summan evalueras exakt, o h i tabeller hittar man formeln

1 +1

32+

1

52+ · · · = π2

8. (3.2.46)

Vi får således

∞∑

n=−∞|cn|2 =

1

4+

2

π2

π2

8=

1

2= P (x) , (3.2.47)

vilket bekräftar att Parsevals formel gäller för fyrkantsvågen.

3.3 I ke-periodiska kontinuerliga signaler

I detta avsnitt går vi över till att behandla det mera generella fallet med i ke-

periodiska signaler. Vi betraktar en signal x(t), −∞ < t < ∞. Observera att

det inte innebär någon begränsning att anta att signalen är denierad för

alla tider t, eftersom en signal denerad i ett ändligt intervall t1 ≤ t ≤ t2


alltid kan utökas till att gälla för alla t genom att låta x(t) = 0 utanför det

aktuella intervallet.

I avsnitt 3.2 såg vi att frekvensutve klingen av en periodisk signal ger upp-

hov till ett diskret spektrum, bestående av heltalsmultiplerna av grundfre-

kvensen ω0. För i ke-periodiska signaler är de ingående frekvenserna däremot

inte begränsade på motsvarande sätt, utan alla frekvenser, −∞ < ω < ∞,

kan ingå. Detta innebär att serieutve klingen (3.2.2) ersätts av en integral.

Vi skall börja med att presentera huvudresultatet för i ke-periodiska signaler.

Denition 3.3.1. Fouriertransformen av kontinuerlig i ke-periodisk funk-

tion.

En funktion x(t) kan (under milda villkor) uttry kas i formen

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞X(ω)ejωt dω , (3.3.1)

där

X(ω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωt dt . (3.3.2)

Utve klingen (3.3.1) uttry ker funktionen x(t) med hjälp av ett kontinu-

erligt spektrum (intervall) av frekvenser ω, där funktionen X(ω) anger hurde olika frekvenserna viktas i utve klingen. Frekvensfunktionen X(ω) kallasFouriertransformen av funktionen x(t), o h denieras av ekvation (3.3.2),

som är en direkt generalisering av (3.2.26) till fallet med ett kontinuerligt

spektrum. Ibland ser man följande spe iella bete kningssätt för transformer-

na (3.3.1) o h (3.3.2), där Fouriertransformen bete knas enligt (3.3.2) med

F o h den inversa transformen enligt (3.3.1) med F−1:

X = Fx , x = F−1X . (3.3.3)

För att ge en kvalitativ förståelse hur Fouriertransformen uppstår skall vi

betrakta sambanden (3.3.1), (3.3.2) som ett gränsfall av Fourierserieutve k-

lingen enligt (3.2.25), (3.2.26).

Proposition 3.3.1. Fouriertransformen som ett gränsfall av Fourierserien.

En i ke-periodisk signal kan formellt betraktas som ett gränsfall av en

periodisk signal då perioden T0 → ∞. Betrakta Fourierserien enligt (3.2.25),

x(t) =

∞∑

n=−∞cne

jnω0t ,


där (jämför (3.2.28))

cn =1

T0

∫ T02

−T02

x(τ)e−jnω0τ dτ .

Här har integrationsvariablen τ använts i stället för t för att inte förväxla

med tidsvariabeln t i x(t). Insättning av cn i uttry ket för x(t) ger

x(t) =∞∑

n=−∞ejnω0t

1

T0

∫ T02

−T02

x(τ)e−jnω0τ dτ

=∞∑

n=−∞ejnω0t

ω0

2π

∫ T02

−T02

x(τ)e−jnω0τ dτ ,

(3.3.4)

där vi infört ω0 = 2πT0. Vi ser att då T0 = 2π

ω0→ ∞, gäller ω0 → 0, o h fre-

kvenserna nω0 som ingår i Fourierserieutve klingen av x(t) kommer att ligga

allt tätare. För att undersöka gränsfallet T0 → ∞ inför vi först bete kningen

∆ω = ω0. Då tar x(t) formen

x(t) =1

2π

∞∑

n=−∞ejn∆ωt∆ω

∫ T02

−T02

x(τ)e−jn∆ωτ dτ . (3.3.5)

Summan ovan kan tolkas som en Riemannsumma (se kursen 271009.0 In-

genjörsmatematik I), som i gränsen ∆ω → 0 denierar en integral. Generellt

gäller

∞∑

n=−∞f (n∆ω)∆ω →

∫ ∞

−∞f (ω) dω . då ∆ω → 0 (3.3.6)

Låt nu perioden bli oändligt lång, så att T0 = 2πω0

→ ∞ o h ω0 = ∆ω → 0.Summan i uttry ket för x(t) övergår då i analogi med ovan till en integral,

x(t) → 1

2π

∫ ∞

−∞ejωt

[∫ ∞

−∞x(τ)e−jωτ dτ

]

dω =1

2π

∫ ∞

−∞ejωtX(ω) dt ,

(3.3.7)

vilket är (3.3.1) där X(ω) ges av (3.3.2).

Anmärkning 3.3.1. Observera att formlerna för x(t) (3.3.1) o h dess trans-

form X(ω) (3.3.2) är symmetriska så när som på te knet hos exponenten o h


faktorn

12π. Pla eringen av denna faktor varierar. Konventionen som använts

i ekvationerna (3.3.1) o h (3.3.2) är den vanligaste, men i litteraturen före-

kommer o kså andra varianter. Genom att deniera X2 (ω) = X(ω)2π

kan vi

skriva

x(t) =

∫ ∞

−∞X2 (ω) e

jωt dω , (3.3.8)

X2 (ω) =1

2π

∫ ∞

−∞x(t)e−jωt dt , (3.3.9)

o h med denitionen X3 (ω) =X(ω)√

2πfås

x(t) =1√2π

∫ ∞

−∞X3 (ω) e

jωt dω , (3.3.10)

X3 (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞x(t)e−jωt dt . (3.3.11)

Då alla varianterna förekommer i litteraturen, är det viktigt kontrollera vilken

version som används i olika sammanhang.

Anmärkning 3.3.2. Ibland är det bekvämare att ange Fouriertransformen som

en funktion av frekvensen f = ω2π

i stället för vinkelfrekvensen ω. Transform-

paret (3.3.1), (3.3.2) blir då med beaktande av att ω = 2πf o h dω = 2πdf ,

x(t) =

∫ ∞

−∞Xf(f)e

j2πft df , (3.3.12)

Xf (f) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πft dt , (3.3.13)

där vi infört Xf(f) = X (2πf). Denna karakterisering har den fördelen att

faktorn

12π

ej förekommer framför integralerna. I stället nns faktorn 2π i de

komplexa exponenterna.

Exempel 3.3.2. Som exempel på Fouriertransformen betraktar vi en rek-

tangulär puls denierad enligt

x(t) =

1 , |t| ≤ T ,0 , |t| > T .

(3.3.14)

Funktionen är jämn, varför dess Fouriertransform är reell. Enligt denitio-


0

1

0−T T

x(t)

ω

X(ω)

2T

0

− 3π

T− 2π

T− π

T 0 3π

T

2π

T

π

T

Figur 3.8: Till vänster pulsen x(t) i exempel 3.3.2 samt dess Fouriertransform

X (ω) (till höger).

nen (3.3.2) har vi

X(ω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωt dt =

∫ T

−T

e−jωt dt

= − 1

jω

T/

−T

e−jωt =1

jω

(ejωT − e−jωT

)

=2j sin (ωT )

jω= 2T

sin (ωT )

ωT.

(3.3.15)

Funktionen (3.3.14) samt dess Fouriertransform (3.3.15) illustreras i gur 3.8.

Övning 3.3.1. Hur påverkar pulsens bredd T spektret i exempel 3.3.2?

Pulsen i exempel 3.3.2 har liksom den tidigare betraktade fyrkantsvågen i

exempel 3.2.1 diskontinuiteter. Spektret i (3.3.15) avtar således o kså i detta

fall proportionellt mot frekvensens invers, o h kommentarerna i anmärkning

3.2.4 gäller o kså för detta fall.


Exempel 3.3.3. Vi generaliserar nu amplitudmoduleringen i övning 3.1.2

till ett mer allmänt fall. Antag, att vi har en lågfrekvent signal v(t) med

Fouriertransformen V (ω), varvid signalen ges av

v(t) =1

2π

∫ ∞

−∞V (ω) ejωt dω .

Liksom i övning 3.1.2 använder vi en sinusformad bärvåg med frekvensen

ωc = 2πfc:

b(t) = cos (ωct) =1

2

(ejωct + e−jωct

).

Modulering av bärvågen b(t) med signalen v(t) ger då

x(t) = v(t)b(t) =1

2π

∫ ∞

−∞V (ω) ejωt dω

1

2

(ejωct + e−jωct

)

=1

2π

∫ ∞

−∞V (ω)

1

2

(ej(ω+ωc)t + ej(ω−ωc)t

)dω .

Vi granskar nu separat de bägge integralerna ovan, i den första kan vi göra

substitutionen ω+ = ω + ωc

∫ ∞

−∞V (ω)

1

2ej(ω+ωc)t dω =

∫ ∞

−∞

1

2V (ω+ − ωc) e

jω+t dω+

=

∫ ∞

−∞

1

2V (ω − ωc) e

jωt dω ,

o h i den andra kan vi substituera ω− = ω − ωc

∫ ∞

−∞V (ω)

1

2ej(ω−ωc)t dω =

∫ ∞

−∞

1

2V (ω− + ωc) e

jω−t dω−

=

∫ ∞

−∞

1

2V (ω + ωc) e

jωt dω .

Vi har således resultatet för den modulerade signalens del

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

1

2[V (ω − ωc) + V (ω + ωc)]

︸︷︷︸

X(ω)

ejωt dω .

Spektret hos den modulerade signalen x(t) ges m.a.o. av

X (ω) =1

2[V (ω − ωc) + V (ω + ωc)] .


Således, om spektret V (ω) hos den lågfrekventa signalen v(t) är kon entrerattill området |ω| < ωmax följer att spektret X (ω) hos den modulerade signa-

len x(t) är kon entrerat till områdena |ω ± ωc| < ωmax. Dessa områden är

entrerade kring frekvenserna ±ωc.

3.3.1 Parsevals formel.

Parsevals relation gäller o kså för i ke-periodiska signaler. I detta fall kan

sambandet mellan tids- o h frekvensuttry ken för energin, eller L2-normens

kvadrat (avsnitt 2.2) skrivas

‖x‖22 =∫ ∞

−∞|x(t)|2 dt =

1

2π

∫ ∞

−∞|X (ω) |2 dω . (3.3.16)

Sambandet kan visas helt i analogi med det periodiska fallet (jämför med

ekvation (3.2.39)) o h beviset bortlämnas därför.

Relationen (3.3.16) säger att energin hos en signal kan beräknas på två

sätt:

Genom att beräkna energin per tidsenhet, |x(t)|2, d.v.s. eekten, o hintegrera över tiden, eller

genom att beräkna energin per frekvensenhet,

12π|X (ω) |2, o h integrera

över alla frekvenser.

Liksom storheten

∫ t2

t1

|x(t)|2 dt (3.3.17)

anger energi-innehållet i signalen över tidsintervallet [t1, t2], så anger stor-

heten

1

2π

∫ ω2

ω1

|X (ω) |2 dω (3.3.18)

energi-innehållet i signalen över frekvensintervallet [ω1, ω2]. Det här är förkla-ringen till att storheten |X (ω) |2 brukar kallas signalens eekttäthetsspektrum(eng. power spe tral density).


3.3.2 Samband med Lapla etransformen.

Fouriertransformen av en kontinuerlig signal är nära relaterad till dess Lapla-

etransform. Lapla etransformen av en funktion x(t) som försvinner för ne-

gativa tider, x(t) = 0, t < 0, denieras enligt

X(s) =

∫ ∞

0

x(t)e−st dt . (3.3.19)

En jämförelse med Fouriertransformen visar att

X (ω) = X (jω) . (3.3.20)

Detta är orsaken till varför man kan undersöka frekvensegenskaperna hos

ett linjärt system med överföringsoperatorn G(s) genom att studera G(s)evaluerad på imaginära axeln, G (jω) (se kurserna i reglerteknik). Vi skall

inte utve kla denna metodik vidare här. I stället kommer frekvensegenskaper-

na hos linjära diskreta system, som är viktiga i digital signalbehandling, att

studeras närmare i senare kapitel.

Ur sambandet (3.3.20) följer att Fouriertransformen satiserar samma

räkneregler som Lapla etransformen, o h att tabellerade Lapla etransformer

kan utnyttjas för att bestämma Fouriertransformerna för ett antal vanliga

funktioner.

En viktig skillnad mellan Fourier- o h Lapla etransformerna är, att den

senare är denierad även för funktioner för vilka integralen i (3.3.2) diver-

gerar. Genom att välja s = σ + jω med σ > 0, kan integralen i (3.3.19)

göras ändlig o kså för sådana fall då integralen i Fouriertransformen (3.3.2)

divergerar. I sådana fall kan Fouriertransformen formellt

2

deneras enligt

X (ω) = limσ→0

X (σ + jω) , σ > 0 . (3.3.21)

Exempel 3.3.4. Betrakta funktionen

x(t) =

sin (ω0t) , t ≥ 0 ,0 , t < 0 .

(3.3.22)

Funktionens Fouriertransform enligt (3.3.2) är strängt taget ej denierad,

eftersom integranden sin (ω0t)e−jωt

ej avtar med t, o h det är ej klart hur

2

Med en formell denition av det här slaget brukar avses att man ger en utsaga, som

man på förhand antar vara väldenierad o h inte bekymrar sig om t.ex. gränsvärden eller

oegentliga integraler existerar.


integralen av en sådan funktion skall denieras över ett oändligt intervall.

Integralens värde för en periodisk funktion beror t.ex. på om man integrerar

över en heltalsmultipel av perioden, eller över en heltalsmultipel o h ytterli-

gare en bråkdel av en period.

Däremot är funktionens Lapla etransform väldenierad o h ges av

X(s) =ω0

s2 + ω20

. (3.3.23)

Fouriertransformen kan då denieras enligt (3.3.21) o h är

X (ω) =ω0

−ω2 + ω20

. (3.3.24)

Spektret är således inte helt oväntat kon entrerat till frekvenserna ω = ±ω0,

där dess värde är oändligt, men därutöver innehåller signalen andra frekven-

ser.

Observera o kså att signalen (3.3.22) har oändlig energi enligt denitio-

nen (3.3.16). Detta hänger ihop med de spe iella egenskaperna hos signalens

spektrum.

3.3.3 Frekvensinnehållet hos olika signaler.

Signalbehandling tillämpas i praktiken för en mängd olika typer av signaler,

såsom akustiska, elektromagnetiska, biologiska o h seismiska signaler. Tabell

3.1 visar frekvensområdena hos några vanliga signaltyper.


Signaltyp Frekvensområde (Hz)

Elektro- Radiosignaler 3× 1043× 106

magnetiska Kortvåg 3× 1063× 1010

signaler Radar 3× 1083× 1010

Infrarött 3× 10113× 1014

Synligt ljus 3,7× 10147,7× 1014

Ultraviolett 3× 10153× 1016

Röntgenstrålning 3× 10173× 1018

Seismiska Vind 1001000

signaler Jordskalv 0,0110

Biologiska ECG 0100

signaler EEG 0100

Tal 1004000

Tabell 3.1: Frekvensområden hos några vanliga signaltyper.

Kapitel 4

Fouriertransformen av diskreta

signaler

I detta kapitel beskrivs Fouriertransformer av diskreta signaler. I analogi med

det kontinuerliga fallet har periodiska diskreta signaler ett diskret spektrum,

medan i ke-periodiska diskreta signaler har ett kontinuerligt spektrum.

Betrakta en diskret signal

x(n) = . . . , x(−2), x(−1), x(0), x(1), x(2), . . . . (4.0.1)

I analogi med det kontinuerliga fallet kan en diskret signal uttry kas med

hjälp av periodiska sinus- o h osinusfunktioner. Då sinusfunktionen sin(ωt)samplas vid tidpunkterna n = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ., fås den diskreta

signalen sin (nω). I den diskreta versionen av Fourierserier o h Fourier-

transformer uttry ks sekvensen x(n) med hjälp av sekvenserna sin (nω)o h cos (nω).

Det faktum att signalen är diskret har en viktig konsekvens för vilka

frekvenser som kan ingå i frekvensrepresentationen. Vi har nämligen

sin (nω) = sin [nω + 2πnl] = sin [n (ω + 2πl)] , ∀l ∈ Z . (4.0.2)

Sekvenserna sin (nω) o h sin [n (ω + 2πl)] är således ekvivalenta, o h fre-kvenserna ω o h ω+2πl kan ej skiljas åt i en diskret signal. En frekvensupp-

delning av diskreta signaler består därför endast av frekvenser i ett intervall

av bredden 2π, i praktiken antingen 0 ≤ ω < 2π eller −π < ω ≤ π.Frekvensbeskrivningen av diskreta signaler kan göras på motsvarande sätt

som i det kontinuerliga fallet. I analogi med det kontinuerliga fallet betraktar

vi först periodiska signaler.

67

68 KAPITEL 4. FOURIERTRANSFORMEN AV DISKRETA SIGNALER

4.1 Periodiska diskreta signaler

Antag att signalen x(n) är periodisk med perioden N , så att

x(n) = x(n+N) , ∀n . (4.1.1)

Vi observerar att den sinusformade diskreta signalen

sin(2πNn)

är periodisk

med perioden N . I analogi med det kontinuerliga fallet kan i utve klingen av

den periodiska sekvensen x(n) i (4.0.1), (4.1.1) endast ingå heltalsmultiplerav grundfrekvensen ω0 =

2πN. Dessutom gäller (4.0.2), så att

sin (nω0) = sin [n (ω0 + 2πl)] = sin

[

n2π

N(1 +Nl)

]

, ∀l . (4.1.2)

Följaktligen består Fourierserieutve klingen av x(n) endast av frekvenser-

na 0, 2πN, 2π 2

N, . . . , 2πN−1

N, ty högre multipler av grundfrekvensen ger redun-

danta frekvenskomponenter . Fourierserieutve klingen av x(n) blir således

x(n) = a0 +N−1∑

k=1

ak cos

(

k2π

Nn

)

+N−1∑

k=1

bk sin

(

k2π

Nn

)

. (4.1.3)

I analogi med det kontinuerliga fallet brukar serien vanligen uttry kas med

hjälp av exponentialfunktionen,

x(n) =

N−1∑

k=−N+1

ckejk 2π

Nn , (4.1.4)

där vi i enlighet med tidigare har c0 = a0, c±k = 12(ak ∓ jbk). Det nns

emellertid en viktig skillnad mellan Fourierserieutve klingarna av kontinuer-

liga o h diskreta signaler, som gör det möjligt att redu era antalet termer i

utve klingen (4.1.4). Från den komplexa exponentialfunktionens periodi itet

följer nämligen att termerna med negativa exponenter i (4.1.4) är ekvivalenta

med termer med positiva exponenter, ty

ej(−m) 2πN

n = ej(2π−m 2πN )n = ej(1−

mN )2πn = ej2πn

N−mN = ej(N−m) 2π

Nn . (4.1.5)

Termerna motsvarande k = −m o h k = N − m är således i själva verket

ekvivalenta. Det följer att utve klingen (4.1.4) kan redu eras till en summa

från k = 0 till k = N − 1 bestående av termer med enbart i ke-negativa

exponenter.

Vi sammanfattar Fourierserieutve klingen av en periodisk sekvens enligt

nedan.

4.1. PERIODISKA DISKRETA SIGNALER 69

Denition 4.1.1. Fourierserien av en diskret periodisk signal.

En periodisk sekvens x(n) med perioden N (x(n + N) = x(n)) kan

uttry kas med hjälp av serieutve klingen

x(n) =

N−1∑

k=0

dkejk 2π

Nn , (4.1.6)

där

dk =1

N

N−1∑

n=0

x(n)e−jk 2πN

n . (4.1.7)

Uttry ket (4.1.7) för dk kan härledas genom att multipli era (4.1.6) med

e−jm 2πN

no h summera över n:

1

N

N−1∑

n=0

x(n)e−jm 2πN

n =1

N

N−1∑

n=0

[N−1∑

k=0

dkejk 2π

Nn

]

e−jm 2πN

n

=1

N

N−1∑

k=0

(

dk

N−1∑

n=0

ej(k−m) 2πN

n

)

.

(4.1.8)

För att evaluera summan

N−1∑

n=0

ej(k−m) 2πN

n ,

denierar vi q = ej(k−m) 2πN, så att ej(k−m) 2π

Nn =

[

ej(k−m) 2πN

]n

= qn o h vi kan

då tillämpa formeln för en geometrisk summa,

N−1∑

n=0

qn =

N , q = 1 ,1−qN

1−q, q 6= 1 .

(4.1.9)

Nu gäller q = 1 om k − m är en heltalsmultipel av N . I annat fall har vi

qN = ej2π(k−m) = 1. Vi har således för (4.1.9) resultatet

N−1∑

n=0

ej(k−m) 2πN

n =

N , k −m = 0,±1,±2, . . .0 , annars.

(4.1.10)

Den senare summan i (4.1.8) är således olikt noll endast om k = m,m ±N,m±2N, . . ., men av dessa fall är det endast det första som kommer ifråga


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

· · · · · ·

x(n)

n

Figur 4.1: Signalen i exempel 4.1.1.

eftersom den första summman i (4.1.8) går över indexen k = 0, . . . , N − 1.Fallen k = m±N,m± 2N, . . . faller alltså utanför summeringen, vilket ledet

till att (4.1.8) tar formen

1

N

N−1∑

n=0

x(n)e−jm 2πN

n =1

N

N−1∑

m6=k=0

dk

N−1∑

n=0

ej(k−m) 2πN

n

︸︷︷︸

=0

+1

Ndm

dk

N−1∑

n=0

ej(k−m) 2πN

n

︸︷︷︸

=N

= dm ,

(4.1.11)

vilket ger (4.1.7).

Exempel 4.1.1. Betrakta en periodisk diskret fyrkantsvåg med perioden N =4 som ges av

x(0) = 1

x(1) = 1

x(2) = 0

x(3) = 1

x(n) = x(n− 4) .

(4.1.12)

Se gur 4.1. Signalen kan uppdelas i frekvenskomponenter enligt (4.1.6),

bestående av frekvenskomponenterna 0, 2π4, 2 × 2π

4o h 3 × 2π

4, där Fourier-

4.1. PERIODISKA DISKRETA SIGNALER 71

seriekoe ienterna dk denieras av ekvation (4.1.7). Enligt (4.1.7) fås

dk =1

4

3∑

n=0

x(n)e−j 2π4kn

=1

4

[

1 · e−j 2π4k·0 + 1 · e−j 2π

4k·1 + 0 + 1 · e−j 2π

4k·3]

=1

4

[

1 + e−j π2k + e−j 3π

2k]

.

(4.1.13)

Av den komplexa exponentialfunktionens periodi itet följer att

e−j 3π2k = e−j 3π

2k+j2πk = ej

π2k .

Vi får således med beaktande av Eulers formler,

dk =1

4

[

1 + e−j π2k + e−j 3π

2k]

=1

4

[1 + e−j π

2k + ej

π2k]

=1

4

[

1 + 2 cos(π

2k)]

,

(4.1.14)

vilket ger Fourierseriekoe ienterna d0,d1,d2,d3:

d0 =1

4[1 + 2 cos (0)] =

3

4

d1 =1

4

[

1 + 2 cos(π

2

)]

=1

4

d2 =1

4[1 + 2 cos (π)] = −1

4

d3 =1

4

[

1 + 2 cos

(3π

2

)]

=1

4.

(4.1.15)

Figur 4.2 illustrerar signalens spektrum graskt.


Enligt (4.1.6) kan signalen x(n) utve klas i frekvenskomponenter enligt

x(n) =

3∑

k=0

dkej 2π

4kn

=3

4+

1

4ej

2π41·n − 1

4ej

2π42·n +

1

4ej

2π43·n

=3

4+

1

4ej

π2n − 1

4ejπn +

1

4ej

3π2n

=3

4+

1

4

[

cos(π

2n)

+ j sin(π

2n)]

− 1

4[cos (πn) + j sin (πn)] +

1

4

[

cos

(3π

2n

)

+ j sin

(3π

2n

)]

.

(4.1.16)

Här är sin (πn) = 0 o h sin(3π2n)= sin

(3π2n− 2πn

)= sin

(−π

2n)= − sin

(π2n),

varav följer att de imaginära termerna i (4.1.16) försvinner, o h vi får

x(n) =3

4+

1

4cos(π

2n)

− 1

4cos (πn) +

1

4cos

(3π

2n

)

=3

4+

1

4cos

(2π

4n

)

− 1

4cos

(

22π

4n

)

+1

4cos

(

32π

4n

)

.

(4.1.17)

Detta uttry ker signalen expli it med hjälp av de ingående frekvenskompo-

nenterna.

Vi kan ytterligare observera att frekvenskomponenten 3 · 2π4är redundant,

eftersom cos(32π

4n)= cos

(32π

4n− 2πn

)= cos

(−2π

4n)= cos

(2π4n). Intro-

duktion i ekvation (4.1.17) ger

x(n) =3

4+

1

2cos

(2π

4n

)

− 1

4cos

(

22π

4n

)

. (4.1.18)

4.1.1 Parsevals formel

Parsevals formel gäller o kså i det diskreta fallet. Betrakta en periodisk dis-

kret signal x(n) med perioden N . På analogt sätt som i det kontinuerliga

fallet kan man visa att den genomsnittliga energin över en period kan uttry -

kas med hjälp av Fourierseriekoe ienterna dk enligt

P (x) =1

N

N−1∑

n=0

|x(n)|2 =N−1∑

k=0

|dk|2 . (4.1.19)

4.2. ICKE-PERIODISKA DISKRETA SIGNALER 73

0 2ππ2

π3π2

dk

Figur 4.2: Spektret hos signalen i exempel 4.1.1.

Då resultatet kan visas helt i analogi med det kontinuerliga fallet, lämnas

beviset till en övning.

Övning 4.1.1. Utför beviset av Parsevals formel för diskreta periodiska sig-

naler (4.1.19).

Övning 4.1.2. Kontrollera att Parsevals relation gäller för signalen i exem-

pel 4.1.1.

4.2 I ke-periodiska diskreta signaler

Liksom i det kontinuerliga fallet består en diskret i ke-periodisk signal x(n)av ett kontinuum av frekvenser ω o h kan uttry kas som en linjär kombina-

tion av periodiska diskreta sekvenser ejωn. I analogi med avsnitt 4.1 är

frekvenserna do k begränsade till intervallet [0, 2π], p.g.a. periodi iteten hos

exponentialfunktionen; ejωn = ej(ωn+2πl).

Fouriertransformen av en i ke-periodisk sekvens kan uttry kas i följande

form.

Denition 4.2.1. Fouriertransformen av diskret i ke-periodisk signal.

En sekvens x(n) kan uttry kas i formen

x(n) =1

2π

∫ 2π

0

X (ω) ejωn dω , (4.2.1)


där

X (ω) =

∞∑

n=−∞x(n)e−jωn

(4.2.2)

Funktionen X (ω) kallas Fouriertransformen av sekvensen x(n). Ob-servera att Fouriertransformen (4.2.2) av en diskret signal är en kontinuer-

lig funktion av frekvensen ω. Ibland kallas transformen (4.2.2) den diskreta

Fouriertransformen av x(n), men vanligen reserveras denna term för en

transform som själv o kså är diskret, jämför avsnitt 4.3.

Anmärkning 4.2.1. Från periodi iteten hos exponentialfunktionen e−jωnföl-

jer att Fouriertransformen X (ω) denierad enligt (4.2.2) är periodisk med

perioden 2π; X (ω + 2πl) = X (ω). Den inversa transformen (4.2.1) kan där-

för o kså skrivas som

x(n) =1

2π

∫ π

−π

X (ω) ejωn dω . (4.2.3)

Vilkendera formen som används beror av sammanhanget. I formeln (4.2.1)

ingår endast positiva frekvenser, vilket är naturligt i samband med den dis-

kreta Fouriertransformen (avsnitt 4.3). Formeln (4.2.3) i sin tur uttry ker

sekvensen x(n) med hjälp av de till absoluta beloppet minsta frekvenser-

na, vilket är naturligt då man undersöker sekvenser som fås genom att sampla

kontinerliga signaler (jämför kapitel 6).

Övning 4.2.1. Betrakta den diskreta rektangulära pulsfunktionen

x(n) =

1 , |n| ≤ L ,0 , |n| > L .

(4.2.4)

Visa att signalens Fouriertransform ges av

X (ω) =sin[ω(L+ 1

2

)]

sin(ω2

) . (4.2.5)

4.2.1 Parsevals formel

Enligt Parsevals formel för i ke-periodiska diskreta sekvenser kan energin,

eller l2-normens kvadrat (avsnitt 2.2) utry kas enligt

‖x‖22 =∞∑

n=−∞|x(n)|2 = 1

2π

∫ 2π

0

|X (ω) |2 dω . (4.2.6)

4.3. DEN DISKRETA FOURIERTRANSFORMEN 75

Resultatet kan visas helt i analogi med det kontinuerliga fallet, o h beviset

lämnas till en övning.

Övning 4.2.2. Bevisa Parsevals formel för diskreta i ke-periodiska signa-

ler (4.2.6).

4.3 Den diskreta Fouriertransformen

I avsnitt 4.2 bildades Fouriertransformen av sekvenser x(n) som antogs

vara denierade för alla n,−∞ < n < ∞. Detsamma gäller för den periodiska

sekvensen i avsnitt 4.1. I praktiken har man do k normalt tillgång till en

ändlig sekvens bestående av N signalvärden,

x(n) = x(0), x(1), x(2), . . . , x(N − 1) (4.3.1)

o h inte någon kunskap om x(n) utanför intervallet 0 ≤ n ≤ N − 1.Betrakta Fouriertransformen enligt (4.2.2). Ur N värden x(0), . . . , x(N −

1) kan endast N sty ken oberoende värden för transformen X (ω) beräk-

nas. Man kan då spe i era N frekvenser ω0, . . . , ωN−1 o h beräkna motsva-

rande transformvärden X (ω0) , . . . , X (ωN−1). Vi såg tidigare att den högs-

ta frekvens som behöver medtas i Fourierutve klingen för en diskret sig-

nal är frekvensen 2π. Dessutom begränsas den upplösning med vilken sig-

nalens spektrum kan bestämmas av sekvensens längd. En periodisk sinus-

formad signal med vinkelfrekvensen

2πN

har en period lika med sekvensens

längd N . Det är i praktiken inte möjligt att bestämma signalens spekt-

rum med en upplösning som motsvarar en period som är längre än se-

kvensens längd. En undre gräns för frekvensupplösningen ges således av

2πN. Det följer att det är naturligt att evaluera X (ω) för de N ekvidistan-

ta frekvensvärdena 0, 2πN, 2πN

× 2, . . . , 2πN

× (N − 1). Men dessa frekvenser är

ingenting annat än heltalsmultiplerna av grundfrekvensen ω0 =2πN, som före-

kom i Fourierserieutve klingen (4.1.6). Följaktligen ges de N värdena X (0),X(2πN

), X

(22π

N

), . . . , X

((N − 1)2π

N

)av transformen som kan beräknas ur

de N signalvärdena x(0), . . . , x(N − 1) av samma ekvation (4.1.7), som gäll-

de för periodiska signaler. Detta resultat är naturligt, eftersom beteendet

hos en frekvensutve kling av den ändliga sekvensen (4.3.1) utanför området

0 ≤ n ≤ N − 1 är likgiltigt: Eftersom signalen är okänd utanför detta områ-

de, så kan frekvensutve klingen lika väl bestämmas så att den är periodisk

utanför detta intervall.

Vi har således följande diskreta transform av en ändlig diskret sekvens.


Denition 4.3.1. Diskreta Fouriertransformen.

En ändlig sekvens x(0), x(1), . . . , x(N − 1) kan uttry kas med hjälp av

summan

x(n) =1

N

N−1∑

k=0

X(k)ej2πN

kn , n = 0, . . . , N − 1 , (4.3.2)

där

X(k) =

N−1∑

n=0

x(n)e−j 2πN

kn , k = 0, 1, . . . , N − 1 . (4.3.3)

Transformen i X(k) enligt ekvation (4.3.3) kallas diskreta Fouriertrans-

formen (DFT) av sekvensen x(n) o h den inversa transformen denierad

enligt ekvation (4.3.2) kallas den inversa diskreta Fouriertransformen (IDFT)

av sekvensen X(k). Observera att transformerna uppvisar en symmetri:

sekvenserna x(n) o h X(k) består båda av N element, o h den ena

transformen övergår till den andra genom att ändra te knet för summerings-

variabeln samt beakta av faktorn

1N.

Det är ändamålsenligt att införa en spe iell bete kning för DFT. Vi be-

te knar DFT enligt (4.3.3) med FD o h den inversa operationen (4.3.2) med

F−1D :

X(k) = FD x(n) , (4.3.4)

x(n) = F−1D X(k) . (4.3.5)

Observera o kså att den diskreta Fouriertransformen (4.3.3), (4.3.2) o h Fou-

rierserien av en periodisk sekvens, ekvationerna (4.1.6) o h (4.1.7) är ekviva-

lenta så när som på pla eringen av faktorn

1N, så attX(k) = Ndk. Pla eringen

av faktorn

1Ni de två transformerna är närmast en konventionsfråga.

Exempel 4.3.1. Betrakta sekvensen x(n) = 1, 0, 0, 1. Den diskreta Fou-

riertransformen ges av (4.3.3),

X(0) =

3∑

n=0

x(n)e−j0 = 1 + 0 + 0 + 1 = 2 ,

4.3. DEN DISKRETA FOURIERTRANSFORMEN 77

o h

X(1) =3∑

n=0

x(n)e−j 2πn4 = 1 + 0 + 0 + 1 · e−j 2π3

4

= 1 + cos

(

−3π

2

)

+ j sin

(

−3π

2

)

= 1 + cos

(3π

2

)

− j sin

(3π

2

)

= 1 + j .

På samma sätt fås X(2) = 0 samt X(3) = 1− j.

Övning 4.3.1. Kontrollera att den inversa diskreta Fouriertransformen tilläm-

pad på den i exempel 4.3.1 beräknade Fourier-transformen

X(k) = 2, 1 + j, 0, 1− j

genererar sekvensen x(n).

Beräkning av den diskreta Fouriertransformen o h dess invers utgör en av

de viktigaste manipulationerna i digital signalbehandling. Eektiva numeris-

ka metoder, så kallade snabba Fouriertransformer, har utve klats för lösning

av transformerna (4.3.3) o h (4.3.2), se avsnitt 4.4.

4.3.1 Egenskaper hos DFT

Den diskreta Fouriertransformen har ett antal egenskaper som kan utnyttjas

för att förenkla beräkningarna i samband med olika tillämpningar. Här skall

endast ett par av de viktigaste upptas. För en mera fullständig behandling

hänvisas till Ifea hor o h Jervis (1993).

Egenskap 4.3.2. Symmetri.

Den diskreta Fouriertransformen av en rell sekvens x(n) satiserar

X (N − k) = X∗(k) , k = 1, . . . , N − 1 , (4.3.6)

eller

Re [X(N − k)] = Re [X(k)] ,

Im [X(N − k)] = −Im [X(k)] , k = 1, . . . , N − 1 .(4.3.7)


Denna egenskap följer av den komplexa exponentialfunktionens periodi-

itet. Betrakta exponentialfunktionerna i uttry ket för X(N − k) i ekvation(4.3.3),

e−j 2π(N−k)N

n = ej2πkN

n−j2πn = ej2πkN

n =[

e−j 2πkN

n]∗

. (4.3.8)

Detta är komplexa konjugatet till exponentialfunktionerna i uttry ket för

X(k). Sambandet (4.3.8) o h denitionen av X(k) i (4.3.3) impli erar sym-

metrin enligt (4.3.6).

Egenskap 4.3.3. Parsevals formel.

Parsevals formel för diskreta Fouriertransformen är analog med (4.1.19)

o h ges av

‖x‖22 =N−1∑

n=0

|x(n)|2 = 1

N

N−1∑

k=0

|X(k)|2 . (4.3.9)

Observera att pla eringen av faktorn

1Nskiljer sig från den i formel (4.1.19).

Detta hänger ihop med pla eringen av samma faktor i denitionerna av

Fourierseriekoe ienterna dk respektive diskreta Fouriertransformen X(k).

Egenskap 4.3.4. DFT av delta-funktionen.

Deniera delta-funktionen

δ(n) =

1 , n = 0 ,0 , n 6= 0 .

(4.3.10)

Den diskreta Fouriertranformen av delta-funktionen ges av

X(k) = FD [δ(n)] = 1 , k = 0, . . . , N − 1 , (4.3.11)

o h den diskreta Fouriertransformen av den tidsförskjutna delta-funktionen

δ(n− l) ges av

X(k) = FD [δ(n− l)] = e−j 2πkN

l . (4.3.12)

Övning 4.3.2. Veriera att den i exempel 4.3.1 beräknade diskreta Fourier-

transformen uppfyller symmetriegenskapen i ekvation (4.3.6).

Övning 4.3.3. Veriera Parsevals formel för signalen i exempel 4.3.1.

4.4. DEN SNABBA FOURIERTRANSFORMEN 79

4.4 Den snabba Fouriertransformen

Vid beräkning av den diskreta Fouriertransformen för en sekvens av längden

N kräver beräkningen av varje X(k), k = 0, . . . , N−1 enligt ekvation (4.3.3)

N multiplikationer o h N−1 additioner av komplexa tal. Bestämning av den

diskreta Fouriertransformen för en sekvens av längden N kräver således N2

komplexa multiplikationer o h N(N − 1) komplexa additioner. Detta kan i

praktiken innebära en ansenlig mängd beräkningar, vilket följande exempel

visar.

Exempel 4.4.1. Antag att vi önskar beräkna spektret hos en signal i audio-

området genom sampling av signalen o h DFT av den samplade sekvensen

(Svärdström, 1987). Spektret skall bestämmas upp till 20 kHz o h med en

upplösning om 10 Hz. För att få med frekvenser upp till 20 kHz måste signa-

len samplas med en samplingsfrekvens som är minst det dubbla, dvs 40 kHz(jämför kapitel 6). För att få upplösningen 10 Hz bör signalen samplas under

minst

110

= 0,1 sekunds tid (jämför avsnitt 4.3). Det signalblo k som DFT

skall tillämpas på består således av (minst) N = 40000× 0,1 = 4000 sampel.

Detta innebär a N2 = 16 miljoner komplexa multiplikationer o h additioner

per signalblo k. Om beräkningarna skall utföras i realtid, så att spektret be-

stäms för ett nytt signalblo k 10 ggrs, krävs alltså a 160 miljoner komplexa

multiplikationer o h additioner per sekund.

Exemplet ovan visar att antalet räkneoperationer blir my ket stort redan

för relativt korta signalsekvenser. Även med tillgång till stor datorkapa itet

skulle tillämpningen av den diskreta Fouriertransformen vara starkt begrän-

sad om det inte fanns eektivare metoder att beräkna transformen.

Ly kligtvis visar det sig att beräkningarna i den diskreta Fouriertransfor-

men kan organiseras på ett sätt som drastiskt minskar antalet beräknings-

operationer. Detta är möjligt om man noterar att Fouriertransformen kan

uttry kas som en summa av transformerna av två kortare sekvenser, vilka i

sin tur kan uttry kas som summor av två kortare sekvenser o h så vidare tills

man får en summa av sekvenser av längden ett. Den ursprungliga transfor-

men kan sedan konstrueras genom su essiv addition av kortare transformer.

Denna beräkningspro edur kallas snabba Fouriertransformen (eng. Fast Fou-

rier Transform (FFT)).


För att härleda snabba Fouriertransformen, betrakta uttry ket i (4.3.3),

X(k) =N−1∑

n=0

x(n)e−j 2πN

kn , k = 0, 1, . . . , N − 1 . (4.4.1)

Introdu era bete kningen

WN = e−j 2πN , (4.4.2)

så att ekvationen för X(k) skrivs i formen

X(k) =

N−1∑

n=0

x(n)W knN , k = 0, 1, . . . , N − 1 . (4.4.3)

Vi antar nu att N är jämnt, o h delar upp sekvensen x(n) i två underse-

kvenser: x11(n) = x(0), x(2), . . . , x(N − 2) bestående av

N2st. element

med jämnt ordningsnummer, o h x12(n) = x(1), x(3), . . . , x(N − 1), be-stående av

N2st. element med udda ordningsnummer, d.v.s.

x11(n) = x(2n) , n = 0, . . . ,N

2− 1 ,

x12(n) = x(2n+ 1) , n = 0, . . . ,N

2− 1 .

(4.4.4)

De diskreta Fouriertransformerna av sekvenserna x11(n) o h x12(n) ges

av

X11(k) =

N2−1∑

n=0

x11(n)WknN2

, k = 0, 1, . . . ,N

2− 1 ,

X12(k) =

N2−1∑

n=0

x12(n)WknN2

, k = 0, 1, . . . ,N

2− 1 ,

(4.4.5)

där WN2denierats i analogi med (4.4.2) som WN

2= e−j 2π

N/2 = e−j 2πN

2 = W 2N .


Å andra sidan har vi från (4.4.3),

X(k) =N−1∑

n=0

x(n)W knN ,

=

N2−1∑

n=0

x(2n)W k2nN +

N2−1∑

n=0

x(2n + 1)Wk(2n+1)N ,

=

N2−1∑

n=0

x11(n)W2knN +

N2−1∑

n=0

x12(n)W2knN ·W k

N ,

=

N2−1∑

n=0

x11(n)WknN2

+

N2−1∑

n=0

x12(n)WknN2

·W kN ,

= X11(k) +X12(k)WkN , k = 0, 1, . . . ,

N

2− 1 .

(4.4.6)

Från den komplexa exponentialfunktionens periodi itet har vi W(k+N

2 )nN2

=

W knN2

, varav följer X11

(k + N

2

)= X11(k) o h X12

(k + N

2

)= X12(k), så att

den senare hälften av sekvensen X(k) ges av

X

(

k +N

2

)

= X11(k) +X12(k)Wk+N

2N , k = 0, 1, . . . ,

N

2− 1 . (4.4.7)

Man brukar uttry ka (4.4.7) med hjälp av samma komplexa exponent som

förekommer i (4.4.6) genom att utnyttja sambandet

Wk+N

2N = e−j 2π

N (k+N2 ) = e−j 2π

Nk e−jπ = −W k

N . (4.4.8)

Vi får alltså

X

(

k +N

2

)

= X11(k)−X12(k)WkN , k = 0, 1, . . . ,

N

2− 1 . (4.4.9)

Vi har alltså visat, att genom att dela upp den ursprungliga sekvensen x(n)i undersekvenserna x11(n) o h x12(n) bestående av jämna respektive

udda sampel så kan Fouriertransformen X(k) av den ursprungliga serien

uttry kas med hjälp av Fouriertransformerna X11(k) o h X12(k) av de två


undersekvenserna enligt

X(k) = X11(k) +W kNX12(k) , k = 0, 1, . . . ,

N

2− 1 (4.4.10)

X

(

k +N

2

)

= X11(k)−W kNX12(k) , k = 0, 1, . . . ,

N

2− 1 . (4.4.11)

Operationen (4.4.10, (4.4.11 brukar p.g.a. sin struktur kallas buttery ope-

rationen. Se gur 4.3.

s

s

X11(k)

X12(k)

X(k)

X(k + N

2

)

+

−W kN

Figur 4.3: Buttery operationen (4.4.10), (4.4.11).

Om undersekvenserna x11(n) o h x12(n) i sin tur har ett jämnt an-

tal element kan samma pro edur utnyttjas för beräkning av transformerna

X11(k) o h X12(k) så att X11(k) uttry ks med hjälp av transformerna X21(k)o h X22(k) av två undersekvenser av längden

N4, o h X12(k) uttry ks på sam-

ma sätt med hjälp av transformernaX23(k) o h X24(k) av två undersekvenserav längden

N4.

Om antalet element i den ursprungliga sekvensen är en heltalspotens av

två, N = 2B, så kan pro eduren upprepas B gånger. Efter i steg har man 2i

transformer Xim(k), m = 1, . . . , 2i av undersekvenser av längden

N2i. Efter B

steg har man alltså N = 2B transformer av undersekvenser som innehåller

endast ett element. Den diskreta Fouriertransformen av en serie med endast

ett element är lika med elementet självt, jämför denitionen (4.3.3). Den sök-

ta Fouriertransformen av den ursprungliga sekvensen kan till slut bestämmas

genom su essiv tillämpning av ekvationerna (4.4.10), (4.4.11) för generering

av 2i Fouriertransformer av längden

N2iför i = B − 1, . . . , 0.

Exempel 4.4.2. Betrakta FFT av en sekvens x(0), . . . , x(7) av längden åtta.

Här är alltså N = 23 = 8 o h B = 3. I detta fall har vi i steg 1 av pro eduren


de två undersekvenserna

x11(n) = x(0), x(2), x(4), x(6) ,

x12(n) = x(1), x(3), x(5), x(7) ,

o h motsvarande transformer

X11 = FD x11(n) ,

X12 = FD x12(n) .

I steg 2 har vi de fyra undersekvenserna

x21(n) = x(0), x(4) ,

x22(n) = x(2), x(6) ,

x23(n) = x(1), x(5) ,

x24(n) = x(3), x(7) ,

bestående av element med jämna o h udda ordningsnummer i sekvenserna

x11(n) o h x12(n) o h motsvarande transformer

X21 = FD x21(n) ,

X22 = FD x22(n) ,

X23 = FD x23(n) ,

X24 = FD x24(n) .

Slutligen, i steg 3 har vi åtta sekvenser bestående av ett element,

x31(n) = x(0) ,

x32(n) = x(4) ,

x33(n) = x(2) ,

x34(n) = x(6) ,

x35(n) = x(1) ,

x36(n) = x(5) ,

x37(n) = x(3) ,

x38(n) = x(7) ,


samt motsvarande (triviala) transformer,

X31 = FD x31(n) = x(0) ,

X32 = FD x32(n) = x(4) ,

X33 = FD x33(n) = x(2) ,

X34 = FD x34(n) = x(6) ,

X35 = FD x35(n) = x(1) ,

X36 = FD x36(n) = x(5) ,

X37 = FD x37(n) = x(3) ,

X38 = FD x38(n) = x(7) .

Fouriertransformen av den ursprungliga sekvensen kan beräknas genom att

su essivt tillämpa formlerna (4.4.10), (4.4.11) för beräkning av X21 ur X31

o h X32, X22 ur X33 o h X34, X23 ur X35 o h X36, X24 ur X37 o h X38, samt

X11 ur X21 o h X22, X12 ur X23 o h X24, o h till slut X ur X11 o h X12.

Innan algoritmen startas bör do k den ursprungliga sekvensen permuteras

så att de korrekta kombinationerna av element fås för algoritmens första fas.

I exemplet ovan kombineras i algoritmens första fas x(0) med x(4), x(2) med

x(6), x(1) med x(5) o h x(3) med x(7). Det visar sig att den permuterade

sekvensen för FFT algoritmen, i detta fall sekvensen x(0), x(4), x(2), x(6),x(1), x(5), x(3), x(7), är den ursprungliga sekvensen i bitreverserad ordning.

Detta innebär att n = 0, . . . , N − 1 skrivs som binära tal, bitarnas ordnings-

följd inverteras, o h de nya binära talen denerar den sökta ordningsföljden.

Tabell 4.1 illustrerar situationen för N = 8.Observera att varje fas i FFT-algoritmen är likartad, o h pro eduren kan

därför programmeras på ett my ket enkelt sätt. I varje fas beräknas ett antal

transformer Xim från två hälften så långa transformer Xi+1,l, Xi+1,l+1 från

föregående fas. Byggstenen i beräkningarna utgörs av formlerna (4.4.10),

(4.4.11). Formlerna kallas på engelska för buttery p.g.a. strukturen hos

den graska representationen av dem, jämför gur 2.4 i Ifea hor o h Jervis

(1993). Enligt formlerna (4.4.10) o h (4.4.11) beräknas två element i trans-

formen Xim samtidigt. Då beräkningarna utförts behövs elementen på höger

sida i formlerna inte mera i beräkningarnas senare skeden. I ekvationerna

(4.4.10) o h (4.4.11) kan resultaten X(k) o h X(k + N

2

)därför sparas i sam-

ma minnespositioner som upptogs av X11(k) o h X12(k). Detta medför att

algoritmen inte kräver era minnespositioner för lagring av de beräknade

transformerna än antalet element i den ursprungliga serien.


Ursprunglig Adress Bitreverserad FFT

sekvens adress inserie

x(0) 000 000 x(0)

x(1) 001 100 x(4)

x(2) 010 010 x(2)

x(3) 011 110 x(6)

x(4) 100 001 x(1)

x(5) 101 101 x(5)

x(6) 110 011 x(3)

x(7) 111 111 x(7)

Tabell 4.1: Permutation av sekvens för FFT med bitreversering.

Antalet beräkningar som FFT algoritmen kräver kan bestämmas på föl-

jande sätt. Antag att sekvensens längd är N = 2B. Algoritmen består då

av B = log2N faser. I steg i har man 2i transformer av längden

N2i. Totalt

beräknas alltså N element i varje fas av algoritmen. Elementen räknas ut

parvis med hjälp av buttery-pro eduren (4.4.10), (4.4.11). Totalt behövs

således

N2log2N buttery-beräkningar. Varje sådan består av en komplex

multiplikation av formen W kNXim(k) o h två komplexa additioner. Det föl-

jer att FFT totalt fordrar

N2log2N komplexa multiplikationer o h N log2N

komplexa additioner. För realistiska värden på N innebär detta en avsevärd

reduktion av antalet beräkningar jämfört med en direkt beräkning av diskre-

ta Fouriertransformen (N2multiplikationer respektive N(N−1) additioner).

Se tabell 2.3 i Ifea hor o h Jervis (1993) för en numerisk jämförelse av antalet

operationer för olika N .

En ytterligare fördel med FFT algoritmen är att då antalet operationer

är mindre, så blir även avrundningsfelen mindre. Beräkningen av Fourier-

transformen med hjälp av FFT sker således inte bara snabbare, utan o kså

med större noggrannhet.

Den snabba Fouriertransformen introdu erades år 1965 av de amerikans-

ka forskarna av James W. Cooley o h John W. Tukey. Cooley-Tukey algorit-

men utökade betydligt möjligheterna att tillämpa Fourieranalys i praktiken.

Med beaktande av den entrala roll som Fourieranalys har inom signalbe-

handlingstillämpningar, så har FFT inneburit en signikant innovation. Den

anses av många utgöra den viktigaste enskilda upptäkten inom numerisk

analys under hela 1900-talet.


Övning 4.4.1. Bestäm antalet operationer som krävs i exempel 4.4.1 om

Fouriertransformen beräknas med hjälp av den snabba Fouriertransformen.

Hur stor är den pro entuella minskningen i beräkningsarbete jämfört med en

direkt beräkning av diskreta Fouriertransformen?

Övning 4.4.2. Bestäm diskreta Fouriertransformen av sekvensen i exempel

4.3.1, x(n) = 1, 0, 0, 1, med hjälp av FFT.

4.4.1 Den inversa snabba Fouriertransformen

Den snabba Fouriertransformen kan enkelt modieras för beräkning av den

inversa diskreta Fouriertransformen i ekvation (4.3.2). Den inversa transfor-

men används för att beräkna signalsekvensen från motsvarande spektrum.

Ekvationerna (4.3.2) o h (4.3.3) visar att FFT-algoritmen kan modieras för

beräkning av den inversa transformen genom att ändra den komplexa expo-

nentens te ken samt beaktande av faktorn

1N.

4.4.2 Modiering för generella sekvenslängder N

Den snabba Fouriertransformen har ovan utve klats för sekvenser av längden

N = 2B. Den är enklast att tillämpa för detta fall, eftersom alla underse-

kvenserna utom de sista då består av ett jämnt antal element. Metoden kan

emellertid enkelt generaliseras till sekvenser av godty klig längd genom att

beakta att uppdelningarna i underserier kan leda till serier av olika längder.

Algoritmen blir emellertid något mera kompli erad i det generella fallet.

4.4.3 De imering i frekvens FFT

Den ovan beskrivna FFT-algoritmen erhölls genom upprepad dekomposition

av den diskreta Fouriertransformen i två kortare transformer, en som baserar

sig på jämna termer i sekvensen, o h en som baserar sig på de udda termerna.

Detta förfarande kallas de imering i tid. Ett alternativt sätt är att tillämpa

de imering i frekvens. Härvid uppdelas transformen i varje steg upp i två

transformer, en som baserar sig på den förra halvan av datasekvensen, o h

en som baserar sig på den senare halvan.

Det bör observeras, att eektiva implementeringar av FFT innehåller

ytterligare en mängd nesser för att försnabba beräkningarna. En behandling

av dessa, delvis my ket avan erade, detaljer faller do k utanför denna kurs.


4.4.4 Ett exempel OFDM

Vi skall till slut diskutera ett viktigt tillämpningsexempel av FFT inom te-

lekommunikation.

Exempel 4.4.3. I avsnitt 3.1.1 såg vi att en digital signal kan överföras

genom att modulera fasen o h/eller amplituden hos en sinusformad signal.

En sinusformad signal uttnyttjar ett my ket smalt frekvensband, vilket är in-

eektivt om man har ett givet frekvensband ωmin ≤ ω ≤ ωmax till förfogande.

Då kan överföringshastigheten ökas genom att samtidigt sända era module-

rade sinusformade signaler med frekvenserna ωi = ωmin +iM

(ωmax − ωmin),i = 0, 1, . . . ,M − 1, d.v.s.

x0(t) = A0 cos (ω0t+ φ0) ,

x1(t) = A1 cos (ω1t+ φ1) ,

.

.

.

xM−1(t) = AM−1 cos (ωM−1t + φM−1) ,

där amplituderna Ak o h faserna φk representerar en bitsekvens av given

längd, som beror på antalet möjliga amplituder o h faser som används.

I prin ip kunde sinussignalerna x0, x1, . . . , xN−1 genereras separat o h

transmitteras genom amplitusmodulering av en bärvåg som i övning 3.1.2.

Då fordras M st. parallella os illatorer med frekvenserna ω0, ω1, . . . , ωN−1. I

praktiken går det här do k inte att realisera om frekvenserna är tätt pla e-

rade o h M är stort. Metoden har därför blivit praktiskt användbar då det

blivit möjligt att konstruera den sammansatta signalen bestående av de Mfrekvenskomponenterna digitalt. Detta kan göras med den inversa diskreta

Foriertransformen, eektivt implementerad med FFT.

Denna prin ip utnyttjas i OFDM (Orthogonal Frequen y-Division Multi-

plexing), en teknik för digital kommunikation som bl.a. är europeisk standard

för digital TV. I denna metod konstrueras de sinusformade signalkomponen-

terna i form av Fourierseriekomponenter. Detta kan åstadkommas på följande

sätt. Den digitala signalen s(n) i gur 4.4 uppdelas först i parallella sig-

naler (eller bitsekvenser) s0, . . . , sM−1. Dessa avbildas sedan till komplexa tal

X(k), k = 0, 1, . . . ,M − 1. Avbildningen från bitsekvenserna till de komplexa

talen X(k) kan basera sig på amplitud o h/eller fasmodulering. Vid binär

PSK (jfr avsnitt 3.1.1) kan varje X(k) anta två värden, vilket möjliggör re-

presentation av totalt M bitar, medan 4-PSK, med fyra möjliga värden hos

koe ienterna X(k) representerar 2M bitar.


s(n)

avbildning

s0G0

X(0)

G1 X(1)

.

.

.

sM−1GM−1

X(M−1)

IFFT

x(n)

D/A

xa(t) ×

cos(ωbt)

xut(t)

Figur 4.4: Sändning av OFDM signal. Observera att avbildningarna Gk ej

behöver vara ekvivalenta.

De komplexa talen X(k), k = 0, 1, . . . ,M −1 bildade på detta sätt kan tas

som de M = N2+1 första Fourierseriekoe ienterna hos en reellvärd sekvens

x(n) av längden N . Den senare delen av transformen denieras då entydigt

genom symmetriegenskapen (4.3.6), X(N −k) = X∗(k). Ur Fouriertransfor-men X(k) bildad på detta sätt kan en diskret signal x(n) bildas enligt (4.3.2)med hjälp av snabba inversa Fouriertransformen (IFFT), dvs

x(n) =1

N

N−1∑

k=0

X(k)ej2πN

kn

=

N2∑

k=0

Ak cos

(2πk

Nn+ φk

)

,

(4.4.12)

där Ak = 2N |X(k)| o h φk = arg(X(k)). Signalen x(n) bildad på detta sätt

består då av de normerade basbandsfrekvenserna 0, 1N, 2N, . . . , 1

2(det antas att

N är delbart med 2). Enligt konstruktionen är den digitala signalen kodad i

frekvenskomponenternas faser φk o h amplituder Ak. För dataöverföring med

hjälp av elektromagnetisk strålning bildas ur x(n) med digital-till-analog

konvertering en kontinuerlig signal xa(t), så att

xa(t) =

N2∑

k=0

Ak cos

(2πk

Nfst+ φk

)

, (4.4.13)


yin(t) ×

y(t)

cos(ωbt)

HLP

yLP (t)A/D

y(t)

FFT

G−10

invers

avbildning

Y (0)

G−11

Y (1)

.

.

.

G−1M−1

Y (M−1)

s(n)

Figur 4.5: Mottagning av OFDM signal.

där fs är samplingsfrekvensen, se gur 4.4. Till slut används amplitudmo-

dulering för att bilda en signal xut(t) som transmitteras. Den transmitterade

signalen innehåller frekvenserna

ωb +2πk

Nfs , k = −N

2, . . . ,−1, 0, 1, . . . ,

N

2, (4.4.14)

där ωb är bärvågens frekvens (jfr problem 3.1.2).

Vid mottagaren (gur 4.5) demoduleras den mottagna högfrekventa sig-

nalen yin(t) genom multiplikation med bärvågen cos (ωbt). Eftersom signalens

frekvensinnehåll inte påverkas av kommunikationskanalens dynamik (under

antagande att denna är linjär), består den mottagna signalen yin(t) av fre-

kvenskomponenterna (4.4.14). I analogi med problem 3.1.2 består den resul-

terande signalen

y(t) = yin(t) cos (ωbt)

då av frekvenserna

ωLF,k = ωb −(

ωb +2πk

Nfs

)

, k = −N

2, . . . ,−1, 0, 1, . . . ,

N

2

o h

ωHF,k = ωb +

(

ωb +2πk

Nfs

)

, k = −N

2, . . . ,−1, 0, 1, . . . ,

N

2.


Här är frekvenskomponenterna ωLF,k ekvivalenta med frekvenskomponenter-

na hos den utsända signalen x(n). Filtrering av signalen y(t) med ett låg-

passlter HLP som spärrar de höga frekvenserna ωHF,k entrerade vid 2ωc

genererar således en signal yLP (t) med samma frekvenskomponenter som den

transmitterade signalen xa före modulering. Diskretisering av yLP (t) med

samma samplingsfrekvens som vid sändaren ger således en periodisk diskret

signalsekvens y(n) med samma frekvensinnehåll som signalen x(n) vid

sändaren. I likhet med avsnitt 3.1.1 påverkar kommunikationskanalen fre-

kvenskomponenternas amplituder o h faser, men denna inverkan kan alltid

kompenseras om den är känd. Fouriertransformen Y (k) av signalen y(n)ger då en skattning av de komplexa talen X(k) vid sändaren. Den utsända

digitala signalen s(n) kan således rekonstrueras genom invers avbildning

av de komplexa talen Y (k) till motsvarande bitsekvenser, samt kombinering

av dessa till mottagen digital signal s(n), se gur 4.5.

Det bör noteras att denna beskrivning av OFDM är my ket förenklad. I

praktiken är det t.ex. bekvämare att bilda en komplexvärd sekvens x(n) vid

sändaren, vars reella o h imaginära komponenter sedan behandlas separat.

En annan viktig detalj som vi inte diskuterat i detta sammanhang är läng-

den hos de periodiska signalerna xa(t) enligt (4.4.13) som används för att

sända en symbol. I praktiken behövs ett intervall Tg (guard interval) mel-

lan symbolerna för att undvika interferens mellan två symboler på grund av

kommunikationskanalens dynamik, t.ex. vid ervägsutbredning orsakad av re-

ekterande komponenter. Ett viktigt krav för att frekvenskomponenterna skall

kunna bestämmas ur den mottagna signalen är att signalen upptas över en

heltalsmultipel av signalens period

Nfs. Detta är ekvivalent med villkoret att

frekvenskomponenterna är ortogonala, därav förkortningen OFDM ortogo-

nal frekvensuppdelningsmultiplexing.

Kapitel 5

Andra transformer

Som beskrevs i kapitel 2, så kan signaltransformer helt generellt denieras i

avseende å en given funktionsmängd ϕi, jämför ekvationerna (2.1.1) o h

(2.1.2). Trots att Fouriertransformen är den dominerande transformen, så

kan andra transformer i olika sammanhang vara mera användbara. Fouri-

ertransformen är my ket användbar t.ex. vid separering av en signals olika

komponenter (se exempel 2.0.1). Frekvensanalys är o kså det naturliga verk-

tyget i era sammanhang beroende på det faktum att ett linjärt system inte

påverkar de olika frekvenskomponenterna hos en signal.

En na kdel hos Fouriertransformen är emellertid det faktum, att de pe-

riodiska sinusformade funktioner som används i utve klingen har en oändlig

utsträ kning i tiden. Detta medför att signaler med transienta förlopp som

är lokaliserade i tiden (begränsade till ett visst tidsintervall) kan fordra ett

stort antal funktioner i utve klingen för en god approximation. Detta är

en begränsning om transformen skall utnyttjas för datakompression. And-

ra transformer som bättre klarar av att representera transienter har därför

utve klats.

5.1 Den diskreta osinustransformen

Den diskreta osinustransformen är ett spe ialfall av Fouriertransformen, som

har egenskaper som gör att den kan approximera en signal med ett färre an-

tal termer i serieutve klingen än vad fallet är med standardiserade Fourier-

transformen. Denna egenskap gör den spe iellt lämpad för datakompressions-

tillämpningar. Den diskreta osinustransformen används i samband med van-

91

92 KAPITEL 5. ANDRA TRANSFORMER

liga bildkompressionsmetoder såsom JPEG (Joint Photographi s Experts

Group) för kompression av stillbilder o h MPEG (Moving Pi tures Experts

Group) för kompression av videobilder.

Den diskreta osinustransformen (DCT) av en sekvens x(0), x(1), . . . , x(N−1) deneras enligt

Xc(k) =N−1∑

n=0

x(n) cos

(2πkn

N

)

, k = 0, 1, . . . , N − 1 . (5.1.1)

Transformen är nära besläktad med diskreta Fouriertransformen (4.3.3). En

jämförelse med DFT visar, att DCT helt enkelt är den reella delen av DFT;

Xc(k) = Re [X(k)]. Då Fouriertransformen av en reell o h jämn signal (x(−n) =x(n)) endast består av den reella osinus-komponenten, kan DCT o kså upp-

fattas som Fouriertransformen av den periodiska sekvens som fås då den

givna sekvensen kompletteras med en symmetrisk spegelbild för negativa n;x(−n) = x(n), n = −1, . . . , N − 1.

Det nns era varianter av den diskreta osinustransformen. En annan

vanlig variant deneras enligt

Xc(k) =1

N

N−1∑

n=0

x(n) cos

(

πk(n+ 1

2

)

N

)

, k = 0, 1, . . . , N − 1 . (5.1.2)

5.2 Walsh- o h Hadamardtransformerna

Walsh- o h Hadamardtransformerna baserar sig på utve klingar med hjälp av

rektangulärformade funktioner som antar endast värdena +1 o h −1, se gur2.6 i Ifea hor o h Jervis (1993). De är därför lätta att evaluera, o h lämpar

sig för representation av funktioner som innehåller diskontinuiteter. Walsh-

o h Hadamardtransformerna används inom olika signalkodningstillämpning-

ar. Deras tvådimensionella varianter är spe iellt användbara inom bildbe-

handling.

5.3 Gabortransformen

En metod för signaler med lokaliserade transienta förlopp är Gabortrans-

formen eller den s.k. korttids Fouriertransformen (eng. short-time Fourier

transform). Denna baserar sig o kså på periodiska sinusformade funktioner,

5.4. KRUSNINGAR 93

men deras amplitud viktas, så att vikten avtar med avståndet |t − b| frånpunkten t = b. I stället för de komplexa exponentialfunktionerna som an-

vänds i Fouriertransformen baserar sig Gabortransformen på funktioner av

typen

Gαb,ω(t) = ejωt

1

2√πα

e−(t−b)2

4α . (5.3.1)

På detta sätt kan ett transient förlopp lokaliserat till t = b representeras påett eektivt sätt, utan att ett stort antal funktioner i utve klingen behövs.

5.4 Krusningar

En my ket viktig klass av transformer baserar sig på s.k. krusningar (eng. wa-

velets). Wavelet-transformerna baserar sig på funktionsmängder som genere-

ras genom translation (förskjutning) o h dilation (töjning eller krympning)

av en given genererande funktion. De utgör en generell metodik med vil-

ken såväl en signals frekvens- som tidsegenskaper kan representeras på ett

kompakt sätt. De är därför my ket väl lämpade t.ex. för signalkompression,

där de har egenskaper som är klart överlägsna i jämförelse med t.ex. den

ovan diskuterade osinus-transformen. Wavelet-transformerna är emellertid

besvärligare att tillämpa i praktiken, o h deras teori är alltför omfattande

för att kunna behandlas i detta sammanhang.

5.5 Signaler i två dimensioner

Tvådimensionella signaler är viktiga framför allt inom digital bildbehandling.

En tvådimensionell signal har två argument enligt

x(n,m) , n = 0, 1, . . . , N − 1 , m = 0, 1, . . . ,M − 1 . (5.5.1)

En tvådimensionell signal av längden (N,M) kan representeras i form av en

matris med N rader o h M kolumner. Inom bildbehandling representerar

indexparet (n,m) en pixel motsvarande rad n o h kolumn m.

Denition 5.5.1. Den diskreta Fourier-transformen av den tvådimensionella

signalen x(n,m) ges av följande


X(k,l) =

N−1∑

n=0

M−1∑

m=0

x(n,m)e−j2π( knN

+ lmM ) ,

k = 0, 1, . . . , N − 1 , l = 0, 1, . . . ,M − 1 .

(5.5.2)

Jämförs detta med ekvation (4.3.3) noterar man att (5.5.2) kan skrivas i

formen

X(k,l) =

N−1∑

n=0

M−1∑

m=0

x(n,m)e−j 2πknN e−j 2πlm

M

=N−1∑

n=0

e−j 2πknN

[M−1∑

m=0

x(n,m)e−j 2πlmM

]

=N−1∑

n=0

e−j 2πknN Xr(n,l) ,

(5.5.3)

där

Xr(n,l) =M−1∑

m=0

x(n,m)e−j 2πlmM , l = 0, 1, . . . ,M − 1 (5.5.4)

är Fouriertransformen av rad n hos x(n,m).

Enligt (5.5.3) kan den tvådimensionella Fourier transformen av signalen

x(n,m) bestämmas i två steg genom att bilda endimensionella Fourier-

transformer först av raderna o h därefter av kolumnerna enligt följande:

Bilda Fouriertransformerna Xr(n,l) av raderna hos x(n,m). Detta ger

en N×M matris Xr(n,l) vars rader är Fouriertransformer av raderna

hos x(n,m). Matrisen Xr(n,l) har M sty ken kolumner, Xr(n,l), n =0, 1, . . . , N − 1, av längden N .

Bilda Fouriertransformerna X(k,l) av kolumnerna hos Xr(n,l). Denerhållna matrisen X(k,l) är den tvådimensionella Fouriertransformen

av signalen x(n,m).

Ta k vare symmetrin hos (5.5.2) i avseende å n o h m kan ordningsföljden

hos stegen givetvis svängas om, så att man i stället först bildar Fouriertrans-

formen av kolumnerna o h därefter av raderna.

5.6. BILDKOMPRIMERING 95

Denition 5.5.2. Den tvådimensionella diskreta osinus-transformen de-

nieras i analogi med den tvådimensionella Fouriertransformen genom gene-

ralisering av (5.1.1) till två dimensioner enligt

Xc(k,l) =

N−1∑

n=0

M−1∑

m=0

x(n,m) cos

(2πkn

N

)

cos

(2πlm

M

)

,

k = 0, 1, . . . , N − 1 , l = 0, 1, . . . ,M − 1 .

(5.5.5)

I analogi med Fouriertransformen kan (5.5.5) bestämmas genom att bilda

de endimensionella osinus-transformerna av raderna hos x(n,m) åtföljt aven transformering av kolumnerna.

5.6 Bildkomprimering

Cosinus-transformen spelar en viktig roll vid bildkomprimering enligt JPEG-

standarden. Digitala bilder består av så stora datamängder att det i praktiken

är nödvändigt att använda datakomprimering då man har begränsningar på

lagrings- eller överföringskapa iteten. Eftersom bilder typiskt innehåller en

relativt liten mängd redundant information, uppnås ej tillrä klig komprime-

ringsgrad med enbart förlustfria kodningsalgoritmer, utan komprimeringsme-

toder som utelämnar oväsentlig information bör även användas.

I JPEG-standarden utförs datakomprimeringen med den tvådimensionel-

la osinus-transformen. Signalen uppdelas i blo k av storleken 8× 8 av vilka

den tvådimensionella osinus-transformen bestäms. Vid datakomprimering-

en utnyttjas sedan experimentell information om ögats känslighet inom oli-

ka frekvensområden. Cosinus-transformens komponenter representeras med

olika resolutionsgrader beroende på vilken frekvenskomponent det är frå-

gan om, så att de komponenter för vilka ögat är mindre känsligt (närmast

högre frekvenser) representeras med grövre resolution. Härvid erhålls data-

komprimering dels ta k vare den varierande resolutionsgraden, dels genom

att små komponenter kommer att avrundas till noll om resolutionen är till-

rä kligt grov. Den komprimerade transformen kodas vidare med förlustfri

Human-kodning.

Den komprimerade bilden rekonstrueras genom invers Human-kodning

o h invers osinus-transform. I JPEG uppnås typiskt en komprimeringsgrad

kring 1 : 15 med my ket god kvalitet hos den komprimerade bilden, vilket


kan jämföras med komprimeringsgrader mellan 1 : 2 o h 1 : 3 som uppnås

med förlustfri komprimering.

Följande exempel får illustrera prin ipen.

Exempel 5.6.1. Vid bildbehandling representeras den tvådimensionella bild-

signalens (pixel)värden normalt digitalt, så att elementen x(n,m) är heltal.

Som ett exempel, betrakta 8× 8-blo ket

x(n,m) =

11 16 21 25 27 27 27 2716 23 25 28 31 28 28 2822 27 32 35 30 28 28 2831 33 34 32 32 31 31 3131 32 33 34 34 27 27 2733 33 33 33 32 29 29 2934 34 33 35 34 29 29 2934 34 33 33 35 30 30 30

(5.6.1)

bestående av heltal i intervallet 0− 255. Den diskreta osinustransformen är

efter avrundning till närmaste heltal,

Xc(k,l) =

236 −1 −12 −5 2 −2 −3 1−23 −17 −6 −3 −3 0 0 −1−11 −9 −2 2 0 −1 −1 0−7 −2 0 1 1 0 0 0−1 −1 1 2 0 −1 1 12 0 2 0 −1 1 1 −1

−1 0 0 −1 0 2 1 −1−3 2 −4 −2 2 1 −1 0

(5.6.2)

Elementen Xc(k,l) divideras sedan elementvis med elementen i en kvantise-

ringstabell Q(k,l) o h resultatet avrundas till närmaste heltal, d.v.s. B(k,l) =

round(

Xc(k,l)Q(k,l)

)

. En standardiserad kvantiseringstabell är

Q(k,l) =

16 11 10 16 24 40 51 6112 12 14 19 26 58 60 5514 13 16 24 40 57 69 5614 17 22 29 51 87 80 6218 22 37 56 68 109 103 7724 35 55 64 81 104 113 9249 64 78 87 103 121 102 10172 92 95 98 112 100 103 99

(5.6.3)

5.6. BILDKOMPRIMERING 97

Division av elementen Xc(k,l) med elementen Q(k,l) o h avrundning till när-maste heltal ger

B(k,l) =

15 0 −1 0 0 0 0 0−2 −1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

(5.6.4)

Kvantiseringsoperationen åstadkommer datakomprimering genom att minska

på resolutionen hos den transformerade signalen. Dessutom försvinner nume-

riskt små frekvenskomponenter genom avrundning till noll. Detta gäller van-

ligen de högre frekvenserna, så att B(k,l) kommer att bestå av nollor nere till

höger. Resolutionsgraden beror av frekvensen i enlighet med elementen hos

kvantiseringstabellen Q(k,l). Denna har bestämts experimentellt genom att

testa olika kvantiseringsgrader. Kvantiseringsoperationen är den enda fasen

där data går förlorad.

Den komprimerade transformen B(k,l) omvandlas till en talsekvens b(i)enligt si ksa k s hemat i gur 5.1,

b(i) = B(0,0), B(0,1), B(1,0)B(2,0), B(1,1), . . . ,

B(7,6), B(7,7) ,(5.6.5)

enligt vilket elementen B(k,l) ordnas från de lägsta frekvenserna till de högsta

frekvenserna. Härvid kommer efterföljande värden i talsekvensen att i genom-

snitt skilja sig endast litet från varandra, vilket gör en efterföljande Human-

kodning eektivare.

Vid dekodning rekonstrueras transformen B(k,l) ur den Human-kodade

sekvensen, o h elementen B(k,l) multipli eras sedan med elementen i kvanti-


Figur 5.1: Konstruktion av komprimerad talsekvens ur osinustransformerat

8× 8-blo k.

seringstabellen, vilket för det aktuella exemplet ger

Xc(k,l)

=

240 0 −10 0 0 0 0 0−24 −12 0 0 0 0 0 0−14 −13 0 0 0 0 0 0−14 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

(5.6.6)

Invers DCT ger till slut det rekonstruerade komprimerade 8× 8-blo ket

x(n,m) =

14 16 19 22 24 25 26 2621 22 25 27 28 29 28 2829 30 31 33 33 32 31 3034 34 35 35 34 32 30 2934 34 34 34 33 30 28 2732 33 33 33 32 30 28 2632 32 33 34 33 32 30 2932 33 35 36 36 35 33 32

(5.6.7)

Kapitel 6

Diskret representation

I digital signalbehandling är det vanligt att en kontinuerlig signal represen-

teras i form av en diskret sekvens, t.ex. för att överföras eller lagras i digital

form, såsom i digital telekommunikation o h digitala audiotillämpningar. Vid

dylika tillämpningar är det viktigt att exakt känna till vilka komponenter av

en kontinuerlig signal kan representeras i form av en diskret sekvens, samt

hur o h under vilka villkor den kontinuerliga signalen kan rekonstrueras från

den diskreta.

Det är lätt att inse att varje kontinuerlig signal ej kan representeras med

hjälp av en diskret sekvens, då antalet punkter i en kontinuerlig funktion

xa(t) ju är my ket större än antalet värden i en diskret sekvens xd(n).I allmänhet går därför en viss mängd av informationen i den kontinuerliga

signalen förlorad vid övergång till en diskret representation. Det anmärk-

ningsvärda är att det går att exakt karakterisera de funktioner xa(t) som

kan representeras med hjälp av en diskret sekvens xd(n). Dessutom kan

en sådan funktion xa(t) rekonstrueras exakt från sekvensen xd(n). Dessaviktiga resultat går i litteraturen under benämningen samplingsteoremet.

6.1 Sampling av signaler o h aliaseekten

För att klargöra sambandet mellan kontinuerliga o h diskreta signalrepre-

sentationer studerar vi följande grundläggande situation. Vi betraktar en

kontinuerlig signal xa(t). Denna samplas vid tidpunkterna nTs, så att

99

100 KAPITEL 6. DISKRET REPRESENTATION

man får den diskreta sekvensen

xa (nTs) = . . . , xa (−2Ts) , xa (−Ts) , xa (0) , xa (Ts) , xa (2Ts) , . . . .(6.1.1)

Tiden Ts kallas samplingstid eller samplingsperiod. Samplingsfrekvensen (i

Hz) denieras som

fs =1

Ts(6.1.2)

o h samplingsfrekvensen angiven som en vinkelfrekvens är

ωs = 2πfs =2π

Ts. (6.1.3)

Man kan naturligtvis tänka sig ett mera kompli erat samband mellan den

kontinuerliga o h diskreta signalen än den i ekvation (6.1.1). Det visar sig

emellertid att det är tillrä kligt att studera diskretiseringen enligt (6.1.1) för

att utreda sambandet mellan kontinuerliga o h diskreta signalrepresentatio-

ner.

Analysen av förhållandet mellan kontinuerliga o h diskreta signaler görs

bekvämast i frekvensplanet. För att ge en insikt i problematiken skall vi först

betrakta ett enkelt exempel med en sinusformad signal.

Exempel 6.1.1. Betrakta en sinusformad signal x0(t) med vinkelfrekvensen

ω0,

x0(t) = sin (ω0t) . (6.1.4)

Antag att signalen samplas med samplingsperioden Ts, varvid man får den

diskreta sekvensen x0 (nTs),

x0 (nTs) = sin (ω0Tsn) . (6.1.5)

Om man ur den samplade sekvensen x0 (nTs) entydigt kunde bestämma si-

nusfunktionens amplitud o h frekvens ω0 så skulle den kontinuerliga signalen

x0(t) kunna rekonstrueras ur den samplade sekvensen. Detta är emellertid

inte möjligt, eftersom det från sinusfunktionens periodi itet följer att

x0 (nTs) = sin (ω0Tsn) = sin

(

ω02π

ωsn

)

= sin

(

ω02π

ωsn + 2πln

)

= sin

(2π (ω0 + ωsl)

ωsn

)

= sin ((ω0 + ωsl) Tsn) , alla heltal l .

(6.1.6)

6.1. SAMPLING AV SIGNALER OCH ALIASEFFEKTEN 101

Detta innebär att signalerna xl(t) = sin ((ω0 + ωsl) t) ger samma diskreta

sekvens, xl (nTs) = x0 (nTs) för alla heltalsvärden l. Sinusfunktioner

med vinkelfrekvenserna

ωl = ω0 + ωsl , l = 0,±1,±2, . . . (6.1.7)

kan således inte urskiljas från varandra efter sampling. Situationen illustreras

i det mellersta diagrammet i gur 6.1.

Vinkelfrekvenserna ωl = ω0+ωsl (motsvarande frekvenserna fl = f0+fsl)kallas aliasfrekvenser till frekvensen ω0 (respektive f0) i avseende å samp-

lingsfrekvensen ωs, eftersom de alla förefaller identiska efter sampling. Feno-

menet i vilket ett antal frekvenser hos den kontinuerliga signalen blir identiska

efter diskretisering kallas aliaseekten (eng. aliasing).

Enligt ovan skulle det bästa man kan göra efter sampling vara att beskri-

va en kontinuerlig signal inom ett frekvensband av bredden ωs. Situationen

är emellertid t.o.m. ännu något sämre än så; i kapitel 3 såg vi att i spekt-

ret var de negativa frekvenserna inte oberoende av de positiva frekvenserna.

Spe iellt gäller för reella signaler sambandet X (−ω) = X∗ (ω). Frekvensenω i intervallet

[ωs

2, ωs

]har en aliasfrekvens ω − ωs i intervallet

[−ωs

2, 0]. Det

följer att signaler med frekvenser i intervallet

[ωs

2, ωs

]efter sampling ej kan

urskiljas från signaler med frekvenser i intervallet

[0, ωs

2

], p.g.a. sambandet

X (−ω) = X∗ (ω), såsom även följande exempel visar.

Exempel 6.1.2. Betrakta en periodisk signal med vinkelfrekvensen ω0 o h

fasen φ,

x(t) = cos (ω0t+ φ) . (6.1.8)

Antag att signalen samplas med samplingsfrekvensen ωs =2πTs, så att ω0 är i

intervallet

(ωs

2, ωs

), d.v.s.

ωs

2< ω0 < ωs. Härvid fås den diskreta sekvensen

x (nTs),

x (nTs) = cos (ω0nTs + φ) = cos

(

ω02π

ωsn + φ

)

. (6.1.9)

Betrakta sedan en annan signal xf (t) med frekvensen ωf = ωs−ω0 o h fasen

−φ,

xf(t) = cos (ωf t− φ) . (6.1.10)


Figur 6.1: Sampling av sinusformade signaler med samplingsfrekvensen ωs.

överst: sampling av lågfrekvent signal sin(ω0t) med ω0 = ωs/4. Mitten: samp-

ling av signalen sin(ω1t) ger ekvivalent samplad signal då ω1 = ω0 + ωs

är aliasfrekvens till ω0 (jfr exempel 6.1.1). Nederst: sampling av signalen

sin(ωf t− π) ger ekvivalent samplad signal då ωf = ωs − ω0 är den frekvens

som viks in till frekvensen ω0 (jfr exempel 6.1.2

Tydligen gäller 0 < ωf < ωs

2. Sampling av signalen xf (t) ger sekvensen

xf (nTs) = cos (ωfnTs − φ) = cos

(

ωf2π

ωsn− φ

)

= cos

(

ωf2π

ωs

n− φ− 2πn

)

= cos

((ωf − ωs) 2π

ωs

n− φ

)

= cos

(

−(ωf − ωs) 2π

ωsn + φ

)

, jämn funktion ,

= cos

(

ω02π

ωsn+ φ

)

, ω0 = ωs − ωf ,

= x (nTs) .

(6.1.11)

6.1. SAMPLING AV SIGNALER OCH ALIASEFFEKTEN 103

Här har vi utnyttjat dels aliasegenskapen från Exempel 6.1.1 samt det faktum

att osinus är en jämn funktion; cos (−θ) = cos (θ). Ekvationen (6.1.11)

innebär att de diskreta sekvenserna x (nTs) o h xf (nTs) ej kan urskiljas

från varandra. Frekvensvikning illustreras i det nedersta diagrammet i gur

6.1.

Exempel 6.1.2 visar att för varje periodisk signal x(t) med en frekvens ω0

i intervallet

[ωs

2, ωs

]existerar en annan periodisk signal xf(t) med frekvensen

ωf = ωs − ω0 i intervallet

[0, ωs

2

]så att de samplade sekvenserna x (nTs)

o h xf (nTs) är ekvivalenta, o h signalerna kan alltså ej särskiljas efter

sampling. Man säger att frekvensen ω0 från intervallet

[ωs

2, ωs

]viks in till

frekvensen ωf i intervallet

[0, ωs

2

](frekvensvikning, eng. frequen y folding),

ty frekvenserna ωf o h ω0 benner sig symmetriskt i förhållande till

ωs

2(ω0−

ωs

2= ωs

2−ωf). Frekvensvikning hänger ihop med aliaseekten, ty frekvensen

ω0 = −ωf +ωs är en aliasfrekvens till frekvensen −ωf , som i praktiken ej kan

urskiljas från frekvensen ωf .

För att undvika aliaseekten o h frekvensvikning bör en signal samplas

med tillrä kligt hög frekvens. Om man vet att frekvensen ω0 hos en sinus-

formad signal x(t) är mindre än ωmax, så bör samplingsfrekvensen väljas så

att ωmax < ωs

2, d.v.s. den skall satisera ωs > 2ωmax, för att frekvensen hos

x(t) skall kunna bestämmas entydigt ur den samplade sekvensen x (nTs).Halva samplingsfrekvensen ωN = ωs

2är känd som Nyquist-frekvensen, efter

Harry Nyquist (18891976), svensk-amerikansk ingenjör, känd bl.a. för fun-

damentala bidrag inom klassisk reglerteori.

Det är ofta av intresse att bestämma den till absoluta beloppet minsta

aliasfrekvensen ω0 till en given frekvens ω. Denna nns alltid i intervallet

−ωN < ω0 ≤ ωN . Det är enkelt att visa, att ω0 ges av formeln

ω0 = (ω + ωN) mod (ωs)− ωN , om ω > ωN , (6.1.12)

där a mod b anger resten vid division av a med b.Det nns era viktiga praktiska tillämpningar där det är viktigt att be-

akta aliaseekten o h frekvensvikning. Ett exempel är digitala audiotillämp-

ningar. I CD-spelare används samplingsfrekvensen 44,1 kHz för lagring av

den digitala audiosignalen. Nyquistfrekvensen är således 22,05 kHz, vilket ärnågot över 20 kHz, som är den övre gränsen för frekvenser som människan

uppfattar.

Övning 6.1.1. I guren 6.2 visas sampling o h rekonstruktionen av några

sinusformade signaler. Bestäm de rekonstruerade signalernas frekvenser.


Figur 6.2: Sampling o h rekonstruktion av sinusformade signaler. De hel-

dragna kurvorna anger ursrunglig signal o h de stre kade kurvorna anger

motsvarande rekonstruerad signal.

Exempel 6.1.3. Ett vardagsexempel på aliasfenomenet kan man se på en

lm som visar ett roterande kärrhjul eller liknande. Den ursprungligen tids-

kontinuerliga periodiska rotationen representeras här som en diskret bildse-

kvens ( a 20 bilder per sekund), se gur 6.3. När man ser på lmen uppfattas

rotationen som kontinuerlig med en frekvens som motsvarar den till absoluta

beloppet minsta aliasfrekvensen.

Intressant är att ett liknande fenomen kan observeras med bara ögon ge-

nom att titta snett på ett roterande hjul. Detta beror på att nervimpulserna

från syn ellerna i synfältets perifera delar sänds långsammare än vad hjär-

nans kapa itet förutsätter. Den bristande informationen kompletteras härvid

i hjärnan genom rekonstruktion, vilket kan leda till rekonstruktion som upp-

6.2. SHANNONS SAMPLINGSTEOREM 105

visar aliasfrekvenser.

Figur 6.3: Exempel på aliasing vid lmning av roterande hjul.

6.2 Shannons samplingsteorem

Resultaten i avsnitt 6.1 kan generaliseras till allmänna, i ke-periodiska sig-

naler. En sådan analys leder till en formel för hur en samplad kontinuerlig

signal kan rekonstrueras från den samplade sekvensen.

Vi skall betrakta en kontinuerlig signal xa(t) med Fouriertransformen

Xa(ω) denerad av ekvation (3.3.2). Signalen samplas med samplingstiden

Ts. Vi skall bestämma FouriertransformenXs(ω) hos den samplade sekvensen

xa (nTs).Observera först att då en sinusfunktion sin (ωt) samplas vid tidpunkterna

nTs = . . . ,−2Ts,−Ts, 0, Ts, 2Ts, . . . fås den diskreta signalen sin (ωTsn).Enligt exempel 6.1.1 ger sinusfunktioner med frekvensen ω o h dess alias-

frekvenser ω + ωsl upphov till samma diskreta sekvens (ekvation (6.1.6)).

En frekvensutve kling av den samplade signalen xa (nTs) består därför av

frekvenser begränsade till intervallet

[−ωs

2, ωs

2

]. Frekvensutve klingen av se-

kvensen xa (nTs) kan i analogi med ekvationerna (4.2.3) o h (4.2.2) skrivas

xa (Tsn) =Ts

2π

∫ ωs2

−ωs2

Xs (ω) ejωTsn dω , (6.2.1)

där Fouriertransformen Xs (ω) ges av

Xs (ω) =

∞∑

n=−∞xa (Tsn) e

−jωTsn . (6.2.2)


Observera att de tidigare formlerna (4.2.3) o h (4.2.2) för Fouriertransformen

av en diskret sekvens är ett spe ialfall av (6.2.1), (6.2.2) med samplingstiden

Ts = 1 o h ωs =2πTs

= 2π.

Å andra sidan har den kontinuerliga signalen xa(t) Fouriertransformre-

presentationen i enlighet med (3.3.1), (3.3.2),

xa(t) =1

2π

∫ ∞

−∞Xa (ω) e

jωt dω , (6.2.3)

där

Xa (ω) =

∫ ∞

−∞xa(t)e

−jωt dt . (6.2.4)

Representationen (6.2.3) ger för xa (Tsn),

xa (Tsn) =1

2π

∫ ∞

−∞Xa (ω) e

jωTsn dω , n = 0,±1,±2, . . . (6.2.5)

Genom att dela upp integralen i intervall av bredden ωs, alltså[ωsl − ωs

2, ωsl +

ωs

2

],

l = . . . ,−1, 0, 1, . . ., kan vi skriva (6.2.5) i formen

xa (Tsn) =1

2π

∫ ωs2

−ωs2

∞∑

l=−∞Xa (ω + ωsl) e

j(ω+ωsl)Tsn dω . (6.2.6)

Från periodi iteten hos exponentialfunktionen följer

ej(ω+ωsl)Tsn = ej(ωTsn+ωsTsln) = ej(ωTsn+2πln) = ejωTsn , l = 0,±1,±2, . . .

o h (6.2.6) kan skrivas

xa (Tsn) =1

2π

∫ ωs2

−ωs2

∞∑

l=−∞Xa (ω + ωsl) e

j(ω+ωsl)Tsn dω

=Ts

2π

∫ ωs2

−ωs2

1

Ts

[ ∞∑

l=−∞Xa (ω + ωsl)

]

ejωTsn dω

=Ts

2π

∫ ωs2

−ωs2

Xs (ω) ejωTsn dω ,

(6.2.7)

där vi introdu erat

Xs(ω) =1

Ts

[ ∞∑

l=−∞Xa (ω + ωsl)

]

. (6.2.8)


Ekvationerna (6.2.1), (6.2.7) o h (6.2.8) visar, att sambandet mellan den

kontinuerliga signalens xa(t) o h den samplade sekvensens xa (Tsn) Fouri-

ertransformer Xa (ω) o h Xs (ω) ges av ekvation (6.2.8).

Ekvation (6.2.8) ger den kvantitativa beskrivningen av aliasfenomenet

uttry kt med hjälp av signalernas Fouriertransformer. Sambandet mellan

Xa (ω) o h Xs (ω) visar expli it hur alla aliasfrekvenserna ω + ωsl bidrar

till den samplade signalens spektrum. Faktorn

1Ts

= fs = ωs

2πbehövs för att

kompensera för att samplingsperioden är olika ett.

Sambandet (6.2.8) ger o kså en insikt i möjligheterna att rekonstruera

den kontinuerliga signalen xa(t) från den samplade sekvensen xa (Tsn).Observera att sekvensen xa (Tsn) denierar entydigt spektret Xs (ω) o hvi e versa, o h på samma sätt denierar spektret Xa (ω) entydigt signalenxa(t) o h vi e versa. Det följer att rekonstruktion är möjlig om o h endast

om spektret Xa (ω) på ett entydigt sätt kan beräknas från Xs (ω). Samban-det (6.2.8) mellan de kontinuerliga o h diskreta signalernas spektra visar

exakt när detta är möjligt. Om Xa (ω) är olikt noll inom ett frekvensområ-

de −ωmax ≤ ω ≤ ωmax för vilken ωmax > ωs

2, är rekonstruktion inte möjlig,

eftersom det inte går att avgöra hur stor andel av Xs (ω) härstammar från

de olika aliasfrekvenserna. För en bandbegränsad signal xa(t) däremot, där

Xa (ω) försvinner för alla |ω| ≥ ωs

2, så kan Xa (ω) bestämmas på ett entydigt

sätt från Xs (ω) o h rekonstruktion blir möjlig. Situationen illustreras

1

i gu-

rerna 6.4 o h 6.5. Resultatet kan sammanfattas i det s.k. samplingsteoremet.

Sats 6.2.1. Shannons samplingsteorem.

En kontinuerlig signal xa(t) vars Fouriertransform Xa(ω) försvinner för|ω| ≥ ωmax, kan entydigt rekonstrueras från den samplade sekvensen xa (Tsn)om samplingsfrekvensen satiserar ωs > 2ωmax. Den kontinuerliga signalen

ges då av interpolationsformeln

xa(t) =

∞∑

n=−∞xa (nTs)

sin(

ωs(t−nTs)2

)

ωs(t−nTs)2

. (6.2.9)

1

Då man önskar illustrera enbart spektrets frekvensinnehåll, eller utbredningsområde

på ω-axeln är det kutym att använda trianglar eller nedåt öppnande parabler så att triang-

elns spets resp. parabelns vädnpunkt nns i frekvensintervallets mittpunkt. Dylika gurer

beskriver således inte variationen hos funktionen X (ω).


0

−ωs 0 ωs2

ωs

−ωs2

0 ωs2

Figur 6.4: S hematiskt: Spektret |Xa(ω)| hos en kontinuerlig signal (överst),

komponenterna |Xa(ω + ωsl)| (i mitten), samt den diskreta signalens spekt-

rum |Xs(ω)| (nederst). Villkoret ωmax < ωs

2gäller o h ingen aliasing fås.

Rekonstruktion är således möjlig.

Samplingsteoremet är ett klassiskt resultat inom signalteori, som härled-

des år 1949 av Claude Shannon i artikeln Communi ation in the Presen e of

Noise, (Pro eedings of the Institute of Radio Engineers, vol. 37, sid. 1021).

Shannon är mest känd för fundamentala arbeten inom informationsteori o h

kodning, vilka ligger till grund för den moderna informationsteorin.

Rekonstruktionsformeln (6.2.9) kallas Shannons rekonstruktionsformel.

Den kan enkelt härledas med hjälp av signalernas Fouriertransformer. Prin-

ipen illustreras i gur 6.6. Vi skall för fullständighetens skull presentera en

härledning av formeln (6.2.9) nedan.

Bevis. Härledning av Shannons rekonstruktionsformel (6.2.9).

Vi antar att signalen xa(t) är bandbegränsad, så att Xa (ω) = 0 för |ω| ≥ωmax, o h ωmax <

ωs

2. Då ger inga aliasfrekvenser bidrag till summan i (6.2.8),


0

−ωs 0 ωs2

ωs

−ωs2

0 ωs2

Figur 6.5: S hematiskt: Spektret |Xa(ω)| hos en kontinuerlig signal (överst),

komponenterna |Xa(ω + ωsl)| (i mitten), samt den diskreta signalens spekt-

rum |Xs(ω)| (nederst). Här är ωmax > ωs

2o h aliasing fås. Rekonstruktion är

således inte möjlig.

vilken redu eras till

Xs (ω) =1

TsXa (ω) , |ω| < ωs

2. (6.2.10)

Den kontinuerliga signalens spektrum Xa (ω) kan då entydigt beräknas ur

den diskreta sekvensens spektrum Xs (ω) enligt

Xa (ω) =

TsXs (ω) , |ω| < ωs

2,

0 , |ω| ≥ ωs

2.

(6.2.11)


xa(nTs)

xa(t)

Xs(ω)

Xa(ω)

(6.2.2)

(6.2.3)

(6.2.8)

(6.2.11)

(6.2.9)

Figur 6.6: Rekonstruktion av bandbegränsad kontinuerlig signal från samplad

sekvens via Fouriertransformerna.

Å andra sidan ges signalen xa(t) av (6.2.3), så att

xa(t) =1

2π

∫ ∞

−∞Xa (ω) e

jωt dω

=1

2π

∫ ωs2

−ωs2

Xa (ω) ejωt dω =

Ts

2π

∫ ωs2

−ωs2

Xs (ω) ejωt dω

=Ts

2π

∫ ωs2

−ωs2

[ ∞∑

n=−∞xa (nTs) e

−jωnTs

]

ejωt dω , jmf. (6.2.2)

=Ts

2π

∞∑

n=−∞xa (nTs)

∫ ωs2

−ωs2

ejω(t−nTs) dω .

(6.2.12)

Här är

∫ ωs2

−ωs2

ejω(t−nTs) dω =

ωs2/

−ωs2

ejω(t−nTs)

j (t− nTs)

=ej

ωs2(t−nTs) − e−j ωs

2(t−nTs)

j (t− nTs)

=2 sin

(ωs(t−nTs)

2

)

t− nTs.

(6.2.13)

6.3. PRAKTISK A/D- OCH D/A-OMVANDLING 111

Insättning i (6.2.12) o h beaktande av att ωs =2πTs

ger

xa(t) =Ts

2π

∞∑

n=−∞xa (nTs)

2 sin(

ωs(t−nTs)2

)

t− nTs

=∞∑

n=−∞xa (nTs)

sin(

ωs(t−nTs)2

)

ωs(t−nTs)2

,

(6.2.14)

vilket är (6.2.9).

6.3 Praktisk A/D- o h D/A-omvandling

Samplingsteoremet ger den teoretiska grunden för vad som är möjligt vid

diskret representation av en analog signal, o h hur den analoga signalen kan

rekonstrueras från den diskreta sekvensen. I praktiken realiseras signalom-

vandlingarna med hjälp av lter av ändlig ordning samt A/D- o h D/A-

omvandlare, som har en ändlig resolution.

6.3.1 Praktisk A/D-omvandling

Från samplingsteoremet vet vi att då en kontinuerlig signal samplas, så ger

frekvenser som är högre än halva samplingsfrekvensen upphov till en aliasef-

fekt. I praktiken innehåller kontinuerliga signaler så gott som alltid högfre-

kventa komponenter. För att undvika aliaseekten bör dessa ltreras bort

före sampling. Detta åstadkommas genom att införa ett lågpasslter före

A/D-omvandlaren enligt gur 6.7. Filtret F kallas antialias-lter.

Antag att signalen xa(t) har spektret Xa (ω). Filtret F i gur 6.7 påverkar

frekvenskomponenterna i den analoga signalen xa enligt

Xf (ω) = F (jω)Xa (ω) , (6.3.1)

där F (s) anger överföringsoperatorn hos ltret F , o h Xf (ω) är spektret hosden ltrerade signalen xf (t).

Ett lågpasslter karakteriseras av ett lågfrekvent passband |ω| ≤ ω1, där

|F (jω) | ≈ 1, o h ett högfrekvent spärrband ω ≥ ω2, där |F (jω) | ≪≪ 1.Intervallet ω1 < ω < ω2 utgör ett övergångsband mellan passband o h spärr-

band. För att undvika aliaseekten bör ltret F väljas så att frekvenser som


xa

F xf

A/D xd

Figur 6.7: Analog-till-digital omvandling.

är högre än halva samplingsfrekvensen nns i spärrbandet, dvs ω2 <ωs

2. De

frekvenskomponenter som man önskar bevara i den diskreta signalrepresen-

tationen bör benna sig i passbandet.

Dämpningen av frekvensen ω enligt (6.3.1) ges av förhållandet

|Xf (ω) ||Xa (ω) |

= |F (jω) | . (6.3.2)

Filterförstärkningar o h förhållandet mellan signalers storlek brukar anges i

en spe iell logaritmisk skala som kallas de ibel (dB). Förstärkningen |F (jω) |i (6.3.2) angiven i de ibel är 20 lg (|F (jω) |) de ibel. Faktorn 20 kommer

från det faktum, att 20 lg (|F (jω) |) = 10 lg (|F (jω) |2). Från avsnitt 3.3.1

har vi att en signals energi vid en frekvens är proportionell mot spektrets

kvadrat vid frekvensen. En de ibel är alltså 10 ggr tiologaritmen av energin.

En tiondedel av detta, alltså lg (|F (jω) |2), ger ett mått på förstärkningen

som ej oväntat kallas bel, o h som fått sitt namn efter Alexander Graham

Bell (18471922).

Det analoga lågpassltret bör implementeras i form av en elektronisk krets

o h konstrueras i praktiken vanligen med hjälp av standardkomponenter. En

vanlig typ av lågpasslter är Butterworth-ltren. Ett Butterworth-lter Bn(s)av ordningen n är konstruerad så att dess frekvensförstärkning är

|Bn (jω) | =√√√√

1

1 +(

ωωc

)2n . (6.3.3)

Här anger ωc ltrets bandbredd, o h är en frekvens mitt i övergångsbandet,

så att |Bn (jωc) | = 1√2. Ju högre lterordningen n är, desto brantare övergång

mellan passbandet o h spärrbandet fås. Filtrets bandbredd anges ofta i Hz;

fc =ωc

2π. Formeln för ltrets förstärkning kan då uttry kas som

|Bn (jω) | =√√√√

1

1 +(

ffc

)2n . (6.3.4)


Figurerna 6.8 o h 6.9 visar förstärkningen hos Butterworth lter av olika

ordning i linjär respektive logaritmisk skala.

0 0,5 1 1,5 20

0,5

1

ωωc

|Bn(jω)|

Figur 6.8: Förstärkning hos Butterworth lter med n = 1, 2, 4 o h 8.

Anmärkning 6.3.1. Antag att vi önskar begränsa frekvensförstärkningen hos

ett Butterworthlter enligt:

|Bn (jω) | =√√√√

1

1 +(

ωωc

)2n ≤ δ . (6.3.5)

Vi kan nu med en enkel kalkyl från olikheten ovan utreda vad detta betyder


10−1 100 101

−80

−60

−40

−20

0

ωωc

20lg|B

n(jω)|/

dB

Figur 6.9: Förstärkning hos Butterworth lter med n = 1, 2, 4 o h 8 i loga-

ritmisk skala (dB).

för vinkelfrekvenserna

√√√√

1

1 +(

ωωc

)2n ≤ δ ⇔

1 +

(ω

ωc

)2n

≥ 1

δ2⇔

| ωωc

| ≥ 2n

√

1

δ2− 1 ⇒

ω ≤ −ωc2n

√

1

δ2− 1 ∨ ω ≥ ωc

2n

√

1

δ2− 1 ∨

|ωc

ω| ≤ 2n

√

δ2

1− δ2⇔

−ω2n

√

δ2

1− δ2≤ωc ≤ ω

2n

√

δ2

1− δ2.

(6.3.6)

Olikheterna ovan kan alltså utnyttjas för att bestämma maximal bandbredd

eller erforderlig Nyquistfrekvens i en situation med angiven dämpning hos


ltret. Se exempel nedan på detta.

Vid spe ikationen av antialias-ltret är det o kså ändamålsenligt att

beakta resolutionen vid A/D-omvandlingen. I praktiken konstrueras ltret

alltså så, att det dämpar frekvenser ovanför Nyquistfrekvensen

ωs

2till en nivå

som inte påverkar A/D-omvandlaren. Detta är fallet om det kan garanteras

att frekvenserna dämpas till en nivå som understiger kvantiseringsbruset i

A/D-omvandlaren.

Kvantiseringsfelet vid A/D-omvandling kan bestämmas på följande sätt.

Vid digital representation kan signalvärdena ej anta vilka realtalsvärden som

helst, utan avrundas till en av 2B nivåer, som beror av antalet binära siror

som används vid representationen. Detta introdu erar ett kvantiseringsfel e.Om V anger hela talområdet som skall representeras, så ges avståndet qmellan kvantiseringsnivåerna av

q =V

2B − 1≈ V

2B. (6.3.7)

Om man antar att det analoga signalvärdet avrundas till närmaste kvanti-

seringsnivå är det maximala kvantiseringsfelet ± q2. En skattning av den ge-

nomsnittliga storleken hos kvantiseringsfelet kan bestämmas genom att anta

att det är likformigt fördelat i intervallet

[− q

2, q2

]. Det har då en konstant

frekvensfunktion P (e) = q−1, väntevärdet noll, o h variansen ges av

σ2e =

∫ q2

− q2

e2P (e) de =1

q

∫ q2

− q2

e2 de

=1

q

q2/

− q2

e3

3=

q2

12.

(6.3.8)

Exempel 6.3.1. Betrakta ett system för analog-till-digital omvandling med

samplingsfrekvensen 100 kHz. Det krävs att felet på grund av aliasfenomenet

är högst 2 % av signalnivån. Man använder ett Butterworth lter av första

ordningen, o h önskar bestämma lämplig bandbredd för ltret.

Det gäller alltså att bestämma lämpligt värde för frekvensen ωc i ekva-

tion (6.3.3) för Butterworth-ltrets förstärkning. Kravet att felet på grund av

aliasfenomenet skall vara högst 2 % av signalnivån motsvarar enligt (6.3.2),

|Xf (ω) ||Xa (ω) |

= |Bn (jω) | ≤ 0,02 , ∀ω < ωN .


Vi har således δ = 0,02 enligt anmärkning 6.3.1. I detta fall är Nyquistfre-

kvensen ωN = 12· 2π · 100 · 103 = 105π (rad/s). Kravet på dämpning uppfylls

av ett Butterworth lter av första ordningen om frekvensen ωc väljs så att

villkoret √√√√

1

1 +(

ωωc

)2 ≤ 0,02

gäller för alla ω < ωN . Detta är fallet om

ωc ≤ ω2n

√

δ2

1− δ2< ωN

2n

√

δ2

1− δ2≈ ωNδ ,

som ger ωc < 2π · 103 (rad/s), eller fc < 1,0 kHz.

Övning 6.3.1. Bestäm lämpligt värde för frekvensen ωc om man använder

ett Butterworth-lter av fjärde ordning i exempel 6.3.1.

Exempel 6.3.2. Betrakta problemet att bestämma lämplig samplingsfrekvens

o h antialias-lter då man använder en 12 bitars A/D-omvandlare, o h det

intressanta frekvensbandet som man önskar representera i den digitala sig-

nalen består av frekvenser mellan 0 o h 4 kHz.För att aliaseekten ej skall påverka diskretiseringen skall antialias-ltret

dämpa frekvenser som ger upphov till aliaseekt till en nivå som motsvarar

kvantiseringsfelets storlek. Kvantiseringsfelets storlek är maximalt

q2, där q =

V2B−1

≈ V2B, o h V anger insignalens maximala amplitud. Om vi betraktar

kvantiseringsfelet statistiskt som ett brus, så är dess genomsnittliga storlek

enligt (6.3.8) σe = q√12

= q

2√3. För att garantera att en signal av maximal

storlek V dämpas till en nivå som motsvarar kvantiseringsfelets storlek bör

frekvenserna i spärrbandet dämpas minst med faktorn

Vσe

≈√3 ·2B+1

. I detta

exempel antogs B = 12, o h vi har således kravet

|Xf (ω) ||Xa (ω) |

≤ 1√3× 2B+1

∣∣∣∣∣B=12

=1

14189= −83 dB .

Antialias-ltret bör således satisera |F (jω) | ≤ 114189

för alla ω < ωs

2= ωN .

Om vi som antialias-lter väljer ett Butterworth lter, så får vi villkoret

√√√√

1

1 +(

ffc

)2n ≤ 1

14189, f <

fs2

= fN .


Om vi väljer fc = 4 kHz (motsvarande den högsta frekvens som skall repre-

senteras) o h lterordningen n = 6 (ett vanligt använt Butterworth lter) fås

enligt anmärkning 6.3.1 med δ = 114189

f ≥ fc12

√

1

δ2− 1 ≈ 4,9fc ≈ 20 kHz .

Det följer att samplingsfrekvensen då skall vara minst fs = 2f = 2 ·20 kHz =40 kHz.

Vi skall till slut även uppskatta aliasfelet vid 4 kHz. Det största bidraget

till aliasfelet vid denna frekvens härstammar från aliasfrekvensen fs−4 kHz,alltså den frekvens i intervallet

(fs2, fs), som genom frekvensvikning blandas

med frekvensen 4 kHz, jämför avsnitt 6.1. Frekvensen fs − 4 kHz = 36 kHzdämpas med faktorn

√

1

1 +(364

)12 = 1,88 · 10−6 .

Då en signal vid fc = 4 kHz av Butterworth ltret dämpas med faktorn

1√2, är förhållandet mellan aliasfelet o h signalnivån vid 4 kHz approximativt

1,88·10−6

1√2

= 2,7 · 10−6.

6.3.2 Praktisk digital-till-analog omvandling

Shannons resultat (6.2.9) denierar den ideala rekonstruktionsformeln, som

exakt rekonstruerar en bandbegränsad signal. Formeln är emellertid främst

av teoretiskt intresse, o h är inte spe iellt användbar i praktiken. En be-

gränsning hos (6.2.9) är att xa(t) är en funktion av alla sampel xa (Tsn),−∞ < n < ∞. Formeln lämpar sig därför i allmänhet inte för realtids-

tillämpningar, eftersom beräkning av xa(t) kräver kunskap om (alla) framti-

da sampelvärden xa (Tsn), med Tsn > t. En annan egenskap som begränsar

användningen av (6.2.9) är det faktum att vikterna sin(

(t−Tsn)ωs

2

)/

(t−Tsn)ωs

2

konvergerar rätt långsamt mot noll då |t − Tsn| växer, vilket medför att

många termer bör medtas för att approximera summan i (6.2.9) noggrant.

Vid digitala implementeringar har den ideala rekonstruktionsformeln do k

funnit praktiska tillämpningar, se nedan.

Av dessa orsaker används praktiska rekonstruktionsmetoder som är enkla-

re att implementera. Den ideala rekonstruktionsformeln (6.2.9) ger en insikt


xd

D/A x H

xa

Figur 6.10: Digital-till-analog omvandling.

i hur en sådan metod skall konstrueras. Man kan enkelt visa att signalen

xa(t) enligt (6.2.9) ges som utsignalen från ett idealt lågpasslter, vars in-

signal är sekvensen xa (Tsn). Det ideala lågpassltret har förstärkningen 1för |ω| ≤ ωs

2o h förstärkningen 0 för |ω| > ωs

2. Ett sätt att approximera den

ideala rekonstruktionsformeln är därför att använda ett reellt, i ke-idealt,

analogt lågpasslter H med en lämpligt vald bandbredd ωb < ωs

2. Jämför

gur 6.10.

Ett reellt lter har alltid ett övergångsband mellan passbandet, där för-

stärkningen är ungefär 1, o h spärrbandet, där förstärkningen är liten. Ju

smalare övergångsbandet är, desto högre krav ställs på det analoga ltret. Vid

rekonstruktion av en bandbegränsad signal med bandbredden ωmax bör ωmax

benna sig i ltrets passband, för att alla frekvenser hos signalen skall fås

med, medan Nyquistfrekvensen ωN = ωs

2bör benna sig i ltrets spärrband,

för att undvika aliasfrekvenser. Ju mindre skillnaden ωN−ωmax är, desto hög-

re krav ställs således på rekonstruktionsltret. Det är av denna orsak som sig-

nalen i en CD-spelare översamplas med fyrfaldig frekvens 4 ·fs = 4 ·44,1 kHzföre D/A omvandling. översamplingen lämnar ωmax oförändrad, men fyrdubb-

lar

ωs

2. Detta gör den maximalt tillåtna bredden hos det analoga ltrets

övergångsband betydligt större, vilket medger mera realistiska lterspe i-

kationer för det analoga rekonstruktionsltret. I den översamplade signalen

bör de mellanliggande signalvärdena xa (Tsn + Ts/4), xa (Tsn + 2Ts/4)o h xa (Tsn + 3Ts/4) rekonstrueras från sekvensen xa (Tsn), men då det-

ta kan göras digitalt utgör strikta lterspe ikationer inget problem. I CD-

teknik rekonstrueras de tre mellanliggande signalvärdena med hjälp av den

ideala rekonstruktionsformeln (6.2.9). CD-spelaren använder således o kså

framtida signalvärden. Det analoga ltret som rekonstruerar den kontinu-

erliga signalen bör däremot implementeras i form av hårdvara med hjälp av

elektroniska kretsar.

Valet av lågpassltret H efter D/A-omvandlaren beror av funktionen hos

D/A-omvandlaren. En vanlig typ av D/A-omvandlare produ erar en sty kevis


konstant utsignal enligt

x(t) = xd (nTs) , nTs ≤ t < nTs + Ts . (6.3.9)

Detta slags element kallas för nollte ordningens hållkrets (eng. zero-order

hold; ZOH), eftersom (den konstanta) signalen x(t) mellan samplingstid-

punkterna kan uppfattas som utsignalen från ett nollte ordningens system.

Spektret hos den kontinuerliga utsignalen från en nollte ordningens hållkrets

fås enligt denitionen,

X (ω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωt dt =

∞∑

n=−∞xd (nTs)

∫ nTs+Ts

nTs

e−jωt dt . (6.3.10)

Här ges integralen av

∫ nTs+Ts

nTs

e−jωt dt =

∫ Ts

0

e−jω(t′+nTs) dt′ , t′ = t− nTs

= e−jωnTs

∫ Ts

0

e−jωt′ dt′

= e−jωnTse−jωTs − 1

(−jω)

= e−jωnTs1

jωe−jω Ts

2

(

ejωTs2 − e−jω Ts

2

)

= e−jωnTs1

jωe−jω Ts

2 2j sin

(

ωTs

2

)

= e−jωnTsTs

2

1

ω Ts

2

e−jω Ts2 2j sin

(

ωTs

2

)

= Tse−jωnTs · e−jω Ts

2sin(ω Ts

2

)

ω Ts

2

= Tse−jωnTs · ZOH(ω) ,

(6.3.11)

där vi infört bete kningen

ZOH(ω) = e−jω Ts2

sin(ω Ts

2

)

ω Ts

2

. (6.3.12)

Insättning i (6.3.10) ger

X (ω) = Ts

∞∑

n=−∞xd (nTs) e

−jωnTs · ZOH (ω) . (6.3.13)


Här observerar vi i enlighet med (6.2.2) att spektret Xd (ω) hos den diskreta

sekvensen x (nTs) är

Xd (ω) =∞∑

n=−∞xd (nTs) e

−jωnTs , (6.3.14)

så att (6.3.13) kan skrivas i formen

X (ω) = ZOH(ω) · Ts ·Xd (ω) . (6.3.15)

Denna ekvation ger spektret hos den kontinuerliga utsignalen från en nollte

ordningens hållfunktion som funktion av den diskreta sekvensens spektrum.

Faktorn Ts =2πωs

kompenserar för det faktum att det diskreta spektret Xd (ω)denierats för en sekvens som samplats med perioden Ts, o h den har mot-

svarande funktion som faktorn

1Ts

som förekommer i ekvation (6.2.8). Ekva-

tion (6.3.15) denierar spektret hos den kontinuerliga utsignalen x(t) från

en nollte ordningens hållfunktion för alla frekvenser. Observera att det dis-

kreta spektret Xd (ω) är periodiskt med perioden ωs; Xd (ω + ωsl) = Xd (ω),jämför t.ex. ekvation (6.3.14). Spektret X (ω) består således av alla aliasfre-

kvenser till frekvenserna hos den diskreta signalen. Dessutom viktas de olika

frekvenserna med faktorn ZOH(ω), som karakteriserar hållfunktionens dyna-

mik. Figur 6.11 illustrerar den diskreta signalen x (nTs), den kontinuerliga

signalen x(t) från hållkretsen, samt spektren i ekvation (6.3.15).

Funktionen ZOH(ω) är densamma som förekom i exempel 3.3.2. Vi såg

tidigare att funktionen innehåller en betydande mängd högfrekventa kompo-

nenter (jämför anmärkning 3.2.4), som bör ltreras bort för att ej ge upphov

till i ke-önskade sidoeekter i den rekonstruerade analoga signalen.

För att korrekt rekonstruera den analoga signalen ltreras x(t) enligt

gur 6.10. Den analoga signalen xa(t) i gur 6.10 har spektret

Xa (ω) = H (jω) · ZOH(ω) · Ts ·Xd (ω) . (6.3.16)

Enligt sambandet (6.2.8) eller (6.2.11) är vid ideal rekonstruktion Xa (ω) =Ts · Xd (ω) för frekvenser ω < ωs

2o h Xa (ω) = 0 för högre frekvenser. Va-

let av lågpassltret H kan göras på basen av ekvation (6.3.16) så att ideal

rekonstruktion approximeras till en spe i erad noggrannhet.

Exempel 6.3.3. Betrakta rekonstruktionen av en analog audiosignal enligt

gur 6.10 med en nollte ordningens hållfunktion. Signalen är bandbegränsad


nTs

xd (nTs)

0 ωs 2ωs

|Xd (ω) |

t

x(t)

0 ωs 2ωs

|ZOH (ω) |

|X (ω) |

Figur 6.11: Signalerna x(nTs) o h x(t) samt frekvensfunktionerna i ekva-

tion (6.3.15).

med bandbredden 20 kHz. Samplingsfrekvensen är 176,4 kHz. Det krävs attaliasfrekvenser dämpas med minst 50 dB o h de intressanta signalkomponen-

terna får ändras med maximalt 0,5 dB.

Figur 6.12 illustrerar det diskreta spektret Xd (ω) samt faktorn |ZOH(ω) |från nollte ordningens hållfunktion. Enligt (6.3.15) dämpar nollte ordningens

hållfunktion frekvensen 20 kHz med faktorn

|ZOH(ω) | = sin(ωTs

2

)

ωTs

2

= 0,9790 = −0,184 dB vid ω = 2π · 20 · 103 rad

s.

Den totala dämpningen av produkten av nollte ordningens hållfunktion o h

ltret H ges av |H (jω) · ZOH(ω) | = |H (jω) | · |ZOH(ω) |. Från den logarit-

miska denitionen av de ibelskalan följer att den totala dämpningen i de ibel


helt enkelt är summan av de enskilda dämpningarna angivna i de ibel,

20 lg (|H (jω) · ZOH (ω) |) = 20 lg (|ZOH(ω) |) + 20 lg (|H (jω) |) dB .

Det följer således från spe ikationerna att ltret H får ha en maximal dämp-

ning motsvarande 0,5 dB− 0,184 dB = 0,316 dB vid 20 kHz. Med andra ord

skall ltrets H förstärkning vid 20 kHz satisera olikheten 20 lg (|H (jω) |) ≥−0,316 dB

Eftersom signalen är bandbegränsad försvinner det diskreta spektretXd (ω)för frekvenser mellan 20 kHz o h Nyquistfrekvensen 88,2 kHz. Det följer attXd (ω) = 0 o kså för frekvenser mellan 88,2 kHz o h frekvensen (176,4 −20) kHz. Enligt (6.3.15) är den lägsta aliasfrekvens som påverkar signalen

således frekvensen (176,4− 20) kHz, ty på grund av periodi iteten är Xd (ω)ekvivalent vid f = ω

2π= (176,4 − 20) kHz o h f = ω

2π= −20 kHz. Enligt

(6.3.15) dämpas frekvenser vid 176,4 kHz−20 kHz = 156,4 kHz med faktorn

|ZOH(ω) | = sin(ωTs

2

)

ωTs

2

= 0,125 = −18dB vid ω = 2π · 156 · 103 .

Det följer från spe ikationerna att ltret H bör dämpa frekvenser vid 156,4 kHzminst med en faktor motsvarande 50 dB−18 dB = 32 dB. Med andra ord skall

ltrets H förstärkning vid 156,4 kHz satisera olikheten 20 lg (|H (jω) |) ≤−32 dB.

Om vi antar ett Butterworth lter med ordningen n o h bandbredden fcfår vi enligt ovan villkoren

20 lg

√

1 +

(20

fc

)2n

≤ 0,316 dB ,

20 lg

√

1 +

(156,4

fc

)2n

≥ 32 dB .

Det minsta (heltals) n för vilket dessa olikheter satiseras är n = 3, varvidexmpelvis fc = 32 kHz uppfyller spe ikationerna.

6.3.3 Tillämpningar på digital kommunikation

Digital representation av analoga signaler har omfattande användning inom

digital kommunikation. Som tidigare konstaterats, kan bitsekvenser överföras


−0,184 dB

−18 dB

|Xd (ω) ||ZOH (ω) |

0 20 156,4 176,4 f (kHz)

Figur 6.12: Diskreta signalens spektrum |Xd(ω)| o h faktorn |ZOH(ω) | iexempel 6.3.3.

genom modulering av bärvågor. Bitsekvenserna i sin tur representerar sym-

bolsekvenser. Dessa kan bestå av de diskreta signaler som representerar en

bandbegränsad signal.

En standardmetod för att bestämma den digitala representationen av en

analog signal är pulskodmodulering (eng. pulse- ode modulation PCM). I

denna samplas den analoga, bandbegränsade, signalen vid ekvidistanta tid-

punkter genom multiplikation med en pulssekvens (se gur 6.15). Resultatet

kvantiseras o h representeras digitalt. Då endast en bråkdel av den totala

samplingsperioden Ts behövs för pro essering o h överföring av den digitalt

kodade signalen, är det möjligt att använda samma kommunikationskanal

(frekvensband) för samtidig överföring av era signaler. Detta kan åstad-

kommas genom att tilldela de olika signalerna antingen var sin tidsintervall

(TDMA Time Division Multiple A ess) eller kodord (CDMA Code Di-

vision Multiple A ess).


Exempel 6.3.4. TDMA

Prin ipen för TDMA (Time Division Multiple A ess) visas i gur 6.14

o h den praktiska implementeringen av förfarandet visas s hematiskt i gur

6.15. TDMA används t.ex. i GSM mobiltelefonsystem för parallell överföring

av era signaler på samma kommunikationskanal.

|

|

|

|

Ts------- -----------

Figur 6.13: Pulskodmodulering. Analog signal (överst) modulerar en puls-

sekvens (i mitten) o h resultatet ger efter kvantisering en digital samplad

signal (nere).

Exempel 6.3.5. CDMA

En svaghet hos TDMA är att om den överförda signalen korrumperas av

brus, kan symbolen under ett tidsintervall som hänför sig till en signal lätt

tappas bort helt. En metod som är mera robust mot brus fås genom att i


• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

|

|

|

|

Ts------- -----------

Figur 6.14: Pulskodmodulering o h TDMA. Flera analoga signaler kan över-

föras på samma kanal genom pulskodmodulering.

stället sprida de olika signalernas symboler över alla tidsintervall genom att

representera de olika symbolerna med hjälp av givna kodord. För att inse hur

detta kan åstadkommas betrakta ett trivialt exempel där fyra diskreta signaler

sänds över samma kanal. Antag att under ett samplingsintervall symbolerna

s1, s2, s3 o h s4 asso ierade med de fyra signalerna skall sändas. I TDMA

sänds då under samplingsintervallet symbolerna separat som den diskreta se-

kvensen x(1), x(2), x(3), x(4) = s1, s2, s3, s4. I CDMA däremot sprids

symbolerna över hela sekvensen x(m), n = 1, 2, 3, 4 med hjälp av lämpligt


GLP

lågpasslter

(antialias)

x1

GLPx2

.

.

.

GLP

xM

PCM

kanal

PCM

pulskod-

modulering

kommunikations-

kanal

pulskod-

demodulering

lågpasslter

(rekonstruktion)

GLP y1

GLP y2

.

.

.

GLP yM

Figur 6.15: Prin ipskiss av ett TDMA system. De inkommande analoga (tids-

kontinuerliga) signalerna xi lågpassltreras o h fördelas på olika tidsintervall

med en multiplexer. Den resulterande signalen pulskodmoduleras till en se-

kvens digitala symboler som kan transmitteras med hjälp av en bärvåg (jfr

avsnitt 3.1.1). Den mottagna signalen demoduleras till en tidsdiskret sig-

nalsekvens, ur vilken de enskilda signalerna rekonstrueras med hjälp av en

multiplexer (synkroniserad med sändarens) samt analoga rekonstruktionsl-

ter.

valda kodord. Tag t.ex. de fyra kodorden

c1(n) = 1, 1, 1, 1c2(n) = 1, 1,−1,−1c3(n) = 1,−1, 1,−1c4(n) = 1,−1,−1, 1 .

Observera att kodordssekvenserna är ortogonala, dvs

4∑

n=1

ck(n)cl(n) =

0 , k 6= l ,4 , k = l .

(6.3.17)

I CDMA representeras symbolen s1 med kodsekvensen c1(n) i form av se-

kvensen s1c1(n), n = 1, 2, 3, 4. Symbolen s2 representeras analogt som se-

kvensen s2c2(n), n = 1, 2, 3, 4 o.s.v. för s3 o h s4. Den transmitterade

signalen x(n), n = 1, 2, 3, 4 hanteras sedan som summan av de enskilda


symbolerna sekvenser

x(n) = s1c1(n) + s2c2(n) + s3c3(n) + s4c4(n) , n = 1, 2, 3, 4 .

I motsats till TDMA sprids de olika symbolerna alltså över alla element i den

transmitterade signalen. Ta k vare kodsekvensernas ortogonalitet (6.3.17)

kan den korrekta symbolen enkelt bestämmas vid mottagaren: Värdet hos

symbolen sk fås genom att multipli era den transmitterade signalen x(n)elementvis med motsvarande kodordsekvens ck(n), d.v.s.

1

4

4∑

n=1

x(n)ck(n) =1

4

4∑

n=1

[s1c1(n) + s2c2(n) + s3c3(n) + s4c4(n)] ck(n)

= sk .

CDMA används t.ex. i tredje generationens mobiltelefoni (3G).

Anmärkning 6.3.2. Bandbredd o h symbolhastighet

Nyquists o h Shannons samband mellan kontinuerliga o h diskreta signal-

representationer har intressanta konsekvenser för symbolhastigheten, alltså

antalet symboler som kan transmitteras per tidsenhet över en kommunika-

tionskanal med given bandbredd. Vi har sett att det nns ett entydigt sam-

band mellan spektren hos en diskret sekvens med samplingsfrekvensen fs o hen kontinuerlig bandbegränsad signal med bandbredd < fs

2. Enligt Shannons

rekonstruktionsformel (6.2.9) består den kontinuerliga signalens spektrum då

av exakt samma frekvenskomponenter som den diskreta signalens spektrum.

Det följer att den kontinuerliga signalen bör ha samma bandbredd som den

diskreta signalen för att tillåta ett entydigt samband mellan signalerna. Ef-

tersom en diskret signal med samplingsfrekvensen fs kan ha ett spektrum

bestående av frekvenser upp till

fs2måste en asso ierad kontinuerlig signal

o kså bestå av frekvenskomponenter upp till

fs2. Vid amplitudmodellering av

en bärvåg upptar en dylik signal bandbredden fs, se avsnitt 3.1.1.Ovanstående observationer leder till det fundamentala resultatet:

Maximala symbolhastigheten hos en brusfri kommunikationskanal med

bandbredden f är f symboler per sekund.

Kapitel 7

Diskreta signaler o h system

I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler o h sy-

stem. För diskreta signaler introdu eras z-transformen, som ligger som grund

för representationen av linjära diskreta system med hjälp av överföringsfunk-

tioner. Överföringsfunktionen beskriver på ett my ket kompakt sätt frekvens-

svaret hos ett system, o h den är därför oumbärlig vid syntes av lter.

7.1 Linjära tidsinvarianta system

Denition 7.1.1. Ett diskret system H transformerar en diskret signal

x(n) till en annan diskret signal y(n), jämför gur 7.1. Ett diskret sy-

stem är linjärt, om elementen i utsignalsekvensen beror linjärt av elementen

i insignalsekvensen,

y(n) =∞∑

k=−∞h(k)x(n− k) , n = . . . ,−1, 0, 1, . . . (7.1.1)

Sekvensen h(k) kallas systemets impulssvar, eftersom h(k) anger hur en

impuls x(n − k) = 1 vid tiden n − k påverkar systemets utsignal y(n) ktidpunkter senare.

Om systemets egenskaper inte förändras med tiden, d.v.s. impulssvaret

h(k) är en funktion av enbart k o h inte av tidpunkten vid vilken impulsen

sker, kallas systemet tidsinvariant. Termen skiftinvariant används som en al-

ternativ benämning för diskreta tidsinvarianta system. För linjära tidsinva-

rianta system används allmänt förkortningen LTI system (eng. Linear Time

Invariant system).

129

130 KAPITEL 7. DISKRETA SIGNALER OCH SYSTEM

H y(n)x(n)

Figur 7.1: Diskret system.

Ett system vars utsignal y(n) är en funktion av endast tidigare insignaler

x(n), x(n − 1), . . ., men inte av framtida insignaler x(n + 1), x(n + 2), . . .,kallas kausalt. Hos ett kausalt system försvinner impulssvaret för negativa k;h(k) = 0, k < 0, o h utsignalen ges av

y(n) =∞∑

k=0

h(k)x(n− k)

= h(0)x(n) + h(1)x(n− 1) + h(2)x(n− 2) + · · ·(7.1.2)

Vid realtidstillämpningar förekommer nästan uteslutande kausala system.

Däremot kan i ke-kausala system my ket väl förekomma i samband med o-

line beräkningar, såsom vid bildbehandling m.m.

Denition 7.1.2. Operationerna i ekvationerna (7.1.1) o h (7.1.2) kallas

diskret faltning eller konvolution (eng. onvolution). Faltningen av sekven-

serna h = h(k) o h x = x(k) ges av (7.1.1), o h brukar bete knas med

en asterisk,

y = h ∗ x . (7.1.3)

Problemet att beräkna utsignalen från ett linjärt system uppstår i era

signalbehandlingstillämpningar. Beräkningen av faltningen av två sekvenser

utgör därför en av de viktigaste numeriska beräkningsoperationerna i signal-

behandling.

7.2 z-transformen

Det visar sig att analysen av diskreta signaler o h system blir enklare om

man representerar signaler o h system med hjälp av en spe iell transform,

den s.k. z-transformen.

7.2. Z-TRANSFORMEN 131

Denition 7.2.1. För en sekvens x(n) denierad för alla heltal n är z-transformen

X(z) = Z (x(n)) =∞∑

n=−∞x(n)z−n , (7.2.1)

där z är en komplex variabel.

Transformen i ekvation (7.2.1) är en s.k. dubbelsidig z-transform. I era

sammanhang är det ändamålsenligt att studera signaler som försvinner för

negativa tider, x(n) = 0, n < 0. Transformen redu eras då till den enkelsidiga

z-transformen

X(z) =∞∑

n=0

x(n)z−n = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + · · · (7.2.2)

Ekvationen (7.2.2) denierar z-transformen som den komplexa funktion

X(z), vars potensserie utve klad i potenser av z−1har koe ienterna i se-

kvensen x(n). Funktionen X(z) är denierad för de värden på variablen

z, för vilka summan i (7.2.2) konvergerar. Mängden av z-värden för vilka

summan konvergerar beror således av egenskaperna hos sekvensen x(n).Vi observerar från denitionen (7.2.2), att summan i allmänhet ej konver-

gerar för godty kligt små |z|, utan |z| bör vara tillrä kligt stort för att ge

konvergens.

Det vore i era avseenden naturligare att i stället för (7.2.2) deniera en

transform med hjälp av en Taylorserieutve kling i potenser av z. En orsak

till att z-transformen denieras enligt (7.2.1) o h (7.2.2) är att sambandet

mellan z-transformen o h Fouriertransformen på detta sätt blir spe iellt en-

kelt. Från denitionen (4.2.2) av Fouriertransformen av diskreta signaler har

vi att Fouriertransformen X (ω) kan uttry kas som

X (ω) =∞∑

n=−∞x(n)e−jωn

=∞∑

n=−∞x(n)

(ejω)−n

= X(z)∣∣∣z=ejω

.

(7.2.3)

z-tranformen kan således uppfattas som en generalisering av Fouriertransfor-

men. Varje sekvens som har en Fouriertransform har även en z-transform.

Däremot har endast de signaler vars z-transform konvergerar för z = ejω en

Fouriertransform vid ifrågavarande frekvens.


z-transformen är den diskreta motsvarigheten till Lapla e-transformen

för kontinuerliga signaler. I det kontinuerliga fallet existerar nämligen ett

liknande samband mellan Fouriertransformen o h Lapla etransformen, jäm-

för ekvation (3.3.20). I enlighet med Lapla etransformen kan z-transformen

utnyttjas för att studera egenskaperna hos diskreta system. z-transformerna

för ett antal vanliga sekvenser ges i tabell 7.1.

Exempel 7.2.1. Betrakta stegfunktionen

u(n) =

0 , n < 0 ,1 , n ≥ 0 .

(7.2.4)

Från denitionen får vi stegfunktionens z-transform som

U(z) = Z (u(n)) =∞∑

n=0

1 · z−n = 1 + z−1 + z−2 + · · ·

=1

1− z−1=

z

z − 1.

(7.2.5)

Vi observerar att (den geometriska) serien konvergerar om |z−1| < 1, d.v.s.då |z| > 1. Exempelvis för z = ej0 = 1 divergerar serien, o h Fouriertrans-

formen existerar således ej vid frekvensen noll.

Exempel 7.2.2. Exponentialfunktionen

x(n) =

0 , n < 0 ,cn ,

(7.2.6)

har z-transformen

X(z) =∞∑

n=0

cn · z−n = 1 + cz−1 + c2z−2 + · · ·

= 1 + cz−1 + (cz−1)2 + · · · = 1

1− cz−1=

z

z − c.

(7.2.7)

Resultatet kan jämföras med den tabellerade z-transformen för c = e−a, se

tabell 7.1. I detta fall konvergerar summan om |cz−1| < 1, d.v.s. |z| > |c|.Spe iellt gäller att z-transformen existerar o kså för divergerande sekvenser

med |c| > 1. Däremot har sådana sekvenser ingen Fouriertransform, eftersom

summan divergerar för alla z = ejω om |c| > 1.

7.2. Z-TRANSFORMEN 133

Vi skall till slut notera några viktiga egenskaper hos z-transformen.

Lemma 7.2.3. Linjäritet

Om X1(z) = Z (x1(n)) o h X2(z) = Z (x2(n)) så har sekvensen

y(n) = c1x1(n) + c2x2(n) transformen

Y (z) = Z (c1x1(n) + c2x2(n)) = c1X1(z) + c2X2(z) . (7.2.8)

Resultatet följer direkt ur denitionen.

Lemma 7.2.4. Inverkan av tidsförskjutning

Låt X(z) = Z (x(n)). Denera den tidsförskjutna sekvensen xl(n) =x(n− l), där vi antar l > 0. Sekvensen xl(n) fås således genom att låta

sekvensen x(n) fördröjas med l tidssteg. Den tidsförskjutna sekvensens z-transform Xl(z) ges då av

Xl(z) = Z (x(n− l)) = z−lX(z) . (7.2.9)

Bevis. Detta följer direkt ur denitionen, ty Xl(z) ges av

Xl(z) =∞∑

n=−∞x(n− l)z−n

=∞∑

m=−∞x(m)z−m−l , m = n− l ,

= z−l

∞∑

m=−∞x(m)z−m = z−lX(z)

(7.2.10)

Här användes den dubbelsidiga z-tranformen, men resultatet gäller ana-

logt sätt för den enkelsidiga transformen.

Anmärkning 7.2.1. Transformen för sekvensen x−l(n) = x(n + l) ges av

X−l(z) = Z (x(n + l)) = zlX(z) . (7.2.11)

I detta fall förskjuts den ursprungliga sekvensen l tidssteg bakåt (vi antar,

att l > 0). Detta samband gäller även för den enkelsidiga transformen, för-

utsatt att den tidsförskjutna sekvensen x−l(n) = x(n+ l) försvinner för

negativa n, d.v.s. vi har x(0) = x(1) = · · · = x(l − 1) = 0.


Anmärkning 7.2.2. Sambandet (7.2.9) denierar z som en s.k. skiftoperator ;

multiplikation av transformen med z skiftar den motsvarande sekvensen med

en tidsenhet;

X1(z) = zX(z) ⇔ x1(n) = x(n + 1) . (7.2.12)

Denna egenskap innebär att z kan operera direkt på sekvensens element,

alltså

zx(n) = x(n + 1) o h z−1x(n) = x(n− 1) . (7.2.13)

Skiftoperatorer utgör en generell klass av operatorer, med era spe iella egen-

skaper.

7.3 Diskreta överföringsoperatorer

En av de viktigaste tillämpningarna för z-transformen nns i analysen av

linjära system. Spe iellt gäller att faltningen (7.1.2) av två sekvenser är pro-

dukten av sekvensernas z-transformer. Analysen av linjära diskreta system

är därför i era avseenden betydligt enklare att göra i z-transformplanet än

i tidsplanet. Här har vi en analogi med situationen i det kontinuerliga fal-

let, där lösningen av dierentialekvationer med hjälp av Lapla etransformen

redu eras till algebraiska ekvationer som innehåller produkter av komplexa

funktioner.

Betrakta det kausala linjära tidsinvarianta systemet denierad av ekva-

tion (7.1.2), vars impulssvar ges av sekvensen h(n) = h(0), h(1), . . .. LåtH(z) bete kna z-transformen av impulssvaret,

H(z) =

∞∑

n=0

h(n)z−n . (7.3.1)

Då har vi följande viktiga resultat.

Sats 7.3.1. Ett linjärt systems inverkan på z-transformen

Utsignalsekvensen y(n) i ekvation (7.1.2) har z-transformen

Y (z) = H(z)X(z) , (7.3.2)

där H(z) ges av (7.3.1) o h X(z) = Z (x(n)).

7.3. DISKRETA ÖVERFÖRINGSOPERATORER 135

Bevis. Vi observerar att systemets utsignal i ekvation (7.1.2) kan delas upp

enligt

y(n) = y0(n) + y1(n) + y2(n) + · · · , (7.3.3)

där yk(n), k = 0, 1, 2, . . . denieras enligt

yk(n) = h(k)x(n− k) . (7.3.4)

Från egenskapen (7.2.9) följer att z-transformen av sekvensen yk(n) är

Yk(z) = h(k)z−kX(z) , (7.3.5)

o h (7.3.3) o h z-transformens linjäritet impli erar

Y (z) = Y0 + Y1 + Y2 + · · ·=(h(0) + h(1)z−1 + h(2)z−2 + · · ·

)X(z)

= H(z)X(z) ,

(7.3.6)

vilket är (7.3.2).

I z-transformplanet kan således ett linjärt systems inverkan på en se-

kvens uttry kas som en multiplikation av sekvensens transform med funktio-

nen H(z). Funktionen H(z) kallas systemets överföringsfunktion eller över-

föringsoperator.

En spe iellt viktig klass av system är de vars överföringsfunktion består

av kvoten av två polynom i z−1(en rationell funktion i z−1

),

H(z) =a0 + a1z

−1 + · · ·+ aMz−M

1 + b1z−1 + · · ·+ bNz−N, (7.3.7)

eller analogt,

H(z) =a0z

N + a1zN−1 + · · ·+ aMzN−M

zN + b1zN−1 + · · ·+ bN. (7.3.8)

Denna typ av överföringsoperator motsvaras i tidsplanet av en dierensekva-

tion av ordningen N . Detta kan ses genom substitution av uttry ket (7.3.7)

i (7.3.6), vilket ger

Y (z) =a0 + a1z

−1 + · · ·+ aMz−M

1 + b1z−1 + · · ·+ bNz−NX(z) , (7.3.9)


eller

(1 + b1z

−1 + · · ·+ bNz−N)Y (z) =

(a0 + a1z

−1 + · · ·+ aMz−M)X(z) .(7.3.10)

Om vi beaktar egenskapen (7.2.9) fås att (7.3.10) är ekvivalent med

Z (y(n) + b1y(n− 1) + · · ·+ bNy(n−N)) =Z (a0x(n) + a1x(n− 1) + · · ·+ aMx(n−M)) ,

(7.3.11)

vilket är överensstämmer med

y(n) + b1y(n− 1) + · · ·+ bNy(n−N) =

a0x(n) + a1x(n− 1) + · · ·+ aMx(n−M) , n = . . . ,−1, 0, 1, . . .(7.3.12)

Detta är en linjär dierensekvation av ordningen N . Vi har alltså visat att

ett system som beskrivs av en linjär dierensekvation av ordningen N repre-

senteras av en överföringsfunktion vars nämnarpolynom har ordningen N .

Sådana system sägs ha ordningen N .

Anmärkning 7.3.1. Sambandet (7.3.2) ger en eektiv metod för beräkning

av faltningen (7.1.3) av två sekvenser. Enligt ovan motsvaras faltningen av

en multiplikation av sekvensernas z-transformer enligt (7.3.2). Å andra sidan

har vi sambandet (7.2.3) mellan z-transformen o h Fouriertransformen. Det

följer att omH (ω) o h X (ω) är Fouriertransformerna av sekvenserna h(k)o h x(k), så ges Fouriertransformen av sekvensen y(n) av

Y (ω) = H (ω)X (ω) . (7.3.13)

En numeriskt eektiv metod för beräkning av faltningen av två sekvenser be-

står således av att beräkna diskreta Fouriertransformen av sekvenserna med

hjälp av FFT, multipli era transformerna elementvis, o h till slut bestämma

den sökta faltningen genom beräkna inversa diskreta Fouriertransformen av

produkten med hjälp av IFFT.

Följande exempel illustrerar hur z-transformen kan användas för att ana-

lysera o h förenkla linjära diskreta system.

Exempel 7.3.2. Vi skall bestämma utsignalsekvensen y(0), y(1), y(2), . . .från ett diskret system som beskrivs av dierensekvationen

y(n)− 0,9y(n− 1) + 0,5y(n− 2) = x(n)− 0,2x(n− 1) ,

7.3. DISKRETA ÖVERFÖRINGSOPERATORER 137

K

x(n) y(n)

r(n)

e(n)G

−+

Figur 7.2: Diskret systemkoppling.

då y(n) = x(n) = 0, n < 0 o h x(0) = x(1) = · · · = 1.Sambandet mellan in- o h utsignalernas z-transformer är enligt (7.3.9)

Y (z) =1− 0,2z−1

1− 0,9z−1 + 0,5z−2X(z) .

I detta fall är insignalen en stegfunktion, vars transform är (jämför exempel

7.2.1)

X(z) =1

1− z−1,

så att

Y (z) =1− 0,2z−1

(1− 0,9z−1 + 0,5z−2) (1− z−1). (7.3.14)

För att bestämma den sökta sekvensen y(0), y(1), y(2), . . . bör z-transformen

Y (z) inverteras (d.v.s. baklängestransformeras). På detta sätt kan en ana-

lytisk lösning av dierensekvationen bestämmas. Metoder för invertering av

z-transformer beskrivs i avsnitt 7.5.

Övning 7.3.1. Betrakta systemkopplingen i gur 7.2, där systemet G de-

nieras av dierensekvationen

y(n)− 0,8y(n− 1) = e(n)

o h K denieras av

r(n)− 0,5r(n− 1) = y(n− 1) + 0,1y(n− 2) .


Visa att utsignalens z-transform ges av

Y (z) =1− 0,5z−1

1− 0,3z−1 + 0,5z−2X(z) .

7.4 Stabiliteten hos linjära diskreta system

Vid syntes av diskreta system o h lter är det viktigt att garantera systemets

stabilitet. I signalbehandlingstillämpningar brukar stabiliteten hos ett system

deneras på följande sätt:

Denition 7.4.1. Ett system H säges vara stabilt om varje begränsad

insignalsekvens ger upphov till en begränsad utsignalsekvens. Med en be-

gränsad insignalsekvens avses i detta sammanhang att x(n) skall satis-

era |x(n)| < Mx < ∞, ∀n, o h y(n) skall på samma sätt satisera

|y(n)| < My < ∞, ∀n.

Denna denition av stabilitet brukar kallas BIBO-stabilitet (Bounded-

Input-Bounded-Output-stabilitet).

Lemma 7.4.1. Stabiliteten hos ett system kan enkelt karakteriseras med

hjälp av systemets impulssvar o h överföringsfunktion. Vi har att ett system

är stabilt om o h endast om impulssvaret h(k) satiserar olikheten

∞∑

k=0

|h(k)| < ∞ . (7.4.1)

Bevis. Begränsningen (7.4.1) hos impulssvaret impli erar att för varje be-

gränsad insignalsekvens |x(n)| < Mx satiserar utsignalen olikheten

|y(n)| = |∞∑

k=0

h(k)x(n− k)| ≤∞∑

k=0

|h(k)x(n− k)|

=

∞∑

k=0

|h(k)| |x(n− k)| ≤∞∑

k=0

|h(k)| Mx < ∞ .

(7.4.2)

Om å andra sidan villkoret (7.4.1) inte gäller, ger den begränsade insignalse-

kvensen

x(n− k) =

|h(k)|h(k)

, om h(k) 6= 0 ,

0 , om h(k) = 0 ,(7.4.3)

7.4. STABILITETEN HOS LINJÄRA DISKRETA SYSTEM 139

en oändlig utsignal, ty

y(n) =

∞∑

k=0

h(k)x(n− k) =

∞∑

k=0

|h(k)| = ∞ . (7.4.4)

Därmed impli erar en ändlig utsignal att villkoret (7.4.1) gäller.

Stabilitetsvillkoret kan ges en spe iellt enkel formmed hjälp av överförings-

funktionen H(z). Spe iellt gäller att stabiliteten kan uttry kas med hjälp av

polerna hos funktionen H(z). överföringsfunktionen är en funktion av den

komplexa variabeln z. De värden z = pi för vilka |H (pi) | = ∞ kallas funk-

tionens poler. Polerna hos en rationell överföringsfunktion av formen (7.3.7)

eller (7.3.8) är helt enkelt nämnarpolynomets nollställen. Vi har följande

stabilitetsresultat.

Sats 7.4.2. Stabiliteten hos linjära diskreta system.

Ett linjärt diskret system som representeras av överföringsfunktionenH(z)är stabilt om o h endast om alla poler pi hos H(z) är till absoluta beloppet

mindre än ett, |pi| < 1, d.v.s. de benner sig innanför enhets irkeln.

Bevis. Resultatet följer direkt ur stabilitetskriteriet (7.4.1), ty från överfö-

ringsfunktionens denition (7.3.1) har vi att för alla |z| ≥ 1 gäller

|H(z)| ≤∞∑

n=0

|h(n)z−n| ≤∞∑

n=0

|h(n)||z−n|

≤∞∑

n=0

|h(n)| , |z| ≥ 1 .

(7.4.5)

Det följer att för ett stabilt system är H(z) begränsad för alla |z| ≥ 1 o h

kan därför inte ha poler utanför enhets irkeln. Det omvända kan visas med

liknande argumentering.

Övning 7.4.1. Undersök stabiliteten hos ett system som beskrivs av die-

rensekvationen

y(n) + cy(n− 1) = dx(n) . (7.4.6)

Bestäm stabilitetsvillkor med hjälp av såväl impulssvaret som överföringso-

peratorn.


7.5 Invertering av z-transformen

Vi har ovan sett att utsignalen från diskreta system för olika insignaler på ett

kompakt sätt kan uttry kas med hjälp av z-transformen. Det är då av intresse

att bestämma den diskreta signal som motsvarar den erhållna z-transformen.

Detta är ekvivalent med problemet att beräkna inversen av z-transformen;

x(n) = Z−1[

X(z)]

. Som vi sett har z-transformerna ofta formen av en

rationell funktion i z−1,

X(z) =a0 + a1z

−1 + · · ·+ aMz−M

1 + b1z−1 + · · ·+ bNz−N. (7.5.1)

Vi skall i det följande diskutera systematiska metoder för beräkning av den

inversa z-transformen av rationella funktioner.

Metod 7.5.1. Serieutve kling o h lång division

Den enklaste pro eduren för invertering av z-transformer baserar sig di-

rekt på denitionen (7.2.2). Från denitionen följer att z-transformen i (7.5.1)

kan utve klas enligt

X(z) =a0 + a1z

−1 + · · ·+ aMz−M

1 + b1z−1 + · · ·+ bNz−N

= x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + x(3)z−3 + · · ·(7.5.2)

Den sökta sekvensen x(n) kan således bestämmas genom att utföra divi-

sionen med hjälp av s.k. lång division. Ekvationen kan skrivas i formen

(1 + b1z

−1 + · · ·+ bNz−N) (

x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + x(3)z−3 + · · ·)

= a0 + a1z−1 + · · ·+ aMz−M .

(7.5.3)

Kravet att koe ienterna för de olika potenserna av z skall överensstämma

ger ekvationerna

z−0-termen: a0 = x(0)

z−1-termen: a1 = x(0)b1 + x(1)

z−2-termen: a2 = x(0)b2 + x(1)b1 + x(2)

.

.

.

.

.

.

(7.5.4)

från vilka den sökta sekvensen x(0), x(1), x(2), . . . kan bestämmas rekursivt.

7.5. INVERTERING AV Z-TRANSFORMEN 141

I denna metod fås den sökta sekvensen rekursivt o h metoden är ekvi-

valent med att i tidsplanet direkt lösa en dierensekvation som motsvaras

av överföringsfunktionen X(z) o h vars insignal är en impuls vid tidpunkten

n = 0 (vars z-transform är lika med 1). Mera intressanta metoder för att

bestämma inversa z-transformen är sådana som ger lösningen analytiskt.

Övning 7.5.1. Använd lång division för att bestämma utsignalsekvensen

y(0), y(1), y(2), . . . från systemet i exempel 7.3.2, vars transform gavs av

(7.3.14).

Metod 7.5.2. Residymetoden

Från sambandet (7.2.3) mellan z-transformen o h Fouriertransformen samt

det faktum att inversen av Fouriertransformen ges av (4.2.1) har vi

x(n) =1

2π

∫ 2π

ω=0

X(ejω)ejωn dω =

1

2πj

∫

|z|=1

X(z)zndz

z, z = ejω ,

(7.5.5)

där vi infört substitutionen z = ejω o h utnyttjat det faktum att dz =jejωdω = jzdω. Enligt teorin för analytiska komplexa funktioner kan inte-

graler av denna form uttry kas med hjälp av integrandens residyer evaluerade

vid polerna innanför integrationsområdet.

Eftersom invertering av z-transformen med hjälp av partialbråksuppdel-

ning o h tabellerade z-transformer i de esta sammanhang är lika användbar

o h dessutom enklare att tillämpa än residymetoden, kommer denna inte att

diskuteras mera ingående här. För mera detaljer hänvisas till t.ex. Ifea hor

o h Jervis (1993).

Metod 7.5.3. Användning av partialbråksuppdelning o h tabellerade z-transformer

Betrakta funktionen X(z) i (7.5.1). Om nämnarpolynomet har enbart

enkla nollställen z = pi, så att det kan faktoriseras enligt

1+b1z−1+· · ·+bNz

−N =(1− p1z

−1)·(1− p2z

−1)·. . .·

(1− pNz

−1), (7.5.6)

så kan funktionen X(z) partialbråkuppdelas enligt

X(z) = C0 +C1

1− p1z−1+

C2

1− p2z−1+ · · ·+ CN

1− pNz−1

= C0 +C1z

z − p1+

C2z

z − p2+ · · ·+ CNz

z − pN.

(7.5.7)


Eftersom z-transformen är linjär kommer transformen av en summa att

bli lika med summan av transformerna. Således kan den inversa transfor-

men bestämmas med hjälp av kända inverser för de enskilda termerna i ut-

ve klingen. Från exempel 7.2.2 har vi att

zz−pi

är transformen av sekvensen

xi(n) = pni . Vi får således att den sökta sekvensen x(n) vars transformär X(z) ges av

x(n) = C0 + C1pn1 + C2p

n2 + · · ·+ CNp

nN . (7.5.8)

Formeln gäller även i det fall att det nns komplexkonjugerade nollställen,

pk = p∗l , varvid bidragen från dessa kan kombineras ihop till en reell term, se

övning 7.5.2.

Ifall nämnarpolynomet i (7.5.1) har ett m-dubbelt nollställe pk, kommer

partialbråksuppdelningen att innehålla termer av formen

m∑

i=1

Di

(z − pk)i (7.5.9)

med olika potenser upp till m av faktorn z − pk i nämnaren. Den inversa

z-transformerna av dessa kan bestämmas med hjälp av de tabellerade z-transformerna.

Övning 7.5.2. Visa att utsignalsekvensen y(0), y(1), y(2), . . . från syste-

met i exempel 7.3.2, vars transform gavs av

Y (z) =1− 0,2z−1

(1− 0,9z−1 + 0,5z−2) (1− z−1),

är

y(n) =4

3−0,5

3(1 + 2,8418j) (0,45 + 0,5454j)n−0,5

3(1− 2,8418j) (0,45− 0,5454j)n ,

vilket, uttry kt med hjälp av endast reella tal, är ekvivalent med

y(n) =4

3− 2

31,5063

(1

2

)n2

cos (0,88098 · n + 1,2324) .

Veriera att den erhållna sekvensen är den samma som erhölls i övning 7.5.1.


Exempel 7.5.1. Fibona i

1

introdu erade år 1202 en berömd talföljd, som

beskriver antalet kaniner i förökning under ett antal år. Det antas att varje

kaninpar produ erar ett nytt kaninpar varje år, o h att det dröjer ungefär ett

år för ungarna att bli vuxna. Om man startar med ett kaninpar år noll, har

man alltså ett fullvuxet kaninpar år ett. År två har man två kaninpar (det

ursprungliga paret plus ett nytt par ungar) o h år tre har man tre kaninpar

(de två från år två plus ett nytt par ungar), o.s.v. så att antalet kaninpar

y(n) år n är lika med med antalet y(n − 1) från året tidigare plus antalet

ungar som produ eras av de fullvuxna kaninerna från föregående år, alltså

y(n− 2) st. Talföljden beskrivs således rekursivt av dierensekvationen

y(n) = y(n− 1) + y(n− 2) ,

med starttillståndet y(0) = y(1) = 1.Vi bestämmer nu analytiskt y(n) med de tidigare metoderna för lösning

av dierensekvationer. Starttillståndet beaktas nu genom insignalsekvensen

x(n) =

1 , n = 0 ,0 , n 6= 0 .

Dierensekvationen med insignalen ovan kan skrivas i standardform enligt

y(n)− y(n− 1)− y(n− 2) = x(n) ,

där y(n) = 0 för n < 0. Sätter vi in n = 0 o h n = 1 i ovanstående dieren-

sekvation så har vi överensstämmelse med det givna starttillståndet. Sekven-

sen x(n) har z-transformen X(z) = 1 så vi får med beaktande av (7.3.12)

samt (7.3.9) utsignalens (dierensekvationens lösning) z-transform:

Y (z) =1

1− z−1 − z−2=

z2

z2 − z − 1.

Nämnarpolynomet ovan kan faktoriseras enligt z2 − z− 1 = (z − p1) (z − p2)med rötterna, som kan beräknas med rotformeln, enligt

p1 =1 +

√5

2, p2 =

1−√5

2.

1

Leonardo av Pisa (Leonardo Fibona i, Leonardo Pisano, Leonardo från Pisa eller

bara Fibona i), född i Pisa runt 1170, död irka 1250, räknas som en av Italiens o h

världens största matematiker.


Vi utnyttjar faktoriseringen ovan för att förenkla z-transformen, via en par-

tialbråksuppdelning

Y (z) =z2

z2 − z − 1= z2

(A1

z − p1+

A2

z − p2

)

= z2(A1 + A2) z − A1p2 − A2p1

(z − p1) (z − p2).

För att detta skall stämma identiskt för alla z-värden krävs att A1 + A2 = 0samt −A1p2 − A2p1 = 1. Löser man detta ekvationssystem fås A1 = 1√

5=

−A2. Således har vi den enkla formen

Y (z) = z

(A1z

z − p1+

A2z

z − p2

)

.

Granskning av tabell 7.1 visar nu att den första termen i parentesen ovan är

z-tranformen av sekvensen A1pn1 medan den andra termen är z-tranformen

av sekvensen A2pn2. Därmed kan vi skriva

A1z

z − p1= A1

(1 + p1z

−1 + p1z−2 + p1z

−3 + · · ·),

A2z

z − p2= A2

(1 + p2z

−1 + p2z−2 + p2z

−3 + · · ·),

vilket ger för utsignalen

Y (z) = zA1

(1 + p1z

−1 + p1z−2 + p1z

−3 + · · ·)

+ zA2

(1 + p2z

−1 + p2z−2 + p2z

−3 + · · ·)

= (A1 + A2) z + (A1p1 + A2p2) +(A1p

21 + A2p

22

)z−1 +

(A1p

31 + A2p

32

)z−2 + · · ·

Beaktande av A1 + A2 = 0 leder då till att ovanstående är z-transformen av

sekvensen

y(n) =A1p1 + A2p2, A1p

21 + A2p

22, A1p

31 + A2p

32, · · ·

,

eller

y(n) = A1pn+11 +A2p

n+12 =

1√5

(

1 +√5

2

)n+1

− 1√5

(

1−√5

2

)n+1

, n = 0, 1, 2, . . .

Anmärkning 7.5.1. Observera att lösningen av en linjär dierensekvation för

en stor mängd av insignaler har en z-transform av formen (7.5.1). Den presen-

terade metoden ger således en enkel pro edur för att bestämma en analytisk

lösning till en linjär dierensekvation. Metoden är analog med pro eduren

att lösa dierentialekvationer med hjälp av Lapla etransformen.


Sekvens z-transform Konvergens-

x(n) , n ≥ 0 X(z) område

cδ(n) c Alla z

ccz

z − 1|z| > 1

cncz

(z − 1)2|z| > 1

cn2 cz(z + 1)

(z − 1)3|z| > 1

ce−αn cz

z − e−α|z| > e−α

cne−αn cze−α

(z − e−α)2|z| > e−α

1− e−αn z(1 − e−α)

z2 − z(1 + e−α) + e−α|z| > e−α

cos(αn)z(z − cosα)

z2 − 2z cosα + 1|z| > 1

sin(αn)z sinα

z2 − 2z cosα + 1|z| > 1

e−αn sin(αn)ze−α sinα

z2 − 2e−αz cosα + e−2α|z| > e−α

e−αn cos(αn)ze−α(zeα − cosα)

z2 − 2e−αz cosα + e−2α|z| > e−α

cosh(αn)z(z − coshα)

z2 − 2z coshα + 1|z| > coshα

sinh(αn)z sinhα

z2 − 2z coshα + 1|z| > sinhα

cαn cz

z − α|z| > |α|

cnαn cαz

(z − α)2|z| > |α|

Tabell 7.1: z-transformerna av några vanliga sekvenser. Här är c o h α reella

konstanter, o h δ(n) är impulsfunktionen; δ(n) = 0, n 6= 0 o h δ(0) = 1.

Kapitel 8

Syntes av digitala lter

8.1 Digitala lter

I kapitel 7 hade vi sambandet (7.3.2) för ett linjärt system, enligt vilket

utsignalens z-transform är insignalens transform multipli eradmed systemets

överföringsfunktion

Y (z) = H(z)X(z) (8.1.1)

Här är z-transformerna nära besläktade med signalernas spektra eller Fouri-

ertransformerna. Enligt (7.2.3) har vi sambanden

X (ω) = X(z)∣∣∣z=ejω

o h Y (ω) = Y (z)∣∣∣z=ejω

.(8.1.2)

Vi får således

Y (ω) = H(ejω)X (ω) . (8.1.3)

Om vi uttry ker de komplexa funktionerna ovan med hjälp av magnitud o h

fas,

X (ω) = |X (ω) |ej arg(X(ω))

H(ejω)= |H

(ejω)|ej arg(H(ejω)) ,

(8.1.4)

så ges utsignalens spektrum med magnitud o h fas av

Y (ω) = |Y (ω) |ej arg(Y (ω)) , (8.1.5)

där

|Y (ω) | = |H(ejω)||X (ω) |

arg (Y (ω)) = arg (X (ω)) + arg(H(ejω))

.(8.1.6)

147

148 KAPITEL 8. SYNTES AV DIGITALA FILTER

Sambandet (8.1.3) eller (8.1.5) visar hur ett linjärt system H påverkar de oli-

ka frekvenskomponenterna i insignalen. Systemet H fungerar som ett lter,

som förstärker eller dämpar olika frekvenskomponenter hos insignalen x be-

roende på beloppet av |H (ejω) |. Funktionen |H (ejω) | visar hur magnituden

av olika frekvenskomponenter påverkas av systemet H . Förutom att inverka

på magnituden hos de olika frekvenskomponenterna, inför systemet även en

fasförskjutning av storleken arg (H (ejω)). Den komplexa funktionen H (ejω)kallas ltrets frekvenssvar. Ett lters frekvenssvar H (ejω) kan åskådliggöras

graskt i ett s.k. Bode-diagram, som anger magnituden |H (ejω) | o h fas-

förskjutningen arg (H (ejω)) som funktioner av frekvensen ω (se kurserna i

reglerteknik).

Anmärkning 8.1.1. Det är värt att notera det enkla sambandet (8.1.3) mellan

in- o h utsignalernas spektra. Detta enkla samband, som kan karakteriseras

med hjälp av en komplex multiplikation, utgör en av orsakerna till den stora

betydelse som frekvensalysen har fått inom era tillämpningar. En följd av

(8.1.3) är att utsignalen från ett linjärt tidsinvariant system ej kan innehålla

frekvenser som ej nns i insignalen. Endast tidsvarianta system eller olinjära

system kan generera sådana frekvenskomponenter i utsignalen som ej nns i

insignalen.

Observation 8.1.1. Det är skäl att observera några egenskaper hos frekvens-

svaret H (ejω). Från denitionen av H(z) har vi

H(ejω)=

∞∑

n=0

h(n)e−jωn . (8.1.7)

Frekvenssvaret är alltså Fouriertransformen av impulssvaret h(n) = h(0) ,h(1), h(2), . . .. Då koe ienterna h(n) är reella följer att

H(e−jω

)= H∗ (ejω

). (8.1.8)

Från den komplexa exponentialfunktionens periodi itet följer dessutom att

H (e−jω) = H(ej(2π−ω)

). Frekvenssvaret har alltså symmetriegenskapen

H(e−j(2π−ω)

)= H∗ (ejω

), (8.1.9)

frekvenssvaret i intervallet [π, 2π] är alltså komplexa konjugatet av frekvessva-

ret i intervallet [0, π]. Det rä ker därför med att spe i era frekvenssvaret i

intervallet [0, π] för att entydigt deniera det för alla frekvenser.

8.1. DIGITALA FILTER 149

Följande exempel visar, hur ett lter som uppdelar en signal i sina fre-

kvenskomponenter kan tillämpas för signalrekonstruktion.

Exempel 8.1.2. I exempel 2.0.1 betraktades problemet att rekonstruera en

signal x från en observerad signal y = Fx+ e. Om signalerna är diskreta ges

spektret hos y av

Y (ω) = F(ejω)X (ω) + E (ω) .

Antag att x har ett spektrum som är kon entrerat till ett lågfrekvensband

|ω| ≤ ω1, medan bruset e består av höga frekvenser |ω| ≥ ω2 > ω1. Signalen

x kunde då rekonstrueras genom att konstruera ett lågpasslter H(z) som

satiserar |H (ejω) | ≈ 1, |ω| ≤ ω1 o h |H (ejω) | ≈ 0, |ω| ≥ ω2. Då fås

H(ejω)Y(ejω)= H

(ejω)F(ejω)X(ejω)+H

(ejω)E(ejω)

≈ F(ejω)X(ejω),

o h signalen x kan approximativt rekonstrueras genom att välja xr = F−1Hy,vilket ger

Xr

(ejω)= F−1

(ejω)H(ejω)Y(ejω)≈ X

(ejω),

som är ekvivalent med xr ≈ x.

Anmärkning 8.1.2. Frekvenssvaret hos ett linjärt system för en periodisk

signal x(n) = ejωn bestående av en enda frekvens ω kan enkelt härledas

i tidsplanet direkt utgående från ekvationen (7.1.2). Vi får

y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n− 1) + h(2)x(n− 2) + · · ·= h(0)ejωn + h(1)ejω(n−1) + h(2)ejω(n−2) + · · ·=(h(0) + h(1)e−jω + h(2)e−2jω + · · ·

)ejωn

= H(ejω)ejωn ,

(8.1.10)

vilket är ekvivalent med (8.1.3) begränsad till en frekvenskomponent.

Vi skall ännu veriera att systemet har den förväntade eekten på signaler

av formen sin (ωn) o h cos (ωn). Insignalsekvensen i (8.1.10) kan skrivas

i en reell o h imaginär komponent enligt

ejωn = cos (ωn) + j sin (ωn) , n = 0,±1,±2, . . .

Det följer att den reella komponenten av utsignalen y(n) är systemets svar

på insignalen cos (ωn), o h den imaginära komponenten av utsignalen är


systemets svar för insignalen sin (ωn). De reella o h imaginära komponen-

terna hos utsignalen (8.1.10) kan bestämmas genom att introdu era magni-

tuden o h fasen hos överföringsoperatorn, H (ejω) = |H (ejω) |ej arg(H(ejω)),varvid (8.1.10) kan skrivas

y(n) = |H(ejω)|ej arg(H(ejω))ejωn = |H

(ejω)|ej(ωn+arg(H(ejω))) . (8.1.11)

Här har vi

ej(ωn+arg(H(ejω))) = cos[ωn+ arg

(H(ejω))]

+ j sin[ωn+ arg

(H(ejω))]

.

Det följer att systemets transformerar sekvensen cos (ωn) enligt

y(n) = |H(ejω)| cos

[ωn+ arg

(H(ejω))]

(8.1.12)

o h på samma sätt fås att systemets svar för insignalsekvensen sin (ωn) är

y(n) = |H(ejω)| sin

[ωn+ arg

(H(ejω))]

. (8.1.13)

Systemet förstärkning o h fasförskjutning av frekvensenkomponenten ω över-

ensstämmer således med det tidigare erhållna resultatet.

Övning 8.1.1. Betrakta ett diskret system av första ordningen,

y(n)− ay(n− 1) = x(n) . (8.1.14)

Bestäm systemets frekvenssvar (förstärkning o h fasförskjutning) för de nu-

meriska värdena a = 0,6 o h a = −0,6 o h samplingstiden 0,2 s. Åskådliggörsambanden i form av ett Bode-diagram.

8.1.1 Klassi ering

Filtren klassi eras enligt sitt impulssvar i lter med ändligt impulssvar o h

lter med oändligt impulssvar. Ett lter med ett ändligt impulssvar ges av

y(n) =N−1∑

k=0

h(k)x(n− k)

= h(0)x(n) + h(1)x(n− 1) + · · ·+ h(N − 1)x(n−N + 1) .

(8.1.15)

8.2. FILTERSPECIFIKATIONER 151

En standardiserad förkortning för sådana lter är FIR lter (Finite Impulse

Response). Ett lter med ett oändligt impulssvar har formen

y(n) =∞∑

k=0

h(k)x(n− k) . (8.1.16)

Standardförkortningen för sådana lter är IIR lter (Innite Impulse Re-

sponse). I praktiken har IIR lter en ändlig ordning, o h de kan därför

skrivas i formen (jämför ekvation (7.3.12))

y(n) + b1y(n− 1) + · · ·+ bNy(n−N) =

a0x(n) + a1x(n− 1) + · · ·+ aMx(n−M) , n = . . . ,−1, 0, 1, . . .(8.1.17)

8.2 Filterspe ikationer

Filtersyntes går ut på att konstruera ett lter vars frekvenssvar uppfyller giv-

na spe ikationer. Typiska spe ikationer är att ltret eektivt skall spärra

vissa oönskade frekvenskomponenter i insignalen, medan de intressanta fre-

kvenskomponenternas storlek o h (relativa) fasförskjutning skall vara opåver-

kade. Vid ltersyntesen bör olika begränsningar beaktas som ltret i prakti-

ken skall uppfylla. En viktig begränsning i era tillämpningar är att ltret

bör vara kausalt. En annan begränsning är att ltret skall ha ändlig ordning

(som i praktiken do k kan vara my ket högt). Nedan kommer vi att se att

dessa krav begränsar de frekvenssvar som i praktiken kan realiseras.

8.2.1 Ideala lter

För att belysa några av de begränsningar som uppstår vid ltersyntes skall

vi undersöka impulssvaret hos ideala lter. Ett idealt lågpasslter HD med

bandbredden ωc < π har frekvenssvaret

HD

(ejω)=

1 , |ω| ≤ ωc ,0 , |ω| > ωc .

(8.2.1)

Frekvensbandet |ω| ≤ ωc kallas ltrets passband o h frekvensbandet |ω| > ωc

är ltrets spärrband (stopband). Ett idealt bandpasslter o h ett idealt

högpasslter denieras på analogt sätt. Observera att ltrets frekvenssvar

p.g.a. symmetriegenskapen (8.1.9) härvid betraktas i intervallet |ω| ≤ π.


Passbandet hos ett digitalt högpasslter är därför kon entrerat till frekvenser

kring π.Eftersom överföringsoperatorn är impulssvarets Fouriertransform, ges im-

pulssvaret hD(n) hos det ideala lågpassltret genom att beräkna inversa

Fouriertransformen av HD (ejω). Enligt ekvation (4.2.3) fås

hD(n) =1

2π

∫ π

−π

HD

(ejω)ejωn dω =

1

2π

∫ ωc

−ωc

ejωn dω , (8.2.2)

vilket ger

hD(0) =ωc

π

hD(n) =ωc

π

sin (nωc)

nωc, n = ±1,±2, . . .

(8.2.3)

Det ideala ltret kan inte representeras i form av en rationell överförings-

funktion av ändlig ordning. En annan viktig observation är, att impulssvaret

hos det ideala ltret inte försvinner för negativa n. Det ideala ltret är i ke-kausalt.

I de esta tillämpningar krävs att ltret skall vara kausalt. Det visar

sig att kravet på kausalitet begränsar de ltersvar som kan erhållas. Vi har

följande, med beviset bortlämnat:

Sats 8.2.1. Paley-Wiener-villkoret

Det existerar ett kausalt lter H(z) med given lterförstärkning |H (ejω) | =g (ω) om o h endast om

∫ π

−π

| ln (g (ω))|1 + ω2

dω < ∞ . (8.2.4)

Villkoret innebär att förstärkningen hos ett kausalt lter inte kan försvinna i

ett intervall, eftersom logaritmen i (8.2.4) då går mot −∞. Det ideala ltret

uppfyller således inte Paley-Wiener-villkoret.

Kravet på kausalitet begränsar även formen hos ltrets fasförskjutning.

Från Fouriertransformens egenskaper i kapitel 4 följer att H (ejω) är re-

ellt om o h endast om impulssvaret är symmetriskt (en jämn funktion);

h(−n) = h(n), o h imaginärt om o h endast om impulssvaret är antisymmet-

riskt (en udda funktion); h(−n) = −h(n). För kausala system med h(n) = 0,n < 0, är impulssvarets symmetriska o h antisymmetriska komponenter ek-

vivalenta, vilket introdu erar ett samband mellan de reella o h imaginära


komponenterna hos frekvenssvaret H (ejω). Från detta samband följer att

fasförskjutningen hos ett kausalt lter ej kan spe i eras oberoende av mag-

nituden.

Av reella lter som kan implementeras i praktiken krävs, att de har ändlig

ordning o h (vanligen) att de är kausala. Vid syntes av lter försöker man så

väl som möjligt satisera spe ikationerna med hjälp av reella lter.

8.2.2 Linjär fasförskjutning

Förutom lterförstärkningen påverkar även ltrets fasförskjutning utsigna-

len. Om fasförskjutningen i ett lters passband varierar så, att olika fre-

kvenskomponenters faser förändras i förhållande till varandra, kommer sig-

nalen att förvrängas trots att förstärkningen i passbandet vore konstant.

Detta är givetvis oa eptabelt i era tillämpningar, bl.a. vid behandling av

audiosignaler.

För att se hurudana fasförskjutningar som kan tolereras, betrakta inver-

kan av ett linjärt diskret system H(z) på sinusformade signaler av formen

x(t) = sin (ωt) . (8.2.5)

Från avsnitt 8.1 har vi att systemet H(z) transformerar den periodiska sig-

nalen x(t) till en annan periodisk signal xf (t) som har samma frekvens men

en annan amplitud o h fas,

xf (t) = A (ω) sin (ωt+ θ (ω)) , (8.2.6)

där

A (ω) = |H(ejω)| o h θ (ω) = arg

(H(ejω))

. (8.2.7)

Det visar sig att för att ett lter ej skall införa fasförvrängning bör fasför-

skjutningen θ (ω) ges av det linjära sambandet

θ (ω) = −αω , (8.2.8)

eller

θ (ω) = −αω + π , (8.2.9)

där α är konstant. Ett lter vars fasförskjutning satiserar (8.2.8) eller (8.2.9)

kallas faslinjärt. Med sambandet (8.2.8) ges den ltrerade signalen av

xf (t) = A (ω) sin (ω (t− α)) . (8.2.10)


Detta innebär att alla frekvenskomponenter fördröjs med tiden α o h fas-

förskjutningen försorsakar därför ingen förvrängning av en signal med era

frekvenskomponenter. För sambandet (8.2.9) blir den ltrerade signalen

xf(t) = A (ω) sin (ω (t− α) + π) = −A (ω) sin (ω (t− α)) . (8.2.11)

Utöver tidsfördröjningen tillkommer i detta fall ett te kenbyte p.g.a. fasför-

skjutningen π. Det är lätt att inse att ett lter bör vara faslinjärt för att

det ej skall införa fasförvrängning p.g.a. att olika frekvenskomponenters faser

påverkas på olika sätt

I vissa tillämpningar används s.k. generaliserat faslinjära lter. Fasför-

skjutningen hos generaliserat faslinjära lter satiserar

θ (ω) = β − αω , (8.2.12)

där α o h β är konstanter. Den ltrerade signalen ges då av

xf (t) = A (ω) sin (ω (t− α) + β) , (8.2.13)

där alla frekvenskomponenter fördröjs med tiden α o h fasförskjuts med vin-

keln β. Faslinjära lter är en delmängd av generaliserat faslinjära lter. Ett

generaliserat faslinjärt lter förorsakar fasförvrängning om β 6= 0 eller β 6= π.

Denition 8.2.1. Vid studiet av ett lters fasförskjutning brukar man in-

föra den s.k. faslöptiden eller fasfördröjningen Tp (phase delay) o h den

s.k. grupplöptiden eller gruppfördröjningen Tg (group delay):

Tp = −θ (ω)

ω,

Tg = −dθ (ω)

dω.

(8.2.14)

Faslöptiden Tp är den tidsfördröjning som frekvenskomponenten ω får

p.g.a. fasförskjutningen i ltret, ty sin (ωt+ θ (ω)) = sin (ω (t− Tp)). Grupp-löptiden Tg är en vanlig storhet vid karakterisering av linjära lter, o h upp-

står vid analysen av ett lters inverkan på en amplitudmodulerad signal.

Vi ser att ett lter är faslinjärt om det har en konstant fasfördröjning o h

generaliserat faslinjärt om o h endast om det har en konstant grupplöptid.

Följande exempel demonstrerar betydelsen av linjär fasförskjutning vid

ltrering.


−1

0

1

s1

−1

0

1

s2

−2

−1

0

1

2

s

Figur 8.1: Signalkomponenterna s1 o h s2 samt signalen s i exempel 8.2.2.

Exempel 8.2.2. Betrakta en signal s som består av två komponenter enligt

s(n) = s1(n) + s2(n) ,

där s1 o h s2 är lågfrekventa sinusformade komponenter,

s1(n) = sin (ω1n) ,

s2(n) = sin (ω2n) .

Komponenterna s1 o h s2 samt signalen s visas i gur 8.1. Låt signalen spåverkas av en störning e så att vi får signalen

x(n) = s(n) + e(n) ,

där e(n) är en högfrekvent sinusformad signal,

e(n) = sin (ωen) ,


−2

−1

0

1

2

s

−1

0

1

e

−2−1012

x

Figur 8.2: Den störningsfria signalen s, störningen e, samt signalen x i exem-

pel 8.2.2.

med ω1 < ωe > ω2. Signalerna s, e o h x visas i gur 8.2.

Den lågfrekventa störningsfria signalen s kan bestämmas ur x genom

lågpassltrering med ett lter H(z) som har frekvenskomponenterna ω1 o h

ω2 i passbandet o h som spärrar frekvensen ωe, d.v.s. |H (ejω1) | ≈ 1 o h

|H (ejω2) | ≈ 1, samt |H (ejωe) | ≈ 0. Den ltrerade signalen y ges då av

y(n) ≈ y1(n) + y2(n) ,

där

y1(n) = sin(ω1n + arg

(H(ejω1

))),

y2(n) = sin(ω2n + arg

(H(ejω2

))).

Figur 8.3 visar signalkomponenterna s1, s2 o h y1, s2 samt den ltrerade

signalen y(n) för två olika lågpasslter. Till vänster i guren visas resultatet


med ett lter som fasförskjuter de lågfrekventa komponenterna på olika sätt,

varför den ltrerade signalen y blir förvrängd o h signalen s ej rekonstrueraskorrekt. Till höger visas resultatet med ett faslinjärt lter. I detta fall är

fasförskjutningen sådan att den motsvarar samma tidsförskjutning för alla

frekvenskomponenter i passbandet, o h den ltrerade signalen y är därför

endast en tidsförskuten version av signalen s.

−1

0

1

s1, y1

−1

0

1

s1, y1

−1

0

1

s2, y2

−1

0

1

s2, y2

−2

−1

0

1

2

s, y

−2

−1

0

1

2

s, y

Figur 8.3: Signaler i exempel 8.2.2. Överst: signalkomponenten s1 (heldragen)o h motsvarande ltrerade signal y1 (stre kad). I mitten: signalkomponen-

ten s2 (heldragen) o h motsvarande ltrerade signal y2 (stre kad). Nederst:den störningsfria signalen s (heldragen) o h den lågpassltrerade signalen

y (stre kad). Till vänster visas resultatet som fås med ett lågpasslter med

olinjär fasförskjutning, o h till höger resultatet som fås med ett faslinjärt

lågpasslter.


8.2.3 Reella lågpass, bandpass- o h högpasslter

Reella lter, som är kausala o h har en ändlig ordning, kan endast approxi-

mativt uppfylla spe ikationerna hos ideala lågpass-, bandpass- o h högpass-

lter. För reella lter anges spe ikationerna därför med hjälp av toleranser,

se gur 8.4. För ett lågpasslter är spe ikationerna av formen

1− δp ≤ |H(ejω)| ≤ 1 + δp , |ω| ≤ ωp ,

|H(ejω)| ≤ δs , |ω| ≥ ωs .

(8.2.15)

Här är

- |ω| ≤ ωp passbandet,

- |ω| ≥ ωs spärrbandet, o h

- |ω| ∈ (ωp,ωs) övergångsbandet.

Talet δp anger toleransen i passbandet, d.v.s. den största tillåtna avvikel-

sen från det konstanta värdet ett hos ltrets förstärkning i passbandet. Talet

δs är toleransen i spärrbandet, d.v.s. den maximala tillåtna förstärkningen

i spärrbandet. Eftersom förstärkningen hos reella lter inte kan förändras

diskontinuerligt som funktion av frekvensen, nns det mellan passband o h

spärrband ett övergångsband. Ju snävare toleranser o h smalare övergångs-

bandet är, desto högre lterordning fordras för att uppfylla spe ikationerna.

I stället för vinkelfrekvenser anges frekvensspe ikationerna ofta i form av

frekvenser fp (=ωp

2π) respektive fs (=

ωs

2π) o h uppfattas som normerade i för-

hållande till samplingsfrekvensen. Om frekvenserna anges i Hz eller kHz börman observera att beakta samplingsfrekvensen fs vid ltersyntesen, så att fre-kvensen f motsvarar ltersvaret H (ejω) vid den normerade vinkelfrekvensen

ω = 2πffs. Kutym är o kså att toleranserna anges i den logaritmiska enheten

de ibel. Den största avvikelsen Ap i passbandet o h den minsta dämpningen

As i spärrbandet angivna i de ibel är således

Ap = 20 lg (1 + δp) ,

As = −20 lg (δs) .(8.2.16)

Observera att för små δp gäller med god noggrannhet approximationen

Ap = 20 lg (1 + δp) =20 ln (1 + δp)

ln 10≈ 8,7δp . (8.2.17)


Bandpasslter o h högpasslter denieras på analogt sätt. För bandpasslter

består passbandet av ett frekvensband [ω1, ω2]. För högpasslter med band-

bredden ωp är passbandet beläget i ett högfrekvent band [π − ωp, π + ωp].

ωp

πωs

π10

δs

1− δp

1 + δp

|H(ejω)|

Figur 8.4: Spe ikationer för förstärkningen hos ett lågpasslter, samt för-

stärkningen |H (ejω) | hos ett reellt lter som funktion av normerad frekvens

ωπ.

8.2.4 Frekvenstransformationer

Ett bandpass- o h högpasslter skiljer sig från ett lågpasslter endast i avse-

ende å passbandets o h spärrbandets lägen. Det är därför möjligt att ur ett

lågpasslter konstruera motsvarande bandpass- eller högpasslter genom en

frekvenstransformation som förskjuter passbandet till det önskade frekvens-

bandet. Denna metod är my ket användbar, eftersom man då kan utnyttja

standardmetoder för syntes av lågpasslter även för bestämning av andra

ltertyper.


Vid frekvenstransformation av ett lter substitueras variabeln z−1i över-

föringsfunktionen med en rationell funktion g (z−1), så att det frekvenstrans-formerade ltret denieras av

Hf(z) = H(z)|z−1=g(z−1) . (8.2.18)

För att ltret Hf (z) skall vara väldenierat krävs att avbildningen z−1 →g (z−1) bevarar ltrets stabilitet, samt att punkter på enhets irkeln ejω, somju denierar frekvenssvaret, avbildas till andra punkter på enhets irkeln i

enlighet med den önskade frekvenstransformationen. Dylika frekvenstrans-

formationer nns utve klade, se t.ex. tabell 8.13 i Proakis o h Manolakis

(1996).

En spe iellt enkel formel fås för tranformationen av ett lågpasslterHLP (z)till ett högpasslter HHP (z) med samma bandbredd. Transformationen be-

står då helt enkelt av en förskjutning av frekvenserna enligt ω → ω+π, så attlågpassbandet lokaliserat runt frekvensen noll förskjuts till ett högpassband

lokaliserat runt frekvensen π. Högpassltrets frekvenssvar denieras då av

HHP

(ejω)= HLP

(ej(ω+π)

)= HLP

(−ejω

), (8.2.19)

o h dess överföringsfunktion är således

HHP (z) = HLP (−z) . (8.2.20)

Eftersom

HLP (−z) =∞∑

k=0

(−1)khLP (k)z−k , (8.2.21)

följer att högpassltrets impulssvar hHP (k) ges av

hHP (k) = (−1)khLP (k) . (8.2.22)

Övning 8.2.1. Betrakta de två ltren som studerades i problem 8.1.1 (a =0,6 o h a = −0,6). Visa att de är relaterade enligt (8.2.20) o h (8.2.22), o h

att deras frekvenssvar är förskjutna i förhållnade till varandra med π.

8.3. SYNTES AV FILTER MED ÄNDLIGT IMPULSSVAR 161

8.3 Syntes av lter med ändligt impulssvar

I detta avsnitt diskuteras syntes av lter med ändligt impulssvar (FIR lter,

Finite Impulse Response). Sådana lter beskrivs av

y(n) =N−1∑

k=0

h(k)x(n− k) (8.3.1)

= h(0)x(n) + h(1)x(n− 1) + · · ·+ h(N − 1)x(n−N + 1) , (8.3.2)

o h deras överföringsfunktion har formen

H(z) =N−1∑

k=0

h(k)z−k = h(0) + h(1)z−1 + · · ·+ h(N − 1)z−N+1 . (8.3.3)

Filter av denna typ har fördelar som har gjort dem my ket populära i signal-

behandlingstillämpningar. Syntesen av FIR lter är i era avseenden enklare

än syntesen av IIR lter. Deras stabilitet är i motsats till IIR lter garante-

rad, ty kriteriet (7.4.1) är automatiskt uppfyllt. Eventuell instabilitet behöver

därför inte kontrolleras eller beaktas i samband med syntesen. Dessutom har

de den trevliga egenskapen att det är enkelt att konstruera FIR lter med

exakt linjär fasförskjutning, vilket är viktigt i era tillämpningar (se avsnitt

8.2.2). Det existerar nämligen inga IIR lter som beskrivs av en rationell

överföringsfunktion som skulle ha en exakt linjär fasförskjutning.

Vid syntesen av FIR lter bestäms lterparametrarna så att det önskade

frekvenssvaret approximeras möjligast väl. De viktigaste metoderna för syn-

tes av FIR lter baserar sig dels på de ideala lterformlerna i kombination

med s.k. fönsterfunktioner eller s.k. frekvenssampling, dels på direkt optime-

ring av lterparametrarna. Vi kommer att behandla dessa metoder nedan.

8.3.1 Faslinjära FIR lter

Såsom tidigare noterats är det i era tillämpningar viktigt att ltrets fas-

förskjutning är linjär i passbandet, d.v.s. θ (ω) = arg (H (ejω)) = β − αω.En trevlig egenskap hos lter med ändligt impulssvar är att de enkelt kan

konstrueras så att fasförskjutningen blir linjär. För att se hur detta kan åstad-


kommas, betrakta FIR ltret i ekvation (8.3.3). Filtrets frekvenssvar är

H(ejω)=

N−1∑

k=0

h(k)e−jωk

= h(0) + h(1)e−jω + h(2)e−j2ω + · · ·+ h(N − 1)e−j(N−1)ω .

(8.3.4)

Låt N vara udda, o h antag att impulssvaret har egenskapen

h(k) = h(N − 1− k) , k = 0, 1, . . . ,N − 1

2. (8.3.5)

Ett sådant impulssvar säges vara symmetriskt.

Exempel 8.3.1. Betrakta för enkelhets skull fallet N = 5. Då impli erar

symmetrin att h(0) = h(4) o h h(1) = h(3). Frekvenssvaret blir

H(ejω)= h(0) + h(1)e−jω + h(2)e−j2ω + h(1)e−j3ω + h(0)e−j4ω

= e−j2ω[h(0)

(ej2ω + e−j2ω

)+ h(1)

(ejω + e−jω

)+ h(2)

]

= e−j2ω [2h(0) cos (2ω) + 2h(1) cos (ω) + h(2)]

= e−j2ωHr (ω) .

(8.3.6)

Här är

Hr (ω) = 2h(0) cos (2ω) + 2h(1) cos (ω) + h(2) (8.3.7)

reell. Vi kan skriva sambandet ovan i formen

H(ejω)= |Hr (ω) |e−j2ω , om Hr (ω) > 0 (8.3.8)

o h, eftersom ejπ = −1 fås

H(ejω)= −|Hr (ω) |e−j2ω = |Hr (ω) |e−j(2ω−π) , om Hr (ω) < 0 . (8.3.9)

Det följer att ltrets fasförskjutning är linjär, om Hr (ω) ej byter te ken. Detär fallet endast om H(z) har nollställen på enhets irkeln z = ejω.

Exempel 8.3.2. För jämna N fås ett analogt resultat. Betrakta fallet N = 4.Då har vi h(0) = h(3) o h h(1) = h(2), o h impulssvaret blir

H(ejω)= h(0) + h(1)e−jω + h(1)e−j2ω + h(0)e−j3ω

= e−j 3ω2

[

h(0)(

ej3ω2 + e−j 3ω

2

)

+ h(1)(ej

ω2 + e−j ω

2

)]

= e−j 3ω2

[

2h(0) cos

(3ω

2

)

+ 2h(1) cos(ω

2

)]

= e−j 3ω2 Hr (ω) ,

(8.3.10)

o h fasförskjutningens linjäritet följer på samma sätt som ovan.


Resultatet kan generaliseras till det allmänna fallet, o h kan sammanfat-

tas utan bevis enligt följande.

Lemma 8.3.3. Frekvenssvaret hos symmetriska FIR lter.

Betrakta ett symmetriskt FIR lter av längden N , för vilket impulssvaret

satiserar h(k) = h(N − 1− k). Dess frekvenssvar är

H(ejω)= e−j

(N−1)ω2 Hr (ω) , (8.3.11)

där

Hr (ω) = h

(N − 1

2

)

+ 2

N−32∑

k=0

h(k) cos

[

ω

(N − 1

2− k

)]

, N udda ,

(8.3.12)

Hr (ω) = 2

N−22∑

k=0

h(k) cos

[

ω

(N − 1

2− k

)]

, N jämn . (8.3.13)

Faslinjära FIR lter kan o kså åstadkommas genom att välja impulssvaret

antisymmetriskt, varvid

h(k) = −h(N − 1− k) , k = 0, 1, . . . ,N − 1

2. (8.3.14)

För k = N−12

fås alltså h(N−12

)= −h

(N − 1− N−1

2

)= −h

(N−12

), vilket

innebär, att h(N−12

)= 0. Frekvenssvaret för detta fall kan bestämmas i ana-

logi med ovan. På grund av den antisymmetiska egenskapen kombineras de

komplexa exponentialfunktionerna i frekvenssvaret i detta fall till sinusfunk-

tioner. Vi kan sammanfatta resultatet enligt följande.

Lemma 8.3.4. Frekvenssvaret hos antisymmetriska FIR lter.

Betrakta ett antisymmetriskt FIR lter av längden N , för vilket impuls-

svaret satiserar h(k) = −h(N − 1− k). Dess frekvenssvar är

H(ejω)= e−j[ (N−1)ω

2−π

2 ]Hr (ω) = ejπ2

︸︷︷︸

=1

e−j(N−1)ω

2 Hr (ω) , (8.3.15)


där

Hr (ω) = 2

N−32∑

k=0

h(k) sin

[

ω

(N − 1

2− k

)]

, N udda , (8.3.16)

Hr (ω) = 2

N−22∑

k=0

h(k) sin

[

ω

(N − 1

2− k

)]

, N jämn . (8.3.17)

Anmärkning 8.3.1. Vi har ovan spe i erat FIR ltrets längd N , som anta-

let koe ienter h(0), h(1), . . ., h(N − 1) i impulssvaret. Denna konvention

används bl.a. i bö kerna av Ifea hor o h Jervis (1993) o h Proakis o h Ma-

nolakis (1996). En annan vanlig konvention är att spe i era ltrets ordning

M , som den högsta potens z−Mi överföringsfunktionen. Ett lter vars längd

är N har således ordningen M = N − 1. Vid diskussion av symmetriska o h

antisymmetriska FIR lter bör man observera att lter med ett jämnt antal

koe ienter N har en udda ordning M o h vi e versa.

Anmärkning 8.3.2. De ovan beskrivna faslinjära FIR ltren är av fyra typer

beroende på om N är udda eller jämnt o h om ltret är symmetriskt eller

antisymmetriskt. Enligt en standardklassi ering uppdelas de faslinjära FIR

ltren i typerna IIV enligt följande:

I: Symmetriskt med N udda (M jämnt)

II: Symmetriskt med N jämnt (M udda)

III: Antisymmetriskt med N udda (M jämnt)

IV: Antisymmetriskt med N jämnt (M udda)

Vid syntes av FIR lter bestäms lterkoe ienterna h(k), k = 0, 1, . . . , N−1, så att frekvenssvaret uppfyller spe ikationerna. Villkoren för faslinjäritet

är härvid enkla att beakta. Vid val av ltertyp bör man observera att de oli-

ka ltertyperna har olika egenskaper. Spe iellt gäller att de symmetriska o h

antisymmetriska ltren har olikheter som gör dem lämpade för olika sorters

tillämpningar. Exempelvis för de antisymmetriska ltren gäller Hr(0) = 0,vilket gör dem olämpliga vid syntes av lågpasslter. För det antisymmetriska

ltret med udda N (ltertyp III) gäller dessutom Hr(π) = 0, som innebär

att denna ltertyp är ett bandpasslter o h därför olämplig för syntes av

lågpass- eller högpasslter.


Exempel 8.3.5. En enkel lågpassltreringsmetod går ut på att bilda det arit-

metiska medelvärdet av ett antal signalvärden,

y(n) =1

N

N−1∑

k=0

x(n− k) . (8.3.18)

Filtret är tydligen ett faslinjärt FIR lter av typ I eller II, beroende på om

N är udda eller jämn. Filtrets överföringsfunktion är

H(z) =1

N

N−1∑

k=0

z−k =1

N

1− z−N

1− z−1, (8.3.19)

med nollställen som består av lösningarna till ekvationen zN = 1 med un-

dantag av z = 1, som förkortas bort mot nämnaren. Kvar blir då punkterna

zk = ej2πkN , k = 1, 2, . . . , N − 1 .

Alla nollställen benner sig således på enhets irkeln.

Övning 8.3.1. Bestäm förstärkningen o h fasförskjutningen som funktion

av frekvensen för ltret (8.3.18) för fallet N = 3.

8.3.2 Syntes baserad på fönsterfunktioner

I detta avsnitt diskuteras en standardmetod för syntes av faslinjära FIR lter,

som baserar sig på trunkering av impulssvaret hos ett idealt lter. För att

undvika den försämring av ltrets frekvenssvar som en direkt trunkering av

det optimala impulssvaret medför, utnyttjas spe iella viktfunktioner.

Impulssvaret hos ett idealt lågpasslter med bandbredden fc =ωc

2πges av

(8.2.3),

hD(0) =ωc

π= 2fc ,

hD(n) =ωc

π

sin (nωc)

nωc= 2fc

sin (nωc)

nωc, n 6= 0 .

(8.3.20)

På samma sätt kan man bestämma impulssvaret hos ideala högpass, bandpass-

o h bandspärrlter, se tabell 6.2 i Ifea hor o h Jervis (1993) för en samman-

fattning. Som vi tidigare såg kan de ideala ltren ej realiseras med system

av ändlig ordning.


Ett sätt att approximera det ideala ltret är att trunkera dess Fourierserie-

utve kling. Enligt tidigare har vi att det ideala ltrets frekvenssvar är im-

pulssvarets Fouriertransform,

HD

(ejω)=

∞∑

n=−∞hD(n)e

−jωn . (8.3.21)

Genom att trunkera summan fås en approximation enligt

HM

(ejω)=

M∑

n=−M

hD(n)e−jωn . (8.3.22)

som motsvaras av överföringsfunktionen

HM(z) = hD(−M)zM + hD(−M + 1)zM−1 + · · ·+ hD(M)z−M . (8.3.23)

Detta lter är i ke-kausalt, men genom att introdu era en extra tidsfördröj-

ning på M tidsenheter fås det kausala ltret

HM,kausal(z) = z−MHM(z)

= hD(−M) + hD(−M + 1)z−1 + · · ·+ hD(M)z−2M .(8.3.24)

Det ideala ltrets frekvenssvar är en pulsfunktion. Trunkeringen enligt

(8.3.22) är därför jämförbar med approximationen i ekvation (3.2.35) av en

pulsfunktion med en trunkerad Fourierserieutve kling. Vi såg i kapitel 3 att

en dylik trunkerad summautve kling av en pulsfunktion ger överskjutningar

vid diskontinuitetspunkterna, jämför anmärkning 3.2.3 om Gibbs fenomen.

Detta illustreras i gur 8.5, som visar förstärkningen hos ltret (8.3.23) (eller

(8.3.24)) för olika M . För att få en bättre approximation av det ideala ltret

bör det trunkerade ltret i (8.3.24) därför i praktiken modieras.

En praktisk pro edur för att förbättra den trunkerade utve klingen är att

införa en funktion w(n) så att approximationen (8.3.22) ersätts med

H(ejω)=

∞∑

n=−∞w(n)hD(n)e

−jωn . (8.3.25)

Funktionen w(n) kallas fönsterfunktion (eng. window fun tion). Observera

att den trunkerade summan (8.3.22) är ett spe ialfall av (8.3.25) med den

rektangulära fönsterfunktionen

w(n) =

1 , |n| ≤ M ,0 , |n| > M .

(8.3.26)


−1 −0,5 0 0,5 10

0,5

1M = 12

M = 25

M = 6

Figur 8.5: Förstärkningen |HM (ejω) | hos trunkerade lter av formen (8.3.23)

(eller (8.3.24)) för M = 6, 12 o h 25. Det ideala lågpassltrets bandbredd är

2 · 0,4π. Frekvensen är angiven som en normerad frekvens

ωπ.

För att se hur fönsterfunktionen påverkar frekvenssvaret H (ejω) betraktarvi operationen i högra ledet av (8.3.25) i frekvensplanet. Vi introdu erar

Fouriertransformen av fönsterfunktionen w(n), som ju är en i ke-periodisk

diskret signal,

W (ω) =

∞∑

n=−∞w(n)e−jωn . (8.3.27)

Enligt (8.3.25) ärH (ejω) Fouriertransformen av sekvensen w(n)hD(n). Pre issom diskret faltning i tidsplanet motsvarades av multiplikation i frekvenspla-

net, så kan man visa att multiplikationen w(n)hD(n) i tidsplanet motsvaras

av en kontinuerlig faltningsintegral i frekvensplanet. Fouriertransformen av

produkten w(n)hD(n) kan således uttry kas som faltningen av Fouriertrans-


formernaHD (ejω) o hW (ω) av sekvenserna hD(n) respektive w(n), o hdet följer att H (ejω) ges av

H(ejω)=

∫ π

−π

HD

(ejθ)W (ω − θ) dθ . (8.3.28)

Hur väl (8.3.28) approximerar det ideala frekvenssvaret HD (ejω) beror av

formen hos fönsterfunktionen W (ω). Ur (8.3.28) följer, att ju bättre W (ω)är kon entrerad till frekvensen ω = 0, desto bättre approximerar (8.3.28)

det ideala frekvenssvaret. Exakt likhet kan emellertid endast fås om fönster-

funktionen väljs oändligt bred (M → ∞). Problemet är därför att välja en

fönsterfunktion av ändlig längd M , så att möjligast god approximation fås.

För att undersöka formen hos fönsterfunktioner av ändlig längd, betrakta

den rektangulära fönsterfunktionen i ekvation (8.3.26). Dess Fouriertrans-

form är

W (ω) =M∑

n=−M

e−jωn =sin(

ω(2M+1)2

)

sin(ω2

) . (8.3.29)

Dess absolutbelopp,

|W (ω)| =

∣∣∣∣∣∣

sin(

ω(2M+1)2

)

sin(ω2

)

∣∣∣∣∣∣

, |ω| ≤ π , (8.3.30)

har en karakteristisk form bestående av en s.k. huvudlob (eng. main lobe) vid

ω = 0 omgiven av ett antal sidlober (eng. side lobes), se gur 8.6. Det visar

sig att andra fönsterfunktioner har en liknande form, o h genom lämpligt

val av fönsterfunktion kan man påverka huvudlobens bredd o h sidlobernas

amplitud. Dessa inverkar på lterapproximationen o h för att få en god ap-

proximation skall huvudloben vara möjligast smal o h sidlobernas amplitud

möjligast liten. För en fönsterfunktion av given längd kan dessa storheter ej

minimeras oberoende av varandra. Vi har följande:

Egenskap 8.3.6. Generella egenskaper hos fönster.

Då fönstrets längd N = 2M+1 ökas, minskar huvudlobens bredd, vilket

resulterar i ett smalare övergångsband mellan passband o h spärrband.

övergångsbandets bredd ∆f ges approximativt av en formel av typen

∆f =c

N, (8.3.31)

där c är en konstant som beror av fönsterfunktionens form.


0 0,5 10

13

23

1

Figur 8.6: Normerade förstärkningen |W (ω)W (0)

| hos en rektangulär fönsterfunk-

tion (M = 5) som funktion av normerad frekvens

ωπ.

Den dominerande sidolobens amplitud beror främst av fönsterfunktio-

nens form, o h är ej starkt beroende av fönsterlängden.

En fönsterfunktion som redu erar sidolobens amplitud resulterar i all-

mänhet i en bredare huvudlob.

Denition 8.3.1. De vanligaste fönsterfunktionerna är

Hanningfönstret, med fönsterfunktionen

w(n) = 0,5 + 0,5 cos

(2πn

N

)

, |n| ≤ N − 1

2. (8.3.32)


Fönster- övergångsbandets Maximal avvikelse Förhållande Dämpning i Fönster-

funktionens bredd (Hz) i passbandet mellan huvudlob spärrbandet funktion

namm (normerad) (dB) o h sidolob (dB) (dB) w(n)

Rektangulär

0,9N

0,7416 13 21 (8.3.26)

Hanning

3,1N

0,0546 31 44 (8.3.32)

Hamming

3,3N

0,0194 41 53 (8.3.33)

Bla kman

5,5N

0,0017 57 74 (8.3.34)

Kaiser

2,93N

(β = 4,54) 0,0274 50 (8.3.35)

4,32N

(β = 6,76) 0,00275 70

5,71N

(β = 8.96) 0,000275 90

Tabell 8.1: Några viktiga egenskaper hos ett antal vanliga fönsterfunktioner.

I tabellen ges Kaiserfönster (med motsvarande värden för parametern β) med

dämpningen 50, 70 o h 90 dB i spärrbandet.

Hammingfönstret, med fönsterfunktionen

w(n) = 0,54 + 0,46 cos

(2πn

N

)

, |n| ≤ N − 1

2. (8.3.33)

Bla kmanfönstret, med fönsterfunktionen

w(n) = 0,42 + 0,5 cos

[2πn

N − 1

]

+ 0,08 cos

[4πn

N − 1

]

, |n| ≤ N − 1

2,

(8.3.34)

o h

Kaiserfönstret, med fönsterfunktionen

w(n) =

I0

(

β(

1−[

2nN−1

]2) 1

2

)

I0 (β), |n| ≤ N − 1

2, (8.3.35)

där β är en positiv parameter o h funktionen I0(x) är en modierad

Bessel-funktion av nollte ordningen, som kan representeras med serie-

utve klingen

I0(x) = 1 +

∞∑

k=1

[(x2

)k

k!

]2

. (8.3.36)


Anmärkning 8.3.3. De olika fönsterfunktionernas viktigaste egenskaper om-

fattar övergångsbandets bredd ∆f , den maximala avvikelsen i passbandet,

förhållandet mellan huvudlobens o h den dominerande sidolobens amplituder

samt dämpningen i spärrbandet. Se tabell 8.1.

Hanning-, Hamming- o h Bla kmanfönstren har xerade egenskaper som

beror enbart av N o h som inte kan påverkas. Kaiserfönstret har däremot en

parameter β, med vilken ltrets egenskaper kan påverkas för att uppnå önskad

kompromiss mellan huvudlobens bredd o h sidolobens amplitud. För β = 0redu eras Kaiserfönstret till ett rektangulärt fönster, medan t.ex. värdet β =5,44 ger ett fönster som är my ket likt Hammingfönstret. Kaiserfönstret är

även nära optimalt i den meningen att för en given amplitud hos sidoloben

har ett Kaiserfönster den mesta energin kon entrerad i huvudloben.

Metod 8.3.1. Filtersyntes med hjälp av fönsterfunktioner består av följande

faser:

Spe i ering av det ideala frekvenssvaret HD (ejω) o h dess impulssvar

hD(n).

Val av en lämplig fönsterfunktion o h fönsterlängd N så att förstärk-

ningen i passband o h spärrband samt övergångsbandets bredd ∆fuppfyller givna spe ikationer.

Bestämning av lterapproximationen (8.3.25),

H(z) =

M∑

n=−M

h(n)z−n , (8.3.37)

där

h(n) = w(n)hD(n) , n = −M,−M + 1, . . . ,M − 1,M =N − 1

2.

(8.3.38)

Bestämning av det sökta kausala FIR ltret genom introduktion av en

tidsfördröjning motsvarande faktorn z−M,

Hkausal(z) = z−MH(z) . (8.3.39)


Observera att alla de ovan beskrivna fönsterfunktionerna uppfyller symmetri-

egenskapen w(−n) = w(n). Då det ideala ltrets impulssvar hD(n) normalt

har en motsvarande symmetriegenskap, följer att h(n) i (8.3.38) satiserar

h(−n) = h(n) , n = 0, 1, . . . ,M . (8.3.40)

Det följer att det kausala FIR ltret (8.3.39) är symmetriskt, o h således ett

faslinjärt lter, jämför avsnitt 8.3.1.

Syntes av FIR lter som baserar sig på det ideala frekvenssvaret o h

fönsterfunktioner är en enkel o h i praktiken my ket användbar metod. En

begränsning hos metoden är att det kräver beräkning av det ideala ltrets

impulssvar, vilket kan vara besvärligt i vissa tillämpningar där det ideala

frekvenssvaret HD (ejω) är sådant att impulssvaret hD(n) inte kan bestämmas

analytiskt.

Exempel 8.3.7. Betrakta problemet att konstruera ett FIR lågpasslter som

uppfyller följande spe ikationer:

1) passbandets bredd: 1,5 kHz.

2) övergångsbandets bredd: 0,5 kHz.

3) dämpning i spärrbandet: > 50 dB, då samplingsfrekvensen är 8 kHz.

Det ideala lågpassltret har impulssvaret (8.2.3),

hD(0) = 2fc ,

hD(n) = 2fcsin (nωc)

nωc

, n 6= 0 .(8.3.41)

Enligt tabell 6.3 i Ifea hor o h Jervis (1993) uppfyller Hamming-, Bla kman-

o h Kaiserfönstren (men inte det rektangulära fönstret eller Hanningfönstret)

kravet på dämpning i spärrbandet. Vi väljer därför här ett Hammingfönster.

Med samplingsfrekvensen fs = 8 kHz motsvarar den spe i erade bredden

0,5 kHz för övergångsbandet (normerad till samplingsperioden Ts = 1) ∆f =0,58

= 0,0625. övergångsbandets bredd som en funktion av lterlängden ges

av (8.3.31). Enligt tabellen är för ett Hammingfönster c = 3,3 o h det följer

att ltrets längd bör vara minst N = 3,3∆fc

= 3,30,0625

= 52,8. Vi väljer därför

N = 53. Då är M = N−12

= 26 o h lterkoe ienterna ges av (8.3.38),

h(n) = w(n)hD(n) , |n| ≤ 26 ,


där hD(n) är givet ovan o h w(n) är Hammingfönsterfunktionen

w(n) = 0,54 + 0,46 cos

(2πn

N

)

, |n| ≤ 26 .

För att få en god approximation i det spe i erade passbandet är det praxis

att välja det ideala lågpassltrets bandbredd fc mitt i övergångsbandet, d.v.s.

fc =

(

1,5 +0,5

2

)

kHz = 1,75 kHz ,

vilket med samplingsfrekvensen fs = 8 kHz motsvarar den normerade band-

bredden fc =1,758

= 0,21875.Filterkoe ienterna kan nu bestämmas enligt ovan. Ta k vare symmetrin

behöver endast h(0), h(1), . . . , h(26) beräknas, ty h(−n) = h(n). För n = 0fås

hD(0) = 2 · 0,21875 = 0,4375 ,

w(0) = 0,54 + 0,46 cos (0) = 1 ,

h(0) = w(0)hD(0) = 0,4375 .

På samma sätt fås för n = 1,

hD(1) = 2 · 0,21875 sin (2π · 0,21875)2π · 0,21875 = 0,31219 ,

w(1) = 0,54 + 0,46 cos

(2π

53

)

= 0,98713 ,

h(1) = h(−1) = w(1)hD(1) = 0,31119 .

De övriga koe ienterna fås på analogt sätt. Ett kausalt lter bestäms till

slut enligt ekvation (8.3.39). Det kausala ltrets koe ienter ges i tabell 6.4

i Ifea hor o h Jervis (1993). Filtrets förstärkning o h fasförskjutning visas i

gur 8.7. Man kan veriera att ltret uppfyller spe ikationerna.

8.3.3 Frekvenssampling

Ett alternativt sätt att approximera ett idealt lter med ett kausalt FIR

lter är genom s.k. frekvenssampling. Om det ideala ltret har frekvenssvaret

HD (ejω) ges impulssvaret av (jämför ekvation (8.2.2))

hD(n) =1

2π

∫ π

−π

HD

(ejω)ejωn dω =

1

2π

∫ 2π

0

HD

(ejω)ejωn dω . (8.3.42)


0 1000 2000 3000 4000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Frekvens (Hz)

F

ö

r

s

t

ä

r

k

n

i

n

g

(

d

B

)

0 1000 2000 3000 4000−2500

−2000

−1500

−1000

−500

0

Frekvens (Hz)

F

a

s

v

i

n

k

e

l

(

g

r

a

d

e

r

)

Figur 8.7: Förstärkning o h fasförskjutning hos ltret i exempel 8.3.7.

Frekvenssampling går ut på att approximera det ideala frekvenssvaret med en

sekvens diskreta värden vid N ekvidistanta frekvenspunkter ωk =2πkN

, k =0, 1, . . . , N − 1 , så att vi har sekvensen

H(k) = HD

(

ej(2πN )k)

, k = 0, 1, . . . , N − 1 , (8.3.43)

bestående av sampel av frekvenssvaret. Den diskreta sekvensen H(k) utgören diskret Fouriertransform (DFT) av sekvensen h(n), som kan bestämmas

med hjälp av invers DFT (jämför avsnitt 4.3),

h(n) =1

N

N−1∑

k=0

H(k)ej2πnN

k , n = 0, 1, . . . , N − 1 . (8.3.44)


Denna sekvens kan tas som koe ienterna hos ett FIR lter av längden Nsom approximerar det ideala ltret,

HN(z) = h(0) + h(1)z−1 + · · ·+ h(N − 1)z−N+1 . (8.3.45)

Från konstruktionen följer att frekvenssvaret överensstämmer exakt vid fre-

kvenserna

2πkN,

HN

(

ej(2πN )k)

= HD

(

ej(2πN )k)

, k = 0, 1, . . . , N − 1 , (8.3.46)

men tyvärr nns det inga garantier för att överensstämmelsen är god även

mellan de diskreta frekvenspunkterna.

För att förbättra approximationens egenskaper brukar man införa fre-

kvenssampel i ett övergångsband mellan det ideala ltrets passband o h

spärrband. Sampelvärdena i övergångsbandet kan optimeras så att variatio-

nerna i passbandet o h förstärkningen i passbandet minimeras. Se Ifea hor

o h Jervis (1993) för detaljer.

8.3.4 Syntes baserad på optimering av lterkoe ienter

De ovan beskrivna syntesmetoderna är inte optimala i den meningen att de

skulle ge den bästa approximationen av det ideala frekvenssvaret för en given

lterlängd. Ett optimalt lter kan beräknas genom att direkt optimera ltrets

koe ienter h(n) så att avvikelsen från det ideala svaret minimeras.

Låt HD (ejω) vara det ideala frekvenssvaret som skall approximeras av ett

FIR lter av längden N , vars frekvenssvar är

H(ejω)=

N−1∑

n=0

h(n)e−jωn . (8.3.47)

Vi introdu erar ett frekvensviktat fel mellan frekvenssvaren,

E(ejω)= W

(ejω) [

HD

(ejω)−H

(ejω)]

, (8.3.48)

där W (ejω) är en viktfunktion som reekterar det faktum att att de tillåtna

felen i t.ex. passbandet o h spärrbandet kan vara olika stora. I den optime-

ringsbaserade metoden minimeras det maximala värdet av det absoluta felet


|E (ejω) | med avseende på lterkoe ienterna h(n), d.v.s. lterkoe ien-

terna bestäms genom att man löser optimeringsproblemet

minh(0),...,h(N−1)

[

max|ω|≤π

|E(ejω)|]

. (8.3.49)

I allmänhet kräver man dessutom att lterkoe ienterna ska satisera sym-

metriegenskapen

h(n) = h(N − 1− n) , (8.3.50)

eftersom man då kan garantera att det konstruerade ltret är faslinjärt. Då

ett faslinjärt lter inte ger upphov till fasförvrängning rä ker det i detta fall

med att den ideala lterförstärkningen approximeras, medan fasförskjutning-

en kan ignoreras vid optimeringen. Felfunktionen (8.3.48) förenklas då till

E(ejω)= W

(ejω) [

|HD

(ejω)| − |H

(ejω)|]. (8.3.51)

Då ltret är symmetriskt ges |H (ejω) | som funktion av lterkoe ienterna

av (8.3.12) eller (8.3.13).

Optimeringsproblemet (8.3.49) är ett s.k. minimax optimeringsproblem,

o h lter som konstrueras genom lösning av (8.3.49) kallas därför även mi-

nimax lter. Minimax optimeringsproblem är i allmänhet numeriskt my ket

krävande. Optimeringsproblemet (8.3.49) har emellertid en spe iell struktur

som gör det möjligt att konstruera eektiva algoritmer för dess lösning. Spe-

iellt gäller att de optimala koe ienterna h(n) som minimerar (8.3.49) är

sådana att det existerar L frekvenser ωl, l = 1, . . . , L, för vilka |E (ejω) | antarsitt maximala värde,

|E(ejωl)| = max

|ω|≤π|E(ejω)| , l = 1, . . . , L . (8.3.52)

Här beror L av lterlängden o h de antagna symmetriegenskaperna hos im-

pulssvaret. Ur egenskapen (8.3.52) följer, att felet hos det optimala ltret i

passbandet o h spärrbandet kommer att variera mellan maxima o h minima

vars absoluta belopp är lika stora (s.k. equiripple lter).

För givna frekvenser ωl denierar (8.3.52) ett linjärt ekvationssystem från

vilket koe ienterna h(0), . . . , h(N−1) kan beräknas. I praktiken är frekven-serna ωl emellertid inte kända, utan måste sökas fram iterativt. Detta kan

göras med hjälp av en s.k. utbytesalgoritm, i vilken frekvenserna ωl itera-

tivt byts ut mot nya frekvenser enligt en algoritm som ger konvergens till


lösningen. Sådana utbytesalgoritmer är standardmetoder inom funktionsap-

proximering. En eektiv implementering av utbytesalgoritmen för optimering

av lterkoe ienterna är Parks-M Clellan algoritmen, som baserar sig på Re-

mez utbytesalgoritm. Parks-M Clellan metoden för syntes av FIR lter med

optimerade koe ienter tillhör en av de mest populära ltersyntesmetoder-

na. Eektiv programvara som implementerar algoritmen nns tillgänglig.

Den lterlängd N som fordras för att uppnå givna spe ikationer kan i

prin ip bestämmas iterativt genom att lösa minimax optimeringsproblemet

för att antal lterlängder tills spe ikationerna uppfylls. Då N i praktiken

kan vara rätt stort är denna metod emellertid inte spe iellt eektiv. Därför

har det utve klats empiriska formler med vilka den fordrade lterlängden kan

uppskattas. För ett faslinjärt lågpasslter med toleransen δp i passbandet o htoleransen δs i spärrbandet (jämför avsnitt 8.2.3) o h med ett övergångsband

av bredden ∆f har vi skattningen

N ≈ −10 lg (δpδs)− 13

14,6∆f+ 1 . (8.3.53)

Se även Ifea hor o h Jervis (1993) för ytterligare formler för skattning av

lterordning.

Exempel 8.3.8. Ett faslinjärt lågpasslter skall ha passbandet |ω| ≤ ωp =0,3π o h spärrbandet skall börja vid ωs = 0,35π. Toleransen i passbandet är

δp = 0,01 o h toleransen i spärrbandet är δs = 0,001 (motsvarande 60 dBdämpning).

Filtrets ordning kan uppskattas med (8.3.53), vilket ger

N ≈ −10 lg (10−5)− 13

14,6(0,35−0,30

2

) + 1 ≈ 103 .

Eftersom toleransen i spärrbandet är 10 ggr strängare än toleransen i pass-

bandet skall felet i (8.3.51) viktas i motsvarande förhållande. Därför väljs

viktfunktionen

W(ejω)=

1 , |ω| ≤ 0,3π ,10 , 0,35π ≤ |ω| ≤ π .

Optimering av ltret med hjälp av Parks-M Clellan algoritmen kan utföras

med hjälp av programmet remez i MATLABs Signal Pro esing Toolbox. Opti-

meringen ger ett faslinjärt FIR lter som uppfyller spe ikationerna. Filtrets

förstärkning o h fasförskjutning visas i gur 8.8.


0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Normaliserad frekvens,

(2ffs

)

F

ö

r

s

t

ä

r

k

n

i

n

g

(

dB

)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5−3500

−3000

−2500

−2000

−1500

−1000

−500

0

Normaliserad frekvens,

(2ffs

)

F

a

s

(

g

r

a

d

e

r

)

Figur 8.8: Förstärkning o h fasförskjutning hos ltret i exempel 8.3.8.

8.4 Syntes av lter med oändligt impulssvar

I detta avsnitt behandlas några standardmetoder för syntes av lter med

oändligt impulssvar (IIR, Innite Impulse Response, lter). Ett IIR lter

av ordningen N beskrivs av dierensekvationen

y(n) + b1y(n− 1) + · · ·+ bNy(n−N) =

a0x(n) + a1x(n− 1) + · · ·+ aMx(n−M)(8.4.1)

o h dess överföringsfunktion är

H(z) =a0z

N + a1zN−1 + · · ·+ aMzN−M

zN + b1zN−1 + · · ·+ bN. (8.4.2)

En styrka hos lter med oändligt impulssvar är den extra exibilitet som näm-

narpolynomet hos H(z) erbjuder. Ett IIR lter kräver därför i allmänhet ett

8.4. SYNTES AV FILTER MED OÄNDLIGT IMPULSSVAR 179

färre antal koe ienter än ett FIR lter för att uppfylla givna spe ikationer.

De är därför lämpade för tillämpningar där höga krav ställs på prestanda o h

beräkningshastighet. En na kdel hos IIR lter är att de kan vara känsliga-

re för t.ex. kvantiseringsfel. Detta beror på den återkopplingsmekanism som

uppstår p.g.a. att ltrets utsignal y(n) är en funktion av tidigare utsignaler

y(n − k). Om man vid syntesen inte tar hänsyn till ltrets känslighet kan

avrundningsfel ha en betydande inverkan på dess prestanda eller till o h med

göra ltret instabilt. Det är o kså i allmänhet svårare att beräkna koe i-

enterna hos ett IIR lter än det är för ett FIR lter. Det nns t.ex. inte lika

eektiva algoritmer för beräkning av optimala koe ienter hos IIR lter som

de som utve klats för FIR lter (avsnitt 8.3.4).

Vi skall i detta avsnitt diskutera tre standardmetoder för syntes av IIR

lter: Direkt pla ering av poler o h nollställen, diskretisering av analoga stan-

dardlter, samt en syntesmetod baserad på optimering.

8.4.1 Pla ering av poler o h nollställen

En enkel metod för syntes av lter baserar sig på direkt pla ering av ltrets

poler o h nollställen utgående från lterspe ikationerna. Låt överförings-

funktionen (8.4.2) ha nollställena z1, z2, . . ., zM o h polerna p1, p2, . . ., pN .Genom faktorisering av täljar- o h nämnarpolynomen kan överföringsfunk-

tionen kan då skrivas i formen

H(z) =K (z − z1) (z − z2) · · · (z − zM)

(z − p1) (z − p2) · · · (z − pN ). (8.4.3)

Filtersyntes kan utföras genom direkt pla ering av poler o h nollställen ge-

nom att utnyttja följande.

Observation 8.4.1. Pla ering av poler o h nollställen.

Fullständig eliminering av en frekvens ωs fås genom att pla era ett noll-

ställe i z1 = ejωs, vilket impli erar H (ejωs) = 0. Om ejωs

ej är reell,

dvs ωs är olikt 0 eller π, bör ett komplexkonjugerat nollställe pla eras i

z2 = e−jωsför att koe ienterna hos H(z) skall vara reella.

Ett smalt passband vid frekvensen ωp kan åstadkommas genom att pla-

era en pol vid p1 = rejωp, där den positiva radien r bör satisera r < 1

för att ge ett stabilt lter. Om ejωpej är reell, bör en komplexkonjugerad


pol pla eras i p2 = re−jωp. Valet av r påverkar passbandets bredd. Ett

lämpligt värde för r kan bestämmas ur det approximativa sambandet

r ≈ 1− Bπ , (8.4.4)

där B (Hz) anger den önskade bandbredden, denierad som bandet mel-

lan de frekvenser där förstärkningen är

1√2≈ −3 dB

(

≈ 20 lg 1√2

)

. Det

approximativa sambandet (8.4.4) mellan B o h r kan användas om

B < 0,03.

Ett lter med ett smalt spärrband vid frekvensen ωs, o h som helt eli-

minerar denna frekvens (ett s.k. not h-lter), kan konstrueras genom

att pla era ett nollställe vid z1 = ejωso h en pol vid p1 = rejωs

(jämte

motsvarande komplexkonjugerade nollställen o h poler enligt ovan vid

behov). Polerna införs för att påverka lterförstärkningens form kring

not h-frekvensen o h för att göra spärrbandet smalare. Spärrbandets

bredd beror av r, o h även för detta gäller det approximativa samban-

det (8.4.4).

Vid behov kan ltrets förstärkning i passbandet justeras med den kon-

stanta faktorn K i lteruttry ket (8.4.3).

Följande exempel visar hur metoden kan användas för att konstruera ett

not h-lter.

Exempel 8.4.2. Ett digitalt not h-lter skall konstrueras för att eliminera

50 Hz-komponenten från nätet. Spärrbandets 3 dB-bredd, alltså frekvensom-

rådet mellan de bägge punkterna på förstärkningskurnvan som har värdet

−3 dB, skall vara 50± 5 Hz. Samplingsfrekvensen är 500 Hz.

Med samplingsfrekvensen 500 Hz motsvaras not h-frekvensen 50 Hz av

den normerade frekvensen

50 Hz500 Hz

= 0,1 o h den normerade bredden hos spärr-

bandet är B = 5 Hz−(−5 Hz)500 Hz

= 10500

= 0,02.

För eliminering av 50 Hz komponenten bör vi ha nollställen vid z1 =ej2π·0,1 o h z2 = e−j2π·0,1

. För att få den spe i erade bandbredden pla eras

poler i p1 = rej2π·0,1 o h p2 = re−j2π·0,1. Radien r bestäms enligt (8.4.4),

r = 1− 0,02π = 0,937 .


Filtrets överföringsfunktion blir således

H(z) =(z − e−j2π·0,1) (z − ej2π·0,1)

(z − 0,937e−j2π·0,1) (z − 0,937ej2π·0,1)

=z2 − 2 cos (2π · 0,1) · z + 1

z2 − 2 · 0,937 · cos (2π · 0,1) · z + 0,9372

=z2 − 1,618z + 1

z2 − 1,516z + 0,878.

(8.4.5)

Filtret beskrivs i tidsplanet av dierensekvationen

y(n)− 1,516y(n− 1) + 0,878y(n− 2) = x(n)− 1,618x(n− 1) + x(n− 2)

o h dess förstärkning visas i gur 8.9.

0 20 40 60 80 1000

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Frekvens (Hz)

F

ö

r

s

t

ä

r

k

n

i

n

g

Figur 8.9: Förstärkningen hos ltret i exempel 8.4.2.


8.4.2 Metoder baserade på diskretisering av analoga l-

terprototyper

I motsats till FIR lter, som saknar en direkt analog motsvarighet, är IIR

lter den diskreta motsvarigheten till analoga lter som beskrivs av dieren-

tialekvationer. Dierensekvationbeskrivningen för ett IIR lter kan då tolkas

som en diskret approximation av en dierentialekvation. Ett IIR lter av

ändlig ordning kan därför betraktas som en diskret approximation av ett

analogt lter.

Metod 8.4.1. Syntes baserad på diskretisering av analoga lter

En viktig metod för syntes av digitala lter med oändligt impulssvar

baserar sig på analoga lterprototyper, som sedan diskretiseras så, att lter-

spe ikationerna bibehålls hos det digitala ltret. Denna syntesmetod består

således av två faser enligt följande.

Steg 1. Konstruera ett analogt lter med överföringoperatorn Ha(s) enligt degivna lterspe ikationerna.

Steg 2. Diskretisera det i steg 1 beräknade ltret för att ge ett digitalt IIR

lter H(z) som satiserar lterspe ikationerna.

Denna metod kan verka som en onödig omväg. Varför gå omvägen att först

konstruera ett analogt lter som sedan diskretiseras, om målsättningen är

att beräkna ett digitalt lter? Det naturliga vore väl att beräkna det digitala

ltret direkt utgående från spe ikationerna. Trots detta är pro eduren en

av de vanligaste metoderna för syntes av digitala IIR lter, så man väntar

sig att det nns någon rationell orsak till detta.

En orsak till att först beräkna ett analogt lter kan vara den, att de signa-

ler som manipuleras vanligen är analoga. Det kan då vara naturligt att först

beräkna det bästa analoga ltret för ifrågavarande signalbehandlingsupp-

gift, o h sedan diskretisera ltret. Syntesmetoden reekterar således direkt

implementeringspro essen, i vilket ett analogt signalbehandlingsproblem im-

plementeras digitalt. På detta sätt får man o kså en direkt uppfattning om

vad som kan utföras i kontinuerlig tid, o h hur stor försämring i prestanda

som den diskreta implementeringen medför.

Detta resonemang beaktar emellertid inte det faktum att de digitala

ltren inte har samma begränsningar som analoga lter. Det är därför möjligt

att med digitala lter lösa signalbehandlingsuppgifter som inte kan utföras


med analoga lter. Det är t.ex. inte möjligt att konstruera exakt faslinjära

analoga lter av ändlig ordning, vilket som vi ovan sett utan svårighet kan

åstadkommas med ett symmetriskt FIR lter. Således utgör det en onödig

inskränkning att begränsa sig till ltertyper som fås genom diskretisering av

analoga standardlter.

En viktig orsak till metodens popularitet torde helt enkelt vara den att

metoder för analog ltersyntes har utve klats tidigare än syntesmetoderna för

digitala lter. Då digitaltekniken först infördes i olika tillämpningar var det

mest ändamålsenligt att helt enkelt diskretisera de tidigare använda analoga

ltren, med vilka man redan hade en lång erfarenhet o h vars funktionssätt

man kände till.

Det nns o kå en mängd eektiva klassiska syntesmetoder utve klade för

analoga lter, medan motsvarande digitala syntesmetoder tenderar att vara

mera kompli erade. I praktiken är en diskretisering av de analoga ltren en

enkel o h eektiv, o h helt a eptabel syntesmetod för beräkning av digitala

lter. Pro eduren har däför levt vidare som en standardmetod för digital l-

tersyntes o h den nns implementerad i de esta programbibliotek för syntes

av digitala lter.

Vi skall i det följande beskriva en eektiv diskretiseringsmetod samt några

av de viktigaste analoga lterprototyperna.

Metod 8.4.2. Syntes med bilinjär transformation

Den viktigaste metoden för diskretisering av analoga lter baserar sig på

den s.k. bilinjära transformationen. I denna metod bildas det diskreta ltret

H(z) från det analoga ltret Ha(s) enligt

H(z) = Ha(s)|s= 2T

1−z−1

1+z−1

= Ha

(2

T

1− z−1

1 + z−1

)

, s ∈ C , z ∈ C ,(8.4.6)

där T > 0. Avbildningen z → s

s =2

T

1− z−1

1 + z−1, T > 0 , (8.4.7)

kallas bilinjär transformation. Den har inversa avbildningen s → z

z =1 +

(T2

)s

1−(T2

)s. (8.4.8)


Parametern T härstammar från metodens härledning. I tidsplanet motsva-

rar den bilinjära transformationen nämligen diskretisering av en dierentia-

lekvation med hjälp av trapetsmetoden med användning av samplingstiden

T . Eftersom metoden i litteraturen brukar presenteras i den ursprungliga

formen med parametern T gör vi det även här. Då parametern T motsvarar

samplingstiden, är metoden bekvämast att använda med värdet T = 1.

Egenskap 8.4.3. Diskretiseringsformeln (8.4.6) baserar sig på följande egen-

skaper i komplexa talplanet hos denitions- o h värdemängderna till den bi-

linjära transformationen:

Det vänstra halvplanet ℜ(s) < 0 avbildas till området innanför en-

hets irkeln |z| < 1, o h det högra halvplanet ℜ(s) > 0 avbildas till

området utanför enhets irkeln |z| > 1.

En punkt s = jΩ på imaginära axeln avbildas till punkten z = ejω på

enhets irkeln, där

ω = 2 arctan

(TΩ

2

)

. (8.4.9)

Den första egenskapen garanterar att transformationen bevarar ltrets

stabilitet, ty om s = pa är en pol tillHa(s), impli erar (8.4.6) att z = 1+(T/2)s1−(T/2)s

är en pol till H(z). Stabilitet innebär att det kontinuerliga ltret Ha(s) haralla poler i det vänstra halvplanet, vilket impli erar att H(z) har alla poler

innanför enhets irkeln, o h är alltså stabilt som ett diskret system.

Den senare egenskapen innebär att det diskreta ltrets frekvenssvarH (ejω)är en funktion av det analoga ltrets frekvenssvar Ha (jΩ) enligt

H(ejω)= Ha (jΩ) , (8.4.10)

där ω ges av (8.4.9). För små frekvenser är sambandet mellan kontinuerlig

frekvens Ω o h diskret frekvens ω approximativt linjärt, ω ≈ TΩ, men vid

högre frekvenser blir ltrets frekvenssvar förvrängt. Frekvenssambandet bör

beaktas vid ltersyntesen, ty om det analoga ltret t.ex. konstrueras att ha

en given bandbredd Ωp, så kommer det diskreta ltrets bandbredd att vara

ωp = 2 arctan(

TΩp

2

)

. Därför bör frekvenssvaret modieras före ltersyntesen

(s.k. prewarping), så att det analoga ltrets bandbredd bestäms så att den

motsvarar den spe i erade bandbredden hos det digitala ltret. Detta kan


åstadkommas med hjälp av inversa avbildningen till (8.4.9),

Ω =2

Ttan

(ω

2

)

. (8.4.11)

Vi kan sammanfatta stegen vid ltersyntesen enligt följande.

Steg 1. Låt det digitala ltrets spe ikationer karakteriseras av passbandets

o h spärrbandets hörnfrekvenser ωp o h ωs. Bestäm motsvarande hörn-

frekvenser Ωp o h Ωs för det analoga ltrets passband o h spärrband

enligt frekvenssambandet (8.4.11),

Ωp =2

Ttan(ωp

2

)

, Ωs =2

Ttan

(ωs

2

)

. (8.4.12)

Steg 2. Beräkna ett analogt lter Ha(s) som uppfyller lterspe ikationerna

för de i steg 1 beräknade pass- o h spärrbanden.

Steg 3. Tillämpa den bilinjära transformationen för bestämning av ett digitalt

lter H(z) enligt (8.4.6).

Observera att det ur konstruktionen o h sambandet (8.4.10) följer att det

digitala ltrets frekvenssvar satiserar

H(ejωp

)= Ha (jΩp) o h H

(ejωs)= Ha (jΩs) . (8.4.13)

Det digitala ltret H(z) uppfyller således spe ikationerna om det analoga

ltret Ha(s) gör det.

De analoga lter som beräknas i steg 2 består i allmänhet av klassiska

lterprototyper. De viktigaste ltertyperna är följande.

Butterworth-lter. Ett Butterworth-lter har en förstärkning som vari-

erar monotont i både passband o h spärrband o h som ges av

|Ha (jΩ) | =√√√√

1

1 +(

ΩΩc

)2N, (8.4.14)

där N är lterordningen o h Ωc är ltrets bandbredd.


Chebyshev-lter. Det nns två typer av Chebyshev-lter. Förstärkning-

en hos ett Chebyshev-lter av typ I uppvisar svängningar i passbandet

som är sinsemellan lika stora (equiripple) o h är monotont avtagande

i spärrbandet, medan ett Chebyshev-lter av typ II har en monotont

varierande förstärkning i passbandet o h uppvisar ett antal sinsemel-

lan lika stora svängningar i spärrbandet. Chebyshev-lter bestäms med

hjälp av Chebyshev-polynom CN(x). Förstärkningen hos ett lter av

typ I ges t.ex. av

|Ha (jΩ) | =√√√√

1

1 + ǫ2C2N

(ΩΩc

) , (8.4.15)

där N är ltrets ordning, Ωc är bandbredden, o h ǫ är en parameter

som påverkar storleken av svängningarna i passbandet.

Elliptiska lter. Ett elliptiskt lter har en förstärkning med sinsemel-

lan lika stora (equiripple) svängningar i både passband o h spärrband.

Förstärkningen hos ett elliptiskt lter ges av

|Ha (jΩ) | =√√√√

1

1 + ǫ2G2N

(ΩΩc

) , (8.4.16)

där GN (x) är en rationell elliptisk funktion med egenskapen GN

(1x

)=

GN(x). Eftersom förstärkningens svängningar i motsats till Butterworth-

o h Chebyshev-ltren är jämnt fördelade i passband o h spärrband, är

elliptiska lter optimala i den meningen att de ger den lägsta lterord-

ningen för givna lterspe ikationer. Elliptiska lter är därför i allmän-

het den ltertyp som är att föredra. Om emellertid fasförskjutningen

har stor betydelse, kan valet falla på något annat lter.

Förutom Butterworth-, Chebyshev- o h elliptiska lter utgör Bessellter

en viktig analog ltertyp. Dess viktigaste egenskap består av att den har

linjär fasförskjutning i passbandet. Faslinjäriteten går emellertid förlorad vid

diskretiseringen p.g.a. frekvensförvrängningen enligt (8.4.10), o h Bessellter

har därför mindre betydelse vid syntes av digitala lter.

De olika standardltrens överföringsfunktioner ges av rätt kompli erade

formler, o h vi skall inte diskutera dem här. I praktiken beräknas ltren med

hjälp av programvara, som utför såväl beräkning av det analoga ltret som


diskretisering av denna med hjälp av den bilinjära transformationen. Program

för syntes av digitala Butterworth-lter, Chebyshev-lter o h elliptiska lter

nns t.ex. i MATLABs Signal Pro essing Toolbox.

Trots att lterprototyperna gäller för lågpasslter kan metoderna o kså

användas för beräkning av högpasslter, bandpass- o h bandspärrlter. Det-

ta kan åstadkommas med hjälp av en lämplig frekvenstransformation av den

typ som diskuterades i avsnitt 8.2.4. Frekvenstransformationen kan göras an-

tingen för det analoga ltret före diskretiseringen eller efter diskretiseringen

för det diskreta ltret. Det kan noteras att de båda metoderna ej resulte-

rar i samma lter. Formler för analoga frekvenstransformationer ges i kapitel

7.4.11 i Ifea hor o h Jervis (1993), o h diskreta frekvenstransformationsform-

ler ges i tabell 8.13 i Proakis o h Manolakis (1996) (jämför avsnitt 8.2.4).

Syntes av digitala lter genom diskretisering av analoga lterprototyper

illustreras med följande exempel.

Exempel 8.4.4. Ett digitalt lågpasslter av första ordningen med bandbred-

den ωc = 0,25π skall konstrueras genom att diskretisera ett analogt Butterworth-

lter av första ordningen.

För att beräkna ett analogt lter vars bandbredd efter diskretisering ger

bandbredden ωc hos det digitala ltret, bör det analoga ltrets bandbredd Ωc ges

av (8.4.11). För T = 1 fås Ωc = 2 tan(0,25π

2

)= 0,828. Överföringsfunktionen

hos ett första ordningens Butterworth-lter med bandbredden Ωc = 0,828 är

B1(s) =1

1 + sΩc

=1

1 + s0,828

.

Diskretisering med hjälp av den bilinjära transformationen (8.4.6) ger det

sökta digitala ltret,

H(z) = B1(s)|s= 2T

1−z−1

1+z−1=

1

1 + 2(1−z−1)0,828(1+z−1)

= 0,29281 + z−1

1− 0,4144z−1,

(8.4.17)

som har dierensekvationsrepresentationen

y(n)− 0,4144y(n− 1) = 0,2928 [x(n) + x(n− 1)] .


Exempel 8.4.5. Ett digitalt lågpasslter skall ha passbandet 0−60 Hz, spärr-bandet > 85 Hz o h dämpningen > 15 dB i spärrbandet, då samplingsfrekven-

sen är 256 Hz.

Det digitala ltrets passband normerat med avseende å samplingsfrekven-

sen är fp =60256

o h spärrbandets normerade hörnfrekvens är fs =85256

.

Vid bilinjär diskretisering av ett analogt lågpasslter bör det analoga ltret

beräknas så, att dess passband o h spärrband efter diskretiseringen motsvarar

de spe i erade frekvensbanden hos det digitala ltret. Enligt (8.4.11) skall

det analoga ltrets passband ges av (T = 1)

Ωp = 2 tan

(2π 60

256

2

)

= 1,8127

o h dess spärrband skall ha hörnfrekvensen

Ωs = 2 tan

(2π 85

256

2

)

= 3,4316 .

Ett analogt lågpasslter av lämplig typ som satiserar spe ikationerna för

dessa passband o h spärrband kan sedan beräknas. Ett digitalt lter som upp-

fyller spe ikationerna fås därefter med hjälp av bilinjär transformation av

det analoga ltret.

8.4.3 Syntes baserad på minstakvadratoptimering av l-

terkoe ienterna

Pre is som för FIR lter så kan även koe ienterna hos ett IIR lter beräknas

med hjälp av optimering, så att ltrets frekvenssvar möjligast väl överrens-

stämmer med det ideala. Den optimeringsbaserade metoden blir emellertid

numeriskt my ket besvärligare att implementera för IIR lter. Detta beror

på det faktum, att medan frekvenssvaret H (ejω) för FIR lter är en linjär

funktion av lterkoe ienterna h(n), så är frekvenssvaret hos ett IIR lter

en olinjär funktion av nämnarpolynomets koe ienter b1, . . . , bN .

För att förenkla optimeringsproblemet vid beräkning av IIR lter de-

nieras felfunktionen vanligen som en kvadratisk felfunktion,

E2 =1

2π

∫ 2π

0

∣∣H(ejω)−HD

(ejω)∣∣2 dω . (8.4.18)


Filtrets beräknas alltså genom att minimera kvadraten av avvikelsen från

det ideala frekvenssvaret integrerat över alla frekvenser. Genom att utnyttja

Parsevals relation, alltså ekvation (4.2.6), kan (8.4.18) uttry kas med hjälp

av impulssvaret,

E2 =∞∑

n=0

|h(n)− hD(n)|2 . (8.4.19)

För att minimera felfunktionen E2 i avseende i koe ienterna hos ett IIR

lter bör impulssvaret h(n) bestämmas som en funktion av ltrets koe i-

enter. Enligt denitionen har vi för IIR ltret (8.4.2),

H(z) =a0 + a1z

−1 + · · ·+ aMz−M

1 + b1z−1 + · · ·+ bNz−N

= h(0) + h(1)z−1 + h(2)z−2 + · · · ,

(8.4.20)

vilket ger identiteten

[1 + b1z

−1 + · · ·+ bNz−N] [

h(0) + h(1)z−1 + h(2)z−2 + · · ·]

= a0 + a1z−1 + · · ·+ aMz−M .

(8.4.21)

Detta ger sambanden

h(n) +

n∑

k=1

bkh(n− k) = an , n = 0, 1, . . . ,M , (8.4.22)

h(n) +N∑

k=1

bkh(n− k) = 0 , n = M + 1,M + 2, . . . (8.4.23)

Exakt minimering av den kvadratiska felfunktionen (8.4.19) bör göras med

numeriska optimeringsmetoder. Det visar sig emellertid att minimeringen kan

utföras approximativt så att ett uttry k för lterkoe ienterna fås i sluten

form. Denna metod går under benämningen Pronys metod. Den är numeriskt

betydligt enklare än en exakt minimering av felfunktionen, o h ger i allmän-

het en my ket god approximation av den exakta lösningen. Pronys metod är

en standardpro edur o h den nns implementerad i de esta programpaket

för syntes av digitala lter.

I Pronys metod bestäms först koe ienterna b1, . . . , bN genom anpassning

av (8.4.23) till det ideala ltrets impulssvar hD(n) genom att lösa minime-

ringsproblemet

minb1,...,bN

∞∑

n=M+1

e2(n) , (8.4.24)


där

e(n) = hD(n) +N∑

k=1

bkhD(n− k) . (8.4.25)

Man kan visa att minimeringsproblemet (8.4.24) kan lösas analytiskt. Ef-

ter att koe ierna bk har bestämt beräknas koe ienterna a0, . . . , aM enligt

(8.4.22),

an = hD(n) +

n∑

k=1

bkhD(n− k) , n = 0, . . . ,M . (8.4.26)

Detta är ekvivalent med att exakt anpassa impulssvarets M + 1 första koef-

ienter till det ideala impulssvaret, d.v.s. h(n) = hD(n), n = 0, 1, . . . ,M .

Kapitel 9

Implementering av digitala lter

Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett my ket stort antal koe ienter

för att representera ett digitalt lter. Detta gäller i synnerhet FIR lter.

Följaktligen har det ofta stor betydelse beräkningsekonomiskt o h o kså för

noggrannheten hur ltret implementeras. Detta påverkar såväl beräknings-

hastighet, minnesbehov o h inverkan av kvantiseringsfel.

Betrakta ett diskret system av typen

y(n) = −N∑

k=1

bky(n− k) +

M∑

k=0

akx(n− k) . (9.0.1)

Vid implementeringen av systemet skall utsignalsekvensen y(n) beräknas

ur insignalsekvensen x(n). En direkt rekursiv lösning av ekvation (9.0.1) äri allmänhet inte den eektivaste implementeringsmetoden, utan andra sätt

att organisera beräkningarna kan vara snabbare eller ge mindre kvantise-

ringsfel.

Olika sätt att organisera beräkningen av utsignalen från ett linjärt system

motsvaras av olika sätt att representera systemet med hjälp av delsystem.

Dylika representationer kallas realiseringar av systemet. En realisering kan

graskt beskrivas i form av blo kdiagram av den typ som behandlades i

kapitel 7 (jämför t.ex. problem 7.3.1). Realiseringar av ett diskret system

kallas o kså strukturer för representation av systemet.

Det har utve klats en mängd olika strukturer för diskreta system med

vilka digitala lter kan realiseras. En del av strukturerna är i ke-triviala

o h spe iellt konstruerade för spe ika typer av tillämpningar. Vi skall här

endast i korthet beskriva några av de viktigaste lterstrukturerna. Deras

olika egenskaper, såsom eekten av kvantiseringsfel m.m. går vi inte in på.

191

192 KAPITEL 9. IMPLEMENTERING AV DIGITALA FILTER

9.1 Strukturer för system med ändligt impuls-

svar

I detta avsnitt betraktas realiseringar av ett system med ändligt impulssvar,

som beskrivs av dierensekvationen

y(n) =

N−1∑

k=0

h(k)x(n− k) . (9.1.1)

9.1.1 Direkt realisering

I en direkt realisering av systemet (9.1.1), beräknas utsignalen direkt som

summan

y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n− 1) + · · ·+ h(N − 1)x(n−N + 1) , (9.1.2)

jämför gur 6.28 i Ifea hor o h Jervis (1993). Realiseringen kräver lagring av

N − 1 tidigare insignalvärden, samt N multiplikationer o h N − 1 additionerper steg.

Om FIR ltret är faslinjärt, så att symmetrivillkoret

h(n) = ±h(N − 1− n) (9.1.3)

gäller, kan beräkningarna förenklas. För symmetriska faslinjära lter av typ

I o h II får vi

y(n) =

N−12

−1∑

k=0

h(k) [x(n− k) + x(n− (N − 1− k))] (9.1.4)

+h

[N − 1

2

]

x

(

n− N − 1

2

)

, (N uddda) (9.1.5)

y(n) =

N2−1∑

k=0

h(k) [x(n− k) + x(n− (N − 1− k))] , (N jämnt) (9.1.6)

Jämför gur 6.29 i Ifea hor o h Jervis (1993). Antalet multiplikationer re-

du eras i detta fall med a 50 % jämfört med en direkt realisering enligt

(9.1.2). Det bör do k observeras att en implementering enligt ovan i era

digitala signalpro essorer kräver en mera kompli erad indexering av data,

vilket redu erar metodens eektivitet.

9.2. STRUKTURER FÖR SYSTEM MED OÄNDLIGT IMPULSSVAR193

9.1.2 Kaskadstrukturer

En kaskadstruktur för realisering av ett FIR lter fås genom att faktorisera

överföringsfunktionen i faktorer av ordningen två enligt

H(z) =

N−1∑

k=0

h(k)z−k = H1(z) ·H2(z) · · ·HK(z) , (9.1.7)

där

Hk(z) = bk0 + bk1z−1 + bk2z

−2(9.1.8)

o h K är heltalsdelen av

N+12. Faktoriseringen kan alltid göras så att koef-

ienterna bik är reella. Med denna struktur kan FIR ltret realiseras med

hjälp av standard byggblo k bestående av FIR system av längden tre.

9.1.3 Andra strukturer för FIR system

Andra viktiga strukturer för realisering av FIR system är bl.a.:

- Frekvenssamplings-strukturen.

- Latti e-strukturen.

Dessa strukturer har utve klats för spe iella typer av tillämpningar för vilka

de är spe iellt eektiva. Vi skall do k ej behandla dem här.

9.2 Strukturer för system med oändligt impuls-

svar

I detta avsnitt betraktas system med oändligt impulssvar, som beskrivs av

dierensekvationen

y(n) = −N∑

k=1

bky(n− k) +M∑

k=0

akx(n− k) (9.2.1)

o h vars överföringsfunktion ges av

H(z) =

∑Mk=0 akz

−k

1 +∑N

k=1 bkz−k

. (9.2.2)


9.2.1 Direkt realisering

En direkt realisering av systemet kan åstadkommas på två sätt. Deniera

funktionen H1(z) bestående av överföringsfunktionens täljare,

H1(z) =M∑

k=0

akz−k , (9.2.3)

samt funktionen H2(z) bestående av överföringsfunktionens nämnare,

H2(z) =1

1 +∑N

k=1 bkz−k

. (9.2.4)

I en direkt realisering av typ I faktoriseras överföringsfunktionen enligt

H(z) = H2(z)H1(z) . (9.2.5)

Systemet representeras alltså som en produkt av ett FIR system H1(z) åtföljtav ett IIR system H2(z) med täljarpolynomet z0 = 1. I tidsplanet motsvaras

detta av att först beräkna en signal w(n) från ett FIR system enligt

w(n) =

M∑

k=0

akx(n− k) (9.2.6)

o h utsignalen fås från ett IIR system enligt

y(n) = −N∑

k=1

bky(n− k) + w(n) . (9.2.7)

I en direkt realisering av typ II faktoriseras överföringsfunktionen enligt

H(z) = H1(z)H2(z) . (9.2.8)

I denna realisering representeras systemet som en produkt av ett IIR system

H2(z) med täljarpolynomet z0 = 1 åtföljt av ett FIR system H1(z). Dettamotsvarar i tidsplanet beräkningen av en signal w(n) från ett IIR system

enligt

w(n) = −M∑

k=1

bkw(n− k) + x(n) (9.2.9)

9.2. STRUKTURER FÖR SYSTEM MED OÄNDLIGT IMPULSSVAR195

o h beräkningen av utsignalen med ett FIR system enligt

y(n) =M∑

k=0

akw(n− k) . (9.2.10)

De direkta realiseringarna av IIR system är känsliga för kvantiseringfel.

Detta beror på det faktum att utsignalen y(n) beräknas som en funktion av

ett antal tidigare utsignaler y(n−1), . . ., y(n−N). Kvantiseringfelen kommer

därför att påverkas av ett dynamiskt system, o h i värsta fall förstärkas av

detta.

Observera o kså att systemets egenskaper beror kritiskt av polernas lä-

gen, d.v.s. av nämnarpolynomets nollställen. Nollställena hos polynom av

hög ordning är emellertid extremt känsliga för polynomets koe ienter. Det

följer att kvantiseringsfel kan ha en stor inverkan på ett systems poler o h

därigenom helt förändra systemet egenskaper. För IIR system av hög ord-

ning är de direkta implementeringsmetoderna därför inte att rekommendera.

Motsvarande fenomen inträar ej för FIR system, eftersom dynamiken inte

på samma sätt är känsligt beroende av överföringsfunktionens nollställen.

Känslighetsproblemet som den direkta implementeringen av IIR system

lider av kan undvikas genom att uppdela systemet i delsystem av låg ordning.

Vanligen används delsystem av ordningen två, eftersom det är den lägsta ord-

ning med vilken system med komplexkonjugerade poler kan behandlas med

reell aritmetik. Delsystem kan kombineras antingen i serie (kaskadstruktur)

eller parallellt.

9.2.2 Kaskadstrukturer

Pre is som FIR system så kan även IIR system realiseras i form av kaskad-

strukturer. Vi faktoriserar överföringsfunktionen (9.2.2) enligt

H(z) = H1(z) ·H2(z) · · ·HK(z) , (9.2.11)

där

Hk(z) =ak0 + ak1z

−1 + ak2z−2

1 + bk1z−1 + bk2z−2(9.2.12)

o hK är heltalsdelen av

N+12. Systemet kan således realiseras som en produkt

av standard byggblo k bestående av IIR system av andra ordningen (jämför

gur 7.20 i Ifea hor o h Jervis (1993)).


9.2.3 Parallellstrukturer

Ett annat sätt att uppdela ett IIR system är genom att införa en partial-

bråksuppdelning av överföringsfunktionen (9.2.2) enligt

H(z) = C +K∑

k=1

Hk(z) , (9.2.13)

där

Hk(z) =ak0 + ak1z

−1

1 + bk1z−1 + bk2z−2. (9.2.14)

I detta fall kan systemet realiseras genom att parallellkoppla IIR system av

andra ordningen, jämför gur 7.21 i Ifea hor o h Jervis (1993).

Exempel 9.2.1. Betrakta ett system av fjärde ordningen med överförings-

funktionen

H(z) =10(1− 1

2z−1) (

1− 23z−1)(1 + 2z−1)

(1− 3

4z−1) (

1− 18z−1) (

1− z−1 + 12z−2) .

Systemet kan realiseras med en kaskadstruktur sammansatt av andra ordning-

ens delsystem t.ex. genom uppdelningen

H(z) = 10H1(z)H2(z) ,

där

H1(z) =1− 2

3z−1

1− 78z−1 + 3

32z−2

,

H2(z) =1 + 3

2z−1 − z−2

1− z−1 + 12z−2

.

För att bestämma en parallellstruktur för realisering av systemet bör överfö-

ringsfunktionen partialbråkuppdelas. En partialbråksuppdelning med nämnar-

polynom av andra ordningen är

H(z) =−14,75− 12,90z−1

1− 78z−1 + 3

32z−2

+24,50 + 26,82z−1

1− z−1 + 12z−2

.

undkurs Gr - users.abo.fiusers.abo.fi/tfredman/SigBe/SigBe_2018.pdf · bärlig oum för...

Documents

Transcript of undkurs Gr - users.abo.fiusers.abo.fi/tfredman/SigBe/SigBe_2018.pdf · bärlig oum för...