Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. Vectores En todo vector...
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Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos.
Vectores
En todo vector distinguiremos: el módulo, la dirección y el sentido.Los vectores que tienen la misma dirección, mismo sentido y mismo módulo se llaman equipolentes.
Módulo: distancia del origen al extremoDirección: determinada por la recta que contiene al vector y sus paralelas.Sentido: el que va del origen al extremo
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Componentes de un vector
Se obtienen restando a las coordenadas del extremo del vector las coordenadas de su origen.
ABSi consideramos el vector
Coordenadas del origen son A = (1,3) y las del extremo son B = ( 3,5)
)2,2()35,13( AB
Componentes:
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CDSi consideramos el vector
Coordenadas del origen son C = (3,3) y las del extremo son D = ( 4,4)
)1,1()34,34( CD
Componentes:
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GHSi consideramos el vector
Coordenadas del origen son G = (3,2) y las del extremo son H = (1,0)
)2,2()20,31( GH
Componentes:
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PQLMJK ,,Los vectores son equipolentes. Observa que tienen las mismas
componentes.
¿Cuáles son? (3,-1)
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Módulo de un vector
Tomemos por ejemplo el vector AB
Coordenadas del origen son A = (1,1) y las del extremo son B = ( 5,4)
)3,4()14,15( AB
Componentes:
Las componentes se corresponden con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:
52534 22 AB
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Tomemos por ejemplo el vector EF
Coordenadas del origen son E = (2,1) y las del extremo son F = ( 1,4)
)3,1()14,21( EF
Componentes:
Las componentes se corresponden (con signo positivo) con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:
103)1(31 2222 scomponenteAB
En general, dado un vector ),( baAB su módulo será:22 baAB
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Ejemplos
1.-Sean los puntos A ( -1,3), B (3,0), C(2,-2) , D (6,-5). Calcula las componentes, módulos, y representa los vectores BCCDAB ,,
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2.-Dados los puntos A(0,0) B(1,1) C(0,2). Calcula las coordenadas del punto D
para que los vectores CDAB, sean equipolentes.
)1,1()01,01( AB
)1,1(CD
Para que sean equipolentes tendrán que tener las mismas componentes
Ahora bien, como
CDCD
(1,1) = D – (0,2)
D = (0,2) + (1,1)
D = (1,3)Las coordenadas finales se obtienen sumando a las iniciales el “camino recorrido” (las componentes)
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Un vector libre es un representante del conjunto de vectores equipolentes a él. A partir de ahora cuando hablemos de vector supondremos que es un vector libre.
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Operaciones con vectores
Suma
Consideremos los vectores
)5,2(u
)1,4(v
)6,2()15),4(2()1,4()5,2( vu
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Opuesto de un vector
Consideremos el vector )3,2(u
su opuesto es )3,2( v
Dos vectores opuestos tienen el mismo módulo, misma dirección y sentido contrario.
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Resta
Consideremos los vectores
)5,2(u
)1,4(v
)4,6()15,42()1,4()5,2( vu
Directamente:
)4,6()15),4(2()1,4()5,2( vu
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Ejemplo
Calcula la suma y diferencia de los vectores
)2,0(v
)3,3(u
)5,3()23,03()2,0()3,3( vu
)1,3()23,03()2,0()3,3( vu
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• Suma:
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• Resta:
)2,0( v
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• Multiplicación de un vector por un número
Consideremos el vector )1,2( u
)2,4()1,2(22 u
)3,6()1,2(33 u
2
1,1)1,2(
2
1
2
1u
)1,2()1,2(11 u
)3,6()1,2(33 u
Si multiplicas un vector por un número el vector resultante no cambia de dirección, se alarga o encoge si el número es positivo. Si el número es negativo el vector resultante además cambia de sentido.
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Efectúa vu
32
)2,6(u
)1,2(v
2 · (6,2) + 3 · (-2,1) = (12,4) + (-6,3) = (6, 7)
Efectúa uv
- ( -2,1) – (6,2) = (2, -1) – ( 6,2) = (-4, -3)
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Efectúa gráficamente vu
32
)2,6(u
)1,2(v
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)2,6(u
)1,2(v
Efectúa gráficamente uv
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Traslación de un punto mediante un vector
AAu ´
uAA
´
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Ejemplo
Calcula los puntos que se obtienen trasladando el punto A(-2,0) mediante los vectores:
)2,0(u
A´= (-2,0) + (0,2) = (-2,2)
)0,2(u
A´= (-2,0) + (2,0) = (0,0)
)2,1(u
A´= (-2,0) + (-1,2) = (-3,2)
)1,3( u
A´= (-2,0) + (3,-1) = (1,-1)
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Distancia entre dos puntos
Consideramos los puntos A(1,-4) y B(3,-5). La distancia que hay entre ellos es el módulo del vector
(3-1, -5-(-4)) = (2,-1) AB
5)1(2),( 22 ABBAd
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1.-Calcula el perímetro de un triángulo equilátero que tiene dos vértices situados en los puntos A(0,0) y B(-3,-2)
(-3-0,-2-0) = (-3, -2) AB
13)2()3(),( 22 ABBAd
133Perímetro =
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2.-Determina el área de un cuadrado si sabes que dos vértices consecutivos son los puntos A(-1,1) y B(3,4)
:AB (3- (-1),4-1) = (4, 3)
52534),( 22 ABBAd
Área = lado · lado = 5 · 5 = 25
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3.-Calcula la diagonal del rectángulo
:AC ( 6, -4)
22 )4(6),( ACCAd
521636
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Punto medio de un segmento
Calculemos M el punto medio del segmento AB siendo A = (-2,3) y B(0,-1)
1º.- Determinaremos el vector AB
2º.- Determinaremos el vector ABAM 2
1
3º.- Trasladaremos el punto A mediante el
vector AM
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)2,1()4,2(2
1AM
M = A+ AM = (-2,3) + (1,-2) = (-1,1)
AB (0 – (-2) , -1 – 3) = (2, -4)
También se podría calcular M de forma directa:
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)1,1(2
)1(3,
2
02
M
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Sin la fómula:
AB (7 – (-4) , 6 – 5) = (11, 1)
A(-4,5) B(7,6)
2
1,
2
11)1,11(
2
1AM
AMAM
2
1,
2
11)5,4(
2
15,
2
114
2
11,2
3
2
11,2
3
2
65,
2
74MCon la fórmula:
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2.-Determina los puntos que dividen al segmento de extremos A(-1,0) y B(2,-3) en tres partes iguales.
El punto C se obtiene trasladando el
punto A mediante el vector AC
que es la tercera parte del vector AB
(2 – (-1) , -3 – 0) = (3, -3) AB
1,1)3,3(3
1AC
1,01,1)0,1( ACAC
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1,0 C
El punto D se obtiene trasladando el
punto C mediante el vector CD
cuyas componentes son las mismas
que las de AC
2,11,1)1,0( ADCD
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De la fórmula deducimos que:
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Vectores paralelos
Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección
)1,3()21),2(1( AB
)2,6())1(3),2(4( CD
)5.0,5.1()5.01),5.0(2( FG
5,1
5,0
6
2
3
1
En general, dos vectores
),( 21 uuu
),( 21 vvv
son paralelos cuando 1
2
1
2
v
v
u
u
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1.-Determina cuales de los siguientes vectores son paralelos.
)1,1( u
)4,2( v
)3,3( w
)4,2(n
no es paralelo a u
)4,2( v
ni a )4,2(n
ya que 2
4
1
1
y
2
4
1
1
u
es paralelo a )3,3( w
ya que 3
3
1
1
v
es paralelo a )4,2(n
ya que 2
4
2
4
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2.- Comprueba si A(1,2) B(0,0) C(3,5) pueden ser los vértices de un triángulo.
)2,1()20,10( AB
)3,2()25,13( AC
2
3
1
2
No son paralelos por tanto los tres puntos pueden construir un triángulo.
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3.- Comprueba si A( -2,0) B(1,1) C(-5,-1) pueden ser los vértices de un triángulo.
)1,3()01),2(1( AB
)1,3()01),2(5( AC 3
1
3
1
Son paralelos por tanto los tres puntos están alineados. No pueden construir un triángulo.
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(-1,-1) · (2,-2) = -2 + 2= 0
El producto escalar es cero, por tanto son perpendiculares. El triángulo es rectángulo.
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