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Un Modelo para el SARC con base en Matrices de Markov

Norman Giraldo Gomez

Escuela de Ingeniería de la Organización

Universidad Nacional de Colombia

Medellin

Especialización en Finanzas

Nov 22 – Dic 12, 2008

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Introducción

•La SuperIntendencia Bancaria expidió la Circular 31 de 2002

que describe el SARC : Sistema de Administración de

Riesgos Crediticios.

• El SARC es una estructura organizacional que busca controlar

el Riesgo de No-Pago en créditos bancarios en una Entidad

Crediticia

• El SARC debe ser implementado por cada Entidad Crediticia

(Bancos, Cooperativas Financieras, etc.) que esté vigilada

por la SuperBancaria.

• Clave Implementación : fórmula para calcular la Provisión

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 “La Institución debe definir las políticas de constitución de provisiones generales e individuales necesarias para absorber las pérdidas esperadas derivadas de la exposición crediticia de la entidad y estimadas mediante metodologías y análisis desarrollados en el SARC...estas metodologías, que pueden incluír el desarrollo de modelos sofisticados, deben estar en capacidad de determinar el valor más probable de pérdida en caso de incumplimiento de la contraparte para cada uno de los portafolios de crédito, tomando en cuenta la definición de incumplimiento que se utilice”. (Anexo Carta Circular 31 de 2002, pag 6. sec. 1.2.2 Criterios de seguimiento y control).

Provisión = (Probabilidad de No-pago)(Saldo Deuda)(1-Tasa de Recuperación de la Garantía)

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Modelo para el Cálculo de las Provisiones

Provisión = (Probabilidad de No-pago)(Saldo Deuda)(1-Tasa de Recuperación de la Garantía)

Las variables observables que permitan definir un modelopara determinar la Probabilidad de No-pago se definen así:

D(s,j) = Días de mora del crédito s en el mes j.F(s,j) = Saldo de la deuda del crédito s en el mes j.

para s = 1,2,...,N, j = 1,2,...,JN = total de créditos en el portafolio J = total de meses del período de estudio.

Restricción: j,s,31)j,s(D)1j,s(D

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Ejemplo de una porción de la Base de Datos(N = 4124, J = 26)

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Idea del Análisis: codificar los datos de las variables D en 7 categorías y formar matrices de transición de un mes a otro. Utilizar estas matrices para definir las probabilidadesde No-pago.

1 = mora entre 0 y 30 días (es decir )2 = mora entre 31y 60 días3 = mora entre 61 y 90 días4 = mora entre 91 y 120 días5 = mora entre 121 y 150 días6 = mora entre 151 y 180 días7 = mora mayor o igual a 181 días (estado de default) Para cada pareja de meses j, j+1, resulta una matriz 7x7,denotada y denominada “matriz de conteo”.

30D0

jC

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Ejemplo de la Matriz de Conteo para dos meses j, j+1.

De 3564+147 créditos en la categoría 1 al inicio del mes j, 147 pasaron a la categoría 2, al final del mes. Es decir, 147dejaron de pagar y ajustaron hasta 60 días de mora.

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Cada fila de la matriz se divide por su total y la matriz resultantees una “Matriz de Markov”, denotada (la suma de las filas es 1.0)Ahora se utilizan probabilidades en lugar de frecuencias.

Cómo se interpreta la entrada P(4,2) = 0.031 ? 4(30)=120, 2(30)=60

jPjC

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• Por qué 7 clases? • Por qué la última clase es más de 181 días de mora?

Regla de decisión:

“Si un crédito ajusta 181 días de mora es porque difícilmente pagará” . Puede comprobarse esto con los datos?.

En caso de mora de más de 180 días se procede al cobro jurídico.Si se falla en contra del deudor se procede a vender el bien dado en garantía.

Sin embargo, se observa que hay casos en que se logra recuperarel crédito y cancelar las obligaciones vencidas.

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Definición. La probabilidad de no pago del crédito s, clasificadoen el mes j en la categoría de mora , se define como la probabilidad de llegar al estado 7 en 7-k meses, yestá dada por

Observaciones• es la potencia k-ésima de la matriz P. • Las matrices P dependen del mes j, por definición.• Deben ser homogéneas en el período 1,…,J. La prueba es

• Las probabilidades deben aumentar al entrar la economía en un período de recesión y disminuír en períodos de recuperación.• Examinar los valores de q versus una variable macroeconómica, por ejemplo, la tasa de desempleo, el PNB.

k 1,2,...,7

)7,k(Pq k7k

)H(no:H

j,i,P)j,i(P...)j,i(P)j,i(P:H

o1

j,iJ21o

kP

kq

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Definición. Para un crédito cualquiera, clasificado en la categoría

con saldo a capital igual a , entonces su provisión

se define como

donde:

= probabilidad de no-pago

= saldo a capital (lo que aún le falta por cancelar)

w = tasa de recuperación = % del valor de la garantía

que es posible recuperar después de que se vende en el mercado.

Provisión del portafolio:

El cálculo de las provisiones debe hacerse a comienzo de cada mes.

sF

)7,k(P sk7 s

)w1(.F).7,k(PR ssk7

ss

sF

N

1s sRR

k 1,2,...,7

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Nota sobre la Tasa de Recuperación w.

La tasa de recuperación w se refiere al valor que recupera la Entidad después de terminado el cobro jurídico y se rematael bien dado en garantía. Usualmente, estos bienes debenvenderse por un valor menor y por eso se habla de “tasa derecuperación”.

Como w es una tasa con valores entre 0 y 1, lo que puedeobtenerse es una distribución de probabilidades empíricaen [0,1]. Modelable como una distribución Beta.

En algunos estudios como Asarnow y Edwards (1995) seencuentran distribuciones empíricas como la siguiente:

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x = seq(0, 1, length=21)plot(x,dbeta(x, 0.51, 0.3),type="l")

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Estimar el Tiempo de No Pago ó Default

-Tiempo de Default: un número de días de mora a partir del cual difícilmente se recupera el crédito.

-Procedimiento de Estimación. Se utilizaron 25 matrices de Markov con 20 categorías de mora, para 25 períodos mensuales en estudio: D1, D2, ..., D25: cada una matriz 20x20.- Para cada Di se estimaron las probabilidades Di(k,k+1), k=1,2,...,19. -Los valores estimados versus k muestran una gráfica que se empieza a estabilizar a partir de k = 6-El tiempo de default se toma como 180=6(30) días a partir de este hecho

)1k,k(D̂q̂k

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3. Estimar las Probabilidades de Default

-Las probabilidades de default por categoría se definieronpor para k = 1,2,...,7.

- Utilizando la información histórica 06/00 - 07/02 se estimaron estas probabilidades en cada uno de los 25 períodos de la base de datos. Los resultados promedios son:

k=1 0.0011 k=5 0.6293k=2 0.0357 k=6 0.8313k=3 0.1538 k=7 1.0000k=4 0.4040

Cada vez que cambie la matriz de transición P cambianestos valores.

)7,k(Pq k7k

kq

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4. Realizar pruebas de Stress.

Definición de la Prueba de Stress: consiste en calcular la probabilidad de que, en un portafolio determinado, el saldo total de los créditos que entraron en default en el período de un mes, supere la provisión del portafolio.

Modelo

Supuestos

Nss 1

Y Y

s s s s

s

s s

s

N Total de créditos en el portafolio

Y F I (1 W ) saldo del crédito s en riesgo de no pago

F saldo del crédito s en $

I variable aleatoria 0,1, con I 1 si entra en default

W tasa de recuperación del

crédito s si entra en default

ss k

s

s s

I ~ Bin(1,q ), independientes

W ~i.i.d. Beta(a,b)

Corr(I , W ) 0

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4. Realizar pruebas de Stress.

De acuerdo con el SARC se propone que el valor esperadode la variable Y es igual a la provisión de portafolio: E(Y)=R.

La Superfinanciera propone asumir con lo cual la provisión queda

La probabilidad buscada es: P( R < Y ) = probabilidad de que, en un portafolio determinado, el saldo a capital total de los créditos que entraron en default en el período, supere la provisión del portafolio.

s s s

N Ns s s s s ss 1 s 1

s s s s s k k k

s s

Provisión=R=E(Y) E( F I (1 W )) F E(I (1 W ))

R F E(I (1 W )) F [(1 w)q q (1 q )]

w E(W ), Var(W )

0

s

Ns ks 1

R F (1 w)q

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4. Realizar pruebas de Stress.

Sin embargo, la provisión debería ser el VaR(p): el percentil del 100.p% de la variable Y. Es un valor tal que es superado por Y sólo en el 100(1-p)% de los casos. Esta es la estrategia correcta. R = VaR(p) tal que

Luego el valor R representa el valor del total de los saldos a capital de los créditos que entraron en default, en un evento extremadamente averso: muchos créditos en default y con los mayores saldos a capital y que ocurre con una frecuencia muy baja: de 100(1-p)% o menos.

Si la provisión está muy alejada de este valor se consideraría que no hay una adecuada cobertura.

El problema reside en cómo calcular el VaR con la variable Y. Su distribución solamente puede determinarse por simulación MonteCarlo

Ns s ss 1

R VaR(p)

P(Y R) 1 p

Y F I (1 W )

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4. Realizar pruebas de Stress.

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5. Realizar pruebas de Back Testing.

Definición de la Prueba de Back-Testing. La prueba consiste endecidir si las matrices de rodamiento han permanecido homogéneas durante el período de estudio de 26 meses.

Matrices homogéneas = estadísticamente iguales = las diferencias que existen entre dos cualesquiera son casi cero.

Hipótesis de la Prueba:

En caso de no rechazar la hipótesis no habría necesidad de actualizar con frecuencia la matriz de rodamiento. En caso contrario sí.

j,i2521 P)j,i(P...)j,i(P)j,i(P

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5. Realizar pruebas de Back Testing.

Variables para definir el Estadístico de la Prueba

= No de casos en la celda (i,j) de la matriz de conteo s

= No total de casos en la fila No i de la matriz de conteo s

= estimador de asumiendo

que la hipótesis es cierta.

= estadístico de la prueba

distribución del estadístico asume hip. cierta

)s(N j,i

25

1s

7

1j,ij,ii

2j,iij,i2

P̂)s(N

)P̂)s(N)s(N(X

)s(Ni

25

1s i

25

1s j,ij,i

)s(N

)s(NP̂ j,iP

2)17(7)125(

2 Ji~X

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5. Realizar pruebas de Back Testing.

Resultado de la Prueba.

El valor del estadístico es

El valor crítico de la Ji-cuadrada con 1008 grados de libertad es: 1082.97.

Conclusión: como el valor del estadístico supera al valor crítico se rechaza la hipótesis. ( 1082.97 < 1910.12 ).

Las matrices de transición P no se han mantenido homogéneas durante el período de estudio. Es recomendable actualizar periódicamente la matriz de rodamiento.

12.1910X2

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5. Realizar pruebas de Back Testing.

También se complementó esta prueba de homogeneidad con otro tipo de estadístico: la norma euclidiana de la matriz de rodamiento P, definida por:

Si la hipótesis es cierta todas las normas serían similares.Al calcular las normas para las 25 matrices de conteo en período de estudio se observó la siguiente gráfica

i j

2j,i

T P)PP(traza||P||

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5. Realizar pruebas de Back Testing.

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1. Referencias

• Altman, E.I., Brady, B. , Resti, A. and Sironi, A. (2002). “The Link between Default and Recovery Rates: Implications for Credit Risk Models and Procyclicality ‘’. http://www.defaultrisk.com/ps_recoveries.htm.

• Frye,J. (2000). Depressing Recoveries. Emerging Issue Series. Federal Reserve Bank of Chicago. http://www.chicagofed.org/publications/publicpolicystudies/emergingissues/survey.cfm

• Gupton, G.M., Finger, C.C. and M. Bhatia (1997). Credit_Metrics TM, Technical Document. Morgan Guarantee Trust Company.

• Longerstaey, J. and P. Zangari (1996). RiskMetrics technical document, Technical Report fourth edition, JP.Morgan. http://www.riskmetrics.com/rm/index.cgi

• SuperIntendencia Bancaria. (2002). Carta Circular 31 de 2002. Anexo. Lineamientos Generales para la Adecuada Administración del Riesgo Crediticio.