Un modello analitico tridimensionale e non lineare per l ... · Università degli Studi di Genova...
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Università degli Studi di Genova
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni dell’Ambiente e del Territorio
Genova, 21 Marzo 2007
Un modello analitico tridimensionale e non lineare per l’idrodinamica e la morfodinamica di alvei
meandriformi
G. Nobile, M. Bolla Pittaluga, G. Seminara
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Mississippi River (1930-1970)
-
PRINCIPALI PROCESSI CHE SI VERIFICANO IN ALVEI MEAN DRIFORMI
� Erosionedella sponda esterna
� Generazione moto secondario
depositoin sponda interna (“forced bars”)
� Generazione e propagazione di forme di fondo (“free or migrating bars”)
RILEVANZA …
� Aspetto ingegneristico: predizione della massima profondità di scavo, navigazione, …
� Proprietà privata
� Aspetto scientifico
� …
Evoluzione planimetricadegli alvei meandriformi
� Aspetto economico: Petroleum Engineering
Interazione (“ risonanza”)
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Un modello analitico tridimensionale e non lineare per l’idrodinamica e la morfodinamica di alvei
meandriformi
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Formulazione matematica del problema
IPOTESI
� Canale debolmente meandriforme
� Materiale non coesivo
� Canale molto largo Tali ipotesi garantiscono un motolentamente variato, sia in direzione longitudinale, sia in direzione trasversale
� Condizioni stazionarie
Sistema di coordinate curvilineeortogonali dimensionali (s*,n*,z*)
� Trasporto di fondo dominante Non vi è alcuna ipotesi restrittiva a priori riguardante la forma del fondo (Seminara & Solari, 1998)
1*
*
>>=u
u
D
Bβ
1*0
*
0
-
Formulazione matematica del problema
*
*
0o
R
uB
=ν curvature ratio 10 uβ
Parametri
*
*
*
*
*
*
z
u
u
u
D
z
B
nn
B
ss
=
=
=
Adimensionalizzazione
uu
u
u
U
W
U
VV
U
UU
β*
*
*
*
*
*
W
=
=
=
2*
*
*
*
uu
u
FD
hh
D
DD
=
=
-
Formulazione matematica del problema
• 3-D Reynolds
• Continuità
FASE LIQUIDA
• Equazione di Exner
EQUAZIONI DI GOVERNO
( ) ( ) 0,0, =++ nbnbnsbs qCqNqN ν
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(z) 1
,
(n)
(s) 2
2
,,,22
0,,2
,
,,,0,,,2
uz
zzTfuunzns
zzTfuufuuszns
FP
VChUVCNVWVUVN
UCChNCUVNUWUVUN
−=
+−=−+++
+−−=+++
νβν
νββν
0,,0, =+++ zns WVCVNNU ν
FASE SOLIDA
-
Formulazione matematica del problema
• Condizione di aderenza:
• Condizione cinematica:
FONDO
• Condizione dinamica:
CONDIZIONI AL CONTORNO
)(0,, 2uzTzT hFzPVU ====νν
)(0 0zzWVU ====
)(0 22,2
, uunus hFzWFVhFNUh ==−+
SUPERFICIE LIBERA
• Sponde impermeabili alla corrente ed ai sedimenti:
0
0
,
,
=⋅
=⋅
−+=
−+=
BBn
BBn
bsol
bliq
nq
nq
( ) ∫∫ ∫ −−=
−=
B
B bs
s
suB
B
hF
zuuu
u dnqgds
QUdzdn
UDB
Q u3*
*
***
*
1
2
0
• La portata liquida e solida devono mantenersi costanti lungo s :VINCOLI INTEGRALI
SPONDE
-
Formulazione matematica del problema
( )
( )1 11
11-
0
2
*
**
*
*
*
*
0*0
*
*
*
*0
*
≤≤−−=−−=
≤≤===
===
ζζζ
νσ
D
zhF
D
hz
ynB
n
B
ny
sR
B
B
s
R
s
u
u
u
u
Trasformazione di variabili (s,n,z) → (σσσσ,y,ζζζζ)
B*=B*u costante
λ ~ O(ν0)
( )ζ
ζνσ
ν σσ∂∂
−−+∂∂→
∂∂
D
hFD
su ,,1
2
00
Le derivate:
-
O(δ1) → moto secondarioal minimo ordine di approssimazione
(U=U0+δδδδU1 V=δδδδV1 W=δδδδW1)
O(δ2) → introduzione deitermini convettivi
(V=δδδδV1+δδδδ2222V2)
Sviluppo in serie di potenze
Le funzioni incognite sono perturbate attraverso un’espansione in serie di potenzedel parametro piccolo
10
-
( ) ( ) ( ) [ ] ( )zzTfuufuuszns
UCChNCUVNUWUVUN,,,0,,,
2 2 νββν +−−=+++
PRIMO ORDINE
02
1
02
1
00 FDRU =
Equazione lungo s
( )
0
0
1,0
0
,,0
0
=
=
−=
ζ
ζ
ζζ
F
F
CNF fuBilancio tra tensioni al fondo e gravità
Distribuzione di velocità logaritmica
Moto uniforme
Equazione lungo n
12
3
02
1
01 GDCRV =
( ) [ ]
0
0
1,1
1
201,,1
0
=
=
−=
ζ
ζ
ζζ
G
G
FaNG
( ) ( ) ( ) ( ) ( )zzTfuunzns
VChUVCNVWVUVN,,,
220,,
2, νβν +−=−+++
Moto secondario indotto dal termine centrifugo e dalla pendenza trasversale del pelo libero
a1(σσσσ,y) funzione incognita indipendente da ζζζζ
G1(σσσσ,y,ζζζζ)= a1(σσσσ,y) G11(ζζζζ)+ G12(ζζζζ)
−=
fuC
hR σ,00 1
( )0δO
( )δO
-
0,,0, =+++ zns WVCVNNU ν
∂∂−= ∫ ∫−
y
F
UDRICD
aaa
1
1
002
1
02
5
0
11101
0
0
ζσ
Equazione di continuità
Già al minimo ordine il moto secondario è sfasato rispetto alla curvatura per effetto delle derivate longitudinali presenti in a1
G1(σσσσ,y,ζζζζ)= a1(σσσσ,y) G11(ζζζζ)+ G12(ζζζζ)
Equazione di Exner
( ) ( ) 0,0, =++ nbnbnsbs qCqNqN ν
alelongitudin solida Portata 0
1 00,0
,1
'00
,0
0
Φ
Φ
∂∂
Φ−−= ∫−
yfuu
y
C
U
V
R
RDD
σβ
ζζ
ζ
Incognite:
1. Profondità in sponda interna: D0|y = -1
2. Correzione pendenza superf. libera: R0∝σ,0h
( )δO
( )δO
-
Il problema è ben posto?
Suddividiamo il meandro in un numero pari a N sezioni longitudinali
Ogni sezione 2 variabili incognite:
INCOGNITE
2N INCOGNITE
EQUAZIONI
Ogni sezione 2 vincoli integrali:
2N EQUAZIONI
� Profondità in sponda interna: D0|y = -1
� Correzione pendenza superf. libera: σ,0h
� portata liquida
� portata solida
∫ ∫−=B
B
hF
zuuu
u u dzdnUUDB
Q 2
00***
*
( ) ∫−=
−
B
B bs
s
su dnqgds
Q03*
*
1
( )0δO
-
RISOLUZIONE NUMERICA
� Si ipotizzano i valori delle incognite su tutta la sponda y=-1
� Si integrano le equazioni integro-differenziali D ,y da iy ad iy+1
� Si calcolano i valori locali delle funzioni e dei parametri necessari
� Si valutano le derivate longitudinali di tali funzioni
� Si ricavano le D|y+1 per tutte le sezioni
� Si ripetono i passi precedenti sino alla sponda opposta
� In sponda esterna si calcolano i valori dei vincoli integrali
� Si variano i valori delle condizioni iniziali fino a soddisfare i vincoli integrali in tutte le sezioni, utilizzando un metodo del gradiente tipo Newton-Raphson
-
( ) [ ] [ ]
0
02
5
2
32
1
2
1
1,1
1
1,030,02
1032
021,,1
0
00
=
=
−
−
+++=
∫∫
ζ
ζ
ζ
ζζ
ζ
ζζ
ζζ
F
F
CGFRFFR
CGFRFRRNF
b
Equazione lungo s
Al primo ordine compaiono i termini convettivi nella correzione del moto longitudinale
( ) ( ) ( ) [ ] ( )zzTfuufuuszns
UCChNCUVNUWUVUN,,,0,,,
2 2 νββν +−−=+++
12
1
02
1
01 FDRU =
y
fuu
bfuufu
DDC
R
RR
DDRR
R
DDRCyC
U
U
D
DCR
,003
,00
0,02,0
0
0,02
0
01,
,0
,1
0
11
1
;3
; ; R
h
0
β
β σσσσσ
ζζ
ζ
=
+=+=++
−−=
I coefficienti dipendono solo da σσσσ,y e sono tutti già noti a meno delle incognite D1(σσσσ,y) e h01,σσσσ
SECONDO ORDINE
( )δO
-
( ) [ ] [ ] ( )[ ]
[ ]
( )
0
0
2
5
2
3 2
2
3
2
3
1,2
2
100
1,13
0,12
10
21
310
620
4512,,2
0
00
=
=
∂∂+
−
−−
++++=
∫∫
ζ
ζ
ζ
ζζζ
ζζ
ζζ
σ
G
G
CGFC
D
CGCGC
RFCG
C
RFF
CGC
RCGF
C
RF
CC
RRaaNG
b
b
fu
b
Equazione lungo n
Al secondo ordine compaiono i termini convettivi nella correzione del moto secondario
( ) ( ) ( ) ( ) ( )zzTfuunzns
VChUVCNVWVUVN,,,
220,,
2, νβν +−=−+++
22
3
02
1
02 GDCRV =
( ) σσζζ
ζ β ,00
0,0654
,0
,1
0
15 3
0
RR
DDRCyCRR
U
U
D
DR bfuub +=+−=
−=
I coefficienti dipendono solo da σσσσ,y e sono tutti già noti a meno delle incognite D1(s,y) e h01,σσσσ
a2(σσσσ,y) funzione incognita indipendente da ζζζζ
G2(σσσσ,y,ζζζζ)= a2(σσσσ,y) G21(ζζζζ)+ G22(ζζζζ)
( )2δO
SECONDO ORDINE
-
0,,0, =+++ zns WVCVNNU ν
+∂∂+−= ∫∫−
1
111 1125
02
1
0
21202
0
1ζσ βσ
VDC
qyCqDCR
aaa
fuu
y
y
le trasversaliquida Portata ),(
alelongitudin liquida Portata D),(
1
101
1
01
1
101
0
00
∫
∫∫
=
+=
ζ
ζζσ
σ
σ
VDyq
UUDyq
y
Equazione di continuità
( )δO
( )δO
( )2δO
SECONDO ORDINE
-
Vincoli integrali:
1. Portata liquida
2. Portata solida
Equazione di Exner
( ) ( ) 0,0, =++ nbnbnsbs qCqNqN ν
le trasversasolida Portata
alelongitudin solida Portata
1
1
,12
1 10,0
,20
110
1
,0
,11
0'
00,1
0
0
by
b
yuy
bfuu
byfuubyby
y
q
q
hF
qbCU
V
CyqCqU
Uq
R
RDD
σ
σ
ζζ
ζ
ζζ
ζ
σβ
β
+
∂∂−Φ−
−ΦΦ−+
Φ=
∫−
( )δO( )δO
( )2δO
Incognite:
1. Correzione profondità in sponda interna: D1|y = -1
2. Correzione pendenza superf. libera: σ,01h
( )δO
∫ ∫−=B
B
hF
zuuu
u u dzdnUUDB
Q 2
01***
*
( ) ∫−=
−
B
B bs
s
su dnqgds
Q13*
*
1
SECONDO ORDINE
-
RISULTATI PRELIMINARI
Canale a larghezza costante
-
Variazione della quota del fondo∆η ∆η ∆η ∆η rispetto alla configurazione iniziale
νννν0 = 0.04 – d50 = 0.005 –β β β β = 7.0 –θθθθ = 0.1
-
Velocità longitudinale U integrata sulla verticale
νννν0 = 0.04 – d50 = 0.005 –β β β β = 7.0 –θθθθ = 0.1
-
Velocità longitudinale U integrata sulla verticale
νννν0 = 0.04 – d50 = 0.005 –β β β β = 7.0 –θθθθ = 0.1 –λλλλ = 0.185
ORDINE 1
ORDINE 2
-
Campo di moto in sezioni trasversali
νννν0 = 0.04 – d50 = 0.005 –β β β β = 7.0 –θθθθ = 0.1 –λλλλ = 0.185
-
Campo di moto in sezioni trasversali
νννν0 = 0.04 – d50 = 0.005 –β β β β = 7.0 –θθθθ = 0.1 –λλλλ = 0.185
-
Massimo della velocità longitudinale integrata sulla verticale U – Phase lag
A valle dell’apice della curva
A monte dell’apice della curva
-
EVOLUZIONE PLANIMETRICA dei MEANDRI
LEGGE DI EROSIONEMODELLO MORFODINAMICO +
EVOLUZIONE PLANIMETRICAEVOLUZIONE PLANIMETRICA
LEGGE di EROSIONELEGGE di EROSIONE(Ikeda, Parker & Sawai, JFM 1981)
componente longitudinale, mediata sulla profondità, della velocità della corrente
coefficiente adimensionale di erodibilità delle spondevelocità di migrazione dell’asse
ζ∆τ
ττ+∆τ
(Zolezzi et al., JFM 2001)
-
ANALISI DI STABILITA’ PLANIMETRICA
Qual’è la lunghezza d’onda selezionata nel processo di formazione del meandro?
( )**** sin xky ⋅= ε
*x
*y
*ε*k
Fissatoε ε ε ε −−−− Variando k
� Il meandro tende ad amplificarsi o ad attenuarsi?
� Il meandro migra verso valle o verso monte?
( )20 k⋅= εν
Equazione della linea d’asse
-
ANALISI DI STABILITA’ PLANIMETRICA
∆
ξ ξ( )
ξ ξ( )
Criteri per l’amplificazione e la migrazione
1. Criterio integrale
2. Criterio armonico
Vettore velocità di migrazione“media” del meandro→xς MIGRAZIONE
AMPLIFICAZIONE
MIGRAZIONE
Fase della fondamentale (t+∆∆∆∆t)
AMPLIFICAZIONE
Ampiezza della fondamentale (t+∆∆∆∆t)
→yς
Punto di flesso
Punto di flesso
-
Am
plifi
cazi
one
Am
plifi
cazi
one
Num
ero
d’on
da s
elez
iona
to
ANALISI DI STABILITA’ PLANIMETRICA
Mig
razi
one
Verso valle
Verso monte
-
Numero d’onda selezionato Parametro perturbativo
ANALISI DI STABILITA’ PLANIMETRICA
-
DIAGRAMMA di LEOPOLDDIAGRAMMA di LEOPOLD
(Leopold et al., 1964)
CONFRONTO CON DATI DI CAMPO
-
Validazione del modello
� Confronto con un modello 3D (Dipartimento MOX – Milano)
� Confronto con dati campo (Fiume Cecina – Toscana)
� Confronto con misure di laboratorio
-
0 5 10 15 km
Rome
FlorenceThyr renian Sea
ITALY
F.Cecina
F.C
eci
na
T.Pa
vone
T.Po
sser
a
T.Sterza
T.Fos
ci
F.Cecina
3
2
1
INQUADRAMENTO AREA DI STUDIOINQUADRAMENTO AREA DI STUDIO
Depositi marini e lacustri (rocce tenere o depositi sciolti)
Substrato roccioso (formazioni litoidi)
Depositi alluvionali (Olocene)
-
Area: 634 km2
Length: 53 kmAverage basin elevation: 309 m a.s.l.
∆H: 1018 mAverage annual runoff: 944 mmQmean: 7.61 m3 s-1
0 5 10 15 Km0 5 10 15 Km
Monterufoli gauging station
INQUADRAMENTO AREA DI STUDIOINQUADRAMENTO AREA DI STUDIO
-
SITO CSITO C
by courtesy of M. Rinaldi
-
Applicazione del modello ad un tratto del fiume Cecina (Sito C)
by courtesy of M. Rinaldi
Anno 1954
-
Applicazione del modello ad un tratto del fiume Cecina (Sito C)
by courtesy of M. Rinaldi
-
by courtesy of M. Rinaldi
-
by courtesy of M. Rinaldi
-
by courtesy of M. Rinaldi
-
by courtesy of M. Rinaldi
-
by courtesy of M. Rinaldi
-
Dati di input :
� Larghezza:
� Pendenza media:
� Raggio di curvatura minimo:
� Lunghezza d’onda intrinseca:
� Profondita’ di “bankfull”:
� Portata liquida di “bankfull”:
� Diametro medio dei sedimenti:
mBu 402* ≅
Applicazione del modello ad un tratto del fiume Cecina (Sito C) Configurazione planimetrica del 1978
Parametri adimensionali:
� Rapporto semilarghezza/profondità:
� Parametro di Shields:
� Parametro di curvatura:
� Numero d’onda:
� Parametro “perturbativo”:
� Scabrezza relativa:
002.0≅fi
mR 320*0 ≅
mD 3.1*0 ≅
smQ
3110≅
mmd 4.7*50 ≅
2.15≅uβ
210.0≅uϑ
350 106.5
−⋅≅d
062.00 ≅ν
068.0≅δ
mLs 970* ≅
129.0≅λ
-
Velocità longitudinale U integrata sulla verticale
MODELLO LINEARE
MODELLO NON LINEARE
-
Velocità longitudinale U integrata sulla verticale
-
Variazione della quota del fondo∆η ∆η ∆η ∆η rispetto alla configurazione iniziale
-
Evoluzione planimetrica
-
εεεε∗∗∗∗2Β2Β2Β2Β∗∗∗∗υυυυ
Anno 1954
Meandro in fase di formazione
Stima approssimata dell’entità della
perturbazione iniziale
εεεε∗∗∗∗ ≈ 4B*u → εεεε ≈ 4
by courtesy of M. Rinaldi
Analisi di stabilità planimetrica
Fiume Cecina (Sito C)
-
Analisi di stabilità planimetrica
Numero d’onda osservatodalla foto aerea del 1978 129.0≅λ ( )mLs 970* ≅Numero d’onda calcolato 132.0≅λ ( )mLs 950* ≅
-
Stabilità planimetrica – Influenza dei parametri
Parametro di Shields Rapporto semilargh/profondità
Ampiezza della perturbazione
Criterio di amplificazione / migrazione
-
Prossimi sviluppi
• Configurazioni di equilibrio in presenza di variazioni di larghezzadell’alveo (“chute cutoff”)
• Interazione barre libere – barre forzate dalla curvatura
• Evoluzione morfodinamica:
- altimetrica (sponde fisse, evoluzione del fondo)
- planimetrica
-
BANK EROSION PROCESSESBANK EROSION PROCESSES
May 2003by courtesy of M. Rinaldi
-
BANK EROSION PROCESSESBANK EROSION PROCESSES
February 2005
Backby courtesy of M. Rinaldi
-
Meander Development in the Allier near Chateau de Lys, FranceProvided by A. Wilbers, Utrecht University
Meander bend migration and cut off using aerial photos and maps from: 1945,1960,1971,1980,1982, 1992, 1995, and 1997
Evoluzione planimetrica dei meandri
-
Back
-
r=raggio
di
curvatur
a in
asse
bf=larghezza sezione al fondo
b=larghezza pelo libero
b=larghezza pelo libero
YMAX
YMAX= profondita’ massima
b
IL CASO DEI CANALI A CURVATURA COSTANTE
-
CURVATURA COSTANTE – FONDO FISSO
R
bf
Lo squilibrio fra forza centrifuga (crescente dal fondoalla superficie libera) e gradiente trasversale di pressione(costante dovuta all’inclinazione laterale del pelo libero)
Induce
MOTO SECONDARIO
Diretto verso l’esternoin prossimità del pelo liberoDiretto verso l’interno in prossimità del fondo
-
CURVATURA COSTANTE – FONDO MOBILE
Grad. Press.Trasversale Forza
Centrif.MotoSecond.
FONDO FISSO
FONDO MOBILE
Sponda est. Sponda int.
ErosioneDeposito
• Il moto secondario trascina sedimenti verso l’interno e forma una barra di deposito
• La sezione si approfondisce verso l’esterno
-
CURVATURA COSTANTE – FONDO MOBILE
Barra di deposito verso l’internoScavo verso l’esterno
-
Barra
BarraBarra
PoolPool
Pool
Cosa cambia se la curvatura non è costante?Se la curvatura varia nella direzione longitudinale
Moto secondario aggiuntivo indotto dalla topografia (effetto di shoaling)
Problemi:• Valutare il massimo scavo• La sua localizzazione• La sua distribuzione spaziale
-
Back
-
Rhine River
-
Perturbazioni della topografia, trasversale e longitudinale del fondo (scavi e depositi)dovute a un meccanismo di
INSTABILITA’ del FONDO
Formazione di megaforme di fondo (barre migranti)
Barre migranti possono essere:
• singole (barre alternate)
• doppie (barre centrali)
• multiple (barre multiple )
B
L
Barre alternate libere o migranti
-
– Hanno dimensioni spaziali dell’ordine della larghezza del canale.
– Producono fenomeni di erosione e deposito dell’ordine della profondità.
– Condizionano l’evoluzione planimetrica del corso d’acqua.
– Migrano verso valle.
� Caratteristiche generali delle barre alternate:
� Criterio di formazione delle barre alternate
Parametri di controllo
β = Semilarghezza / Profondità media
ds = d50 / Profondità media
ϑ = Tensione di Shields media
β β β β > ββββc (ϑϑϑϑ , ds)Si formano in alvei larghiper i quali risulti soddisfatta:
Barre alternate libere o migranti
(Colombini, Seminara e Tubino, JFM 1987)
-
Verso della corrente
β = 11.5 > βC = 6.5Prof. di moto uniforme: Y0 = 26 mm
mmBM 46H ≅Ampiezza di equilibrio delle barre
2 h
4 h
6 h
Barre alternate libere o migranti
back
-
BARRE
NO BARRE
MIG
RA
ZIO
NE
V
ER
SO
VA
LLE
MIG
RA
ZIO
NE
V
ER
SO
MO
NT
E
Si ha risonanza(linearmente) in un alveo meandriforme se:- il numero d’ondaλ è prossimo a λR- il rapporto semilarghezza/profonditàβ è prossimo a βR
essendo i valoriλR e βR funzioni del parametro di Shields ϑ e della scabrezza relativads
In corrispondenza del valoreβR il sistema ammette una risposta libera nella forma di barre alternate stazionarie(non si amplificano nè migrano) aventi numero d’onda paria λR
(λR, βR)
Risonanza in alvei meandriformi (Blondeaux & Seminara, 1985)
-
Comparison with experimental observations of Colombini, Tubino and Whiting (1991)
Comparison with experimental observations of Colombini, Tubino and Whiting (1991)
Weakly non linear theory (Seminara & Tubino, 1992)
back
-
Possibile accoppiamento con modello 1D
Fiume Cecina• Distribuzione della curvatura non necessariamente periodica
• Opportune condizioni al contorno nella sezione inizialee finale
• Vincoli integrali in termini di Q(σ) e Qs(σ)
Potrebbero derivare da un modello 1D
by courtesy of M. Rinaldi
-
U
-
U