UMOŘOVÁNÍ DLUHU
-
Upload
roxanne-jovan -
Category
Documents
-
view
33 -
download
1
description
Transcript of UMOŘOVÁNÍ DLUHU
UMOŘOVÁNÍ DLUHU
Užití GP v praxi
Nejjednodušší případ, kterým se budeme zabývat v hodinách matematiky
Splácení dluhu a z něho plynoucích úroků
pravidelnými, stále stejně velkými částkami,
po dobu několika úrokovacích období.
Důležité pojmy: dluh roční splátka, anuita úroková míra úročitel
Dluh, ozn. K finanční hodnota, kterou musíme splatit
(umořit) za n úrokovacích obdobích
Roční splátka, anuita, ozn. s pravidelně placená částka, vždy koncem
úrokovacího období
Úroková míra, ozn. p výše odměny vyjádřená v procentech
Úročitel, ozn. r
1001 pr
Označení definovaných veličin odpovídá
označení v MFCHT:
strana 29, Vzorce finanční aritmetiky.
Ukázkový příklad:Za jak dlouho umoříme (splatíme) dluh 5 000,- Kč při úročení 10 % p.a. ročními anuitami (splátkami) 1 150,- Kč placenými koncem roku?
Zápis:
K =p =s =n =
5 000,- Kč
10 % p.a.1 150,- Kč
r = 1,1
?
–1. 5 000,– 500,–1 150,– 650,– 4 350,–
Za daných podmínek umoříme dluh za necelých 6 let.
2. 4 350,– 1 150,– 435,– 715,– 3 635,–
3. 3 635,– 1 150,– 364,– 786,– 2 849,–
4. 2 849,– 1 150,– 285,– 865,– 1 984,–
5. 1 984,– 1 150,– 198,– 952,– 1 032,–
6. 1 032,– 1 150,– 103,– 1 047,– –15,–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
51,11150
61,11150
41,11150
31,11150
21,11150
1,11150
nrs
1 nrs
2 nrs
2rs
1rs
dluh (konec roku)
Kč
skutečná splátkaKč
úrok(10%)
Kč
anuitaKč
dluhzač. roku
Kč
rok
K
ODVOZENÍ VZORCE (umořování dluhu)
1231 rs
rs
rs
rs
rsK nn
Dluh = součet všech skutečných splátek
součet n členů GP:
a1
q
1 ,11
1
qqqas
n
n
11
r
rrsK
n
n
= r (každý následující sčítanec – člen GP je r krát větší)
nrs
Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost dluhu, jenž můžeme za n let umořit, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin:
roční splátka, anuita, s
počet let, po které dluh splácíme, n
VZORCE
s = ?
nr/
11
nn
rrrKs
11:/
rr n
11
rr
rsK
n
n
Krr
rs n
n
11
nn
rKrrs
11
strany nejprve zaměníme pro lepší orientaci
11/
nrr
11
rr
rsK
n
n
n = ?
r
rKss
nlog
1log
n
n
rr
rsK 1
1
nrr
sK 111
Krr
sn
11
1 1:/
rs
srK
r n
111
nrsrK 111
nrs
rKs 11
hledáme převrácenou hodnotu pravé strany je vhodné mít levou stranu také ve tvaru jednoduchého zlomku
1
rKssr n
1loglog
rKssr n
1loglog
rKssrn
sr 1/
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 1:Jaký dluh umořím za 7 let pravidelnými ročními anuitami 15 000,- Kč při 25 % p.a.?
Řešení:n = 7 lets = 15 000,- Kčp = 25 % p.a.K = ?
11
r
rrsK
n
n
r = 1,25
25,0125,1
25,1000 15 7
7
Kč ,417 47
Příklad 2:Kolik musí činit každoroční anuity, abychom zaplatili dluh 90 000,- Kč za 10 let při 21 % p.a.?
Řešení:K = 90 000,- Kč n = 10 letp = 21 % p.a.s = ?
11
n
n
rrrKs
Všimněte si, že splátka je vždy větší než část, kterou si „bere“ banka:
s 21 % z 90 000,- Kč, tzn. s 18 900,- Kč
r = 1,21
121,121,021,1000 90
10
10
Kč ,200 22
Příklad 3:Za jak dlouho umořím dluh 50 000,- Kč při 15 % p.a. pravidelnými ročními anuitami 9 000,- Kč?
Řešení:K = 50 000,- Kč
p = 15 % p.a.s = 9 000,- Kčn = ? !! s 15 % z 50 000,- Kč, tzn. s 7 500,- Kč
rrKs
s
nlog
1log
r = 1,15
15,1log
15,0000 50000 9000 9log
let 82,12
Příklad 4:Za jak dlouho umořím dluh 200 000,- Kč při 17 % p.a. pravidelnými ročními anuitami 30 000,- Kč?
Řešení:K = 200 000,- Kč
p = 17 % p.a.s = 30 000,- Kčn = ? !! s 17 % z 200 000,- Kč, tzn. s 34 000,- Kč
Za daných podmínek dluh nelze splatit.
r = 1,17
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ
5. Jaký dluh umořím za 20 let pravidelnými ročními anuitami 60 000,- Kč při a) 17 % p.a., b) 12 % p.a., c) 7 % p.a.?
6. Kolik musí činit každoroční anuity, abychom při 11 % p.a. zaplatili dluh
180 000,- Kč za a) 5 let, b) 7 let, c) 9 let?
[a) 337 666,- Kč, b) 448 167,- Kč, c) 635 641,- Kč]
[a) 48 703,- Kč, b) 38 199,- Kč, c) 32 508,- Kč ]
7. Za jak dlouho umořím dluh 500 000,- Kč při 8 % p.a. pravidelnými ročními anuitamia) 50 000,- Kč, b) 70 000,- Kč, c) 100 000,- Kč?
8. Za jak dlouho umořím dluh 100 000,- Kč pravidelnými ročními anuitami 15 000,- Kč při a) 17 % p.a., b) 12 % p.a., c) 8 % p.a.?
[a) 20 let a 11 měsíců, b) 11 let, c) 6 let a 8 měsíců]
[a) dluh nelze splatit, b) 14 let a 2 měsíce, c) 9 let a 11 měsíců]
Použitá literatura:
ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 3, s. 78–85