ULAŞTIRMA MODELLERİ
description
Transcript of ULAŞTIRMA MODELLERİ
11
ULAŞTIRMA MODELLERİULAŞTIRMA MODELLERİ
Ulaştırma Modelleri, doğrusal programlama problemlerinin özel bir hali olup, belirli merkezlerde üretilen ürünlerin,belirli hedeflere minumum maliyetlerle taşınması algoritmasıdır ve ilk defa 1947 yılında Hitchock Petrol Endüstrisinde uygulanmıştır.
Ulaştırma modellerinde kısıtlayıcılar, arz merkezlerinin kapasitesi ve talep merkezlerinin isteklerine bağlı olarak formüle edilmektedir. Ayrıca, taşıma maliyetinin, taşınacak ürünlerin miktarına göre değiştiği varsayılmaktadır.
22
MODELİN GELİŞTİRİLMESİMODELİN GELİŞTİRİLMESİ
• Ulaştırma modeli şeklinde formüle edilen bir problem, simplex yöntemi ile çözülebildiği gibi kendine has ulaştırma algoritması, atama ve aktarma modelleri gibi tekniklerle, daha az zamanda ve daha az hesaplamalarla çözme alternatifleri vardır.
• Hitchock tan sonra, Koopmans, Dantzig, Copper ve Charnes’in geliştirdikleri teknik 1960 yıllardan itibaren aşağıdaki alanlarda yaygınca kullanılmıştır.
a)Üretim ve tüketim merkezleri arasında optimal mal dağıtım programlarının belirlenmesi,
33
b)Yapılacak işlerin makinalara dağıtımı,
c)Üretim planlaması
d)Çeşitli şebeke ağ problemleri,
e)İşletmelerin kuruluş yeri seçimi problemleri..
44
ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMIULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI
• Bir ulaştırma modelinin şematik yapısı üretim merkezleri ile tüketim merkezleri arasındaki ilişkilere bağlıdır.
• (m) kadar üretim merkezi ve (n) kadar tüketim merkezi olan bir ulaştırma modelinde;
(i) İnci üretim merkezi ancak (ai) miktarda mal arz ederken,
(j) İnci tüketim merkezi de ancak (bj) miktarda mal talep edebilmektedir.
Cij ise , 1 birim malın(kg, ton, vs) i. inci üretim merkezinden j. inci tüketim merkezine taşıma maliyetidir.
5
MODELİN ŞEMATİK YAPISIMODELİN ŞEMATİK YAPISI(4 üretim,5 (4 üretim,5 tüketim merkezi)tüketim merkezi)
Arz M.Arz M. Üretim MerkeziÜretim Merkezi Tüketim MerkeziTüketim MerkeziTalepTalep
--------- -------------------------------- ----------------------- ------------------------------------------------------------------------
a1a1 b1 b1
a2a2 b2 b2
a3a3 b3 b3
a4a4 b4 b4
b5b5
F1
F2
F3
F4
D1
D2
D3
D4
D5Σai = Σbi olmalıdır
66
VARSAYIMLARVARSAYIMLAR1) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu
olan mal ve hizmetler, bütün üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve türden olmalıdır.
2) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezi arasında bir birim malın taşınma ücreti belirli olmalıdır.
3) Her bir arz ve tüketim merkezlerindeki toplam arz ve toplam talep tam olarak bilinmelidir.
4) Üretim yada arz merkezlerinden dağıtılacak toplam miktar, tüketim merkezlerinde oluşan toplam talebe eşit olmalıdır.Bu eşitlik yok ise, problem dengesiz olup, KUKLA ARZ yada KUKLA TÜKETİM merkezleri eklenerek denge sağlanır.
77
ULAŞTIRMA PROBLEMİNİN STANDART ULAŞTIRMA PROBLEMİNİN STANDART GÖSTERİMİGÖSTERİMİ
Ulaştırma problemlerinin standart gösterimleri ulaştırma tabloları ile gösterilebilir. Yukarıda verilen 4 üretim merkezli ve 5 tüketim merkezli problemin tablo halinde gösterimi aşağıdaki gibidir.
88
• Bu grafik yazımın tablo halindeki ifadesi aşağıdaki gibidir.
Tüketim merkezi
T1 T2 T3 T4 T5 Arz
U1 C11
X11
C12
X12
C13
X13
C14
X14
C15
X15
a1
U2 C21
X21
C22
X22
C23
X23
C24
X24
C25
X25
a2
U3 C31
X31
C32
X32
C33
X33
C34
X34
C35
X35
a3
U4 C41
X41
C42
X42
C43
X43
C44
X44
C45
X45
a4
Toplam Talep
b1 b2 b3 b4 b5
Üre
tim
merk
ezi
99
• Xij=i üretim merkezinden j tüketim merkezine gönderilecek ürün miktarı
• Cij=i. merkezden j. merkeze taşıma maliyeti
• Bu tip problemleri Doğrusal Programlama olarak organize edebiliriz, fakat Ulaştırma Problemlerine has teknikler de geliştirilmiştir.
1010
• Amaç maliyet minimizasyonu olduğuna göreMin Z=c11x11+c12x12+...+c45x45
Kısıtlarx11+x12+x13+x14+x15≤a1
x21+x22+x23+x24+x25≤a2 Arz kısıtlarıx31+x32+x33+x34+x35≤a3
x41+x42+x43+x44+x45≤a4
x11+x21+x31+x41≥b1
x12+x22+x32+x42≥b2
x13+x23+x33+x43≥b3 Talep kısıtlarıx14+x24+x34+x44≥b4
x15+x25+x35+x45≥b5
xij≥0
1111
• Problemin uygun çözümü varsa Toplam Talep Toplam Arzdan daha çok olamaz.
5
1
4
1 jj
ii ba
1212
Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma ProblemleriProblemleri
• Ulaştırma problemlerinde Denge Durumu aşağıdaki gibi ifade edilir.
• Gerçek uygulamalı problemlerde bu dengelenmiş durum olmayabilir. Yani sağlanan arz talepten çok olabilir veya talep arzdan fazla olabilir. Bu gibi durumlarda;
4
11
4
1
5
1
5
1
5
1
4
ii jij
j j iijj axxb
1313
a)Arz Talepten Çok İsea)Arz Talepten Çok İse
• Problemi dengelemek için
farkını tüketmek için modele KUKLA
(DUMMY) tüketim merkezi eklenir.
bu kukla merkeze taşıma maliyeti “0” olur.
5
1
4
1 jj
ii ba
1414
b)Arz Talepten Az İseb)Arz Talepten Az İse
5
1
4
1 ii
jj ab
farkını kapatmak için modele “Kukla Üretim Merkezi”
eklenir.
Ancak hiçbir Tüketim Merkezi kukla üretim
merkezinden mal almaz.
1515
Ulaştırma Problemlerinin Çözüm Ulaştırma Problemlerinin Çözüm AlgoritmasıAlgoritması
• Kuzey-Batı Köşe Yöntemi• En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi• Sıra ve Sütun En Küçüğü Yöntemi• Vogel (VAM) Yaklaşımı
1616
Çözüm Algoritmalarındaki adımlar aşağıdaki gibidir.
1. Başlangıç temel uygun çözümün bulunması
2. Bulunan çözümün optimal olup olmadığına bakılır. Bu adım aynı zamanda temel olmayan değişkenler arasında temel değişken olarak girecek değişkenler belirler.
1717
3. Çözüm optimal değilse geliştirilir, yani halihazır temel değişkenler arasında çözümü bırakacak değişkenler belirlenerek yeni temel çözüm bulunur.
4. 2. ve 3. adımlar optimal çözüm elde edilinceye kadar tekrarlanır.
1818
• Ulaştırma probleminde
m…satır sayısında, n…sütun sayısını gösterir. (m+n) sayıdaki kısıtlardan biri keyfidir.
Problem (m+n) sayıda değişkene sahip ve çözümdeki dağıtım işlemi (m+n-1) sayıdaki hücreye yapıldı ise çözüm TEMEL olduğu gibi (m+n-1) sayıda değişkeni de vardır.
n
jj
m
ii ba
11
1919
Örnek:Örnek:
Üetim merkezi Üretim miktarı Tüketim merkezi Tüketim miktarı
F1 200 birim D1 250 birim
F2 400 birim D2 200 birim
F3 250 birim D3 350 birim
850 birim 800 birim
2020
• Taşıma maliyetleri
Talep
Üretim D1 D2 D3
F1
F2
F3
10 6 57 8 86 9 12
2121
ÇözümÇözüm
• Kuzeybatı Köşe Yöntemi
D1 D2 D3 D4
F1 10X11
6X12
5X13
200 0
F2 7X21
8X22
8X23
400 0
F3 6X31
9X32
12X33
250 0
250 200 350 50
2222
• Maliyet: 200(10)+50(7)+200(8)+150(8)+200(12)+50(0) =7550 br.TL.
D1 D2 D3 D4 Arz
F1 10200
6 5 0 200
F2 750
8200
8150
0 400
F3 6 9 12200
050
250
Talep 250 200 350 50 850
2323
2.yol:2.yol: • En-az Maliyetli Gözeler Yöntemi
TCmin=50(7)+200(6)+200(8)+200(5)+150(8)+50(0)
=5350 br.TL.
D1 D2 D3 D4 Arz
F1 10 6 5200
0 200
F2 750
8200
8150
0 400
F3 6200
9 12 050
250
Talep 250 200 350 50 850
2424
3.yol:3.yol:• Sıra ve Sütun En Küçüğü Yöntemi• Bu metoda göre önce 1. sıradaki en küçük maliyetli
gözeye sıra ve sütun şartlarına bağlı kalarak “En Büyük” ayırım yapılır.
• 1. sıra şartı doyurulmamış ise, sırada bir sonraki EN KÜÇÜK MALİYETLİ gözeye kalan miktar dağıtılır.
• Böylece her defasında bir alt sıraya geçilerek aynı işlem yapılır ve her sıra ve sütun miktarı doyurularak tüm ayırımlar yapılır.
2525
Önceki ÖrnekÖnceki ÖrnekD1 D2 D3 D4 Arz
F1 10 6 5150
050
200
F2 7250
8 8150
0 400
F3 6 9200
1250
0 250
Talep 250 200 350 50 850850
TCmin=5(150)+0(50)+7(250)+8(150)+9(200)+12(50)
=6100 TL.
2626
4.yol:4.yol:
• VOGEL Yaklaşımı• VAM Yöntemi (NW) gibi çabuk başlangıç çözümü
vermez, fakat bu yaklaşımın başlangıç dağıtımları optimal çözüme oldukça yakındır.
• Bu yaklaşımda EN KÜÇÜK MALİYETLİ GÖZELER yöntemi gibi VAM ile başlangıç çözüm elde edilirken herbir hücredeki maliyetler hesaba katılır ve EN AZ DÜŞÜK maliyetli hedefleri seçmemekten doğan EK GİDERLER hesaplanır.
2727
• Bu giderlere pişmanlık veya cezalar adı verilir. Söz konusu yöntem için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Ulaştırma tablosundaki hücre maliyetlerinden her bir satır ve sütun için cezalar belirlenir. Bu cezaların belirlenmesinde her bir satır (sütun)da yer alan EN KÜÇÜK maliyetli eleman aynı satırda (sütunda)ki en küçük maliyete en yakın maliyetten çıkarılır.
2828
2. Belirlenen bu cezalar, satır ve sütun halinde ulaştırma tablosunun altında ve yanında yer alır. Sonra tüm satır ve sütun cezalar arasında en büyüğü seçilir ve bu seçilen cezanın karşılığı satır veya sütundaki EN KÜÇÜK MALİYETLİ hücreye mümkün en fazla dağıtım yapılır. Talep ve Arz uygunluğuna göre yapılan dağıtımdan sonra doyurulan satır ve sütun bırakılarak 3. işleme geçilir.
3. Geriye kalan hücrelerdeki maliyetler için sütun ve satır cezaları tekrar hesaplanır ve 2. adımdaki hesaplamalar yapılır.
2929
Bir şirket arabalarını 2 merkezden kiraya
vermektedir. Kiralama talebi gelen 4 merkezin
talep miktarları sırasıyla D1=9, D2=6, D3=7,
D4=9 arabadır.
Şirketin elinde fazladan
1. merkezde 15
2. merkezde 13 araba vardır.
Kira sözleşmesine göre arabalar kiralandıktan
Sonra tekrar aynı merkeze iade edilirler.
Örnek:
3030
Arabaların kiracılara ulaştırılma maliyetleri aşağıdaki
gibidir:
Bu bilgiler ışığı altında optimal taşıma şartlarını VOGEL’e
göre belirleyiniz.
D1 D2 D3 D4 Arz
M1 45 17 21 30 15
M2 14 18 19 31 13
Talep 9 6 7 9 2831
3131
Çözüm:Çözüm:
• Önce Arz ve Talep Dengesini değerlendirmek gerekir.
fark var.
O halde modele sanal bir arz (sunum) merkezi
eklemek gerekir. Bu sanal merkezin arzı 3 birim
olmalıdır. Buna göre
28a 314
1
2
1
j i
ijb
3232
D1 D2 D3 D4 Arz Satır ceza
M1 45 17 21 30 15 4
M2 14 18 19 31 13 4
M3 0 0 0 03
3 0
Talep 9 6 7 9 31
Sütun ceza
14 17 19 30
3333
• Ceza maliyetlerinin hesabı: en küçük iki maliyet arasındaki fark.
• Burada sütun 4’ün cezası en yüksek olduğundan ilk dağıtım, sütun 4’ün en küçük maliyetli hücresine olabildiği kadar yapılır.
• Burada EN KÜÇÜK MALİYET “0”dır.
• Bu hücreye M3’ün toplam arzı olan 3 birim taksi verilir. Burada 3. kukla ARZ merkezi devreden çıkar.
3434
Yeni tablo:Yeni tablo:
D1 D2 D3 D4 Arz Satır ceza
M1 45 17 21 30 15 4
M2 149
18 19 31 13 4
Talep 9 6 7 6 28
Sütun ceza
31 1 2 1
3535
• Bu adımda D1’in ihtiyacı karşılandı ve tablodan çıkarıyoruz.
D2 D3 D4 Arz Satır ceza
M1 176
21 30 15 4
M2 18 19 31 4 1
Talep 6 7 6
Sütun ceza
1 2 1
3636
D3 D4 Arz Satır ceza
M1 213
306
9 9
M2 194
31 4 12
Talep 7 6
Sütun ceza
2 1
3737
• Bütün bu dağıtımlar bir tabloda toplanırsa aşağıdaki başlangıç çözümü bulunur.
TCmin=6(17)+3(21)+6(30)+9(14)+4(19)+3(0)
=547 br. TL.
D1 D2 D3 D4 Arz
S1 45 17
6
21
3
30
6
15
S2 14
9
18 19
4
31 13
S3
(kukla)
0 0 0 0
3
3
Talep 9 6 7 9 31
3838
Çok Fabrikalı Sisteme Yeni Bir Fabrika Katılması (Atlama Taşı Yöntemi)
A Mevcut fabrikalar
AB
M
NP
Q
R
D
E
C
C
M
Fabrika kurulması planlanan yerler
Tüketim merkezleri
A B C D E Talep
M 0,42 0,32 0,46 0,44 0,48 10.000
N 0,36 0,44 0,37 0,30 0,45 15.000
P 0,41 0,42 0,30 0,37 0,43 16.000
Q 0,38 0,48 0,42 0,38 0,46 19.000
R 0,50 0,49 0,43 0,45 0,27 12.000
Üretim Maliyeti
2,70 2,68 2,64 2,69 2,62
Kapasite 27.000 20.000 25.000 25.000 25.000 72.000
3939
Çok Fabrikalı Sisteme Yeni Bir Fabrika Katılması (Atlama Taşı Yöntemi)
A B C Talep
M 10
N 15
P 16
Q 19
R 12
Kapasite 27 20 25 72
10
10
8 7
19
16
2
3,12 3,00 3,10
3,06 3,12 3,01
3,11
3,08
3,20
3,10
3,16
3,17
2,94
3,06
3,07
Toplam Maliyet = (10*3,00) + (8*3,06) + (7*3,01) + (16*2,94) + (19*3,08) + 10*3,17) + (2*3,07) = 218,950 TL