UFRO 2008 Master Fisica Medica 1 2 Teoria Del Electron

G d d R di ió I i tGeneradores de Radiación Ionizante 1.2 Modelo del Filamento

Dr. Willy H. GerberInstituto de FisicaInstituto de FisicaUniversidad Austral

Valdivia, Chile

Objetivos: Comprender como los electrones logran abandonar el filamento para ser posteriormente acelerado en el equipo radiológico.

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Electrones de valencia

Electrones de valenciaquasi libres

x

2

“Mar” de Electrones de Valencia no localizados

Cationes metálicos

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Paréntesis Mecánico Cuántico

El electrón de conducción no se describe como una partícula “corpúsculo” si no como una “onda”. Dichas ondas “ocupan” el potencial del metal conductor de largo L, describiendo cada una un estado posible con energía bien definida.g , p g

Función de onda

nEl vector de onda de la partícula es

Largo de onda

z/L

Otras variables que se asocian a la onda son:


El impulso La energía

Electrones de valencia

En un cupo de LxLxL

Parámetros:Masa del ele trón 9 11 10‐31 k

LMasa del electrón 9.11x10‐31 kgConstante de Planck h = 6.63x10‐34 Js

LL

Su vector de onda es

con nx, ny y nz los estados posibles. Si m es la masa, la emergía será:

4

con h la constante de Planck ( ) )


Espacio estado

En el espacio de estados, estados con igual energía se encuentran distribuidos sobre una esfera:

nz

nnx

ny


Numero de estados

El numero de estados en la esfera de radio n:

en que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello elen que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello el volumen de la esfera debe ser dividido por 1/8:


Espacio estado

Los estados con una energía entre E y E + dE se encuentran entre el espacio estado entre la esfera de radio E y la de radio E + dE:

nz

nynx

7

El numero de estados entre ambas superficies se puede calcular retando del numero total de estados en la esfera de radio E + dE aquellos de la esfera de radio E.


Densidad de estados

Con 2 estados por spin “up” y “down” el numero es:


Probabilidad de que el estado este ocupado

1

La probabilidad de que uno de losestados este ocupado esta dado 1

EF=100kTestados este ocupado esta dado por la función de Fermi:

F(E) = 1; es seguro que un electrón ocupa el estado

F(E)F(E)con

E Energía [J]

F(E) = 0; es seguro que ningún electrón ocupa el estado

0

EF=kTEF=2kTEF=10kT

EEFk

Energía [J]Energía de Fermi [J] Constante de Boltzmann [J/K]1.38x10‐23 m2 kg/s2 KT b l [K]

9

0 5E/EF

T Temperatura absoluta [K]


Energía de Fermi

En el caso extremo de T ‐> 0:

con lo que se puede calcular la energía de Fermi E ya que el numero de electrones encon lo que se puede calcular la energía de Fermi EF ya que el numero de electrones en el cubo de lado L es N [#/m3].


Limites

Situaciones limites


Distribución de electrones

C l t t l l t i d l t dCon la temperatura los electrones comienzan a desplazarse a estados superiores:


Función de trabajo

Fermi

Conducción

Libre

Función de trabajo φ

Afinidad electrónica

x

Fermi

Valencia


Escape de electrones

Condición para abandonar el conductor:

pzImpuso mínimo que debe tener el electrón

γ(p )γ(pz)

1 ‒ γ(pz)

γ(pz)pzm

Coeficiente de reflexión [‐]Impuso [kg m/s]Masa electrón [kg]

14

EFϕ

Energía de Fermi [J]Función de trabajo [J]


Escape de electrones

Numero de electrones con impulso entre(px,py,pz) y (px + dpx, py + dpy,pz + dpz)



La corriente de electrones es entonces:

o sea

Para calcular la corriente debemos modelar la función de densidad fPara calcular la corriente debemos modelar la función de densidad f



Para obtener la función f se puede recurrir a la densidad de estados Z. La relación entre el impulso y el modo del electrón:

Con el volumen del espacio de fase

y la energía

se obtiene



Pasando del volumen de numero de estados al impulso

Como nos interesa solo la componente en z se procede a integrar en x y y:

Con lo que se obtiene la función densidadCon lo que se obtiene la función densidad



Con

y

se obtiene la integral de la corriente

Lo que nos permite derivar la ecuación de Richardson‐Dushman

con


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