Uurimistöö kursus uues õppekavas ja Tallinna Reaalkooli näitel
Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel
description
Transcript of Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel
1
Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel
13. mai 2005
Reeno ReederTTÜ Elektroonikainstituudi üliõpilane
2
Sissejuhatus Kvantmehaanika
1920. aastatel tekkinud teadusharu Pooljuhtelektroonika alus Tulevikutehnoloogiate alus
(kvantkeemia, nanotehnoloogia) Orbitaalidest arusaamise tähtsus
kasvab Numbrilised lahendusmeetodid
arengujärgus
3
Mida me otsime?
tixtx exp)(,
Ajast mittesõltuv lainefunktsioon (otsime)
xExVx
x
m
2
2
2
Ajast sõltuv lainefunktsioon
Ajast mittesõltuv Schrödingeri võrrand
kompleksne kompleksnereaalne
4
Schrödingeri võrrand
Seob elektroni energia ja lainefunktsiooni vastavalt etteantud potentsiaalijaotusele
Energia on diskreetne, igale energia omaväärtusele vastab omalainefunktsioon
Lainefunktsiooni ruut on elektroni jaotustihedus
xExVx
x
m
2
2
2
5
Schrödingeri võrrandi lahendusmeetodid Analüütilised
Suur täpsus, kuid ideaalsete olukordade jaoks
Suur ülevaatlikkus Numbrilised
Reaalsete olukordade jaoks Probleemid täpsusega (täpsus vs
lahendusaeg)
6
nn Tulistamismeetod (shooting method) Lahendite katseline otsimine, mis
rahuldaksid piiritingimusi Itereerides energia E väärtusi, otsitakse
lahendeid, mille korral
Saadakse hulk E väärtusi, mis on võrrandi omaväärtused, kirjeldavad kvantsüsteemi diskreetseid energiaolekuid.
0, xE
7
Tulistamismeetodi plussid Lihtsalt realiseeritav ja mõistetav Seega õppeotstarbel hea kasutada Saab lihtviisil kogu
energiavahemiku läbi “kammida”. Mugav rakendada 1D või quasi-3D
süsteemide korral
8
Tulistamismeetodi miinused Kriitiline vigade suhtes
Tulemuste numbriline ja tsükliline töötlemine põhjustab vigade kuhjumist
Nõrgalt seotud ülesande osad põhjustavad vigade suurenemist
Raskused mittesümmeetriliste potentsiaalide korral
Arvutusressursi ebaotstarbekas kasutamine
9
Rakenduste realiseering Kasutatakse programmeerimisvahendeid C
ja shell scripting Tulemuste graafiliseks väljastamiseks
kasutatakse Gnuploti graafikujoonistustarkvara (www.gnuplot.info)
Rakendatud Paul Harrison ideid raamatust Computational Methods in Physics, Chemistry and Biology
10
Vigade tekke näide
Isegi küllalt väikeste energia ebatäpsuste korral hakkab ψ barjääri sees taas kasvama või kahanema - varjatud komponendi mõju, kus
karLxA exp
EVmeLkar
02
11
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 10 Å E1 = 0,298 eV E2 = 0,298 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
12
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 2 Å E1 = 0,295 eV E2 = 0,301 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
13
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 1 Å E1 = 0,282 eV E2 = 0,309 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
14
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 0,5 Å E1 = 0,254 eV E2 = 0,319 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
15
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 0 Å E1 = 0,084 eV E2 = 0,334 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
16
Kaksik-kvantaugu ülesanne
0
0,050,1
0,15
0,2
0,250,3
0,35
0,4
10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0
Barjääri laius, Å
En
erg
ia,
eV
E1 E2
0,2980,334
0,084
17
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,298 eV E2 = 0,298 eV E3 = 0,298 eVLbarj = 5 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
18
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,294 eV E2 = 0,298 eV E3 = 0,302 eVLbarj = 2 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
19
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,276 eV E2 = 0,296 eV E3 = 0,314 eVLbarj = 1 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
20
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,237 eV E2 = 0,284 eV E3 = 0,328 eVLbarj = 0,5 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
21
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,165 eV E2 = 0,249 eV E3 = 0,339 eVLbarj = 0,2 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
22
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,038 eV E2 = 0,154 eV E3 = 0,347 eVLbarj = 0 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
23
Kolmik-kvantaugu ülesanne
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0
Barjääri laius, Å
En
erg
ia,
eV
E1 E2 E3
0,298
0,347
0,154
0,039
24
Kolmik-kvantaugu mudel (1)
25
Kolmik-kvantaugu mudel (2)
26
Kokkuvõte Vaadeldud kaksik- ja kolmik-
kvantaugu ülesanded näitavad ilmekalt, kuidas lainefunktsioonid kombineeruvad ja energianivood lahknevad aatomite teineteisele lähenedes
Numbrilised meetodid sobivad hästi keeruka potentsiaalijaotusega ülesannete lahendamiseks