Übungsblatt 09
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Übungsblatt 09
Lehrstuhl für Kommunal- und Umweltökonomie
Übung zu den Grundzügen der VWL I/ Mikroökonomie
Johannes Wiebels/ Benjamin Hecker
Aufgaben 25a und 25b
2Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
Isoquanten bei substitutionalen Inputs
Arbeitskräfteeinsatz
Kapitaleinsatz 1 2 3 4 5
1 20 40 55 65 75
2 40 60 75 85 90
3 55 75 90 100 105
4 65 85 100 110 115
5 75 90 105 115 120
CBA
Aufgaben 25a und 25b
Kapitalpro Jahr
Arbeitpro Jahr
3Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
2 41 3 5
1
2
3
4
5
Isoquante:
Kurve, die alle möglichen Inputkombi-nationen darstellt, mit denen der gleiche Output erzielt wird.
D
E
Q1 = 55
Q2 = 75
Q3 = 90
Isoquanten bei substitutionalen Inputs
∆L = 1
∆K2
B
Aufgaben 25a und 25b
Kapitalpro Jahr
Arbeitpro Jahr
4Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
2 41 3 5
1
2
3
4
5
A
C
D
Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)
∆L = 1∆L = 1
∆K1
∆K3
Abnehmende GRTS: ∆K1 > ∆K2 > ∆K3
Grenzrate der technischen Substitution::
Betrag, um den die Menge eines Inputs reduziert werden kann, wenn eine zusätzliche Einheit eines anderen Inputs eingesetzt wird, so dass der Output konstant bleibt.
∆L = 1
Aufgaben 25a und 25b
Kapitalpro Jahr
5Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
2 41 3 5
1
2
3
4
5
A
B
C
Q1 Q2 Q3 Arbeitpro Jahr
Isoquanten bei vollkommen substitutionalen Inputs
GRTS = konstant (hier: GRTS = 1)∆L = 1
∆K1 = 1
∆K2 = 1
∆L = 1
∆K3 = 1
∆K1 = ∆K2 = ∆K3
Aufgaben 25a und 25b
Kapitalpro Jahr
6Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
Q1
Q2
Q3
Arbeitpro Jahr
Isoquanten bei festem Einsatzverhältnis der Inputs
A
B
C
h
Die Steigung der Gerade h entspricht dem Einsatzverhältnis von Kapital und Arbeit (= Kapitalintensität): K1 /L1 = K2 /L2 = K3 /L3
L1 L2 L3
K1
K2
K3
GRTS = ∞
GRTS = 0
Aufgabe 26a
Kapital
Arbeit
7Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
155 10
2
4
6
Q1 = 10
Q2 = 20
Q3 = 30
Konstante Skalenerträge: F(ƛ·K, ƛ·L) = ƛ·F(K, L)
Aufgabe 26a
Kapital
Arbeit
8Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
155 10
2
4
6
Q1 = 10
Q2 = 15
Q3 = 20
Abnehmende Skalenerträge: F(ƛ·K, ƛ·L) < ƛ·F(K, L)
Aufgabe 26a
Kapital
Arbeit
9Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
155 10
2
4
6
Q1 = 10
Q3 = 30
Q2 = 20
Zunehmende Skalenerträge: F(ƛ·K, ƛ·L) > ƛ·F(K, L)
Q4 = 40
Aufgabe 26b
10Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
Erste Ableitung nach L (GPL)
Zweite Ableitung nach L
b.1) = 3 > 0 = 0 Positives und konstantes GPL
b.2) = (2·L + 2·K) -0,5 > 0 = -(2·L + 2·K) -1,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPL
b.3) = 2·L·K² > 0 = 2·K² > 0 Positives und zunehmendes GPL
b.4) = 0,5·L-0,5 ·K 0,5 > 0 = -0,25·L-1,5 ·K 0,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPL
b.5) = 3·K² > 0 = 0 Positives und konstantes GPL
Aufgabe 26b
11Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
Erste Ableitung nach K (GPK)
Zweite Ableitung nach K
b.1) = 2 > 0 = 0 Positives und konstantes GPK
b.2) = (2·L + 2·K) -0,5 > 0 = -(2·L + 2·K) -1,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPK
b.3) = 2·L²·K > 0 = 2·L² > 0 Positives und zunehmendes GPK
b.4) = 0,5·L0,5 ·K -0,5 > 0 = -0,25·L0,5 ·K -1,5 < 0 Positives aber abnehmendes GPK
b.5) = 6·L·K > 0 = 6·L > 0 Positives und zunehmendes GPK
Aufgabe 26c
12Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
Per definitionem ist das Grenzprodukt eines Inputs gleich dem durch den Einsatz einer weiteren Einheit des betreffenden Inputs erzielten, zusätzlichen Output, während alle anderen Inputs konstant gehalten werden. Der zusätzliche Output bzw. Ertrag auf diesen einzelnen Input nimmt ab, da alle anderen Inputs konstant gehalten werden. So verfügt beispielsweise jede zusätzliche Einheit Arbeit über weniger Kapital, mit dem sie arbeiten kann, wenn das Niveau des Kapitals konstant gehalten wird.
Anders als bei den Erträgen auf einen einzigen Produktionsfaktor handelt es sich bei Skalenerträgen um proportionale Erhöhungen aller Inputs. Während jeder einzelne Faktor für sich betrachtet abnehmende Erträge aufweist, kann sich der Output bei einer Verdopplung aller Inputs mehr als verdoppeln, weniger als verdoppeln oder genau verdoppeln. Der Unterschied liegt darin, dass bei Skalenerträgen alle Inputs im gleichen Verhältnis erhöht werden und kein Input konstant gehalten wird.
Aufgabe 26d
13Grundzüge der VWL I - Mikroökonomie
Die meisten Unternehmen haben Produktionsfunktionen, die zunächst zunehmende, danach konstante und schließlich abnehmende Skalenerträge aufweisen. Bei einem niedrigen Outputniveau führt eine proportionale Erhöhung aufgrund der Möglichkeit der Spezialisierung jedes Faktors zu einer überproportionalen Erhöhung des Outputs. Gibt es jetzt beispielsweise zwei Mitarbeiter und zwei Computer, kann sich jeder Mitarbeiter spezialisieren, indem er die Aufgaben übernimmt, bei denen er am besten ist, wodurch sich der Output mehr als verdoppeln kann. Wächst das Unternehmen, können die Möglichkeiten für eine Spezialisierung abnehmen, und eine Verdopplung aller Inputs führt nur noch zu einer Verdopplung des Outputs. Bestehen konstante Skalenerträge, wiederholt das Unternehmen, was es bereits tut. Ab einem gewissen Produktionsniveau ist das Unternehmen so groß, dass sich der Output bei einer Verdopplung der Inputs weniger als verdoppeln wird. Der Grund hierfür liegt in Problemen der Koordination, insbesondere der Kommunikation zwischen den Mitarbeitern.