Einsätze in Krisengebieten bedeuten hohe Beanspruchung von Mensch und Material
Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in ... · Die Composite-Struktur Winkelverbund...
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Seminar des Konstruktiven Ingenieurbaus, Fakultät 2 für Architektur, Bauingenieurwesen und StadtplanungBrandenburgische Technische Universität Cottbus
Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-Bauweise
Dr.-Ing. Christian MittelstedtSenior Engineer Composites, ELAN GmbH
Channel Tower Harburg, Karnapp 25, D-21079 [email protected]
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
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Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Gliederung
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick
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Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Gliederung
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
DefinitionVerbundwerkstoffe / Composites: Kombination aus mindestens zwei
unterschiedlichen Werkstoffen zu einem neuen Werkstoff mit neuen, meist verbesserten / optimierten Eigenschaften.
Faserverbund-Werkstoffe: Werkstoff-Verbund aus Matrix-material (z.B. Kunststoff, Epoxidharz etc.) und Faser-material (Glasfaser, Kohlefaser etc.).
Laminat: Schichtweise Anordnung von Faserverbund-Werkstofflagen.
Fasern
Matrix
Einzelschicht 1Einzelschicht 2
Einzelschicht n
....
Laminat
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Definition
Die Composite-Struktur
Winkelverbund
Mehrachsige Beanspruchung
UnidirektionaleBeanspruchung
Unidirektionaler Verbund
Die Bestandteile
Fasern
Composite
Matrix
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FaserhalbzeugeKohlefaserhalbzeuge
Glasfaserhalbzeuge
Aramidfaserhalbzeuge
Quelle: TU Hamburg-Harburg, Institut für Kunststoffe und Faserverbundwerkstoffe, Univ.-Prof. Dr.-Ing. Karl Schulte
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Einsatz im FlugzeugbauEinsatz in der AIRBUS A380, bestehend aus etwa 25% Composite-Materialien
Quelle: AIRBUS Deutschland GmbH
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Einsatz im FlugzeugbauEinsatz in der AIRBUS A350, erstes AIRBUS-Flugzeug mit Rumpf und Flügelschalen
aus Composite-Werkstoffen
Quelle: AIRBUS Deutschland GmbH
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Einsatz im Fahrzeugbau
Quelle: TTT TheTeamTechnology GmbH / Kögel Fahrzeugwerke GmbH
Quellen: Dr.-Ing. h.c. F. Porsche AG, Porsche Öffentlichkeitsarbeit (links), ALSTOM LHB, Salzgitter (rechts)
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Einsatz im Bauingenieurwesen
Quelle: Hüttenbrücke, Werthenstein LU (CH), Stresshead
Brückensanierung mit CFK
Tragfähigkeitssteigerung für Fahrzeuge mit ehemals 28 Tonnenauf nunmehr 40 Tonnen Gesamtgewicht.
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Einsatz im Bauingenieurwesen
Quelle: Repower AG, 5M goes Off-Shore
GFK und CFK-Anwendung im Off-Shore Windenergieanlagenbau
Rotorblatt: Länge: 61,5 m, Gewicht: 18 t.Bauweise: GFK/CFK-Schalenbauweise mit Epoxidharz
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Einsatz im Bauingenieurwesen
Quelle: Fiberline Composites, Middelfart, Dänemark
Geh- und Radwegbrücke aus GFK in Lleida / Spanien
Charakteristische Daten: Länge: 38 m, Breite: 3 m, Aufbau aus GFK-Profilen, Auszeichnung mit dem internationalen ”Footbridge Award 2005”
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Einsatz im Bauingenieurwesen
Quelle: Fiberline Composites, Middelfart, Dänemark
Überführung über die Ortsumgehung B 3a um das hessische Friedberg:
Charakteristische Daten: Länge: 22 m, Aufbau aus GFK-Profilen, Fertigstellung 2008
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Einsatz im Bauingenieurwesen
Quelle: Fiberline Composites, Middelfart, Dänemark
Fußgänger- und Fahrradbrücke aus GFK-Profilen in Kolding, Dänemark (1997):
Charakteristische Daten: Länge: 40 m, Tragfähigkeit: 500 kg/m2, Fahrzeuge bis 5t, Fertigstellung: 18 Stunden in drei Nächten
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Einsatz von CFK-Trägern im BauingenieurwesenTrägerartige CFK-Strukturen im Bauingenieurwesen weisen die folgenden primären
Vorteile gegenüber klassischen Stahlträgern auf:
- eine große Gewichtsersparnis,
- eine deutlich bessere Schwingfestigkeit, insbesondere bei Kohlenstofffaser-Kunststoff-Verbunden (CFK),
- eine hervorragende Korrosionsbeständigkeit,
- längere Nutzungsdauer und erheblich reduzierter Wartungsaufwand, insbesondere für Brückenbauwerke äußerst wünschenswert,
- ein Online-Monitoring lässt sich einfach und zuverlässig in Laminateintegrieren.
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Einsatz von CFK-Trägern im BauingenieurwesenAus dem primären Vorteil der großen Gewichtsersparnis gegenüber Stahlträgern er-
wachsen sekundäre Vorteile für die FKV-Variante:
- Der Aufwand bei Transport und Montage verringert sich.
- Werden Trägerstrukturen bewegt, so lässt sich mit den leichten FKV-Ausführungen erheblich Antriebsenergie einsparen.
- Resultiert ein Teil der Trägerbelastung aus seinem Eigengewicht, so lässt sich der Gewichtsvorteil der FKV-Lösung entweder in eine – aufgrund niedrigerer Belastung – weitere Gewichtsersparnis ummünzen oder es bietet sich an, die Betriebslasten um den Gewichtsvorteil zu erhöhen.
Nachteile: - Es liegen kaum Erfahrungen, insbesondere keine Langzeiterfahrungen mit
großen, hoch belasteten Biegträgern vor.
- Der Werkstoff ist vergleichsweise teuer.
- Spezielle Fertigungsverfahren für hohe Biegeträger größerer Spannweite wurden bislang nicht entwickelt, viele konstruktive Fragen sind ungeklärt.
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Marktentwicklung
0
10,000
20,000
30,000
40,000
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Industrial useAerospace use
Sporting use
Car
bon
Fibe
rs D
eman
d (to
ns /
year
)
Offshore oil field components
PC chassis
Windmills
Automotive Components
Civil Engineering
Aircraft structural components
CNG tanks
Golf ShaftsTennis Rackets
Airbus A380
Airbus A350
Marine vessels
Market Growth Rate over 10%
Quelle: Toray Industries, Inc.
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Zusammensetzen eines LaminatsLaminat = Mehrschichtenverbund
(Material, Dicke, Orientierung, Anzahl: beliebig)
yLaminat-Mittelebene
x
z
2l1
2l2
h
θ x1
(6)
(6)
x3(6)
x2(6)
θ (5)
x3(5)
x2(5) x1
(5)
θ (4)x1
(4)
x2(4)
x3(4)
θ (3)x2
(3)x1
(3)
x3(3)
x2(2)
θ (2)x3(2)
x1(2)
θ (1)
x3(1)
x2(1)
x1(1)
θ
( -1)kz( )kz
( )kInterface ( -1)kInterface ( )kInterface ( +1)k
Schicht ( ) k
Schicht ( -1) k
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LaminateinzelschichtLaminat-Einzelschicht: Verbund aus Matrix und Fasern oder Faser-Gewebe.
Achsensystem: x1, x2, x3 : „Materialhauptachsen“, „on-axis-System“x1 verläuft parallel zur Faserrichtung.
x1x2-Ebene
x3 ,u3
x1 ,u1
x2 ,u2
d e3
e1e2
Fasern
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Ebener SpannungszustandEbener Spannungszustand bezüglich der Dickenrichtung:
Alle Spannungs-Komponenten σ33, σ13, σ23 in Dickenrichtung x3 sind null.
→ Plausible Annahme nur für dünne Flächentragwerke.
Materialgesetz im ebenen Spannungszustand:
wobei: Qij = sog. „reduzierte Steifigkeiten“
x1x2-Ebene
x3,u3
x1 ,u1
x2 ,u2
d e3
e1e2
Fasern
11 12 22
12 21 12 2111 11 12 11 11
12 22 2222 12 22 22 22
12 21 12 2112 66 12 12
12
01 1
00 0 .
1 10 0
0 0
E E
Q QE EQ Q
QG
νν ν ν νσ ε ε
νσ ε εν ν ν ν
σ γ γ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
TransformationsregelnIm allgemeinen sind Laminat-Einzelschichten um einen Winkel θ zum globalen Bezugssystem x, y, z gedreht:
yLaminat-Mittelebene
x
z
2l1
2l2
h
θ x1
(6)
(6)
x3(6)
x2(6)
θ (5)
x3(5)
x2(5) x1
(5)
θ (4)x1
(4)
x2(4)
x3(4)
θ (3)x2
(3)x1
(3)
x3(3)
x2(2)
θ (2)x3(2)
x1(2)
θ (1)
x3(1)
x2(1)
x1(1)
θ
( -1)kz ( )kz
( )kInterface ( -1)kInterface ( )kInterface ( +1)k
Schicht ( ) k
Schicht ( -1) k
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
TransformationsregelnHookesches Gesetz für die Laminat-Einzelschicht, die um einen Winkel θgedreht wurde:
Kopplungseffekt durch die Terme
Eine Normalspannung σxx ruft bei θ ≠ 0°und θ ≠ 0° die Dehnungen εxx undεyy, aber auch die Gleitung γxy hervor:
11 12 1611 11 12 11
22 12 22 22 12 22 26
12 66 12 16 26 66
00 .
0 0
xx xx
yy yy
xy xy
Q Q QQ QQ Q Q Q Q
Q Q Q Q
σ ε σ εσ ε σ εσ γ σ γ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟= → =⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
16 26, :Q Q
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TransformationsregelnTransformationsregeln für die reduzierten Steifigkeiten:
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
4 2 2 411 12 66 2211
2 2 4 411 22 66 1212
4 2 2 411 12 66 2222
3 311 12 66 12 22 6616
311 12 6626
cos 2 2 cos sin sin ,
4 cos sin cos sin ,
sin 2 2 cos sin cos ,
2 cos sin 2 cos sin ,
2 cos sin
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
= + + +
= + − + +
= + + +
= − − + − +
= − − +( )( ) ( )
312 22 66
2 2 4 411 22 12 66 6666
2 cos sin ,
2 2 cos sin cos sin .
Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
θ θ
θ θ θ θ
− +
= + − − + +
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TransformationsregelnTransformationsregeln für die ebenen Ingenieurkonstanten:
( )
( )
4 42 212
11 22 12 11
4 42 212
11 22 12 11
22 2 2 212
11 22 11 12
4 412
11 1
21 cos sin 1 cos sin ,
21 sin cos 1 cos sin ,
81 4 4 1cos sin cos sin ,
1cos sin
xx
yy
xy
xy
E E E G E
E E E G E
G E E E G
E E
νθ θ θ θ
νθ θ θ θ
ν θ θ θ θ
ν θ θν
⎛ ⎞⎟⎜= + + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜= + + + −⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ −=
2 2
1 22 124 4
2 212
11 22 12 11
1 1 cos sin.
2cos sin 1 cos sin
E G
E E G E
θ θ
νθ θ θ θ
⎛ ⎞⎟⎜ + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜+ + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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TransformationsregelnEinfluss der Winkeländerung auf elastische Eigenschaften:
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Annahmen zur Kinematik einer LaminatplatteAnnahmen:
1) Perfekter Verbund zwischen den Laminat-Einzelschichten2) Kinematik einer Kirchhoff-Platte (Ebenbleiben der Querschnitte,
Normalenhypothese, rechnerisches Reduzieren auf die Mittelebene)3) Ebener Spannungszustand
Betrachte deformiertes Plattensegment:
z
ABCD
A’B’C’D’
zB
uB
u0
αx
αxzBαx
xwUnverformt
Verformth
h
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Verzerrungsfeld im LaminatIn Vektor-Form:
0
0
0 0
0
0 0
Verzerrungen der Laminat-Mittelebene.xx
yy
xy
uxvy
u vy x
εεγ
⎫⎛ ⎞ ⎪∂ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪⎟∂⎜ ⎪⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎪⎟⎟⎜ ⎜ ⎪⎟⎟⎜ ∂⎜ ⎟ ⎪⎟ ⎪⎜ ⎟⎜⎟= ⎬⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎪⎜ ∂ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎪⎟∂ ∂⎜ ⎪⎟⎜ ⎟+ ⎪⎟⎜ ⎪⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎪⎭
A11 A12 A16
Dehnung εxx Dehnung εyy Gleitung γxy
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Verzerrungsfeld im LaminatIn Vektor-Form:
2
20
20
20
2
Verkrümmungen der Laminat-Mittelebene.
2
xx
yy
xy
wxw
yw
x y
κκκ
⎫⎛ ⎞ ⎪∂ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪⎟∂⎜ ⎪⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎪⎟⎟⎜ ⎜ ⎪⎟⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ⎪⎟ ⎪⎟⎜ ⎜⎟=− ⎟ ⎬⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎪∂ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎪⎟⎜ ⎜⎟ ⎪⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟∂ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎟⎜ ⎪⎟⎜ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎭
Krümmung κxx Krümmung κyy Drillung κxy
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Lagenweise SpannungenAufteilen in Membran- und Biegeanteil:
x2
x3
x1
σ11M
σ11B
0 011 12 16
0 012 22 26
0 016 26 66
.xx xx xx
yy yy yy
xy xy xyk kk
Q Q Q
Q Q Q z
Q Q Q
σ ε κσ ε κσ γ κ
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = +⎜⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
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Konstitutives Laminat-GesetzKonstitutives Laminat-Gesetz:
wobei:
011 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
xx xx
yy yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
εε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
,xy
xx
yy
xy
γκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )
( )
( )
21,1
2
2 221,1
2
2 3 321,1
2
, "Dehnsteifigkeiten"
1 , "Koppelsteifigkeiten"2
1 . "Plattensteifigkeiten"3
hk n
ij k kh ij ij kk
hk n
ij k kh ij ij kk
hk n
ij k kh ij ij kk
A Q dz Q z z
B Q zdz Q z z
D Q z dz Q z z
=−=−
=−=−
=−=−
= = −
= = −
= = −
∑∫
∑∫
∑∫
Seminar des Konstruktiven Ingenieurbaus, Fakultät 2 für Architektur, Bauingenieurwesen und StadtplanungBrandenburgische Technische Universität Cottbus
Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Konstitutives Laminat-GesetzKonstitutives Laminat-Gesetz:
Sprachgebrauch:
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
ABD-Mat
xx
yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
0
rix,Laminat-Steifigkeitsmatrix
,
xx
yy
xy
xx
yy
xy
εεγκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Scheiben-Quadrant Koppel-Quadrant.
Koppel-Quadrant Platten-QuadrantA BNB DM
εκ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥=⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜= =⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
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Vergleich Laminat – isotrope PlatteLaminat:
Isotrope Platte:
011 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
xx xx
yy yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
εε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
xy
xx
yy
xy
γκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
011 12
012 22
066
3 3 01 111 1212 12
3 3 01 112 2212 12
3 016612
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0
xx xx
yy yy
xy xy
xx xx
yy yy
xy xy
N Q h Q hN Q h Q hN Q hM Q h Q hM Q h Q hM Q h
εεγκκκ
⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
⎞⎟⎟⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠
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Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
KopplungseffekteKonstitutives Laminat-Gesetz:
Kopplungseffekte: Eine beliebige Schnittgröße ruft alle Verzerrungen und Verkrümmungen hervor (!)
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
ABD-Mat
xx
yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
0
rix,Laminat-Steifigkeitsmatrix
,
xx
yy
xy
xx
yy
xy
εεγκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Kopplungseffekte1. Gleichung ausschreiben:
Die Normalkraft Nxx ruft alle Verzerrungen und Verkrümmungen hervor:
0 0 0 0 0 011 12 16 11 12 16 .xx xx yy xy xx yy xyN A A A B B Bε ε γ κ κ κ= + + + + +
Nxx
Nxx
A11 A12 A16
B11 B12 B16
Dehnung εxx Dehnung εyy Gleitung γxy
Krümmung κxx Krümmung κyy Drillung κxy
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
SchubkopplungSchubkopplung infolge A16, A26:
011 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
xx xx
yy yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
εε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
xy
xx
yy
xy
γκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Dehnungs-Torsions-KopplungDehnungs-Torsions-Kopplung infolge B16, B26:
011 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
xx xx
yy yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
εε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
xy
xx
yy
xy
γκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Biege-Dehnungs-KopplungBiege-Dehnungs-Kopplung infolge B11, B22, B12:
011 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
xx xx
yy yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
εε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
xy
xx
yy
xy
γκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Biege-Torsions-KopplungBiege-Dehnungs-Kopplung infolge D16, D26:
011 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
11 12 16 11 12 16
12 22 26 12 22 26
16 26 66 16 26 66
xx xx
yy yy
xy
xx
yy
xy
N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D
εε
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
0
0
0
0
0
xy
xx
yy
xy
γκκκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Seminar des Konstruktiven Ingenieurbaus, Fakultät 2 für Architektur, Bauingenieurwesen und StadtplanungBrandenburgische Technische Universität Cottbus
Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Symmetrische LaminateViele Kopplungseffekte sind durch symmetrische Laminataufbauten vermeidbar:
Entkopplung von Scheiben- undPlattenverhalten bei symmetrischen Lagenaufbauten.
011 12 16
012 22 26
016 26 66
011 12 16
012 22 26
016 26 66
0 0 00 0 00 0 0
0 0 00 0 00 0 0
xx xx
yy yy
xy xy
xx xx
yy yy
xy xy
N A A AN A A AN A A AM D D DM D D DM D D D
εεγκκκ
⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜ ⎠
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Symmetrische LaminateAber: Viele Kopplungseffekte sind durch symmetrische Laminataufbauten nicht
vermeidbar:
Schubkopplung und Biege-Torsions-Kopplung sind auch insymmetrischen Laminaten möglich!
011 12 16
012 22 26
016 26 66
011 12 16
012 22 26
016 26 66
0 0 00 0 00 0 0
0 0 00 0 00 0 0
xx xx
yy yy
xy xy
xx xx
yy yy
xy xy
N A A AN A A AN A A AM D D DM D D DM D D D
εεγκκκ
⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜ ⎠
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Gliederung
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Behandlung lokaler Beulprobleme dünnwandiger TrägerSeparate Betrachtung von Trägersteg und Trägerflanschen:
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Flanschbeulen eines anisotropen Composite-TrägersErsatzmodell:
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
GrundlegendesBeulbedingung:
Potentialformulierung im gebeulten Zustand:
Beuldifferentialgleichung für symmetrische Laminate:
Problem: Praktisch brauchbare geschlossen-analytische Lösungen sind nur in wenigen Sonderfällen möglich.
0.δΠ=
.i f aΠ=Π +Π +Π
( )
4 4 4 43 3 3 3
11 22 16 264 4 3 31 2 1 2 1 2
4 203 3
12 66 112 2 21 2 1
4 4
2 2 0.
u u u uD D D Dx x x x x x
u uD D Nx x x
λ
∂ ∂ ∂ ∂+ + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Das Ritz-VerfahrenKlassischer Ritz-Ansatz für die Beulform:
Beulbedingung:
Gegenwärtiger Ansatz:
Reduzierte Beulbedingung:
Resultierendes Eigenwertproblem:
( ) ( ) ( )3 1 2 1 1 2 21 1, .m M n N
mn m nm nu x x W w x w x= =
= ==∑ ∑
0.mnW
∂Π =∂
( ) ( ) ( )3 1 2 2 2 1 11, .m M
m mmu x x w x W w x=
== ∑
0.mW
∂Π =∂
011 0.K S N F+ − =
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Randbedingungen und AnsatzRandbedingungen an belasteten Rändern:
Randbedingungen am elastisch eingespannten Rand:
Randbedingungen am freien Rand:
Gegenwärtiger Ansatz für die Beulform:
Freie Konstanten bestimmbar aus den Randbedingungen.
( ) ( )3 1 2 3 1 20, 0, , 0.u x x u x a x= = = =
( ) ( )2
33 1 2 22 1 2 0
2
, 0 0, , 0 | .xuu x x M x x kx =
∂= = = =−∂
( ) ( )22 1 2 2 1 2, 0, , 0.M x x b V x x b= = = =
( )2 3 4
2 2 2 2 13 1 2 1 2 3 1
, sin .m Mmm
x x x x m xu x x Wb b b b a
πψ ψ ψ =
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟⎜= + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟⎜⎝ ⎠∑
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Analytische Lösung für D16 = D26 = 0Gegenwärtiger Ansatz:
Wahl der Ansatzfunktionen:
Beullast:
Resultierende Integrale der Ansatzfunktionen:
( ) ( ) ( )3 1 2 1 1 2 2, .u x x Ww x w x=
( )2 3 4
1 2 2 2 23 1 2 1 2 3, sin .m x x x x xu x x W
a b b b bπ ψ ψ ψ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜= + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠
( )011 11 22 00 22 00 22 12 02 02 66 11 11 00
11 00
1 2 4 2N D R S D R S D R S D R S R FR S
= + + + +
1 1 2 21 20 0
1 1 2 2
, .i j i ja b
ij iji j i j
w w w wR dx S dxx x x x
∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫
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ValidierungFEM-Netze für anisotrope Composite-Träger:
I- und C-Träger aus Winkel-Verbund-Laminaten [+ θ /- θ /+ θ /- θ]S.
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
ValidierungGegenüberstellung der Ergebnisse:
Exzellente Übereinstimmung, aber:- Finite-Elemente-Ergebnisse in mehreren Stunden,- Gegenwärtige Ergebnisse in wenigen Sekunden!
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Einfluss der RandeinspannungSignifikanter Einfluss der elastischenRandeinspannungen:
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
BeulmodenAllgemein unsymmetrische Beulmoden, hervorgerufen durch Biege-Torsions-Kopplung:
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Gliederung
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Randeffekte in Composite-LaminatenBegründung durch unterschiedliches Querdehnungsverhalten der Schichten und
einfachem Gleichgewicht:
Schädigungs-Potential durch Delaminationen am freien Rand.
x2
x3
x100
0
9090 σ 22
ε 11
ε 11ε 11
ε 11ε11
ε 11 σ 22σ 33 σ 33σ 23
x3
x2
00
0
9090
Seminar des Konstruktiven Ingenieurbaus, Fakultät 2 für Architektur, Bauingenieurwesen und StadtplanungBrandenburgische Technische Universität Cottbus
Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Interlaminare Spannungen als Folge des Randeffektes
ε 11
ε 11 x2
x3
x1
0090
0090
σ 23 σ 33
1 1x2d
x2d
Kompliziertes und praktisch relevantes Problem, das mit potentiell singulären interlaminaren Randspannungen einhergeht.
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Verwandte Probleme
Gerader LaminatrandGekrümmter Lochrand
Freie Laminatecke
EinkerbungFasern
∆T
Gerader Laminatrand
Risse
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Experimentelle Befunde
Laminat-Zugprobe zur Abschätzung von Festigkeiten und Steifigkeiten, rasches Auftreten von Delaminationen am Rand.
Quelle: DLR – Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, Braunschweig
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Probleme bei der numerischen Umsetzung
Analyse mittels FEM erfordert einen extrem hohen Berechnungsaufwand → Notwendigkeit effizienter geschlossen-analytischer Berechnungsverfahren.
x1x3-Ebene
Freier RandDetail
Detail der Randvernetzung∆l1
l2
d ( )k
d ( -1)k
1 7 2
145
11106
134
12153 89
210
3
19
91
175
168 15
714
11181213
4620
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Einteilung des Laminats in mathematische SchichtenRandeffekte in einer symmetrischen Laminatplatte unter thermomechanischer
Beanspruchung, Einteilung der Schichten in nL mathematische Schichten:
x2
x1
x3
d
l2
l 2
VDetail
Detail Schicht ( )kInterface ( +1)kInterface ( )k
PhysikalischeSchichten
MathematischeSchichten x3( )kx3( -1)k
d ( )k
90o
0o
90o
0o
∆Tε 11M
0
ε 11M0
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Lagenweiser Verschiebungsansatz
Lagenweiser Verschiebungsterm nach Klassischer Laminattheorie
Lagenweise Randstörungsterme mit linearer Interpolation in Dickenrichtung zwischen unbekannten Verschiebungsfunktionen in den Interfaces (k) and (k+1):
Lagenweises Verschiebungsfeld in mathematischer Schicht (k):
( ) 0( ) 1( ) , ( 1,2,3).k k ki i iu U U i= + =
Lagenweiser Randstörungsterm mit linearer Interpolation in Dickenrichtung
( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( 1) ( )2 1 3 2 2 3 .k k k k k
i i iU U x x U x xψ ψ+= +
Lineares Interpolationspolynom, ausgehend vom oberen Interface
Lineares Interpolationspolynom, ausgehend vom unteren Interface
ψ 1
Interface ( +1)k
Interface ( )kV ( )k
V ( )k( )k
ψ 1( )kψ 2( )k
1
11
1
U 1( )k
U 1( +1)k
U 2( )k
U 2( +1)k
ψ 2( )k
Verschiebungsfunktion im unteren Interface
Verschiebungsfunktion im oberen Interface
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Euler-Lagrange-GleichungenErmittlung der unbekannten Verschiebungsfunktionen aus dem Prinzip vom
Minimum des elastischen Potentials:
Euler-Lagrange-Gleichungen für das gegebene Laminatproblem:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )12 1 1
!( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
2 1
d d
d Min.
L L
r r
L
r
r n r nr T r r r T rr r rtr rV V
r n r T r rr r rt tr V
C V T V
T C T V
ε ε σ α
α α
= =
= =
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤Π= − ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ ∆ ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑∫∫∫ ∫∫∫∑ ∫∫∫
( ) ( )21 1,2
( ) ( )22 2,2
( ) ( )23 3,2
0,
0,
0.
k k
k k
k k
F d FdxU U
F d FdxU U
F d FdxU U
⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠
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Beschreibendes DifferentialgleichungssystemVerschiebungs-Differentialgleichungen für das gesamte Laminat:
Zusammengefasste Schreibweise:
2 21 2 3
1 21 2 3 4 52 222 2
2 21 2 3
1 26 7 8 9 102 222 2
21 2 3
311 12 13 14 22 2 2
0,
0,
0.
U U UK U K K U K Kxx x
U U UK U K K U K Kxx x
U U UK K K U Kx x x
∂ ∂ ∂+ + + + =∂∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + + =∂∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
( )2
1 2 31 2 3222
0, with , , .TU UK K K U U U U Uxx
∂ ∂+ + = =∂∂
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Verschiebungslösung und Randbedingungen
Randbedingungen am freien Rand werden im integralen Mittel erfüllt:
Verschiebungsansatz in exponentieller Form:
Resultierendes quadratisches Eigenwertproblem:
Gesamtlösung aus der Summation aller Eigenwerte und Eigenvektoren:
2 .xU Aeλ=
( )21 2 3 0.K K K Aλ λ+ + =
( ) 23 1
1.L r
r n xrrr
U b A eλ= +
==∑
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )3 1 3
3 2 3 1
1 12 2 2 3 2 2 1 30 0 0.k k
k k
x xk k k ki ix x
x dx x dxσ ψ σ ψ−
− −
− −= + = =∫ ∫
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Vergleich mit den Ergebnissen anderer AutorenVergleich mit klassischen Referenzergebnissen, interlaminare Spannungen in
physikalischen Interfaces, Laminate unter Zugbeanspruchung:
Hervorragende Übereinstimmung bei vernachlässigbarem Rechenaufwand (< 1s).
Pipes RB and Pagano NJ (1970), Journal of Composite Materials 4:538-48 (Finite-Differenzen-Methode)Pipes RB (1972), Dissertation Thesis, University of Texas, Arlington (Finite-Differenzen-Methode)Pagano NJ (1974), Journal of Composite Materials 8:65-81 (Platten-Theorie vom Mindlin-Typ)Kassapoglou C and Lagace PA (1986), Journal of Applied Mechanics 53:744-50 (Lagenweiser Spannungsansatz)
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1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Vergleich mit FEM-Berechnungen nach Reddy (2004)Interlaminare Spannungen nach der Verschiebungsmethode an freien Rändern
typischer Flugzeugbau-Laminate:
Die Übereinstimmung ist exzellent mit geringem Berechnungsaufwand:
- Reddys FEM-Berechnungen benötigen mindestens einige Minuten,- die gegenwärtige Methode benötigt wenige Sekunden bei gleicher Genauigkeit.
Reddy JN (2004), Mechanics of laminated composite plates and shells, 2nd edition, Boca Raton (FL): CRC Press
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Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick
Maßnahmen zur Minimierung von Randeffekten1) Vermeiden allzu großer Steifigkeitsunterschiede / Unterschiede in den
Faserrichtungen benachbarter Schichten.
2) Möglichst dünne Schichten.
3) Zusammenfügen mehrerer unmittelbar benachbarter Schichten zu einer „dicken“ Einzelschicht vermeiden.
4) Gutes „Durchmischen“ der Schichten bei nicht allzu großen Sprüngen in der Faserorientierung.
5) Durch Positionswechsel von Schichten negative Schälspannungen erzwingen.
6) Ggf. Zusatzmaßnahmen treffen, wie z.B. Vernähungen, Randeinfassungen, ...
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Gliederung
1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick
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Zusammenfassung / Take-Home-MessagesKomplexität der Berechnung von Composite-Bauteilen:
Anisotropie, geschichteter Charakter, Kopplungseffekte, Randeffekte erschweren die Analyse von Composite-Bauteilen im Vergleich zu isotropen Tragwerken.
Über die vorgestellten Analysezugänge:
1. Effizienz und Einfachheit
Die entwickelten Methoden sind einfach einsetzbar, leicht verständlich und arbeiten hocheffizient.
2. Genauigkeit
Die Genauigkeit ist exzellent und mit FEM-Berechnungen vergleichbar.
3. Berechnungsaufwand
Der Berechnungsaufwand ist äußerst gering.
4. Brauchbarkeit
Die Methoden sind besonders geeignet für das Vordesign, für Optimierungen und für Parameterstudien.
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Ausblick / To-Do-List1. Postbuckling / Geometrisch nichtlineare Analyse
Entwicklung analytischer und semi-analytischer Verfahren zur Abschätzung des überkritischen Verhaltens ausgesteifter Composite-Strukturen.
2. Einsatz innovativer numerischer Verfahren I
Einsatz neuartiger Randdiskretisierungs-Verfahren („Rand-Finite-Elemente-Methode“) zur Analyse singulärer Spannungs-Konzentrations-Probleme.
3. Einsatz innovativer numerischer Verfahren II
Einsatz neuartiger Partikel-Methoden („Peridynamics“) zur Analyse des Impact- und Schädigungs-Verhaltens geschichteter Strukturen.
4. Spannungs-Konzentrations-Probleme: Geschlossen-analytische Verfahren
Entwicklung neuer geschlossen-analytischer Verfahren zur Analyse von Spannungs-Konzentrations-Problemen in Composite-Laminaten (Löcher, Kerben, Risse).
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Fragen? Anregungen?
Literaturhinweise
1. Mittelstedt C / Becker W (2006)Fast and reliable analysis of free-edge stress fields in a thermally loaded composite strip by a layerwise laminate theoryInternational Journal for Numerical Methods in Engineering 67:747-770
2. Mittelstedt C / Becker W (2007)The Pipes-Pagano problem revisited: Elastic fields in boundary layers of plane laminated specimens under combined thermomechanical loadComposite Structures 80:373-395
3. Mittelstedt C / Becker W (2007)Free-edge effects in composite laminatesApplied Mechanics Reviews 60:217-245
4. Mittelstedt C / Beerhorst M / Becker W (2009)Ein Beitrag zur Analyse des Flansch-Beulproblems dünnwandiger anisotroper Composite-TrägerBauingenieur 84:35-45
5. Mittelstedt C (2007)Stability behaviour of arbitrarily laminated composite plates with free and elastically restrained unloaded edgesInternational Journal of Mechanical Sciences 49:819-833
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