ubrzanje Glavni deo zemljotresa...zemljotres, kada uradimo za viลกe dobijamo spektar. Spektar...
Transcript of ubrzanje Glavni deo zemljotresa...zemljotres, kada uradimo za viลกe dobijamo spektar. Spektar...
-
Dinamika konstrukcija i zemljotresno inลพenjerstvo, veลพbe โ Marko Marinkoviฤ 51
X DVOฤAS Crtanje spektra odgovora Odrediti elastiฤni spektar pseudoubrzanja ๐๐๐[๐๐ ๐ 2โ ] glavnog dela zemljotresa Mionica 1998. Za priguลกenje ๐ = 0.05 konstruisati krivu spektra za periode oscilovanja ๐ = 0 รท 2.5 s sa korakom โ๐ = 0.05 s.
Akcelerogram zemljotresa โMionica NW komponenta, 1998โ
1.) Imamo akcelerogram โ dato nam je ubrzanje tla ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, 2.) Usvojimo krutost ๐ bilo koju, 3.) S obzirom da period menjamo, u ovom prvom koraku usvojimo recimo ๐ = 0.05 s,
4.) Odatle dobijamo ๐ = 2๐๐
i iz ๐ = ๏ฟฝ ๐๐
โ ๐ = ๐2 โ ๐,
5.) Naฤemo ๐ = 2๐ โ ๐, ๐ = ๐๐, ๐ = 2๐ โ ๐ โ ๐,
6.) Sada numeriฤkim postupkom (Newmark sa proseฤnim ubrzanjem) reลกavamo diferencijalnu jednaฤinu prinudnih oscilacija ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐๐ฎ = โ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,
7.) Vaลพno! Uopลกte nije bitna masa i krutost konstrukcije, jer ne pravimo mi spektar za naลกu konstrukciju veฤ za opseg konstrukcija (razliฤite periode oscilovanja),
8.) Odrediti poฤetne uslove: ๐ฆ๐ i ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, koji su jednaki 0, 9.) Usvojiti vremenski interval integracije โ๐ก, 10) Odrediti koeficijente jednaฤine: a1, a2, a3 11) Odrediti silu: ๐น = ๐ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, sada ฤemo imati ๐น za svako โ๐ก, odnosno svako ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, jer smo
alcelerogram izdelili โ๐ก korakom, 12) Reลกavanjem, primenom numeriฤkog postupka, dobijamo relativna pomeranja ๐๐ u svakom
koraku, 13) Od svih vrednosti uzimamo apsolutno najveฤu i mnoลพimo je sa ๐2 i dobijamo ๐๐๐ = ๐2๐๐, 14) I to nam je jedna vrednost na dijagramu spektra, sada isti ovaj postupak ponovimo za
๐ = 0 รท 2.5 s sa korakom โ๐ = 0.05 s. I tako dobijamo dijagram pseudoubrzanja za jedan zemljotres, kada uradimo za viลกe dobijamo spektar. Spektar (pseudoubrzanje se moลพe skalirati u funkciji od ubrzanja zemljine teลพe ๐.
Maksimalno ubrzanje
Glavni deo zemljotresa
-
52 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inลพenjerstvo, veลพbe โ Marko Marinkoviฤ Za spektar amplifikacije maksimalnog ubrzanja tla isto sve do taฤke 12. Tada se na dobijeno ubrzanje konstrukcije (xฬ), dodaje maksimalno ubrzanje tla ๏ฟฝuฬg๏ฟฝ i dobija se ๏ฟฝxฬ + uฬg๏ฟฝ ili kako je napisano u knjizi (xฬ + sฬ1). Zatim se uzima apsolutno maksimalna vrednost tog zbira i podeli sa apsolutno maksimalnim
ubrzanjem i to je amplifikacija ๐ด = max๏ฟฝxฬ+uฬg๏ฟฝmax๏ฟฝuฬg๏ฟฝ
.
-
Dinamika konstrukcija i zemljotresno inลพenjerstvo, veลพbe โ Marko Marinkoviฤ 53 KAO Primer 6.2 Za trospratni โsmiฤuฤiโ ram, zadate krutosti i raporeda masa, primenom spektralne analize za dati spektar odgovora odrediti maksimalna pomeranja i maksimalne seizmiฤke horizontalne sile. Priguลกenje sistema je 10%.
๐ = ๏ฟฝ3.0
2.01.5
๏ฟฝ ๐ = ๏ฟฝ(๐1 + ๐2) โ๐2 0
โ๐2 (๐2 + ๐3) โ๐30 โ๐3 ๐3
๏ฟฝ = ๏ฟฝ1000 โ300 0โ300 550 โ250
0 โ250 250๏ฟฝ
Reลกenje:
Kruลพne frekvencije i periodi oscilovanja
๐ = ๏ฟฝ๐1๐2๐3
๏ฟฝ = ๏ฟฝ6.89740
16.2901521.49551
๏ฟฝ ๐ = ๏ฟฝ๐1๐2๐3
๏ฟฝ = ๏ฟฝ0.910950.385700.29230
๏ฟฝ
Oblici oscilovanja i modalna matrica
๐1 = ๏ฟฝ1.0
2.857593.99912
๏ฟฝ ๐2 = ๏ฟฝ1.0
0.67964โ1.14763
๏ฟฝ ๐3 = ๏ฟฝ1.0
โ1.287230.72629
๏ฟฝ
๐ = [๐1 ๐2 ๐3] = ๏ฟฝ1.0 1.0 1.0
2.85759 0.67694 โ1.287233.99912 โ1.14763 0.72629
๏ฟฝ
Generalisane mase: ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐๐
๐1 = {1.0 2.85759 3.99912} ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.0
2.857593.99912
๏ฟฝ = 43.32018
๐2 = {1.0 0.67964 โ1.14763} ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.0
0.67964โ1.14763
๏ฟฝ = 5.899403
-
54 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inลพenjerstvo, veลพbe โ Marko Marinkoviฤ
๐3 = {1.0 โ1.28723 0.72629} ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.0
โ1.287230.72629
๏ฟฝ = 7.105168
Skalarne veliฤine: ๐ฟ๐ = ๐๐๐๐๐
๐ฟ1 = {1 2.85759 3.99912} ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.01.01.0
๏ฟฝ = 14.71386
๐ฟ2 = {1.0 0.67964 โ1.14763} ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.01.01.0
๏ฟฝ = 2.637835
๐ฟ3 = {1.0 โ1.28723 0.72629} ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.01.01.0
๏ฟฝ = 1.514975
Faktori participacije: ๐ค๐ =
๐ฟ๐๐๐
๐ค1 =14.7138643.32018
= 0.339647 ๐ค2 =2.6378355.899403
= 0.447136 ๐ค3 =1.5149757.105168
= 0.213222
Sa dijagrama spektra pseudobrzina priguลกenje 10%, za odreฤene periode ocilovanja dobija se:
๐๐๐ฃ,1 = 6.15 ๐๐๐ฃ,2 = 2.95 ๐๐๐ฃ,3 = 2.92
Pa se odreฤuju maksimalne vrednosti relativnog pomeranja:
๐๐,1 =๐๐๐ฃ,1๐1
= 0.89164 ๐๐,2 =๐๐๐ฃ,2๐2
= 0.18109 ๐๐,3 =๐๐๐ฃ,3๐3
= 0.13584
Maksimalna relativna pomeranja po tonovima: ๐ฎ๐,๐๐๐ฅ = ๐๐๐ค๐๐๐,๐
๐ฎ1,๐๐๐ฅ =
โฃโขโขโก๐ข1,๐๐๐ฅ (1)๐ข2,๐๐๐ฅ (1)๐ข3,๐๐๐ฅ (1)โฆ
โฅโฅโค
= ๐ค1๐๐,1 ๏ฟฝ1.0
2.857593.99912
๏ฟฝ = ๏ฟฝ0.302843
0.86541.211104
๏ฟฝ
๐ฎ2,๐๐๐ฅ =
โฃโขโขโก๐ข1,๐๐๐ฅ (2)๐ข2,๐๐๐ฅ (2)๐ข3,๐๐๐ฅ (2)โฆ
โฅโฅโค
= ๐ค2๐๐,2 ๏ฟฝ1.0
0.67964โ1.14763
๏ฟฝ = ๏ฟฝ0.0809720.055032โ0.09293
๏ฟฝ
-
Dinamika konstrukcija i zemljotresno inลพenjerstvo, veลพbe โ Marko Marinkoviฤ 55
๐ฎ3,๐๐๐ฅ =
โฃโขโขโก๐ข1,๐๐๐ฅ (3)๐ข2,๐๐๐ฅ (3)๐ข3,๐๐๐ฅ (3)โฆ
โฅโฅโค
= ๐ค3๐๐,3 ๏ฟฝ1.0
โ1.287230.72629
๏ฟฝ = ๏ฟฝ0.028965โ0.037280.021037
๏ฟฝ
Rezultujuฤe pomeranje: ๐ข๐,๐๐๐ฅ โ ๏ฟฝโ ๐ข๐,๐๐๐ฅ2๐๐=1
๐ข1,๐๐๐ฅ = ๏ฟฝ๐ข1,๐๐๐ฅ (1)2 + ๐ข1,๐๐๐ฅ (2)2 +๐ข1,๐๐๐ฅ (3)2 = ๏ฟฝ0.3028432 + 0.0809722 + 0.0289652 = 0.31482
๐ข2,๐๐๐ฅ = ๏ฟฝ๐ข2,๐๐๐ฅ (1)2 + ๐ข2,๐๐๐ฅ (2)2 +๐ข2,๐๐๐ฅ (3)2 = โ0.86542 + 0.0550322 + 0.037282 = 0.86795
๐ข3,๐๐๐ฅ = ๏ฟฝ๐ข3,๐๐๐ฅ (1)2 + ๐ข3,๐๐๐ฅ (2)2 +๐ข3,๐๐๐ฅ (3)2 = โ1.2111042 + 0.092932 + 0.0210372 = 1.21485
Maksimalne spratne sile po tonovima: ๐ ๐,๐๐๐ฅ = ๐๐๐๐ค๐๐๐2๐๐,๐ = ๐๐๐๐ค๐๐๐๐,๐
๐ 1,๐๐๐ฅ =
โฃโขโขโก๐น1,๐๐๐ฅ (1)๐น2,๐๐๐ฅ (1)๐น3,๐๐๐ฅ (1)โฆ
โฅโฅโค
= ๐ค1๐12๐๐,1 ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.0
2.857593.99912
๏ฟฝ = ๏ฟฝ43.2224282.3413186.42583
๏ฟฝ
๐ 2,๐๐๐ฅ =
โฃโขโขโก๐น1,๐๐๐ฅ (2)๐น2,๐๐๐ฅ (2)๐น3,๐๐๐ฅ (2)โฆ
โฅโฅโค
= ๐ค2๐22๐๐,2 ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.0
0.67964โ1.14763
๏ฟฝ = ๏ฟฝ64.4626129.20758โ36.9896
๏ฟฝ
๐ 3,๐๐๐ฅ =
โฃโขโขโก๐น1,๐๐๐ฅ (3)๐น2,๐๐๐ฅ (3)๐น3,๐๐๐ฅ (3)โฆ
โฅโฅโค
= ๐ค3๐32๐๐,3 ๏ฟฝ3
21.5
๏ฟฝ ๏ฟฝ1.0
โ1.287230.72629
๏ฟฝ = ๏ฟฝ40.14976โ34.454714.58022
๏ฟฝ
Rezultujuฤe spratne sile: ๐น๐,๐๐๐ฅ โ ๏ฟฝโ ๐น๐,๐๐๐ฅ2๐๐=1
๐น1,๐๐๐ฅ = ๏ฟฝ๐น1,๐๐๐ฅ (1)2 + ๐น1,๐๐๐ฅ (2)2 +๐น1,๐๐๐ฅ (3)2 = ๏ฟฝ43.222422 + 64.462612 + 40.149762 = 87.38197
๐น2,๐๐๐ฅ = ๏ฟฝ๐น2,๐๐๐ฅ (1)2 + ๐น2,๐๐๐ฅ (2)2 +๐น2,๐๐๐ฅ (3)2 = โ82.341312 + 29.207582 + 34.45472 = 93.91645
๐น3,๐๐๐ฅ = ๏ฟฝ๐น3,๐๐๐ฅ (1)2 + ๐น3,๐๐๐ฅ (2)2 +๐น3,๐๐๐ฅ (3)2 = โ86.425832 + 36.98962 + 14.580222 = 95.13274
Efektivne tonske mase: ๐๐,๐๐ = ๐ค๐ ๐ฟ๐
๐1,๐๐ = 0.339647 โ 14.71386 = 4.99752 ๐2,๐๐ = 0.447136 โ 2.637835 = 1.17947 ๐3,๐๐ = 0.213222 โ 1.514975 = 0.323026
Koeficijenti: ๐ผ๐ =๐๐,๐๐โ ๐๐
๏ฟฝ ๐๐ = 3 + 2 + 1.5 = 6.5
๐ผ1 =4.99752
6.5= 0.768849 ๐ผ2 =
1.179476.5
= 0.181457 ๐ผ3 =0.323026
6.5= 0.049696
Koeficijenti: ๐๐ = โ ๐ผ๐๐๐=1
๐1 = โ ๐ผ๐ = 0.768849 1๐=1 ๐2 = โ ๐ผ๐ = 0.9503062๐=1 ๐3 = โ ๐ผ๐ = 1.03๐=1
-
Zadatak 2 Za nosaฤ prikazan na slici:
a) Odrediti sve kruลพne frekvencije i glavne oblike oscilovanja
b) Usled zadatog dinamiฤkog optereฤenja odrediti vertikalno pomeranje mase 2m.
๐(๐ก) = ๐๐ sin๐๐ก , ๐ = 0. 8๐1 ,๐ธ๐ผ = ๐๐๐๐ ๐ก
ล tap 1: ๐ผ๐น
= 10
Ceo nosaฤ:
1 Staticki neodredjen
3 stepena slobode
4 inercijalne sile
Matrica fleksibilnosti sistema
๐ =1๐ธ๐ผ ๏ฟฝ
8.6837 2.8553 0.9286 โ0.928624.2234 22.8671 โ22.8671
28.607 โ28.60728.607
๏ฟฝ
Matrica masa sistema
๐ = ๏ฟฝ1
23
6
๏ฟฝ๐
๐1 = 0.0582๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
๐2 = 0.2844๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
๐3 = 0.3887๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
๐(1) = ๏ฟฝ
118.227821.8771
โ21.8771
๏ฟฝ ๐(2) = ๏ฟฝ
1.11801.0000
โ0.19080.1908
๏ฟฝ ๐(3) = ๏ฟฝ
11.7761โ5.7240
1.0โ1.0
๏ฟฝ
๐ = 0.8๐1 = 0.0465๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
-
๏ฟฝ
โ453.2080 2.8553 0.9286 โ0.9286โ206.7225 22.8671 โ22.8671
โ125.3569 โ28.607โ48.3750
๏ฟฝ ๏ฟฝ
๐ผ1๐ผ2๐ผ3๐ผ4
๏ฟฝ = ๏ฟฝโ2.8553โ24.2234โ22.867122.8671
๏ฟฝ๐๐
โ
๐ผ1 = โ0.0070 ๐๐ ๐ผ2 = 0.1496 ๐๐๐ผ3 = 0.0876 ๐๐๐ผ4 = 0.0876 ๐๐
๐ฃ2๐ = ๐ฟ2๐ + ๏ฟฝ๐ฟ2๐๐ผ๐
2
๐=1
= 59.4447 ๐๐๐ธ๐ผ
-
Zadatak 2 Za nosaฤ prikazan na slici odrediti sve kruลพne frekvencije i glavne oblike oscilovanja sistema.
Usled zadatog dinamiฤkog optereฤenja odrediti pomeranje mase 4m.
๐(๐ก) = ๐๐ sin๐๐ก ,๐ = 0. 7๐1 ,๐ธ๐ผ = ๐๐๐๐ ๐ก
Ceo nosaฤ:
Staticki odredjen
1 stepen slobode
4 inercijalne sile
Matrica fleksibilnosti sistema
๐ =1๐ธ๐ผ ๏ฟฝ
13.3333 โ13.3333 โ6.6666 6.666613.3333 6.6666 โ6.6666
3.3333 โ3.33333.3333
๏ฟฝ
Matrica masa sistema
๐ = ๏ฟฝ4
23
1
๏ฟฝ๐
๐1 = 0.1035๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
๐(1) = ๏ฟฝ
0.378โ0.378โ0.1890.1891
๏ฟฝ
๐ = 0.7๐1 = 0.07245๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
-
๏ฟฝ
โ453.2080 2.8553 0.9286 โ0.9286โ206.7225 22.8671 โ22.8671
โ125.3569 โ28.607โ48.3750
๏ฟฝ ๏ฟฝ
๐ผ1๐ผ2๐ผ3๐ผ4
๏ฟฝ = ๏ฟฝ13.3333โ13.3333โ6.66666.6666
๏ฟฝ๐๐
โ
๐ผ1 = 0.549 ๐๐ ๐ผ2 = โ0.2745 ๐๐๐ผ3 = โ0.2059 ๐๐๐ผ4 = 0.0686 ๐๐
๐ฃ4๐ = ๐ฟ1๐ + ๏ฟฝ๐ฟ1๐๐ผ๐
2
๐=1
= 26.1437 ๐๐๐ธ๐ผ
-
Zadatak 3 Za datu prostornu pros-tornu konstrukciju odrediti: a) Matricu krutosti; b) Kruลพne frekvencije; c) Odrediti seizmiฤke sile
za pojedine ramove i zidove usvajajuฤi da je ๐๐ = 1.0.
Napomena: Rigle tavanice smatrati da su beskonaฤno krute.
Grede i stubovi: ๐ ๐โ = 0.8 0.8โ ๐
Debljina zida: โ = 0.2 ๐
Modul elastiฤnosti: ๐ธ = 3 โ 107 kN m2โ
Poasson-ov koeficijent: ๐ = 0.16
Krutost zidova odrediti pomoฤu izraza za pomeranje:
๐ฟ =๐
2๐ธโ๐ต3[12๐ป๐ฅ2 โ 4๐ฅ3 + (4 + 5๐)๐ต2๐ฅ]
ZBIRKA ZADATAK 10
Reลกenje
a) Matrica krutosti konstrukcije
Krutost zidova
Matrica krutosti zidova se moลพe odrediti inverzijom matrice fleksibilnosti. ฤlanovi matrice fleksibilnosti ๐ฟ๐๐ predstavljaju horizontalna po-meranja u nivou ๐-te tavanice usled jediniฤne horizontalne sile zadate u nivou ๐-te ta-vanice i mogu se odrediti na osnovu datog izraza. Kako konstrukcija ima dve tavanice to ฤe i odgovarajuฤa matrica fleksibilnosti biti drugog reda.
โซ Odreฤivanje matrice fleksibilnosti
Za visinu zida ๐ป = 8.0 m:
๐ธ๐ฟ22 =1
2 โ 0.2 โ 103[12 โ 8 โ 82 โ 4 โ 83 + (4 + 5 โ 0.16)102 โ 8] = 19.84
๐ธ๐ฟ12 =1
2 โ 0.2 โ 103[12 โ 8 โ 42 โ 4 โ 43 + (4 + 5 โ 0.16)102 โ 4] = 8.0
-
Za visinu zida ๐ป = 4.0 m:
๐ธ๐ฟ11 =1
2 โ 0.2 โ 103[12 โ 4 โ 42 โ 4 โ 43 + (4 + 5 โ 0.16)102 โ 4] = 6.08
๐ธ๐ฟ21 = ๐ธ๐ฟ12 = 8.0
Na osnovu dobijenih koeficijenata matrica fleksibilnosti zida je:
๐๐ง = ๏ฟฝ6.08 8.0
8.0 19.84๏ฟฝ1๐ธ
โซ Odreฤivanje matrice krutosti
Inverzijom matrice fleksibilnosti dobija se matrica krutosti zida.
๐๐ง = ๐๐งโ1 = ๏ฟฝ0.3504 โ0.1413
โ0.1413 0.1074๏ฟฝ ๐ธ
Moment inercije greda iznosi ๐ผ = 0.84
12= 0.03413 m4, pa se matrica krutosti moลพe zapisati u obliku:
๐๐ง = ๏ฟฝ10.2645 โ4.1389โ4.1389 3.1456๏ฟฝ ๐ธ๐ผ
Krutost ramova
โซ Matrica krutosti za ram tipa I (ramovi 1 i 3)
Matrica fleksibilnosti iznosi:
๐๐ผ = ๏ฟฝ1. 7ฬ 1. 7ฬ1. 7ฬ 4. 4ฬ๏ฟฝ
1๐ธ๐ผ
Matrica krutosti za ram tipa I iznosi:
๐๐ผ = ๐๐ผโ1 = ๏ฟฝ0.9375 โ0.375โ0.375 0.375 ๏ฟฝ ๐ธ๐ผ
โซ Matrica krutosti za ram tipa II (ram 2)
-
Matrica fleksibilnosti:
๐๐ผ๐ผ = ๏ฟฝ1. 3ฬ 1. 3ฬ1. 3ฬ 3. 9ฬ๏ฟฝ
1๐ธ๐ผ
Matrica krutosti za ram tipa II :
๐๐ผ๐ผ = ๐๐ผ๐ผโ1 = ๏ฟฝ1.125 โ0.375
โ0.375 0.375๏ฟฝ ๐ธ๐ผ
โซ Matrica krutosti za ram tipa III (ramovi 4 i 5)
๐ฟ11 =2. 6ฬ๐ธ๐ผ
โ ๐11 = ๐ฟ11โ1 = 0.375๐ธ๐ผ
pa je matrica krutosti rama tipa III:
๐๐ผ๐ผ๐ผ = ๏ฟฝ0.375 0.0
0.0 0.0๏ฟฝ ๐ธ๐ผ
Geometrijske karakteristike tavanica
โซ Tavanica 1
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐1 = 12.0 ๐ ๐ฆ๏ฟฝ๐1 = 5.0 m
๐น1 = 4 โ (8 โ 5) = 160 m2
๐ผ๐ฅ1 = 1333. 3ฬ m4
๐ผ๐ฆ1 = 5973. 3ฬ m4
๐ผ01 =๐1๐น1๏ฟฝ๐ผ๐ฅ1 + ๐ผ๐ฆ1๏ฟฝ =
120160
๏ฟฝ1333. 3ฬ + 5973. 3ฬ๏ฟฝ = 5480.0 kNs2m
โซ Tavanica 2
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐2 = 4.0 m ๐ฆ๏ฟฝ๐2 = 5.0 m
๐น2 = 8 โ 10 = 80 m2
๐ผ๐ฅ2 = 666. 6ฬ m4
๐ผ๐ฆ2 = 426. 6ฬ m4
๐ผ02 =6080
๏ฟฝ666. 6ฬ + 426. 6ฬ๏ฟฝ = 820.0 kNs2m
โซ Matrice transformacije za ramove i zidove
๐๐ = ๏ฟฝcos๐๐1 sin๐๐1 ๐๐1 0 0 0
0 0 0 cos๐๐2 sin๐๐2 ๐๐2๏ฟฝ
๐1 = ๏ฟฝ1 0 5 0 0 00 0 0 1 0 5๏ฟฝ ๐2 = ๏ฟฝ
1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0๏ฟฝ ๐3 = ๏ฟฝ
1 0 โ5 0 0 00 0 0 1 0 โ5๏ฟฝ
๐4 = ๏ฟฝ0 1 โ12 0 0 00 0 0 0 0 0๏ฟฝ ๐5 = ๏ฟฝ
0 1 12 0 0 00 0 0 0 0 0๏ฟฝ
๐๐๐๐1 = ๏ฟฝ0 1 โ4 0 0 00 0 0 0 1 โ4๏ฟฝ ๐๐๐๐2 = ๏ฟฝ
0 1 4 0 0 00 0 0 0 1 4๏ฟฝ
โซ Matrica masa
๐ =
โฃโขโขโขโขโก120 120
548060
60820โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
Prostorne matrice krutosti ramova i zidova
-
๐๐ = ๐๐T โ ๐๐ โ ๐๐
๐1 =
โฃโขโขโขโขโก0.9375 0.0 4.6875 โ0.375 0.0 โ1.875
0.0 0.0 0.0 0.0 0.023.4375 โ1.875 0.0 โ9.375
0.375 0.0 1.8750.0 0.0
๐ ๐๐๐๐ก. 9.375โฆโฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ ๐2 =
โฃโขโขโขโขโก
1.125 0.0 0.0 โ0.375 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.00.375 0.0 0.0
0.0 0.0๐ ๐๐๐๐ก. 0.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
๐3 =
โฃโขโขโขโขโก0.9375 0.0 โ4.6875 โ0.375 0.0 1.875
0.0 0.0 0.0 0.0 0.023.4375 1.875 0.0 โ9.375
0.375 0.0 โ1.8750.0 0.0
๐ ๐๐๐๐ก. 9.375โฆโฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ ๐4 =
โฃโขโขโขโขโก
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.375 โ4.5 0.0 0.0 0.0
54.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0
0.0 0.0๐ ๐๐๐๐ก. 0.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
๐5 =
โฃโขโขโขโขโก
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.375 4.5 0.0 0.0 0.0
54.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0
0.0 0.0๐ ๐๐๐๐ก. 0.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
๐6 = ๐๐๐๐1T โ ๐๐ง โ ๐๐๐๐1 =
โฃโขโขโขโขโก
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.010.2645 โ41.058 0.0 โ4.1389 16.5556
164.232 0.0 16.5556 โ66.22240.0 0.0 0.0
3.1456 โ12.5824๐ ๐๐๐๐ก. 50.3296โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
๐7 = ๐๐๐๐2๐ โ ๐๐ง โ ๐๐๐๐2 =
โฃโขโขโขโขโก
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.010.2645 41.058 0.0 โ4.1389 โ16.5556
164.232 0.0 โ16.5556 โ66.22240.0 0.0 0.0
3.1456 12.5824๐ ๐๐๐๐ก. 50.3296โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
โซ Matrica krutosti konstrukcije
๐ = ๏ฟฝ๐๐
7
๐=1
=
โฃโขโขโขโขโก
3.0 0.0 0.0 โ1.125 0.0 0.021.279 0.0 0.0 โ8.2778 0.0
483.339 0.0 0.0 โ151.19481.125 0.0 0.0
6.2912 0.0๐ ๐๐๐๐ก. 119.4092โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
b) Kruลพne frekvencije konstrukcije
Kruลพne frekvencije sistema se odreฤuju iz uslova:
det(๐ โ ๐2๐) = 0, odnosno det(๐๐โ1 โ ๐2๐) = 0.
Vrednosti ๐2 predstavljaju sopstvene vrednosti matrice ๐๐โ1.
๐๐โ1 =
โฃโขโขโขโขโก
0.025 0.0 0.0 โ0.0188 0.0 0.00.0 0.1773 0.0 0.0 โ0.138 0.00.0 0.0 0.0882 0.0 0.0 โ0.1844
โ0.0094 0.0 0.0 0.0188 0.0 0.00.0 โ0.069 0.0 0.0 0.1049 0.00.0 0.0 โ0.0276 0.0 0.0 0.1456โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐ธ๐ผ
๐12 = 0.0082๐ธ๐ผ โ ๐1 = 0.0906โ๐ธ๐ผ
๐22 = 0.0356๐ธ๐ผ โ ๐2 = 0.1887โ๐ธ๐ผ
๐32 = 0.0370๐ธ๐ผ โ ๐3 = 0.1924โ๐ธ๐ผ
๐42 = 0.0400๐ธ๐ผ โ ๐4 = 0.2000โ๐ธ๐ผ
๐52 = 0.1938๐ธ๐ผ โ ๐5 = 0.4402โ๐ธ๐ผ
๐62 = 0.2452๐ธ๐ผ โ ๐6 = 0.4952โ๐ธ๐ผ
-
c) Seizmiฤke sile po pojedinaฤnim ramovima i zidovima
Ukupna seizmiฤka sila
๐บ1 = ๐ โ ๐1 = 9.81 โ 120 = 1177.2 kN
๐บ2 = ๐ โ ๐2 = 9.81 โ 60 = 588.6 kN
๐บ = ๐บ1 + ๐บ2 = 1765.8 ๐๐
๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐บ = 1.0 โ 1.0 โ 1.0 โ 0.1 โ 1765.8 = 176.58 kN
โซ Seizmiฤke sile po pojedinim tavanicama
๐๐ = ๐๐บ๐โ๐โ๐บ๐โ๐
๏ฟฝ๐บ๐โ๐ = 1177.2 โ 4.0 + 588.6 โ 8.0 = 9417.6 kNm
๐1 = 176.581177.2 โ 4.0
9417.6= 88.29 ๐๐
๐2 = 176.58588.6 โ 8.0
9417.6= 88.29 ๐๐
Sile po ramovima i zidovima pri delovanju seizmiฤke sile u poduลพnom pravcu
โซ Pomeranja tavanica
Pomeranja centara masa tavanica, u globalnom koordinatnom sistemu, mogu se dobiti reลกavanjem sistema jednaฤina ๐ โ ๐ฎ = ๐.
๐
โฃโขโขโขโขโก๐ข1๐ฃ1๐1๐ข2๐ฃ2๐2โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก๐100๐200 โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก88.29
0.00.0
88.290.00.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
โ
โฃโขโขโขโขโก๐ข1๐ฃ1๐1๐ข2๐ฃ2๐2โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก
94.1760.00.0
172.6560.00.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
1๐ธ๐ผ
โซ Raspodelasila po ramovima i zidovima
๐ซ๐ = ๐๐ โ ๐ฎ โ ๐๐ = ๐๐ โ ๐ซ๐
๐ซ1 = ๏ฟฝ94.176
172.656๏ฟฝ1๐ธ๐ผ
๐ซ2 = ๏ฟฝ94.176
172.656๏ฟฝ1๐ธ๐ผ
๐ซ3 = ๏ฟฝ94.176
172.656๏ฟฝ1๐ธ๐ผ
๐1 = ๏ฟฝ23.544
29.43๏ฟฝ ๐2 = ๏ฟฝ41.202
29.43๏ฟฝ ๐3 = ๏ฟฝ23.544
29.43๏ฟฝ
๐ซ4 = ๐ซ5 = ๐ซ6 = ๐ซ7 = ๏ฟฝ0.00.0๏ฟฝ ๐4 = ๐5 = ๐6 = ๐7 = ๏ฟฝ
0.00.0๏ฟฝ
Sile po ramovima i zidovima pri delovanju seizmiฤke sile u popreฤnom pravcu
โซ Pomeranja tavanica
-
๐
โฃโขโขโขโขโก๐ข1๐ฃ1๐1๐ข2๐ฃ2๐2โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก
0๐100๐20 โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก
0.088.29
0.00.0
88.290.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
โ
โฃโขโขโขโขโก๐ข1๐ฃ1๐1๐ข2๐ฃ2๐2โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก
0.019.6837
0.00.0
39.93310.0โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
1๐ธ๐ผ
โซ Raspodela sila po ramovima i zidovima
๐ซ1 = ๐ซ2 = ๐ซ3 = ๏ฟฝ0.00.0๏ฟฝ
๐1 = ๐2 = ๐3 = ๏ฟฝ0.00.0๏ฟฝ
๐ซ4 = ๏ฟฝ19.6837
0.0๏ฟฝ1๐ธ๐ผ
๐ซ5 = ๏ฟฝ19.6837
0.0๏ฟฝ1๐ธ๐ผ
๐ซ6 = ๏ฟฝ19.683739.9331๏ฟฝ
1๐ธ๐ผ
๐ซ7 = ๏ฟฝ19.683739.9331๏ฟฝ
1๐ธ๐ผ
๐4 = ๏ฟฝ7.3814
0.0๏ฟฝ ๐5 = ๏ฟฝ7.3814
0.0๏ฟฝ
๐6 = ๏ฟฝ36.764244.1447๏ฟฝ ๐7 = ๏ฟฝ
36.764244.1447๏ฟฝ
-
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I ZEMLJOTRESNO INลฝENJERSTVO BEOGRAD, 18.06.2016.
Zadatak 2 Za nosaฤ prikazan na slici odrediti sve kruลพne frekvencije i glavne oblike oscilovanja sistema.
Usled zadatog dinamiฤkog optereฤenja odrediti pomeranje mase m.
๐(๐ก) = ๐๐ sin๐๐ก ,๐ = 0. 7๐1 ,๐ธ๐ผ = ๐๐๐๐ ๐ก
Ceo nosaฤ:
Staticki odredjen
2 stepena slobode
4 inercijalne sile
Matrica fleksibilnosti sistema
๐ =1๐ธ๐ผ ๏ฟฝ
50.1316 44.7077 5.4239 50.131661.6376 โ16.9299 44.7077
22.3538 5.423950.1316
๏ฟฝ
Matrica masa sistema
๐ = ๏ฟฝ1
53
4
๏ฟฝ๐
๐1 = 0.04438๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
๐2 = 0.09197๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
-
๐(1) = ๏ฟฝ
11.1616
โ0.16161
๏ฟฝ ๐(2) = ๏ฟฝ
โ1.39371.0000
โ2.3937โ1.3937
๏ฟฝ
๐ = 0.7๐1 = 0.031066๏ฟฝ๐ธ๐ผ๐
๏ฟฝ
โ985.9761 44.7077 5.4239 50.1316โ145.5839 โ16.9299 44.7077
โ323.0154 5.4239โ208.8953
๏ฟฝ ๏ฟฝ
๐ผ1๐ผ2๐ผ3๐ผ4
๏ฟฝ = ๏ฟฝโ50.1316โ44.7077โ5.4239โ50.1316
๏ฟฝ ๐๐
โ
๐ผ1 = 0.0891 ๐๐ ๐ผ2 = 0.4438 ๐๐๐ผ3 = 0.0010 ๐๐๐ผ4 = 0.3564 ๐๐
๐ฃ๐ = ๐ฟ1๐ + ๏ฟฝ๐ฟ1๐๐ผ๐
2
๐=1
= 92.3087 ๐๐๐ธ๐ผ
-
Zadatak 3 Primenom modalne analize odrediti odgovor nepriguลกenog sistema. Sistem je bio u mirovanju pre poฤetka dejstva dinamiฤkog optereฤenja. Zanemariti uticaj aksijalne deformacije. Rigle rama su beskonaฤno fleksiono krute.
๐ธ๐ผ = 330000 kNm2
๐ฟ = 5m
๐ = 0.1
๐ป = 3 m
๐ = 20 kNs2/m
๐ = 0.7๐1
Reลกenje:
Matrica krutosti sistema
๐ = 105 ๏ฟฝ
8.8007 โ4.4 0 04.821 โ0.3667 โ0.0543
3.3 โ2.93332.9877
๏ฟฝ
Matrica masa sistema
๐ = ๏ฟฝ80
6040
60
๏ฟฝ
๐1 = 18.3499 ๐๐๐๐
๐2 = 55.1874 ๐๐๐๐
๐3 = 113.4 ๐๐๐๐
๐4 = 126.8325 ๐๐๐๐
๐๐ = ๏ฟฝ1101
๏ฟฝ
๐ = ๏ฟฝ
1 1 1 11.9405 1.4480 โ0.9231 โ0.3265
10.7608 โ0.1368 0.1716 โ10.416311.3693 โ0.2781 โ0.068 6.511
๏ฟฝ
๐โ = ๐๐๐๐ = 104 ๏ฟฝ
1.2693 0 0 00 10.0211 0 00 0 0.0133 00 0 0 0.697
๏ฟฝ
Kad postoji prinudna sila, diferencijalne jednaฤine postaju nehomogene, a slobodni ฤlan je odreฤen preko izraza:
-
๐โ = ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ14.30982.16990.00897.1845
๏ฟฝ
Diferencijalne jednaฤine oblika: ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐๐2๐๐ =๐๐๐๐๐
๐ = 1,2,3
imaju reลกenje:
๐๐ =1
๐๐2 โ ๐2๐๐๐๐๐
sin๐๐ก
๐ = 0.7๐1 = 12.8449 ๐๐๐๐
๐1 =1
14.52172 โ 10.165224.59891.8131
sin๐๐ก = 0.02358 sin๐๐ก
๐2 =1
31.04772 โ 10.165221.10782.4740
sin๐๐ก = 0.00052 sin๐๐ก
๐3 =1
46.09952 โ 10.165222.3558
22.5957sin๐๐ก = 0.00001 sin๐๐ก
๐ = 10โ5 ๏ฟฝ0.65650.35670.00050.0065
๏ฟฝ sin๐๐ก
Odgovor sistema u osnovnim koordinatama je: ๐ฒ = ๐ ๐ = 10โ4 ๏ฟฝ0.10200.17880.69480.7407
๏ฟฝ sin(12.8449 ๐ก)
DKIZI Vezbe - 27.11.DKIZI FEB 16-resenjaDKIZI FEB 17-resenjaDKIZI JUN 16-Resenja