U2-S2-ÁREAS
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Facultad de Ingeniería y Arquitectura Semestre 2012-I
CURSO: CÁLCULO II
Tema :
Para este punto sería apropiado que recordemos el siguiente resultado:
TEOREMA: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN Si f es continua en el intervalo cerrado ba , , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x=a y x =b viene dado por:
b
a
Área f(x) dx
Nota:1. Cuando el área está bajo el eje x, la integral definida tiene signo negativo.
I. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE UNA CURVA:Veremos dos casos. El primero de ellos cuando la función depende de x y cuando lafunción depende de y .
CASO I:Si f(x)es una función continua en el intervalo
a;b
entonces el área limitada por la gráfica
de f(x), el eje x
y las rectas verticales x a
e
y bviene dada por:b
a
Área f(x) dx
Cálculo de Áreas de Regiones Planas
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CASO II:
Si f(y)es una función continua en el intervalo c;d entonces el área limitada por la gráfica de f(y), el eje yy las rectas horizontales y c e y dviene dada por:
d
c
Área f(y) dy
Ejemplos:
1. Hallar el área de la región limitada por la curva 2f(x) x , el eje x y las restas x 1
y
x 3 .Solución:Como la función f(x)
depende de x , estamos en el
caso I. Entonces el valor del área bajo la curva sedetermina por:
b
a
Área f(x)dx
Donde:
a. 2f(x) x b. a 1 b 3 Entonces:
33 3 3 3
2
1 1
x 3 1Área x dx3 3 3
26 unidades cuadradas3
2. Hallar el área de la región limitada entre el eje x y por la curva 2f(x) 4x x .
Solución:
Hallemos los puntos de intersección de la función 2f(x) 4x x con el eje x . Para esto
hacemos f(x) 0, es decir:
24x x 0
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x 4 x 0 x 0 x 4
Como la función f(x) depende de x , estamos enel caso I. Entonces, el valor del área bajo la curvase determina por:
b
a
Área f(x)dx
Donde:
a. 2f(x) 4x x b. a 0 b 4 Entonces:
44 2 32
0 03 3
2 2
x xÁrea 4x x dx 42 3
4 02 4 2 03 3
32 unidades cuadradas3
3. Hallar el área de la región limitada por el eje de coordenadas y la curva 2
x y y 1 .Solución:
Hallemos los puntos de intersección de la
función 2x f(x) y y 1 con el eje y . Paraesto hacemos x 0 , es decir:
2y y 1 0 y 0 y 1
Como la función f(y) depende de y , estamos en
el caso II. Además, según la gráfica observamosque la función f(y) que depende y es negativa,es decir f(y) 0, entonces el valor del área bajo lacurva se determina por:
d
c
Área f(y)dy
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Donde:
a. 2f(y) y y 1
b. c 0 d 1 Entonces:
11 1 4 3
2 3 2
0 0 0
4 3 4 3
y yÁrea y y 1 dy y y dy4 3
1 1 0 0 1 14 3 4 3 4 3
1 1 unidades cuadradas12 12
4. Hallar el área de la región limitada por la curva 2x 4 y y el eje y .Solución:
Hallemos los puntos de intersección de la función
2f(y) 4 y con el eje y . Para esto hacemos f(y) 0,
es decir:
24 y 0
2 y 2 y 0 y 2 y 2
Como la función f(y) depende de y , estamos en elcaso II. Entonces, el valor del área bajo la curva se determina por:
d
c
Área f(y)dy
Donde:
a. 2f(x) 4 y b. c 2 d 2 Entonces:
22 2 3 3 32 2
2 0 0
y 2 0Área 4 y dy 2 4 y dy 2 4y 2 4 2 4 03 3 3
32 unidades cuadradas3
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a. La función 3 2y x x 2x es positiva en el intervalo 1;0 . Entonces el área de la
región sombreada (a la que llamaremos 1A ) en 1;0 se determina de lasiguiente manera:
0
3 21
1
A x x 2x dx
b. La función 3 2y x x 2x es negativa en el intervalo 0;2 . Entonces el área de laregión sombreada (a la que llamaremos 2A ) en 0;2 se determina de la siguientemanera:
2
3 22
0
A x x 2x dx
Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo 1;2 se determina de lasiguiente manera:
0 2
3 2 3 21 2
1 00 24 3 2 4 3 2
1 0
Área A A x x 2x dx x x 2x dx
x x x x x x2 24 3 2 4 3 2
5 8 5 812 3 12 337 unidades cuadradas12
6. Hallar el área de la región limitada por la curva 3y x x y las rectas x 5 x 5.Solución:
En la gráfica de 3y x x observamos que:
a.
La función 3
y x x es negativa en el intervalo 5;0 . Entonces su área será:
0
31
5
A x x dx
b. La función 3y x x es positiva en el intervalo 0;5 . Entonces su área será:
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5
32
0
A x x dx
Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo será:
0 5
3 31 2
5 00 54 2 4 2
5 0
Área A A x x dx x x dx
x x x x4 2 4 2
675 unidades cuadradas2
II. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE DOS O MAS CURVAS:
Consideremos el siguiente resultado:
TEOREMA:AREA ENTRE DOS CURVA
Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo a;b tal que se cumpla
f(x) g(x) x a;b. Entonces, el área de la región limitada por las gráficas de f y g ylas rectas x a x b está dada por:
b
a
Área f(x) g(x) dx
Veremos dos casos. El primero de ellos cuando las funciones dependen de x y cuando lasfunciones dependen de y .CASO I:Sean y f(x) e y g(x) dos funciones continuas en
el intervalo a;b tal que se cumpla
f(x) g(x) x a;b. Entonces, el área de laregión limitada por las gráficas de f y g y las rectas
x a x b está dada por:
b
a
Área f(x) g(x) dx
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CASO II:Sean x f(y) y x g(y) dos funciones continuas en el
intervalo c;d tal que se cumpla f(y) g(y) y c;d. Entonces, el área de la región
limitada por las gráficas de f y g y las rectas y c y d está dada por:
d
c
Área f(y) g(y) dy
Ejemplos:
7. Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de 2
f(x) 2 x y g(x) x.Solución:Los límites de integración serán los puntosdonde se intersectan las gráficas de lasfunciones. Entonces, hallemos los puntosdonde las funciones se intersecten. Para esodebemos igualar las dos funciones:
22 x x 2 x x 2 0
x 2 x 1 0 x 2 x 1
Como las funciones dependen de x, estamos en el caso I. Entonces, el valor del áreaencerrada por las funciones f(x) y g(x) se determina por:
11 1 3 2
2
2 2 2
x xÁrea f(x) g(x) dx 2 x x dx 2x3 2
1 1 8 42 4
3 2 3 29 unidades cuadradas2
8. Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones
3 2f(x) 3x x 10x y 2g(x) x 2x.
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Solución:Los límites de integración serán lospuntos donde se intersectan lasgráficas de las funciones. Entonces,hallemos los puntos donde lasfunciones se intersecten. Para esodebemos igualar las dos funciones:
3 2 23x x 10x x 2x 3 3x 12x 0
3x x 2 x 2 0
x 0 x 2 x 2
Para determinar el área de la región sombreada se debe tener presente que:a. Para el intervalo 0; 2 , el área se determina de la siguiente manera:
0
12
A f(x) g(x) dx
b. Para el intervalo 2;2 , el área se determina de la siguiente manera:
2
20
A g(x) f(x) dx
Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo 2;2 se determina de lasiguiente manera:
0 2
1 22 0
0 23 2 2 2 3 2
2 00 2
3 3
2 00 24 2 4 2
2 2
Área A A f(x) g(x) dx g(x) f(x) dx
3x x 10x x 2x dx x 2x 3x x 10x dx
3x 12x dx 3x 12x dx
3x 12x 3x 12x4 2 4 2
12 24 12 24
24 unidades c uadradas
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EJERCICIOS PROPUESTOS
En los siguientes ejercicios, esboce la gráfica y calcule el área de la región bajo la curva.
y 2x 3; x 1;2 1. y 2x 4; x 2;4 2.
2y 3x 2; x 0;3
3.
2y x 1; x 0;2 4. 2y x x; x 0;1 5.
2y ; x 1;e 1x 1
6.
xy ; x 0;1x 1
7.
y sin x; x 0; 2 π 8.
En los siguientes ejercicios, esboce la región acotada por las gráficas de las funciones ycalcule su área.
2y x 2x 1, y 3x 3 1.
2y 4x e y 2x 4 2. y x, y 2 x, y 0 3.
y 3x 1, g(x) x 1 4.
3 2y x 3x 10x , y 6x .5.
3 2 2y 3x x 10x, y x 2x 6.
2x 3 y , x y 1 7.
2x y , x 2 y 8.
π 5πy sen(x), y cos(x), x4 4
9.
2x , x 2
f (x) x 0, x 3x 6, x 2
10.
Resolver los siguientes problemasLa región acotada por abajo por la parábola 2y x y por arriba por la recta y 4 , se1.
tiene que dividir en dos subregiones de la misma área, cortándolas con una recta
horizontal y c . Encontrar el valor de c , además graficar las regiones respectivas.
Hallar el área de la región encerrada por la parábola 2y 2 x , x 0 y una de sus2.
rectas tangentes que pasa por el punto 1, 5 .
Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas comprarán (demandarán) q 3.
(miles) de neumáticos radiales cuando el precio sea 2 p D(q) 0.1q 90 dólares
por neumático, y el mismo número de neumáticos se ofertarán cuando el precio sea
2 p S(q) 0.2q q 50 dólares por neumático.
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a) Determine el precio de equilibrio (cuando la oferta es igual a la demanda), así
como la cantidad ofertada y demandada a ese precio.
b) Determine el excedente de los consumidores y el de los productores al preciode equilibrio.