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TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS

- 26 -

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.

2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n.

Es frecuente, en numerosos problemas de mecánica o teoría de circuitos eléctricos, que las

ecuaciones que rigen los procesos sean de orden mayor que uno. Por lo tanto, será necesario

trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación que liga la variable independiente

x, una función incógnita y = y(x) y sus derivadas sucesivas y’, y’’, …,y(n), es decir, es una expresión de la forma:

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa on

n

nn

n

n

11

1

1 ....

2.2 Problema del valor inicial.

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial general de orden n, es resolver:

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa on

n

nn

n

n

11

1

1 ....

sujeta a: )1(00

)1(0000 ,...,')(', nn yxyyxyyxy ,

donde )1(000 ,...,', nyyy son constantes arbitrarias.

Los valores especificados )1(00

)1(0000 ,...,')(', nn yxyyxyyxy se llaman condiciones

iniciales. Se busca una solución en algún intervalo I que contenga a x0.

2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única.

Sean )( )(),( ),...,(),( 011 xgyxaxaxaxa nn continuas en un intervalo I, y sea 0)( xan para todo x

en dicho intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una solución y(x)

del problema de valor inicial en el intervalo y es única.

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma

0.... 11

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa on

n

nn

n

n

se dice que es homogénea, mientras que


- 27 -

0.... 11

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa on

n

nn

n

n

en donde g(x) no es idénticamente igual a cero, recibe el nombre de no homogénea.

2.4.1 Principio de superposición.

La suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea

también es una solución.

Teorema: Sean kyyy ,...,, 21 soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden n, en un

intervalo I. Entonces la combinación lineal:

),(...)()( 2211 xycxycxycy kk

en donde las k1,2,...,i , ic son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

Ejemplo:

a) Las funciones 2

1 xy y xlnxy 2

2 son soluciones de la ecuación homogénea de tercer

orden en el intervalo (0,∞). Por el principio de superposición la combinación lineal

xlnxcxcy 2

2

2

1 es también una solución de la ecuación en el intervalo.

b) Las funciones xey 1 , xey 2

2 y xey 3

3 satisfacen la ecuación homogénea

061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd en (-∞, ∞). De acuerdo con el principio de superposición otra

solución es 3xe3

2

21 cececy xx .

2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.

Interesa determinar cuándo n soluciones ny,...,y,y 21 , de la ecuación diferencial homogénea son

linealmente independientes. Esto se puede establecer mediante un determinante denominado

wronskiano. Una condición necesaria y suficiente para la independencia lineal es que el

wronskiano de un conjunto de n soluciones no se anule en un intervalo I.

Supongamos que cada una de las funciones )x(f),...,x(f),x(f n21 posee al menos n-1 derivadas,

el determinante:


- 28 -

)x(f...)x(f)x(f

)x(f...)x(f)x(f

)x(f...)x(f)x(f

))x(f),...,x(f),x(f(W

)n(

n

)n()n(

n'''

n

n

11

2

1

1

21

21

21

en donde las primas representan las derivadas, se llama wronskiano de las funciones.

Sean ny,...,y,y 21 soluciones de la ecuación diferencial lineal, homogénea y de orden n, en un

intervalo de I. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si

021 )y,...,y,y(W n para toda x en el intervalo.

Ejemplo:

a) La ecuación de segundo orden 09 y"y cuenta con dos soluciones, xey 3

1 y xey 3

2

.

Puesto que:

063333

3333

33

3333

xxxx

xx

xx

xx eeeeee

ee)e,e(W , para todo valor de x, entonces

1y y 2y forman un conjunto fundamental de soluciones en (-∞, ∞). La solución general de la

ecuación diferencial en el intervalo es xx ececy 3

2

3

1

.

b) Las funciones xey 1 , xey 2

2 y xey 3

3 satisfacen la ecuación de tercer orden

061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd. Puesto que:

02

94

32 6

32

32

32

32 x

xxx

xxx

xxx

xxx e

eee

eee

eee

)e,e,e(W , para todo valor de x, entonces 1y , 2y y 3y

forman un conjunto fundamental de soluciones en (-∞, ∞). Se concluye quexxx ecececy 3

3

2

21 es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo.

Ejercicio.

1. Determine si las funciones dadas son linealmente independientes o dependientes en (-∞, ∞).

a) 2

3

2

21 34 xxxf,xxf,xxf c) xsenxf,xcosxf,xf 2

3

2

21 5

b) xexf,xxf,xf 321 0 d) 3

21 1 xxf,xxf


- 29 -

2. Verificar que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la

ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general.

a) ) ,(- e e 012 4x-3x ,,;y'y"y b) ) ,(- 2x e 2x e 052 xx ,sen,cos;y'y"y

c) ) ,(- xee 044 2x

2x

,,;y'y"y d) ) ,0( x x x,0446 2-223 ,lnx,;y'xy''yx'''yx

e) ) ,0( x0126 432 ,x,;y'xy"yx f) ) ,(- xsen x,cos x,1, 04 ,;''yy )(

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

2.6.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

Una ecuación diferencial de la forma 011

1

1

yadx

dya....

dx

yda

dx

yda on

n

nn

n

n en donde las

n,...,,i,ai 10 son constantes, es una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n con

coeficientes constantes.

2.6.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos.

2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).

Una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos

0 cy'by´´ay , se resolverá considerando una solución de la forma mxey , entonces mxme'y y mxem''y 2 . De tal forma que la ecuación se convierte en

02 mxmxmx cebmeeam ó bien 02 cebmeamemx

La ecuación cuadrática 02 cebmeam se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial. Se considerarán tres casos, según las raíces obtenidas de la ecuación

auxiliar.

Caso I. Raíces reales diferentes (m1≠m2).

Si tiene dos raíces reales diferentes m1 y m2, se encuentran dos soluciones xmey 1

1 y xmey 2

2 ,

se deduce entonces que la solución general será xmxm ececy 21

21

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial.

0352 y'y''y

1. Sustituir mxey , mxme'y y mxem''y 2 .


- 30 -

0352 2 mxmxmx emeem

2. Factorizar mxe .

0352 2 mmemx

3. Identificar ecuación característica y encontrar las raíces.

0352 2 mm Ecuación característica.

2

1m

2

1

4

2

4

75

3m 34

12

4

75

4

75

4

495

4

24255

22

32455

2

4

22

11

2

2

m

m

m

m

m

)(

))(()()(m

a

acbbm

m1≠m2 , por lo tanto son raíces reales diferentes.

4. Expresar solución general de acuerdo con el tipo de raíces.

Raíces reales diferentes: xmxm ececy 21

21

Solución general:

xx ececy 2

1

2

3

1

Caso II. Raíces reales repetidas(m1=m2).

Si tiene dos raíces reales repetidas m1 y m2, se encuentran dos soluciones xmey 1

1 y xmxey 2

2

y la solución general será xmxm xececy 21

21 .


- 31 -


02510 y'y''y


025102 mxmxmx emeem

2. Factorizar mxe .

025102 mmemx


025102 mm Ecuación característica.

Factorizando:

055 )m)(m(

5m 05

5m 05

2

1

)m(

)m(

m1= m2 , por lo tanto son raíces reales repetidas.


Raíces reales repetidas: xmxm xececy 21

21

Solución general: xx xececy 5

2

5

1

Caso III. Raíces complejas conjugadas (m1=+βi y m2=-βi).

Si m1 y m2 son raíces complejas, se encuentran dos soluciones xmey 1

1 y xmey 2

2 , se deduce

entonces que la solución general será: xsencxcoscexsenecxcosecy xxx 2121 .


0 y'y''y



- 32 -

02 mxmxmx emeem

2. Factorizar mxe .

012 mmemx


012 mm Ecuación característica.

2

3

2

1

2

3

2

1

2

31

2

31

2

411

12

11411

2

4

2

1

2

2

im

im

im

m

m

)(

))(()()(m

a

acbbm

m1 y m2 son raíces complejas conjugadas.


Raíces reales conjugadas: xsencxcoscexsenecxcosecy xxx 2121

Solución general:

xsencxcoscexsenecxcosecyxx

x

2

3

2

3

2

3

2

321

2

1

2

1

21

2

1


- 33 -

Ejercicio:

1. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.

a) 04 'y''y f) 036 y''y

b) 06 y'y''y g) 023 y'y''y

c) 01682

2

ydx

dy

dx

yd h) 0105

2

2

ydx

dy

dx

yd

d) 02512 y'y''y i) 028 y'y''y

e) 036 y''y j) 0432 y'y''y

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Para resolver una ecuación diferencial de orden n:

011

1

1

yadx

dya....

dx

yda

dx

yda on

n

nn

n

n ,

donde las a1=0,1,…,n, son constantes reales, se debe resolver la ecuación algebraica de grado n

01

1

1

yama....mama o

n

n

n

n .

Ejemplo:

Resolver 043 y''y'''y

1. Sustituir mxey y sus derivadas.

043 23 mxmxmx eemem

2. Factorizar mxe .

043 23 )mm(emx


La ecuación auxiliar es 043 23 mm .

La técnica algebraica de la división sintética es útil para encontrar las raíces racionales.


- 34 -

Los divisores del valor constante serán p y los divisores del coeficiente de la variable con mayor

grado serán q.

421 ,,:p

1:q

Las posibles raíces están dada por q

p.

En consecuencia las posibles raíces racionales de la ecuación auxiliar son:

4- 4, 22 111

421,,,,

,,:

q

p

Probando cada uno de estos valores por división sintética, se encuentra que:

0 4 4 1

4 4 1

1 4- 0 3 1 L

En consecuencia m1=1 es una raíz, ya que el residuo de la división sintética es cero.

Ahora con los nuevos coeficientes del cociente 1, 4y 4 se pueden expresar como:

0442 mm

Resolviendo con la fórmula cuadrática se obtiene:

2

04

2

04

2

16164

12

41444

2

4

2

2

m

m

m

)(

))(()()(m

a

acbbm

2

2

3

2

m

m


- 35 -

Así, la solución general es:

xxx xecececy 2

3

2

21

Ejercicio:

1. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.

a) 044 'y''y'''y

b) 0935 y'y''y'''y

c) 02

2

3

3

4

4

dx

yd

dx

yd

dx

yd

d) 0510252

2

3

3

4

4

5

5

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

yd

e) 0812722

2

3

3

4

4

5

5

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

yd

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Una ecuación diferencial de la forma

)x(gy)x(adx

dy)x(a....

dx

yd)x(a

dx

yd)x(a on

n

nn

n

n

11

1

1 en donde g(x) no es nula, es una

ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n.

2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

La solución general de la ecuación diferencial homogénea es pc yyy , donde yc es la solución complementaria y yp la solución particular.

2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (coeficientes

indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador).

Coeficientes indeterminados-enfoque superposición.

Para obtener la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea deben llevarse

a cabo dos cosas:

i) Hallar la función complementaria yc. ii) Encontrar cualquier solución particular yp de la ecuación no homogénea.


- 36 -

Caso I. Ninguna función que se suponga como solución particular es una solución de la

ecuación diferencial homogénea asociada.

Resolver 63x2x2y4y''y' 2

1. Resolver la ecuación homogénea asociada 02y4y''y' .

Se encuentra que la ecuación auxiliar es 024mm2 . Resolviendo por la fórmula general se

obtiene que 621 m y 622 m . Con estas raíces se expresa la función

complementaria: xx

c ececy 62

2

62

1

2. Como la función g(x) es un polinomio cuadrático, se supone una solución particular que

tiene también la forma de un polinomio cuadrático:

CBxAxy p 2 .

Se sustituyen yp y sus derivadas en la ecuación diferencial dada:

A''y

BAx'y

CBxAxy

p

p

p

2

2

2

63x2x2(-B)4(2Ax2A

63x2x2y4y''y'

2

2

2

)CBxAx

Resolviendo y agrupando:

63x2x242282-

63x2x222-B48Ax2A

2

2

2

2

CBAxx)BA(Ax

CBxAx

Se igualan los coeficientes de potencias semejantes de x:

6242

328

22

CBA

BA

A

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentran los siguientes valores:

A=-1, B=-5/2 y C=-9. Por lo tanto la solución particular es:


- 37 -

92

52 xxy p

3. Se expresa la solución general pc yyy .

92

5262

2

62

1 xxececy xx

En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos de g(x) junto con la forma correspondiente de la solución particular.

g(x) Forma de yp

1. Cualquier constante. A

2. 5x + 7 Ax+B

3. 3x2-2 Ax2+Bx+C

4. x3-x+1 Ax3+Bx2+Cx+D 5. sen 4x A cos 4x + B sen 4x

6. cos 4x A cos 4x + B sen 4 x 7. e5x Ae5x

8. (9x-2)e5x (Ax+B)e5x

9. x2e5x (Ax2+Bx+C)e5x

10. e3x sen 4x Ae3x cos 4x + Be3x sen 4x

11. 5x2 sen 4x (Ax2+Bx+C)cos 4x + (Dx2+Ex+F)sen 4x 12. xe3xcos 4x (Ax+B)e3xcos 4x+ (Cx+D)e3x sen 4x

Ejemplo:

Determinar la forma de una solución particular de:

a) xexe 75x25y8y''y' 3

Solución. Se puede escribir x3 7)e(5xg(x) . Usando como modelo el dato 9 de la tabla, se

supone una solución particular de la forma (Ax3+Bx2+Cx+D)e-x.

b) x4 cosxy''y

Solución. xcos g(x) x . Usando como modelo el dato 11 de la tabla, se supone una solución

particular de la forma (Ax+B)cos x + (Cx+E)sen x.

c) xxexy'y''y 265432


- 38 -

Solución. En este caso se identifican dos tipos de funciones, 5-4x(x)g1 , que es polinomial y 2x

2 6xe(x)g que es exponencial. Por lo tanto la solución particular estará dada por

21py pp yy .

BAxy p 1

y xx

p DeCxey 22

2

Entonces xx DeCxeBAx 22

py

Caso II. Una función en la solución particular propuesta es también una solución de

la ecuación diferencial homogénea.

Resolver x8e4y'-5y'y'

1. Resolver la ecuación homogénea asociada 04y'-5y'y' .

Se encuentra que la ecuación auxiliar es 045m-m2 . Resolviendo por la fórmula general se

obtiene que 41 m y 12 m . Con estas raíces se expresa la función complementaria: xx

c ececy 2

4

1

2. Como la función g(x) tiene la forma Aex, se supone otra solución particular: x

p Axey .

Se sustituyen yp y sus derivadas en la ecuación diferencial dada:

xx

p

xx

p

x

p

AeAxe''y

AeAxe'y

Axey

2

xexAxe)xAexAxe(xAexAxe 8452

x8e4y'-5y'y'

Resolviendo y agrupando:

xexAe

xexAxexAexAxexAexAxe

83

84552

x8e4y'-5y'y'


- 39 -

Se igualan los coeficientes con funciones semejantes de x:

83 A

Resolviendo la ecuación se encuentran que A=-8/3. Por lo tanto la solución particular es:

x

p xey3

8

3. Se expresa la solución general pc yyy .

xxx xeececy3

82

4

1

Ejercicios.

1. Resuelva la ecuación diferencial dada por coeficientes indeterminados con enfoque de superposición.

a) 623 y'y''y f) xcosy'y''y 2344

b) 3302510 xy'y''y g) xex'y''y 2522

c) xxexy'y''y 26100208 2 h) xsen)x(y''y 234 2

d) xseny''y 234 i) 642255 23 xxxy'y''y

e) 1594 y''y j) xcos'y'''y 36

Coeficientes indeterminados- método del operador anulador.

Operadores diferenciales.

El símbolo Dn se usa en cálculo para designar la derivada enésima de una función:

n

nn

dx

ydyD .

Por lo tanto una ecuación diferencial con coeficientes constantes puede escribirse como:

)x(gyaDya...yDayDa n

n

n

n

01

1

1 o bien )x(gyaDa...DaDa n

n

n

n

01

1

1 . La

expresión 01

1

1 aDa...DaDa n

n

n

n

se llama operador diferencial lineal de orden n.

Los operadores diferenciales pueden ser factorizados en operadores diferenciales de orden menor y conmutarse.

Ejemplo: Expresar la ecuación diferencial 1565 y'y''y con operadores diferenciales.

15652 yDyyD


- 40 -

1523

15652

y)D)(D(

yDD

Operador anulador.

Si es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y es una función

suficientemente diferenciable tal como:

, entonces se dice que es un operador anulador de la función.

a) El operador diferencial anula a cada una de las funciones .

Ejemplo: Encuentre un operador diferencial que anule a .

Solución:

1. Identificar n-1, es el mayor exponente de las funciones .

2. Sustituir el valor de n en el operador anulador.

b) El operador diferencial (D-)n anula a cada una de las funciones ex, xe

x, x2ex,…, xn-1e

x. Ejemplo: Encuentre un operador diferencial que anule las siguientes funciones: e5x , 4e2x-6xe2x y

e-3x+xex.

Solución:

1. Identificar , que es el coeficiente de x en la función exponencial y n-1 que es el mayor exponente de las funciones x, x2,…,xn-1.

Para e5x =5 y n-1=0 → n=1

Para 4e2x-6xe2x =2 y n-1=1 → n=2 Para e-3x+xex, se determina un operador diferencial para cada término ya que son diferentes las funciones exponenciales.

1er término: =-3 y n-1=0 → n=1

2º término: =1 y n-1=1→ n=2

2. Sustituir el valor de y n en el operador anulador.

Para e5x (D-)n = (D-5) → (D-5) e5x = 0


- 41 -

Para 4e2x-6xe2x (D-)n = (D-2)2 →(D-2)2 (4e2x-6xe2x) =0

Para e-3x+xex se tiene que (D+3) (D-1)2 (e-3x+xex) =0

c) El operador diferencial [D2-2D+(2+β2)]n anula cada una de las funciones:

ex cos βx, xe

x cos βx, x2 ex cos βx,…,xn-1 e

x cos βx,

ex sen βx, xe

x sen βx, x2 ex sen βx,…,xn-1 e

x sen βx.

Ejemplo: Encuentre un operador diferencial que anule las siguientes funciones

e-xcos 2x-3e-xsen 2x, x cos x – sen x y e2xsen 3x-6xex cos 2x.

Solución:

1. Identificar , que es el coeficiente de x en la función exponencial, β que es el coeficiente de x

en la función trigonométrica y n-1 que es el mayor exponente de las funciones x, x2,…,xn-1.

Para e-xcos 2x-3e-xsen 2x se determina sólo un operador diferencial, ya que ambas funciones trigonométricas, tienen el mismo ángulo y la misma función exponencial.

=-1, β=2 y n-1=0 → n=1

2. Sustituir los valores de , β y n en el operador anulador.

[D2-2D+(2+β2)]n → [D2-2(-1)D+(-12+22)] →(D2+2D+5)

Por lo tanto (D2+2D+5)(e-xcos 2x-3e-xsen 2x )=0

Ejercicios:

1. Encuentre un operador diferencial que anule la función dada:

a) 3261 xx f) )x(x 513

b) xe271 g)

xxex 63

c) xcos 2 h) 1+senx

d) xsenxx 4913 2 i) 8x-senx+ 10 cos 5x

e) xxx exxee 22

j) xcosesenxe xx 32

2. Verificar que el operador diferencial dado aniquila la función indicada.

a) x;D 210x 34 c) 8x sen 5 -8x cos 2 ;642 )D(

b) xe);D)(D( 52x4e 52 d) 8x sen 5 -8x cos 2 ;642 )D(


- 42 -

Método de solución por coeficientes indeterminados-enfoque operador anulador.

Ejemplo:

Resolver 2

2

2

423 xydx

dy

dx

yd

1. Expresar la ecuación diferencial con operadores diferenciales.

22

22

2

2

2

423

423

423

xy)DD(

xyDyyD

xydx

dy

dx

yd

2. Se encuentra el operador diferencial que anule a la función g(x).

g(x)=4x2

n-1=2 → n=3

Dn=D3 →D3(4x2)=0

3. Multiplicar la ecuación diferencial por el operador anulador.

023

423

23

2323

y)DD(D

)x(Dy)DD(D

La ecuación auxiliar será:

023

423

23

2323

)mm(m

)x(Dy)DD(D

Con las raíces de 023mm2 (ecuación homogénea asociada) se expresa la función complementaria:

Resolviendo por la fórmula general se obtiene que 11 m y 22 m .

Por lo tanto xx

c ececy 2

21

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