U12 474-475
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Sumatoria y progresiones474
3. Σi = 1
n
k μi = k μiΣi = 1
n
k = constante
4. Σi = 1
n
(μi – μi – 1) = μn – μo (propiedad telescópica)
Ejercicios resueltos
5. Algunas sumas importantes y de uso frecuente:
a) Σi = 1
n
i = 1 + 2 + 3 + ... + n =
b) Σi = 1
n
i2 = 1 + 4 + 9 + ... + n2 =
c) Σi = 1
n
i3 = 1 + 8 + 27 + ... + n3 = n n + 1
2
2
Observación:
Sean m y n números naturales tales que m £ n, entonces:
μiΣ
i = m
n
= μiΣi = 1
n
– μiΣi = 1
m – 1
1. Desarrollar las sumatorias:
a) Σi = 1
n
(– 1)i – 1 (i2 + 1) b) k – 1
k + 1Σ
k = 1
∞
Solución:
a) 2 – 5 + 10 – 17 + 26 – ... + (– 1)n – 1 (n2 + 1)
b) 0 +1
3+
2
4+
3
5+
4
6+...
2. Calcular el valor de Σi = 1
12
(i – 1) (i + 1)
Solución:
(i – 1) (i + 1) = i2 – 1
Σi = 1
12
(i – 1) (i + 1) = Σi = 1
12
(i2 – 1) = Σi = 1
12
i2 – Σi = 1
12
1
= 12 12 + 1 2 • 12 + 1
6– 1 • 12
= 12 • 13 • 25
6 – 12 = 638
Se aplicó la fórmula
i2Σi = 1
n
=n n + 1 2n + 1
6
n(n +1)2
n n + 1 2n + 1
6
474-475 10/11/2001, 18:33474
Sumatoria y progresiones 475
CAPÍTULO 12
3. Calcular la suma de los n primeros términos de:
1 • 6 + 2 • 7 + 3 • 8 + 4 • 9 +...
Solución: Observando los términos de la suma nos damos cuenta que
el término general es ai = i (i + 5); por lo tanto, la suma se expresa como:
i i + 5Σi = 1
n
= i2 + 5 iΣi = 1
n
= i2 + 5Σi = 1
n
iΣi = 1
n
= n n + 1 2n + 1
6+ 5
n n + 1
2
= n3 + 9 n2 + 8 n
3
4. Calcular el valor de: k + 1 2 k – 3Σk = 5
12
Solución:
Sabemos que: μk = μkΣk = 1
n
– μkΣk = 1
m – 1
Σk = m
n
y (k + 1) (2 k – 3) = 2 k2 – k – 3, luego
k + 1 2 k – 3 = 2 k2 – k – 3 – 2 k2 – k – 3Σk = 1
4
Σk = 1
12
Σk = 5
12
= 2 k2 – k – 3Σk = 1
12
– 2 k2Σk = 1
4
+ kΣk= 1
4
+ 3Σk = 1
4
Σk = 1
12
Σk = 1
12
= 2 •12 • 13 • 25
6–
12 • 13
2– 3 • 12 – 2 •
4 • 5 • 9
6+
4 • 5
2+ 3 • 4 =
= 1.300 – 78 – 36 – 60 + 10 + 12 = 1.148
\ k + 1 2 k – 3 = 1.148Σk = 5
12
5. Si μi =n2 + 3 n
2Σi = 1
n, hallar μi
Solución:
μn = μiΣi = 1
n
– μiΣi = 1
n – 1
= n2 + 3 n
2–
n – 1 2 + 3 n – 1
2
= n2 + 3 n – n2 + 2 n – 1 – 3 n + 3
2=
2 n + 2
2= n + 1
Como μn = n + 1, entonces μi = i + 1
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