Te hnis he Universit�at Chemnitz

Sonderfors hungsberei h 393

Numeris he Simulation auf massiv parallelen Re hnern

U.-J. G�orke A. Bu her R. Krei�ig D. Mi hael

Ein Beitrag zur L�osung von

Anfangs-Randwert-Problemen

eins hlie�li h der

Materialmodellierung bei �niten

elastis h-plastis hen Verzerrungen

mit Hilfe der FEM

Preprint SFB393/00-09

Abstra t

The non-linear boundary and initial value problem of �nite elasto-plasti defor-

mations is solved using a Total Lagrangean Finite Element des ription. Based on the

lo al rate formulation of the balan e law of linear momentum, the rate formulation

of the prin iple of virtual work is obtained. Introdu ing the shape fun tions of Finite

Elements and their derivatives with respe t to the oordinates, the basi relations

for an in remental Finite Element approa h solving the boundary value problem

are given. The sti�ness matrix for physi ally and geometri ally non-linear problems

ontains the onsistent material matrix and the geometri al sti�ness matrix.

Based on the multipli ative split of the deformation gradient into an elasti and

a plasti part as well as some physi ally and mathemati ally useful assumptions, a

thermodynami ally onsistent deformation law for �nite elasto-plasti deformations

is formulated. The deformation law represents a system of di�erential and algebrai

equations whi h is numeri ally solved using a generalized one-step time integration

method. Consequently, the initial value problem is solved with a lo al Newton pro-

edure. The presented integration method for the deformation law allows a simple

and eÆ ient omputation of the onsistent material matrix.

Some examples of FE- omputations using the experimental ode PMHP on a

parallel omputer are shown.

Key words: Finite Plasti ity; Constitutive Equations; Thermodynami s; Finite

Element Method; Prin iple of Virtual Work; Impli it Integration

MSC odes: 73B05; 75E05; 73G20; 73V05

Preprint-Reihe des Chemnitzer SFB 393

SFB393/00-09 M�arz 2000

Contents

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 3

3 Impulserhaltungssatz 4

4 Prinzip der virtuellen Arbeit 8

5 FEM-Stei�gkeitssystem auf der Grundlage einer

Variationsformulierung 13

5.1 FEM-Diskretisierung { Formfunktionen und deren Ableitungen . . . . . . . 13

5.2 FEM-Diskretisierung { Verzerrungs-Vers hiebungs-

Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 FEM-Diskretisierung { lokale und globale Stei�gkeitsbeziehungen . . . . . 22

6 Kinematik �niter elastis h-plastis her Verzerrungen 28

7 Haupts�atze der Thermodynamik 29

8 Annahmen zur Herleitung des Deformationsgesetzes 30

8.1 Additive Zerlegung der Energiefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.2 Wahl der Kon�guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.3 Bildung von Tensorinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.4 Kovarianzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.5 Konzept der dualen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9 Ein thermodynamis h konsistentes Deformationsgesetz 33

10 Numeris he Simulation 35

11 Beispiele 38

11.1 Gelo hte S heibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11.2 Freies Stau hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

12 Zusammenfassung und Ausbli k 41

Author's addresses:

Uwe-Jens G�orke

Anke Bu her

Reiner Krei�ig

TU Chemnitz

Institut f�ur Me hanik

D-09107 Chemnitz

e-mail: uj.goerke�mb1.tu- hemnitz.de

e-mail: anke.bu her�mb1.tu- hemnitz.de

e-mail: r.kreissig�mb1.tu- hemnitz.de

http://www.tu- hemnitz.de/sfb393/

Detlef Mi hael

TU Bergakademie Freiberg

Institut f�ur Me hanik und Mas hinenelemente

D-09596 Freiberg

e-mail: detlef.mi hael�mathematik.tu- hemnitz.de

1

2

1 Einleitung

Die vorliegende Arbeit beinhaltet zwei grundlegende Aspekte der L�osung von Anfangs-

Randwert-Problemen mit Hilfe der Finite Elemente Methode. Neben der Darstellung

der Linearisierung des Randwertproblems, aus der das globale FEM-Stei�gkeitssystem

abgeleitet wird, erfolgt die Herleitung eines thermodynamis h konsistenten Deforma-

tionsgesetzes der Elasto-Plastizit�at �niter Verzerrungen, das zur L�osung des eingebetteten

Anfangswertproblems numeris h integriert wird. Die vorgestellten Beziehungen und Ver-

fahren wurden im experimentellen FEM-Programm PMHP realisiert.

2 Grundlagen

Truesdell und Noll [11℄ folgend, stellt der K�orper B eine dreidimensionale, di�erenzierbare

Mannigfaltigkeit dar, dessen Elemente als PartikelX bezei hnet werden. Die der Mannig-

faltigkeit zugeh�origen lokalen Koordinatensysteme vermitteln umkehrbar eindeutige Ab-

bildungenX =X (X

1

; X

2

; X

3

) bzw. X

�

= X

�

(X ) mit � = 1; 2; 3 zwis hen den Partikeln

X und den Tripeln (X

1

; X

2

; X

3

) der rellen Zahlen, die materielle Koordinaten hei�en.

Unter einer beliebigen Kon�guration � des K�orpers B wird ein C

k

-Di�eomorphismus

(k � 1) von B auf ein Gebiet des dreidimensionalen Euklidis hen Raumes verstanden.

x(t) = �(X ; t) ; X (t) = �

�1

(x; t) : (1)

Der Punkt x kennzei hnet dann den vom Partikel X eingenommenen Platz. Sind allge-

meine Koordinaten im Raum gegeben, wobei x

�

mit � = 1; 2; 3 die Koordinaten von x

darstellen, gelten die zu (1) �aquivalenten Glei hungen.

x

�

= �

�

(X

�

; t) ; X

�

=

�

�

�1

�

�

(x

�

; t) (2)

Hier entspre hen die x

�

den r�aumli hen Koordinaten des PartikelsX in der Kon�guration

�.

Eine Kon�guration �

t

zu einem �xierten Zeitpunkt t sei Momentankon�guration mit

x

t

= �

t

(X ) genannt. F�ur die Ausgangskon�guration �

0

zum Zeitpunkt t = 0 gilt

X � �

0

(X ).

Betra htet man ein von di�erentiellen Linienelementen in Ri htung der Basisvektoren der

Koordinatensysteme aufgespanntes Volumenelement, ergeben si h in der Ausgangskon-

�guration

dV

o

=

q

detG

[

dX

1

dX

2

dX

3

(3)

und in der Momentankon�guration

dV =

q

det g

[

dx

1

dx

2

dx

3

(4)

3

mit den kovarianten Metriktensoren G

[

bzw. g

[

. Wird der

�

Ubergang von der Ausgangs-

zur Momentankon�guration mit der Abbildung (2) betra htet, gilt f�ur die Transformation

von Volumendi�erentialen die na hstehende Glei hung:

dx

1

dx

2

dx

3

= det

� �

i

t

� X

I

!

dX

1

dX

2

dX

3

= detF dX

1

dX

2

dX

3

(5)

mit dem Deformationsgradienten F . Aus (3)-(5) folgt eine Beziehung f�ur das Verh�altnis

von di�erentiellen Volumenelementen in der Momentan- und Ausgangskon�guration.

dV

dV

o

=

�

o

�

=

q

det g

[

p

detG

[

detF = J : (6)

In den weiteren Betra htungen wird die kovariante Ableitung a

k

j

i

eines kontravarianten

Vektors a

℄

= a

k

g

k

(Ableitung na h den Koordinaten der Momentankon�guration)

�

�

a

k

g

k

�

� x

i

= a

k

j

i

g

k

=

"

� a

k

� x

i

+ a

l

�

k

li

#

g

k

(7)

mit den Christo�el-Symbolen zweiter Art

�

k

li

= g

k

� g

l

� x

i

=

1

2

g

kj

"

� g

jl

� x

i

+

� g

ji

� x

l

�

� g

li

� x

j

#

: (8)

ben�otigt. Die De�nition kontravarianter Basisvektoren

g

l

g

k

= Æ

l

k

(9)

f�uhrt auf den Zusammenhang zwis hen den Christo�el-Symbolen zweiter Art und den

Ableitungen der kontravarianten Basisvektoren na h den Koordinaten

�

l

ki

= �g

k

� g

l

� x

i

: (10)

3 Impulserhaltungssatz

Werden mit v

℄

die Ges hwindigkeit eines materiellen Punktes, k

℄

die im materiellen Punkt

angreifende Volumenkraft, t

℄

die Ober �a henkraft, n

℄

die Einheitsnormale in Punkten

auf der K�orperober �a he und mit �

℄

der Cau hys he Spannungstensor bezei hnet, dann

ist der Satz von der Erhaltung des Impulses in der Momentankon�guration (r�aumli he

Formulierung) in seiner globalen Form dur h folgende Beziehung de�niert

1

:

d

d t

Z

V

% v

℄

dV =

Z

V

%k

℄

dV +

Z

ÆV

t

℄

(n)

d(ÆV ) =

=

Z

V

%k

℄

dV +

Z

ÆV

h�

℄

;n

℄

i d(ÆV ) : (11)

1

Es gilt h�

℄

;n

℄

i = �

ij

g

jk

n

k

.

4

Na h Anwendung des Satzes von Gau� und Ostrogradski auf das Integral der Ober �a hen-

kr�afte

Z

ÆV

h�

℄

;n

[

i d(ÆV ) =

Z

V

div�

℄

dV (12)

wird (11) in der na hstehenden Art und Weise modi�ziert:

d

d t

Z

V

% v

℄

dV =

Z

V

%k

℄

dV +

Z

V

div�

℄

dV : (13)

Unter Ber�u ksi htigung des Satzes von der Erhaltung der Masse in seiner lokalen For-

mulierung

_% + % divv

℄

= 0 (14)

folgt aus Glei hung (13) na h einigen Umformungen:

Z

V

�

% _v

℄

� %k

℄

� div�

℄

�

dV = 0 : (15)

Da diese Beziehung f�ur jedes beliebige Volumen gilt, ergibt si h unmittelbar der Impulser-

haltungssatz in seiner r�aumli hen lokalen Formulierung zu

% _v

℄

� %k

℄

� div�

℄

= 0 (16)

bzw.

%a

℄

� %k

℄

� div�

℄

= 0 (17)

mit dem Vektor der Bes hleunigung a

℄

. In Koordinatens hreibweise folgt daraus das Dif-

ferentialglei hungssystem

�

ij

j

i

+ %

�

k

j

� a

j

�

= 0 : (18)

Mit den De�nitionen des 1. Piola-Kir hho�s hen Spannungstensors in seiner Koordinaten-

darstellung

P

Ij

= J

�

F

�1

�

I

i

�

ij

(19)

und des 2. Piola-Kir hho�s hen Spannungstensors

T

IJ

= P

Ij

�

F

�1

�

J

j

) P

Ij

= T

IJ

F

j

J

(20)

unter Ber�u ksi htigung von Herleitungen in [9℄ werden die Zusammenh�ange

P

Ij

j

I

=

�

J

�

F

�1

�

I

i

�

ij

�

j

I

= J

�

F

�1

�

I

i

�

ij

j

I

= J

�

F

�1

�

I

i

�

ij

j

k

F

k

I

= J �

ij

j

i

(21)

erhalten. Damit kann die Beziehung (18) unter Verwendung von Zweipunkt- bzw. r�aumli hen

Tensoren dargestellt werden:

P

Ij

j

I

+ %

o

�

k

j

� a

j

�

= 0 (22)

5

bzw.

�

T

IJ

F

j

J

�

j

I

+ %

o

�

k

j

� a

j

�

= 0 : (23)

In der symbolis hen S hreibweise ergeben si h die na hstehenden Glei hungen:

DIVP

℄

+ %

o

�

k

℄

� a

℄

�

= 0 (24)

bzw.

DIV

�

T

℄

F

T

�

+ %

o

�

k

℄

� a

℄

�

= 0 : (25)

Dabei ist zu bemerken, da� alle Vektoren in den Glei hungen (22) und (23) weiterhin auf

Basisvektoren der Momentankon�guration bezogen sind. Die Vektoren der Ober �a hen-

und Volumenkr�afte als au h der Ges hwindigkeit und Bes hleunigung sind als physika-

lis he Gr�o�en origin�ar in der Momentankon�guration de�niert. Ihre Pr�asentation in Vek-

torr�aumen der Ausgangskon�guration ist mittels eines Paralleltransports realisierbar, der

dur h Transformation mit dem Shifter ausgef�uhrt wird. Der Shifter ist ein Zweipunkt-

tensor { seine Koordinaten sind als Skalarprodukte von Basisvektoren der vers hiedenen

Koordinatensysteme de�niert:

G

i

I

= g

i

G

I

;

�

G

�1

�

I

i

= G

I

g

i

: (26)

Bei dieser Transformation bleiben Ri htung und Betrag der Vektoren erhalten.

F�ur die weiteren Darstellungen wird die kovariante Ableitung des Shifters ben�otigt.

Zun�a hst ergeben si h die partiellen Ableitungen seiner Koordinaten na h den Koordi-

naten der Ausgangskon�guration unter Ber�u ksi htigung von (8), (10) und (26) zu

� G

i

I

� X

L

=

� (g

i

G

I

)

� X

L

=

� g

i

� x

l

� x

l

� X

L

G

I

+ g

i

�G

I

� X

L

=

= �g

m

�

i

ml

F

l

L

G

I

+ g

i

G

M

�

M

IL

= �G

m

I

�

i

ml

F

l

L

+ G

i

M

�

M

IL

: (27)

Daraus folgt f�ur die vollst�andige kovariante Ableitung des Shifters na h den Koordinaten

der Ausgangskon�guration

6

� G

i

I

g

i

G

I

� X

L

=

� G

i

I

� X

L

g

i

G

I

+ G

i

I

� g

i

� x

l

� x

l

� X

L

G

I

+ G

i

I

g

i

�G

I

� X

L

=

=

� G

i

I

� X

L

g

i

G

I

+ G

i

I

g

m

�

m

il

F

l

L

G

I

� G

i

I

g

i

G

M

�

I

ML

=

=

"

� G

i

I

� X

L

+ G

m

I

�

i

ml

F

l

L

� G

i

M

�

M

IL

#

g

i

G

I

=

=

h

�G

m

I

�

i

ml

F

l

L

+ G

i

M

�

M

IL

+ G

m

I

�

i

ml

F

l

L

� G

i

M

�

M

IL

i

g

i

G

I

=

= G

i

I

j

L

g

i

G

I

= 0 : (28)

F�ur den Vers hiebungsvektor u

℄

gilt:

u

℄

= u

k

g

k

=

�

G

�1

�

K

k

u

k

G

K

= U

K

G

K

=

= x

k

g

k

� X

K

G

K

=

�

�

G

�1

�

K

k

x

k

� X

K

�

G

K

: (29)

Unter Ber�u ksi htigung von (27) und (29) kann der Deformationsgradient in der na hste-

henden Form dargestellt werden:

F

j

J

=

� x

j

� X

J

=

�

� X

J

h

G

j

K

�

U

K

+ X

K

�i

= G

j

K

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

: (30)

Na h Einsetzen der Beziehung (30) in den lokalen Impulserhaltungssatz (23) entsteht unter

Bea htung von (28):

�

T

IJ

F

j

J

�

j

I

+ �

o

�

k

j

� a

j

�

=

=

h

T

IJ

G

j

K

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�i

j

I

+ �

o

�

k

j

� a

j

�

=

= T

IJ

j

I

G

j

K

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

G

j

K

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+

+T

IJ

G

j

K

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

j

I

+ �

o

�

k

j

� a

j

�

=

= G

j

K

T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ G

j

K

T

IJ

U

K

j

JI

+ �

o

�

k

j

� a

j

�

= 0 : (31)

Daraus folgt na h Multiplikation mit den Koordinaten des inversen Shifters (G

�1

)

K

j

7

�

T

IJ

F

j

J

�

j

I

+ �

o

�

k

j

� a

j

�

= T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

U

K

j

JI

+

+ �

o

�

G

�1

�

K

j

�

k

j

� a

j

�

=

= T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

U

K

j

JI

+

+ �

o

�

K

K

� A

K

�

= 0 : (32)

Die Verna hl�assigung der Bes hleunigungsterme f�uhrt auf

T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

U

K

j

JI

+ %

o

K

K

= 0 : (33)

Dur h materielle Di�erentiation entsteht daraus die Ges hwindigkeitsformulierung der Be-

wegungsglei hung in konsequent materieller Bes hreibung

_

T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

j

I

_

U

K

j

J

+

_

T

IJ

U

K

j

JI

+ T

IJ

_

U

K

j

JI

+ %

o

_

K

K

= 0 : (34)

4 Prinzip der virtuellen Arbeit

Gegeben sei die Ausgangskon�guration eines deformierbaren K�orpers mit dem Volumen V

o

und der Ober �a he ÆV

o

. Dieser K�orper soll si h im Glei hgewi ht be�nden, wobei Diskon-

tinuit�aten in den Vers hiebungen und Verzerrungen ni ht ber�u ksi htigt werden. An den

materiellen Punkten des K�orpers greifen spezi�s he Volumenkr�afte mit den Koordinaten

K

K

an, w�ahrend auf dem Teil ÆV

o1

der Ober �a he des K�orpers Ober �a henkr�afte mit den

Koordinaten R

K

und auf dem �ubrigen Teil ÆV

o2

der Ober �a he mit ÆV

o1

[ ÆV

o2

= ÆV

o

Vers hiebungen als Randbedingungen vorges hrieben sind.

F�ur \geri htete" Fl�a henelemente da mit dem Fl�a heninhalt da und dem Normalenein-

heitsvektor n gilt in der Momentankon�guration

da

i

= da n

i

: (35)

Dabei bezei hnen die da

i

die Projektionen von da auf die Koordinaten �a hen und n

i

die

Projektionen von n auf die Normalen dieser Fl�a hen. Zwis hen den geri hteten Fl�a henele-

menten der Ausgangs- und der Momentankon�guration besteht die Nansons he Beziehung

[9℄

da

i

= J

�

F

�1

�

I

i

dA

I

(36)

mit

dA

I

= dAN

I

: (37)

8

Der S hnittkraftvektor ist in der Momentankon�guration unter Ber�u ksi htigung der

Cau hys hen Formel und von (35) dur h die na hstehende De�nition gegeben, wobei t

den Spannungsvektor darstellt:

dF

S

= t da = t

i

da g

i

= �

ij

da n

j

g

i

= �

ij

da

j

g

i

: (38)

In der Ausgangskon�guration lautet der entspre hende Zusammenhang mit dem zu t

parallelen Spannungsvektor T

dF

S

= T dA = T

I

dAG

I

: (39)

Werden die Beziehungen (38) und (39) glei hgesetzt, gilt bei Bea htung von (26), (36) und

(38)

T

I

dA =

�

G

�1

�

I

i

�

ij

da

j

=

�

G

�1

�

I

i

J

�

F

�1

�

J

j

�

ij

N

J

dA : (40)

Damit folgen unter Ber�u ksi htigung der Beziehungen (19), (20) und (30) f�ur die Koordi-

naten des Spannungsvektors in der Ausgangskon�guration

T

I

=

�

G

�1

�

I

i

P

Ji

N

J

=

�

G

�1

�

I

i

T

JK

F

i

K

N

J

= T

JK

�

U

I

j

K

+ Æ

I

K

�

N

J

(41)

bzw. f�ur deren materielle Ableitung

_

T

I

=

h

_

T

JK

U

I

j

K

+

_

T

JI

+ T

JK

_

U

I

j

K

i

N

J

: (42)

Die Beziehungen (41) und (42) gelten ebenfalls f�ur die Darstellung der Randkr�afte R

K

auf

der Teilober �a he ÆV

o1

des K�orpers

T

K

= T

IJ

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

N

I

= R

K

(43)

bzw. deren materielle Ableitung

_

R

K

=

h

_

T

IJ

U

K

j

J

+

_

T

IK

+ T

IJ

_

U

K

j

J

i

N

I

: (44)

Das Prinzip der virtuellen Arbeit bes hreibt f�ur Glei hgewi htszust�ande die Glei hheit der

Arbeit der �au�eren und inneren Kr�afte, die diese auf dem Wege einer beliebigen virtuellen

Vers hiebung mit den Koordinaten ÆU

K

, wel he die geometris hen Randbedingungen auf

dem Ober �a henabs hnitt ÆV

o2

erf�ullen, verri hten. Dur h

�

Ubers hieben der Bewegungs-

glei hung (33) mit ÆU und der Integration �uber das gesamte K�orpervolumen sowie der

Ber�u ksi htigung von (43) wird die Beziehung

Z

V

o

h

T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

U

K

j

JI

i

ÆU

K

dV

o

+

+

Z

ÆV

o

h

R

K

� T

IJ

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

N

I

i

ÆU

K

d (ÆV

o

) +

+

Z

V

o

%

o

K

K

ÆU

K

dV

o

= 0 (45)

9

erhalten. Unter Verwendung des Satzes von Gau� und Ostrogradski folgt aus (45) mit

Z

ÆV

o

T

IJ

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

ÆU

K

N

I

d (ÆV

o

) =

Z

V

o

T

IJ

j

I

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

ÆU

K

dV

o

+

+

Z

V

o

T

IJ

U

K

j

JI

ÆU

K

dV

o

+

+

Z

V

o

T

IJ

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

(ÆU

K

) j

I

dV

o

(46)

letztli h die neue Darstellung des Prinzips der virtuellen Arbeit:

Z

V

o

T

IJ

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

(ÆU

K

) j

I

dV

o

=

Z

ÆV

o

R

K

ÆU

K

d (ÆV

o

) +

Z

V

o

%

o

K

K

ÆU

K

dV

o

: (47)

In analoger Weise l�a�t si h aus (34) und (44) die Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips

der virtuellen Arbeit ableiten:

Z

V

o

h

_

T

IJ

�

U

K

j

J

+ Æ

K

J

�

+ T

IJ

_

U

K

j

J

i �

Æ

_

U

K

�

j

I

dV

o

=

Z

ÆV

o

_

R

K

Æ

_

U

K

d (ÆV

o

) +

+

Z

V

o

%

o

_

K

K

Æ

_

U

K

dV

o

: (48)

Aus der Beziehung f�ur den Greens hen Verzerrungstensor

2E

[

= F

T

g

[

F � G

[

= F

k

K

G

K

g

k

g

ij

g

i

g

j

F

l

L

g

l

G

L

� G

KL

G

K

G

L

(49)

kann unter Ber�u ksi htigung von (30) und der kovarianten Ableitung

U

K

j

L

=

�

G

KM

U

M

�

j

L

= G

KM

U

M

j

L

+ G

KM

j

L

U

M

mit G

KM

j

L

= 0 (50)

gezeigt werden, da� gilt:

2E

KL

= U

K

j

L

+ U

L

j

K

+ U

M

j

K

U

M

j

L

: (51)

Daraus ergeben si h f�ur die materielle Zeitableitung

2

_

E

KL

=

_

U

K

j

L

+

_

U

L

j

K

+

_

U

M

j

K

U

M

j

L

+ U

M

j

K

_

U

M

j

L

(52)

und die Variation des Verzerrungstensors

2 ÆE

KL

= (ÆU

K

) j

L

+ (ÆU

L

) j

K

+

�

ÆU

M

�

j

K

U

M

j

L

+ U

M

j

K

(ÆU

M

) j

L

: (53)

10

Der Integrand auf der linken Seite von (47) kann mit (53) ungeformt werden:

T

IJ

h

U

K

j

J

(ÆU

K

) j

I

+ (ÆU

J

) j

I

i

=

=

1

2

n

T

IJ

h

U

K

j

J

(ÆU

K

) j

I

+ (ÆU

J

) j

I

i

+ T

JI

h

U

K

j

I

(ÆU

K

) j

J

+ (ÆU

I

) j

J

io

=

= T

IJ

1

2

h

(ÆU

I

) j

J

+ (ÆU

J

) j

I

+ U

K

j

J

(ÆU

K

) j

I

+ U

K

j

I

(ÆU

K

) j

J

i

=

= T

IJ

1

2

h

(ÆU

I

) j

J

+ (ÆU

J

) j

I

+ U

K

j

J

(ÆU

K

) j

I

+ U

K

j

I

�

ÆU

K

�

j

J

i

=

= T

IJ

ÆE

IJ

: (54)

Aus (47) entsteht mittels (54) die endg�ultige Form des Prinzips der virtuellen Arbeit:

Z

V

o

T

IJ

ÆE

IJ

dV

o

=

Z

ÆV

o

R

K

ÆU

K

d (ÆV

o

) +

Z

V

o

%

o

K

K

ÆU

K

dV

o

: (55)

Die Variation eines Potentials �(a) als skalare Funktion eines Tensors a ist dur h die

Beziehung

� =

� �

� a

�� Æa (56)

de�niert. Wenn das Deformationsgesetz aus einem Energiepotential abgeleitet werden

kann, wie es z. B. im Fall der thermodynamis h begr�undeten Hyperelastizit�at mit

T

KL

=

� W

� E

KL

(57)

m�ogli h ist, dann gilt f�ur die Variation der Form�anderungsenergie

ÆW =

� W

� E

KL

ÆE

KL

= T

KL

ÆE

KL

: (58)

Unter der Annahme, da� die Ober �a hen- und Volumenkr�afte R

℄

und K

℄

ni ht von den

Vers hiebungen abh�angen, geht das Prinzip der virtuellen Arbeit (55) in das �aquivalente

Prinzip vom station�aren Wert des elastis hen Gesamtpotentials �uber:

Æ�(U ) = Æ

8

>

<

>

:

Z

V

o

� W

� E

KL

E

KL

dV

o

�

Z

ÆV

o

R

K

U

K

d (ÆV

o

) �

Z

V

o

%

o

K

K

U

K

dV

o

9

>

=

>

;

= 0 : (59)

11

Werden analoge

�

Uberlegungen mit einer zu (54) �aquivalenten Beziehung f�ur die Glei hung

(48) dur hgef�uhrt, folgt die Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips der virtuellen Ar-

beit

Z

V

o

h

_

T

IJ

Æ

_

E

IJ

+ T

IJ

_

U

K

j

J

�

Æ

_

U

K

�

j

I

i

dV

o

=

Z

ÆV

o

_

R

K

Æ

_

U

K

d (ÆV

o

) +

+

Z

V

o

%

o

_

K

K

Æ

_

U

K

dV

o

(60)

mit

2 Æ

_

E

IJ

=

�

Æ

_

U

I

�

j

J

+

�

Æ

_

U

J

�

j

I

+

�

Æ

_

U

M

�

j

I

U

M

j

J

+ U

M

j

I

�

Æ

_

U

M

�

j

J

: (61)

Au h diese Formulierung kann auf der Basis analoger Annahmen und S hlu�folgerungen,

wie sie beim Prinzip der virtuellen Arbeit Anwendung fanden, als �aquivalentes Prinzip vom

station�aren Wert der Ges hwindigkeit des Gesamtpotentials angegeben werden:

Æ

_

� = �(

_

U ) = Æ

8

>

<

>

:

Z

V

o

"

d T

IJ

dE

KL

_

E

IJ

_

E

KL

+ T

IJ

_

U

K

j

J

_

U

K

j

I

#

dV

o

�

�

Z

ÆV

o

_

R

K

_

U

K

d (ÆV

o

) �

Z

V

o

%

o

_

K

K

_

U

K

dV

o

9

>

=

>

;

= 0 : (62)

In symbolis her Darstellung lautet die Beziehung (60)

Z

V

o

(

_

T

℄

�� Æ

_

E

[

+ T

℄

��

"

�

GRAD

�

_

U

℄

��

T

�GRAD

�

Æ

_

U

[

�

#)

dV

o

=

=

Z

ÆV

o

_

R

℄

� Æ

_

U

[

d (ÆV

o

) +

Z

V

o

%

o

_

K

℄

� Æ

_

U

[

dV

o

: (63)

Wird die materielle Zeitableitung des 2. Piola-Kir hho�s hen Spannungstensors dur h

_

T

℄

=

dT

℄

dE

[

��

_

E

[

(64)

ersetzt, entstehen

Z

V

o

(

dT

℄

dE

[

��

_

E

[

!

�� Æ

_

E

[

+ T

℄

��

"

�

GRAD

�

_

U

℄

��

T

�GRAD

�

Æ

_

U

[

�

#)

dV

o

=

=

Z

ÆV

o

_

R

℄

� Æ

_

U

[

d (ÆV

o

) +

Z

V

o

%

o

_

K

℄

� Æ

_

U

[

dV

o

(65)

12

bzw.

Z

V

o

"

d T

IJ

dE

KL

_

E

KL

Æ

_

E

IJ

+ T

IJ

_

U

K

j

J

�

Æ

_

U

K

�

j

I

#

dV

o

=

Z

ÆV

o

_

R

K

Æ

_

U

K

d (ÆV

o

) +

+

Z

V

o

%

o

_

K

K

Æ

_

U

K

dV

o

: (66)

Darin verk�orpert dT

℄

=dE

[

die konsistente Materialmatrix, die dur h Ableitung des in der

Zeit diskretisierten Deformationsgesetzes na h dem Verzerrungstensor ermittelt werden

kann.

Die s hwa he Formulierung (62) bzw. ihre �aquivalente Form (66) dient im folgenden Ab-

s hnitt als Grundlage f�ur die Herleitung des inkrementellen FEM-Stei�gkeits-

systems zur Simulation �niter elastis h-plastis her Deformationen.

5 FEM-Stei�gkeitssystem auf der Grundlage einer

Variationsformulierung

Die L�osung von Anfangs-Randwert-Aufgaben der Festk�orperme hanik erfolgt unter der

Nutzung sowohl von Ortsdiskretisierungsverfahren, wie z. B. der Methode der Finiten

Elemente (FEM), als au h von Zeitdiskretisierungsmethoden. Dabei soll im weiteren von

einer inkrementellen Betra htungsweise ausgegangen werden, die si h in geeigneter Form

aus den entspre henden Ges hwindigkeitsformulierungen ableiten l�a�t.

Das Randwertproblem besteht in der L�osung der den Glei hgewi htsbedingungen �aquiva-

lenten Ausdr�u ke (60) und (62) der Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips der virtuellen

Arbeit. Dabei sind die Randwerte der inkrementellen Feldgr�o�en f�ur den Spannungs-

und Vers hiebungszustand zu ber�u ksi htigen. Das Anfangswertproblem bezieht si h auf

die L�osung des Algebro-Di�erentialglei hungssytems (DAE) f�ur das Deformationsgesetz,

wel hes zur Bere hnung der Spannungen, internen Variablen und des plastis hen Multi-

plikators zeitli h diskretisiert wird.

5.1 FEM-Diskretisierung { Formfunktionen und deren Ableitun-

gen

Gegeben sei die Ortsdiskretisierung eines zu untersu henden Kontinuums dur h Finite

Elemente. Die L�osung des Randwertproblems soll in Form der Vers hiebungen in den

13

FE-Knoten vorliegen. Unter Nutzung der Formfunktionen sind damit die Vers hiebungen

innerhalb der Elemente bekannt. Ans hlie�end werden die Verzerrungen aus den Ver-

s hiebungen dur h geometris h motivierte Beziehungen (siehe z. B. (51) ) in den Integra-

tionsst�utzstellen der Elemente ermittelt. Dort sind ebenfalls die Werte f�ur die Spannun-

gen und internen Variablen aus der L�osung des Anfangswertproblems gegeben. Im weit-

eren wird ohne Bes hr�ankung der Allgemeinheit der dreidimensionale Fall in kartesis hen

Koordinaten dargestellt, wobei kovariante Ableitungen auf ihren partiellen Teil reduziert

werden. Damit k�onnen neben 3D-Problemen au h der ebene Verzerrungs- und der ebene

Spannungszustand bes hrieben werden. Ledigli h der axialsymmetris he Fall nimmt wegen

der Verwendung eines Zylinderkoordinatensystems eine gewisse Sonderstellung ein, ohne

da� si h die prinzipielle Vorgehensweise �andert. Alle folgenden Ausf�uhrungen beziehen si h

auf die Verwendung isoparametris her Elemente. Hier werden zur Ermittlung der Funkti-

onswerte von Feldgr�o�en (Vers hiebungen, Verzerrungen et .) die glei hen Formfunktionen

herangezogen wie f�ur die Bere hnung der Elementkoordinaten.

Die weiteren Betra htungen zur Ermittlung der Freiwerte der Formfunktionen werden in

den lokalen Koordianten � = (�

1

; �

2

; �

3

)

T

eines Referenzelementes von einfa her Gestalt im

Bildberei h dur hgef�uhrt. Aus den Knotenkoordinaten

~

X und den f�ur alle Koordinaten-

ri htungen glei hen Formfunktionen N lassen si h die globalen Koordinaten

X = (X

1

; X

2

; X

3

)

T

eines Punktes mit den lokalen Koordinaten � im Element mit nen

Knoten auf der Basis folgender Beziehungen n�aherungsweise bere hnen:

X

1

(�) =

nen

X

J=1

N

J

(�)

~

X

J

1

; analog X

2

; X

3

: (67)

Die dreidimensionale Darstellung ergibt:

X (�) = G(�)

~

X (68)

mit

X (�) =

0

B

B

B

�

X

1

(�

1

; �

2

; �

3

)

X

2

(�

1

; �

2

; �

3

)

X

3

(�

1

; �

2

; �

3

)

1

C

C

C

A

(69)

G(�) =

0

B

B

B

�

N

1

(�) : : : N

nen

(�) 0 : : : 0 0 : : : 0

0 : : : 0 N

1

(�) : : : N

nen

(�) 0 : : : 0

0 : : : 0 0 : : : 0 N

1

(�) : : : N

nen

(�)

1

C

C

C

A

(70)

N

T

(�) =

�

N

1

(�) : : : N

nen

(�)

�

(71)

und

~

X

T

=

�

~

X

1

1

: : :

~

X

nen

1

~

X

1

2

: : :

~

X

nen

2

~

X

1

3

: : :

~

X

nen

3

�

: (72)

14

Wegen des vorausgesetzten isoparametris hen Konzepts der eingesetzten Elemente ent-

steht f�ur den Zusammenhang zwis hen dem Vers hiebungsvektor U = (U

1

; U

2

; U

3

)

T

in

einem beliebigen Punkt des Elementes und den Knotenvers hiebungen

~

U ein analoger

Zusammenhang

U (�) = G(�)

~

U (73)

mit seiner ausges hriebenen Form

0

B

�

U

1

U

2

U

3

1

C

A

=

0

B

�

N

1

: : : N

nen

0 : : : 0 0 : : : 0

0 : : : 0 N

1

: : : N

nen

0 : : : 0

0 : : : 0 0 : : : 0 N

1

: : : N

nen

1

C

A

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

~

U

1

1

.

.

.

~

U

nen

1

~

U

1

2

.

.

.

~

U

nen

2

~

U

1

3

.

.

.

~

U

nen

3

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(74)

F�ur die partiellen Ableitungen einer Vers hiebungskomponente na h den Elementkoordi-

naten gilt:

0

B

B

B

B

B

B

�

� U

1

� �

1

� U

1

� �

2

� U

1

� �

3

1

C

C

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

B

B

�

� X

1

� �

1

� X

2

� �

1

� X

3

� �

1

� X

1

� �

2

� X

2

� �

2

� X

3

� �

2

� X

1

� �

3

� X

2

� �

3

� X

3

� �

3

1

C

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

B

�

� U

1

� X

1

� U

1

� X

2

� U

1

� X

3

1

C

C

C

C

C

C

A

(75)

bzw. in kompakter S hreibweise

� U

1

� �

!

= J (�)

� U

1

�X

!

: (76)

Unter Bea htung von (67) und (71) kann die Jakobi-Matrix J (�) wie folgt dargestellt

werden:

J =

0

B

B

B

B

B

�

N

T

;1

~

X

1

N

T

;1

~

X

2

N

T

;1

~

X

3

N

T

;2

~

X

1

N

T

;2

~

X

2

N

T

;2

~

X

3

N

T

;3

~

X

1

N

T

;3

~

X

2

N

T

;3

~

X

3

1

C

C

C

C

C

A

(77)

mit

N

T

;1

=

�N

T

� �

1

usw. (78)

15

In der ausges hriebenen Form besitzt die Jakobi-Matrix (77) die Struktur

0

B

B

B

�

N

1

;1

~

X

1

1

+ : : : +N

nen

;1

~

X

nen

1

N

1

;1

~

X

1

2

+ : : :+N

nen

;1

~

X

nen

2

N

1

;1

~

X

1

3

+ : : :+N

nen

;1

~

X

nen

3

N

1

;2

~

X

1

1

+ : : : +N

nen

;2

~

X

nen

1

N

1

;2

~

X

1

2

+ : : :+N

nen

;2

~

X

nen

2

N

1

;2

~

X

1

3

+ : : :+N

nen

;2

~

X

nen

3

N

1

;3

~

X

1

1

+ : : : +N

nen

;3

~

X

nen

1

N

1

;3

~

X

1

2

+ : : :+N

nen

;3

~

X

nen

2

N

1

;3

~

X

1

3

+ : : :+N

nen

;3

~

X

nen

3

1

C

C

C

A

: (79)

Die Umstellung von (76) f�uhrt auf

� U

1

�X

!

= J

�1

(�)

� U

1

� �

!

; (80)

wobei die Ableitungen von U

1

na h den Elementkoordinaten aus (67) und (73) erhalten

werden.

� U

1

� �

1

= N

1

;1

~

U

1

1

+ : : : + N

nen

;1

~

U

nen

1

� U

1

� �

2

= N

1

;2

~

U

1

1

+ : : : + N

nen

;2

~

U

nen

1

(81)

� U

1

� �

3

= N

1

;3

~

U

1

1

+ : : : + N

nen

;3

~

U

nen

1

Die verk�urzte Darstellung von (81) f�uhrt auf

� U

1

� �

!

=

0

B

B

B

�

N

T

;1

N

T

;2

N

T

;3

1

C

C

C

A

~

U

1

: (82)

Entspre hend (80) ist die Inverse der Jakobi-Matrix mit der Matrix (N

T

;1

;N

T

;2

;N

T

;3

)

T

laut

(82) zu multiplizieren.

16

J

�1

0

B

B

B

�

N

T

;1

N

T

;2

N

T

;3

1

C

C

C

A

=

0

B

B

B

�

J

�1

11

J

�1

12

J

�1

13

J

�1

21

J

�1

22

J

�1

23

J

�1

31

J

�1

32

J

�1

33

1

C

C

C

A

0

B

B

B

B

�

N

1

;1

: : : N

nen

;1

N

1

;2

: : : N

nen

;2

N

1

;3

: : : N

nen

;3

1

C

C

C

C

A

= (83)

=

0

B

B

B

�

J

�1

11

N

1

;1

+ : : :+ J

�1

13

N

1

;3

: : : J

�1

11

N

nen

;1

+ : : :+ J

�1

13

N

nen

;3

J

�1

21

N

1

;1

+ : : :+ J

�1

23

N

1

;3

: : : J

�1

21

N

nen

;1

+ : : :+ J

�1

23

N

nen

;3

J

�1

31

N

1

;1

+ : : :+ J

�1

33

N

1

;3

: : : J

�1

31

N

nen

;1

+ : : :+ J

�1

33

N

nen

;3

1

C

C

C

A

=(84)

=

0

B

B

B

�

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

1

C

C

C

A

(85)

S hlie�li h f�uhren (80) und (82) bis (85) auf

0

B

B

B

�

U

1;1

U

1;2

U

1;3

1

C

C

C

A

=

0

B

B

B

�

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

1

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

�

~

U

1

1

.

.

.

~

U

nen

1

1

C

C

C

C

C

A

(86)

mit

U

1;1

=

� U

1

� X

1

usw. (87)

Die Verallgemeinerung auf das r�aumli he Problem lautet

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

U

1;1

U

1;2

U

1;3

U

2;1

U

2;2

U

2;3

U

3;1

U

3;2

U

3;3

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

0 : : : 0 0 : : : 0

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

0 : : : 0 0 : : : 0

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

0 : : : 0 0 : : : 0

0 : : : 0

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

0 : : : 0

0 : : : 0

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

0 : : : 0

0 : : : 0

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

0 : : : 0

0 : : : 0 0 : : : 0

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

0 : : : 0 0 : : : 0

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

0 : : : 0 0 : : : 0

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

~

U

1

1

.

.

.

~

U

nen

1

~

U

1

2

.

.

.

~

U

nen

2

~

U

1

3

.

.

.

~

U

nen

3

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(88)

mit der kompakten Formulierung

U

;X

=

�

G

~

U : (89)

17

Aus (73) und (89) folgen f�ur die materiellen Zeitableitungen

_

U =

�

G

~

U

�

�

= G

_

~

U (90)

_

U

;X

=

�

�

G

~

U

�

�

=

�

G

_

~

U : (91)

Werden die Zeitableitungen dur h Di�erenzenquotienten ersetzt, entstehen analoge Aus-

dr�u ke f�ur die Vers hiebungsinkremente.

�U = G �

~

U (92)

(�U )

; X

=

�

G �

~

U (93)

5.2 FEM-Diskretisierung { Verzerrungs-Vers hiebungs-

Beziehung

Die Koordinaten des Verzerrungstensors E seien in einem Vektor der Form

E = (E

11

; E

22

; E

33

; 2E

12

; 2E

23

; 2E

31

)

T

(94)

gegeben. Dabei ist zu bea hten, da� bei der Integration des Deformationsgesetzes die

S hubkoordinaten E

IJ

mit I 6= J ni ht mit dem Faktor 2 auftreten. Aus diesem Grund

m�ussen entspre hende Komponenten der konsistenten Materialmatrix mit dem Faktor

0; 5 multipliziert werden, um

�

Ubereinstimmung mit den hier abgeleiteten Beziehungen

herzustellen.

Werden in der Glei hung (52) die materiellen Zeitableitungen dur h Di�erenzenquotienten

ersetzt, erh�alt man die folgende Relation zwis hen den Inkrementen des Verzerrungstensors

und den Inkrementen der Vers hiebungsableitungen:

18

0BBBBBBBBBB�

�E

11

�E

22

�E

33

2�E

12

2�E

23

2�E

31

1CCCCCCCCCCA

=

0BBBBBBBBBB�

1 + U

1;1

0 0 U

2;1

0 0 U

3;1

0 0

0 U

1;2

0 0 1 + U

2;2

0 0 U

3;2

0

0 0 U

1;3

0 0 U

2;3

0 0 1 + U

3;3

U

1;2

1 + U

1;1

0 1 + U

2;2

U

2;1

0 U

3;2

U

3;1

0

0 U

1;3

U

1;2

0 U

2;3

1 + U

2;2

0 1 + U

3;3

U

3;2

U

1;3

0 1 + U

1;1

U

2;3

0 U

2;1

1 + U

3;3

0 U

3;1

1CCCCCCCCCCA

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBB�

�U

1;1

�U

1;2

�U

1;3

�U

2;1

�U

2;2

�U

2;3

�U

3;1

�U

3;2

�U

3;3

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

(95)

19

Die symbolis he Darstellung f�uhrt auf

�E = A (�U )

; X

= A

�

G �

~

U = (A

0

+A

N

)

�

G �

~

U =

= (B

0

+B

N

) �

~

U = B �

~

U (96)

mit

A

0

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

�

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(97)

und

A

N

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

�

U

1;1

0 0 U

2;1

0 0 U

3;1

0 0

0 U

1;2

0 0 U

2;2

0 0 U

3;2

0

0 0 U

1;3

0 0 U

2;3

0 0 U

3;3

U

1;2

U

1;1

0 U

2;2

U

2;1

0 U

3;2

U

3;1

0

0 U

1;3

U

1;2

0 U

2;3

U

2;2

0 U

3;3

U

3;2

U

1;3

0 U

1;1

U

2;3

0 U

2;1

U

3;3

0 U

3;1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

: (98)

Dur h die Glei hungen

B

0

= A

0

�

G und B

N

= A

N

�

G (99)

werden der lineare und der ni htlineare Anteil der inkrementellen Verzerrungs-Vers hiebungs-

Matrix B = B

0

+ B

N

de�niert. F�ur den Fall kleiner Verzerrungen gilt B = B

0

. Die

einzelnen Komponenten der inkrementellen Verzerrungs-Vers hiebungs-Matrizen werden

unter Bea htung von (88) in den folgenden Beziehungen angegeben:

B

0

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

�

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

0 : : : 0 0 : : : 0

0 : : : 0

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

0 : : : 0

0 : : : 0 0 : : : 0

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

0 : : : 0

0 : : : 0

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

�

N

1

2

: : :

�

N

nen

2

�

N

1

3

: : :

�

N

nen

3

0 : : : 0

�

N

1

1

: : :

�

N

nen

1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(100)

20

B

N

=

0BBBBBBBBBB�

�

N

1

1

U

1;1

: : :

�

N

nen

1

U

1;1

�

N

1

1

U

2;1

: : :

�

N

nen

1

U

2;1

�

N

1

1

U

3;1

: : :

�

N

nen

1

U

3;1

�

N

1

2

U

1;2

: : :

�

N

nen

2

U

1;2

�

N

1

2

U

2;2

: : :

�

N

nen

2

U

2;2

�

N

1

2

U

3;2

: : :

�

N

nen

2

U

3;2

�

N

1

3

U

1;3

: : :

�

N

nen

3

U

1;3

�

N

1

3

U

2;3

: : :

�

N

nen

3

U

2;3

�

N

1

3

U

3;3

: : :

�

N

nen

3

U

3;3

�

N

1

1

U

1;2

+

�

N

1

2

U

1;1

: : :

�

N

nen

1

U

1;2

+

�

N

nen

2

U

1;1

�

N

1

1

U

2;2

+

�

N

1

2

U

2;1

: : :

�

N

nen

1

U

2;2

+

�

N

nen

2

U

2;1

�

N

1

1

U

3;2

+

�

N

1

2

U

3;1

: : :

�

N

nen

1

U

3;2

+

�

N

nen

2

U

3;1

�

N

1

2

U

1;3

+

�

N

1

3

U

1;2

: : :

�

N

nen

2

U

1;3

+

�

N

nen

3

U

1;2

�

N

1

2

U

2;3

+

�

N

1

3

U

2;2

: : :

�

N

nen

2

U

2;3

+

�

N

nen

3

U

2;2

�

N

1

2

U

3;3

+

�

N

1

3

U

3;2

: : :

�

N

nen

2

U

3;3

+

�

N

nen

3

U

3;2

�

N

1

1

U

1;3

+

�

N

1

3

U

1;1

: : :

�

N

nen

1

U

1;3

+

�

N

nen

3

U

1;1

�

N

1

1

U

2;3

+

�

N

1

3

U

2;1

: : :

�

N

nen

1

U

2;3

+

�

N

nen

3

U

2;1

�

N

1

1

U

3;3

+

�

N

1

3

U

3;1

: : :

�

N

nen

1

U

3;3

+

�

N

nen

3

U

3;1

1CCCCCCCCCCA

(101)

21

Die Komponenten

�

N

J

I

und U

I;J

sind dabei mit den Glei hungen (83)-(85) bzw. (86) zu

bere hnen.

5.3 FEM-Diskretisierung { lokale und globale Stei�gkeitsbeziehun-

gen

Aus den Beziehungen (92), (93) und (96) folgen f�ur die Variation des Vektors der Ver-

s hiebungsinkremente und dessen Ortsableitung bzw. die Variation des Tensors der

Verzerrungsinkremente

Æ(�U ) = G Æ(�

~

U ) (102)

Æ

�

(�U )

;X

�

=

�

G Æ(�

~

U ) (103)

Æ(�E ) = B Æ(�

~

U ) : (104)

Materielle Zeitableitungen in der Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips der virtuellen

Arbeit (65) werden zun�a hst dur h Di�erenzenquotienten ersetzt. Eine genauere Zeit-

diskretisierung mit Mehrs hrittverfahren ist ohne prinzipielle

�

Anderungen m�ogli h. Dur h

Verwendung einer f�ur die numeris he Behandlung des FEM-Problems g�unstigen Darstel-

lung der Koordinaten von zweistu�gen Tensoren als Vektoren und von vierstu�gen Tensoren

als Matrizen kann (72) in folgender Form modi�ziert werden:

Z

V

e

o

"

(Æ(�E ))

T

dT

dE

!

�E +

�

Æ(�U )

; X

�

T

T

�

(�U )

; X

#

dV

e

o

�

�

Z

ÆV

e

o

(Æ(�U ))

T

(�R) d (ÆV

e

o

) �

Z

V

e

o

%

o

(Æ(�U ))

T

(�K ) dV

e

o

= 0 (105)

mit

(Æ(�E ))

T

= (Æ(�E

11

); Æ(�E

22

); Æ(�E

33

); Æ(2�E

12

); Æ(2�E

23

); Æ(2�E

31

)) (106)

�E =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

�

�E

11

�E

22

�E

33

2�E

12

2�E

23

2�E

31

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(107)

22

dT

dE

!

=

0BBBBBBBBBBBBBBB�

dT

11

dE

11

dT

11

dE

22

dT

11

dE

33

dT

11

dE

12

dT

11

dE

23

dT

11

dE

31

dT

22

dE

11

dT

22

dE

22

dT

22

dE

33

dT

22

dE

12

dT

22

dE

23

dT

22

dE

31

dT

33

dE

11

dT

33

dE

22

dT

33

dE

33

dT

33

dE

12

dT

33

dE

23

dT

33

dE

31

dT

12

dE

11

dT

12

dE

22

dT

12

dE

33

12

�

dT

12

dE

12

+

dT

12

dE

21

�

12

�

dT

12

dE

23

+

dT

12

dE

32

�

12

�

dT

12

dE

31

+

dT

12

dE

13

�

dT

23

dE

11

dT

23

dE

22

dT

23

dE

33

12

�

dT

23

dE

12

+

dT

23

dE

21

�

12

�

dT

23

dE

23

+

dT

23

dE

32

�

12

�

dT

23

dE

31

+

dT

23

dE

13

�

dT

31

dE

11

dT

31

dE

22

dT

31

dE

33

12

�

dT

31

dE

12

+

dT

31

dE

21

�

12

�

dT

31

dE

23

+

dT

31

dE

32

�

12

�

dT

31

dE

31

+

dT

31

dE

13

�

1CCCCCCCCCCCCCCCA

(108)

23

�

Æ(�U )

; X

�

T

=

�

Æ

�

� (�U

1

)

� X

1

�

; Æ

�

� (�U

1

)

� X

2

�

; Æ

�

� (�U

1

)

� X

3

�

; Æ

�

� (�U

2

)

� X

1

�

; Æ

�

� (�U

2

)

� X

2

�

; Æ

�

� (�U

2

)

� X

3

�

; Æ

�

� (�U

3

)

� X

1

�

; Æ

�

� (�U

3

)

� X

2

�

; Æ

�

� (�U

3

)

� X

3

��

(109)

24

T

�

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

T

11

T

12

T

13

0 0 0 0 0 0

T

21

T

22

T

23

0 0 0 0 0 0

T

31

T

32

T

33

0 0 0 0 0 0

0 0 0 T

11

T

12

T

13

0 0 0

0 0 0 T

21

T

22

T

23

0 0 0

0 0 0 T

31

T

32

T

33

0 0 0

0 0 0 0 0 0 T

11

T

12

T

13

0 0 0 0 0 0 T

21

T

22

T

23

0 0 0 0 0 0 T

31

T

32

T

33

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(110)

(�U )

;X

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

� (�U

1

)

� X

1

� (�U

1

)

� X

2

� (�U

1

)

� X

3

� (�U

2

)

� X

1

� (�U

2

)

� X

2

� (�U

2

)

� X

3

� (�U

3

)

� X

1

� (�U

3

)

� X

2

� (�U

3

)

� X

3

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(111)

(Æ(�U ))

T

= (Æ(�U

1

); Æ(�U

2

); Æ(�U

3

)) (112)

�R =

0

B

�

�R

1

�R

2

�R

3

1

C

A

; �K =

0

B

�

�K

1

�K

2

�K

3

1

C

A

: (113)

Unter Ber�u ksi htigung von (93), (96) und (102)-(104) ergibt si h f�ur die inkrementelle

Darstellung der s hwa hen Formulierung des Glei hgewi hts:

25

Z

V

e

o

"

�

Æ(�

~

U )

�

T

B

T

dT

dE

!

B �

~

U +

�

Æ(�

~

U )

�

T

�

G

T

T

�

�

G �

~

U

#

dV

e

o

�

�

Z

ÆV

e

o

�

Æ(�

~

U )

�

T

G

T

(�R) d (ÆV

e

o

) �

Z

V

e

o

%

o

�

Æ(�

~

U )

�

T

G

T

(�K ) dV

e

o

=

=

�

Æ(�

~

U )

�

T

8

>

<

>

:

Z

V

e

o

"

B

T

dT

dE

!

B +

�

G

T

T

�

�

G

#

�

~

U dV

e

o

�

�

Z

ÆV

e

o

G

T

(�R) d (ÆV

e

o

) �

Z

V

e

o

%

o

G

T

(�K ) dV

e

o

9

>

=

>

;

= 0 : (114)

Die Beziehung (114) gilt f�ur beliebigeWerte der virtuellen Vers hiebungsinkremente Æ(�

~

U ).

Damit folgt aus (114) das inkrementelle FE-Stei�gkeitssystem als System ni htlinearer al-

gebrais her Glei hungen, die z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden.

8

>

<

>

:

Z

V

e

o

"

B

T

dT

dE

!

B +

�

G

T

T

�

�

G

#

dV

e

o

9

>

=

>

;

�

~

U �

�

Z

ÆV

e

o

G

T

(�R) d (ÆV

e

o

) �

Z

V

e

o

%

o

G

T

(�K ) dV

e

o

= 0 (115)

) K

e

�

~

U = �

~

P

e

: (116)

Hierbei stellt �

~

P

e

= (�P

1

1

: : :�P

nen

1

�P

1

2

: : :�P

nen

2

�P

1

3

: : :�P

nen

3

)

T

den Vektor der

Knotenkraftinkremente eines Elementes dar, der sowohl Anteile aus Ober �a henkraft-

inkrementen

�

~

P

A

=

Z

ÆV

e

o

G

T

(�R) d (ÆV

e

o

) (117)

als au h aus Volumenkraftinkrementen

�

~

P

V

=

Z

V

e

o

%

o

G

T

(�K ) dV

e

o

(118)

enth�alt.

26

Die Gesamtstei�gkeitsmatrix K und der Belastungsvektor �

~

P ergeben si h als FEM-

Akkumulation (

U

) aller Elementstei�gkeitsmatrizen und Elementbelastungsvektoren

K =

numel

℄

e=1

K

e

; �

~

P =

numel

℄

e=1

�

~

P

e

: (119)

Mit dem Vektor aller Knotenvers hiebungsinkremente

�U = (�U

1

1

: : :�U

nk

1

�U

1

2

: : :�U

nk

2

�U

1

3

: : :�U

nk

3

)

T

(120)

lautet das ni htlineare FEM-Glei hungssystem f�ur die Gesamtstruktur

K (U )�U = �

~

P : (121)

In

K

e

=

Z

V

e

o

"

B

T

dT

dE

!

B +

�

G

T

T

�

�

G

#

dV

e

o

= K

e

M0

+ K

e

MN

+ K

e

T

(122)

verk�orpern K

e

M0

und K

e

MN

den linearen und den ni htlinearen Anteil der materiellen

Elementstei�gkeitsmatrix sowie K

e

T

die geometris he Elementstei�gkeitsmatrix mit den

folgenden Bildungsvors hriften (unter Ber�u ksi htigung von (93)-(96) ):

K

e

M0

=

Z

V

e

o

B

T

0

dT

dE

!

B

0

dV

e

o

(123)

K

e

MN

=

Z

V

e

o

"

B

0

T

dT

dE

!

B

N

+B

T

N

dT

dE

!

B

0

+ B

T

N

dT

dE

!

B

N

#

dV

e

o

(124)

K

e

T

=

Z

V

e

o

�

G

T

T

�

�

G dV

e

o

: (125)

F�ur kleine Deformationen sind K

e

MN

und K

e

T

glei h Null.

Bei der numeris hen Bere hnung der Elementstei�gkeitsmatrix wird das Integral (122)

�uber das Elementvolumen n�aherungsweise dur h eine Gau�s he Quadraturformel ersetzt:

K

e

�

ngp

X

j=1

!

j

2

4

B

T

(�

j

)

dT

dE

!

�

j

B (�

j

) +

�

G

T

(�

j

)T

�

�

G(�

j

)

3

5

det

�

J

�

�

: (126)

Darin bedeuten �

j

die lokalen Koordinaten und !

j

die Wi htungsfaktoren der einzelnen In-

tegrationsst�utzstellen. Au�erdem ist die Transformation von Volumenintegralen zwis hen

dem realen Element und dem mittels lokaler Koordinaten dargestellten Referenzelement

zu ber�u ksi htigen.

dV (X ) = dX

1

dX

2

dX

3

= det

�

J

�

�

d�

1

d�

2

d�

3

= det

�

J

�

�

dV (�) : (127)

Analoge Beziehungen k�onnen au h f�ur die Integrale der Ober �a hen- und Volumenkr�afte

abgeleitet werden.

27

6 Kinematik �niter elastis h-plastis her Verzerrungen

Den Ausgangspunkt der kinematis hen Betra htungen zur Herleitung eines allgemeinen

Sto�gesetzes f�ur gro�e elastis h-plastis he Verformungen stellt der Deformationsgradient

F mit

F = F

i

I

g

i

G

i

=

�x

i

�X

I

g

i

G

i

(128)

dar [11℄. Er bildet ein materielles, in�nitesimales Linienelement dX von der Ausgangskon-

�guration in die Momentankon�guration ab und bes hreibt damit die Stre kungen und

Drehungen, die dieses Linienelement w�ahrend der Bewegung erf�ahrt.

Bei elastis h-plastis her Deformation kann eine sogenannte Zwis henkon�guration de�niert

werden, indem lokal eine �ktive elastis he Entlastung der materiellen Teil hen vorgenom-

men wird [6℄. Mit Hilfe dieser Kon�guration ist es m�ogli h, eine konsequente Trennung

von elastis hen und plastis hen Gr�o�en im Deformationsgesetz zu errei hen.

Zwis henkon�guration

~

B

~g

1

~x

1

~g

2

~x

2

~g

3

~x

3

�

�Æ

�

�1

X

XXy

-

6

�

�

�

~e

1

Z

1

~e

2

Z

2

~e

3

Z

3

-

6

�

�

A

A

A

A

A

A

A

A

A

AK

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�*

�

R

r

Ausgangskon�guration

t = t

o

B

o

G

1

X

1

G

2

X

2

G

3

X

3

�

��

�

�:

�

��

Momentankon�guration

t

B

g

1

x

1

g

2

x

2

g

3

x

3

C

CO

X

Xz

H

HY

-

F

p

6

F

e

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

'

t

: X 7! x = '

t

(X )

F

t

= r'

t

Figure 1: Ausgangs-, Zwis hen- und Momentankon�guration

28

Dazu wird die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten in einen elastis hen

Anteil F

e

und in einen plastis hen Anteil F

p

genutzt. Aus der angegebenen De�nition der

Zwis henkon�guration wird deutli h, da� sie in der Regel ni ht kompatibel ist.

Mit Hilfe des Deformationsgradienten bzw. seiner einzelnen Anteile ist es m�ogli h, Ten-

soren zwis hen den Kon�gurationen abzubilden. Die folgenden Beziehungen zeigen dieses

anhand des Greens hen Verzerrungstensors E

[

. Auf die Ausgangskon�guration bezogene

Gr�o�en werden jeweils mit Gro�bu hstaben gekennzei hnet, Tensoren der Zwis henkon�gu-

ration sind mit einer Tilde versehen, w�ahrend die zur Momentankon�guration geh�orenden

Variablen dur h Kleinbu hstaben harakterisiert sind. Gemis htvariante Tensoren wer-

den ledigli h dur h ihr Symbol dargestellt, ko- und kontravariante Tensoren dagegen no h

zus�atzli h mit der ho hgestellten Markierung ()

[

bzw. ()

℄

.

E

[

=

1

2

�

C

[

�G

[

�

= E

e[

+E

p[

=

1

2

�

C

[

�C

p[

�

+

1

2

�

C

p[

�G

[

�

~

E

[

= F

p�T

E

[

F

p�1

=

1

2

�

~

C

e[

�

~

G

[

�

=

~

E

e[

+

~

E

p[

=

1

2

�

~

C

e[

�

~

G

[

�

+

1

2

�

~

G

[

� ~

p[

�

e

[

= F

�T

E

[

F

�1

=

1

2

�

g

[

�

[

�

= e

e[

+ e

p[

=

1

2

�

g

[

�

e[

�

+

1

2

�

e[

�

[

�

G

[

,

~

G

[

und g

[

stellen die Metriktensoren in der Ausgangs-, Zwis hen bzw. der Momen-

tankon�guration, C

[

, C

p[

,

~

C

e[

, ~

p[

,

e[

und

[

deren unters hiedli he Abbildungen in die

vers hiedenen Kon�gurationen und e

[

den Almansis hen Verzerrungstensor dar.

7 Haupts�atze der Thermodynamik

Der Energieerhaltungssatz

% _� = �

℄

�� d

[

� div q + % h (129)

und die Entropieunglei hung

% _� + div

�

q

�

�

� %

h

�

� 0 (130)

bilden die Grundlage einer physikalis h konsistenten Formulierung des Sto�gesetzes

[4, 9℄. Hierbei verk�orpern % die Di hte, �

℄

den Cau hys hen Spannungstensor und d

[

die Deformationsges hwindigkeit in der Momentankon�guration. Weiterhin bes hreiben

die spezi�s hen Gr�o�en � die innere Energie, � die Entropie, q den W�arme u� und h die

W�armequellendi hte. Die Variable � steht f�ur die absolute Temperatur.

29

Die Kombination der beiden oben genannten Beziehungen, verbunden mit der De�nition

der freien Helmholtz-Energie

= � � �� (131)

f�uhrt auf die Clausius-Duhem-Unglei hung

�%

�

_

+

_

��

�

+ �

℄

�� d

[

�

1

�

q � grad � � 0 : (132)

Im isothermen Fall vereinfa ht si h diese in der folgenden Art und Weise:

�%

_

+ �

℄

�� d

[

� 0 : (133)

8 Annahmen zur Herleitung des Deformationsgeset-

zes

F�ur die Formulierung des Deformationsgesetzes ist es notwendig, bestimmte Annahmen zu

tre�en, die sowohl physikalis h sinnvoller, als au h mathematis h praktis her Natur sein

k�onnen.

8.1 Additive Zerlegung der Energiefunktion

Es wird festgelegt, da� die freie Helmholtz-Energie additiv in einen elastis hen und einen

plastis hen Anteil aufgespalten werden kann. Bei der Formulierung der Energie in der

Zwis henkon�guration enthalten die beiden Anteile jeweils nur rein elastis he bzw. rein

plastis he Gr�o�en. In der folgenden Darstellung steht ~a

[

f�ur eine beliebige, in der Zwi-

s henkon�guration de�nierte innere Variable.

=

e

�

~

C

e[

; ~g

[

�

+

p

�

~a

[

�

(134)

8.2 Wahl der Kon�guration

Wi htig ist im weiteren die Auswahl der Kon�guration, in der das komplette Deforma-

tionsgesetz letztendli h verwendet werden soll. Im vorliegenden Fall wird es f�ur ein FEM-

Programm entwi kelt, wel hes auf einer Total-Lagranges hen Bes hreibungsweise basiert.

Damit steht fest, da� die endg�ultige Formulierung des Deformationsgesetzes ebenfalls in

materieller Bes hreibungsweise erfolgt.

30

8.3 Bildung von Tensorinvarianten

F�ur die Herleitung des Deformationsgesetzes ist es notwendig, Ans�atze f�ur bestimmte Funk-

tionen (�! Flie�funktion, freie Helmholtz-Energie) aufzustellen. Diese Ans�atze sollen dem

Objektivit�atsprinzip gen�ugen. Daher bieten si h isotrope Tensorfunktionen an, die aus den

Invarianten der Tensoren gebildet werden [2℄. Hierbei ist allerdings folgende Eigens haft

von Tensorinvarianten bei der Abbildung in andere Kon�gurationen zu bea hten:

J

1

�

A

[

�

= A

[

�� G

℄

= F

T

a

[

F �� F

�1

b

℄

F

�T

= a

[

�� b

℄

6= a

[

�� g

℄

: (135)

Die dargestellte Abbildung der ersten Invariante des Tensors A

[

von der Ausgangs- in die

Momentankon�guration erh�alt zwar deren invarianten Charakter, f�uhrt jedo h zu einer

Bildungsvors hrift, die von der Verwendung der jeweiligen Kon�gurationsmetrik abwei ht.

Deshalb sollte gr�undli h �uberlegt werden, wel he Kon�guration f�ur die Formulierung der

Invarianten zu bevorzugen ist. Im vorliegenden Fall werden die Invarianten f�ur die in

der Flie�bedingung auftretenden unabh�angigen Variablen in der Momentankon�guration

gebildet. Der Grund f�ur diese Vorgehensweise liegt in der physikalis h sinnvollen De�nition

des hydrostatis hen Spannungszustandes, der das plastis he Flie�en ni ht beein u�t. Das

bedeutet, da� die Flie�bedingung nur mit Spannungsgr�o�en gebildet wird, von denen der

hydrostatis he Spannungsanteil abgespalten wurde (�! Deviatoren). Genau dieser hydro-

statis he Anteil wird dur h die erste Spannungsinvariante in der Momentankon�guration

dargestellt. Das hei�t, da� bei Verwendung von anderen Invarianten als denen der Momen-

tankon�guration der hydrostatis he Spannungszustand ni ht korrekt widergespiegelt wird.

Beim Formulieren der freien Energiedi hte wird im Gegensatz dazu die Ausgangskon-

�guration f�ur die Bildung der Invarianten f�ur die zum Spannungstensor arbeitskonjugierten

Verzerrungen herangezogen. Diese Vorgehensweise liegt darin begr�undet, da� Invarianten

f�ur den zum 2. Piola-Kir hho�s hen Spannungstensor arbeitskonjugierten re hten Cau hy-

Green-Tensor nur in der Ausgangskon�guration gebildet werden k�onnen und alle kinema-

tis hen Variablen glei h behandelt werden.

8.4 Kovarianzprinzip

Weiterhin wird verlangt, da� si h die Struktur des Deformationsgesetzes gegen�uber Abbil-

dungen in beliebige andere Kon�gurationen ni ht �andern soll [10℄. Diese Forderung f�uhrt

in ihrer Konsequenz auf die Verwendung von Lie-Ableitungen, die das push-forward der

materiellen Zeitableitung eines Tensors von der Ausgangs- in eine andere Kon�guration

realisieren.

F�ur die De�nition der zeitli hen

�

Anderung der freien Helmholtz-Energie soll das im folgen-

den verdeutli ht werden. Die Variable A

[

stellt wiederum eine beliebige innere Variable

31

dar, �

p

?

bzw. �

?

harakterisieren die push-forward-Operation, d.h. die Abbildung von

Tensoren der Ausgangskon�guration in die Zwis hen- bzw. Momentankon�guration.

Ausgangskon�guration: =

�

C

[

;C

p[

;A

[

�

Zwis henkon�guration: =

�

�

p

?

�

C

[

�

;�

p

?

�

C

p[

�

;�

p

?

�

A

[

��

=

�

~

C

e[

; ~g

[

; ~a

[

�

Momentankon�guration: =

�

�

?

�

C

[

�

;�

?

�

C

p[

�

;�

?

�

A

[

��

=

�

g

[

;

e[

;a

[

�

)

_

=

�

e

�C

[

�� C

[

+

�

e

�C

p[

�� C

p[

+

�

p

�A

[

�� A

[

=

=

�

e

�

~

C

e[

�� L

p

�

~

C

e[

�

+

�

e

�~g

[

�� L

p

�

~g

[

�

+

�

p

�~a

[

�� L

p

�

~a

[

�

8.5 Konzept der dualen Variablen

Eine weitere Annahme betri�t das Konzept der dualen Variablen [5℄, wel hes bei der Her-

leitung des Deformationsgesetzes angewendet werden soll.

Verzerrungen und deren zeitli he Ableitungen werden mit Hilfe der jeweils glei hen Ab-

bildungstensoren H von der Ausgangskon�guration in beliebige andere Kon�gurationen

abgebildet.

^

E

[

= H

�T

E

[

H

�1

und

4

^

E

[

= H

�T

_

E

[

H

�1

(136)

Mit der Invarianzeigens haft der spezi�s hen Gr�o�en Form�anderungsleistung, Erg�anzungs-

leistung und inkrementelle Leistung k�onnen zugeordnete Spannungen und Spannungs-

ges hwindigkeiten de�niert werden, was am Beispiel des zweiten Piola-Kir hho�s hen

Spannungstensors verdeutli ht werden soll.

T

℄

��

_

E

[

=

^

T

℄

��

4

^

E

[

_

T

℄

�� E

[

=

5

^

T

℄

��

^

E

[

_

T

℄

��

_

E

[

=

5

^

T

℄

��

4

^

E

[

(137)

Es gilt damit

^

T

℄

= H T

℄

H

T

und

5

^

T

℄

= H

_

T

℄

H

T

: (138)

Die Befolgung dieses Prinzips s hlie�t so z.B. die Anwendung der Jaumanns hen Zeitableitung

auf den Cau hys hen Spannungstensor aus.

32

9 Ein thermodynamis h konsistentes Deformations-

gesetz

Na h diesen vorbereitenden

�

Uberlegungen kann die Herleitung des Deformationsgesetzes

beginnen. Den Ausgangspunkt bildet die Clausius-Duhem-Unglei hung f�ur den isothermen

Fall in der Ausgangskon�guration.

�%

0

_

+

1

2

T

℄

��

_

C

[

� 0 (139)

F�ur die freie Energiedi hte soll gelten

=

e

�

C

[

� C

p[

�

+

p

�

A

[

1

�

=

e

�

E

e[

�

+

p

�

A

[

1

�

: (140)

Beim Einsetzen der Zeitableitung von (140) in (139) wird folgender Ausdru k erhalten:

�%

0

(

�

e

�E

e[

��

_

E

e[

+

�

p

�A

[

1

��

_

A

[

1

)

+ T

℄

��

�

_

E

e[

+

1

2

_

C

p[

�

� 0 : (141)

Es ist m�ogli h, ein hyperelastis hes Deformationsgesetz aus der Unglei hung (141)

abzuspalten.

T

℄

= %

0

�

e

�E

e[

(142)

Die verbleibenden Terme bilden die Dissipationsunglei hung:

D

p

= � %

0

(

�

p

�A

[

1

��

_

A

[

1

)

+

1

2

T

℄

��

_

C

p[

� 0 : (143)

Mit weiteren konstitutiven Annahmen

�

℄

= %

0

�

p

�A

[

1

=

�

�

J

2

�

A

[

1

��

�A

[

1

= G

℄

A

[

1

G

℄

(144)

kann die Dissipationsunglei hung au h ges hrieben werden als

D

p

= ��

℄

��

_

A

℄

1

+

1

2

T

℄

��

_

C

p[

! max : (145)

�

℄

sei die zu A

[

arbeitskonjugierte Variable in der Ausgangskon�guration und soll den

R�u kspannungstensor darstellen.

Entspre hend dem Prinzip vom Maximum der plastis hen Dissipation wird verlangt, da�

die unbekannten Tensorvariablen so bestimmt werden m�ussen, da� die Unglei hung (143)

einen maximalen Wert annimmt. Vorausgesetzt wird dabei die Erf�ullung der Flie�bedin-

gung.

33

Damit ergibt si h ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung in der folgenden Art:

F = D

p

�

�

℄

; T

℄

�

� �F

�

�

℄

; T

℄

�

(146)

F ! max (147)

Als Flie�bedingung wird ein f�ur gro�e Deformationen modi�zierter Ansatz na h Baltov-

Saw zuk [1℄ verwendet, mit dem es m�ogli h ist, sowohl isotrope und kinematis he als au h

Distorsionsverfestigung zu ber�u ksi htigen. Die Flie�bedingung wird in der Momentankon-

�guration formuliert und ans hlie�end in die Ausgangskon�guration zur�u kgezogen. Der

vierstu�ge Tensor K

[

4

dient der Bes hreibung von Anfangsanisotropien bzw. einer Distor-

sionsverfestigung.

F =

�

�

T

℄

� ��

℄

�

�� K

[

4

��

�

�

T

℄

� ��

℄

�

�

2

3

T

2

F

= 0 (148)

mit

�

T

℄

= T

℄

�

1

3

�

T

℄

�� C

[

�

B

℄

und B

℄

=

�

C

[

�

�1

(149)

Das Extremwertproblem wird gel�ost, indem die Ableitungen von (146) na h den unbekan-

nten Tensorvariablen T

℄

, �

℄

und dem Lagranges hen Multiplikator � glei h Null gesetzt

werden. Diese Vorgehensweise in Verbindung mit der inkrementellen Formulierung des

hyperelastis hen Materialgesetzes liefert ein Algebro-Di�erentialglei hungssystem, dessen

L�osung u.a. die (146) maximierenden Spannungen und R�u kspannungen sind.

_

T

℄

=

�

2

�

�

e

�

�E

e[

�E

e[

��

1

2

_

C

[

�

�

2

�

�

e

�

�E

e[

E

e[

��

1

2

_

C

p[

(150)

_

C

p[

= 2�

�F

�T

℄

(151)

_

A

[

1

= ��

�F

��

℄

) _�

℄

= G

℄

��

�F

��

℄

!

G

℄

(152)

_

E

p

v

= �

s

2

3

B

℄

�F

�T

℄

�� B

℄

�F

�T

℄

(153)

F =

�

�

T

℄

� ��

℄

�

�� K

[

4

��

�

�

T

℄

� ��

℄

�

�

2

3

T

2

F

= 0 (154)

Die Glei hung (153)

2

f�ur die plastis he Bogenl�ange wird dem System hinzugef�ugt, da z.B.

die isotrope Verfestigung, harakterisiert dur h die Entwi klung der Flie�spannung, von

E

p

v

abh�angt. Deshalb ist eine Entwi klungsglei hung f�ur E

p

v

notwendig.

Na h dem

�

Ubergang von mathematis hen auf physikalis he Tensorkoordinaten kann im

2

(153) entsteht aus

_

E

p

v

=

q

2

3

B

℄

_

E

p[

� �B

℄

_

E

p[

unter Ber�u ksi htigung von (151).

34

weiteren f�ur beliebig orthogonale krummlinige Koordinatensysteme, wie sie in der FEM

Verwendung �nden, auf die Kennzei hnung ko- und kontravarianter Tensoren verzi htet

werden. Damit kann das Algebro-Di�erentialglei hungssystem (150-154) wie folgt

_

T + �

D

4

��

� F

� T

�

1

2

D

4

��

_

C = 0 (155)

_� � �

� F

� T

= 0 (156)

_

E

p

v

� �

s

2

3

B

� F

� T

��B

� F

� T

= 0 (157)

F =

�

�

T � ��

�

�� K

4

��

�

�

T � ��

�

�

2

3

T

2

F

(E

p

v

) = 0 (158)

bzw. in der verallgemeinerten Form

_

T + �

D

4

��

� F

� T

�

1

2

D

4

��

_

C = 0 (159)

_� + �Q

1

(T ;�) = 0 (160)

_

E

p

v

+ �Q

2

(T ;�) = 0 (161)

F (T ;�; E

p

v

) = 0 (162)

dargestellt werden.

10 Numeris he Simulation

Einleitend soll erw�ahnt werden, da� bei der numeris hen Umsetzung des Deformationsge-

setzes die Koordinaten zweistu�ger Tensoren als Vektoren und vierstu�ger Tensoren als

Matrizen verarbeitet werden.

Das Algebro-Di�erentialglei hungssystem (159)-(162) kann nur mit numeris hen Verfahren

gel�ost werden. Zuerst erfolgt die Diskretisierung der Glei hungen (159)-(162) na h der Zeit

unter Nutzung des folgenden numeris hen Integrationsalgorithmus f�ur eine gew�ohnli he

Di�erentialglei hung:

d y

d t

= _y = f(t; y) (163)

y

n+1

= y

n

+ (� f

n+1

+ (1� �) f

n

) � t (164)

mit

� t = t

n+1

� t

n

(165)

35

und

� 2 [0; 1℄; � =

8

>

<

>

:

0:0 : Euler vorw�arts

1:0 : Euler r�u kw�arts

0:5 : Crank-Ni olson (Trapezregel)

(166)

Mit (163)-(165) folgt aus dem System (159)-(162)

T

n+1

� T

n

�

�

�

1

2

D

4

n+1

��

_

C

n+1

+ (1� �)

1

2

D

4

n

��

_

C

n

�

�t+

+

"

��

n+1

D

4

n+1

��

� F

� T

�

�

�

�

�

n+1

+ (1� �)�

n

D

4

n

��

� F

� T

�

�

�

�

�

n

#

�t = 0 (167)

�

n+1

� �

n

+

h

��

n+1

Q

1

n+1

+ (1� �)�

n

Q

1

n

i

�t = 0 (168)

E

p

v

n+1

� E

p

v

n

+

h

��

n+1

Q

2

n+1

+ (1� �)�

n

Q

2

n

i

�t = 0 (169)

F (T

n+1

;�

n+1

; E

p

v

n+1

) = 0 : (170)

Im n�a hsten S hritt wird

_

C

n+1

na h Anwendung der Zeitdiskretisierung (164) dur h

_

C

n+1

=

1

��t

h

�C

n+1

� (1� �)

_

C

n

�t

i

(171)

ersetzt. W�ahrend � in den folgenden Iterationen beliebig ist, gilt f�ur den 1. S hritt stets

� = 1. Damit entsteht das folgende ni htlineare System algebrais her Glei hungen:

T

n+1

� T

n

+

"

��

n+1

D

4

n+1

��

� F

� T

�

�

�

�

�

n+1

+ (1� �)�

n

D

4

n

��

� F

� T

�

�

�

�

�

n

#

�t �

�

�

1

2

(1� �)

�

D

4

n

�D

4

n+1

�

��

_

C

n

�

�t �

1

2

D

4

n+1

���C

n+1

= 0 (172)

�

n+1

��

n

+

h

��

n+1

Q

1

n+1

+ (1� �)�

n

Q

1

n

i

�t = 0 (173)

E

p

v

n+1

� E

p

v

n

+

h

��

n+1

Q

2

n+1

+ (1� �)�

n

Q

2

n

i

�t = 0 (174)

F (T

n+1

;�

n+1

; E

p

v

n+1

) = 0 : (175)

F�ur die verk�urzte Darstellung der weiteren L�osungss hritte wird ein Variablen-Vektor z

eingef�uhrt.

z = (T ;�; E

p

v

; �)

T

(176)

Ebenso wird ein Operator G de�niert, der die linke Seite des Glei hungssystems (172)-

(175) repr�asentiert.

G

�

z

n

; z

n+1

;�C

n+1

;

_

C

n

�

(177)

36

Gesu ht wird letztendli h der Variablen-Vektor f�ur den Lasts hritt n+ 1

z

n+1

=

�

T

n+1

;�

n+1

; E

p

v

n+1

; �

n+1

�

T

als L�osung von G

n+1

= G (z

n+1

) = 0 : (178)

Die Bere hnung von z

n+1

erfolgt mit Hilfe des Newtonverfahrens

z

i+1

n+1

= z

i

n+1

�

�

r

z

i

n+1

G

�

�1

G

i

n+1

; (179)

wobei die Jakobi-Matrix (r

z

G) die Form

(r

z

G) =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

�

1 + ��D

4

��

�

2

F

�T

2

�t

�

��D

4

��

�

2

F

�T ��

�t 0 �D

4

��

�F

�T

�t

��

�Q

1

�T

�t

�

1 + ��

�Q

1

��

�t

�

0 �Q

1

�t

��

�Q

2

�T

�t ��

�Q

2

��

�t 1 �Q

2

�t

�F

�T

�F

��

�F

�E

p

v

0

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(180)

annimmt. Das Newtonverfahren (179) f�uhrt mit �z

i+1

n+1

= z

i+1

n+1

� z

i

n+1

auf das lineare

Glei hungssystem

�

r

z

i

n+1

G

�

�z

i+1

n+1

= �G

i

n+1

; (181)

das mittels eines direkten Verfahrens na h Gau� gel�ost wird.

Wie im 4. Abs hnitt gezeigt wurde, erfordert die L�osung des Stei�gkeitssystems der FEM

basierend auf der Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (65) in

jeder Glei hgewi htsiteration die Bildung der konsistenten Materialmatrix dT =dE . Ein

bedeutender Vorteil des vorgestellten Verfahrens zur numeris hen Integration des Defor-

mationsgesetzes besteht in der ihm innewohnenden einfa hen algorithmis hen M�ogli hkeit

der Ermittlung der konsistenten Materialmatrix. Zu diesem Zwe k wird das ausiterierte

ni htlineare Glei hungssystem (178) na h dem Tensor der Gesamtverzerrungen implizit

di�erenziert

dG

dE

n+1

=

�G

�E

n+1

+

�

r

z

n+1

G

�

d z

n+1

dE

n+1

= 0 : (182)

37

Na h Umstellung repr�asentiert (182) wiederum ein System linearer algebrais her

Glei hungen

�

r

z

n+1

G

�

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

dT

dE

�

�

�

�

n+1

d�

dE

�

�

�

�

n+1

dE

p

v

dE

�

�

�

�

n+1

d �

dE

�

�

�

�

n+1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

D

4

n+1

0

0

0

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(183)

mit der bekannten Jakobi-Matrix (180) und einer re hten Seite, wel he neben Nullkompo-

nenten die ebenfalls bereits bekannte hyperelastis he MaterialmatrixD

4

j

n+1

enth�alt. Unter

Nutzung eines direkten L�osungsverfahrens kann die konsistente Materialmatrix dur h Mul-

tiplikation der re hten Seite des Glei hungssystems (182) mit der invertierten Jakobi-

Matrix eÆzient und mit der glei hen Genauigkeit wie die Integration des Deformation-

sgesetzes ermittelt werden.

11 Beispiele

Das bes hriebene Deformationsgesetz wurde in ein FEM-Programm f�ur Parallelre hner

eingebaut. Im folgenden sollen einige Ergebnisse f�ur zwei Beispiele vorgestellt werden.

Zu bemerken ist, da� f�ur kleine Deformationen die numeris hen Resultate mit einem am

Berei h vorhandenen FEM-Programm validiert wurden.

11.1 Gelo hte S heibe

Als erstes Beispiel wurde eine gelo hte S heibe f�ur eine glei hverteilte Normalvers hiebung

am oberen Rand unter Annahme eines ebenen Verzerrungszustandes (EVZ) betra htet.

Die unters hiedli h eingef�arbten Berei he im Bild 2 kennzei hnen die Aufteilung des

Gebietes auf die Prozessoren des Parallelre hners.

38

A

B

6 6 6 6 6 6 6

Figure 2: Gelo hte S heibe (ein Viertel des Quers hnittes). Vernetzung und Ri htung der

Belastung

Die folgenden Abbildungen zeigen die Entwi klung der plastis hen Bogenl�ange bei zuneh-

mender Vers hiebung. Deutli h erkennbar ist, wie die Plastizierung ausgehend vom Punkt

B forts hreitet und ledigli h die Zone bei Punkt A elastis h bleibt. Die maximale plastis he

Bogenl�ange bel�auft si h bei 100% Vers hiebung auf 110%.

0.00E+00

1.10E+00

E_v^p

Verschiebung des oberen Randes um

20% 40% 80% 100%

Figure 3: Gelo hte S heibe. Entwi klung der plastis hen Bogenl�ange (Darstellung der

verformten Geometrie im Originalma�stab)

39

11.2 Freies Stau hen

Das zweite Beispiel betri�t den Stau hversu h mit freien Seitenr�andern und vollst�andiger

Haftung an den belasteten R�andern im EVZ. Es wurde wiederum mit 8 Prozessoren gere h-

net.

stauch8g - Level 2 - 8 proc.

? ? ? ? ? ? ?

Figure 4: Freies Stau hen (ein Viertel des Quers hnitts). Vernetzung und Ri htung der

Belastung

Die folgenden Abbildungen zeigen die Entwi klung der plastis hen Bogenl�ange bei einer

Vers hiebung des oberen Randes bis maximal 19% der Ausgangsh�ohe. Au h hier kann die

Ausbildung der plastis hen Zonen gut verfolgt werden. Sie entwi keln si h ausgehend von

den E kpunkten hin zur Mitte des Bauteils. Die errei hte maximale plastis he Bogenl�ange

betr�agt 67 %.

40

stauch8 - Level 2 - 8 proc.

0.00E+00

6.70E-01

E_v^p

10%

15%

19%

Figure 5: Freies Stau hen. Entwi klung der plastis hen Verglei hsdehnung (Darstellung

der verformten Geometrie im Originalma�stab)

12 Zusammenfassung und Ausbli k

Entspre hend der Aufgabenstellung wurde f�ur ein Finite-Elemente-Programm eine Materi-

als hnittstelle entwi kelt, wel he die Ber�u ksi htigung von Deformationsgesetzen f�ur gro�e

elastis h-plastis he Verformungen in einer verallgemeinerten Formulierung erm�ogli ht. Auf

der Basis dieses Programmes werden zuk�unftig Materialparameteridenti�kationen dur h

Analyse inhomogener Vers hiebungsfelder realisiert.

41

Bei der Herleitung wurde eine thermodynamis h konsistente Formulierung angestrebt.

Dabei kamen u.a. das Prinzip vom Maximum der plastis hen Dissipation, das Konzept

der dualen Variablen wie au h das Kovarianzprinzip zur Anwendung. Im plastis hen An-

teil des Deformationsgesetzes k�onnen neben isotroper und kinematis her Verfestigung au h

Anfangsanisotropien ber�u ksi htigt werden. Der elastis he Anteil bes hreibt ni htlinear-

hyperelastis hes Materialverhalten.

Das Deformationsgesetz wurde als Algebro-Di�erentialglei hungssystem formuliert, dessen

zeitdiskretisierte Form erfolgrei h numeris h umgesetzt wurde.

Zwei Beispiele, an denen die Eignung des entwi kelten Deformationsgesetzes zur Bere h-

nung gro�er Verformungen gezeigt werden konnte, wurden pr�asentiert. Zuk�unftige Auf-

gaben sind die Einbeziehung einer unterliegenden Substruktur [3, 7℄ und die erfolgrei he

numeris he Umsetzung eines derartigen Deformationsgesetzes.

42

Referen es

[1℄ Baltov, A., Saw zuk, A.; A rule of anisotropi hardening, A ta Me hani a 1,

1965, 81-92.

[2℄ Boehler, J.P.; Appli ations of Tensor Fun tions in Solid Me hani s, Courses and

Le tures, Vol. 292, Springer Verlag, 1987.

[3℄ Dafalias, Y.F.; Issues on the onstitutive formulation at large elastoplasti defor-

mations, Part1: Kinemati s, A ta Me hani a 69, 1987, 119-138.

[4℄ Eringen, A.C.; Me hani s of Continua, John Wiley and Sons, New York 1967.

[5℄ Haupt, P., Tsakmakis, Ch.; On the appli ation of dual variables in ontinuum

me hani s, Continuum Me hani s and Thermodynami s 1, 1989, 165-196.

[6℄ Lee, E.H.; Elasti -plasti deformation at �nite strains, Journal of applied me hani s

36, 1969, 1-6.

[7℄ Mandel, J.; Equations onstitutives et dire teurs dans les milieux plastiques et

vis oplastiques, Int. J. Solids and Stru tures 9, 1973, 725.

[8℄ D. Mi hael, M. Meisel, Some remarks to large deformation elasto-plasti ity ( ontin-

uum formulation), TU Chemnitz-Zwi kau, Preprint SFB393/98-28 (1998).

[9℄ Narasimhan, M.N.L.; Prin iples of Continuum Me hani s, John Wiley and Sons,

New York 1993.

[10℄ Simo, J.C.; A framework for �nite strain elastoplasti ity based on the maximum

plasti dissipation and the multipli ative de omposition: Part I. Continuum Formu-

lation, Computer Methods in Applied Me hani s and Engineering 66, 1988, 199-219.

[11℄ Truesdell, C., Noll, W.; The non-linear �eld theories of me hani s, se ond ed.,

Springer Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 1992.

43

Other titles in the SFB393 series:

99-01 P. Kunkel, V. Mehrmann, W. Rath. Analysis and numeri al solution of ontrol problems

in des riptor form. January 1999.

99-02 A. Meyer. Hierar hi al pre onditioners for higher order elements and appli ations in om-

putational me hani s. January 1999.

99-03 T. Apel. Anisotropi �nite elements: lo al estimates and appli ations (Habilitationss hrift).

January 1999.

99-04 C. Villagonzalo, R. A. R�omer, M. S hreiber. Thermoele tri transport properties in disor-

dered systems near the Anderson transition. February 1999.

99-05 D. Mi hael. Notizen zu einer geometris h motivierten Plastizit�atstheorie. Februar 1999.

99-06 T. Apel, U. Rei hel. SPC-PM Po 3D V 3.3, User's Manual. February 1999.

99-07 F. Tr�oltzs h, A. Unger. Fast solution of optimal ontrol problems in the sele tive ooling

of steel. Mar h 1999.

99-08 W. Rehm, T. Ungerer (Eds.). Ausgew�ahlte Beitr�age zum 2. Workshop Cluster-Computing

25./26. M�arz 1999, Universit�at Karlsruhe. M�arz 1999.

99-09 M. Arav, D. Hershkowitz, V. Mehrmann, H. S hneider. The re ursive inverse eigenvalue

problem. Mar h 1999.

99-10 T. Apel, S. Ni aise, J. S h�oberl. Crouzeix-Raviart type �nite elements on anisotropi

meshes. May 1999.

99-11 M. Jung. Einige Klassen iterativer Aufl�osungsverfahren (Habilitationss hrift). Mai 1999.

99-12 V. Mehrmann, H. Xu. Numeri al methods in ontrol, from pole assignment via linear

quadrati to H

1

ontrol. June 1999.

99-13 K. Bernert, A. Eppler. Two-stage testing of advan ed dynami subgrid-s ale models for

Large-Eddy Simulation on parallel omputers. June 1999.

99-14 R. A. R�omer, M. E. Raikh. The Aharonov-Bohm e�e t for an ex iton. June 1999.

99-15 P. Benner, R. Byers, V. Mehrmann, H. Xu. Numeri al omputation of de ating subspa es

of embedded Hamiltonian pen ils. June 1999.

99-16 S. V. Nepomnyas hikh. Domain de omposition for isotropi and anisotropi ellipti prob-

lems. July 1999.

99-17 T. Stykel. On a riterion for asymptoti stability of di�erential-algebrai equations. August

1999.

99-18 U. Grimm, R. A. R�omer, M. S hreiber, J. X. Zhong. Universal level-spa ing statisti s in

quasiperiodi tight-binding models. August 1999.

99-19 R. A. R�omer, M. Leadbeater, M. S hreiber. Numeri al results for two intera ting parti les

in a random environment. August 1999.

99-20 C. Villagonzalo, R. A. R�omer, M. S hreiber. Transport Properties near the Anderson

Transition. August 1999.

99-21 P. Cain, R. A. R�omer, M. S hreiber. Phase diagram of the three-dimensional Anderson

model of lo alization with random hopping. August 1999.

99-22 M. Bollh�ofer, V. Mehrmann. A new approa h to algebrai multilevel methods based on

sparse approximate inverses. August 1999.

99-23 D. S. Watkins. In�nite eigenvalues and the QZ algorithm. September 1999.

99-24 V. Uski, R. A. R�omer, B. Mehlig, M. S hreiber. In ipient lo alization in the Anderson

model. August 1999.

99-25 A. Meyer. Proje ted PCGM for handling hanging in adaptive �nite element pro edures.

September 1999.

99-26 F. Milde, R. A. R�omer, M. S hreiber. Energy-level statisti s at the metal-insulator transi-

tion in anisotropi system. September 1999.

99-27 F. Milde, R. A. R�omer, M. S hreiber, V. Uski. Criti al properties of the metal-insulator

transition in anisotropi systems. O tober 1999.

99-28 M. The�. Parallel multilevel pre onditioners for thin shell problems. November 1999.

99-29 P. Biswas, P. Cain, R. A. R�omer, M. S hreiber. O�-diagonal disorder in the Anderson

model of lo alization. November 1999.

99-30 C. Mehl. Anti-triangular and anti-m-Hessenberg forms for Hermitian matri es and pen ils.

November 1999.

99-31 A. Barinka, T. Bars h, S. Dahlke, M. Konik. Some remarks for quadrature formulas for

re�nable fun tions and wavelets. November 1999.

99-32 H. Harbre ht, C. Perez, R. S hneider. Biorthogonal wavelet approximation for the oupling

of FEM-BEM. November 1999.

99-33 C. Perez, R. S hneider. Wavelet Galerkin methods for boundary integral equations and the

oupling with �nite element methods. November 1999.

99-34 W. Dahmen, A. Kunoth, R. S hneider. Wavelet least squares methods for boundary value

problems. November 1999.

99-35 S. I. Solovev. Convergen e of the modi�ed subspa e iteration method for nonlinear eigen-

value problems. November 1999.

99-36 B. Heinri h, B. Nkemzi. The Fourier-�nite-element method for the Lam�e equations in

axisymmetri domains. De ember 1999.

99-37 T. Apel, F. Milde, U. Rei hel. SPC-PM Po 3D v 4.0 - Programmers Manual II. De ember

1999.

99-38 B. Nkemzi. Singularities in elasti ity and their treatment with Fourier series. De ember

1999.

99-39 T. Penzl. Eigenvalue de ay bounds for solutions of Lyapunov equations: The symmetri

ase. De ember 1999.

99-40 T. Penzl. Algorithms for model redu tion of large dynami al systems. De ember 1999.

00-01 G. Kunert. Anisotropi mesh onstru tion and error estimation in the �nite element

method. January 2000.

00-02 V. Mehrmann, D. Watkins. Stru ture-preserving methods for omputing eigenpairs of large

sparse skew-Hamiltonian/Hamiltonian pen ils. January 2000.

00-03 X. W. Guan, U. Grimm, R. A. R�omer, M. S hreiber. Integrable impurities for an open

fermion hain. January 2000.

00-04 R. A. R�omer, M. S hreiber, T. Vojta. Disorder and two-parti le intera tion in low-

dimensional quantum systems. January 2000.

00-05 P. Benner, R. Byers, V. Mehrmann, H. Xu. A uni�ed de ating subspa e approa h for

lasses of polynomial and rational matrix equations. January 2000.

00-06 M. Jung, S. Ni aise, J. Tabka. Some multilevel methods on graded meshes. February 2000.

00-07 H. Harbre ht, F. Paiva, C. Perez, R. S hneider. Multis ale Pre onditioning for the Coupling

of FEM-BEM. February 2000.

00-08 P. Kunkel, V. Mehrmann. Analysis of over- and underdetermined nonlinear di�erential-

algebrai systems with appli ation to nonlinear ontrol problems. February 2000.

00-09 U.-J. G�orke, A. Bu her, R. Krei�ig, D. Mi hael. Ein Beitrag zur L�osung von Anfangs-

Randwert-Problemen eins hlie�li h der Materialmodellierung bei �niten elastis h-plastis hen

Verzerrungen mit Hilfe der FEM. M�arz 2000.

00-10 M. J. Martins, X.-W. Guan. Integrability of the D

2

n

vertex models with open boundary.

Mar h 2000.

00-11 T. Apel, S. Ni aise, J. S h�oberl. A non- onforming �nite element method with anisotropi

mesh grading for the Stokes problem in domains with edges. Mar h 2000.

00-12 B. Lins, P. Meade, C. Mehl, L. Rodman. Normal Matri es and Polar De ompositions in

Inde�nite Inner Produ ts. Mar h 2000.

00-13 C. Bourgeois. Two boundary element methods for the lamped plate. Mar h 2000.

00-14 C. Bourgeois, R. S hneider. Biorthogonal wavelets for the dire t integral formulation of

the heat equation. Mar h 2000.

00-15 A. Rathsfeld, R. S hneider. On a quadrature algorithm for the pie ewise linear ollo ation

applied to boundary integral equations. Mar h 2000.

00-16 S. Meinel. Untersu hungen zu Dru kiterationsverfahren f�ur di htever�anderli he Str�omungen

mit niedriger Ma hzahl. M�arz 2000.

00-17 M. Konstantinov, V. Mehrmann, P. Petkov. On Fra tional Exponents in Perturbed Matrix

Spe tra of Defe tive Matri es. April 2000.

The omplete list of urrent and former preprints is available via

http://www.tu- hemnitz.de/sfb393/preprints.html.