Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8...
Transcript of Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8...
Tweedegraads vergelijkingen oplossen
Een korte en onvolledige samenvatting van paragraaf 1.3 van hoofdstuk 1 HAVO 4 wiskunde B
© 2011 W.v.Ravenstein
Wat is een tweedegraads vergelijking?
• Dat is een vergelijking met termen en getallen waarbij de hoogste macht van ‘x’ (de variabele) gelijk is aan twee.
• Voorbeelden: x² = 3x + 4 x² = 2 (4x - 3)² = (x + 4)² + 12x + 19 9x(x - 1) = 4x - 5
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 4
• Oplossen?
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 4
• Oplossen?
• x=2 of x=-2
• TWEE OPLOSSINGEN DUS!
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 2
• Oplossen?
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 2
• Oplossen?
• x=− 2 of x= 2
• TWEE OPLOSSINGEN DUS!
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 0
• Oplossen?
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 0
• Oplossen?
• x=0
• Één oplossing dus!
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = -3
• Oplossen?
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = -3
• Oplossen?
• De oplossing is dat er geen oplossing is…
• Géén oplossing dus!
Conclusie
Bij een tweedegraads vergelijking kan je dus 2, 1 of 0 oplossingen krijgen.
Dat geldt voor alle tweedegraads vergelijkingen.
Dat je ‘t maar weet…
Nu de rest nog…
Er volgen nu 8 voorbeelden… de
vraag is steeds “hoe pak je dat aan?”
Voorbeeld 1
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• Oplossen? Hoe?
Voorbeeld 1
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• Oplossen? Hoe?
• Ontbinden in factoren!
• Product-som-methode…
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
Waarom werkt dat?
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
Waarom werkt dat?
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
• Een soort van hoofdregel:
Als a · b = 0 dan is a = 0 of b = 0.
Voorbeeld 2
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 0
• Oplossen? Hoe?
Voorbeeld 2
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 0
• Oplossen? Hoe?
• Gebruik de hoofdregel…
• 3𝑥 + 2 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0
• 3𝑥 = −2 ∨ 𝑥 =7
𝑥 = −2
3∨ 𝑥 = 7
Voorbeeld 3
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• Oplossen? Hoe?
Voorbeeld 3
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• Oplossen? Hoe?
• De hoofdregel gaat nu niet werken!
• Het moet wel NUL zijn… en niet 8.
• Haakjes wegwerken, op nul herleiden en verder oplossen…
Voorbeeld 4
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• 3𝑥² − 21𝑥 + 2𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 22 =0
• Maar wat nu?
Voorbeeld 4
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• 3𝑥² − 21𝑥 + 2𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 22 =0
• Maar wat nu?
• Met de abc-formule zou ‘t kunnen… Maar dat gaan we nu niet doen
Voorbeeld 5
• 𝑥² + 4𝑥 = 0
• Oplossen? Hoe?
Voorbeeld 5
• 𝑥² + 4𝑥 = 0
• Oplossen? Hoe?
• Ontbinden in factoren!
• 𝑥 𝑥 + 4 = 0
• 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 + 4 = 0
• 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −4
Voorbeeld 6
• 𝑥² + 4 = 20
• Oplossen? Hoe?
Voorbeeld 6
• 𝑥² + 4 = 20
• Oplossen? Hoe?
• Lijkt toch wel erg veel op het eenvoudigste voorbeeld van net…
• 𝑥² = 16
• 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 4
Voorbeeld 7
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• Oplossen? Hoe?
Voorbeeld 7
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• Oplossen? Hoe?
• Eerst op nul herleiden…
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Maar dan?
Voorbeeld 7
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• Oplossen? Hoe?
• Eerst op nul herleiden…
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Maar dan?
• Ontbinden in factoren gaat niet!
Voorbeeld 8
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Ontbinden gaat niet? Wat dan?
Voorbeeld 8
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Ontbinden gaat niet? Wat dan?
• De ABC-formule!
• 𝑎 = 1, 𝑏 = −8 𝑒𝑛 𝑐 = −12
• 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = −8 2 − 4 · 1 · −12 = 112
• 𝑥 =−𝑏± 𝐷
2𝑎=
−−8± 112
2·1=
8±4 7
2
• 𝑥 = 4 − 2 7 ∨ 𝑥 = 4 + 2 7
Tot slot - overzicht
• Ontbinden in factoren
• Verschillende typen tweedegraads vergelijkingen
• De abc-formule
E I N D E
"Inside every cynical person, there is a disappointed idealist." George Carlin