TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS

Yunita Dwi NingtyasDian Oktaprianti

Ahmad Adam kautsaar

Turunan Fungsi kompleks di Satu Titik

Definisi 4.4.1 :

Diberikan fungsi f terdefinisi padaregion

Dan . Turunan fungsi f di

didefinisikan dengan

Jika limit ini ada.

CD Dz 0 0z

0

00 lim

0

'zz

zfzfzf

zz

Misalkan . Diperoleh dan Jika dan hanya jika , sehingga turunanfungsi di dapat ditulis :

zzz 0 zzz 0 0zz

0z

0z

z

zfzzfzf

z

00

00 lim'

Definisi 4.4.2Diberikan fungsi f terdefinisi pada region

Turunan fungsi f pada D didefinisikan dengan

jika limit ini ada.

Misalkan , maka . Karena

Jika dan hanya jika , sehingga definisi

Turunan di atas dapat ditulis dalam bentuk

jika limit ini ada

z

zfzzfzf

z

00

00 lim'

CD

wzz zwz 0z

zw

zw

zfwfzf

zw

lim'

Misalkan fungsi f didefinisikan denganCarilah JAWAB: ???

2zzf

zf '

Contoh

Teorema 4.4.3Diberikan fungsi f terdefinisi pada region

Dan . Jika ada, maka f kontinu di

Contoh :

Perlihatkan bahwa diseluruh bidang

Kompleks, tetapi f hanya dapat diturunkan di

JAWAB

CD

Dz 0 0' zf 0z

2zzf

0z

Teorema 4.4.4 :a. Jika fungsi f dan g dapat diturunkan pada

region , maka fungsi , , kf(k konstanta) dan fg dapat diturunkan pada D dan ditentukan oleh aturan :

CD gf gf

zgzfzgzfzfg

zkfzkf

zgzfzgf

zgzfzgf

'''

''

'''

'''

b. Jika fungsi f dan g dapat dturunkan pada region , dan pada D, maka fungsi dapt ditirunkan pada D dan ditentukan oleh aturan :

CD 0zg

g

f

2

'''

zg

zgzfzgzfz

g

f

Teorema 4.4.5:Diberikan fungsi f yang dapat diturunkan pada C

a. Jika untuk setiap dengan k suatu konstanta, maka

b. Jika untuk setiap , maka

c. Jika untuk setiap maka

d. Jika untuk setiap ,maka

e. Jika untuk setiap maka

kzf Cz 0' zf

zzf Cz 1' zf

nzzf ,, NnCz 1' nnzzf

nnnn azazazazf

11

10 ... ,Cz Nn 1

21

10 ...1'

nnn aznanzazf

nzzf ,, ZnCz 1' nnzzf

22

423

2

4

1

2314

1

3

z

zzzz

z

z

dz

d

Contoh

Teorema 4.4.6:

diberikan fungsi dan . Jika fungsi f

Diturunkan di z dan fungsi g dapat diturunkan di

u=f(z) , maka w=(gof)(z)=g(f(z)) dapat

diturunkandi z dan

Diperoleh dan

Dengan demikian dapat ditulis

ugw zfu

zfzfgzgof '.''

zfgugdu

dw'' zf

dz

du'

dz

du

du

dw

dz

dw.

Latihan

1. Carilah f dari fungsi berikut :

2. Tentukan dari pada

32 36 zzzf

0' zf 123 zzzf iz 0