Kata Pengantar

Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Makalah ini berisi mengenai “Aplikasi Turunan Parsial dan Multivariabel dalam Elastisitas”.

Adapun makalah kalkulus tentang “Aplikasi Turunan Parsial dan Multivariabel dalam

Elastisitas” ini telah penulis usahakan semaksimal mungkin dan tentunya dengan bantuan

berbagai pihak, sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami tidak

lupa menyampaikan bayak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami

dalam pembuatan makalah ini.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca umumnya dan penyusun

khususnya sebagai bahan referensi dalam pembelajaran mata kuliah Kalkulus dan untuk lebih

memahami tentang “Aplikasi Turunan Parsial dan Multivariabel dalam Elastisitas”. Namun

penulis sangat menyadari bahwa makalah ini jauh dari sempurna. Oleh sebab itu, penulis

mengharap kritik dan saran yang membangun agar kedepan penulis dapat menyusun makalah

dengan lebih baik lagi.

Medan, Desember 2013

Penyusun

BAB IPENDAHULUAN

1. 1 Latar BelakangTurunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk

menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 – 1727), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus.

Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan demikian, mempelajari aplikasi / penerapan konsep turunan adalah hal yang sangat penting bagi para pencari ilmu

1. 2 PermasalahanPenerapan turunan dalam bidang ekonomi meliputi elastisitas, yakni elastisitas

permintaan dan elastisitas penawaran.

1. 3 Tujuan1. Mengetahui aplikasi turunan dalam bidang ekonomi terutama dalam elastisitas permintaan dan

elastisitas penawaran.2. Mengetahui materi dalam bidang ekonomi yang menggunakan konsep turunan.3. Mengetahui jenis-jenis turunan yang dipakai dalam ekonomi.

4. 4 Kajian Teori SingkatProses penurunan sebuah fungsi yang merupakan penentuan limit suatu

kuosien diferensi dalam pertambahan variable bebasnya sangat kecil atau mendekati nol disebut dengan Diferensiasi. Adapun hasil (turunan) yang diperoleh dari proses diferensiasi itulah yang disebut dengan derivatif (∆y/∆x atau dy/dx).

BAB IIPEMBAHASAN

A.    Kaidah Diferensiasi

Terdapat beberapa kaidah yang paling sering digunakan dalam pendiferensiasian, di antaranya :

1. Diferensiasi konstanta (k = konstanta)

Jika : y = k Maka : y′ = 0

contoh : y = 4

turunan : y′ = 0

2. Diferensiasi pangkat

Pangkat

Jika : y = xn maka : y′ = nxn-1

contoh : y = x5

Turunan : y′ = n. X n-1

y′ = 5 . x 5-1

y′ = 5x4

3. Diferensiasi perkalian

Jika : y = kv di mana: v = h(x) , k = konstanta

maka : y′ = k . v′

contoh : y = 2x5

k = 2 v = x5 maka : v′ = 5x5-1 = 5x4

turunan : y′ = k . v′ → y′ = 2 (5x4)

y′ = 10x4

4.      Diferensiasi penjumlahan & pengurangan

  Penjumlahan fungsi

Jika : y = u + v di mana : u = g(x) , v = h(x)

maka : y′ = u′ + v′

contoh : y = 2x5 + x2

u = 2 x5 maka : u′ = 2.5x5-1 = 10x4

v = x2 maka : v′ = 2x2-1 = 2x

turunan : y′ = u′ + v′ → y′ = 10x4 + 2x

Pengurangan fungsi

Jika : y = u - v di mana : u = g(x) , v = h(x)

maka : y′ = u′ - v′

contoh :y = 2x5 - x2

u = 2 x5 maka : u′ = 2.5x5-1 = 10x4

v = x2 maka : v′ = 2x2-1 = 2x

turunan : y′ = u′ - v′ → y′ = 10x4 - 2x

B.     Turunan dari turunanContoh : y = f(x) = 4x3 - 6x2 + 3x – 8

y′ = f′(x) = 12x2 - 6x + 3

y′′ = f′′(x) = 24x – 6

y′′′ = f′′′(x) = 24

yIV = fIV(x) = 0

C.    Hubungan Antara Fungsi dan Turunannya

1.   Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan

pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada pada titik

ekstrimnya. Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrimnya. Jika f′′(x) < 0 maka

titik ekstrimnya maksimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah. Jika f′′(x) > 0 maka

titik ekstrimnya minimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke atas.

Contoh :

Tentukan titik ekstrim dan koordinatnya dari fungsi y = 6x2 - 8x + 1!

Penyelesaian :

y = 6x2 - 8x + 1 → f′(x) = 12x – 8

f′′(x) = 12 > 0 (minimum-terbuka ke atas)

koordinat : y′ = 0 → 12x – 8 = 0 → x = 8/12 = 0,67

x = 0,67 → y = 6(0,67)2 - 8(0,67) + 1 = -1,66

Jadi, titik minimum kurva tersebut terdapat pada koordinat (0,67; -1,66)

2.  Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan

pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada pada titik

ekstrimnya. Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrim dan letak titik beloknya.

Jika f′′(x) < 0 pada y′ = 0, maka titik ekstrimnya maksimum. Jika f′′(x) > 0 pada y′ = 0, maka titik

ekstrimnya minimum. Jika y′′ = 0 maka y = f(x) berada pada titik beloknya.

Contoh :

Tentukan titik ekstrim dan titik belok dari fungsi y = x3 - 5x2 + 3x - 5!

Penyelesaian :

y = x3 - 5x2 + 3x – 5 → f′(x) = 3x2 – 10x + 3

f′′(x) = 6x – 10

syarat titik ekstrim : y′ = 0 → 0 = 3x2 – 10x + 3

x1 = 3 x2 = 0,3

untuk x = x1 = 3 → y = x3 - 5x2 + 3x – 5

y = (3)3 – 5(3)2 + 3(3) – 5 = -14

y′′ = 6x – 10

y′′ = 6(3) – 10 = 8 (8>0...minimum)

untuk x = x1 = 0,3 → y = x3 - 5x2 + 3x – 5

y = (0,3)3 – 5(0,3)2 + 3(0,3) – 5 = -4,5

y′′ = 6x – 10

y′′ = 6(0,3) – 10 = -8,2

syarat titik belok : y′′ = 0 → 0 = 6x – 10

x = 1,67

y = x3 - 5x2 + 3x – 5

y = (1,67)3 – 5(1,67)2 + 3(1,67) – 5 = -9,27

y′ = 3x2 – 10x + 3

y′ = 3(1,67)2 – 10(1,67) + 3 = -5,33

Jadi, fungsi kubik tersebut berada pada titik minimum di koordinat ( 3,-14) dan titik maksimum pada

koordinat (0,3;-4,5) serta titik belok pada koordinat (1,67;-9,27).

D.    Turunan Fungsi Multivariabel

Prinsip dan kaidah turunannya sama dengan fungsi bervariabel bebas tunggal, hanya saja pada

turunan fungsi multivariable ini akan ditemui turunan parsial (turunan bagian demi bagian) dan

turunan total. Pada fungsi multivariable, karena variable bebasnya lebih dari satu macam maka

turunan yang akan dihasilkan juga lebih dari satu macam. Bentuk umumnya:

Jika y = f ( x,y )maka turunannya :

1.      Turunan y terhadap x → ∂ y / ∂ x

2.      Turunan y terhadap z → ∂ y / ∂ z

Sehingga:

1.      y = f(x,z)

a.    fx (x,z) =y′x = x′

b.    fz (x,z) = y′z = z′

y′ = x′ + z′

2.      p = f(q, r, s)

a.    fq (q, r, s) = p′q = q′

b.    fr (q, r, s) = p′r = r′

c.    fs (q, r, s) = p′s = s′

p′ = q′ + r′ + s′

3.      y = f(x,z)

fx (x,z) =y′x = x′

fz (x,z) = y′z = z′

y = f(x) =y′ = x′

z′ = y′x + y′z (x′)

Notes:

y′x, y′z, p′q, p′r, dan p′s disebut turunan parsial.

y′ disebut turunan fungsi variabel tunggal

z′ disebut turunan total

Contoh :

1. Carilah turunan parsial dan turunan total dari fungsi Z = f(X,Y) = 2X5 – 4Y + 10 dan Y = 2X +

3

Diketahui : Z = f(X,Y) = 2X5 – 4Y + 10

Y = 2X + 3

Ditanya : a. ZX….? b. ZY….? c. z′ ….?

Penyelesaian :

  Turunan Parsial   Turunan Total

ZX = Z′x = 10X4 z′ = Z′x + Z′y (y′)

ZY = Z′y = -4 = 10X4 + -4(2)

y′ = 2 = 10X4 - 8

E.     Penerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam ekonomi

ELASTISITAS

            Dalam ilmu ekonomi, elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuah

variabel dengan perubahan variable lainnya. Dengan kata lain, elastisitas mengukur seberapa besar

besar kepekaan atau reaksi konsumen terhadap perubahan harga.

            Penggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa yang akan

barang/jasa dinaikkan. Pengetahuan mengenai seberapa dampak perubahan harga terhadap permintaan

sangatlah penting. Bagi produsen, pengetahuan ini digunakan sebagai pedoman seberapa besar ia

harus mengubah harga produknya. Hal ini sangat berkaitan dengan seberapa besar penerimaan

penjualan yang akan ia peroleh. Sebagai contoh, anggaplah biaya produksi sebuah barang meningkat

sehingga seorang produsen terpaksa menaikkan harga jual produknya.

Menurut hukum permintaan, tindakan menaikkan harga ini jelas akan menurunkan

permintaan. Jika permintaan hanya menurun dalam jumlah yang kecil, kenaikan harga akan menutupi

biaya produksi sehingga produsen masih mendapatkan keuntungan. Namun, jika peningkatan harga

ini ternyata menurunkan permintaan demikian besar, maka bukan keuntungan yang ia peroleh. Hasil

penjualannya mungkin saja tidak dapat menutupi biaya produksinya, sehingga ia menderita kerugian.

Jelas di sini bahwa produsen harus mempertimbangkan tingkat elastisitas barang produksinya

sebelum membuat suatu keputusan. Ia harus memperkirakan seberapa besar kepekaan konsumen atau

seberapa besar konsumen akan bereaksi jika ia mengubah harga sebesar sepuluh persen, dua puluh

persen, dan seterusnya.

Bentuk umum :

η = Ey = lim = y′ . x

Ex ∆x→0 y

Macam-macam elastisitas :

a)  Elastisitas Permintaan

Elastisitas Permintaan adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan

jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah

barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga).

Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adalah :

ηd = %∆Qd = EQd = lim = Q′d . P

%∆P EP ∆P→0 Qd

Jika |ηd| > 1 maka elastik, jika |ηd| < 1 maka inelastik dan jika |ηd| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :

Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Qd = 75 – 5P2. tentukan elastisitas permintaan

pada harga p = 20

Penyelesaian :

Qd = 75 – 5P2 → Q′d = - 10P → P = 20

ηd = %∆Qd = EQd = lim = Q′d . P

%∆P EP ∆P→0 Qd

ηd = - 10P . P/ Qd

ηd = - 10(20) . 20/ (75 – 5(20) 2)

ηd = - 200 . 20/ - 1925 = 2 (2 > 1 ...... elastik)

Jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun) sebesar 1% sehingga jumlah barang yang

diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 2%.

Catatan :

Dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang dibandingkan adalah angka

hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat diabaikan karena tanda tersebut hanya

mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak berlawanan arah dengan

harga.

Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = f(P).

b)      Elastisitas Penawaran

Elastisitas Penawaran adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah

barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah

barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga).

Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah :

ηs = %∆Qs = EQs = lim = Q′s . P

%∆P EP ∆P→0 Qs

Jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :

Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Qs = -75 + 5P2. tentukan elastisitas

penawaran pada harga p = 20

Penyelesaian :

Qs = -75 + 5P2 → Q′s = 10P → P = 20

ηs = %∆Qs = EQs = lim = Q′s . P

%∆P EP ∆P→0 Qs

ηs = 10P . P/ Qs

ηs = 10(20) . 20/ (-75 + 5(20) 2)

ηs = 200 . 20/ 1925 = 2 (2 > 1 ...... elastik)

Jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang

ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%.

c)      Elastisitas Produksi

Elastisitas Produksi adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan

jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang

digunakan (rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah

masukan).

Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi

produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya adalah :

ηp = %∆P = EP = lim = P′ . X

%∆X EX ∆X→0 P

Jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :

Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3 pada tingkat faktor produksi

sebanyak 2 unit!

Penyelesaian :

P = 5X2 – 5X3 → P′ = 10X - 15X2 → P = 2

ηp = %∆P = EP = lim = P′ . X

%∆X EX ∆X→0 P

ηp = (10X - 15X2) . (X/ (5X2 – 5X3))

ηp = (10(2) – 15(2)2) . (2/ (5(22)– 5(23))

ηp = -40 . -0,1 = 4

Jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakan naik sebesar 1% sehingga

produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.

 F.     Aplikasi Fungsi Multivariabel dalam Ekonomi

o Elastisitas Harga-Permintaan, Elastisitas Silang-Permintaan dan Elastisitas Penghasilan dari

Permintaan

Elastisitas harga-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan

suatu barang akibat perubahan harga barang itu sendiri. Bentuk umumnya:

εd = Q′d . Pd

Q

Elastisitas silang-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan

permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang lain. Bentuk umumnya:

εC = Q′s . Ps

Q

Elastisitas penghasilan dari permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan

permintaan suatu barang akibat perubahan penghasilan nasional. Bentuk umumnya:

εY = Y′ . Py

Q

Notes: untuk elastistitas silang-permintaan berlaku:jika ec negative (ec < 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah komplementer (saling melengkapi), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya.

jika ec positif (ec > 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah kompetitif/substitutif (saling menggantikan), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya.

Contoh :Fungsi permintaan barang A terhadap barang komplementer ditunjukkan dengan persamaan QA = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y. Carilah elastisitas harga-permintaan, elastisitas silang-permintaan dan elastisitas penghasilan dari permintaan pada saat PA = 30, Ps = 10 dan Y = 5.000!

Diketahui: Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y PA = 30 Ps = 10 Y = 5.000

Ditanya : εd….? εC….? εY….?Penyelesaian:

Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4YQ = 2300 – 10(30) + 5(10) + 0,4(5000) = 2300 – 300 + 50 + 2000

= 4.050

Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y → P′A = -10

εd = Q′d . PA = -10 . 30 / 4.050 = -10 (0,007) = -0,07 (in-elastis)

Q

Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y → P′s = 5

εC = Q′s . Ps = 5 . 10 / 4050 = 5 (0,002) = 0,01 (in-elastis)

Q

Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y → P′y = 0,4 εY = Y′ . Py = 0,4 . 5000 / 4050 = 0,4 (1,23) = 0,49 (in-elastis)

Q

analisis : ey = 0,49 < 1 (in-elastis); berarti setiap kenaikan (%) penghasilan nasional, maka permintaan barang A akan naik kurang proporsional.

Ec = 0,01 < 1 (in-elastis); berarti permintaan barang A akan barang komplementer mendapat pengaruh negative, sehingga berdampak pada kecenderungan menambah jumlah permintaan barang A. Hal sebaliknya akan terjadi jika terdapat permintaan barang A akan barang substitutive. Ec terhadap barang substitutive dapat memberikan nilai ec > 0 sehingga membawa pengaruh positif terhadap barang A, di mana jumlah permintaan barang A dapat berkurang.

BAB IIIPENUTUP

3.1    Kesimpulan 

Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan aplikasi turunan:

1. Maksimum dan Minimum

2.      Kemonotonan dan Kecekungan3.      Maksimum dan Minimum Lokal4.      Lebih Banyak Masalah Maks-Min5.      Penerapan Ekonomik6.      Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga7.      Teorema Nilai Rata-Rata

8.      Penggambaran Grafik CanggihSedangkan apilkasi nya dalam berbagai bidang

1.      Dalam bidang tehnik2.      Dalam bidang matematika3.      Dalam bidang ekonomi4.      Dalam bidang fisika

Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa turunan memiliki sangat banyak penerapan. Diantaranya adalah untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi, menentukan nilai maksimum dan nilai minimum lokal, menentukan kemonotonan dan kecekungan grafik fungsi, menentukan nilai limit tak hingga. Selain itu, konsep turunan juga dapat di aplikasikan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Dalam fisika misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung kecepatan. Dalam matematika sendiri turunan biasa digunakan untuk

menentukan luas maksimum suatu benda, menentukan persamaan garis singgung, dll. Sedangkan dalam ekonomi, turunan digunakan untuk menentukan biaya marjinal dari produksi suatu barang.

REFERENSI

Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga

Setiawan. 2004. PDF Pengantar Kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/ (diakses tanggal 18 Desember 2012)

a/n: berhubung kalo dipost langsung jadinya berantakan, download langsung makalahnya aja ya. Jangan lupa cantumkan credit alamat blog everlasting.blogspot.comLink Download : Makalah Kalkulus – Aplikasi Turunan

        Daftar Pustaka Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga Sari, Intan. 2009. Penggunaan turunan.

http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/ (diakses tanggal 22 April 2012)

 Setiawan. 2004. PDF Pengantar kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/

(diakses taggal 22 April 2012) 

Sutrisno,agung. 2009. Matematika dasar.WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM (diakses tanggal 22 April 2012)