tugas makalah statistik

HUBUNGAN TEORI HIMPUNAN DAN

PROBABILITAS

Disusun untuk melengkapi Tugas Matakuliah Statistik

Disusun Oleh :

Nama : FADHOLI

NIM : 21060113060065

PROGRAM STUDI DIPLOMA III TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS DIPONEGORO

2015

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek

yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.

Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan

jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk

membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan

anggota himpunan.

Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan

bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya

suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot

sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p( A B ) yang menyatakan probabilitas A

bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat

dihitung menggunakan :

Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B

p ( A ) adalah probabilitas A

B. Perumusan Masalah

Dari uraian sepintas diatas yang telah dipaparkan saya dapat menguraikan perumusan

masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana Teori Himpunan ?

2. Bagaimana Teori Probabilitas ?

3. Apa Hubungan antara Teori Himpunan dengan Teori Probabilitas ?

4. Bagaimana Probabilitas Bersyarat ?

5. Bagaimana Total Probabilitas ?

6.

BAB II

PEMBAHASAN

1. TEORI HIMPUNAN

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Gerorg Cantor

dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang

mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia,

hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau

elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu

himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota

himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian

dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).

Contoh :

1. Himpunan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o

2. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, 2, 4, 6, …

3. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x2 - 3x – 4 = 0

Penyajian Cara Himpunan

1. Enumerasi

Contoh .

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x A : x merupakan anggota himpunan A;

x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

2. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A

= {1, 3, 5}.

3 . Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh .

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau

A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn

Contoh .

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : atau {}

Contoh .

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}

{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap

elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn:

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A B dan B C, maka A C

Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap

elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika

tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari

kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki

elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

Contoh .

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A

sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

b. Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

c. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh .

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

d. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B

Contoh

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B –

A =

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Contoh

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A B = B A (hukum komutatif)

(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }

Contoh .

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak

kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D.

4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =

2. TEORI PROBABILITAS

1. Probabilitas Suatu Kejadian


bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya

suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot

sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

Definisi II.1

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang

termasuk A. Jadi

Contoh II. 1

Bila sebuah mata uang dilantunkan dua kali maka ruang sampelnya adalahS = { MM,

MB, BM, BB }. Bila mata uang yang digunakan setaangkup maka tiap hasil mempunyai

kemungkinan muncul sama. Tiap titik diberi bobot b sehingga 4b = 1 atau b = ¼. Bila A

menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul maka P(A) = ¾.

Teorema II.1

Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama

dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A maka probabilitas kejadian

A adalah P(A) = n/N.

Contoh II.2

Bila satu kartu ditarik dari satu kotak bridge berisi 52 kartu maka akan ditentukan

peluang mendapatkan kartu hati. Banyaknya hasil yang mungkin adalah 52 dan 13

diantaranya adalah kartu hati. Probabilitas kejadian A menarik kartu hati adalah 17 P(A) =

13/52 = ¼.

2. Hukum- Hukum Probabilitas

Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Jika A dan A’ adalah kejadian saling berkomplemen, maka P(A’) = 1 – P(A)

3. HUBUNGAN ANTARA TEORI HIMPUNAN DENGAN TEORI PROBABILITAS

Teori probabilitas merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan analisis

fenomena acak. Obyek utama dalam kajian adalah peubah acak, kejadian acak, dan proses

stokastik. Dua obyek penting dalam kajian ini adalah hukum bilangan besar (law of large

number) dan teorema limit pusat (central limit theorem).

Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika.

Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yang

melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar, termasuk teori himpunan.Jadi

teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu sama lain.

Metode–metode probabilitas (dalam sistem kompleks) digunakan dalam mekanika

statistis. Hal ini merupakan pendekatan dalam fisika teoritis dalam penyelidikan fenomena

fisis khususnya dalan kajian secara atomik. Kajian khusus dalam fisika teoritis tersebut

disebut dengan mekanika kuantum.

Dasar matematika yang relevan dan berguna untuk tujuan ini adalah teori himpunan

dan teori probabilitas. Jika didefenisikan dalam konteks himpunan, peristiwa-peristiwa dapat

dikombinasikan untuk memperoleh peristiwa lain melalui aturan operasi dari himpunan dan

sub-himpunan; pada dasarnya, ini menyangkut gabungan (union) dan perpotongan

(intersection) dari dua peristiwa atau lebih termasuk komplemen-komplemennya. Dengan

cara serupa, aturan-aturan operasi dari probabilitas menyajikan dasar untuk hubungan-

hubungan deduktif di antara probabilitas-probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang berbeda

di dalam ruang probabilitas tertentu; khususnya, ini terdiri dari aturan pertambahan (addition

rule), aturan perkalian,teorema probabilitas total,dan teorema Bayes

4. PROBABILITAS BERSYARAT

Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A B ) yang menyatakan probabilitas A

bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat

dihitung menggunakan :



Contoh 1.

Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu

kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai

berikut :

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara

acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri. Misalkan M menyatakan kejadian

lelaki yang terpilih sedangkan kejadian E menyatakan orang yang terpilih dalam status

bekerja.

Bila digunakan ruang sampel E diperoleh P(M | E) = 460/600 = 23/30.Misalkan n(A)

menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A. Diperoleh

Dalam hal ini

Contoh 2 :

Bila A menyatakan menyukai sepakbola ,B menyatakan menyukai bola voly

p(A) dan p(B) dinamakan dengan probabilitas marginal

p(A,B) menyatakan probabilitas bersama A dan B, dan dibaca probabilitas A dan B.

Kejadian(A,B) = {(ya,ya), (ya,tidak), (tidak,ya), (tidak,tidak)}

p(A=ya,B=ya) = 0.2

p(A=ya,B=tidak) = 0.5

p(A=tidak,B=ya) = 0.2

p(A=tidak,B=tidak) = 0.1

Probabilitas seseorang menyukai sepakbola bila diketahui dia menyukai bola volley

adalah:

Probabilitas seseorang tidak akan menyukai bola volley bila diketahui dia menyukai

sepakbola adalah:

5. TOTAL PROBABILITAS

Anggap sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan

bekerja (up) atau sedang diperbaiki (down). Anggap komponen mulai bekerja pada waktu t =

0. Setelah bekerja selama X1 satuan waktu, komponen tersebut gagal dan segera diperbaiki

selama Y1 satuan waktu sehingga komponen tersebut dapat bekerja kembali seperti

komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X2 komponen gagal lagi dan

diperbaiki kembali selama waktu Y2. Proses ini berlangsung terus menerus dan setiap kali

selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan (Xi; Yi; i ¸ 1) akan

dianggap sebagai barisan vektor acak positif dan berdistribusi independen dan identik.

Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel

indikator Z, sebagai berikut:

Jika Z (t) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t, maka total waktu bekerja

sistem pada interval waktu [0; t] diberikan :

Total waktu perbaikan D(t) didefinisikan sebagai berikut:

Dalam skripsi ini akan digunakan notasi untuk fungsi-fungsi distribusi kumulatif sebagai

berikut:

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan

jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan,

negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari

himpunan itu.


bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas

terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan

dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian

statistika. Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai

aktivitas yang melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar,

termasuk teori himpunan.Jadi teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu

sama lain.

Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A B ) yang menyatakan

probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak.

Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :



Statistik pada dasarnya merupakan alat Bantu untuk memberi gambaran atas

suatu kejadian melalui bentuk yang sederhana baik berupa angka maupun gambar

(grafik). Sedangkan statistika merupakan proses pengumpulan informasi,, pengolahan

informasi dan proses penarikan kesimpulan.

Di antara kegunaan Statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah: (a) Untuk

menggambarkan keadaan, baik secara umum amupun secara khusus; (b) Untuk

memperoleh gambaran tentang perkembangan (pasang-surut) dari waktu ke waktu; (c)

Untuk mengetahui permandingan (membandingkan) antara gejala yang satu dengan

gejala yang lain; (dalam) Untuk menilai keadaan dengan jalan menguji perbedaan

antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (e) Untuk menilai keadaan dengan

jalan mencari hubungan antara gejala yang satu dengan gejala yang lain;

Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan

kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Dengan demikian, jika pengalaman

yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka

barisan kejadian itu disebut stokastik.

Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya, proses-proses stokastik

dapat dibedakan menjadi:

1. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan tercacah

2. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan tercacah

3. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan malar

4. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan malar

Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuknya, proses

stokastik dapat dibedakan menjadi beberapa kelas seperti proses Levy, proses

Bernoulli, proses Markov, proses martinggil, dan proses titik (point process).

DAFTAR PUSTAKA

Teori Himpunan, kur2003.if.itb.ac.id/

Bab 4 Himpun, 202.91.15.14/ MATEMATIKA 1 Pengantar Teori Himpunan,

didi.staff.gunadarma.ac.id/

TEORI PROBABILITAS, sainsmat.uksw.edu/

Matematika, staff.ui.ac.id/

http://books.google.co.id/books/about/So_Statistik_Ed_3.html?id=TaqK12UuJkIC

Agus Irianto, Prof, DR, Statistik: Konsep Dasar dan Aplikasinya, Prenada Media, Jakarta,

2004.

Gonick, Larry and Smith, Woolcott, Kartun Statistik, Kepustakaan Populer Gramedia,

Jakarta, 2002.

J. Supranto, Pengantar Metode Statistik, Edisi VI, Penerbit Airlangga, Jakarta, 2003.

Noegroho Boedijoewono, Drs, Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan, Jilid 1 dan 2,

UPP AMP YKPN, Jogjakarta, 2000.

http://books.google.co.id/books/about/So_Statistik_Ed_3.html?id=TaqK12UuJkIC

tugas makalah statistik

Documents

Transcript of tugas makalah statistik