T_S1_Sistemas Convencionales de Medición Angular - Sector Circular
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1131
TEMATRIGONOMETRÍASAN MARCOS REGULAR 2009 - III
SISTEMAS CONVENCIONALES DEMEDICIÓN ANGULAR - SECTOR
CIRCULAR
TRIGONOMETRÍA - TEMA 1
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOTomando como referencia un plano, el ángulo trigonométricoes aquella figura que se genera por rotación de un rayoalrededor de su origen, desde una posición inicial hasta unaposición final.
EXTENSIÓNSea θ la medida de un ángulo trigonométrico.
L.F
L.I
-
Todo ángulo trigonométrico es orientado, es decir,sus medidas pueden ser positivas o negativas.
Se incluyó en los exámenes de SAN MARCOS 2000, 2001, 2003 y 2008.
SISTEMAS CONVENCIONALES DE MEDICIÓN ANGULAR
- < <
SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS)
Unidad: Grado sexagesimal (1°)
m 360
Equivalentes menores
1 60 ' 1' 60 '' 1º 3600''
Debes tener en cuenta:
a°b 'c ' ' <>a°+b '+c ' '
xg ym zs <> xg+ym+zs
Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos,estos deberán estar en el mismo sentido.
Se cumple: ( ) 180
180
Iniciamos este último recorrido en tu preparación para elingreso a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Enel capítulo sobre sistemas angulares, se resaltará laimportancia de la relación entre los sistemas sexagesimal,centesimal y radial, así como su aplicación en determinadassituaciones problemáticas.El capítulo sobre sector circular será dividido en longitud dearco y área de sector circular. Se debe tener presente que,en el año 2008, se incluyeron problemas sobre el tema en
habilidad numérica, lo que destaca la importancia del estudiode estos dos últimos capítulos.Para una visión clara del estudio de estos temas, señalaremossus objetivos:* Relacionar los sistemas convencionales de medición angular.* Indicar la forma de longitud de arco.* Reconocer las fórmulas para el cálculo de área de sector
circular.* Establecer estrategias para la resolución de situaciones
problemáticas.
SISTEMAS CONVENCIONALES DE MEDICIÓN ANGULAR - SECTOR CIRCULAR
114TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III1
TEMA 114
EQUIVALENCIA DE ÁNGULOS NOTABLES
180 rad
g200 rad
g9 10
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
I)S C R K
180 200
S= 180kC= 200kR= k
II)
RS C n90 10 20
S= 9nC= 10nR= n
20
III) Fórmula simplificada
S9
C10
=SC
Para situaciones problemáticas, por lo general, si seobservan los 3 números convencionales, es convenientela constante (k), y, si aparece solo S y C, es convenientela constante (n).
SISTEMA SEXAGESIMAL( FRANCÉS)Unidad: Grado centecimal (1g)
gm 400
Equivalentes Menores
g m1 100 m s1 100 g s1 10000
S I S T E M A R A D I A L - C I R C U L A R -I N T E R N A C I O N A LUnidad: Un radián (1 rad)
rr
r0 1 rad
El radián se define como la medida de un ángulo centralque subtiene un arco de igual longitud que el radio de lacircunferencia.
m 2 rad
El valor de ( ) no es exacto, es irracional.
Los valores aproximados son:
3,1416 227
3 2 10
Para las unidades en lossistemas convencionales.se cumple:
g1rad 1 1
SECTOR CIRCULAR
1. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Longitud de la circunferencia L 2 R
Área de círculo 2A R
2. LONGITUD DE ARCOSea θ la medida de un ángulo trigonométrico.
Fórmula básica
L R
0 2
L
R
SISTEMAS CONVENCIONALES DE MEDICIÓN ANGULAR - SECTOR CIRCULAR
115SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 1TEMA
115
En el sector circular, la medida del ángulo central siempredebe estar expresada en radianes; entonces, es importanterecordar:
grad 180 200
3. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRAUNA RUEDA SIN RESBALAR
r
LR
r
n: N.° de vueltas:L
n2 rR
LR: Longitud del recorrido
4. ÁREA DE SECTOR CIRCULAR
1 2S R2 1S LR
2
2LS2
5. ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR
L L1 2A dT 2
L L1 2
d 0 2
6. PROPIEDADES
I)
1rad
=
=
=
a
a
a L R 1rad
II)
B bn
III) S: Área
-- -
-
-
-
-
-
S 3S 5S 7S
IV) S: Área
K
Problema 1
Calcular:g11 rad 800M
360 rad
Observación:
Para efectuar operaciones en tres
medidas angulares, estas deben estar
expresadas en el mismo sistema. En
el caso del problema, si analizamos es
conveniente convertirlo a radianes.
Resolución:
g360 400 2 rad
11 rad 4 rad 15 radM2 rad rad 3 rad
Respuesta: 5
Problema 2
De la figura, calcula: 2
=
==
SISTEMAS CONVENCIONALES DE MEDICIÓN ANGULAR - SECTOR CIRCULAR
116TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III1
TEMA 116
NIVEL I1. Si se sabe (7x + 1)º < > 8xg,
Calcula la medida en radianes.
A) rad3
B) rad4
C) rad5
D) rad6
E) rad7
2. Calcula "x"
A)2 2a b
a B)
2 2a ba b
C) 2 2a
a bD)
2 2a – ba
E)2 2a – b
b
3. ¿Cuántos segundos sexagesimales
se deben agregar a 40g para
obtener rad4
?
A) 28600'' B) 32400''
C) 27400'' D) 34600''
E) 30000''
4. Del gráfico calcule el valor de , si
2 1S 2S .
A) 56
B) 34
C) 23
D) 45
E) 32
NIVEL II
5. Si
calcular "R".(S, C y R son lo convencional)
A) rad10
B) rad12
C) rad15
D) rad9
E) rad6
6. Si se cumple: a'' < > bm.
calcula:a .
10bA) 1,2 B) 1,4C) 1,6 D) 1,8E) 2,2
7. Calcula el valor de "L" en elsiguiente gráfico:
A) 3 B) 4C) 5 D) 6E) 7
8. Calcula: m g
S27' 5 20A –
2'' 9º50
A) 177 B) 178
C) 179 D) 180
E) 181
9 . S i S , C y R s o n l o c o n v e n c i o n a l p a r a
u n a m e d i d a a n g u l a r c a l c u l a l a
m e d i d a e n e l s i s t e m a c e n t e s i m a l .
Resolución:
Observación:Asignaremos variables (a) y (b) alos datos del problema y además:
L R
Reemplazando:
a b.......(I) b (a b)......(II)
Reemplazando:
(I) en (II) Factorizando (b)
b b( 1) 1 ( 1)
Respuesta: 2 + = 1
Problema 3
Calcula el área de la región sombrea-
da: R 24m .
Resolución:
R 24m
rad 2120 rad3180
Observación:Para calcular el área del sectorcircular, se deben tener dos datos.
Sabemos:1 2S R2
Reemp.: 1 2 2S ( 24)2 3
Respuesta: 8 m2
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117SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 1TEMA
117
2180 200 1S C 2R C–S
A) 1 0
m B) 15m
C) 20m D) 25m
E) 3
10. Calcula la relación entre las áreas
S2/S1; si: OC: bisectriz AD 2OD .
A) 2 B) 4
C) 6 D) 8
E) 10
11. Calcula: R.
C – R S – R C S–10 9 10S
Si S, C y R son lo convencional para
una medida angular.
A) 11 rad B) 13 rad
C) 15 rad D) 17 rad
E) 19 rad
12. Si S, C y R son lo convencional para
una medida angular donde se
cumple:
3 3 3S C 20R 369 10
,
calcular:S CA 32 5
A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
NIVEL III
13. De la figura 3S1 = 2S2,
calcula:OAOD
A) 10 B) 5
C) 1010
D) 55
E) 105
14. Observa el gráfico y calcula " ":
A) 2 – 1 B) 3 – 1C) 2 1 D) 4
E) 3 1
15. Si la raíz de la ecuación es 10,
calcula el valor de S si se sabe lo
siguiente:
2C–2S C S= –
2x+C–2S x–C x–S
(S y C son lo convencional).
A) 15 B) 14C) 13 D) 12E) 11
1. Completa:
rad3
______________
g50 ______________
18º ______________
2. De la figura: S: Área
S = ___________
S = ___________
S = ___________
3. Completa
I.C S – 3C–S
II. C S10R
4. De la figura:S: Área
Completa: S = ___________ ___________
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118TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III1
TEMA 118
5. Completa:
rad8
___________
rad16
___________
6. Completa en el siguiente gráfico en términos de A:Área:
7. Señala las equivalencias:
9º ___________
27 ' ___________
81'' ___________
8. Completa:
x = _____________
x = _____________
9. Se sabe lo siguiente:
I. gxx 3 27º , entonces x = ___________
II. gx 8 º 2x , entonces x = ___________
10.De la figura: S: Área
S = ____________
S = ____________