Trigonometry 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Τριγωνομετρία

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ 2


ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ2χ+συν2χ=1 ημ2χ=1-συν2χ συν2χ=1- ημ2χ

χ2συν

1=χ2εφ+1 χ2ημ

1=χ2σφ+1

ημχσυνχ=σφχ

σφχ1=εφχ

1=εφχσφχ συνχημχ=εφχ

Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Σε μοίρες

Σε ακτίνια ημχ συνχ εφχ σφχ

0ο 0 0 1 0 Δεν ορίζεται

300


6π

21

23

33 3

45ο 4π

22

22 1

1

60ο 3π

23

21 3

33

90ο 2π 1 0 Δεν

ορίζεται 0



Τ Υ Π Ο Ι Α Ν Α Γ Ω Γ Η Σ

ημ(2π-χ) = -ημχ

συν(2π-χ) = συνχ

εφ(2π-χ) = -εφχ

σφ(2π-χ) = -σφχ

ημ(-χ) = -ημχ

συν(-χ) = συνχ

εφ(-χ) = -εφχ

σφ(-χ) = -σφχ

ημ(π-χ) = ημχ

συν(π-χ) = -συνχ

εφ(π-χ) = -εφχ

σφ(π-χ) = -σφχ

ημ(π+χ) = -ημχ

συν(π+χ) = -συνχ

εφ(π+χ) = εφχ

σφ(π+χ) = σφχ

ημ(π/2-χ) = συνχ

συν(π/2-χ) = ημχ

εφ(π/2-χ) = σφχ

σφ(π/2-χ) = εφχ

ημ(π/2+χ) = συνχ

συν(π/2+χ) = -ημχ

εφ(π/2+χ) = -σφχ

σφ(π/2+χ) = -εφχ

ημ(3π/2-χ) = -συνχ

συν(3π/2-χ) =-ημχ

εφ(3π/2-χ) = σφχ

σφ(3π/2-χ) = εφχ

ημ(3π/2+χ) = -συνχ

συν(3π/2+χ) = ημχ

εφ(3π/2+χ) = -σφχ

σφ(3π/2+χ) = -εφχ


ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ

σφα σφβ1 + σφασφβ=β)σφ(α

σφβ + σφα1 σφασφβ=β)+σφ(α

εφαεφβ+1εφβ-εφα=β)-εφ(α

εφαεφβ1εφβ+εφα=β)+εφ(α

ημβσυνα-ημασυνβ=β)ημ(αημαημβ+συνασυνβ=β)συν(αημαημβ-συνασυνβ=β)+συν(α

ημβσυνα+ ημασυνβ=β)+ημ(α

−−

−−

−−

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ

, συν2α=1-εφ α

1+εφ2α

2


ημ2α = 2ημασυνα, ημ2α=2εφα

1+εφ2α

συν2α = συν2α-ημ2α

= 2συν2α-1 = 1-2ημ2α εφ2α = 2εφα

1-εφ α2

Επίσης: 2ημ2α = 1-συν2α ή 2συν2α1=αημ 2 −

2συν2α = 1+συν2α ή συν α=1+συν2α

22 εφ α=

1 συν2α1+συν2α

2 −


ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Αν ημχ = α = ημθ τότε χ = 2κπ + θ ή χ = (2κ+1)π- θ

Αν συνχ = α = συνθ τότε χ = 2κπ ± θ

Αν εφχ = α = εφθ τότε χ = κπ + θ



ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

n Μονάδες μέτρησης τόξων (γωνιών) 1 μοίρα είναι το 1/360 του κύκλου . Σύμβολο 1ο. 1 βαθμός είναι το 1/400 του κύκλου . Σύμβολο 1g (grade). 1 ακτίνιο είναι το τόξο που έχει μήκος όσο και η ακτίνα ρ του

κύκλου . Σύμβολο 1rad. Αν ένα τόξο μ σε μοίρες , β σε βαθμούς και α σε ακτίνια τότε ισχύει

μεταξύ τους: πα

200β

180μ

==

n Τριγωνομετρικός κύκλος

είναι κάθε κύκλος στον οποίο έχουμε ορίσει το σταθερό σημείο Α ως αρχή κάθε τόξου, έχουμε ορίσει μια θετική φορά και η ακτίνα του είναι η μονάδα .

♦ Ο τριγωνομετρικός κύκλος χωρίζεται σε 4 ίσα τόξα , από ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Κάθε τόξο από αυτά το λέμε τεταρτημόριο, που έχει μέτρο π/2 ακτίνια ή 90ο .

Στο Α αντιστοιχεί τόξο 0ο ή 0 ακτινίων. Στο Β αντιστοιχεί τόξο 90ο ή π/2 ακτινίων. Στο Α΄ αντιστοιχεί τόξο 180ο ή π ακτινίων. Στο Β΄ αντιστοιχεί τόξο 270ο ή 3π/2 ακτινίων. Στο Α αντιστοιχούν 0 ακτίνια ή 2π ακτίνια (ένας κύκλος) ή 4π ( τόξο με δύο περιστροφές ) κ.λ.π., δηλαδή άπειροι αριθμοί που δίνονται από τη σχέση : χ=2κπ , κ Ζ

♦ Ο άξονας ΑΑ΄ λέγεται άξονας των συνιμητόνων ♦ Ο άξονας ΒΒ΄ λέγεται άξονας των ημιτόνων



Στο γυμνάσιο Μάθαμε

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνία ω (σε ορθογώνιο τρίγωνο) :

ημω=


αυποτείνουσκάθετηαπέναντι

αβ =

συνω= γ=προσκείμενη κάθετη

α υποτείνουσα

εφω =γ=

β απέναντι κάθετηπροσκείμενη κάθετη

♦ Τριγωνομετρικοί αριθμοί ημθ, συνθ, εφθ, σφθ Αν Μ(α,β) τυχαίο σημείο ώστε το τόξο ΑΜ να έχει μέτρο θ, όσο και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία τότε: Η τετμημένη α του σημείου Μ στο σύστημα αξόνων λέγεται συνιμήτονο της γωνίας (ή τόξου) θ , ενώ Η τεταγμένη β του Μ λέγεται ημίτονο της γωνίας (ή τόξου θ).


Είναι (ΟΜ1) = α = συνθ =συν(2κπ+θ) , κ Ζ

(ΟΜ2) = β = ημθ = ημ(2κπ+θ) , κ Ζ

Οι τιμές που παίρνουν το ημίτονο και συνιμήτονο είναι για κάθε

χ R: -1≤ συνχ≤ 1 και -1≤ ημχ≤ 1

Προσοχή :

(ΚΑ)=εφθ

(ΒΛ)=σφθ

Ισχύει:

εφθ=συνθημθ

σφθ=ημθσυνθ




Να θυμάσαι !

0ο 30ο 45ο 60ο 90ο Παίρνω

τους αριθμούς 0 1 2 3 4 Παίρνω

τις ρίζες τους 0 1 2 3 4

Διαιρώ δια 2 124=

20

20=

21

21=

22

23

ημχ 0 21

23 1

22

0Ο 30Ο 45Ο 60Ο 90Ο

Παίρνω τους αριθμούς 4 3 2 1 0 Παίρνω

τις ρίζες τους 4 3 2 1 0

Διαιρώ δια 2 124=

23

22

21

21=

20

20=


συνχ 1 23

22

21 0

Τριγωνομετρικοί αριθμοί που συνδέονται με τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. Με βάση το παρακάτω σχήμα:

α) Το συνΒ ισούται με:


Α. ΒΔΒΛ Β.

ΒΓBA Γ.

BΔBK

Δ.

ΒΚBΔ

Ε.

ΛΔBΛ

β) Το ημΒ ισούται με:

Δ.

ΒΚΔΚ Ε.

BΔBΛ Α.

ΒΔΔΛ Β.

ΒΔΑΔ

Γ.

ΑΒΑΔ

2. Στο παρακάτω σχήμα η υποτείνουσα ισούται με:

Α. 7.συν40° Β. 7.ημ40°

Γ. 40

7

συν Δ.

ημ40

7

Ε. 7.εφ40°


Σχέσεις μεταξύ των κυρίων στοιχείων του τριγώνου, πλευρών και γωνιών

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°):

α) Δίνονται Β = 32° και ΒΓ = 6 m. Υπολογίστε τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ. β) Δίνονται ΑΒ = 5 m και Β = 41°. Υπολογίστε τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ. γ) Δίνονται ΒΓ = 8 m και ΑΓ = 5 m. Υπολογίστε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου, χρησιμοποιώντας τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών.

2. Δίνονται τα σχήματα:

Κάνοντας τις απαραίτητες μετρήσεις (προσέξτε την κλίμακα των σχεδίων) να συμπληρώσετε τον πίνακα:

γωνία θ 35° 70° 25° συνθ

ημθ



Τριγωνομετρικοί αριθμοί των αξιοσημείωτων γωνιών 45°, 30°, 60° 1. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές με κάθετες πλευρές 3 cm. Να υπολογίσετε:

α) την υποτείνουσά του β) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 45° και να συμπληρώσετε τον πίνακα. ημ45° συν45° εφ45° σφ45°

2. Επαληθεύστε τις ισότητες:

α) συν60° = συν230° - ημ230° β) ημ60° = 2ημ30° . συν30° γ) συν60° = 2συν230° - 1 δ) συν60° = 1 - 2ημ230°

3. Χρησιμοποιώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 30° και 45° επαληθεύστε ότι:

α) ημ15° = ημ45° συν30° - συν45° ημ30° β) ημ75° = ημ45° συν30° + συν45° ημ30° Σ’ όλους τους υπολογισμούς να γίνεται χρήση των τετραγωνικών ριζών.

4. Να δειχθεί ότι: συν60 + συν45

ηημ3- ημ45 = 3 - 2 2 .



Σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων τριγωνομετρικών αριθμών της ίδιας οξείας γωνίας Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω βασικές ταυτότητες (α) - (στ), να λύσετε τις ασκήσεις που ακολουθούν:

α) εφω = συνωημω

β) σφω = ημωσυνω

γ) εφω . σφω = 1

δ) συνω = ωεφ + 1

12

ε) ημω =


ωεφ + 1

εφω2

στ) ημ2ω + συν2ω = 1

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°):

α) Δίνεται συνΒ = 0,6. Υπολογίστε: i) ημΒ, ii) εφΒ.

43β) Δίνεται ημΒ = . Υπολογίστε: i) συνΒ, ii) εφΒ.

γ) Δίνεται εφΒ = 158 . Υπολογίστε: i) ημΒ, ii) συνΒ, iii) σφΒ

2. Αποδείξτε ότι: (ημx + συνx)2 = 1 + 2ημx.συνx. 3. Απλοποιήστε τις παραστάσεις:

α) εφx.συνx β) ημx.συν2x + ημ3x γ) x1x1 ημ+⋅ημ−

4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις:

α) x ηη-x ημ

xσυν -x συν24

24 β)

yσυν -x συν

y -x 22

22 ημημ


Προβλήματα 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α. α) Εάν ΑΒ = 3 m και ΑΓ = 4 m, υπολογίστε τις γωνίες Β και Γ. β) Εάν ΒΓ = 37 m και Β = 25°, υπολογίστε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. γ) Εάν ΑΒ = 36 m και Β = 65°, υπολογίστε τη ΒΓ και την ΑΓ. 2. Δίνεται τρίγωνο ΚΛΜ με γωνίες Κ = 37° και M = 53°.

α) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΚΛΜ; β) Γνωρίζοντας ότι ΚΛ = 25 m, να υπολογίσετε: i) την ΚΜ και ii) την ΛΜ.

3. Υπολογίστε το ύψος ΑΗ του δέντρου της διπλανής εικόνας αν γνωρίζουμε ότι η γωνία των ακτίνων του ήλιου με τον ορίζοντα είναι 18° και ότι η σκιά του δέντρου ΑΓ έχει μήκος 70 m.



Β΄

Γ ε ν ι κ ή Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ί α

Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας

1. Χρησιμοποιώντας τον τύπο 180μ

= πα

, να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Μέτρο γωνίας σε μοίρες

30° 45°

120° 150° 180°

Μέτρο γωνίας σε ακτίνια

π/3 π/2 3π/4 π

2. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες:

α) ενός ισόπλευρου τριγώνου; β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου;

3. Συμπληρώστε τον πίνακα: Μέτρο γωνίας σε μοίρες

10° 53° 60° 18°

Μέτρο γωνίας σε ακτίνια

2π/3 π/4 3π/8 2

4. Από τις παρακάτω τιμές δεν μπορεί να είναι ημίτονο γωνίας:

Α. 21 B. -

23 Γ.

22 Δ. -

21 Ε.

23



Αξιοσημείωτες γωνίες

30° / 6π 45° /

4π 60° /

3π 90° /

2π

180° / 270° / π2

3π 360° / 2π

1. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης:

συν20 + συν2

6π + συν2

4π + συν2

3π + συν2

2π

2. Η τιμή του γινομένου: συν0° . συν90° . συν180° . συν270° . συν360° είναι:

Α. -1 Β. 1 Γ. 0 Δ. 2 Ε. 21

3. α) Συμπληρώστε στον παρακάτω πίνακα τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών που σημειώνονται. Γωνία θ

0° 0

90° π/2

180° π

270° 3π/2

360° 2π

ημθ

........

........

........

........

συνθ

........

........

........

........

εφθ

........

........

........

........

σφθ

........

........

........

........

β) Αντικαταστήστε στον ίδιο πίνακα τις τελείες με το (+) ή με το (-) ανάλογα με το πρόσημο των γωνιών που βρίσκονται μεταξύ των δεδομένων γωνιών.



Σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων τριγωνομετρικών αριθμών της ίδιας γωνίας Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω βασικές ταυτότητες (α) - (στ)

α) εφω = συνωημω β) σφω =

ημωσυνω

γ) εφω . σφω = 1 δ) συνω = ± ωεφ + 1

12

ε) ημω = ± ωεφ + 1

εφω2

στ) ημ2ω + συν2ω = 1

να λύσετε τις ασκήσεις που ακολουθούν: 1. Δίνεται:

α) συνθ = 0,6 όπου 0° < θ < 90°. Υπολογίστε: i) ημθ, ii) εφθ

β) συνθ = - 43 όπου 180° < θ < 270°. Υπολογίστε: i) ημθ, ii) εφθ

2. Εάν ημθ = 0,4 και 0° < θ < 90°, υπολογίστε το συνθ και την εφθ.

32 και 90° < y < 180°, υπολογίστε το συνy και την εφy. 3. Εάν ημy =

4. Να γίνουν οι πράξεις: α) (ημθ + συνθ)2 + (ημθ - συνθ) 2 β) (ημθ + συνθ) 2 - (ημθ - συνθ) 2

5. Αποδείξτε ότι για οποιεσδήποτε γωνίες x, α, β ισχύουν: α) (ημx - συνx)2 = 1 - 2 ημx . συνx β) (1 + ημx + συνx)2 = 2 (1 + συνx) (1 + ημx)

γ) 1 - ηημ+ 1

xσυν2 = ημx

δ) ημ2α (1 + σφ2α) + συν2α (1 + εφ2α) = 2



Γ Ω Ν Ι Ε Σ Π Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Ο Ν Τ Α Ι Μ Ε Τ Α Ξ Υ Τ Ο Υ Σ

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά 1. Συμπληρώστε τις ισότητες:

α) ημ (2κπ + α) = ......................... β) εφ (8π - α) = ......................... γ) συν (α - 2λπ) = ......................... δ) σφ (10π - α) =...........................

2. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες: Σωστό Λάθος

α) ημ500° = ημ140° β) συν750° = συν30° γ) εφ (-1200°) = εφ (-120°)


3. Να απλοποιηθεί το κλάσμα: ημααπσϕα+πσυν

συναα+πσϕα+πημ ) +(4 )(3

)(7 )(3

Γωνίες με άθροισμα 180° - Γωνίες με διαφορά 180° - Γωνίες αντίθετες 1. Εάν x και y είναι δύο οποιεσδήποτε γωνίες, να δείξετε ότι:

α) συν (x - y) = συν (y - x) β) ημ (x - y) = - ημ (y - x) 2. Επαληθεύστε τις ισότητες:

α) συν (x - π) = συν (x + π) β) ημ (x - π) = ημ (π + x) 3. Το συν (π + ω) ισούται με:

Α. ημ (-ω) Β. συνω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα από τα προηγούμενα

4. Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (180° - ω) + συν (180° - ω) ισούται με: Α. 1 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 2 Ε. 2ημω


Γωνίες με άθροισμα 90° - Γωνίες με διαφορά 90° 1. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις:

Α = συν (x – π) + συν (x - 2π ) + ημ (x – π) + ημ (x -

2π )

Β = ημ (2π - x) + συν (π + x) – συν (x -

2π )

2. Η παράσταση ημ2x + ημ2 (2π - x) ισούται με:

Α. 2 Β. 0 Γ. 2ημ2x Δ. 1 Ε. 1 - ημ2x 3. Να δειχθεί ότι: ημx + ημ (x + 90°) + ημ (x + 180°) + ημ (x + 270°) = 0.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ερωτήσεις ανάπτυξης Α. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ημx = - ημ25° β) ημx = ημ (2x + 20°) γ) 3ημx +5 = 0

δ) συν (x + 50°) = ημ (x + 20°) ε) συνx συν π6

- ημx ημ π6

= 22

Β. Αλγεβρικές εξισώσεις ως προς ένα τριγωνομετρικό αριθμό ενός τόξου και οι αναγόμενες σ’ αυτές

2. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2ημ2x - 3ημx + 1 = 0 β) 2ημ2θ = 3 (1 - συνθ) γ) συν2x - 4συνx - 5 = 0 δ) συνx + συν3x = συν2x + συν4x ε) συν2x = συν2x στ) ημ2x = 2εφx

ζ) 2συνx + 2συν2x = 1 + 3 , 270° < x < 360° Γ. Εξισώσεις του τύπου αημx + βσυνx = γ

3. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 3 ημx + συνx = 0 β) ημx - 3 συνx = 2 γ) ημ2x + συν2x = 2



4. Να λυθεί στο διάστημα [0, π] η εξίσωση: 2 ημ2x + 2 συν2x = 1

Δ. Τριγωνομετρικές εξισώσεις του τύπου Α = 0 όπου το πρώτο μέλος τρέπεται σε γινόμενο παραγόντων

5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) συνx + συν2x + συν3x + συν4x = 0 β) ημ2x - ημx = συν2x - συνx γ) ημ (α + x) + ημ (α + 2x) + ημα = 0 όπου α γνωστή γωνία δ) συν (α + x) + συν (α + 2x) + συνα = 0

ε) εφ (α + x) εφ (α - x) = συν2α+1συν2α - 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ

ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το ημ2α είναι ίσο με:

Α. ημασυνα Β. 2ημ2α + 1 Γ. 2ημασυνα Δ. 1 - 2συν2α Ε. κανένα από τα προηγούμενα

2. Το συν2α είναι ίσο με: Α. 1 - 2συν2α Β. ημ2α - συν2α Γ. 1 - ημ2α Δ. 1 - 2ημ2α Ε. κανένα από τα προηγούμενα

3. Το ημ6α είναι ίσο με: Α. 2ημ4ασυν2α Β. 2ημ3ασυν3α Γ. 1 - 2συν23α Δ. 2ημ23α - 1 Ε. κανένα από τα προηγούμενα

4. Το συν8α είναι ίσο με: Α. 1 - 2συν24α Β. 2ημ4ασυν4α Γ. 1 - 2ημ24α Δ. ημ24α - συν24α Ε. κανένα από τα προηγούμενα

5. Η τιμή της παράστασης συν27°συν63° - ημ63°ημ27° είναι:

Α. 1 Β. 22

Γ. 0 Δ. - 1 Ε. 21



6. Η παράσταση: y = ημ ( π6

- x) συν ( π3

+ x) + ημ ( π3

+ x) συν (x - π6

)

είναι ίση με:

Α. συν π2

Β. συν π6

Γ. ημ π2

Δ. ημ π3

Ε. ημ π6

7. Η τιμή της παράστασης

ημ (50° - α) συν (40° + α) + ημ (40° + α) συν (50° - α) είναι:

Α. - 1 Β. 0 Γ. - 22

Δ. 22

Ε. 1

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Να αποδείξετε ότι:

α) συνx + συν (120° + x) + συν (240° + x) = 0 β) συν (α + β) ημ (α - β) = ημασυνα - ημβσυνβ

γ) (συνx - ημx) εφ ( π4

+ x) = συνx + ημx

2. Αν α + β + γ = 90° να αποδειχθεί ότι: α) εφα εφβ + εφβ εφγ + εφγ εφα = 1 β) σφα + σφβ + σφγ = σφα σφβ σφγ

3. Αν α + β = γ να δείξετε ότι: εφγ - εφα - εφβ = εφα εφβ εφγ


4. Αν συνθ = - 13

και π2

< θ < π να υπολογιστούν το ημ2θ και η εφ2θ.

6. Αν 3συν2x + 5συνx - 2 = 0 και ημx > 0 να υπολογιστούν το ημ2x και το συν2x.

7. Να δείξετε ότι: α) εφ ( π4

+ α) - εφ ( π4

- α) = 2εφ2α

β) ημ2α + συν2α1

συνα + συνα1

= εφ α2

γ) 1 + ημ2θ - συν2θ + ημ2θ + συν2θ1

= εφθ

8. Να δείξετε ότι: ημ (x - y) + συν (x + y) = (ημx + συνx) (συνy - ημy)

9. Να δείξετε ότι ημ2α+ συν2α1

συνα+ συνα1

= εφ α2

Trigonometry 1

Documents

Transcript of Trigonometry 1